第一篇：《原本》一書中勾股定理的證明

《原本》一書中勾股定理的證明

我們知道，勾股定理的證明方法有五百余種。現存的最古老的證明，載于歐幾里得的《原本》一書中，它隨《原本》在世界廣泛流傳而流傳，成為二千年來《幾何學》教科書中通用證法.如下圖，在Rt△ABC各邊上向外作正方形ABED，BCGK，CAFH.連結CD，FB.因為AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠CAD=90°+∠CAB，所以△FAB≌△CAD，作CL∥AD.因為S△FAB=1

2FA·FH.(FH為△FAB的AF邊上的高).而S正方形CAFH=FA·FH.所以S正方

形CAFH= 2S△FAB.又因為S△CAD=

形ADLM12AD·DL(DL為AD邊上的高)，而S長方形ADLM=AD·DL，所以S長方= 2S△CAD；

綜上所述，可得S正方形CAFH=S長方形ADLM.同理可證S正方形BCGK=S長方形BELM，所以S正方形ABED=S長方形ADLM+S長方形BELM=S正方形CAFH+S正方形BCGK，即AB2=AC2+BC2.其實，歐幾里得《原本》中的證明并不簡單，簡明的證明要數公元三世紀我國數學家趙爽給出的勾股圓方圖.即這節課我們介紹的驗證勾股定理的第二種拼圖.

第二篇：勾股定理的證明的說課稿一

勾股定理的證明的說課稿

一、教材

1、說教學內容、地位及作用

勾股定理是反映自然畀基本規律的一條重要結論，它有著悠久的歷史，在數學發展中起過重要的作用在數學的發展史上起到了非常重要的作用，它的發現、證明和應用都蘊涵著豐富的數學文化內涵，它揭示了直角三角形三邊之間的數量關系，它是解直角三角形的重要工具，它在教材中起到承上啟下的作用，無論是它的證明還是他的應用都堪稱是數形結合法的典范。自古至今它在其它學科及現實生活領域中被廣泛應用。古代也是大多應用于工程，例如測量、建筑、航海，修建房屋、修井、造車中都有應用。例如中國古代的大禹曾還利用勾股定理來治理洪水，埃及人利用勾股定理建造了金字塔。比如說工程技術人員用的比較多,比如農村房屋的屋頂構造，就可以用勾股定理來計算,設計工程圖紙也要用到勾股定理,在求與圓、三角形有關的數據時，多數可以用勾股定理 物理上也有廣泛應用，例如求幾個力，或者物體的合速度，運動方向可以說它是初等幾何中最精彩、最著名的定理。

因此，學好本節至關重要。

2、教學重點及難點

根據新課程標準的要求和對教材的分析，我確定本節課的教學重點為：

1、勾股定理的證明

2、利用不同的方法求正方形的面積。

3、由正方形的面積到三角形三邊的關系的過度。

4、勾股定理的多種證明方法。

由于在勾股定理的探索過程中，通過圖形的移、補、拼、湊的方法顯示圖形之間的關系，這一方面學生比較陌生。因此，我確定本節課的教學難點為勾股定理的探索方法。

二、教學目標

根據新課程標準的要求、教材的分析及學生的特點和認知規律，我制定如下教學目標：

1、知識目標：勾股定理的探索過程，勾股定理的內容及應用。

2、能力目標：培養學生由特殊到一般的數學思維能力，建立數形結合思想。

3、情感目標：通過對勾股定理的學習，使學生了解祖國的悠久文化，提高民族自豪感，培養學生的創新意識和創新精神。

三、教法、學法

1、教學方法和教學手段

本節課根據教材本身探究性較強的特點，依據學生原有的知識基礎，遵循學生的認知規律和心理特點，采用“引導——發現”的探究教學模式實施教學。利用計算機輔助教學，展示動態圖形，激發學生興趣，使學生樂于探索，從而突出重點、突破難點，加大教學容量，提高學生的能力。

2、學法指導

古人云：“授之以魚不如授之以漁”。我深深地體會到在新課程標準的要求下，必須重視對學生進行學習方法的指導，讓他們“學會學習”。結合本節課的教學內容，使學生掌握以下學習方法：

（1）數形結合法（2）邏輯思維法（3）設疑探索法

四、教學過程

本節課圍繞“勾股定理”從引導——探索——應用遷移這幾個環節完成教學全過程，促使學生把知識轉化為能力。下面就教學設計加以說明。

（一）課題引入

課件首先從歷史故事入手，介紹勾股定理產生的歷史淵源，通過講解使學生認識到勾股定理是反映自然畀基本規律的一條重要結論，它有著悠久的歷史，從而激發學生的愛國熱情和民族自豪感，樹立熱愛科學，獻身科學的遠大理想．同時也激起了學生的學習興趣。本環

節設置了三個小事件：

1、《周髀算經》記載著一段周公向商高請教數學知識的對話。

2、2002年數學家大會的會徽是趙爽弦圖。

3、畢達哥拉斯怎樣發現勾股定理的。

在這個環節中向學生提出問題，激起學生探求知識的積極性。

（二）探索猜想：

從畢達哥拉斯的發現入手，引導學生探索猜想勾股定理的內容，本環節的設置分兩部分第一部分是以等腰直角三角形的三邊為邊長分別作三個正方形，分別求出三個正方形的面積，并觀察兩個小正方形的面積之和等于大正方形的面積；第二部分是以一個不等腰的直角三角形的三邊為邊長分別作三個正方形，分別求出三個正方形的面積，并觀察兩個小正方形的面積之和等于大正方形的面積，通過面積的關系進而確認直角三角形的三邊之間的關系即勾股定理的內容。進而猜想對于任意一個直角三角線都具備這個性質。在本環節中的難點是對以斜邊為邊長的正方形的面積的求法，在教學中應鼓勵學生自我探究，找出解決問題的方法，最后教師總結常用的兩種方法：

1、分割法，即將正方形分割成幾個易求面積的三角形或正方形，再求他們的和即可。

2、補圖法，即將原圖形自外側一部分或幾部分使其構成一個規則的正方形或其他圖形，用新圖形的面積減去補上部分即得原圖形的面積。

（三）總結歸納：給出定理并介紹各邊在古代的稱呼

（四）：鞏固基礎：給出一組小練習，目的是加強勾股定理的認識

（五）再次探究，勇于挑戰：增加畢達哥拉斯與商高的介紹探究1（補充）已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對邊為a、b、c。求證：a2＋b2=c2。

分析：⑴讓學生準備多個三角形模型，最好是有顏色的吹塑紙，讓

學生拼擺不同的形狀，利用面積相等進行證明。

⑵拼成如圖所示，其等量關系為：4S△+S小正=S大正

4×2ab＋（b－a）2=c2，化簡可證。

A⑶發揮學生的想象能力拼出不同的圖形，進行證明。

⑷ 勾股定理的證明方法，達300余種。這個古老的精彩的證法，出自我國古代無名數學家之手。激發學生的民族自豪感，和愛國情懷。

探究2已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對邊為a、b、c。

求證：a2＋b2=c2。

分析：左右兩邊的正方形邊長相a等，則兩個正方形的面積相等。aB

左邊S=4×2ab＋c2 bbb右邊S=（a+b）2 左邊和右邊面積相等，即

4×2ab＋c2=（a+b）

2b

化簡可證。

探究三：伽菲爾德美國第20任總統的探究方法，有學生寫出探究過程

（六）拓展：引導學生分析出中國古代對勾股定理的證明方法。

（七）課后小結

（八）布置作業：（略）

五、板書設計（略）

六、教學評價

本課的教學設計堅持以“以學為本，因學論教”為指導思想，注意挖掘教材中培養創新意識的素材，利用計算機輔助教學，為學生營造一種創新的學習氛圍。把學生引上探索問題之路，為學生構造一道亮麗的思維風景線，必將調動學生學習的主動性，積極性，體現學生的主體地位。同時，本課以問題為載體，探索訓練為主線，有意識地留給學生適度的思維空間，從不同視角上展示不同層次學生的學力水平，使探索知識與培養能力融為一體，真正體現新課程改革中的素質教育。

楊偉起

2010-4-4

第三篇：如何證明勾股定理

如何證明勾股定理

勾股定理是初等幾何中的一個基本定理。這個定理有十分悠久的歷史，兩千多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，因為這個定理太貼近人們的生活實際，以至于古往今來，下至平民百姓，上至帝王總統都愿意探討和研究它的證明．下面結合幾種圖形來進行證明。

一、傳說中畢達哥拉斯的證法（圖1）

左邊的正方形是由1個邊長為的正方形和1個邊長為的正方形以及4個直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。右邊的正方形是由1個邊長為的正方形和4個直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。因為這兩個正方形的面積相等(邊長都是)，所以可以列出等式，化簡得。

在西方，人們認為是畢達哥拉斯最早發現并證明這一定理的，但遺憾的是，他的證明方法已經失傳，這是傳說中的證明方法，這種證明方法簡單、直觀、易懂。

二、趙爽弦圖的證法（圖2）

第一種方法：邊長為的正方形可以看作是由4個直角邊分別為、，斜邊為 的直

角三角形圍在外面形成的。因為邊長為的正方形面積加上4個直角三角形的面積等于外圍正方形的面積，所以可以列出等式，化簡得。

第二種方法：邊長為的正方形可以看作是由4個直角邊分別為、，斜邊為 的角三角形拼接形成的（虛線表示），不過中間缺出一個邊長為的正方形“小洞”。

因為邊長為的正方形面積等于4個直角三角形的面積加上正方形“小洞”的面積，所以可以列出等式，化簡得。

這種證明方法很簡明，很直觀，它表現了我國古代數學家趙爽高超的證題思想和對數學的鉆研精神，是我們中華民族的驕傲。

三、美國第20任總統茄菲爾德的證法（圖3）

這個直角梯形是由2個直角邊分別為、，斜邊為 的直角三角形和1個直角邊為的等腰直角三角形拼成的。因為3個直角三角形的面積之和等于梯形的面積，所以可以列出等式，化簡得。

這種證明方法由于用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明更加簡潔，它在數學史上被傳為佳話。

第四篇：勾股定理 專題證明

勾股定理 專題證明

1.我們給出如下定義：若一個四邊形中存在一組相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊。

(1)寫出你所學過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱：----------，----------；

(2)如圖1，已知格點(小正方形的頂點)O（0,0），A（3,0）,B(0,4)請你畫出以格點為頂

點，OA,OB為勾股邊且對角線相等的兩個勾股四邊形OAMB ；

(3)如圖2，將△ABC繞頂點B按順時針方向旋轉60°，得到 △DBE，連結AD,DC,∠DCB=

30°。寫出線段DC,AC,BC的數量關系為----------------；

2.（1）如圖1，已知∠AOB，OA＝OB，點E在OB邊上，四邊形AEBF 是平行四邊形，請你只用無刻度的直尺在圖中畫出∠AOB的平分線．（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（2）如圖2，10×10的正方形網格中，點A（0，0）、B（5，0）、C（3，6）、D（－1，3），①依次連結A、B、C、D四點得到四邊形ABCD，四邊形ABCD的形狀是------------；

②在x軸上找一點P，使得△PCD的周長最短（直接畫出圖形，不要求寫作法）；

此時，點P的坐標為------------，最短周長為------------------；

3.如圖正方形ABCD ,E 為AD邊上一點，F為CD邊上一點，∠FEA=∠EBC,若AE= kED, 探究DF與CF的數量關系；

4.如圖1 等腰直角 △ABC，將 等腰直角△DMN如圖 放置，△DMN的斜邊MN與△ABC的一直角邊AC重合.⑴ 在圖1中，繞點 D旋轉△DMN，使兩直角邊DM、DN分別與 交于點E，F如圖2，求證：AE2+BF2=EF2 ；

⑵ 在圖1 中，繞點 C旋轉△DMN，使它的斜邊CM、直角邊 CD的延長線分別與 AB交于點E，F，如圖3，此時結論AE2+BF2=EF2是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.⑶ 如圖4，在正方形 ABCD中，E、F 分別是邊BC、CD 上的點且滿足△CEF 的周長等于正方形ABCD 的周長的一半，AE、AF 分別與對角線 BD交于點M、N.線段BM、MN、DN 恰能構成三角形.請指出線段BM、MN、DN 所構成的三角形的形狀，并給出證明；

5.將一塊直角三角板的直角頂點繞矩形ABCD（AB＜BC）的對角線的交點O旋轉（如圖①②③），圖中的M、N分別為直角三角形的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點，⑴如圖①三角板一直角邊與OD重合，則線段BN、CD、CN間的數量關系為-----------------------；

⑵如圖②三角板一直角邊與OC重合，則線段BN、CD、CN間的數量關系為-----------------------；

⑶如圖③，探究線段BN、CN、CM、DM間的數量關系，寫出你的結論，加以說明；

④若將矩形ABCD改為邊長為1的正方形ABCD，直角三角板的直角頂點繞O點旋轉到圖④，兩直角邊與AB、BC分別交于M、N，探究線段BN、CN、CM、DM間的數量關系，寫出你的結論，加以說明；

6.如圖，四邊形ABCD, AD∥BC，AD≠BC，∠B=90°，AD=AB ,點E是AB邊上一動點(點E不與點A、B重合)，連結ED，過ED的中點F作ED的垂線，交AD于點G,交BC于點K,過點K作KM⊥AD于M．若AB=k AE , 探究DM與DG 的數量關系；（用含 的式子表示）．

第五篇：勾股定理證明

勾股定理證明

直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方這一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又稱畢達哥拉斯定理或畢氏定理中國是發現和研究勾股定理最古老的國家之一。中國古代數學家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在公元前1000多年，據記載，商高（約公元前1120年）答周公曰“故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。”因此，勾股定理在中國又稱“商高定理”。在公元前7至6世紀一中國學者陳子，曾經給出過任意直角三角形的三邊關系即“以日下為勾，日高為股，勾、股各乘并開方除之得邪至日。

以下即為一種證明方法：

如圖，這個直角梯形是由2個直角邊分別為、，斜邊為 的直角三角形和1個直角邊為的等腰直角三角形拼成的。

∵△ABE＋△AED＋△CED＝梯形ABCD

∴（ab+ab+c2）÷2＝(a+b)(a+b)/2 ∴

∴c2=a2+b2，即在直角三角形中，斜邊長的平方等于兩直角邊的平方和

初二十四班秦煜暄