第一篇：極限復習題

高二極限期末復習題

一、相關知識鏈接

1、數學歸納法證明命題的步驟是：

（1）；（2）；在完成了這兩個步驟以后，就可以斷定命題對于從開始的所有

2、數學的歸納法是用來證明與

3、函數極限的四則運算法則：如果limf(x)?a，limg(x)?b，那么

x?x0

x?x03、用數學歸納法證明不等式

11113??????(n?1,且n?N)時，在證明n?k?1這一步n?1n?22n2

411111

3???????k?1k?32k2k?124

時，需要證明的不等式是（）

A.1?1????1?13B.k?

1k?

22k

C.111113 111113D.1

???????????????

k?2k?32k2k?12k?224k?2k?32k2k?124

2n?14、用數學歸納法證明：2?1?2?3?2?3????2?

3?3n?1。

（1）lim[f(x)?g(x)]?（2）lim[f(x)?g(x)]?；

x?x0

x?x0

（3）lim

x?x0

f(x)

； ?；（4）lim[C?f(x)]?C是常數）

x?x0

g(x)

n

?

1,(x?0)2??x5、已知f(x)??，求limf(x)。

x??

?(3)x,(x?0)??

2?x2?2x?2,(x?1)?

6、討論函數f(x)??x,(1?x?2)，（1）求當x?1時的極限；（2）求當x?2時的極限。

?2x?4,(x?2)?

7、下列結論正確的是（）

A．lim()?0B．lim10?0C．lim()?0D．lim2?0

x??

（5）lim[f(x)]?（n?N?）。

x?x0

這些法則對于x??的情況仍然成立。

4、函數極限的四則運算法則：如果liman?a，limbn?b，那么

n??

n??

（1）lim(an?bn)?；（2）lim(an?bn)?；

n??

n??

3xx

x???x???

2xx

x???

f(x)與limf(x)存在”是“函數f(x)在點x0的極限limf(x)存在”

8、“函數f(x)在點x0的左右極限lim??

x?x0

x?x0

x?x0

（3）lim

an

；（4）lim(C?an)?C是常數）； ?（b?0）

n??n??bn的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分與不必要條件

5、無窮

12、求下列的極限：

1）lim3x2?2x?12x?3x?

1（x2?3x?2，（2）xlim???3x?2x?1，x??

2x（3）lim2

2?1

x??

(x?1?x?1)，（4）xlim???3x?1，13、已知lim2x

2x??（x?

1?ax?b)=2，其中a,b?R,求a?b的值。

14、求下列極限：

n2?2n?32n?1?3n

（1）limn??3n2?

2（2）limn??2n?3n?

1（3）limn??(121

n2?n?1)，（4）lim。n??2n(n2?1?n2?1)

15、求lim1?3?5???(2n?1)的值。

n??n(2n?1)

2.5函數的連續性

16、函數在x?x0處有定義是函數f?x?在點x0處連續的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分且必要條件D.既不充分也不必要條件

17、設f?x???

?x?1?0?x?1?

?2?x

?1?x?3?，（1）求f?x?在點x?1處的左右極限，并判斷在點x?1處f?x?的極限是否存在；

（2）f?x?在點x?1處是否連續？（3）求函數f?x?的連續區間。（4）求

limf?x?,limf?x?。

x?

1x?

2??ex

??x?0?

18、已知函數f?x???

a?x2?b

2?0?x?1?，在???,???上連續，求實數a、b的值。

?2??x

?x?1?

225254288.doc

第二篇：高等數學極限復習題

高等數學復習資料二

川汽院專升本極限復習題

一 極限計算

二 兩個重要極限

三 用無窮小量和等價

第三篇：極限歲月

極限歲月

我是一個平凡的人，我的故事也是平凡的故事。

很小的時候，我不知道什么叫優秀和平庸。

但我，卻打心里認為我跟別人不同。我不用努力學習，每次總是第一名。

連我的嗅覺，我很遠就能聞到媽媽為我炒的辣椒炒肉。

我甚至以為，我是龍的傳人，我有一次皮膚

病，有些地方脫了皮。

但我以為那是龍在換鱗。

我盲目的認為自己是一個優秀的人

換來的是自己的放縱和不羈。

我足足用了幾年來弄明白我和別人都是一樣的只不過是智商稍高一點而已

當我意識到這一點后，我開始努力做到和別人不同

抽煙，喝酒，打群架，在學校做老大

經歷過兩次教訓之后，我的目標沒有變

我依然要做到和別人不同，但方向變了。

我總是渴望更高的目標，不管會不會“孤獨的飛鷹總是愈來愈高”

我以為人生就是要實現自己的精彩。不管是高的好的還是低的壞的目標

所以，當我有了一次重大的決定自己的權利時，我選了軍校......

二

我踏進學校的第一天我就想退學

但是懶慣了的我也懶的去退學

于是我就不得不去習慣這兒的一切

我是太懶了，懶得去掙拖束縛

懶得去擺拖每天的早操，軍姿和正步

懶得去卸下學員干部的重任

好多事懶得去想，只有去做

好多故事懶得以后回憶，只好現在寫下來

三

“為什么要這樣啊？”征已經在哭嚎了。

他們在一班的宿舍里，阿偉，凌云，小源，阿好都在，在桌上凌亂的擺著幾個空飯盒，里面裝著不知什么樣的殘羹剩汁，飯盒旁是幾個空空的“紅星二鍋頭”的瓶子和幾袋花生。此外，每個人的手上還拿著一瓶。

“大家別這樣，如果要開我的話，讓我開開心心地走，不要為我留淚”凌云抬起了頭，自己的眼淚卻已經掛在眼角。

“大家不要再喝了，我們還有很多事要做的。”阿偉在安慰劉征。征把頭埋進自己的懷里，好象也要把自己的悲傷埋進心里一樣。阿偉伸出手去，撫摩著征的頭，卻驚愕地發現這個鐵漢子的淚水已經留出來了。

小源嘴里也罵著什么，但眼水一樣不爭氣的留了下來。

阿偉也不知道是在跟誰說了，“凌云不會走的，凌云不會走的，大家怎么了，不要留這種不值錢的眼淚。”他走來走去的，說了一句，“我去買包煙。”

他走出房門，順手把門拉上，卻發現自己的眼淚已經不爭氣的留了下來，他擦了擦臉，強迫自己的面部肌肉做了一個笑的動作，義無返顧的朝著小賣部走去，他走的有點壯烈，因為他去買煙，口袋里卻一分錢也沒有。

四

當全隊要重新整編的消息傳來的時候，所有的人的木了。

有誰愿意跟以前拳腳相見的人同住一間房子，有誰愿意離開自己朝夕相處的弟兄。可是，有兩個人還是邪邪的笑。

一個是阿偉，他對他的好兄弟凌云邊說邊笑邊動手，“以后見了你，見一次打你一次，現在是各為其主了，不要怪我心狠手辣！”

另一個人是英侃，他居然在中隊長面前口出狂言，“媽個*，又跟于雷一個班，真討厭”。

所有的人都顫抖了，他欺負人家還不夠，他們班的暗號就是“于雷吃屎！”可是中隊長只是笑了笑，因為英侃實在是太可愛了。

然后大家就聚在一塊談論英侃的壯舉：他82天不洗澡的隊記錄，他用來洗腳的牙膏的品牌，他怎樣一個下午花掉一千元，他能壓垮床的體重。

大家都樂著，好象都忘了整編一樣，沒有人去提，沒有人愿意去提！

五

英侃喝多了，他跟著劉征和志平一塊兒在五班喝的，三人都喝的暈頭了，劉征和志平躺在自己的床上就睡了，英侃也不行了，于是，他只有趴在阿堅的床上睡了，哎喲！阿堅的床沒有枕頭，好不舒服！天花板怎么在動啊，我沒有喝多吧？

沒有枕頭好不爽啊，偷別人一個，拿誰的，劉哥不能惹，小源也不行，他發火了不借給我錢吃飯怎么辦，小寒吧，他丫整天笑的跟他媽賣*似的。肯定不會發火。我偷，我拿，我抽……

啊，枕頭拿過來了，小寒呢？

英侃看上去有些迷茫，剛才還在這的，怎么一眨眼就沒了，不管了，我睡覺，先。

他回過頭來，要上床睡覺，卻好象忘了一點，兔子也有咬人的時候。小寒就站在他的身后。

英侃不知道，他只是看見七，八個小寒

第四篇：極限證明

極限證明

1.設f(x)在(??,??)上無窮次可微，且f(x)??(xn)(n???)，求證當k?n?1時，?x，limf(k)(x)?0． x???

2.設f(x)??0sinntdt，求證：當n為奇數時，f(x)是以2?為周期的周期函數；當n為

偶數時f(x)是一線性函數與一以2?為周期的周期函數之和． x

f(n)(x)?0．?{xn}?3.設f(x)在(??,??)上無窮次可微；f(0)f?(0)?0xlim求證：n?1，???

?n，0?xn?xn?1，使f(n)(xn)?0．

sin(f(x))?1．求證limf(x)存在． 4.設f(x)在(a,??)上連續，且xlim???x???

5.設a?0,x1?2?a,xn?1?2?xn,n?1,2?,證明權限limn??xn存在并求極限值。

6.設xn?0,n?1,2,?.證明：若limxn?1?x,則limxn?x.n??xn??n

7.用肯定語氣敘述：limx???f?x????.8.a1?1,an?1?1,求證：ai有極限存在。an?

1t?x9.設函數f定義在?a,b?上，如果對每點x??a,b?,極限limf?t?存在且有限（當x?a或b時，為單側極限）。證明：函數f在?a,b?上有界。

10.設limn??an?a,證明：lima1?2a2???nana?.n??2n

211.敘述數列?an?發散的定義，并證明數列?cosn?發散。

12.證明：若???

af?x?dx收斂且limx???f?x???，則??0.11?an?收斂。?,n?1,2,?.求證：22an?1an13.a?0,b?0.a1?a,a2?b,an?2?2?

n

14.證明公式?k?11k?2n?C??n，其中C是與n無關的常數，limn???n?0.15.設f?x?在[a,??)上可微且有界。證明存在一個數列?xn??[a,?),使得limn??xn???且limn??f'?xn??0.16.設f?u?具有連續的導函數，且limu???f'?u??A?0,D??x,y?|x2?y2?R2,x,y?0

??

?R?0?.I

?1?證明：limu??f?u????;?2?求IR???f'?x2?y2?dxdy;?3?求limR2

R??

D

R

17.設f?x?于[a,??)可導，且f'?x??c?0?c為常數?,證明：

?1?limx???f?x????;?2?f?x?于[a,??)必有最小值。

18.設limn???an?a,limn???bn?b,其中b?0,用??N語言證明lim

ana?.n???bbn

?Sn?x??19.設函數列?Sn?x??的每一項Sn?x?都在x0連續，U是以x0為中心的某個開區間，在U??x0?內閉一致收斂于S?x?,又limn??Sn?x0????,證明：limS?x????.x?x0

20.敘述并證明limx???f?x?存在且有限的充分必要條件?柯西收斂原理?

??a

23.設?

f(x)= 0.證明xlimf(x)dx收斂,且f(x)在?a,???上一致連續，???

24.設a1>0，an?1＝an＋，證明＝1 nan25.設f?x?在a的某領域內有定義且有界，對于充分小的h，M?h?與m?h?分別表示f?x?在?a?h,a?h?上的上、下確界，又設?hn?是一趨于0的遞減數列，證明：

1）limn??M?hn?與limn??m?hn?都存在；

2)limn?0M?h??limn??M?hn?,limn?0m?h??limn??m?hn?;

3)f?x?在x?a處連續的充要條件是llimn??M?hn??imn??m?hn?26設?xn?滿足：|xn?1?xn|?|qn||xn?xn?1|,|qn|?r?1|,證明?xn?收斂。

27.設an?a,用定義證明:limn???an?a

28.設x1?0，xn?1?

31?xn,(n?1,2,?)，證明limxn存在并求出來。

n??3?xn

??

29.用“???語言”證明lim30.設f(x)?

(x?2)(x?1)

?0

x?1x?3

x?2，數列?xn?由如下遞推公式定義：x0?1，xn?1?f(xn)，(n?0，x?1

n??

1，2，?)，求證：limxn?2。

31.設fn(x)?cosx?cos2x???cosnx，求證：

（A）對任意自然數n，方程fn(x)?1在[0,?/3)內有且僅有一個正根；

（B）設xn?[0,1/3)是fn(x)?1的根，則limxn??/3。

n??

32.設函數f(t)在(a,b)連續，若有數列xn?a,yn?a(xn,yn?(a,b))使

Limf(xn)?A(n??)及Limf(yn)?B(n??)，則對A，B之間的任意數?，可找到數列xn?a，使得Limf(zn)??

33.設函數f在[a,b]上連續，且

f?0,記fvn?f(a?v?n),?n?

?exp{

b?a，試證明：n

1b

lnf(x)dx}(n??)并利用上述等式證明下?ab?a

式

2?

?

2?

ln(1?2rcosx?r2)dx?2lnr(r?1)

f(b)?f(a)

?K

b?a

34.設f‘(0)?K,試證明lim

a?0?b?0?

35.設f(x)連續，?(x)??0f(xt)dt，且lim

x?0

論?'(x)在x?0處的連續性。

f(x)，求?'(x)，并討?A（常數）

x

36． 給出Riemann積分?af(x)dx的定義，并確定實數s的范圍使下列極限收斂

i1

lim?()s。n??ni?0n

?x322,x?y?0?2

37.定義函數f?x???x?y2.證明f?x?在?0,0?處連續但不可微。

?0,x?y?0?

n?1

b

38.設f是?0,??上有界連續函數，并設r1,r2,?是任意給定的無窮正實數列，試證存在無窮正實數列x1,x2,?,使得：limn???f?xn?rn??f?xn???0.39.設函數f?x?在x?0連續，且limx?0

f?2x??f?x??A,求證：f'?0?存在且等于A.x

1n

40.無窮數列?an??,bn?滿足limn??an?a,limn??bn?b,證明:lim?aibn?1-i?ab.n??ni?1

41.設f是?0,??上具有二階連續導數的正函數，且f'?x??0,f''有界，則limt??f'?t??0

42.用???分析定義證明limt??1

x?31

? x2?92

43.證明下列各題

?1?設an??0,1?，n?1,2,?,試證明級數?2nann?1?an?n收斂；

n?1

?

?2?設?an?為單調遞減的正項數列，級數?n2000an收斂，試證明limn2001an?0;

n??

n?1

?

?3?設f?x?在x?0附近有定義，試證明權限limx?0f?x?存在的充要條件是：對任何趨于0的數列?xn??,yn?都有limn???f?xn??f?yn???0.?1?44.設?an?為單調遞減數列的正項數列，級數?anln?1?an?0???收斂，試證明limn??n?n?1?

a?1。45.設an?0，n=1,2，an?a?0,(n??),證 limn

n??

?

46.設f為上實值函數，且f（1）＝1，f?（x）＝〔1，＋?〕

limf（x）存在且小于1＋。

x?＋?4，證明x?1）2

x2＋f（x）

?

47.已知數列{an}收斂于a，且

a?a???aSn?，用定義證明{Sn}也收斂于a

n

48.若f?x?在?0,???上可微，lim

n??

f(x)

?0，求證?0,???內存在一個單

x??x

調數列{?n}，使得lim?n???且limf?(?n)?0

n??

x??e?sinx?cosx?,x?0

49.設f?x???2,確定常數a,b,c,使得f''?x?在???,??處處存在。

??ax?bx?c,x?0

第五篇：高等數學-極限

《高等數學》極限運算技巧

(2009-06-02 22:29:52)轉載▼ 標簽： 分類： 數學問題解答

雜談 知識/探索

【摘 要】《高等數學》教學中對于極限部分的要求很高，這主要是因為其特殊的地位決定的。然而極限部分絕大部分的運算令很多從中學進入高校的學生感到困窘。本文立足教材的基本概念闡述，著重介紹極限運算過程中極具技巧的解決思路。希望以此文能對學習者有所幫助。【關鍵詞】高等數學 極限 技巧

《高等數學》極限運算技巧

《高等數學》的極限與連續是前幾章的內容，對于剛入高校的學生而言是入門部分的重要環節。是“初等數學”向“高等數學”的起步階段。

一，極限的概念

從概念上來講的話，我們首先要掌握逼近的思想，所謂極限就是當函數的變量具有某種變化趨勢（這種變化趨勢是具有唯一性），那么函數的應變量同時具有一種趨勢，而且這種趨勢是與自變量的變化具有對應性。通俗的來講，函數值因為函數變量的變化而無限逼近某一定值，我們就將這一定值稱為該函數在變量產生這種變化時的極限！

從數學式子上來講，逼近是指函數的變化，表示為。這個問題不再贅述，大家可以參考教科書上的介紹。

二，極限的運算技巧

我在上課時，為了讓學生好好參照我的結論，我夸過這樣一個海口，我說，只要你認真的記住這些內容，高數部分所要求的極限內容基本可以全部解決。現在想來這不是什么海口，數學再難也是基本的內容，基本的方法，關鍵是技巧性。我記得blog中我做過一道極限題，當時有網友驚呼說太討巧了！其實不是討巧，是有規律可循的！今天我寫的內容希望可以對大家的學習有幫助!我們看到一道數學題的時候，首先是審題，做極限題，首先是看它的基本形式，是屬于什么形式采用什么方法。這基本上時可以直接套用的。1，連續函數的極限

這個我不細說，兩句話，首先看是不是連續函數，是連續函數的直接帶入自變量。2，不定型

我相信所有學習者都很清楚不定型的重要性，確實。那么下面詳細說明一些注意點以及技巧。

第一，所有的含有無窮小的，首先要想到等價無窮小代換，因為這是最能簡化運算的。等價代換的公式主要有六個：

需要注意的是等價物窮小代換是有適用條件的，即：在含有加減運算的式子中不能直接代換，在部分式子的乘除因子也不能直接代換，那么如果一般方法解決不了問題的話，必須要等價代換的時候，必須拆項運算，不過，需要說明，拆項的時候要小心，必須要保證拆開的每一項極限都存在。此外等價無窮小代換的使用，可以變通一些其他形式，比如：

等等。特別強調在運算的之前，檢驗形式，是無窮小的形式才能等價代換。

當然在一些無窮大的式子中也可以去轉化代換，即無窮大的倒數是無窮小。這需要變通的看問題。

在無窮小的運算中，洛必答法則也是一種很重要的方法，但是洛必答法則適用條件比較單一，就是無窮小比無窮小。比較常見的采用洛必答法則的是無窮小乘無窮大的情況。(特別說明無窮小乘無窮大可以改寫為無窮小比無窮小或者無窮大比無窮大的形式，這根據做題的需要來進行）。第二，在含有∞的極限式中，一般可分為下面幾種情況：（1），“∞/∞ ”形式

如果是冪函數形式的（包含冪函數四則運算形式），可以找高次項，提出高次項，這樣其他一切項就都是無窮小了，只有高次項是常數。比如：

，這道題中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他項都是“0”，原來的x都是常數1了。當然如果分式形式中，只有分子中含有高次項，那么該極限式極限不存在（是無窮大），如果只有分母中含有高次項，那么該極限式極限為0，如果分子分母都含有高次項，我們可以直接去看高次項的系數，基本原理其實就是上面所說的提高次項。比如上面的例子，可以直接寫1/2。

如果不是純冪函數形式，無法用提高次項的方法（提高次項是優先使用的方法），使用洛必達也是一種很好的方法。需要強調的是洛必達是一種解決“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的嚴格限制形式只有這兩種，所以比較好觀察。但是多數時候我們優先采用其他的方法來解決，這主要是考慮運算量的問題。（2），“∞-∞ ”形式

“ ∞-∞”形式不能直接運算，需要轉換形式，即轉換成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。比如：

這道題是轉換形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次項解。（3）“ ”形式

這也是需要轉換的一種基本形式。因為無窮大與無窮小之間的倒數關系，所以這種轉換時比較簡單也是比較容易解決的。轉換之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。第三，“ ”

這種形式的解決思路主要有兩種。

第一種是極限公式，這種形式也是比較直觀的。比如： 這道題的基本接替思路是，檢驗形式是“式，最后直接套用公式。

第二種是取對數消指數。簡單來說，“

”，然后選用公式，再湊出公式的形

”形式指數的存在是我們解題的主要困難。那么我們直接消掉指數就可以采用其他方法來解決了。比如上面那道題用取對數消指數的方法來解，是這樣的：

可以看出盡管思路切入點不一樣，但是這兩種方法有異曲同工之妙。三，極限運算思維的培養

極限運算考察的是一種基本能力，所以在做題或者看書的時候依賴的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使學習事半功倍。而極限思維的培養則是對做題起到指導性的意義。如何培養，一方面要立足概念，另一方面則需要在具體的運算中體會，多做題多總結。

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