第一篇：華東師范大學離散數學章炯民課后習題第2章答案
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11*2設n>1是奇數，證明n整除(1++?+)(n-1)!2n-1證明：
11+?+)(n-1)!=[(1?1)?(1?1)???(1?1)](n?1)!2n-11n?12n?2
nnn????)(n?1)!n?1n?1n?12(n?2)
111????](n?1)!n?1n?1n?1n?2(1+=(=n[
4求方程963x+657y=(963,657)的所有整數解。
解：
（1）
由輾轉相除法可得到方程的一個解：x0 =-15，y0=22
設(x?,y?)也是一個解，則963x?+657y?=(963,657)
于是963(x?-x0)+657(y?-y0)=0，從而107(x?-x0)=-73(y?-y0)，所以107?73(y?-y0)。又因為(107,73)=1,所以107?(y?-y0)
設(y?-y0)=107k，則(x?-x0)=-73k，從而x?=x0-73k，y?=y0+107k
容易驗證，對于任意整數k，(x0+73k,y0+107k)滿足原方程。
所以，原方程有無窮多個解：x=-15-73k
y=22+107k
其中k=…,-2,-1,0,1,2,…
（2）
963x+657y=(963,657)? 963x-9=-657y
?x,y?Z，963x-9=-657y ? ?x?Z，963x≡9(mod 657)
5．設a、b、c、d是正整數，滿足ab=cd。證明：a4+b4+c4+d4不是素數。證明：設11)(n-1)!∴n整除(1++?+2n-1adp??，其中p和q是互素的正整數 cbq
aq=cp ? p?aq ? p?a（∵p和q互素）
于是，?u?N，使a=pu ? c=qu
同理?v?N，使d=pv ? b=qv
從而，a4+b4+c4+d4=(p4+q4)(u4+v4)? a4+b4+c4+d4不是素數
7團體操表演過程中，要求隊伍在變換成10行、15行、18行、24行時均能成長方形，問需要多少人？
解：
由題意，所求之數為10,15,18,24的倍數，[10,15,18,24]＝360，故需360k(k>0)人。
10證明：如果p,p+2,p+4都是素數，則p=3。
證明：用反證法，假設p≠3。
p,p+1,p+2是3個連續的整數，其中有且僅有一個為3的倍數。
p,p+2是素數，且p≠3 ? p+1是3的倍數
不妨設p+1=3k(k?N)。
于是，p+4=3(k+1)必為合數，與條件矛盾。
所以，p=3
11計算2400 mod 319。
解：
φ(n)=319*(1-1／11)(1-1／29)=280
2400 mod 319=2280·2120mod 319=2120mod 319=(210)12mod 319)=(3*319+67)12 mod 319=(672)6 mod 319=((23)2)3 mod 319=(210)3 mod 319=111
14(2)解同余方程：56x≡88(mod 96)。
解：
（1）(a,m)=(56,96)=8，8|96，方程有解
（2）a?=56/8=7，b?=88/8=11，m?=96/8=12
（3）由輾轉相除法可求得p和q滿足pa?+qm?=1，p=-5，q=3
特解x0=p?b?=-5?11
（4）解為x?-5?11+t?12(mod 96)，t=0,1,?,7 即x≡5,17,29,41,53,65,77,89(mod 96)
16(1)解同余方程組：??x?3(mod5)x?7(mod9)?
解：
m1=5，m2=9，M=45，M1=9，M2=5
9x≡1(mod 5),5x≡1(mod 9),的特解：c1=-1,c2=2原方程組的解：x≡-1×3×9+2×7×5≡43(mod 45)
?5x?7(mod 12)16(2)解同余方程組?7x?1(mod 10)?
解：
5x≡7(mod 12)? 12?(5x-7)? 4?(5x-7)且3?(5x-7)? 5x≡7(mod 4)且5x≡7(mod 3)∴同余方程5x≡7(mod 12)與同余方程組??5x?7(mod 4)同解
?5x?7(mod 3)
?x?3(mod 4)后者可規約為? x?2(mod 3)?
類似地，同余方程7x≡1(mod 10)可規約為同余方程組?
?x?1(mod 2)?x?3(mod 5)
?x?2(mod 3)?x?2(mod 3)??x?3(mod 4)x?3(mod 4)?∴原同余方程組可規約為?，它與同余方程組?同解 ??x?3(mod 5)?x?1(mod 2)
??x?3(mod 5)
?x?2(mod 3)?x?3(mod 4)求解同余方程組?： ?x?3(mod 5)?
m1=3，m2=4，m3=5，M=60，M1=20，M2=15，M3=12
20x≡1(mod 3),15x≡1(mod 4),12x≡1(mod 5)的特解：c1=2,c2=3,c3=3
原同余方程組的解：x≡2×2×20+3×3×15+3×3×12≡80+135+108≡23(mod 60)
*17解同余方程組：
x≡3(mod 8)，x≡11(mod 20)，x≡1(mod 15)。
解：
?x?3(mod 8)?x?3(mod8)?x?11(mod 4)????x?1(mod 3)原同余方程組與同余方程組?x?11(mod 5)同解，后者可規約為?x?1(mod 5)?x?1(mod 5)????x?1(mod 3)
?x?3(mod8)??x?1(mod 3)： 求解同余方程組?x?1(mod 5)?
m1=8，m2=3，m3=5，M=120，M1=15，M2=40，M3=24
15x≡1(mod 8),40x≡1(mod 3),24x≡1(mod 5)的特解：
c1=7,c2=1,c3=4
原同余方程組的解：x≡7×3×15+1×1×40+4×1×24≡351+40+96≡91(mod 120)
19．*設m1和m2是正整數，b1和b2是整數。證明一次同余方程組
x≡b1(mod m1)，x≡b2(mod m2)
有解的充分必要條件是(m1,m2)|(b1-b2)；并且，當此條件成立時，該同余方程組的解可表示為x≡c(mod [m1,m2])，其中0 證明：用反證法，假設p≠3。 （1）? 有解 ? 可設x為一個解 ? m1?x-b1，m2?x-b2 ? ?k1,k2?Z，使x-b1=k1m1, x-b2=k2m2 ? b2-b1=k1m1-k2m2 (m1,m2)|m1,(m1,m2)|m 2 ?(m1,m2)| k1m1-k2m2=(b1-b2) （2）? (m1,m2)|(b1-b2)? ?k,s,t?N，使(b1-b2)=k(m1,m2)=k(sm1+tm2) 容易驗證，x=b1-ksm1是同余方程組的解 ? 有解 （3）容易驗證，?解x，?k?Z，x+k[m1,m2]也是解 ? 結論 補充：編寫一程序實現Miller-Rabin素性測試算法。已知RSA密碼體制的公鑰(e,n)=(5,35)，（1）請按本小節例題所示的方式將明文信息“rsa”加密； （2）請破解出私鑰。 解： （1） 明文信息由26個小寫字母構成，數字化編碼為字母的序號：a?01，r?18，s?19，明文“rsa”?181901 取段長為2，明文” 181901”分為3段：m1=18，m2=19，m3=01 用公鑰(5,35)加密得到3個密文： c1=m1e mod n =185 mod 35=23 c2=m2e mod n =195 mod 35=24 c3=m3e mod n =015 mod 35=01 組合得到密文串：232401 （2） 由公鑰：KU=(e,n)=(5,35)得到n=35的兩個素因數p=5,q=7，?(n)=(p-1)(q-1)=24，e=5(5,24)=1，解同余方程5d≡1(mod 24)，得到唯一解d=5 私鑰： KR=(d,n)=(5,35) 請編寫一個高效的指數取模運算算法 /* exp_mod.c handle the Modexp calculation((a^p)%m)using Montgomery algorithm(O(logn))*/ #include int expmod(int a, int p, int m){ int r; int k; if(p==0)return 1; r=a%m; k=1; while(p>1){ if((p&1)!=0) k=(k*r)%m; r=(r*r)%m; p>>=1; } return(r*k)%m; } void main() { int a,b,c,r; scanf(“%d%d%d”,&a,&b,&c); r=expmod(a,b,c); printf(“(%d^%d)%%%d=%dn”,a,b,c,r); //getch(); } 編寫一程序實現Miller-Rabin素性測試算法 #include #include int powmod(int i,int d,int n)//模n的大數冪乘快速算法 { int c = 1;//c為余數，保存每次模后的數 while(d == 0) { if(d % 2 == 0){d = d / 2;i =(i * i)% n;}//d是偶數，就先求i平方的模 else {d--;c =(c * i)% n;}//d是奇數，就與上一次的模相乘后在求模 } return c;//d為0，只能通過d--，所以返回的必是c } void main() { int i = 2,d,n; d = n1){printf(“是素數”);break;} //如果模為n-1也結束，因為只有當模為1時才能不斷地把d折半 } else {printf(“ 不是素數”);printf(“%d”,powmod(i,d,n));break;}//如果在d折半的過程中出現的powmod不是1或n-1的話就結束 } if(d == 1)printf(“是素數”);//如果d一直都能折半到1，也為素數 //getch(); } 1.下列語句哪些是命題？（1）2是正數嗎？（2）x2+x+1=0。（3）我要上學。 （4）明年2月1日下雨。 （5）如果股票漲了，那么我就賺錢。 解： (1)不是(2)不是(3)不是(4)是(5)是 2.判斷下列命題的真值：（1）若1+1=3，則2+2=4（2）若鳥會飛，則 1+1=3 解： (1)1(2)0 11.將下列兩個命題符號化，并分別用真值表和等值演算的方法證明所得到的那兩個命題公式是等值的。 （1）你不會休息所以就不會工作，你沒有豐富的知識所以你就不會工作；（2）你會工作所以一定會休息并具有豐富的知識。解： 設p：你會休息，q:你會工作，r:你有豐富的知識。原命題符號化為(1)(?p??q)?(?r??q)(2)q?(p?r) 12.（1）用等值演算的方法證明命題恒等式p?(q?p)=?p?(p??q)。 13.構造一個只含命題變量p、q和r的命題公式A，滿足：p、q和r的任意一個賦值是A的成真賦值當且僅當p、q和r中恰有兩個為真。解：(p?q??r)?(p??q?r)?(?p?q?r) 14.通過等值演算求p?(p?(q?p))的主析取范式和主合取范式。解： 主析取范式：(?p?q)?(?p??q)?(p??q)?(p?q)主合取范式不存在 15.一教師要從3名學生A、B和C中選派1～2人參加市級科技競賽，需滿足以下條件：（1）若A去，則C同去；（2）若B去，則C不能去； （3）若C不去，則A或B可以去。 問該如何選派？ 解：為此問題建立數學模型。 有三個方案：僅C去，僅B去，僅A和C去 16.證明{?,?}是功能完備集。 17.（1）證明p?(q?s),q,p??r?r?s。證明： ① p??r 前提引入 ② r 附加前提引入 ③ p ①②析取三段 ④ p?(q?s) 前提引入 ⑤ q?s ③④假言推理 ⑥ q 前提引入 ⑦ s ⑤⑥假言推理 19.構造下列推理的形式證明： “今天下午沒有出太陽并且今天比昨天冷。只有今天下午出太陽，我們才去游泳。若我們不去游泳，則我們乘獨木舟游覽。若我們乘獨木舟游覽，則我們在黃昏時回家。所以，我們在黃昏時回家?！?解： 設p: 今天下午出太陽,q: 今天比昨天冷,r: 我們去游泳m: 我們乘獨木舟游覽, n: 我們在黃昏時回家 命題符號化為： 前提：?p?q,r?p, ?r?m,m?n 結論：n 證明： ① ?p?q 前提引入 ② ?p ①化簡 ③ r?p 前提引入 ④ ?r ②③拒取式 ⑤ ?r?m 前提引入 ⑥ m ④⑤假言推理 ⑦ m?n 前提引入 ⑧ n ⑥⑦假言推理 補充： 1.將當當網的圖書高級搜索符號化：http://search.dangdang.com/AdvanceSearch/AdvanceSearch.aspx?c=0 解：p:書名q:著譯者r:ISBN s:折扣t:定價u:當當價v:出版時間w:出版時間 符號化為：p?q?r?s?t?u?v?w 2.請將語句“除非你已滿16周歲，否則只要你身高不足1.2米就不能乘公園的滑行鐵道”。解： 設p:你已滿16歲，q:你身高足1.2米，r:你能乘公園的滑行鐵道 命題符號化為：(?p??q)??r 3.p、q、r為如下命題： p：你得流感了 q：你錯過了最后的考試 r：這門課你通過了 請用自然語言表達命題(p??r)?(q??r)。解： （1）如果你得流感了，你就不能通過這門課；或者你錯過了最后的考試，你也不能通過這門課。（2） 如果你得流感了并且錯過了最后的考試，那么你就不能通過這門課。 P10 1 對下面每個集合，判斷2和{2}是否它的一個元素。 (1){x?R | x是大于1的整數} (2){x?R | x是某些整數的平方} (3){2, {2}} (4){{2},{{2}}} (5){{2}, {2,{2}}} (6){{{2}}} 解： {2}是(3)，(4)，(5)的元素。2是(1)，(3)的元素。下列哪些命題成立？哪些不成立？為什么？ （1）??{?,{?}} （2）? ?{?,{?}}（3）{?}?{?,{?}}（4）{{?}}?{?,{?}} 解： （1） 成立（2）成立（3）成立（4）成立 設A集合={a,b,{a,b},?}。下列集合由哪些元素組成？ (1)A-{a,b};(2){{a.b}}-A;(3){a,b}-A;(4)A--?;(5)?-A;(6)A-{?}.解： (1){{a,b},?}(2)?(3)?(4)A(5)? (6){a,b,{a,b}} 假定A是ECNU二年級的學生集合，B是ECNU必須學離散數學的學生的集合。請用A和B表示ECNU不必學習離散數學的二年級的學生的集合。解：A∩B 設A,B和C是任意集合，判斷下列命題是否成立，并說明理由。(1)若A?B,C?D，則A∪C?B∪D,A∩C?B∩D；(2)若ADB,CDD，則A∪CDB∪D,A∩CDB∩D；(3)若A∪B=A∪C，則B=C；(4)若A∩B=A∩C，則B=C； 解： (1)成立 (2)不一定成立(3)不一定成立(4)不一定成立 11（5）設A、B和C是集合，請給出(A-B)?(A-C)=?成立的充要條件。 解：錯誤！未找到引用源。A?B∪C 試求： (1)P(?);(2)P(P(?));(3)P({?,a,{a}})解： (1){?}(2){?，{?}}(3){?，{?}，{a}，{{a}}} 設A是集合，下列命題是否必定成立?（1）A?P(A)（2）A?P(A)（3）{A}?P(A)（4）{A}?P(A)解： (1)成立 (2)不一定成立(3)不一定成立(4)成立 設A＝{a,b}，B={b,c},下列集合由哪些元素組成？(1)A×{a}×B;(2)P(A)×B;(3)(B×B)×B;解： (1){(a,a,b),(a,a,c),(b,a,b),(b,a,c)}(2){(?,c),(?,b),({a},c),({a},b),(,c),(,b),({a,b},c),({a,b},b)}(3){((b,b),c),((b,b),b),((b,c),c),((b,c),b),((c,b),c),((c,b),b),((c,c),c),((c,c),b)} 設A是任意集合，A3=(A×A)×A=A×(A×A)是否成立？為什么？ 解：不成立。22 證明證明： ?x,x???B??B?A????B?A? ?A??x?A????B?A?????B,x?A?????B,x?A??x???B?A? 綜上，??B???B?A? n-1*24 ?n?N，An是集合，令Bn=An-∪Ak。證明： k=1（1）?i,j∈N，i≠j，Bi∩Bj=?（2）?An=?Bn n∈Nn∈N證明：（1）?i,j∈N, i≠j，不妨設i k?1k?1111(A1喬LAi-1喬AiAi+1 LAj-1) n-1Bn=An-UAkk=1? Bn?An ??An??Bn n?Nn?N?x，x∈UAn?錯誤！未找到引用源。?n∈N,使x∈An n?N設n0為滿足x∈An的最小的自然數 n0-1n0-1k于是x∈An,x?0k=1UA?x ?Bn0An0-k=1UAk尬xn NUBn 所以UAnín撾NnUBnN綜上，?An=?Bn n?Nn?N 以1開頭或者以00結束的不同的字節（8位的二進制串）有多少個? 解：27+26-25=160 補充：用謂詞表示法給出集合{-3，-2，-1，0，1，2，3}。解：{x||x|<4 ? x?Z} 第一章部分課后習題參考答案 設p、q的真值為0；r、s的真值為1，求下列各命題公式的真值。 （1）p∨(q∧r)? 0∨(0∧1)?0（2）（p?r）∧(﹁q∨s)?（0?1）∧(1∨1)?0∧1?0.（3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r)?（1∧1∧1）?(0∧0∧0)?0(4)（?r∧s）→(p∧?q)?（0∧1）→(1∧0)?0→0?1 17．判斷下面一段論述是否為真：“?是無理數。并且，如果3是無理數，則2也是無理數。另外，只有6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: ?是無理數 q: 3是無理數 0 r: 2是無理數 s: 6能被2整除t: 6能被4整除 0 命題符號化為： p∧(q→r)∧(t→s)的真值為1，所以這一段的論述為真。19．用真值表判斷下列公式的類型：（4）(p→q)→(?q→?p)（5）(p∧r)?(?p∧?q)（6）((p→q)∧(q→r))→(p→r)答： （4） p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 所以公式類型為永真式 （5）公式類型為可滿足式（方法如上例）（6）公式類型為永真式（方法如上例） 第二章部分課后習題參考答案 3.用等值演算法判斷下列公式的類型，對不是重言式的可滿足式，再用真值表法求出成真賦值.1(1)?(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1 所以公式類型為永真式 (3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 所以公式類型為可滿足式 4.用等值演算法證明下面等值式：(2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r))(4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q)∧?(p∧q)證明（2）(p→q)∧(p→r)?(?p∨q)∧(?p∨r)??p∨(q∧r))?p→(q∧r)（4）(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q))∧(?q∨(?p∧q)?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p)∧(?q∨q)?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q)5.求下列公式的主析取范式與主合取范式，并求成真賦值 (1)(?p→q)→(?q∨p)(2)?(p→q)∧q∧r(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)解： （1）主析取范式 (?p→q)→(?q?p)?????(p?q)?(?q?p)(?p??q)?(?q?p)(?p??q)?(?q?p)?(?q??p)?(p?q)?(p??q)(?p??q)?(p??q)?(p?q)?m0?m2?m3 ?∑(0,2,3)主合取范式： (?p→q)→(?q?p)???(p?q)?(?q?p)(?p??q)?(?q?p)?(?p?(?q?p))?(?q?(?q?p))?1?(p??q)?(p??q)? M1 ?∏(1)(2)主合取范式為： ?(p→q)?q?r??(?p?q)?q?r ?(p??q)?q?r?0 所以該式為矛盾式.主合取范式為∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式為 0(3)主合取范式為： (p?(q?r))→(p?q?r)??(p?(q?r))→(p?q?r)??(?p?(?q??r))?(p?q?r)(?p?(p?q?r))?((?q??r))?(p?q?r))?1?1 ?1 所以該式為永真式.永真式的主合取范式為 1 主析取范式為∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分課后習題參考答案 14.在自然推理系統P中構造下面推理的證明：(2)前提：p?q,?(q?r),r 結論：?p(4)前提：q?p,q?s,s?t,t?r 結論：p?q 證明：（2） ①?(q?r)前提引入 ②?q??r ①置換 ③q??r ②蘊含等值式 ④r 前提引入 ⑤?q ③④拒取式 ⑥p?q 前提引入 ⑦￢p（3）⑤⑥拒取式 證明（4）： ①t?r 前提引入 ②t ①化簡律 ③q?s 前提引入 ④s?t 前提引入 ⑤q?t ③④等價三段論 ⑥（q?t）?(t?q)⑤ 置換 ⑦（q?t）⑥化簡 ⑧q ②⑥ 假言推理 ⑨q?p 前提引入 ⑩p ⑧⑨假言推理(11)p?q ⑧⑩合取 15在自然推理系統P中用附加前提法證明下面各推理： 4(1)前提：p?(q?r),s?p,q 結論：s?r 證明 ①s 附加前提引入 ②s?p 前提引入 ③p ①②假言推理 ④p?(q?r)前提引入 ⑤q?r ③④假言推理 ⑥q 前提引入 ⑦r ⑤⑥假言推理 16在自然推理系統P中用歸謬法證明下面各推理： (1)前提：p??q,?r?q,r??s 結論：?p 證明： ①p 結論的否定引入 ②p?﹁q 前提引入 ③﹁q ①②假言推理 ④￢r?q 前提引入 ⑤￢r ④化簡律 ⑥r?￢s 前提引入 ⑦r ⑥化簡律 ⑧r?﹁r ⑤⑦ 合取 由于最后一步r?﹁r 是矛盾式,所以推理正確. 第六章部分課后習題參考答案 5.確定下列命題是否為真： （1）??? 真 （2）??? 假（3）??{?} 真 （4）??{?} 真（5）｛a,b｝?｛a,b,c,｛a,b,c｝｝ 真（6）｛a,b｝?｛a,b,c,｛a,b｝｝ 真（7）｛a,b｝?｛a,b,｛｛a,b｝｝｝ 真（8）｛a,b｝?｛a,b,｛｛a,b｝｝｝ 假 6．設a,b,c各不相同，判斷下述等式中哪個等式為真:（1）｛｛a,b｝，c,?｝ =｛｛a,b｝,c｝ 假（2）｛a ,b,a｝=｛a,b｝ 真（3）｛｛a｝，｝=｛｛a,b｝｝ 假（4）｛?，｛?｝，a,b｝=｛｛?,｛?｝｝,a,b｝ 假 8．求下列集合的冪集： （1）｛a,b,c｝ P(A)={ ?,{a},,{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}（2）｛1，｛2，3｝｝ P(A)={ ?, {1}, {{2,3}}, {1，{2，3}} }（3）｛?｝ P(A)={ ?, ｛?｝ } （4）｛?，｛?｝｝ P(A)={ ?, {1}, {{2,3}}, {1，{2，3}} } 14．化簡下列集合表達式：（1）（A?B）?B）-（A?B）（2）（（A?B?C）-（B?C））?A 解:(1)（A?B）?B）-（A?B）=（A?B）?B）?～（A?B） =（A?B）?～（A?B）)?B=??B=? （2）（（A?B?C）-（B?C））?A=（（A?B?C）?～（B?C））?A =（A?～（B?C））?（（B?C）?～（B?C））?A =（A?～（B?C））???A=（A?～（B?C））?A=A 18．某班有25個學生，其中14人會打籃球，12人會打排球，6人會打籃球和排球，5人會打籃球和網 球，還有2人會打這三種球。已知6個會打網球的人都會打籃球或排球。求不會打球的人數。解: 阿A={會打籃球的人}，B={會打排球的人}，C={會打 |A|=14, |B|=12, |A?B|=6,|A?C|=5,| A?B?C|=2, 如圖所示。 25-(5+4+2+3)-5-1=25-14-5-1=5 不會打球的人共5人 21.設集合A＝{{1，2}，{2，3}，{1，3},{?}},計算下列表達式：（1）?A（2）?A（3）??A（4）??A 解:（1）?A={1，2}?{2，3}?{1，3}?{?}={1，2，3,?} （2）?A={1，2}?{2，3}?{1，3}?{?}=? （3）??A=1?2?3??=? （4）??A=? 27、設A,B,C是任意集合，證明(1)(A-B)-C=A-B?C(2)(A-B)-C=(A-C)-(B-C)證明 (1)(A-B)-C=(A?～B)?～C= A?(～B?～C)= A?～(B?C)=A-B?C(2)(A-C)-(B-C)=(A?～C)?～(B ?～C)=(A?～C)?(～B?C)=(A?～C?～B)?(A?～C?C)=(A?～C?～B)?? = A?～(B?C)=A-B?C 由（1）得證。 網球的人} |C|=6,C?A?B 第七章部分課后習題參考答案 7.列出集合A={2,3,4}上的恒等關系I A,全域關系EA,小于或等于關系LA,整除關系DA.解：IA ={<2，2>,<3,3>,<4,4>} EA={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<3,2>,<3,3>,<4,2>,<4,3>} LA={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>} DA={<2,4>} 13.設A={<1,2>,<2,4>,<3,3>} B={<1,3>,<2,4>,<4,2>} 求A?B,A?B, domA, domB, dom(A?B), ranA, ranB, ran(A?B), fld(A-B).解：A?B={<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>,<4,2>} A?B={<2,4>} domA={1,2,3} domB={1,2,4} dom(A∨B)={1,2,3,4} ranA={2,3,4} ranB={2,3,4} ran(A?B)={4} A-B={<1,2>,<3,3>}，fld(A-B)={1,2,3} 14.設R={<0,1><0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>} 求R?R, R-1, R?{0,1,}, R[{1,2}] 解：R?R={<0,2>,<0,3>,<1,3>} R-1,={<1,0>,<2,0>,<3,0>,<2,1>,<3,1>,<3,2>} R?{0,1}={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>} R[{1,2}]=ran(R|{1,2})={2,3} 16．設A={a,b,c,d}，R1，R2為A上的關系，其中 R1=?a,a,a,b,b,d? R2??a,d,b,c,b,d,c,b23求R1?R2,R2?R1,R1,R2。? 解: R1?R2={ 36．設A={1，2，3，4}，在A?A上定義二元關系R，? 任意的 任意的 ∴R是A×A上的等價關系 (2)∏={{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>}, {<2,1>,<3,2>,<4,3>}, {<3,1>,<4,2>}, {<4,1>}, {<1,2>,<2,3>,<3,4>}, {<1,3>,<2,4>}, {<1,4>} }第二篇：華東師范大學離散數學章炯民課后習題第3章答案
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第四篇：離散數學課后習題答案
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