第一篇：2010年高考試題分類考點17推理與證明

考點17推理與證明

1.（2010·山東高考文科·Ｔ１０）觀察(x2)'?2x，(x4)'?4x3，(cosx)'??sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數f(x)滿足f(?x)?f(x)，記g(x)為f(x)的導函數，則g(?x)=（）

（A）f(x)(B)?f(x)(C)g(x)(D)?g(x)

【命題立意】本題考查歸納推理的有關知識，考查了考生的觀察問題，分析問題，解決問題的能力.【思路點撥】觀察所給的結論，通過歸納類比聯想，得出結論.【規范解答】選D．通過觀察所給的結論可知，若f(x)是偶函數，則其導函數g(x)是奇函數，故選D．

2.（2010·陜西高考理科·Ｔ１２）觀察下列等式：1?2?3,1?2?3?6,1?2?3?4?10,??根據上述規律，第五個等式為 ____________.【命題立意】本題考查歸納推理，屬送分題．

【思路點撥】找出等式兩邊底數的規律是解題的關鍵．

【規范解答】由所給等式可得：等式兩邊的冪式指數規律明顯，底數關系如下： 3323332333

321?2?3,1?2?3?6,1?2?3?4?10,即左邊底數的和等于右邊的底數，故第五個等式為：

213?23?33?43?53?63?(1?2?3?4?5?6)2?21.33333321?2?3?4?5?6?21.【答案】

3.（2010·福建高考文科·Ｔ１６）觀察下列等式：

可以推測，m – n + p =.【命題立意】本題主要考查利用合情推理的方法對系數進行猜測求解．

【思路點撥】根據歸納推理可得．

?m?1280?1120?n?p?1?1，?m?n?p?162，【規范解答】觀察得：式子中所有項的系數和為1，9p?10?5?50,m?2?512，?n??400，?m?n?p?962．又

【答案】962

nn4.（2010·浙江高考理科·Ｔ14）設n?2,n?N,(2x?)?(3x?)?a0?a1x?a2x?????anx，12132n

將ak(0?k?n)的最小值記為Tn，則T2?0,T3?

其中Tn=__________________.1111?,T?0,T??,???,Tn,???4523332535-1-

【命題立意】本題考查合情推理與演繹推理的相關知識，熟練掌握相關的推理規則是關鍵． 【思路點撥】觀察Tn的奇數項與偶數項的特點．

11T??333TT?0,T?0T?0n24nn23，【規范解答】觀察表達式的特點可以看出，???當為偶數時，；

T5?

1111

?T??nn55n23，???當n為奇數時，23．

【答案】

5.（2010·北京高考文科·Ｔ20）

已知集合Sn?{XX?(x1,x2,?,xn),xi?{0,1},i?1,2,?,n}(n?2)，對于A?

(a1,a2,...,an)，定義A與B的差為A?，AB?B?a(|??|,…?b?(|?b|,||,|a2a?b|,…|a|na?nbn|);1a1b2bn|);

A與B之間的距離為d(A,B)?

?a

i?1

n

i

?bi.（1）當n=5時，設A?(0,1,0,0,1),B?(1,1,1,0,0)，求A?B，d(A,B).（2）證明：?A,B,C?Sn,有A?B?Sn，且d(A?C,B?C)?d(A,B).（3）證明：?A,B,C?Sn,d(A,B),d(A,C),d(B,C)三個數中至少有一個是偶數.【命題立意】本題屬于創新題，考查了學生運用新知識的能力.本題情景是全新的，對學生的“學習能力”提出了較高要求.要求教師真正重視學生的探究性學習，更加注重學生“學習能力”“創新能力”的培養． 【思路點撥】（1）（2）直接按定義求解證明即可.(3)“至少”問題可采用反證法證明． 【規范解答】（1）

A?B?(0?1,?1,0?1,0?0,?0)

＝3.＝（1,0,1,0,1），d(A,B)?0?1??1?0?1?0?0??0

(2)設

A?(a1,a2,???,an),B?(b1,b2,???,bn),C?(c1,c2,???,cn)?Sn，所以

bi?ai(i?1,2,???,n)

中1的個數為k,ci?ai(i?1,2,???,n)

中1的個數為l，設t是使

bi?ai?ci?ai?1

成立的i的個數，則h?l?k?2t，由此可知，k,l,h三個數不可能都是奇數，即d(A,B),d(A,C),d(B,C)三個數中至少有一個是偶數．

6.（2010·北京高考理科·Ｔ20）已知集合Sn?{XX?(x1,x2,?,xn),xi?{0,1},i?1,2,?,n}(n?2)，對于A?(a1,a2,...,an)，A與B之間的距離為d(A,B)?

定義A與B的差為

?a

i?1

n

i

?bi.（1）證明：?A,B,C?Sn,有A?B?Sn，且d(A?C,B?C)?d(A,B).（2）證明：?A,B,C?Sn,d(A,B),d(A,C),d(B,C)三個數中至少有一個是偶數.(3)設P?Sn，P中有m(m≥2)個元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為d(P).證明：（P）≤

mn

.2(m?1)

【命題立意】本題屬于創新題，考查了學生運用新知識的能力，考查了反證法、不等式證明等知識．本題情景是全新的，對學生的“學習能力”提出了較高要求．要求教師真正重視學生的探究性學習，更加注重學生“學習能力”“創新能力”的培養．

【思路點撥】（1）直接按定義證明即可．（2）“至少”問題可采用反證法證明．(3)把來，再利用基本不等式證明． 【規范解答】（1）設因為從而

A,B?P

?d(A,B)表示出

A?(a1,a2,...,an)，B?(b1,b2,...,bn)，C?(c1,c2,...,cn)?Sn，所以

ai，bi??0,1?|ai?bi|??0,1?(i?1,2,...,n)，A?B?(|a1?b1|,|a2?b2|,...,|an?bn|)?Sn

n

又

d(A?C,B?C)??||ai?ci|?|bi?ci||

i?

1,由題意知當當

ai，bi，ci??0,1?(i?1,2,...,n)

.;,ci?0ci?1

時，||ai?ci|?|bi?ci||?|ai?bi|

時，||ai?ci|?|bi?ci||?|(1?ai)?(1?bi)|?|ai?bi|

n

所以(2)設

d(A?C,B?C)??|ai?bi|?d(A,B)

i?1

.,A?(a1,a2,...,an)，B?(b1,b2,...,bn)，C?(c1,c2,...,cn)?Sn

d(A,B)?k，d(A,C)?l，d(B,C)?h.記

O?(0,0,...,0)?Sn，由（1）可知,d(A,B)?d(O,B?A)?k，d(A,C)?d(O,C?A)?l,d(B,C)?d(B?A,C?A)?h,所以

|bi?ai|(i?1,2,...,n)

中1的個數為k，|ci?ai|(i?1,2,...,n)

中1的個數為l．

設t是使

|bi?ai|?|ci?ai|?1

成立的i的個數，則h?l?k?2t,由此可知，k,l,h三個數不可能都是奇數，即d(A,B),d(A,C),d(B,C)三個數中至少有一個是偶數．

d(P)?

（3）

12Cm

A,B?P

?

d(A,B),其中A,B?P

?d(A,B)

t

表示P中所有兩個元素間距離的總和，設P中所有元素的第i個位置的數字中共有i個1，m?ti個0,則

A,B?P

?d(A,B)?t(m?t)

i

i

n

＝

i?1,m2?(i?1,2,...,n)t(m?t)ii4由于,nmd(A,B)??

4, 所以A,B?P

d(P)?

2Cm

從而nmmn

d(A,B)???2

4Cm2(m?1).A,B?P

【方法技巧】（1）證明“至少有一個??”時，一般采用反證法．

（2）證明不等式時要多觀察形式，適當變形轉化為基本不等式．

7.（2010·江蘇高考·Ｔ23）已知△ABC的三邊長都是有理數，（1）求證：cosA是有理數.（2）求證：對任意正整數n，cosnA是有理數.【命題立意】本題主要考查余弦定理、數學歸納法等基礎知識，考查推理論證的能力與分析問題、解決問題的能力.【思路點撥】（1）利用余弦定理表示cosA，由三邊a,b,c是有理數，求得結論.（2）可利用數學歸納法證明.b2?c2?a

2【規范解答】方法一：（1）設三邊長分別為a,b,c，cosA?，∵a,b,c是有理數，2bcb2?c2?a2是有理數，分母2bc為有理數，又有理數集對于除法具有封閉性，b2?c2?a2∴必為有理數，∴cosA是有理數.2bc

（2）①當n?1時，顯然cosA是有理數；

當n?2時，∵cos2A?2cos2A?1，因為cosA是有理數，∴cos2A也是有理數.②假設當n?k(k?2)時，結論成立，即coskA、cos(k?1)A均是有理數，當n?k?1時，cos(k?1)A?coskAcosA?sinkAsinA，cos(k?1)A?coskAcosA?[cos(kA?A)?cos(kA?A)]，21

1cos(k?1)A?coskAcosA?cos(k?1)A?cos(k?1)A，2

2解得：cos(k?1)A?2coskAcosA?cos(k?1)A，∵cosA，coskA，cos(k?1)A均是有理數，∴2coskAcosA?cos(k?1)A是有理數，∴cos(k?1)A是有理數，即當n?k?1時，結論成立.綜上所述，對于任意正整數n，cosnA是有理數.方法二：（1）由AB，BC，AC為有理數及余弦定理知，AB2?AC2?BC2

是有理數.cosA?

2AB?AC

（2）用數學歸納法證明cosnA和sinA?sinnA都是有理數，①當n?1時，由（1）知cosA是有理數，從而有sinA?sinA?1?cos2A也是有理數.②假設當n?k(k?1)時，coskA和sinA?sinkA都是有理數.當n?k?1時，由cos(k?1)A?cosA?coskA?sinA?sinkA，sinA?sin(k?1)A?sinA?(sinA?coskA?cosA?sinkA)?(sinA?sinA)?coskA?(sinA?sinkA)?cosA，由①和歸納假設，知cos(k?1)A和sinA?sin(k?1)A都是有理數，即當n?k?1時，結論成立.綜合①、②可知，對任意正整數n，cosnA是有理數.

第二篇：2012高考試題分類：推理和證明

推理和證明

1.【2011江西高考理】觀察下列各式：55＝3 125,56＝15 625，57＝78 125，…，則52 011的末四位數字為

()

A．3125B．5625C．0625D．8125 2.【2012高考上海文】若Sn?sin

個數是（）

A、16B、72C、86D、100【答案】C 3.【2011陜西高考理】觀察下列等式

1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49

……

照此規律，第n個等式為__________．

4.【2010陜西高考理】觀察下列等式：1＋2＝31＋2＋3＝61＋2＋3＋4＝10，…，根據上述規

律，第五個等式為__________． ．．．．．5.【2012高考陜西文】觀察下列不等式

1?

?

?sin

2?7

?...?sin

n?7

（n?N?），則在S1,S2,...,S100中，正數的332,3332,33332

?

1?

?

?

53，1?

?

??

1413

??

5314

……

?15

照此規律，第五個不等式為【答案】1?．．．

222

?

?

116

.6.【2102高考福建文20】某同學在一次研究性學習中發現，以下五個式子的值都等于同一個常數。

（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°

（4）sin2（-18°）+cos248°-sin2（-18°）cos248°（5）sin2（-25°）+cos255°-sin2（-25°）cos255°（Ⅰ）試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數

（Ⅱ）根據（Ⅰ）的計算結果，將該同學的發現推廣位三角恒等式，并證明你的結論。

|x|?|y|?2的不同7.【2012高考江西文】觀察下列事實|x|?|y|?1的不同整數解(x,y)的個數為4，整數解(x,y)的個數為8，|x|?|y|?3的不同整數解(x,y)的個數為12 ….則|x|?|y|?20的不同整數解(x,y)的個數為

A.76B.80C.86D.92【答案】B

8.【2012高考湖北】傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常在沙灘上畫點或用小石子表示數．他們研

究過如圖所示的三角形數：

將三角形數1,3,6,10，…記為數列{an}，將可被5整除的三角形數按從小到大的順序組成一個新數列{bn}．可以推測：

(1)b2 012是數列{an}中的第______項；(2)b2k－1＝______.(用k表示)

9.【2012高考湖北文】傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常在沙灘上面畫點或用小石子表示數。他

們研究過如圖所示的三角形數：

將三角形數1,3，6,10，…記為數列{an}，將可被5整除的三角形數按從小到大的順序組成一個新數列{bn}，可以推測：

（1）b2012是數列{an}中的第______項；

（2）b2k-1=______。（用k表示）【答案】（1）5030；（2）

xx?2

5k?5k?1?

10.【2011年高考山東卷理科】設函數f(x)?

xx?2, x3x?4

x7x?8

x15x?16, , ,(x?0),觀察:

f1(x)?f(x)?

f2(x)?f(f1(x))?f3(x)?f(f2(x))?f4(x)?f(f3(x))?

??

根據以上事實，由歸納推理可得：

?

當n?N且n?2時，fn(x)?f(fn?1(x))?11.【2011年高考安徽卷理科】在平面直角坐標系中，如果x與y都是整數，就稱點(x,y)為整點，下列

命題中正確的是_____________（寫出所有正確命題的編號）.①存在這樣的直線，既不與坐標軸平行又不經過任何整點 ②如果k與b都是無理數，則直線y?kx?b不經過任何整點 ③直線l經過無窮多個整點，當且僅當l經過兩個不同的整點

④直線y?kx?b經過無窮多個整點的充分必要條件是：k與b都是有理數 ⑤存在恰經過一個整點的直線

12.【2011年高考湖北卷理科】給n個自上而下相連的正方形著黑色或白色．當n≤4時，在所有不同的著

色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示：

．．．．

由此推斷，當n＝6時，黑色正方形互不相鄰的著色方案共有__________種，至少有兩個黑色正方形．．．．相鄰的著色方案共有__________種．(結果用數值表示)．．

13.觀察下列數字

照此規律，2013在第______行第________列 14.觀察下列數字

照此規律，2013在第______行第________列 15.觀察下列數字

照此規律，第2013個數字是______

第5題第6題

16.【2012高考全國文12】正方形ABCD的邊長為1，點E在邊AB上，點F在邊BC上，AE?BF?

13。

動點P從E出發沿直線向F運動，每當碰到正方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角，當點P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞的次數為

（A）8（B）6（C）4（D）3 【答案】B

17.【2012高考湖南文16】對于n?N?，將n表示為n?ak?2k?ak?1?2k?1???a1?21?a0?20,當i?k

時ai?1，當0?i?k?1時ai為0或1，定義bn如下：在n的上述表示中，當a0,a1，a2，…，ak中等于1的個數為奇數時，bn=1；否則bn=0.（1）b2+b4+b6+b8=__；

（2）記cm為數列{bn}中第m個為0的項與第m+1個為0的項之間的項數，則cm的最大值是___.【答案】（1）3；（2）2.18.【2011高考湖南理】對于n∈N，將n表示為n?a0?2k?a1?2k?1?a2?2k?2???ak?1?21?ak?20，當i＝0時，ai＝1，當1?i?k時，ai為0或1.記I(n)為上述表示中ai為0的個數(例如：1＝1×20，4＝1×22＋0×2＋0×2，故I(1)＝0，I(4)＝2)，則

127

*

(1)I(12)＝______；(2)

?2

n?1

I(n)

?______.19.【2102高考北京文】設A是如下形式的2行3列的數表，滿足性質P：a，b，c，d，e，f∈[-1,1],且a+b+c+d+e+f=0.記ri（A）為A的第i行各數之和（i=1,2），Cj（A）為第j列各數之和（j=1，2，3）；

記k（A）為|r1(A)|, |r2(A)|, |c1(A)|，|c2(A)|，|c3(A)|中的最小值。

對如下數表A，求k（A）的值

設數表A形如

其中-1≤d≤0，求k（A）的最大值；

（Ⅲ）對所有滿足性質P的2行3列的數表A，求k(A)的最大值。

第三篇：2013年全國高考試題分類：推理與證明

第十三章推理與證明

考點一 合情推理與演繹推理

1.(2013湖南,15,5分)對于E={a1,a2,?,a100}的子集X={，?,},定義X的“特征數列”為x1,x2,?,x100,其中==?==1,其余項均為0.例如:子集{a2,a3}的“特征數列”為0,1,1,0,0,?,0.(1)子集{a1,a3,a5}的“特征數列”的前3項和等于;

(2)若E的子集P的“特征數列”p1,p2,?,p100滿足p1=1,pi+pi+1=1,1≤i≤99;E的子集Q的“特征數列”q1,q2,?,q100滿足q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98,則P∩Q的元素個數為

.答案(1)2(2)17

2.(2013陜西,13,5分)觀察下列等式

(1+1)=2×

12(2+1)(2+2)=2×1×

3(3+1)(3+2)(3+3)=2×1×3×

5??

照此規律,第n個等式可為

.答案(n+1)(n+2)?(n+n)=2×1×3×?×(2n-1)

3.(2013湖北,17,5分)在平面直角坐標系中,若點P(x,y)的坐標x,y均為整數,則稱點P為格點.若一個多邊形的頂點全是格點,則稱該多邊形為格點多邊形.格點多邊形的面積記為S,其內部的格點數記為N,邊界上的格點數記為L.例如圖中△ABC是格點三角形,對應的S=1,N=0,L=4.n3

(1)圖中格點四邊形DEFG對應的S,N,L分別是;

(2)已知格點多邊形的面積可表示為S=aN+bL+c,其中a,b,c為常數.若某格點多邊形對應的N=71,L=18,則S=(用數值作答).答案(1)3,1,6(2)79

4.(2013江西,21,14分)設函數f(x)=a為常數且a∈(0,1).(1)當a=時,求f;

(2)若x0滿足f(f(x0))=x0,但f(x0)≠x0,則稱x0為f(x)的二階周期點.證明函數f(x)有且僅有兩個二階周期點,并求二階周期點x1,x2;

(3)對于(2)中的x1,x2,設A(x1, f(f(x1))),B(x2, f(f(x2))),C(a,0),記△ABC的面積為S(a),求S(a)在區間上的最大值和最小值

.解析(1)當a=時, f=,f=f=2=.(2)f(f(x))=

當0≤x≤a時,由x=x解得x=0, 因為f(0)=0,故x=0不是f(x)的二階周期點;

當a

=≠, 222

2故x=為f(x)的二階周期點;

當a

當a-a+1≤x≤1時,由(1-x)=x解得x=∈(a-a+1,1),因f

=·

=≠,故x=為f(x)的二階周期點.因此,函數f(x)有且僅有兩個二階周期點,x1=,x2=.(3)由(2)得

A,B,則S(a)=·,S'(a)=·,因為a∈,a+a<1,所以S'(a)=· =·>0.或令g(a)=a-2a-2a+2,g'(a)=3a-4a-2 =3,因a∈(0,1),g'(a)<0,則g(a)在區間上的最小值為g=>0,故對于任意a∈,g(a)=a-2a-2a+2>0, S'(a)=·>0

則S(a)在區間上單調遞增,故S(a)在區間上的最小值為S=,最大值為S=.考點二 直接證明與間接證明

5.(2013四川,10,5分)設函數f(x)=(a∈R,e為自然對數的底數).若存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立,則a的取值范圍是()

A.[1,e] B.[1,1+e] C.[e,1+e]

D.[0,1]

答案 A 22 22232232

x6.(2013陜西,21,14分)已知函數f(x)=e,x∈R.(1)求f(x)的反函數的圖象上點(1,0)處的切線方程;

(2)證明:曲線y=f(x)與曲線y=x+x+1有唯一公共點;

(3)設a

.解析(1)f(x)的反函數為g(x)=ln x,設所求切線的斜率為k,∵g'(x)=,∴k=g'(1)=1,于是在點(1,0)處切線方程為y=x-1.(2)解法一:曲線y=e與y=x+x+1公共點的個數等于函數φ(x)=e-x-x-1零點的個數.∵φ(0)=1-1=0,∴φ(x)存在零點x=0.xxx又φ'(x)=e-x-1,令h(x)=φ'(x)=e-x-1,則h'(x)=e-1,當x<0時,h'(x)<0,∴φ'(x)在(-∞,0)上單調遞減.當x>0時,h'(x)>0,∴φ'(x)在(0,+∞)上單調遞增.∴φ'(x)在x=0處有唯一的極小值φ'(0)=0,x2x22

即φ'(x)在R上的最小值為φ'(0)=0.∴φ'(x)≥0(僅當x=0時等號成立),∴φ(x)在R上是單調遞增的,∴φ(x)在R上有唯一的零點,故曲線y=f(x)與y=x+x+1有唯一的公共點.解法二:∵e>0,x+x+1>0,∴曲線y=e與y=x+x+1公共點的個數等于曲線y=與y=1公共點的個數,設φ(x)=,則φ(0)=1,即x=0時,兩曲線有公共點.又φ'(x)==≤0(僅當x=0時等號成立),∴φ(x)在R上單調遞減,∴φ(x)與y=1有唯一的公共點,故曲線y=f(x)與y= x+x+1有唯一的公共點.(3)-f

=-==[--(b-a)].設函數u(x)=e--2x(x≥0),則u'(x)=e+-2≥2-2=0,∴u'(x)≥0(僅當x=0時等號成立),∴u(x)單調遞增.當x>0時,u(x)>u(0)=0.令x=,則得--(b-a)>0,∴>f.7.(2013湖北,20,13分)如圖,某地質隊自水平地面A,B,C三處垂直向地下鉆探,自A點向下鉆到A1處發現礦藏,再繼續下鉆到A2處后下面已無礦,從而得到在A處正下方的礦層厚度為A1A2=d1.同樣可得在B,C處正下方的礦層厚度分別為B1B2=d2,C1C2=d3,且d1

(2)在△ABC中,記BC=a,BC邊上的高為h,面積為S.在估測三角形ABC區域內正下方的礦藏儲量(即多面體A1B1C1-A2B2C2的體積V)時,可用近似公式V估=S中·h來估算.已知V=(d1+d2+d3)S,試判斷V估與V的大小關系,并加以證明.2x2x22xx

解析(1)依題意A1A2⊥平面ABC,B1B2⊥平面ABC,C1C2⊥平面ABC,所以A1A2∥B1B2∥C1C2.又A1A2=d1,B1B2=d2,C1C2=d3,且d1

由A1A2⊥平面ABC,MN?平面ABC,可得A1A2⊥MN.而EM∥A1A2,所以EM⊥MN,同理可得FN⊥MN.由MN是△ABC的中位線,可得MN=

BC=a,即為梯形DEFG的高,因此S中=S梯形DEFG

=·=(2d1+d2+d3),即V估=S中·h=(2d1+d2+d3).又S=ah,所以V=(d1+d2+d3)S=(d1+d2+d3).于是V-V估=(d1+d2+d3)-(2d1+d2+d3)=[(d2-d1)+(d3-d1)].由d10,d3-d1>0,故V估

(2)證明:當f(x1)=f(x2)(x1≠x2)時,x1+x2

<0.解析(1)函數f(x)的定義域為(-∞,+∞).f '(x)='e+e=e

=e.當x<0時, f '(x)>0;

當x>0時, f '(x)<0.所以f(x)的單調遞增區間為(-∞,0),單調遞減區間為(0,+∞).(2)當x<1時,由于>0,e>0,故f(x)>0;

同理,當x>1時, f(x)<0.當f(x1)=f(x2)(x1 ≠x2)時,不妨設x1

第四篇：高考文科數學試題分類—推理與證明

高中數學

高考文科試題解析分類匯編：推理和證明

1.【高考全國文12】正方形ABCD的邊長為1，點E在邊AB上，點F在邊BC上，1AE?BF?。動點P從E出發沿直線向F運動，每當碰到正方形的邊時反彈，反彈時反3

射角等于入射角，當點P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞的次數為

（A）8（B）6（C）4（D）3

1151?2?3?，233

11151?2?2?2? 2343……

照此規律，第五個不等式為.．．．

高中數學

【答案】1?

1111111?????.22324252626

1，【解析】觀察不等式的左邊發現，第n個不等式的左邊=1?1?1???

2232?n?1?

右邊=

11111112?n?1??1，所以第五個不等式為1?2?2?2?2?2?．

234566n?1

?

5.【高考湖南文16】對于n?N，將n表示為n?ak?2k?ak?1?2k?1???a1?21a0?20,當i?k時ai?1，當0?i?k?1時ai為0或1，定義bn如下：在n0,a1，a2，…，ak中等于1的個數為奇數時，bn=1；否則bn=0.（1）b2+b4+b6+b8=__；

（2）記cm為數列{bn}中第m個為0的項與第m+1個為0cm是___.【答案】（1）3；（2）2.【解析】（1）觀察知1?a0?20,a0?1,b1?1；2?121?00,1?b2?1； 一次類推3?1?21?1?20,b3?0；4?1?2?0,5?1?22?0?21?1?20,b5?0；2?2106?0，b7?1,b8?1，b2+b4+b6+b8=３；（2）由（1）知cm..6.【高考湖北文17】，…記為數列{an}，將可被5整除的三角形數按從小到大的順序組成{an}中的第______項；（Ⅱ）b2k-1。（用k表示）【答案】（Ⅰ）5030；（Ⅱ）

5k?5k?1?

n(n?1)，寫出其若2

【解析】由以上規律可知三角形數1,3,6,10,…,的一個通項公式為an?

干項有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,發現其中能被5整除的為10,15,45,55,105,110,故b1?a4,b2?a5,b3?a9,b4?a10,b5?a14,b6?a15.從而由上述規律可猜想：b2k?a5k?

5k(5k?1)

（k為正整數），2

(5k?1)(5k?1?1)5k(5k?1)

b2k?1?a5k?1??，22

故b2012?a2?1006?a5?1006?a5030,即b2012是數列{an}中的第5030項.【點評】本題考查歸納推理，猜想的能力.歸納推理題型重在猜想，不一定要證明，但猜想

需要有一定的經驗與能力，不能憑空猜想.來年需注意類比推理以及創新性問題的考查.質，并且，因此，不妨設112，由的定義，(A從)c而k(?1A)r(?1A),k?(A)k3k?1(A)?r1(A?2)c?(A ?)c?(A?)a(?b?(a?b?c?d?e?f)?(a?b?f)?a?b?f?3

因此k(A)?1，由（2）知，存在滿足性質P的數表A，使k(A)?1，故k(A)的最大值為知，1。

8.【高考福建文20】20.（本小題滿分13分）

某同學在一次研究性學習中發現，以下五個式子的值都等于同一個常數。（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°

第五篇：2009年高考數學試題分類——推理與證明

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2009年高考數學試題分類匯編

推理與證明

1、(湖北卷理)10.古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數。比如：

他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數能夠表示成三角形，將其稱為三角形數；類似的，稱圖2中的1，4，9，16，…這樣的數為正方形數。下列數中既是三角形數又是正方形數的是

A.289B.1024C.1225D.1378

10.【答案】C

【解析】【解析】由圖形可得三角形數構成的數列通項a?nn(n?1)，同理可得正方形數構

2n成的數列通項bn?n2，則由bn?n2(n?N?)可排除A、D，又由a?

數，故選C.n(n?1)知an必為奇

22、（江蘇卷）8.在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1：2，則它們的面積比為1：4，類似地，在空間內，若兩個正四面體的棱長的比為1：2，則它們的體積比為.【解析】 考查類比的方法。體積比為1：83、（北京卷理）14．已知數列{an}滿足：a4n?3?1,a4n?1?0,a2n?

a2009?________； ?則an,n?N,版權所有@高考資源網

a2014=_________.【答案】1，0

【解析】本題主要考查周期數列等基礎知識.屬于創新題型.依題意，得a2009?a4?503?3?1，a2014?a2?1007?a1007?a4?252?1?0.∴應填1，0.4、(湖南卷)

15、將正⊿ABC分割成n2（n≥2，n∈N）個全等的小正三角形（圖2，圖3分別給出了n=2,3的情形），在每個三角形的頂點各放置一個數，使位于⊿ABC的三遍及平行于某邊的任一直線上的數（當數的個數不少于3時）都分別一次成等差數列，若頂點A ,B ,C處的三個數互不相同且和為1,記所有頂點上的數之和為f(n)，則有f(2)=2，f(3)= 10，…，f(n)=

31(n+1)(n+2)6

15.【答案】：101,(n?1)(n?2)36

【解析】當n=3時，如圖所示分別設各頂點的數用小寫字母表示，即由條件知a?b?c?1,x1?x2?a?b,y1?y2?b?c,z1?z2?c?a

x1?x2?y1?y2?z1?z2?2(a?b?c)?2,2g?x1?y2?x2?z1?y1?z

26g?x1?x2?y1?y2?z1?z2?2(a?b?c)?2 即g?11110而f(3)?a?b?c?x1?x2?y1?y2?z1?z2?g?1??? 3233

進一步可求得f(4)?5。由上知f(1)中有三個數，f(2)中 有6個數，f(3)中共有10個數相加，f(4)中有15個數相加….，若f(n?1)中有an?1(n?1)個數相加，可得f(n)中有(an?1?n?1)個數相加，且由

363?331045f(1)?1?,f(2)???f(1)?,f(3)??f(2)?,f(4)?5?f(3)?,...3333333

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n?1,所以 3

n?1n?1nn?1nn?13f(n)?f(n?1)??f(n?2)???...?????f(1)3333333

n?1nn?13211??????(n?1)(n?2)=3333336可得f(n)?f(n?1)?

5、(浙江卷)15．觀察下列等式：

1C5?C55?23?2，159C9?C9?C9?27?23，15913C13?C13?C13?C13?211?25，159C1C1?3C7?C1?7C?17171715?217?2，………

由以上等式推測到一個一般的結論：

1594n?1對于n?N，C4n?1?C4n?1?C4n?1???C4n?1?． *

答案：24n?1???1?22n?1

nn【解析】這是一種需類比推理方法破解的問題，結論由二項構成，第二項前有??1?，二項指

數分別為24n?n1?,，2

n因此對于n?N*，1594n?124n?1???1?22n?1 C4n?1?C4n?1?C4n?1???C4n?1?

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