第一篇：高二數學圓的一般方程教案 人教版

高二數學圓的一般方程教案 人教版

一、教學目標

(一)知識教學點

使學生掌握圓的一般方程的特點；能將圓的一般方程化為圓的標準方程從而求出圓心的坐標和半徑；能用待定系數法，由已知條件導出圓的方程．

(二)能力訓練點

使學生掌握通過配方求圓心和半徑的方法，熟練地用待定系數法由已知條件導出圓的方法，熟練地用待定系數法由已知條件導出圓的方程，培養學生用配方法和待定系數法解決實際問題的能力．

(三)學科滲透點

通過對待定系數法的學習為進一步學習數學和其他相關學科的基礎知識和基本方法打下牢固的基礎．

二、教材分析

1．重點：(1)能用配方法，由圓的一般方程求出圓心坐標和半徑；(2)能用待定系數法，由已知條件導出圓的方程．

(解決辦法：(1)要求學生不要死記配方結果，而要熟練掌握通過配方求圓心和半徑的方法；(2)加強這方面題型訓練．)

2．難點：圓的一般方程的特點．

(解決辦法：引導學生分析得出圓的一般方程的特點，并加以記憶．)

3．疑點：圓的一般方程中要加限制條件D2+E2-4F＞0．

(解決辦法：通過對方程配方分三種討論易得限制條件．)

三、活動設計 講授、提問、歸納、演板、小結、再講授、再演板．

四、教學過程

(一)復習引入新課

前面，我們已討論了圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2，現將展開可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可見，任何一個圓的方程都可以寫成x2+y2+Dx+Ey+F=0．請大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲線是不是圓？下面我們來深入研究這一方面的問題．復習引出課題為“圓的一般方程”．

(二)圓的一般方程的定義

1．分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的軌跡

將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左邊配方得：(1)

(1)當D2+E2-4F＞0時，方程(1)與標準方程比較，可以看出方程

第二篇：人教版圓的一般方程教案

圓的一般方程

一、教學目標

1．討論并掌握圓的一般方程的特點，并能將圓的一般方程化為圓的標準方程，從而求出圓心的坐標和半徑．

2．能分析題目的條件選擇圓的一般方程或標準方程解題，解題過程中能分析和運用圓的幾何性質．

二、教學重點與難點

圓的一般方程的探求過程及其特點是教學重點；根據具體條件選用圓的方程為教學難點．

三、教學過程

（一）復習并引入新課

師：請大家說出圓心在點(a，b)，且半徑是r的圓的方程． 生：(x－a)2+(y－b)2=r2．

師：以前學習過直線，直線方程有哪幾種？

生：直線方程有點斜式、斜截式、兩點式、截距式和一般式． 師：直線方程的一般式是Ax+By+C=0嗎？ 生A：是的．

生B：缺少條件A2+B2≠0．

師：好！那么圓的方程有沒有類似“直線方程的一般式”那樣的“一般方程”呢？

(書寫課題：“圓的一般方程”的探求)1

（二）探索新知

師：圓是否有一般方程？這是個未解決的問題，我們來探求一下．大家知道，我們認識一般的東西，總是從特殊入手．如探求直線方程的一般形式就是通過把特殊的公式(點斜式，兩點式……)展開整理而得到的．想求圓的一般方程，怎么辦？ 生：可仿照直線方程試一試！把標準形式展開，整理得

x2+y2－2ax－2by+a2+b2－r2=0．令D=－2a，E=－2b，F=a2+b2－r2，有：x2+y2+Dx+Ey+F=0(*)師：從(*)式的得來過程可知，只要是圓的方程就可以寫成(*)的形式．那么能否下結論：x2+y2+Dx+Ey+F=0就是圓的方程？ 生A：不一定．還得考慮：x2+y2+Dx+Ey+F=0能否寫成標準形式．

生B：也可以像直線方程一樣，要有一定條件． 師：那么考慮考慮怎樣去尋找條件？ 生：配方．

師；請大家動手做，看看能否配成標準形式？

(放手讓同學討論，教師適當指導，然后由同學說，教師板書．)

22將（*）式配方得:??D??E?D2?E2?4F?x?2?????y?2???4.???

1．當D2+E2－4F＞0時，比較(△)式和圓的標準方程知：(*)式表示以

??DE1??2,??2??為圓心，2D2?E2?4F為半徑的圓；

2.當D2?E2?4F?0時，???式只有實數解x??D2,y??E2，即???式表示一個點??D??2，?E?2???有時也叫點圓?3.當D2+E2－4F＜0時，(*)式沒有實數解，因而它不表示任何圖形．

教師總結：當D2+E2－4F＞0時，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫圓的一般方程．

師：圓的一般方程有什么特點？ 生A：是關于x、y的二元二次方程． 師：剛才生A的說法對嗎？

生B：不全對．它是關于x、y的特殊的二元二次方程． 師：特殊在什么地方？

(通過爭論與舉反例后，由教師總結)師：1．x2，y2系數相同，且不等于零． 2．沒有xy這樣的二次項．

(追問)：這兩個條件是“方程Ax2+By2+Dx+Ey+F=0表示圓”的什么條件？ 生：必要條件． 師：還缺什么？ 生：D2+E2－4F＞0．

練習：判斷以下方程是否是圓的方程： ①x2+y2－2x+4y－4=0 3

②2x2+2y2－12x+4y=0 ③x2+2y2－6x+4y－1=0 ④x2+y2－12x+6y+50=0

三、應用舉例

師：先請大家比較一下圓的標準方程(x－a)2+(y－b)2=r2與一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在應用上各有什么優點？

生：標準方程的幾何特征明顯——能看出圓心、半徑；一般方程的優點是能從一般的二元二次方程中找出圓的方程． 師：怎樣判斷用“一般方程”表示的圓的圓心、半徑．

DE?1生：圓心???，r?D2?E2?4F.??，?22?2生B：不用死記，配方即可．

師：兩種形式的方程各有特點，我們應對具體情況作具體分析、選擇． 四．例題講解

例1．求過三點O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圓的方程；

分析：由于O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)不在同一條直線上，因此經過O,M1,M2三點有唯一的圓．

解：法一：設圓的方程為x2?y2?Dx?Ey?F?0，∵O,M1,M2三點都在圓上，∴O,M1,M2三點坐標都滿足所設方程，把O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)代入所設方程，4

?F?0?得：?D?E?F?2?0

?4D?2E?F?20?0??D??8?解之得：?E?6

?F?0?所以，所求圓的方程為x2?y2?8x?6y?0．

法二：也可以求OM1和OM2中垂線的交點即為圓心，圓心到O的距離就是半徑也可以求的圓的方程：x2?y2?8x?6y?0．

法三：也可以設圓的標準方程：(x?a)2?(y?b)2?r2將點的坐標代入后解方程組也可以解得(x?4)2?(y?3)2?25

五、小結

注意一般式的特點：1°x2，y2系數相等且不為零；2°沒有xy這樣的項；3°D2+E2－4F＞0．另外，大家考慮：D2+E2－4F有點像什么？像判別式，它正是方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否是圓的方程的判別式．如D、E確定了，則與F的變化有關．

六、作業：

1.求下列各圓的圓心坐標和半徑： ①x2+y2－2x－5=0 ②x2+y2+2x－4y－4=0 ③x2+y2+2ax＝0 ④x2+y2－2by－2b2＝0

七、教學反思

這是一節介紹新知識的課，而且這節課還非常有利于展現知識的形成過程．因此，在設計這節課時，力求“過程、結論并重；知識、能力、思想方法并重”.6

第三篇：高二數學圓教案

競賽講座09

－圓

基礎知識

如果沒有圓，平面幾何將黯然失色．

圓是一種特殊的幾何圖形，應當掌握圓的基本性質，垂線定理，直線與圓的位置關系，和圓有關的角，切線長定理，圓冪定理，圓和圓的位置關系，多邊形與圓的位置關系．

圓的幾何問題不是獨立的，它與直線形結合起來，將構成許多豐富多彩的、漂亮的幾何問題，“三角形的心”，“幾何著名的幾何定理”，“共圓、共線、共點”，“直線形” 將構成圓的綜合問題的基礎．

本部分著重研究下面幾個問題： 1．角的相等及其和、差、倍、分； 2．線段的相等及其和、差、倍、分； 3．二直線的平行、垂直； 4．線段的比例式或等積式； 5．直線與圓相切；

6．競賽數學中幾何命題的等價性．

命題分析

例1．已知A為平面上兩個半徑不等的⊙O1和⊙O2的一個交點，兩圓的外公切線分別為P1P2,Q1Q2，M1、M2分別為P1Q1、P2Q2的中點，求證：?O1AO2??M1AM2．

例2．證明：唯一存在三邊長為連續整數且有一個角為另一個角的兩倍的三角形． 例3．延長AB至D，以AD為直徑作半圓，圓心為H，G是半圓上一點，?ABG為銳角．E在線段BH上，Z在半圓上，EZ∥BG，且EH?ED?EZ，BT∥HZ．求證：

21?TBG??ABG．

3例4．求證：若一個圓外切四邊形有兩條對邊相等，則圓心到另外兩邊的距離相等． 例5．設?A是△ABC中最小的內角，點B和C將這個三角形的外接圓分成兩段弧，U是落在不含A的那段弧上且不等于B與C的一個點，線段AB和AC的垂直平分線分別交線段AU于V和W，直線BV和CW相交于T．證明：AU?TB?TC．

例6．菱形ABCD的內切圓O與各邊分別切于E,F,G,H，在EF與GH上分別作⊙O切線交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求證：MQ∥NP．

例7．⊙O1和⊙O2與△ABC的三邊所在直線都相切，E,F,G,H為切點，并且EG,FH的延長線交于點P．求證：直線PA與BC垂直．

例8．在圓中，兩條弦AB,CD相交于E點，M為弦AB上嚴格在E、B之間的點．過

⌒⌒D,E,M的圓在E點的切線分別交直線BC、AC于F,G．已知

AMCE?t，求（用t表ABEF示）．

例9．設點D和E是△ABC的邊BC上的兩點，使得?BAD??CAE．又設M和N分

1111???． MBMDNCNE例10．設△ABC滿足?A?90?，?B??C，過A作△ABC外接圓W的切線，交直線BC于D，設A關于直線BC的對稱點為E，由A到BE所作垂線的垂足為X，AX的中點為Y，BY交W于Z點，證明直線BD為△ADZ外接圓的切線． 別是△ABD、△ACE的內切圓與BC的切點．求證：例11．兩個圓?1和?2被包含在圓?內，且分別現圓?相切于兩個不同的點M和N．?1經過?2的圓心．經過?1和?2的兩個交點的直線與?相交于點A和B，直線MA和直線MB分別與?1相交于點C和D．求證：CD與?2相切．

例12．已知兩個半徑不相等的⊙O1和⊙O2相交于M、N兩點，且⊙O1、⊙O2分別與⊙O內切于S、T兩點．求證：OM?MN的充要條件是S、N、T三點共線．

例13．在凸四邊形ABCD中，AB與CD不平行，⊙O1過A、B且與邊CD相切于點P，⊙O2過C、D且與邊AB相切于點Q．⊙O1和⊙O2相交于E、F，求證：EF平分線段PQ的充要條件是BC∥AD．

例14．設凸四邊形ABCD的兩條對角線AC與BD互相垂直，且兩對邊AB與CD不平行．點P為線段AB與CD的垂直平分線的交點，且在四邊形的內部．求證：A、B、C、D四點共圓的充要條件為S?PAB?S?PCD．

訓練題

1．△ABC內接于⊙O，?BAC?90?，過B、C兩點⊙O的切線交于P，M為BC的中點，求證：（1）AM?cos?BAC；（2）?BAM??PAC． AP⌒⌒⌒CA,AB的中點，BC2．已知A?,B?,C?分別是△ABC外接圓上不包含A,B,C的弧BC，分別和C?A?、A?B?相交于M、N兩點，CA分別和A?B?、B?C?相交于P、Q兩點，AB分別和B?C?、C?A?相交于R、S兩點．求證：MN?PQ?RS的充要條件是△ABC為等邊三角形．

CA分別 交于點D和E，3．以△ABC的邊BC為直徑作半圓，與AB、過D、E作BC的垂線，垂足分別為F、G．線段DG、EF交于點M．求證：AM?BC．

?C內的旁切圓與AB相切于E，4．在△ABC中，已知?B內的旁切圓與CA相切于D，過DE和BC的中點M和N作一直線，求證：直線MN平分△ABC的周長，且與?A的平分線平行．

5．在△ABC中，已知，過該三角形的內心I作直線平行于AC交AB于F．在BC邊上取點P使得3BP?BC．求證：?BFP?1?B． 26．半圓圓心為O，直徑為AB，一直線交半圓于C,D，交AB于M（MB?MA,MC?MD）．設K是△AOC與△DOB的外接圓除點O外之另一交點．求證：?MKO為直角 ．

7．已知，AD是銳角△ABC的角平分線，?BAC??，?ADC??，且co?s?co2s?．求證：AD2?BD?DC．

8．M為△ABC的邊AB上任一點，r1,r2,r分別為△AMC、△BMC、△ABC的內切圓半徑；?1,?2,?分別為這三個三角形的旁切圓半徑（在?ACB內部）．

求證：r1?1?2?r2?r?．

9．設D是△ABC的邊BC上的一個內點，AD交△ABC外接圓于X，P、Q是X分別到AB和AC的垂足，O是直徑為XD的圓．證明：PQ與⊙O相切當且僅當AB?AC．

10．若AB是圓的弦，M是AB的中點，過M任意作弦CD和EF，連CD,DE分別交AB于X,Y，則MX?MY．

11．設H為△ABC的垂心，P為該三角形外接圓上的一點，E是高BH的垂足，并設PAQB與PARC都是平行四邊形，AQ與BR交于X．證明：EX∥AP．

12．在△ABC中，?C的平分線分別交AB及三角形的外接圓于D和K，I是內切圓圓心．證明：（1）111CIID????1． ；（2）IDIKCIIDIK

第四篇：數學教案(圓的一般方程)

教學簡案

【課

題】圓的一般方程 【教學目標】

1、知識目標：（1）在掌握圓的標準方程的基礎上，理解記憶圓的一般方程的代數特征，由圓的一般方程確定圓的圓心和半徑，掌握方程x2?y2?Dx?Ey?F?0表示圓的條件；

（2）能通過配方等手段，把圓的一般方程化為圓的標準方程，能用待定系數法求圓的方程。

（3）利用圓的方程解決與圓有關的實際問題。

2、能力目標：通過對方程x2?y2?Dx?Ey?F?0表示圓的條件的探索，培養學生探索、發現及分析解決問題的實際能力。

3、情感目標：滲透數形結合、化歸與轉化等數學思想方法，提高學生的整體素質，激勵學生創新，勇于探索。

【教學重點】圓的一般方程的代數特征，一般方程與標準方程間互化，根據已知條件確定方程中的系數D、E、F。

【教學難點】對圓的一般方程的認識、掌握和應用。【教學方法】講授法，分析法。【教學用具】多媒體輔助教學 【教學流程】

一、情景創設 問題1：

在平面直角坐標系中，以C(a,b)為圓心，r為半徑的圓的方程是什么？

問題2：

將圓的標準方程展開整理后，能發現哪些特征？（尋找新知識的生長點）

結論：（多媒體顯示）

將(x?a)2?(y?b)2?r2 展開得x2?y2?2ax?2by?a2?b2?r2?0，我們發現任何圓都能表示為一個具有以下特征的x,y的二次方程：

（1）x2和y2項的系數同為1；

（2）不出現交叉乘積的二次項xy。

問題3：

x2?y2?2x?4y?6?0是圓的方程？若是，寫出圓心坐標和半徑；若不是，則說明理由

二、探索研究

二元二次方程x2?y2?Dx?Ey?F?0表示圓的條件是什么？

（創設一種鼓勵的寬松的氛圍，讓學生充分發表自已的觀點，教師適當引導。）

二元二次方程x2?y2?Dx?Ey?F?0，通過配方后可以化為

D2E2D2?E2?4F(x?)?(y?)?

224（1）當D2?E2?4F?0時，方程表示以(?為半徑的圓；

DE1,?)為圓心，D2?E2?4F222（2）當D2?E2?4F?0時，方程表示一個點(?DE,?)； 22（3）當D2?E2?4F?0時，方程沒有實數解，因而方程不表示任何圖形。板書：圓的一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0（D2?E2?4F?0）

指出：（1）圓心(?DE1,?)，半徑D2?E2?4F； 222（2）圓的標準方程的優點在于它明確指出了圓心和半徑，而一般方程突出了方程形式上的特點；

（3）給出圓的一般方程，會寫出它的圓心和半徑；若給出相關條件，則能求出圓的方程。

三、應用舉例

例

1、判斷下列方程是否表示圓，如果是，并求出各圓的半徑和圓心坐標：

（1）x2?y2?6x?0；

（2）2x2?2y2?4x?8y?12?0；

（3）2x2?2y2?4x?8y?10?0；（4）x2?y2?6x?10?0；

（5）x2?2y2?4x?8y?10。

（解略）

例

2、求以O(0,0),A(1,1),B(4,2)為頂點的三角形的外接圓方程，并求出它的圓心和半徑。

（分析：應用圓的一般方程x2?y2?Dx?Ey?F?0，將已知三點的坐標代

入這個方程，得到一個三元一次方程組，解這個三元一次方程組，即可求得

圓的一般方程，對圓的一般方程配方即可求半徑長和圓心坐標。同時，將這

種求圓的一般方程的方法稱為“待定系數法”。）

四、課內練習

1、判定下列方程中，哪些是圓的方程？如果是，求出它們的圓心和半徑：

（1）2x2?2y2?4x?5?0；

（2）x2?y2?3x?4y?12?0；

3（3）x2?2y2?4x?2y?5?0；

（4）?x2?2y2?4x?2y?1；

（5）3x2?4xy?(x?2y)2?4

2、求過三點A（2，2），B（5，3），C（3，-1）的圓的方程。

五、課內拓展

若圓x2?y2?Dx?Ey?F?0與y軸相切于原點，則D，E，F應滿足什么條件？若圓與y軸相切呢？

學生討論，各抒已見，相互補充，完善結論。

我們還可以繼續探究：如當圓與x軸相切；過原點；原點在圓內；等等情況時，系數D、E、F應滿足的條件。

八、歸納小結

（教師引導，由學生總結一節課的收獲，然后顯示幻燈片同時教師總結。）

五、布置作業

（1）課堂作業：《數學指導用書》第25頁課外習題1（1）（2）（3）（4）、2、4。（2）課外作業：《數學指導用書》第26頁課外習題5、6、7。

第五篇：圓的一般方程教學設計

一、學習目標

知識與技能：在熟練記憶圓的標準方程的基礎上，能通過配方法將方程

配方，從而得出此方程表示圓的條件，記住此條件，并會求圓心和半徑；熟練進行標準方程和一般方程之間的互化；通過比較得出求圓方程的兩種方法（待定系數法和幾何性質法）。

過程與方法：通過對方程

表示圓的條件的探究，培

圓的一般方程教學設計

養學生探索發現和解決問題的能力，通過比較例題，感悟歸納和總結的學習方法。

情感態度與價值觀：通過對數學思想和方法的滲透，讓學生感受解決問題的不同思考角度和過程，激勵學生積極思考，勇于探索的精神。

二、重點難點：探究方程的兩種方法（待定系數法和幾何性質法）。

三、學法提示：探究式；比較歸納式

四、學習過程：包括相關預習、學習探究、反饋和展示、啟發點撥、歸納小結、釋疑答難、訓練鞏固、點撥校正、作業等。

1、自主預習（用10分鐘時間閱讀教材內容，勾勒自己的疑惑，查閱相關的資料輔助解決疑惑，記錄自己一些獨特的見解，完成學業質量模塊測評的環節1，包括基礎知識的記憶、思維提升的判斷及A、B、C不同層級的練習）

2、思考探究（引入）：

問題1：圓的標準方程是什么？你能正確展開嗎？

此時重點觀察和發現后進生的練習過程，及時地予以真誠的語言鼓勵或者一個肯定的眼神、一個手勢，讓這些學生從一開始投入到我能學會的自信心當中來。

問題2：方程方程

表示圓的條件；求圓方程在解決這兩個問題之前老師緊接著問：由問題1你能想到解決這兩個問題的辦法嗎？或者由這兩個方程的形式特點你想到了什么方法來處理這兩個方程？這樣培養學生善于發現問題之間的內在聯系的意識，也培養學生觀察分析問題的能力。

這樣學生自然采用配方法處理，第一個表示一個圓，第二個不表示任何圖形。

問題3：將問題2一般化，方程

都表示圓嗎？在什么條件下表示圓？

3、小組展示

先給學生5分鐘自主探究（因為涉及到分情況討論，可能有一半學生會出錯），而后各個小組在小組長的展示下相互完善，達成共識。

4、點撥，滲透分類討論思想的時機和標準。

5、自主解答，訓練感悟。

求過三點O(0，0),M(1，1),N(4，2)的圓的方程，并求這個圓的圓心和半徑。要求：8分鐘之內完成；根據已有知識多聯系解決，方法不限。

8分鐘之后提問一名完成的學生來展示方法和過程，之后再調動學生的積極性來充分展示自己的過程。

6、歸納總結

圓的一般方程是什么？條件是什么? 求圓的方程的方法有哪些？對照例

2、例

3、例4回答

對于待定系數法的應用，你還想到了哪些知識？請總結用待定系數法解題的步驟。

7、學生提問，答疑解惑

8、鞏固練習。（1）判斷方程（2）已知圓C的圓心在直線圓C的標準方程。

五、作業布置 ：1.正式作業課本P124：1，2； 2.筆記整理

=0表示什么圖形（配方法，分類討論思想）

并且經過原點和A（2,1），求