第一篇：不定方程和不定方程組的練習題

不定方程和不定方程組的練習題

二元一次方程具有無數多個解，但在一定條件下，如求整數解，存在有限個解的情況，這樣的方程或方程組叫不定方程（組）。

1.寫出方程x+2y=5的一個解。

2.寫出方程x+2y=5的正整數解。

3.把一根長7m的鋼管截成2m長和1m長兩種規格的鋼管，怎樣截不造成浪費？你有幾種不同的截法？

4.小明想用100元買15張郵票，現有4元，8元，10元三種面值。

（1）若他只想買4元和8元兩種面值的郵票，怎樣買？

（2）若這三種面值的郵票他都想買，又怎樣買呢？

第二篇：小學奧數2-2-3 不定方程與不定方程組．教師版

不定方程與不定方程組

教學目標

1.利用整除及奇偶性解不定方程

2.不定方程的試值技巧

3.學會解不定方程的經典例題

知識精講

一、知識點說明

歷史概述

不定方程是數論中最古老的分支之一．古希臘的丟番圖早在公元世紀就開始研究不定方程，因此常稱不定方程為丟番圖方程．中國是研究不定方程最早的國家，公元初的五家共井問題就是一個不定方程組問題，公元世紀的《張丘建算經》中的百雞問題標志著中國對不定方程理論有了系統研究．宋代數學家秦九韶的大衍求一術將不定方程與同余理論聯系起來．

考點說明

在各類競賽考試中，不定方程經常以應用題的形式出現，除此以外，不定方程還經常作為解題的重要方法貫穿在行程問題、數論問題等壓軸大題之中．在以后初高中數學的進一步學習中，不定方程也同樣有著重要的地位，所以本講的著重目的是讓學生學會利用不定方程這個工具，并能夠在以后的學習中使用這個工具解題。

二、不定方程基本定義

1、定義：不定方程（組）是指未知數的個數多于方程個數的方程（組）。

2、不定方程的解：使不定方程等號兩端相等的未知數的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。

3、研究不定方程要解決三個問題：①判斷何時有解；②有解時確定解的個數；③求出所有的解

三、不定方程的試值技巧

1、奇偶性

2、整除的特點（能被2、3、5等數字整除的特性）

3、余數性質的應用（和、差、積的性質及同余的性質）

例題精講

模塊一、利用整除性質解不定方程

【例

1】

求方程

2x－3y＝8的整數解

【考點】不定方程

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

方法一：由原方程，易得

2x＝8＋3y，x＝4＋y，因此，對y的任意一個值，都有一個x與之對應，并且，此時x與y的值必定滿足原方程，故這樣的x與y是原方程的一組解，即原方程的解可表為：，其中k為任意數．說明

由y取值的任意性，可知上述不定方程有無窮多組解．

方法二：根據奇偶性知道2x是偶數，8為偶數，所以若想2x－3y＝8成立，y必為偶數，當y＝0，x＝4；當y＝2，x＝7；當y＝4，x＝10……，本題有無窮多個解。

【答案】無窮多個解

【鞏固】

求方程2x＋6y＝9的整數解

【考點】不定方程

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

因為2x＋6y＝2(x＋3y)，所以，不論x和y取何整數，都有2|2x＋6y，但29，因此，不論x和y取什么整數，2x＋6y都不可能等于9，即原方程無整數解．

說明：此題告訴我們并非所有的二元一次方程都有整數解。

【答案】無整數解

【例

2】

求方程4x＋10y＝34的正整數解

【考點】不定方程

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

因為4與10的最大公約數為2，而2|34，兩邊約去2后，得

2x＋5y＝17，5y的個位是0或5兩種情況，2x是偶數，要想和為17，5y的個位只能是5，y為奇數即可；2x的個位為2，所以x的取值為1、6、11、16……

x＝1時，17－2x＝15，y＝3，x＝6時，17－2x＝

5，y＝1，x＝11時，17－2x＝17

－22，無解

所以方程有兩組整數解為：

【答案】

【鞏固】

求方程3x＋5y＝12的整數解

【考點】不定方程

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

由3x＋5y＝12，3x是3的倍數，要想和為12（3的倍數），5y也為3的倍數，所以y為3的倍數即可，所以y的取值為0、3、6、9、12……

y＝0時，12－5y＝12，x＝4，x＝3時，12－5y＝12－15，無解

所以方程的解為：

【答案】

【鞏固】

解不定方程：（其中x,y均為正整數）

【考點】不定方程

【難度】2星

【題型】解答

【解析】

方法一：2x是偶數，要想和為40（偶數），9y也為偶數，即y為偶數，也可以化簡方程，知道y為偶數，所以方程解為：

【答案】

模塊二、利用余數性質解不定方程

【例

3】

求不定方程的正整數解有多少組？

【考點】不定方程

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

本題無論或是，情況都較多，故不可能逐一試驗．檢驗可知1288是7的倍數，所以也是7的倍數，則是7的倍數．

設，原方程可變為，可以為1，2，3，……16．由于每一個的值都確定了原方程的一組正整數解，所以原方程共有16組正整數解．

【答案】16組

【例

4】

求方程3x＋5y＝31的整數解

【考點】不定方程

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

方法一：利用歐拉分離法，由原方程，得

x＝，即

x＝10－2y＋，要使方程有整數解必須為整數．

取y＝2，得x＝10－2y＋＝10－4＋1＝7，故x＝7，y＝2

當y＝5，得x＝10－2y＋＝10－10＋2＝2，故x＝2，y＝5

當y＝8，得x＝10－2y＋＝10－16＋3無解

所以方程的解為：

方法二：利用余數的性質

3x是3的倍數，和31除以3余1，所以5y除以3余1（2y除以3余1），根據這個情況用余數的和與乘積性質進行判定為：

取y＝1，2y＝2，2÷3＝0……2（舍）

y＝2，2y＝4，4÷3＝1……1（符合題意）

y＝3，2y＝6，6÷3＝2（舍）

y＝4，2y＝8，8÷3＝2……2（舍）

y＝5，2y＝10，10÷3＝3……1（符合題意）

y＝6，2y＝12，12÷3＝4（舍）

當y＞6時，結果超過31，不符合題意。

所以方程的解為：

【答案】

【鞏固】

解方程，（其中x、y均為正整數）

【考點】不定方程

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

方法一：，4y是4的倍數，和89除以4余1，所以7x除以4余1（7÷4≡3），可以看成3x除以4余1，根據這個情況用余數的和與乘積性質進行判定為（x＜13）

x＝1，3x＝3，3÷4≡3（舍）

x＝2，3x＝6，6÷4≡2（舍）

x＝3，3x＝9，9÷4≡1（符合題意）

x＝4，3x＝12，12÷4≡0（舍）

x＝5，3x＝15，15÷4≡3（舍）

x＝6，3x＝18，18÷4≡2（舍）

x＝7，3x＝21，21÷4≡1（符合題意）

x＝8，3x＝24，24÷4≡0（舍）

x＝9，3x＝27，27÷4≡3（舍）

x＝10，3x＝30，30÷4≡2（舍）

x＝11，3x＝33，33÷4≡1（符合題意）

x＝12，3x＝36，36÷4≡0（舍）

所以方程的解為：

方法二：利用歐拉分離法，由原方程，的取值為4的倍數即可，所以方程的解為：

【答案】

模塊三、解不定方程組

【例

5】

解方程

（其中a、b、c均為正整數）

【考點】不定方程

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

根據等式的性質將第一個方程整理得，根據消元的思想將第二個式子擴大4倍相減后為：，整理后得，根據等式性質，為偶數，20為偶數，所以為偶數，所以為偶數，當時，，所以，當時，，所以無解。所以方程解為

【答案】

【例

6】

解不定方程

(其中x、y、z均為正整數)

【考點】不定方程

【難度】3星

【題型】解答

【解析】

根據等式的性質將第一個方程整理得，根據消元思想與第二個式子相減得，根據等式的性質兩邊同時除以2得：，根據等式性質為4的倍數，100為4的倍數，所以為4的倍數，所以為4的倍數試值如下

【答案】

第三篇：八年級不定代詞練習題

1.—Do you have______apples?

—No, I don't, but I have______oranges.(2004年廣東省)

A.any, someB.some, any C.any, any D.some, some

第四篇：同余式與不定方程 教案1

梯田文化 教輔專家 《課堂點睛》 《課堂內外》 《作業精編》

競賽講座03--同余式與不定方程

同余式和不定方程是數論中古老而富有魅力的內容.考慮數學競賽的需要,下面介紹有關的基本內容.1.同余式及其應用

定義:設a、b、m為整數（m＞0），若a和b被m除得的余數相同，則稱a和b對模m同余.記為

或

一切整數n可以按照某個自然數m作為除數的余數進行分類，即n=pm+r（r=0，1，…，m-1），恰好m個數類.于是同余的概念可理解為,若對n1、n2，有n1=q1m+r，n2=q2m+r，那么n1、n2

對模m的同余，即它們用m除所得的余數相等.利用整數的剩余類表示,可以證明同余式的下述簡單性質:(1)

若,則m|(b-a).反過來,若m|(b-a),則

;(2)

如果a=km+b(k為整數),則;(3)

每個整數恰與0,1,…，m-1，這m個整數中的某一個對模m同余；(4)

同余關系是一種等價關系： ①

反身性

；

②

對稱性，則，反之亦然.③

傳遞性，則；

（5）如果，則

①； 梯田文化 教輔專家 《課堂點睛》 《課堂內外》 《作業精編》

②特別地

應用同余式的上述性質，可以解決許多有關整數的問題.例1（1898年匈牙利奧林匹克競賽題）求使2+1能被3整除的一切自然數n.n解∵

∴

則2+1nn

∴當n為奇數時，2+1能被3整除； 當n為偶數時，2+1不能被3整除.例2

求2最后兩位數碼.解 考慮用100除2所得的余數.999

999n∵

∴

又

∴

∴

∴2的最后兩位數字為88.例3

求證

31980999

+

4198

1能被5整除.梯田文化 教輔專家 《課堂點睛》 《課堂內外》 《作業精編》

證明

∵

∴

∴

∴2．不定方程

不定方程的問題主要有兩大類：判斷不定方程有無整數解或解的個數；如果不定方程有整數解，采取正確的方法，求出全部整數解.(1)

不定方程解的判定

如果方程的兩端對同一個模m(常數)不同余,顯然,這個方程必無整數解.而方程如有解則解必為奇數、偶數兩種，因而可以在奇偶性分析的基礎上應用同余概念判定方程有無整數解.例4

證明方程2x-5y=7無整數解.證明

∵2x=5y+7，顯然y為奇數.2

222①

若x為偶數，則

∴

∵方程兩邊對同一整數8的余數不等，∴x不能為偶數.梯田文化 教輔專家 《課堂點睛》 《課堂內外》 《作業精編》

②

若x為奇數，則

但5y+72

∴x不能為奇數.因則原方程無整數解.說明:用整數的整除性來判定方程有無整數解,是我們解答這類問題的常用方法.例5

(第14屆美國數學邀請賽題)不存在整數x,y使方程

①

證明

如果有整數x，y使方程①成立，則

=知（2x+3y）+5能被17整除.2設2x+3y=17n+a，其中a是0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8中的某

22222個數，但是這時（2x+3y）+5=（17n）+34na+（a+5）=a+5（mod17），而a+5被17整除得的余數分別是5，6，9，14，4，13，7，3，1，即在任何情況下（2x+3y）2+5都不能被17整除，這與它能被17整除矛盾.故不存在整數x，y使①成立.例7（第33屆美國數學競賽題）滿足方程x+y=x的正整數對（x，y）的個數是（）.（A）0（B）1（C）2（D）無限個（E）上述結論都不對 解由x+y=x得y=x（x-1），所以只要x-1為自然數的平方，則方程必有正整數解.令x-1=k(k為自然數),則

222322

3為方程的一組通解.由于自然數有無限多個,故滿足方程的正整數對(x,y)有無限多個,應選(D).說明:可用寫出方程的一組通解的方法,判定方程有無數個解.(2)

不定方程的解法 梯田文化 教輔專家 《課堂點睛》 《課堂內外》 《作業精編》

不定方程沒有統一的解法,常用的特殊方法有:配方法、因式（質因數）分解法、不等式法、奇偶分析法和余數分析法.對方程進行適當的變形,并正確應用整數的性質是解不定方程的基本思路.例6

求方程解(配方法)原方程配方得(x-2y)+y=13.2

22的整數解.在勾股數中,最大的一個為13的只有一組即5,12,13,因此有8對整數的平方和等于213即(5,12),(12,5),(-5,-12),(-12,-5),(5-,12),(12,-5),(-5,12),(-12,5).故原方程組的解只能是下面的八個方程組的解

解得

例7

(原民主德國1982年中學生競賽題)已知兩個自然數b和c222及素數a滿足方程a+b=c.證明:這時有a＜b及b+1=c.證明（因式分解法）∵a+b=c，∴a=（c-b）（c+b），又∵a為素數，∴c-b=1，且c+b=a.22

2梯田文化 教輔專家 《課堂點睛》 《課堂內外》 《作業精編》

于是得c=b+1及a=b+c=2b+1＜3b，2即＜.而a?3,∴?1，∴＜1.∴a＜b.例9（第35屆美國中學數學競賽題）滿足聯立方程 的正整數（a，b，c）的組數是（）.（A）0（B）1（C）2（D）3（E）4 解（質因數分解法）由方程ac+bc=23得（a+b）c=23=1×23.∵a，b，c為正整數，∴c=1且a+b=23.將c和a=23-b代入方程ab+bc=44得(23-b)b+b=44,即(b-2)(b-22)=0, ∴b1=2,b2=22.從而得a1=21,a2=1.故滿足聯立方程的正整數組(a,b,c)有兩個,即(21,2,1)和(1,22,1),應選(C).例10求不定方程2(x+y)=xy+7的整數解.解 由(y-2)x=2y-7,得

分離整數部分得由x為整數知y-2是3的因數, ∴y-2=±1，±3，∴x=3，5，±1.∴方程整數解為

例11

求方程x+y=x-xy+y的整數解.2

2梯田文化 教輔專家 《課堂點睛》 《課堂內外》 《作業精編》

解（不等式法）方程有整數解

必須△=（y+1）-4（y-y）?0，解得

22?y?.滿足這個不等式的整數只有y=0，1，2.當y=0時，由原方程可得x=0或x=1；當y=1時，由原方程可得x=2或0；當y=2時，由原方程可得x=1或2.所以方程有整數解

最后我們來看兩個分式和根式不定方程的例子.例12

求滿足方程且使y是最大的正整數解（x，y）.解將原方程變形得

由此式可知，只有12-x是正的且最小時，y才能取大值.又12-x應是144的約數，所以，12-x=1，x=11，這時y=132.故

滿足題設的方程的正整數解為（x，y）=（11，132）.例13（第35屆美國中學生數學競賽題）滿足0＜x＜y及的整數對（x，y）的個數是（）.（A）0（B）1（C）3（D）4（E）7 解法1 根據題意知，0＜x＜1984，由 的不同

梯田文化 教輔專家 《課堂點睛》 《課堂內外》 《作業精編》

得

62當且僅當1984x是完全平方數時，y是整數.而1984=2·31，故當且僅當x具有31t形式時，1984x是完全平方數.∵x＜1984，∵1?t?7.當t=1，2，3時，得整數對分別為（31，1519）、（124，1116）和（279，775）.當t＞3時y?x不合題意，因此不同的整數對的個數是3，故應選（C）.解法2 ∵1984=

2∴由此可知：x必須具有31t形式，y必須

2具有31k形式，并且t+k=8（t，k均為正整數）.因為0＜x＜y，所以t＜k.當t=1，k=7時得（31，1519）；t=2，k=6時得（124，1116）；當t=3，k=5時得（279，775）.因此不同整數對的個數為3.練習二十

1.選擇題

(1)方程x-y=105的正整數解有().（A）

一組（B）二組

（C）三組

（D）四組

(2)在0,1,2,…，50這51個整數中，能同時被2，3，4整除的有（）.（A）

3個（B）4個

（C）5個

（D）6個 2．填空題

（1）的個位數分別為_________及_________.4

5422(2)滿足不________.等式10?A?10的整數A的個數是x×10+1，則x的值(3)

已知整數y被7除余數為5,那么y被7除時余數為________.(4)

(全俄第14屆中學生數學競賽試題)求出任何一組滿足方程x-51y=1的自然數解x和y_________.3.(第26屆國際數學競賽預選題)求三個正整數x、y、z滿足

23.梯田文化 教輔專家 《課堂點睛》 《課堂內外》 《作業精編》

4．（1985年上海數學競賽題）在數列4，8，17，77，97，106，125，238中相鄰若干個數之和是3的倍數，而不是9的倍數的數組共有多少組？

5．求的整數解.6．求證可被37整除.7．（全俄1986年數學競賽題）求滿足條件能的值.的整數x，y的所有可8．（1985年上海初中數學競賽題）已知直角三角形的兩直角邊長分別為l厘米、m厘米，斜邊長為n厘米，且l，m，n均為正整數，l為質數.證明：2（l+m+n）是完全平方數.9.(1988年全國初中數學競賽題)如果p、q、q＞1，試求p+q的值.練習二十 1.D.C.2.(1)9及1.(2)9.(3)4.、都是整數，并且p＞1，(4)原方程可變形為x=(7y+1)+2y(y-7),令y=7可得x=50.223.不妨設x?y?z,則,故x?3.又有故x?2.若x=2,則,故y?6.又有,故y?4.若y=4,則z=20.若y=5,則z=10.若y=6,則z無整數解.若x=3,類似可以確定3?y?4,y=3或4,z都不能是整數.4.可仿例2解.梯田文化 教輔專家 《課堂點睛》 《課堂內外》 《作業精編》

5.先求出,然后將方程變形為y=5+x-2要使y為整數,5x-1應是完全平方數,…,解得

6.8888≡8(mod37),∴8888333

3222

2≡8(mod37).2222

27777≡7(mod37),7777≡7(mod37),8888238+7=407,37|407,∴37|N.22

3+7777

3333

≡(8+7)(mod37),而

237.簡解:原方程變形為3x-(3y+7)x+3y-7y=0由關于x的二次方程有解的條件△?0及y為整數可得0?y?5,即y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程僅有兩組解(4,5)、(5,4).8.∵l+m=n,∴l=(n+m)(n-m).∵l為質數,且n+m＞n-m＞0,∴n+m=l,n-m=1.于是2222l=n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l-1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l+2l+1=(l+1).即2(l+m+1)是完全平方數.222

229.易知p≠q,不妨設p＞q.令(4-mn)p=m+2,解此方程可得p、q之值.=n,則m＞n由此可得不定方程

第五篇：不定代詞用法總結及配套練習題

不定代詞用法總結

1)some, any的用法

some和any通常用于表示不定數或不定量，修飾復數可數名詞或不可數名詞。some表示“幾個；一些；部分”，多用于肯定句；而any表示“一些；什么；任何；”，對用于否定句或疑問句中。如：

* He asked me some questions.(他問了我幾個問題。)

* Some of the bread has been eaten.(面包已吃了一些。)

* Are there any stamps in this post office?(這個郵局里有郵票嗎？)1.“Would you like _____ more coffee?”(some/any)-------“Yes, please.” 2.I wonder if _____ will show up at the meeting.(someone/anyone)3.Doesn't _____ know the answer to this question?(someone/anyone)

4.On TV _____ said that smoking does not cause lung cancer.(someone/anyone)5.(annoyed and emphatic)How can _____ tell such a pack of lies ?(someone/anyone)6.It must be difficult to live without _____ money.(some/any)

7.Have you seen my shoes? I can't find them _____.(somewhere/anywhere)8.-“Can you believe we've run out of milk!”

-“Would you like me to get _____ at the nearest shop?”(some/any)9._____ say the Internet is just a hype and that it will blow over.(Some/Any)10._____ day peace will come to Northern Ireland.(Some/Any)

2)復合不定代詞的用法

a.不定代詞some, any, no與-one,-body,-thing可以組成九個復合代詞。它們是：

someone anyone no one somebody anybody nobody something anything nothing

這些復合不定代詞只有名詞的性質，可以作主語、賓語等。b.因為some一般用于肯定句，any一般用于否定句或疑問句，no表示完全否定，因此由some, any, no與-one,-body組成的復合代詞的用法也一樣。

c.第二部分為-one和-body的復合代詞只用于表示人，它們的形式是單數形式，但有時可以用they或them指代。

* There is someone in your office.Can you hear them talking?(你辦公室里有人。你聽見他們說話了嗎？)d.第二部分為-thing的復合代詞只能用于指物。如：

* There was something wrong with the car so he had to stopped it.* He looked at me and didn’t say anything.* Nothing can be done to save her life.e.這些復合不定代詞如果有其它的形容詞修飾，形容詞必須后置。如：

* Somebody important has arrived, I’m sure.(important修飾somebody)1．There isn't ____ water in the cup.A．any B．many C．some D．the 2．The bottle is empty.There is ____ in it.A．anything B．something C．nothing 3．There isn't ____ milk in the fridge.You'd better buy some.A．no B．any C．some 4.Everything ______ ready.We can start now.A.are

B.is

C.be

D.were 5.There’s ______ with his eyes.He’s OK.A.anything wrong

B.wrong something C.nothing wrong

D.wrong nothing 6.—The story is so amazing!It’s the most interesting story I’ve ever read.—But I’m afraid it won’t be liked by ______.A.everybody

B.somebody C.anybody

D.nobody 7.She listened carefully, but heard ______.A.anyone

B.someone C.everyone

D.nothing 8.I agree with most of what you said, but I don’t agree with ______.A.everything

B.anything C.something

D.nothing 9.—Everyone is here today, ______? —No, Han Mei isn’t here.She’s ill.A.isn’t it

B.isn’t he C.are they

D.isn’t everyone 10.Everything goes well, ______?

A.is it

B.isn’t it C.do they

D.doesn’t it 3)none 與no one 的用法區別

None和no one 都表示“三者或者三者以上的另一個”，但是用法不一樣。None既指人也指物，它常與of 短語連用 None of us failed the exam.I have read none of the books.在回答以how many，how much 開頭得疑問句時要用none。

No one 只能用來指人，不能指物，且不能與of短語連用，回答以who開頭的疑問句時要用no one。No one knows the answer to the question.1._________of them can speak Russian.A.No one B.Noone C.None D.Nobody 2._______ can answer my question.A.No one B.Noone C.None D.No body 3.Who is in the classroom ? A.No one B.Noone C.None D.No body 4.How many hours does Jim play taiji every day? A.No one B.Noone C.None D.Nobody 5.How much water is in the cup？

A.No one B.Noone C.None D.Nobody 4)all, every, each, other, another, either, neither, both

a.every只有形容詞的性質，在句中作定語。常用于修飾單數的可數名詞。表示“每個；各個”，還可以表示“一切”。

* After the strong wind every flower in the garden was gone.every還可以和-one,-thing,-body構成復合不定代詞，即：everyone, everything, everybody。其中，everyone和everybody用于指人，意思一樣，都是“每人；大家”，形式上表示單數意思上可以表示單數也可以表示復數。everything用于指物，意思是“每件事；一切”，形式上表示單數意思上可以表示單數也可以表示復數。如：

* One can’t have everything.* Everything goes well with me.注意：在使用everyone時要注意和every one相區別。everyone是一個不定代詞而every one是一個詞組，前者只能指人而后者既可以指人也可以指物。請注意下列例句：

* Everyone will be here except Patrick.(everyone 指人)* Every one of the children will get a gift.(every one也指人)

*We played several matches against the visitors, but unluckily lost every one.(every one指物)b.each的意思是“每個；各自的”，可以指人，也可以指物。如：

* I leave home at 7 a.m.each day.* Each of them has received a letter.由于each和every的意思相近，都表示“每一個”，因此要特別注意它們的區別。each所描述的對象至少是兩個數目中的每一個，而every所描述的對象至少是三個數目中的每一個；every著重強調整體的含義而each著重強調個別；every只能作形容詞放于名詞前而each可以作形容詞、代詞和副詞。如：

(每一個人都知道應該做什么/他的工作。)

(在這兩個句子中用every和each都可以)

*You can see a lot of new shops on each side of the street.(因為街道只有兩邊因此不能用every)

*Each has too coats.(each是代詞不能換用every)c.other可以指人也可以指物，表示“另外的人或事物”，其后可以接單數或復數的名詞；此外，other也有復數形式，是others。如：

* He has two brothers, one is a teacher, the other is a doctor.*Some children like milk chocolate, other children prefer plain chocolate.*We should not think only of ourselves, we should think of others first.d.another的意思是“另一個；再一個；又一個”，通常只能修飾單數的名詞或代詞，泛指“不定數目中的另一個”。* Would you like to try another kind of drink?

* I don't like this hat;please show me another.注意：other和another都有“另外的”意思，要注意它們的區別。

首先一般來說，兩者中的“另一個”是the other，不定數目中的“另一個”是another。如：

* She has a book in one hand and a pen in the other.(這里表示兩只手中的另一個因此用the other)* This cup is broken.Get me another, please.其次，other的后面可以接單數或復數的名詞而another的后面只能接單數名詞。如：

* He has other brothers.* I am not very well today.Tell them I will go and see them another day.第三，other有復數形式，泛指別人時通常不加冠詞；而表示其他的人時常要加定冠詞；而another沒有復數形式。

* Some went to the People’s Park, others visited the zoo.* Could you tell the others that I’ll be late?

5)many, much, few, little, a few, a little, a lot of, lots of 這些詞都可以用來表示數量，但它們的用法也應當注意。

a.many和much這兩個詞都表示“許多；大量”，它們的比較級和最高級是more和most。它們的不同在于：many只能指代或修飾可數名詞的復數，much一般只能指代或修飾不可數名詞。如：

* “Do you have any books on English grammar?” “Yes, but not many.”(這里的many指代上文的books)

* Much time will be saved if you plan your work very well.(time是不可數名詞，因此用much)b.(a)few和(a)little

a few和a little是一對用作表示數量的不定代詞的固定詞組，它們具有名詞和形容詞的性質，它們的意思是“少數；少量”，都表示肯定的意思。它們的不同點是：a few指代或修飾可數名詞的復數，a little指代或修飾不可數名詞。如：

* Only a few of the children in this village can read.(因為children是可數名詞的復數因此用a few)* There was a little rain just now and the air is fresh now.(rain是不可數名詞因此要用a little)

few和little表示否定，意思是“幾乎一點沒有”，相當于not … many或not … much。和a few和a little一樣，few指代或修飾可數名詞的復數而little指代或修飾不可數名詞指代或修飾不可數名詞。如：

* Few visitors enjoyed the trip to London.(few修飾的是可數名詞visitors)

* There is little to be done about it.(關于這件事沒有什么可做的了。)(little指代索要做的事情)

few的比較級和最高級是：fewer，fewest；little的比較級和最高級是：less，least。c.a lot of和lots of

這兩個詞組的意思都是“大量的；許多的”，后面既修飾能可數名詞復數也能修飾不可數名詞，可以代替many和much使用。練習：1．I bought ________flowers on my way home.2._______ of them have left for England.3．I asked her for _______paper, but she didn’t have_____.4.________of the boys has a book.5.I’m busy and I have _______homework to do.6.________ student has an English-Chinese dictionary in our class.7.She can’t dance________.8.Tom didn’t finish homwork..______did his sister.9．_____of my parents are teachers.10._____of the students in Class 3 have gone out.11.I have got ten pencils.Two of them are red ,the _______ are blue.12.There is _________ in the room.13.________ of the students is afraid of difficulties.14.She held a pen in one hand and his notebook in the ________.15.I’m new here, so I have ________friends

16.We must be quick.We have ________time left.17．-A latest English newspaper, please!

-Only one copy left.Would you liketo have___? 18.The bag made in Shanghai is better than the _______ made in Guangzhou.