第一篇：第11章幾何證明初步復習學案

第11章幾何證明初步復習學案

【復習目標】

1、（1）了解定義、命題、公理、定理的含義

（2）能將命題寫成“如果?那么?”的形式，并會找出命題的條件（題設）和結論

（3）會寫出一個命題的逆命題，并會找出逆命題的條件（題設）和結論

（4）能判斷一個命題的真假。并會舉反例證明一個命題是錯誤的2、（1）了解證明的含義，理解證明的必要性，體會證明的過程要步步有據

（2）了解幾何證明的三個步驟并會求證文字語言敘述的命題

3、體會反證法的含義，知道反證法的步驟，會用反證法證明命題

4、綜合運用所學知識利用邏輯推理進行嚴謹的證明，發展初步演繹推理的能力

【學習過程】

一、自主學習：

1、（1）用來說明一個名詞含義的語句叫做定義。表示的語句叫做命題。有些真命題

是通過長期實踐總結出來的，被大家所公認的，并且作為證實其他命題的起始依據，這樣的真命題叫做。通過推理的方法得到證實的真命題稱作

（2）命題通常由和組成，是已知的事項，是由已知事項推斷出的事項，命題的一般敘述形式為，其中，所引出的部分是條件，所引出的部分是結論

（3）在兩個命題中，如果第一個命題的是第二個命題的，而第一個命題的是第二個命題的，那么這兩個命題叫做互逆命題，如果把其中一個命題叫做，那么另一命題叫做它的。如果一個定理的逆命題也是真命題，那么這個逆命題就是原來定理的（4）錯誤的命題叫，正確的命題叫做，要指出一個命題是假命題，只要能

夠舉出一個例子，使它具備命題的，而不符合命題的就可以了，這種例子稱為

2、（1）除公理外，命題的真實性都必須經過推理，推理的過程叫做

（2）幾何證明的過程一般包括三個步驟：①根據題意，畫出②結合圖形，寫

出③找出由已知推出求證的途徑，寫出

3、（1）證明一個命題時，不是由已知條件出發直接證明命題的結論，而是先提出與命題的相反的假設，推出矛盾，從而證明命題成立，這種證明的方法叫做反證法

（2）用反證法證明一個命題，有三個步驟：①否定②推出③肯定

4、公理與定理：（定理需要會證明）

（1）兩直線平行，同位角相等（公理）兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補

（2）同位角相等，兩直線平行（公理）內錯角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行

（3）對頂角相等

（3）全等三角形的判定：ASA（公理）、SAS（公理）、SSS（公理）、AAS、HL

（4）全等三角形的性質：全等三角形的對應邊相等，對應角相等（公理）

兩個全等三角形的對應高相等

（5）三角形三個內角的和等于180度

（6）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和

三角形的一個外角大于與它不相鄰的任意一個內角

三角形的外角和等于360度

（7）線段垂直平分線上的點到這條線段的的距離相等

到一條線段的相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

角的平分線上的點到這個角的的距離相等

在角的內部，并且到角的相等的點在這個角的平分線上

（8）直角三角形的兩個銳角互余

有兩角互余的三角形是直角三角形

在直角三角形中，如果有一個銳角等于30度，那么這個銳角所對的直角邊等于斜邊的一半

（9）等腰三角形的兩個底角相等（簡稱）

如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形（簡稱）等腰三角形底邊上的高線、中線、頂角平分線重合（簡稱）

（10）等邊三角形的每個內角都等于60度

二、專題訓練：

1、下列語句不是命題的是（）

A．對頂角相等B．在同一平面內，兩條直線或者相交，或者平行

222C．連結A、B兩點D．(a+b)=a+2ab+b2、下列命題中，屬于定義的是（）A．兩點確定一條直線B．同角或等角的余角相等C.兩直線平行，內錯角相等D．點到直線的距離是該點到這條直線的垂線段的長度

3、將命題“鈍角大于它的補角”寫成“如果?那么?”的形式，條件為，結論為

4、寫出命題“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命題，它是命題（填“真”或“假”）

5、下列命題中，其逆命題成立的是（只填序號）

①同旁內角互補，兩直線平行②如果兩個角是直角，那么它們相等③如果兩個實數相等，222那么它們的平方相等④若三角形的邊長a,b,c滿足a+b=c,則這個三角形是直角三角形

6、下列說法中，正確的是（）

A．每個命題都有逆命題B．每個定理都有逆定理

C．真命題的逆命題是真命題D.假命題的逆命題是假命題

7、舉反例說明：“一個角的余角大于這個角”是假命題時，下列反例中不正確的是（）

A．設這個角是45度，它的余角是45度，但45度= 45度

B．設這個角是35度，它的余角是60度，但30度< 60度

C．設這個角是60度，它的余角是30度，但30度< 60度

D．設這個角是50度，它的余角是40度，但40度< 50度

8、對于同一平面內的三條直線a,b,c，給出下列五個論斷：①a∥b②b∥c③a⊥b④a∥c ⑤ a⊥c.以其中兩個論斷為條件，一個論斷為結論，組成一個真命題。

9、求證：直角三角形中，30所對的直角邊等于斜邊的一半

10、求證：全等三角形對應邊上的中線相等

11、求證：相似三角形對應中線的比等于對應邊的比

12、閱讀下列文字：

題目：在Rt△ABC中，∠C=90度，若∠A≠45度，則AC≠BC

證明：假設AC=BC

因為∠A≠45度，∠C=90度，所以∠B≠∠A

所以AC≠BC，這與假設矛盾。

所以AC≠BC

上面的證明有沒有錯誤？若沒有錯誤，指出其證明方法，若有錯誤，請予以糾正

13、反證法證明“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”，第一步假設

14、反證法證明“兩直線如果有公共點，那么最多只有一個”，第一步假設

15、三角形的三個內角中至少有一個角不小于60度

16、如果兩個整數的積是偶數，那么這兩個整數中至少有一個是偶數

17、如圖，已知在△ABC中，AD平分∠BAC,EM是AD的中垂線，交BC延長線于E。求證：DE2=BE·CE18、已知，如圖，延長△ABC的各邊，使得BF=AC，AE=CD=AB，順次連結D、E、F，得到△DEF為等邊三角形

求證：（1）△AEF≌△CDE（2）△ABC為等邊三角形

CD

三、當堂檢測：

19、下列命題中，真命題是（）

A．互補的兩個角若相等，則兩角都是直角B．直線是平角

C．不相交的兩條直線叫平行線D．和為180°的兩個角叫做互補角

20、反證法證明“凸多邊形的外角中最多有3個鈍角”，第一步假設

21、△ABC中，AB=BC=12，∠ABC=80度，BD是∠ABC的角平分線，DE∥BC

（1）求∠EDB的度數

D（2）求DE的長

C

第二篇：八(下)11章 幾何證明初步復習學案(一)

幾何證明初步復習學案

（一）單位：馬蘭初中主備：王慧敏審核：黃麗英

課本內容：P114—12

4課前準備：三角板鉛筆

復習目標：

1.識別定義、命題、公理、定理，會區分命題的條件和結論，理解原命題和逆命題的關系。

2.學會綜合法證明的格式，會使用反證法。

復習過程：

一、復習提綱

1、八條公理：

2、命題是由_______________和______________兩部分組成.命題分真命題和___________。請你舉一個真命題的例子：______________________________________________________； 一個假命題的例子：_______________________________________________________。

3、請寫出互為逆命題的兩個命題：____________________________________________, ___________________________________________________。

4、幾何證明的過程包括①________________________________________;

②________________________________________;

③________________________________________.二、典型例題

例1 把下列命題寫成“如果A，那么B”的形式，并指出條件和結論。

同角的余角相等

例2 指出下列命題中的假命題，并舉出反例加以說明。

（1）兩個無理數的和仍是無理數。

（2）如果兩個角相等，那么這兩個角是同位角。

（3）如果a?b,b?c,那么a=c.例3 在學習中，小明發現：當n=1，2，3時，n?6n的值都是負數。于是小明猜想：當n為任意正整數時，n?6n的值都是負數。小明的猜想正確嗎？請簡要說明你的理由。

2例4 如圖，AD⊥BC于D,∠ADE+∠B=90,求證：AB∥DE.?

A

E

BDC

三、有效訓練

1、下列命題中，正確的是（）

A 任何數的平方都是整數 B 相等的角是對頂角

C 內錯角都相等D直角都相等

2、下列命題：

①如果a?b，則a=b;②如果a=b，則a?b；③大于直角的角是鈍角；④一個角的補角大于這個角的余角 ⑤同一平面內，兩條線段不相交，則一定平行。

其中，假命題為（）

A ①③ B ①⑤ C ③④⑤ D①③⑤

3、如圖，E是AB上的一點，F是DC上的一點，G是BC的延長線上一點。

(1)∵∠B=∠DCG∴_________∥_________()222

2A

EDF

G

B(2)∵∠D=∠DCGC

∴_________∥_________()

(3)∵∠D+∠DFE=180

∴_________∥_________()

四、課堂總結（總結本章前三節內容，你學到了什么）

五、達標檢測

（1）下列說法正確的是（）

A 真命題都可以作為定理B 公理不需要證明

C 定理不一定都要證明D 證明只能根據定義、公理進行

（2）下列定理中，沒有逆定理的是（）

A 內錯角相等，兩直線平行B 直角三角形中，兩銳角互余

C 相反數的絕對值相等D 同位角相等，兩直線平行

（3）如圖，B、A、E三點在同一直線上，請你添加一個條件，使AD∥BC，你所添加的條件是____________________（不允許添加輔助線）?

E

AD

BC

（4）已知：如圖，∠1=∠2，∠C=∠D。求證：DE∥ACDE

F

A

六、布置作業 BC(3)求證：兩直線平行，內錯角相等。

第三篇：幾何證明初步測試題

2010—2011學第二學期學習效果評價 八年級數學（第十一章）試題（高春燕）

一、選擇題

1．下列命題中，真命題是（）

6、△ABC中，∠C=90，AC=BC,AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB,垂足為點E,若AB=10則△DBE周長為（）

A．10B.8C.12D.9

7.如圖點D在AB上，點E在AC上并且∠B=∠C,那么補充下列一個條件后，仍無法判斷△ABE≌△ACD的是（）A.AD=AEB.∠AEB=∠ADCC.BE=CDD.AB=AC

A．互補的兩個角若相等，則兩角都是直角B．直線是平角C．不相交的兩條直線叫平行線D．和為180°的兩個角叫做互補角2．如圖，AB∥CD,AF 分別交AB、CD于A、C并且CE平分∠DCF,∠1=800，則

等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°

（2）（3）

3．如圖，那么

等于（）

A．180°B．360°C．540°D．720°4．下列結論中不正確的是（）

A．如果一條直線與兩條平行線中的一條平行，那么這條直線與另一條也平行B．如果一條直線與兩條平行線中的一條垂直，那么這條直線與另一條也垂直C．如果一條直線與兩條平行線中的一條相交，那么這條直線與另一條也相交

D．以上結論中只有一個不正確

5、在△ABC中，AC=BC＞AB,點P為△ABC所在平面內一點，且點P與△ABC的任意兩個頂點構成△PAB, △PBC,△PAC均為等腰三角形，則滿足上述條件的所有點P的個數為（）

A.3個B.4個C.6個D.7個

8、如圖∠1=∠2，PM⊥OA于點M,則P點到OB的距離等于（）的長B.OP的長C.PM的長D.都不正確

A

E

C

（7）

（8）

9、如圖所示，AB的垂直平分線為MN，點P在MN上，則下列結論中，錯誤的是（）

A、PA=PBB、OA=OBC、OP=OBD、ON平分∠APB

10、如圖，直角三角形ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC,BE平分∠ABC，交AD于點 E，EF∥AC，下列結論一定成立的是（）

A、AB=BFB、AE=EBC、AD=DCD、∠ABE=∠DFE

A.OA

N

P

B

D

（10）

二、填空題

11、在△ABC 中，（1），則∠B=度；（2），則∠B=度；（3），則∠B=度．

12、將命題“鈍角大于它的補角”寫成“如果?那么”的形式：

13、如圖，已知：DE⊥AB，且∠A=∠D=290則∠ACB=

（13）

（16）、在△ABC 中,D、E分別在AB、CD上并且DE‖BC,AE=1,CE=2,則S△ADE:S△ABC=、等腰三角形腰上的高與底邊夾角為15°，則頂角的度數為、如圖，已知：在△ABC中，∠B=900, ∠1=∠2, ∠3=∠4，則的度數為

三、解答題、已知如圖，在∠AOB中OC平分∠AOB,CA⊥OA,CB⊥OB,垂足分別為A、B,AB

交OC于點K，在圖中你能找到哪些結論？

（分別寫出一組相等的角、線段,一組全等的三角形一個等腰三角形）

B C

O

A

—2010

（17學第二學期學習效果評價）

18、如圖，在五角形 八年級數學期末試題中，求證：∠A+∠B+∠C+

（18）

∠D+∠E=1800

（命題人：賈緒真、王云鵬）（時間：90分鐘）

一、選擇題

19、已知：如圖，AB‖DC,點E是BC上一點，∠1=∠2,∠3=∠4．求證：AE⊥

DE1、下列計算正確的是（）A、（5-32=2B、a2b3=abbC、1÷

?1?

5?5

2=

D、25?16=5-

420 如圖

2、下列結論正確的是（,在△ABC中兩個外角∠EAC和∠）FCA的平分線交于D點,求證：∠ADC=90（A0-

1∠ABC（B）一條斜邊對應相等的兩個直角三角形全等；（C）頂角和底邊對應相等的兩個等腰三角形全等；（D）兩個等邊三角形全等.(20)

21．如圖，△

3、下列說法錯誤的是（ABC 中，∠B＞∠C,AD⊥BC,AE）平分∠BAC,求證：A、任意一個命題都有逆命題。

B、定理“全等三角形的對應角相等”有逆定理 C、正方形都相似是真命題

D、“畫平行線”不是命題

4、如圖下列條件不能判定l1∥l2的是

(9)14151617

第四篇：什么是幾何證明學案

11.3什么是幾何證明（第二課時）學案

一、學習目標

1、掌握平行線的判定

2、掌握證明的格式.體會證明的過程要步步有依據。

3、了解互逆命題的概念，知道原命題成立，逆命題不一定成立，了解逆定理的概念。

二、預習提綱

（一）憶一憶（1）幾何證明的過程可以分幾步？是哪幾步？

（2）與平行線有關的公理有幾個？請你說一說。

（二）試一試 證明：兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行。

（三）練一練證明：兩條直線被第三條直線所截，同旁內角互補。

（四）想一想

比較上面的兩個命題，你能找出每個命題的條件和結論嗎？

（1）兩直線平行，內錯角相等。

條件是，結論是。

（2）內錯角相等，兩直線平行。

條件是，結論是。

你能發現它們的條件和結論之間有什么關系嗎？

在兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題。如果把一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題。

如果一個定理的逆命題也是真命題，那么這個逆命題就是原來定理的逆定理。

(五)練一練

你能說出下列命題的逆命題嗎？它的逆命題是真命題還是假命題？

（1）同角的補角相等；

（2）全等三角形的對應邊相等

你還能編制一個命題，并說出它的逆命題，判定其是真命題還是假命題嗎？ 規律提升：每個命題都有逆命題；每個定理未必都有逆定理。

三、達標測評

1、說出下列命題的逆命題，并判斷它是真命題還是假命題。

（1）全等三角形的對應角相等()

（2）等邊三角形是等腰三角形。（）

（3）直角都相等（）

（4）等腰三角形的兩底角相等（）

（5）對頂角相等()

（6）如果a=b,那么a+c=b+c()

2、課本練習題第1題

3、證明：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等

小結：通過本節課的學習，你有哪些收獲？（可以從知識、方法等方面來談）還存在哪些疑惑？請與大家交流。

第五篇：一課一練103幾何證明初步2

一課一練103幾何證明初步

2知識點

一、互逆命題與互逆定理

1、命題的概念：對一件事情的語句。

溫馨提示：

1、每個命題都有條件（題設）和結論兩部分； ○

2、命題的一般形式是“如果?（條件），那么?（結論）”○；

3、正確的命題叫做真命題，錯誤的命題叫做假命題，驗證一個命題是真命題，要經過嚴格 ○

證明，說明一個命題是假命題，只要指出一個反例即可。

2、互逆命題：

在兩個命題中，如果第一個命題的是第二個命題的，而第一個命題的是第二個 命題的，那么這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個命題叫做，那么另一個命 題叫做它的。

溫馨提示：

1、任何一個命題都有逆命題；○

2、把一個命題的條件、結論交換，就得到它的逆命題；○

3、原命題成立，逆命題不一定成立，反之亦然?！?/p>

3、互逆定理：

如果一個定理的能被證明是真命題，那么就叫它是原定理的逆定理，這兩個定理 叫做。

溫馨提示：

1、逆定理、互逆定理，一定是真命題； ○

2、不是所有的定理都有逆定理?！?/p>

二、相關定理 A

4C32E1BD

F

（一）、平行線的性質與判定：（三性質和五判定）

三性質：

1、“兩直線平行，同位角相等 ”。∵AB//CD，∴。

2、“兩直線平行，內錯角相等”。∵AB//CD，∴。

3、“兩直線平行，同旁內角互補”?！逜B//CD，∴。

五判定：

1、“同位角相等，兩直線平行”?！?，∴AB//CD2、“內錯角相等，兩直線平行”。∵，∴AB//CD3、“同旁內角互補，兩直線平行”?！撸郃B//CD4、“平行與同一條直線的兩直線平行”。

∵a//b，b//c，∴。

5、在同一平面內，垂直與同一條直線的兩直線平行。

∵a⊥c，b⊥c，∴a//b

c

a ba

c

b

溫馨提示：

（1）兩條平行線被第三條直線所截，一組同位角的角平分線平行；

（2）兩條平行線被第三條直線所截，一組內錯角的角平分線互相平行；

（3）兩條平行線被第三條直線所截，一組同旁內角的角平分線互相垂直。

（二）、三角形內角和及外角定理：

1、三角形的內角和定理：三角形的內角和等于180°．

推理過程：作CM∥AB，則∠A=，∠B=，∵∠ACB +∠1+∠2=1800（，∴∠A+∠B+∠ACB=1800． ○作MN∥BC，則∠2=，∠3=，∵∠1+∠2+∠3=1800，∴∠BAC+∠B+∠C=1800． ○

A

MC B

溫馨提示：

（1）證明的思路很多，基本思想是組成平角．

（2）應用內角和定理可解決已知二個角求第三個角或已知三角關系求三個角．

0（3）特殊三角形的內角關系：直角三角形兩銳角互余；等邊三角形每個內角都等于602、三角形的外角的定義

三角形，叫做三角形的外角.溫馨提示：

每個頂點處都有兩個外角，但這兩個外角是對頂角.如:∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角，且∠ACD=∠BCE.所以說一個三角形有六個外角，但我們每個一個頂點處只選一個外角，這樣三角形的外角就只有三個了.3．三角形外角的性質

A（1）、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角之和．

（2）、三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角．

（3）、三角形的三個外角和為360°。

溫馨提示： B

外角與相鄰的內角互為鄰補角。

（三）、全等三角形

1．定義能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形，互相重合的頂點叫做對應頂點，互 相重合的邊叫做

對應邊，互相重合的角叫做對應角．

2．性質 兩全等三角形的相等、相等。

溫馨提示：

(1)全等三角形的對應中線、對應角平分線、對應高分別相等。(2)對應的量分別相等。

3．判定

(1)判定1：．(“SAS”)

(1)判定2：．(“ASA”)

(3)判定3：．(“SSS”)

(4)判定4：．(“AAS”)

(5)判定5：．(“HL”)

溫馨提示：

1“HL”定理是直角三角形獨有的，對一般三角形不成立；而一般三角形的全等判定方法同樣 ○

適用于直角三角形．

（2）等腰三角形的三線合一性：等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高互相重合． 即只要知道其中一個量，就可以知道其它兩個量．

（3）等腰三角形的三邊關系：設腰長為a，底邊長為b，則b?a．圖

1（1）、定理的作用：證明兩條線段相等；

（2）、⊿ABC是等腰三角形，CD三線合一；

（3）、線段AB關于它的垂直平分線軸對稱；關于中點D中心對稱.2、線段垂直平分線性質定理的逆定理（判定定理）：

到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.定理的作用：證明一個點在某線段的垂直平分線上.○

2注意線段垂直平分線性質定理和逆定理區別和聯系 ○

3、關于三角形三邊垂直平分線的定理（三角形的外心）：

三角形三邊的垂直平分線相交于一點（外心），并且的距離相等.如圖2，若直線i,j,k分別是△ABC三邊AB、BC、CA的垂直平分線，則直線i,j,k相交于一點O，且OA＝OB＝OC.溫馨提示：

結合三角形外心的性質掌握，如：外心位置、OA＝OB＝OC.幾何作圖應用等進行掌握

圖

2（七）、角平分線

1、角平分線的性質定理：角平分線的性質定理：角平分線上的點。如圖3，已知OE是∠AOB的平分線，F是OE上一點，若，則。溫馨提示：

① 證明兩條線段相等（相等量：OD=OC、FC=FD；∠ COF=∠DOF、∠CFO=∠DFO）； ② 與用于幾何作圖問題；

③ 與圓切線長定理有密切聯系

④ 角是一個軸對稱圖形，它的對稱軸是角平分線所在的直線.2、角平分線性質定理的逆定理（判定定理）：

在角的內部，且到角的兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上.圖

3如圖5，已知點P在∠AOB的內部，且PC⊥OA于C，PD

⊥OB于D，定理的作用：用于證明兩個角相等或證明一條射線 ○

是一個角的角平分線

2注意角平分線的性質定理與逆定理的區別和聯系.○

3、關于三角形三條角平分線的定理：

（1）關于三角形三條角平分線交點（內心）的定理：

三角形三條角平分線相交于一點，并且這一點的距離相等.如圖6，如果AP、BQ、CR分別是△ABC的內角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分線，那么：① AP、BQ、CR相交于一點I；

② 若ID、IE、IF分別垂直于BC、CA、AB于點D、E、F，則DI＝EI＝FI.溫馨提示：

結合三角形內心性質掌握，如：內心位置、IF=IE=IP、實際中的幾何作圖等進行掌握.