第一篇：南開大學2014年暑假數學建模B題

自然科學文章信息檢索

背景知識

對于研究者來說，研究任何問題之前，都要對當前的研究狀況作充分的了解，以便確定要研究的問題是否有新意？是否可行？找到合適的文獻是一個基本的但也是本質的工作，這就是所謂的信息檢索（information retrieving）。當然這是一個耗時的工作。到目前為止，這項工作還是研究者本人或者助手人工進行來完成的。如果交給一個助手來完成，那么由于助手的知識和眼光的局限很可能得不到全面的信息。如我們所知，當前的google、百度以及其他搜索引擎搜索能力還是很不錯的。但是，如果鍵入某些關鍵詞之后，google搜索引擎會在google的文本數據庫中迅速找出很多文獻，而研究者必須根據每篇文章的內容才能確定是否為需要的，閱讀量是在太大了。

在當今的大數據時代，信息檢索已經是計算機科學不能繞開的問題之

一。有人依據每篇文章的關鍵詞作為信息源，設計了基于關鍵詞的搜索工具來幫助研究者監控他們的領域內網頁或者文獻庫的變化。隨著云計算技術的推進，云搜索也就變得很重要了，它可以保證研究者獲得充分的文本來構建自己的文獻數據庫。不會因為局限在某個不全的文獻庫中找不到就認為不存在。但是由于作者在發表論文時對于關鍵詞提供沒有具體要求（只有個數限制），因此從關鍵詞到最終知識獲取還有很大距離。需要將依據關鍵詞搜索到的全部文獻中的與所要的知識無關的內容過濾，只保留研究者所需的文獻。

在醫學領域，特別是針對一些疾病，不論是常見病還是罕見病，都會在文獻檢索方面遇到難題。比如，對于常見?。ò┌Y、高血壓、心衰、膿毒癥），文獻雖多，但所需的文獻可能還不在常見的某個文獻庫中。對于罕見病，本來可能研究文獻就少且不一定在流行的文獻庫中，甚至還有可能使用了別名，于是就出現了“查不到”的尷尬局面。因此，往往需要根據相同的疾病癥狀或者其他特征來查詢。特別當這個參考的疾病的起因、或者相關的基因與機制都已經知道的話，對于該罕見疾病的研究會具有相當大的幫助。這就需要用戶持續更新文獻數據庫，使得最新、最重要的深入結果不斷加入到只有該領域專家才懂的文獻庫中。為了克服因為沒有使用學名或者查詢方式不妥而導致“查不到”，需要建立一個綱目（Ontology），使其包含疾病學名和所有別名。這個綱目應該包括較為詳細的內容比如，疾病學名（別名）、臨床癥狀、起病原因、生物標記物、酶、基因、病理機制、治療藥物等，但一般是逐漸增補的，除非是研究透徹的疾病，一般不太可能一蹴而就。例如，當僅知道一個疾病的學名，其他什么也不知道時，先從wiki上得到該學名的所有別名，然后從文獻庫中搜索所有包含學名或者某種別名的所有文獻，然后從這些文獻中獲取所有涉及到的臨床癥狀，通過臨床研究的經驗確認哪些癥狀是最可能的癥狀加入到Ontology中。再基于新的Ontology再去檢索與你檢索的疾病具有相同癥狀的疾病，從其中研究透徹的某種疾病中發現起病原因、生物標記物、分泌物、酶、分子機制、治療藥物逐步添入Ontology。Ontology可以由用戶或

者臨床大夫自己提供，也可以當用戶給出一點線索之后，編寫逐步更新程序來實現。

但是篩選哪些是哪些不是用戶真正想所要的，就不那么簡單了?，F有的一些方案，比如Textpresso，這是一個基于綱目的針對生物文獻的信息檢索和提取系統。效果也雖然不是很理想，但目前還沒有更好的方法發表。原因是它僅依賴于較少的關鍵詞，這樣的信息源太窄。由于文章的關鍵詞與實際內容關系不是很大。因為每個作者發表文章時并不十分在意關鍵詞的推敲，其實除了數量有一定限制，沒有硬性規定，因此可能不同文章會選擇相同的關鍵詞。相比之下，每篇文獻的內容摘要還是很能夠恰當地反映文章的全貌。因為審稿時有一項就是判斷摘要是否寫得合理。不同文章不可能對應相同的摘要。特別是生命科學類的文章，摘要一般包含背景、方法、結論。于是，將摘要作為信息源，就能很好的揭示該文獻。如果將摘要去掉標點符號，改成fast格式，那么摘要就是一個如同氨基酸序列的文本文件。因為20個標準的氨基酸的單字母表示分別為A, C, D, E, F, G, H, I, K, L, M, N, P, Q, R, S, T, V, W, Y.對于多出的六個字符B, J，O, U, X，Z認為是可以忽略的符號，那么也可以采用蛋白質序列比對的算法

mcabmsa.20130520來進行快速比對。為此，需要對于生物醫學文章中的詞匯的長度分布，平均長度進行統計，以便獲取使用mcabmsa的參數。

任務：針對具體的疾病，Alzheimer Disease，做如下的信息檢索（retrieving）工作:

1)采用當前流行某種云搜索引擎，建立動脈硬化的完備的文獻庫（只包含文獻來源的網頁、文件名、摘要）。并進行如下預處理： ? 統計文獻庫中單詞的長度的分布以及平均長度。

? 給出將文獻的title以及摘要改為適合于mcabmsa 處理的fast格式的程序。即

? >網頁名縮寫（空格）文獻標題（空格）、發表日期、雜志名稱 作為一行。

? 從abstract后的第一個字符開始到key words 之前結束的段落去除標點符號以及空格作為一行。

2）以平均長度L作為mcabmsa程序中錨點長度的參數，松弛選擇為k=L*10/13, 將fast 格式的文本庫進行比對，輸出是若干個集合，稱為一個類，每類中包含至少一條信息。檢驗每類中是否反映相同或者相似的結果？

3）根據這些輸出集合建立最優Ontology。

第二篇：南開大學2014年數學建模A題

2014年暑期數學建模A題

背景：股指期貨交易最適宜高頻交易，一個客戶往往一天要進行300-500次買賣。以每次微小的盈利，頻繁操作，賺取利潤。股指期貨交易與股票交易不同，可以雙向交易，分為看漲及看跌兩種情景。

如：預期未來股指點位上漲，買入股指期貨多頭合約稱為買開倉，價格上漲后，高價格賣出多頭合約稱為賣平倉，則盈利；如果買開倉后，實際股指點位低于買開倉點位，為了控制風險，也要售出持有的合約，也稱為賣平倉，此時的交易結果為虧損。

如：預期未來股指點位下跌，買入股指期貨空頭合約稱為賣開倉，當股指點位下跌到預期的低點位，把持有的空頭合約賣掉稱為買平倉，交易結果為盈利，如果股指點位上漲高于賣開倉點位，為了控制風險，也要售出，此時也稱為買平倉，實際交易結果產生虧損

股指期貨1個波動點價值300元，如漲1個點，將有300元的價值變化，最小波動點0.2個點，價值變化0.2*300=60元。

以下舉例子說明看漲看空盈利虧損計算：

1，預期價格上漲，2130點位買開倉，漲到2131.2，以2131.2賣平倉成交，產生利潤：

（2131.2-2130）*300=360元

2，若2130點位買開倉，實際價格跌到2129，以2129賣平倉成交，產生虧損：

（2129-2130）*300=-300元

3，預期價格下跌，看空，以價格2140賣開倉，持有空頭頭寸，實際價格走勢下跌到2138點位，以2138價格買平倉成交，則交易盈利：（2140-2138）*300=600元；

4，預期價格下跌，看空，以點位2140賣開倉，持有空頭頭寸，實際價格走勢上漲到2141，為了控制風險，以2141價

格買品倉成交，則此交易虧損：（2140-2141）*300=-300元。

不論是看漲還看跌合約，買入每手合約的必須交付的保證金的計算公式：

保證金=買入時的點位乘以300再乘以18%。

也就說不是全額付費。

讀懂股指期貨的操作規則后，完成以下具體任務：

1． 根據題目附帶的7個交易日的原始數據（text）中前15分鐘（到9點32分為止），計算回報率yt=xt-xt-1所得的時間序列的均值和方差。然后再用全天的數據計算回報率yt=xt-xt-1所得的時間序列的均值和方差。比較兩種不同情形得到的均值與方差之間的關系：有幾天差異不大？有幾天差異較大？決定是否可以用前15分鐘的局部數據的均值和方差代替用整天的數據得到的均值和方差？可靠性如何？

2． 在附件中也附帶了某個投資者的實際操作記錄（excel），在回報率時間序列的曲線上所在的平面上（用標準差sigma為縱坐標單位）標出該投資者交易的位置。注意，買入看漲開倉點位（買開倉）用紅點，賣出看漲（賣平倉）用藍點。買入看跌合約（賣開倉）用綠點，賣出看跌合約（買平倉）用黃點。

3． 如果你知道了全天的回報率的圖形之后，根據圖形的高點和低點來進行看漲看跌組合投資，計算最大可能的投資收益應該是多少？與附錄中的操盤手的收益比較，計算出收益倍數。

4． 你有興趣得到一種算法，它就等價于你看到圖形之后去操作所得到的收益差不多。這里差不多是指按一階指數意義相等。也即，記S0表示你按照圖形所得交易300 次的最大收益，S1 表示的按照程序操作300次得到的收益，那么（logS0-logS1）/300近似為0.該算法稱為動態萬能投資組合算法，是基于信息論得到的。見附件。用該算法模擬附帶的數據，使用計算機控制，比前面的操盤手高明多少？

第三篇：2011數學建模A,B題

2011高教社杯全國大學生數學建模競賽題目

（請先閱讀“全國大學生數學建模競賽論文格式規范”）

A題

城市表層土壤重金屬污染分析

隨著城市經濟的快速發展和城市人口的不斷增加，人類活動對城市環境質量的影響日顯突出。對城市土壤地質環境異常的查證，以及如何應用查證獲得的海量數據資料開展城市環境質量評價，研究人類活動影響下城市地質環境的演變模式，日益成為人們關注的焦點。

按照功能劃分，城區一般可分為生活區、工業區、山區、主干道路區及公園綠地區等，分別記為1類區、2類區、??、5類區，不同的區域環境受人類活動影響的程度不同。

現對某城市城區土壤地質環境進行調查。為此，將所考察的城區劃分為間距1公里左右的網格子區域，按照每平方公里1個采樣點對表層土（0~10 厘米深度）進行取樣、編號，并用GPS記錄采樣點的位置。應用專門儀器測試分析，獲得了每個樣本所含的多種化學元素的濃度數據。另一方面，按照2公里的間距在那些遠離人群及工業活動的自然區取樣，將其作為該城區表層土壤中元素的背景值。

附件1列出了采樣點的位置、海拔高度及其所屬功能區等信息，附件2列出了8種主要重金屬元素在采樣點處的濃度，附件3列出了8種主要重金屬元素的背景值。

現要求你們通過數學建模來完成以下任務：

(1)給出8種主要重金屬元素在該城區的空間分布，并分析該城區內不同區域重金屬的污染程度。

(2)通過數據分析，說明重金屬污染的主要原因。

(3)分析重金屬污染物的傳播特征，由此建立模型，確定污染源的位置。(4)分析你所建立模型的優缺點，為更好地研究城市地質環境的演變模式，還應收集什么信息？有了這些信息，如何建立模型解決問題？

B題

交巡警服務平臺的設置與調度

“有困難找警察”，是家喻戶曉的一句流行語。警察肩負著刑事執法、治安管理、交通管理、服務群眾四大職能。為了更有效地貫徹實施這些職能，需要在市區的一些交通要道和重要部位設置交巡警服務平臺。每個交巡警服務平臺的職能和警力配備基本相同。由于警務資源是有限的，如何根據城市的實際情況與需求合理地設置交巡警服務平臺、分配各平臺的管轄范圍、調度警務資源是警務部門面臨的一個實際課題。

試就某市設置交巡警服務平臺的相關情況，建立數學模型分析研究下面的問題：

（1）附件1中的附圖1給出了該市中心城區A的交通網絡和現有的20個交巡警服務平臺的設置情況示意圖，相關的數據信息見附件2。請為各交巡警服務平臺分配管轄范圍，使其在所管轄的范圍內出現突發事件時，盡量能在3分鐘內有交巡警（警車的時速為60km/h）到達事發地。

對于重大突發事件，需要調度全區20個交巡警服務平臺的警力資源，對進出該區的13條交通要道實現快速全封鎖。實際中一個平臺的警力最多封鎖一個路口，請給出該區交巡警服務平臺警力合理的調度方案。

根據現有交巡警服務平臺的工作量不均衡和有些地方出警時間過長的實際情況，擬在該區內再增加2至5個平臺，請確定需要增加平臺的具體個數和位置。

（2）針對全市（主城六區A，B，C，D，E，F）的具體情況，按照設置交巡警服務平臺的原則和任務，分析研究該市現有交巡警服務平臺設置方案（參見附件）的合理性。如果有明顯不合理，請給出解決方案。

如果該市地點P（第32個節點）處發生了重大刑事案件，在案發3分鐘后接到報警，犯罪嫌疑人已駕車逃跑。為了快速搜捕嫌疑犯，請給出調度全市交巡警服務平臺警力資源的最佳圍堵方案。

附件1：A區和全市六區交通網絡與平臺設置的示意圖。

附件2：全市六區交通網絡與平臺設置的相關數據表（共5個工作表）。

第四篇：2011年數學建模B題

2011年全國大學生數學建模B題

交巡警服務平臺的設置與調度

題 目 警車配置及巡邏問題的研究

摘 要：

本文研究的是某城區警車配置及巡邏方案的制定問題，建立了求解警車巡邏方案的模型，并在滿足D1的條件下給出了巡邏效果最好的方案。

在設計整個區域配置最少巡邏車輛時，本文設計了算法1：先將道路離散化成近似均勻分布的節點，相鄰兩個節點之間的距離約等于一分鐘巡邏路程。由警車的數目m,將全區劃分成m個均勻的分區，從每個分區的中心點出發，找到最近的道路節點，作為警車的初始位置，由Floyd算法算出每輛警車3分鐘或2分鐘行駛路程范圍內的節點?？紤]區域調整的概率大小和方向不同會影響調整結果，本文利用模擬退火算法構造出遷移幾率函數，用遷移方向函數決定分區的調整方向。計算能滿足D1的最小車輛數，即為該區應該配置的最小警車數目，用MATLAB計算，得到局部最優解為13輛。

在選取巡邏顯著性指標時，本文考慮了兩個方面的指標：一是全面性，即所有警車走過的街道節點數占總街道節點數的比例，用兩者之比來評價；二是均勻性，即所有警車經過每個節點數的次數偏離平均經過次數的程度，用方差值來大小評價。

問題三：為簡化問題，假設所有警車在同一時刻，大致向同一方向巡邏，運動狀態分為四種：向左，向右，向上，向下，記錄每個時刻，警車經過的節點和能夠趕去處理事故的點，最后匯總計算得相應的評價指標。

在考慮巡邏規律隱蔽性要求時，文本將巡邏路線進行隨機處理，方向是不確定的，采用算法2進行計算，得出相應巡邏顯著指標，當車輛數減少到10輛或巡邏速度變大時，用算法2計算巡邏方案和對應的參數，結果見附錄所示。

本文最后還考慮到4個額外因素，給出每個影響因素的解決方案。

關鍵詞：模擬退火算法；Floyd算法；離散化

一 問題的重述

110警車在街道上巡邏，既能夠對違法犯罪分子起到震懾作用，降低犯罪率，又能夠增加市民的安全感，同時也加快了接處警時間，提高了反應時效，為社會和諧提供了有力的保障。

現給出某城市內一區域，其道路數據和地圖數據已知，該區域內三個重點部位的坐標分別為：（5112，4806），（9126，4266），（7434，1332）。該區域內共有307個道路交叉口，為簡化問題，相鄰兩個交叉路口之間的道路近似認為是直線，且所有事發現場均在下圖的道路上。

該市擬增加一批配備有GPS衛星定位系統及先進通訊設備的110警車。設110警車的平均巡邏速度為20km/h，接警后的平均行駛速度為40km/h。警車配置及巡邏方案要盡量滿足以下要求：

D1.警車在接警后三分鐘內趕到現場的比例不低于90％；而趕到重點部位的時間必須在兩分鐘之內。

D2.使巡邏效果更顯著；

D3.警車巡邏規律應有一定的隱蔽性。現在我們需要解決以下幾個問題：

一.若要求滿足D1,該區最少需要配置多少輛警車巡邏？ 二.請給出評價巡邏效果顯著程度的有關指標。

三．請給出滿足D1且盡量滿足D2條件的警車巡邏方案及其評價指標值。

四.在第三問的基礎上，再考慮D3條件，給出你們的警車巡邏方案及其評價指標值。五．如果該區域僅配置10輛警車，應如何制定巡邏方案，使D1、D2盡量得到滿足？ 六.若警車接警后的平均行駛速度提高到50km/h，回答問題三。

七.你們認為還有哪些因素、哪些情況需要考慮？給出你們相應的解決方案。

二 問題分析

本題為城區道路網絡中警車配置及巡邏問題。在進行警車配置時，首先要考慮警車在接警后在規定時間內趕到現場的比例，在此條件下，以車數最少為目標，建模、求解；在制定巡邏方案時，要考慮巡邏的效果及隱蔽性問題。

問題一只要求滿足D1，求最少的警車配置數，可以認為警車是不動的，在三分鐘或兩分鐘內它能到達的區域就是它的覆蓋范圍。據此，在滿足所有街道的覆蓋率不低于90%的條件下，尋找最優解。

問題二要評價巡邏效果，有兩個方面需要考慮：一是巡邏的全面性，即經過一段時間后警車走過的街道數占總街道數的比例；二是巡邏的不均勻性，即經過一段時間后警車經過每一條街道的次數相差不大，用方差來衡量。

問題三是在滿足D1的條件上盡量滿足問題二所給的指標，并給出評價方案的指標。首先找到一組滿足D1的各警車位置，然后在和各警車位置相連的點中隨機尋找一個點，判斷新的點是否滿足D1，如果滿足則警車行駛到該點，否則重新尋找，直到滿足為止。一段時間后統計所有車走過的點數及每個點被走過的次數，用問題二給出的兩個指標進行評價。綜合兩個指標，可判斷此路徑的好壞，重復這個過程，直到綜合評價指標達到一個滿意的值為止。

問題四增加了隱蔽性要求，首先給出評價隱蔽性的指標，隱蔽性可用路線的隨機性來評價，將它加入到問題三的模型中去進行求解。

問題五限制警車數量為10，要綜合考慮D1、D2，先分配這10輛車使道路的覆蓋率最高，然后按照問題三的步驟進行求解，其中每一步對D1的判斷只需使道路的覆蓋率盡量高即可。

問題六同問題三，只需將車速改為50km/h即可。

三 模型的假設

1.警車都在路上巡邏，巡警去處理案件的時間不考慮；

2.所有事發現場都在道路上，案件在道路上任一點是等概率發生的； 3.警車初始?？奎c是隨機的，但盡量讓它們分散分布，一輛警車管轄一個分區； 4.假定各個劃分區域內，較短時間內，最多會發生一個案件；

5.假設區域內的每條道路都是雙行線，不考慮轉彎對結果造成的影響； 6.如果重點部位不在道路上的，假設這些重點部位在離它們最近的道路上； 7.圖中水域對巡邏方案沒有影響。

四 符號說明

m 表示警車數目

d 表示警車初始停靠點到各道路的最短距離 L 表示整個區域的總道路長度

l 表示不能在3分鐘內到達的區域的道路的長度

k 表示非重點部位的警車在3分鐘內不能到達現場的比例 r 表示三分鐘內能從接警位置趕到事發現場的最大距離是 n 表示整個區域總的離散點個數 ni 表示第i區內的節點個數 f1 表示區內調整函數

t 表示模擬退火的時間，表征溫度值 f2 表示區間調整函數

r 表示全面性指標 e 表示不均勻性指標 h 表示綜合評價指標

si 表示第i輛車經過每條道路的次數 s 表示整個區域每條道路經過的平均次數

五 模型的建立與算法的設計

5.1 滿足D1時，該區所需要配置的最少警車數目和巡邏方案 5.1.1 滿足D1條件時，區域最少警車的規律

題目要求警車的配置和巡邏方案滿足D1要求時，整個區域所需要配置的警車數目最少。由假設可知警車都在道路上，且所有事發現場也都在道路上，但區域內總的道路長度是個定值的；警車在接警后趕到事發現場有時間限制和概率限制：三分鐘內趕到普通區域案發現場的比例不低于90％，而趕到重點部位的時間必須控制在兩分鐘之內。由此可知每輛警車的管轄范圍不會很大，于是考慮將整個區域分成若干個分區，每輛警車管轄一個分區域。由上面的分析，求解整個區域的警車數目最少這個問題可轉化為求解每一輛警車所能管轄的街道范圍盡量的大。于是我們尋找出使每輛警車管轄的范圍盡量大的規律。為了簡化問題，我們不考慮趕到現場的90%的幾率的限制，僅對警車能在三分鐘內趕到事發現場的情況作定性分析，其分析示意圖如圖1所示。警車的初始停靠位置是隨機的分布在道路上的任一節點上，我們假設一輛警車停靠在A點上。

圖1 一輛警車管轄范圍分析示意圖

由于警車的平均巡邏速度為20km/h，接警后的平均行駛速度為40km/h，由于距離信息比較容易得到，于是我們將時間限制轉化為距離限制，這樣便于分析和求解。當警車接警后，在三分鐘內能從接警位置趕到事發現場的最大距離是r，其中3r??40?2km。

60如圖1所示，我們設警車初始停靠位置在A點，A點是道路1，2，3，4的道路交叉口。我們僅以警車在道路1巡邏為例來進行分析，警車以20km/h的速度在道路1上A到A'點之間巡邏，A'與初始?？奎cA的距離為xkm。由于案件有可能在道路上任一點發生，當警車巡邏到A點時，若案發現場在道路2，3，4上發生時，警車以40km/h的速度向事發現場行駛，警車能在三分鐘內從A'點趕到現場的最大距離為(2?x)km。如果警車在道路1上繼續向前行駛，則該警車能在三分鐘內趕到現場的距離繼續縮小，當警車從初始點向A點行駛但沒有達到A'點時，此時該警車的最大管轄范圍比警車到達A'點時的最大管轄范圍大。為了使警車的管轄范圍盡量大，警車的巡邏范圍越小越好，當x?0時，即警車在初始停靠點靜止不動時，警車的管轄范圍達到最大值2km。

圖1所分析的是特殊的情況，道路1，2，3，4對稱分布，現在我們來對一般的情況進行分析，如圖2所示。

圖2.1 圖2.2 圖2 一輛警車最大管轄范圍分析示意圖

圖2.1所示的情況是道路分布不對稱，與圖1相比，圖2.1所示的道路方向和角度都發生了改變，圖2.3中的情形更為復雜。參照對圖1的分析方法，我們分析這兩種情形下，警車巡邏時能在三分鐘內趕到現場的最大距離的規律，我們只分析圖2.2的情況，道路1，2，3，4，5相交于點C,同時道路1與道路6也有個道路交叉口D，由于警車巡邏時是在道路上行駛的，行走的路線是分段直線,并不影響路徑的長度，所以當警車巡邏到距離初始停靠點C點x遠處的D，此時若有案件發生時，該警車要在三分鐘內能趕到現場處理案件，最大行駛距離在(2?x)km之內，如果警車在道路1上繼續向前行駛，則該警車能在三分鐘內趕到現場的距離繼續縮小，當警車沒有行駛到D點時，此時該警車的最大管轄范圍比(2?x)km大，為了使警車的管轄范圍盡量大，警車的巡邏范圍越小越好。當x?0時，即警車靜止不動時，一輛警車的管轄范圍能達到最大值。

以上分析的僅作定性的分析，對于三個重點部位也可以同理分析，所得的結論是一致的，以上的分析沒有考慮到90%的到達幾率限制，但在設計算法需要充分考慮。

綜上所述，當警車靜止在初始?？奎c時，在三分鐘時間限制內，警車能從初始停靠點趕到事發現場的最大距離為2km。

5.1.2 將道路離散化

由于事發現場是等概率地分布在道路上的，由區域地圖可以發現，整個區域中的道路長度不均，為了使計算結果更加精確，可將這些道路離散化。只要選取合適的離散方案，就能使警車在經過道路上的離散的點時就相當于經過了這條道路。這樣，不論是求解警車初始?？奎c還求解警車趕到事發現場所經過的道路時，所計算得的的結果顯然比僅考慮整條道路的叉路口要精確得多。區域中共有307個道路交叉口，458條道路。我們采用線性插值方法對道路進行離散化，以20km/h的速度行走一分鐘的距離作為步長，一分鐘時間的選擇是參照問題三的11?20?km。用線性插值的方法，從道路的一個方向進結果要求來設定的，步長b?6031行線性插值，實現將每條道路離散化的目標，考慮到有些道路不是km的整數倍，我們

311就一般情況進行討論，其分析示意圖如圖3所示。道路AB長度為n個km與x(x?km)33長度的和，為了更精確處理CB段道路，那么就要考慮在CB之間是否要插入一個新的點，根據x的長度不同，其對應的處理方式也有所不同。

圖3 道路離散化分析示意圖

引進臨界指數y，選取y大小的準則是使盡量離散化后警車等效的平均巡邏速度和題目給定的速度（20km/h）的差值盡量小，經過計算得y?0.189km時，不再插入新的坐

1標點時能使整個區域的道路離散效果較好。此時，將CB段長度設定為km處理，于是

3離散后的AB道路長度會比實際長度短些；當x?0.189Km時，需要在兩個點之間再插入一點，因為這樣處理能使整個區域的整體道路的離散化效果比較理想。如圖3所示，在1C與B間再插入新的坐標點，插入的位置在距C點km的D點處,這樣處理后所得的道

31路長度比實際長度長了(?x)km。采用這樣的方法進行線性插值，我們使用MATLAB編3程實現對整個區域道路的離散，所得的離散結果如圖4所示，離散后共得到762個節點，比原始數據多了455個節點，離散后的節點數據見附件中的“newpoint.txt”。

圖4 整個區域離散結果圖

采用這種插值方法道路離散后，將直線上的無窮多個點轉化有限個點，便于分析問題和實現相應的算法，由圖4可知，所取得的整體離散效果還是比較理想的。

5.1.3 分區域求解警車數目的算法設計

考慮到警車配置和巡邏方案需要滿足：警車在接警后三分鐘內趕到普通部位案發現場的比例不低于90%，趕到重點部位必須控制在兩分鐘之內的要求。設計算法的目標就是求解出在滿足D1情況下，總的警車數目最小，即每個區域都盡可能多地覆蓋道路節點。由于警車的初始位置是未知的，我們可設警車初始?？奎c在道路上的任一點，即分布在圖4所示的762個離散點中的某些點節點上，總體思路是讓每兩輛車之間盡量分散地分布，一輛警車管轄一個分區，用這些分區覆蓋整個區域。于是我們設計算法1，步驟如下所示：

Step1：將整個區域預分配為m個分區，每個分區分配一輛警車，警車的初始?？课恢迷O在預分配區中心的道路節點上，若區域的中心不在道路節點上，則將警車放在離中心最近的道路節點上；

Step2：統計分區不能覆蓋的節點，調整警車的初始停靠點，使分區覆蓋盡可能多的道路節點，調整分為區內調整和區間調整方案：（1）區內調整按照模擬退火思想構造的函數，在區間調整調整車輛初始點的位置（后文中有詳細說明），當分區內節點數較多時，調整的概率小些，分區內節點數較少時，調整的概率大些，（2）當區域中存在未被覆蓋的節點或節點群（大于等于三個節點集中在一個范圍內）時，將警車初始位置的調整方向為朝著這些未被覆蓋的節點按一定的規則（在算法說明中有詳細敘述）移動，同時要保證 3個重點部位能在2分鐘之內100%到達；

Step3：用Floyd算法計算出警車初始停靠點到周邊各道路節點的最短距離d；

Step4：以m個劃分區域未覆蓋的總的道路長度l與整個區域的道路總長度L的比值lk??100%來表示警車不能3分鐘內到達現場的概率；

LStep5：模擬足夠多的次數，若k?10%，將車輛數m減1，跳轉到Step1；

Step6：計算結束后，比較當k?10%時所對應的m值，當m取得最小值時，記錄此時的區域劃分方案，m即為最少的警車數。

對算法的幾點說明：

（1）該算法所取的車輛數m是由多到少進行計算的，m初始值設為20，這個值的選取是根據區域圖估算的。

(2)預分區的優點在于使警車的初始位置盡可能均勻地分散分布，警車的初始?？奎c在一個分區的中心點附近尋找得到，比起在整個區域隨機生成停靠點，計算效率明顯得到提高。

預分配之后，需要對整個區域不斷地進行調整，調整時需要考慮調整方向和 調整概率。

警車調整借鑒的是模擬退火算法的方法，為了使分區內包含道路節點數較多的分區的初始停車點調整的概率小些，而分區內包含道路節點數的少的分區內的初始停車點調 整的概率大些，我們構造了一個調整概率函數f1，f1?aexp(?bmni)（1）t（1）式中，a,b均為常數，m為整個區域車輛數，ni為第i分區內覆蓋的節點數，t為時間，同時t也能表征模擬退火的溫度變化情況：初始溫度較高，區域調整速度較快，隨著時間的增加，溫度不斷下降，區域調整速度逐漸變慢，這個調整速度變化也是比較符合實際情況的。

由式（1）可以得出調整概率函數f1，假設在相同的溫度t（時間）的條件下，由于總的車輛數目m是定值，當ni?nj時，即第i分區內的節點數大于第j分區的節點數時，分區i調整的概率大些，分區j的調整概率小些。分析其原因：當分區內包含了較多的節點個數時，該分區的警車初始停靠位置選取地比較合適了，而當分區內包含的道路節點數較少時，說明警車的初始?？课恢脹]有選好，需要更大概率的調整，這樣的結論也是比較客觀的。

對于所有分區外未被覆蓋的道路節點和很多節點（稱之為節點群），用來調整警車位置遷移的方向，其分析示意圖如圖5所示。調整方案目標是使未被覆蓋的節點數盡量的少。在設計調整方向函數時，需要考慮：（1）節點群內節點的數目；（2）警車距離節點群的位置。優先考慮距離，所以在公式（2）中，用距離的平方來描述調整方向函數。由于某一個區域范圍內的未被覆蓋節點數，整個區域未被覆蓋的節點總數，分區域與未被覆蓋的節點或節點群的距離等幾個因素會影響到調整的方案，所以要綜合考慮這些因素。于是設計了區間調整函數f2，f2?nili2??li?1pi?1p2i（2）

i?n式中，ni表示第i個分區內未被覆蓋的節點數，li表示第i分區域與未被覆蓋的節點或節點群的距離，p表示未被覆蓋的節點和節點群個數。

現在簡要分析第i分區按區間調整函數的調整方案，當某兩節點群i,j的節點數目相等，但是距離不等時，如li?lj，由區間調整公式可知，該區間向節點群j方向調整。當某個分區與兩個節點群的距離相等，但節點群的內節點個數不相等，如ni?nj時，由（4）可知，該分區域會想節點群j方向調整。

注意在整個調整過程中，調整幾率控制是否調整，調整方向函數控制調整的方向，尋找在這種調整方案下的最優結果。

圖5 調整分區域示意圖

（3）在step3中，使用Floyd算法計算出警車初始?？奎c到周邊各節點的最短距離d,目的是當區域內有情況發生時，警車能在要求的時間限制內到達現場。

（4）為求出較優的警車停靠點，采用模擬退火算法，算出局部最優的方案。5.1.4 警車的配置和巡邏方案

使用MATLAB編程實現算法1得到，整個區域配備13輛警車，這些警車靜止在初始?？奎c時，能滿足D1要求。警車的初始停靠位置分別為道路交叉節點6，25，30，37，82，84，110，111，126，214，253，258，278處。每個警車所管轄的交叉點（原始的交叉節點）如圖6所示，求解的分區結果見附錄所示。9

圖6 滿足D1條件下的區分劃分圖

13個分區共覆蓋了252個交叉點，另外的55個原始交叉點沒有被這些分區域覆蓋：137，138，151，159，167，168，170，174，175，186，188，189，211，215，226，242，255，260，261，262，263，267，270，271，272，275，282，283，284，287，288，289，292，296，297，299，304，305，307。在這種分區方案下，這些點中，每兩個相連的點間的道路離散值長度占整個區域總的長度的比值為lk??100%?90.18%。因此，在整個區域配置13輛警車，每個警車在初始?？奎c靜L止不動，當有案件發生時，離案發現場最近的警車從初始?？奎c趕到現場。

5.2 評價巡邏效果顯著的指標

110警車在街道上巡邏是目的是為了對違法犯罪分子起到震懾作用，降低犯罪率，又能夠增加市民的安全感，同時還加快了接處警（接受報警并趕往現場處理事件）時間，提高了反應時效，為社會和諧提供了有力的保障。巡警在城市繁華街道、公共場所執行巡邏任務, 維護治安, 服務群眾, 可以得良好的社會效應[1]。

在整個區域中，由于案發現場都在道路上，道路上的每一點都是等概率發生的，因此警車巡邏的面越廣，所巡邏的街道數目越多，警車的巡邏效果就越好，對違法犯罪分子就越有威懾力，警車也能更及時地處理案件。

我們采用全面性r來衡量巡邏的效果顯著性，即用警車巡邏所經過的街道節點數占區域總節點數的比值。當警車重復經過同一條街道同一個離散點時，c僅記錄一次。

c

（3）n式中，c表示警車經過的離散點數，n代表整個區域總的離散點數。r值越大，表明警車所經過的街道數目越多，所取得的效果越顯著。

同時考慮到在巡邏過程中可能會出現這樣的情況：在相同的時段內，警車會多次巡邏部分街道，而一些街道卻很少巡邏甚至沒有警車到達，這樣會造成一些巡邏盲區。分布很不均衡。這樣就可能出現巡邏密度大的街道上的違法犯罪分子不敢在街道上作案，而流竄到巡邏密度稀疏的街道上作案，因此在相同的警車數目條件下，密度不均衡的巡邏方式的巡邏效果的效果較差，而密度較均衡的巡邏方式所取得的巡邏效果會更好些。我們引入一個巡邏的不均勻度e來衡量巡邏效果的顯著性，考慮到方差能表示不均衡度，于是我們用方差的大小來表征不均衡，方差越大，巡邏密度越不均衡，所取得的巡邏效果越差。r?e??(si?1mi?s)2p（4）

式中，p表示警車經過的點數，當警車重復經過某一節點時，警車經過該點多少次就計多少次。，si表示第i輛車經過每條道路的次數，s表示整個區域每條道路經過的平均次數。

我們分析這兩個指標時，發現它們是緊密聯系的，在相同的時間段內，一輛警車在一個分區巡邏時，警車經過的街道節點數越多，巡邏的全面性指標越大，巡邏效果越顯著，而巡邏經過了越多的街道節點數，對應的不均勻度越小，巡邏效果也越好，所以我們將這兩個指標統一來求解，設定為綜合評價指標h：

rh?（5）

e當h越大時，警車巡邏的顯著性效果越好，而當h越小時，警車巡邏的效果越差。

5.3 滿足D1且盡量滿足D2條件的警車巡邏方案和評價指標值

問題1所給出的滿足D1條件下的警車數目為13輛，這時每輛警車在初始?？奎c靜止不動，只有該管轄區域內發生了案件時，警車才從初始?？奎c趕到案發現場處理案件。當警車在巡邏狀態時，所需要考慮的問題就更復雜一些，如當節點運動時，警車還能否達到D1的要求，警車的運動方向如何等問題，但基本算法思想與問題1類似，所得的算法2的框圖如圖7所示，為了簡化問題，我們假設各分區警車的巡邏時候，盡量保證所有的警車的行駛方向相一致，且警車都走雙行道，即當警車走到某個節點后，它們又同時返回初始?？奎c，警車的行駛方向有四種方式，如6所示。

在圖6中，數字1代表走巡邏走的第一步，2表示朝1的巡邏方向相反的方向巡邏。在具體程序實現時，四種巡邏方向任意選擇，但是盡量保證所有的警車向同一個方向巡邏。

圖6 各警車巡邏方向圖

我們用MATLAB編程對這種巡邏方式進行計算，所得的車輛數目為18輛，綜合評價指標為h?0.612，其結果巡邏方案見附件中的“1193402-Result3.txt”所示。

5.4 在滿足問題三的基礎上討論D3條件，警車的巡邏方案和評價指標

巡邏的隱蔽性體現在警車的巡邏路線和時間沒有明顯的規律，主要目的是讓違法犯罪分子無可乘之機，防止他們在非巡邏時間實施違法犯罪活動，危害人民的生命和財產安全。

為了使巡邏的規律具有隱蔽性，這就需要警車在巡邏時至少具有兩條不同的路線，時間最好也是不相同的。因此，考慮到隱蔽性時，只需要在問題2的基礎上加上一個隨機過程即可。對于其評價指標，由于警車有幾條可選的巡邏路線，當相同的路線在同一時間內重復出現時，重新將所設定的方案再執行一遍，我們用這個時間間隔來衡量隱蔽性的程度，當循環周期T越大，表明可選的巡邏方案越多，其規律就越具有隱蔽性，而循環周期T越小時，表明巡邏方案比較少，其隱蔽性較差。在巡邏狀態時，最差的隱蔽性巡邏方案是巡邏方案只有一個，并且時間固定，這樣的巡邏方案沒有任何隱蔽性可言。

5.5 整個區域為10輛車時的巡邏方案

由第三問的結果可知，10輛車的數量是不能把整個區域完全覆蓋的，其算法與算法2類似，不同的是此時車的數目已經固定了，要求使D1,D2盡量大的滿足，我們求得的評價指標值為h?0.524，所得的巡邏方案見附件中的“1193402-Result5.txt”所示。

5.6平均行駛速度提高到50km/h時的巡邏方式和評價指標值

問題六的分析方法與具體實現與問題三一致，但是警車的接警后的平均速度由原來的40km/h提高到50km/h，于是各分區的覆蓋范圍也增大了，將數值帶入問題3的算法中求解，計算得的指標值為h?0.703，其巡邏方案見附件中的“1193402-Result6.txt”所示。

圖7 算法2框圖 5.7 需要另外考慮的因素和對應的解決方案

考慮到具體巡邏情況的復雜性，我們還需考慮以下幾個因素：

1．該城市的巡邏方式僅有110警車，雖然能將巡邏范圍大大擴大，但是警員坐在汽車里遠離市民，對社區情況和案件的了解情況不如徒步巡邏的效果好，同時警車巡邏時，只能在道路上行駛，對應圖中的非道路區域沒有進行巡邏，使非街道區域成為巡邏盲區；

2.對于突發事件的處理問題；

3.各巡邏警員之間在一些未被覆蓋的區域如何合作才能使整體的巡邏效果取得比較好的成效；

4.巡邏頻率的選取問題。

針對以上問題，我們提出以下幾個解決方案： 1.為了了解社區情況和將巡邏范圍擴大到非街道區，可以采用警車加徒步巡邏或摩托車方式進行巡邏，這樣做會使整個巡邏范圍擴大，必會大大增加巡警人數，在制定巡邏方案時，需要綜合考慮，選取最合適的巡邏方案；

2.當有突發事件發生時，要突破分區限制，各分區需要通力合作，還要求巡警及時掌握準確信息，向上級部門匯報，隨機應變地解決所遇到的問題；

3.在警員人數有限的情況下，需要各分區巡警明確巡邏目的，踏實工作，明確責任制，做好本職工作，使人民生命財產安全得到最大限度的保障；

4.巡邏頻率太高，會影響到人民的正常工作和生活（報紙刊登有相關消息），如果巡邏頻率太低，將降低市民的安全感，同時給一些違法犯罪分子予可乘之機，所以要合理安排巡邏方案，將巡邏頻率控制在一個適當的范圍內。

六 模型的分析和評價

在求解滿足D1的條件下，整個區域需要配備多少輛警車問題中，采用分區巡邏的思想，先分析能使各區管轄范圍達到最大值時的規律，由特殊到一般層層進行分析，邏輯嚴密，結果合理。

在求解區域和警車數目時，在初步設定警車?？奎c位置的基礎上，用模擬退火算法思路構造函數f1來確定調整的概率大小，綜合考慮了影響區間調整的因素后構造了f2函數來確定分區的調整方向，當分區按照這兩個調整函數進行調整時，各分區能管轄盡可能多的道路節點，所取得效果也比較理想。

參 考 文 獻

[1]中小城市警察巡邏勤務方式的探討，俞詳，江蘇公安?？茖W校學報，1998年第1期 [2]Matlab7.0從入門到精通，求是科技，人民郵電出版社； [3]不確定車數的隨機車輛路徑問題模型及算法，運懷立等，工業工程，第10卷第3期，2005年5月；

[4]隨機交通分配中的有效路徑的確定方法，李志純等，交通運輸系統工程與信息，第3卷第1期，2003年2月。

附 錄

圖 問題三巡邏路徑

圖 問題五巡邏路徑

圖 問題六巡邏路徑

第五篇：2011數學建模B題

2011高教社杯全國大學生數學建模競賽題目

（請先閱讀“全國大學生數學建模競賽論文格式規范”）

B題

交巡警服務平臺的設置與調度

“有困難找警察”，是家喻戶曉的一句流行語。警察肩負著刑事執法、治安管理、交通管理、服務群眾四大職能。為了更有效地貫徹實施這些職能，需要在市區的一些交通要道和重要部位設置交巡警服務平臺。每個交巡警服務平臺的職能和警力配備基本相同。由于警務資源是有限的，如何根據城市的實際情況與需求合理地設置交巡警服務平臺、分配各平臺的管轄范圍、調度警務資源是警務部門面臨的一個實際課題。

試就某市設置交巡警服務平臺的相關情況，建立數學模型分析研究下面的問題：

（1）附件1中的附圖1給出了該市中心城區A的交通網絡和現有的20個交巡警服務平臺的設置情況示意圖，相關的數據信息見附件2。請為各交巡警服務平臺分配管轄范圍，使其在所管轄的范圍內出現突發事件時，盡量能在3分鐘內有交巡警（警車的時速為60km/h）到達事發地。

對于重大突發事件，需要調度全區20個交巡警服務平臺的警力資源，對進出該區的13條交通要道實現快速全封鎖。實際中一個平臺的警力最多封鎖一個路口，請給出該區交巡警服務平臺警力合理的調度方案。

根據現有交巡警服務平臺的工作量不均衡和有些地方出警時間過長的實際情況，擬在該區內再增加2至5個平臺，請確定需要增加平臺的具體個數和位置。

（2）針對全市（主城六區A，B，C，D，E，F）的具體情況，按照設置交巡警服務平臺的原則和任務，分析研究該市現有交巡警服務平臺設置方案（參見附件）的合理性。如果有明顯不合理，請給出解決方案。

如果該市地點P（第32個節點）處發生了重大刑事案件，在案發3分鐘后接到報警，犯罪嫌疑人已駕車逃跑。為了快速搜捕嫌疑犯，請給出調度全市交巡警服務平臺警力資源的最佳圍堵方案。

附件1：A區和全市六區交通網絡與平臺設置的示意圖。

附件2：全市六區交通網絡與平臺設置的相關數據表（共5個工作表）。

附圖1：A區的交通網絡與平臺設置的示意圖

附圖2：全市六區交通網絡與平臺設置的示意圖

說明：

（1）圖中實線表示市區道路；紅色線表示連接兩個區之間的道路；（2）實圓點“·”表示交叉路口的節點，沒有實圓點的交叉線為道路立體相交；

（3）星號“*”表示出入城區的路口節點；

（4）圓圈“○”表示現有交巡警服務平臺的設置點；（5）圓圈加星號“○*

”表示在出入城區的路口處設置了交巡警服務平臺；

（6）附圖2中的不同顏色表示不同的區。

說明：

A列：是全市交通網絡中路口節點的標號（序號）

B列：路口節點的橫坐標X，是在交通網絡中的實際橫坐標值 C列：路口節點的縱坐標Y，是在交通網絡中的實際縱坐標值 D列：路口節點所屬的區 量

地圖距離和實際距離的比例是1:100000,即1毫米對應100米 坐標的長度單位為毫米 全市路口節點標號 標X 路口的橫坐

E列：各路口節點的發案率是每個路口平均每天的發生報警案件數

路口的縱坐標Y

路口所屬區

域

發案率(次

數)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 413 403 383.5 381 339 335 317 334.5 333 282 247 219 225 280 290 337 359 343 351 377.5 376 383 362 353.5 342 325 301 316 270 292 335 328 A A A A A A A A A A A A A A A A 1.7 2.1 2.2 1.7 2.1 2.5 2.4 2.4 2.1 1.6 2.6 2.4 2.2 2.5 2.1 2.6 17 415 18 432 19 418 20 444 21 251 22 234 23 225 24 212 25 227 26 256 27 250.5 28 243 29 246 30 314 31 315 32 326 33 327 34 328 35 336 36 336 37 331 38 371 39 371 40 388.5 41 411 42 419 43 411 44 394 45 342 46 342 47 325 48 315 49 342 50 345 51 348.5 52 351 53 348 54 370 55 371 56 354 57 363 58 357 59 351 60 369 335 A 371 A 374 A 394 A 277 A 271 A 265 A 290 A 300 A 301 A 306 A 328 A 337 A 367 A 351 A 355 A 350 A 342.5 A 339 A 334 A 335 A 330 A 333 A 330.5 A 327.5 A 344 A 343 A 346 A 342 A 348 A 372 A 374 A 372 A 382 A 380.5 A 377 A 369 A 363 A 353 A 374 A 382.5 A 387 A 382 A 388 A 2.5 1.9 1.8 1.9 1.4 1.4 2.4 1.1 1.6 1.2 0.8 1.3 1.4 2.1 1.6 1.5 1.4 1.7 1.4 1.1 0.1 1.2 1.4 1.7 1.4 1.4 1.7 1.1 1.4 1.2 1.6 1.4 1.2 1.1 0.8 0.6 1.4 0.9 1 0.5 0.8 1.1 0.9 0.7 61 335 62 381 63 391 64 392 65 395 66 398 67 401 68 405 69 410 70 408 71 415 72 418 73 422 74 418.5 75 405.5 76 405 77 409 78 417 79 420 80 424 81 438 82 438.5 83 434 84 438 85 440 86 447 87 448 88 444.5 89 441 90 440.5 91 445 92 444 93 140 94 145 95 160 96 142.5 97 150 98 186 99 158 121 157 158 159 133 395 A 381 A 375 A 366 A 361 A 362 A 359 A 360 A 355 A 350 A 351 A 347 A 354 A 356 A 364.5 A 368 A 370 A 364 A 370 A 372 A 368 A 373 A 376 A 385 A 392 A 392 A 381 A 383 A 385 A 381.5 A 380 A 360 A 130 B 118 B 96 B 71 B 70 B 145 B 73.5 B 68 B 145 B 138.5 B 135 B 114 B 0.6 1.2 1.4 0.8 0.7 0.8 0.8 0.9 1.1 0.9 1.1 0.8 0.9 1.1 0.8 1.1 0.8 0.8 0.8 0.8 1.4 1.1 0.9 1 1.2 1.4 1.1 0.9 1.4 0.9 0.9 0.8 1.6 1.6 1.6 2.1 1.8 1.6 2.6 2.6 1.1 0.9 0.5 0.7 100 101 102 103 104 105 137.5 106 144 107 139 108 144.5 109 151 110 151.5 111 150 112 158 113 159 114 164 115 163 116 149 117 143 118 137 119 131 120 130 121 127 122 125 123 129 124 130 125 124 126 136 127 136 128 142 129 148 130 142 131 147 132 128 133 136.5 134 142 135 147 136 154 137 148.5 138 140 139 140 140 137.5 141 138 142 143 143 151 144 153 145 143 146 143 147 143 148 160 113 B 112 B 117 B 115 B 113 B 118 B 111 B 118 B 109 B B 105 B 99.5 B 102 B 103 B 103 B 100 B 102 B 98 B 96 B 90 B 90 B 96 B 90 B 96 B 96 B 91 B 91 B 71 B 76 B 79 B 81 B 86 B 74.5 B 70 B 63 B 63 B 59 B 63 B 69 B 63 B 60 B 57 B 51.5 B 65 B 0.4 0.8 0.2 0.8 0.6 0.9 0.8 1.1 0.8 0.4 0.7 1.2 0.8 0.9 0.5 0.6 0.6 0.8 0.9 0.4 0.7 1.1 0.8 0.8 0.7 0.6 0.7 1.2 0.8 1.1 0.8 0.9 1.1 0.6 0.7 0.8 0.4 1.1 0.8 1.1 0.7 0.6 0.8 1.1

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