第一篇：《離散數學》期末考試復習指導
《離散數學》期末考試復習指導
期末考試僅限于期中考試以后的內容：Chapter 7 Trees;Chapter 8 Topics in
graph theory.考試題型：計算題；簡答題；證明題；構造圖形（構造滿足一定條件的圖，如：
6個頂點，11條邊且無Hamiltonian circuit）。題目共計6題，無選擇題和填空題。
考試難度：基本與期中考試相同，有一定數量的題直接來自于習題，最后一題較
難（構造圖形）。
復習要點：基本概念及定義：
rooted tree;binary tree;labeled tree;positional tree;tree
searching;undirected tree;weighted graph;minimal spanning tree;(undirected)graph;degree;Euler path and Euler circuit;Hamiltonian path and Hamiltonian circuit;matching function;coloring graph;chromatic number;chromatic polynomial;planar graph;
基本內容：
tree searching;the prefix(Polish form)and infix form of the
algebraic expression;minimal spanning tree;the sufficient-necessary condition for a graph G to have Euler circuit(or path);coloring graph;chromatic number;chromatic polynomial;construct a graph(directed or undirected)subject to some given conditions.不要求的內容：
Computer representation of binary positional tree;searching general tree;algorithms.復習中如遇困難請聯系：錢建國***，jgqian@jingxian.xmu.edu.cn徐偉***
陳美潤***
祝大家取得好成績！
第二篇：離散數學期末考試
一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）
1、設集合M={a，?}，N ={{a}，?}則M?N=（）。A、? B、{?} C、{a} D、{{a}，?，a}
2、設關系F={<1，a >，<2，2>，
A、{<1，b>，<1，c>，
3、設集合H={1，2，3，4}，則H上的關系R={
。x +y是偶數}具有（）A、自反性、反對稱性和傳遞性
B、反自反性、反對稱性和傳遞性
C、反自反性、對稱性和傳遞性
D、自反性、對稱性和傳遞性
4、設T是一棵完全二叉樹，則T的每個結點都（）。
A、至少有兩個子結點
B、至多有兩個子結點
C、恰有兩個子結點
D、可以有任意多個子結點
5、設R是實數集，“+，—，A、 ?>是群 B、 ? >是半群 D、 6、下面關系中，函數關系是（）。 A、{ B、{ D、{ 7、設 A、結合律 B、交換律 C、分配律 D、冪等律 8、設Z是整數集，“—”是整數減法，則下列說法正確的是（）。A、 B、 C、 D、 9、設L是無向圖G中的一條通路，L中的頂點各不相同，則L是一條（）。A、簡單通路 B、初級通路 C、簡單回路 D、初級回路 10、設G有6個3度點，2個4度點，其余頂點的度數均為0，則G的邊數是（）。A、10 B、13 C、11 D、6 二、填空題(本大題共8題，共10個空，每空2分，共20分) 1、設關系R={，<2，1>，<2，b>}，則R逆關系R?1=_______________________________。 2、在代數系統 3、設集合M={1，2，3，5}，則M的冪集P（M）包含___________個元素。 4、設T是一棵有n(n?2)個頂點的樹，則T有_____________條邊。 5、設 6、設 7、設D是有向圖，若D的基圖是連通圖，則稱D是_________________圖 8、既不含________________也不含____________________的無向圖稱為簡單圖。 三、計算題(本大題共3小題，每小題10分，共30分) 1、用等值演算法求公式A=(p??q)?(p?r)的主析取范式。 2、求公式?x(Q(x)?G(x，s))?(?yP(y)??zH(y，z))的前束范式。 3、設集合A={1，2，3，4，5}，關系R={ R； （3）求偏序集的極大元、極小元和最小元。 四、應用題(本大題共2小題，每小題5分，共10分) 1、用命題公式將下列命題符號化： 2和5是偶數，當且僅當5>2。 2、用謂詞公式將下列命題符號化： 每個計算機專業的學生都要學《編譯原理》，但有些計算機專業的學生不學《經濟學》。 五、證明題（本大題共2小題，每小題10分，共20分） 1、在命題邏輯系統中用歸結法證明下列推理是有效的： 前提：?s?q，p??q，s 結論：?p 2、在謂詞邏輯系統中寫出下列推理的（形式）證明： 前提：?x(M(x)?P(x))，?x(M(x)?G(x))，?x(?G(x))結論：?xP(x) 計算題 6.設命題公式G = ?(P→Q)∨(Q∧(?P→R)), 求G的主析取范式。 7.(9分)設一階邏輯公式：G =(?xP(x)∨?yQ(y))→?xR(x)，把G化成前束范式.9.設R是集合A = {a, b, c, d}.R是A上的二元關系, R = {(a,b),(b,a),(b,c),(c,d)},(1)求出r(R), s(R), t(R)；(2)畫出r(R), s(R), t(R)的關系圖.11.通過求主析取范式判斷下列命題公式是否等價： (1)G =(P∧Q)∨(?P∧Q∧R) (2)H =(P∨(Q∧R))∧(Q∨(?P∧R))13.設R和S是集合A＝{a, b, c, d}上的關系，其中R＝{(a, a),(a, c),(b, c),(c, d)}，S＝ {(a, b),(b, c),(b, d),(d, d)}.(1)試寫出R和S的關系矩陣；(2)計算R?S, R∪S, R1, S1?R1.－ － －證明題 1.利用形式演繹法證明：{P→Q, R→S, P∨R}蘊涵Q∨S。2.設A,B為任意集合，證明：(A-B)-C = A-(B∪C).3.(本題10分)利用形式演繹法證明：{?A∨B, ?C→?B, C→D}蘊涵A→D。4.(本題10分)A, B為兩個任意集合，求證： A－(A∩B)=(A∪B)－B.答案： 1-5 BADBB 6-10 BBABB 1.{<1，a>，<1，2>，} 2.0，-2 3.16 4.n-1 5.零元 6.半群 7.弱連通 8.平行邊 環 三． ??(p??q)?(p?r)?(?p?q)?(p?r)1.?(?p?q?r)?(?p?q??r)?(p?q?r)?(p??q?r)?m011?m010?m111?m1012.??x(Q(x)?G(x,s))??y?z(P(y)?H(y,z)) ??y?z?x((Q(x)?G(x,s))?(P(y)?H(y,z))3.(1)R?{?1,1?,?2,2?,?3,3?,?4,4?,?5,5?,?1,2?,?1,3?,?1,4?,?1,5?,?2,4?} ??1??2(2)MR???3?4???512345?11111??01010?? （3）最小元=1 極小元=1 極大元=5 00100?00010??00001??四 1.令p表示2是偶數；令q表示5是偶數；r表示5>2； (p?q)?r 2.S（x）：x是計算機專業的學生；G（x）：x要學《編譯原理》； F（x）：x學經濟學； ?x(S(x)?G(x))??x(S(x)??F(x)) 五 1，（1） s 前提引入（2） ?s?q 前提引入（3） q??s 置換規則 （4） q 1,3析取三段論（5） p??q 前提引入（6） ?p 4,5拒取 （1） ?x(M(x)?G(x)) 前提引入（2） M（x）v G（x） EI規則（3） ?x(?G(x)) 前提引入（4） ?G(x)（5） M(x) AI規則 2,4析取三段論 （6） ?x(M(x)?P(x)) 前提引入（7） M(x)→P（x） AI規則（8） P（x） 5,7假言推理（9） ?xP(x) EG規則 6.G = ?(P→Q)∨(Q∧(?P→R)) = ?(?P∨Q)∨(Q∧(P∨R))=(P∧?Q)∨(Q∧(P∨R))=(P∧?Q)∨(Q∧P)∨(Q∧R)=(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R)=(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧?R)∨(?P∧Q∧R)= m3∨m4∨m5∨m6∨m7 = ?(3, 4, 5, 6, 7).7.G =(?xP(x)∨?yQ(y))→?xR(x) = ?(?xP(x)∨?yQ(y))∨?xR(x)=(??xP(x)∧??yQ(y))∨?xR(x)=(?x?P(x)∧?y?Q(y))∨?zR(z)= ?x?y?z((?P(x)∧?Q(y))∨R(z))9.(1)r(R)＝R∪IA＝{(a,b),(b,a),(b,c),(c,d),(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)}, s(R)＝R∪R1＝{(a,b),(b,a),(b,c),(c,b)(c,d),(d,c)}, －t(R)＝R∪R2∪R3∪R4＝{(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(b,a),(b,b),(b,c),(b,d),(c,d)}；(2) 關系圖: abr(R)dcabs(R)dabt(R)dc c 11.G＝(P∧Q)∨(?P∧Q∧R)＝(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R)＝m6∨m7∨m3 ＝?(3, 6, 7)H =(P∨(Q∧R))∧(Q∨(?P∧R))＝(P∧Q)∨(Q∧R))∨(?P∧Q∧R)＝(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R)＝(P∧Q∧?R)∨(?P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)＝m6∨m3∨m7 ＝?(3, 6, 7)G,H的主析取范式相同，所以G = H.?1?013.(1)MR???0??0000011000??0?00?? MS??1??0??0??0100001000?1?? 0??1?(2)R?S＝{(a, b),(c, d)}, R∪S＝{(a, a),(a, b),(a, c),(b, c),(b, d),(c, d),(d, d)}, R1＝{(a, a),(c, a),(c, b),(d, c)}, －S1?R1＝{(b, a),(d, c)}.－－四 證明題 1.證明：{P→Q, R→S, P∨R}蘊涵Q∨S (1)P∨R (2)?R→P(3)P→Q(4)?R→Q(5)?Q→R(6)R→S P Q(1)P Q(2)(3)Q(4)P (7)?Q→S(8)Q∨S Q(5)(6)Q(7)2.證明：(A-B)-C =(A∩~B)∩~C 3.= A∩(~B∩~C)= A∩~(B∪C)= A-(B∪C)證明：{?A∨B, ?C→?B, C→D}蘊涵A→D(1)A D(附加)P(2)?A∨B(3)B Q(1)(2)P Q(4)(4)?C→?B(5)B→C(6)C Q(3)(5)P(7)C→D(8)D Q(6)(7)D(1)(8)(9)A→D 所以 {?A∨B, ?C→?B, C→D}蘊涵A→D.1.證明：A－(A∩B) = A∩~(A∩B)＝A∩(~A∪~B)＝(A∩~A)∪(A∩~B)＝?∪(A∩~B)＝(A∩~B)＝A－B 而(A∪B)－B =(A∪B)∩~B =(A∩~B)∪(B∩~B)=(A∩~B)∪? = A－B 所以：A－(A∩B)=(A∪B)－B. 《離散數學大一期末考試復習方向》 一、命題邏輯 證明等值式 ①等值演算 判斷公式的類型 合取（析?。┓妒?/p> ②范式 主合?。ㄖ魑鋈。┓妒?/p> 重點復習題目：課本P55的2.5.3和2.5.2 ③推理證明 P63 的2.6.2 二、謂詞邏輯 ①前述范式。P88的3.35 ②推理論證P91的蘇格拉底、P93的3.4.1（4） 三、關系 P152的5.4.3。 四、等價轉換。P157的.5.5.4 離散數學復習重點： 1、集合的運算以及運算律； 2、關系的三種表示方法，以及他們之間的轉化； 3、常見關系的定義； 4、哈斯圖的畫法，以及最大最小元、極大極小元、上下界，上下確界的求法； 5、單射、滿射以及雙射的證明（尤其是在代數系統中）； 6、代數系統的概念以及代數系統的常用性質，能夠證明具體的代數系統的運算律，找出單 位元，零元、以及逆元等； 7、環和格只要記住不同的環和格滿足的運算律就好； 8、各種圖和樹的概念及相關的結論，比如：歐拉圖的充要條件，哈密頓圖的充分條件、必 要條件、充要條件等； 9、圖的矩陣計算； 10、會畫一些簡單的樹； 11、五種聯結詞的真值表； 12、一些要求記住的命題公式； 13、命題公式的證明； 14、命題公式的析取范式，合取范式，主析取范式和主合取范式的求法。 題型：填空題、證明題和解答題。 友情提醒： 1、周三下午一點半到三點半在逸夫樓519答疑。 2、概念、定理和公式請務必記住，可能會出填空題； 3、考試內容不會超出我們的重點； 請大家好好復習，爭取一次性通過。 《離散數學》期末復習 內容：第一章~第七章 題型： 一、選擇題（20%，每題2分）二．填空題（20%，每題2分） 三、計算題（20%，每題5分） 四、證明題（20%，每題5分） 五、判斷題（20%，每題2分） 第1章 數學語言與證明方法 1.1 常用的數學符號 1.計算常用的數學符號式子 1.2 集合及其表示法 1.用列舉法和描述法表示集合 2.判斷元素與集合的關系(屬于和不屬于)3.判斷集合之間的包含與相等關系，空集(E)，全集(?)4.計算集合的冪集 5.求集合的運算：并、交、相對補、對稱差、絕對補 6.用文氏圖表示集合的運算 7.證明集合包含或相等 方法一： 根據定義, 通過邏輯等值演算證明 方法二： 利用已知集合等式或包含式, 通過集合演算證明 1.3 證明方法概述 1、用如下各式方法對命題進行證明。? 直接證明法：A?B為真 ? 間接證明法：“A?B為真” ? “ ?B? ?A為真” ? 歸謬法(反證法)： A??B?0為真 ? 窮舉法： A1?B, A2?B,…, Ak?B 均為真 ? 構造證明法：在A為真的條件下, 構造出具有這種性質的客體B ? 空證明法：“A恒為假” ? “A?B為真” ?平凡證明法：“B恒為真” ? “A?B為真” ? 數學歸納法： 第2章 命題邏輯 2.1 命題邏輯基本概念 1、判斷句子是否為命題、將命題符號化、求命題的真值（0或1）。 命題的定義和聯結詞(?, ?, ?, ?, ?) 2、判斷命題公式的類型 賦值或解釋.成真賦值,成假賦值；重言式(永真式)、矛盾式(永假式)、可滿足式:。2.2 命題邏輯等值演算 1、用真值表判斷兩個命題公式是否等值 2、用等值演算證明兩個命題公式是否等值 3、證明聯結詞集合是否為聯結詞完備集 2.3 范式 1、求命題公式的析取范式與合取范式 2、求命題公式的主析取范式與主合取范式（兩種主范式的轉換） 3、應用主析取范式分析和解決實際問題 2.4 命題邏輯推理理論 1、用直接法、附加前提、歸謬法、歸結證明法等推理規則證明推理有效 第3章 一階邏輯 3.1 一階邏輯基本概念 1、用謂詞公式符號命題（正確使用量詞） 2、求謂詞公式的真值、判斷謂詞公式的類型 3.2 一階邏輯等值演算 1、證明謂詞公式的等值式 2、求謂詞公式的前束范式 第4章 關系 4.1 關系的定義及其表示 1、計算有序對、笛卡兒積 2、計算給定關系的集合 3、用關系圖和關系矩陣表示關系 4.2 關系的運算 1、計算關系的定義域、關系的值域 2、計算關系的逆關系、復合關系和冪關系 3、證明關系運算滿足的式子 4.3 關系的性質 1、判斷關系是否為自反、反自反、對稱、反對稱、傳遞的2、判斷關系運算與性質的關系 3、計算關系自反閉包、對稱閉包和傳遞閉包 4.4 等價關系與偏序關系 1、判斷關系是否為等價關系 2、計算等價關系的等價類和商集 3、計算集合的劃分 4、判斷關系是否為偏序關系 5、畫出偏序集的哈期圖 6、求偏序集的最大元、最小元、極小元、極大元、上界、下界、上確界、下確界 7、求偏序集的拓撲排序 第5章 函數 1.判斷關系是否為函數 2.求函數的像和完全原像 3.判斷函數是否為滿射、單射、雙射 4.構建集合之間的雙射函數 5.求復合函數 6.判斷函數的滿射、單射、雙射的性質與函數復合運算之間的關系 7.判斷函數的反函數是否存在，若存在求反函數 第6章 圖 1.指出無向圖的階數、邊數、各頂點的度數、最大度、最小度 2.指出有向圖的階數、邊數、各頂點的出度和入度、最大出度、最大入度、最小出度最小入出度 3.根據握手定理頂點數、邊數等 4.指出圖的平行邊、環、弧立點、懸掛頂點和懸掛邊 5.判斷給定的度數列能否構成無向圖 6.判斷圖是否為簡單圖、完全圖、正則圖、圈圖、輪圖、方體圖 7.求給定圖的補圖、生成子圖、導出子圖 8.判斷兩個圖是否同構 6.2 圖的連通性 1.求圖中給定頂點通路、回路的距離 2.計算無向圖的連通度、點割集、割點、邊割集、割邊 3.判斷有向圖的類型：強連通圖、單向連通圖、弱連通圖 6.3 圖的矩陣表示 1.計算無向圖的關聯矩陣 2.計算有向無環圖的關聯矩陣 3.計算有向圖的鄰接矩陣 4.計算有向圖的可達矩陣 5.計算圖的給定長度的通路數、回路數 6.4 幾種特殊的圖 1、判斷無向圖是否為二部圖、歐拉圖、哈密頓圖 第7章 樹及其應用 7.1 無向樹 1.判斷一個無向圖是否為樹 2.計算無向樹的樹葉、樹枝、頂點數、頂點度數之間的關系 3.給定無向樹的度數列，畫出非同構的無向樹 4.求生成樹對應的基本回路系統和基本割集系統 5.求最小生成樹 7.2 根樹及其應用 1.判斷一個有向圖是否為根樹 2.求根樹的樹根、樹葉、內點、樹高 3.求最優樹 4.判斷一個符號串集合是否為前綴碼 5.求最佳前綴碼 6.用三種方法遍歷根樹是一個代數系統，?是S上的二元運算，若存在??S，對任意x?S，有??x=x??=?，則稱?是的_______________。是一個代數系統，若?滿足結合律且第三篇：《李剛版離散數學》大一期末考試復習方向
第四篇：離散數學復習重點
第五篇：《離散數學》期末復習
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