第一篇：幾何證明選講、優(yōu)選法與試驗(yàn)初步

幾何證明選講、優(yōu)選法與試驗(yàn)初步

教學(xué)目的：了解平行線、相似三角形的判定和性質(zhì)，了解圓冪定理，了解優(yōu)選法和獨(dú)立性檢驗(yàn).教學(xué)重點(diǎn)：平行線、相似三角形的判定和性質(zhì)，圓冪定理的應(yīng)用，優(yōu)選法和獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：平行線、相似三角形的判定和性質(zhì)，圓冪定理的應(yīng)用，優(yōu)選法和獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用.教學(xué)方法：點(diǎn)播式

1.相似三角形

(1)平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在任一條(與這組平行線相交的)直線上截得的線段也相等．

(2)平行截割定理：兩條直線與一組平行線相交，它們被這組平行線截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．

(3)梯形的中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半．

(4)相似三角形的判定定理及其推論：①兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；②兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似；③三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似；④如果一條直線與一個(gè)三角形的一條邊平行，且與三角形的另兩邊相交，則截得的三角形與原三角形相似．

(5)相似三角形的性質(zhì)定理：相似三角形的對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比，面積比等于相似比的平方．

(6)直角三角形射影定理：直角三角形一條直角邊的平方等于該邊在斜邊上的射影與斜邊的乘積，斜邊上的高的平方等于兩直角邊在斜邊上射影的乘積．

2．直線與圓的位置關(guān)系

(1)圓周角定理及其推論

定理：圓周角的度數(shù)等于其所對(duì)弧度數(shù)的一半．

推論1：同弧(或等弧)所對(duì)的圓周角相等．同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等． 推論2：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角等于90°.反之，90°的圓周角所對(duì)的弦為直徑．

(2)圓的切線

判定定理：過(guò)半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線．

性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．

切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線長(zhǎng)相等．

(3)弦切角定理及其推論

定理：弦切角的度數(shù)等于對(duì)應(yīng)弦與切線所夾弧度數(shù)的一半．

推論：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角與圓周角相等

(4)相交弦定理：圓的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成兩段的積相等．

(5)割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段的積相等．

(6)切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的一條割線和一條切線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓的兩個(gè)

幾何證明選講、優(yōu)選法與試驗(yàn)初步

交點(diǎn)的線段長(zhǎng)的等比中項(xiàng)．

(7)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和判定

性質(zhì)定理：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)．

判定定理：如果四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，則此四邊形內(nèi)接于圓.3．優(yōu)選法

優(yōu)選法是根據(jù)生產(chǎn)和科學(xué)研究中的不同問(wèn)題，利用數(shù)學(xué)原理，合理安排試驗(yàn)，以最少的試驗(yàn)次數(shù)迅速找到最佳點(diǎn)的科學(xué)試驗(yàn)方法．

4．單峰函數(shù)

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上只有唯一的最大值點(diǎn)(或最小值點(diǎn))C，而在最大值點(diǎn)(或最小值點(diǎn))C的左側(cè)，函數(shù)單調(diào)增加(減少)；在點(diǎn)C的右側(cè)，函數(shù)單調(diào)減少(增加)，則稱這個(gè)函數(shù)為區(qū)間[a，b]上的單峰函數(shù)．我們規(guī)定，區(qū)間[a，b]上的單調(diào)函數(shù)也是單峰函數(shù)．

5．黃金分割法——0.618法

(1)黃金分割常數(shù)：記ω＝5－1≈0.618為黃金分割常數(shù)． 2

(2)定義：試驗(yàn)方法中，利用黃金分割常數(shù)ω確定試點(diǎn)的方法叫做黃金分割法．

(3)試驗(yàn)點(diǎn)的選取原則：

①每次要進(jìn)行比較的兩個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，應(yīng)關(guān)于相應(yīng)試驗(yàn)區(qū)間的中心對(duì)稱；

②每次舍去的區(qū)間占舍去前的區(qū)間長(zhǎng)度的比例數(shù)應(yīng)相同．

(4)試驗(yàn)點(diǎn)的選取方法：設(shè)xn表示第n個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，存優(yōu)范圍內(nèi)相應(yīng)的好點(diǎn)是xm，因素范圍的兩端分別記為小頭和大頭，則x1＝?。?.618×(大－小)；x2＝小＋大－x1.一般：xn＝?。螅瓁m.可概括為“加兩頭，減中間”．

6．分?jǐn)?shù)法

(1)定義：優(yōu)選法中，用漸進(jìn)分?jǐn)?shù)近似代替ω確定試點(diǎn)的方法叫做分?jǐn)?shù)法．

(2)分?jǐn)?shù)法的最優(yōu)性：

①在目標(biāo)函數(shù)為單峰的情形，通過(guò)n次試驗(yàn)，最多能從(Fn＋1－1)個(gè)試點(diǎn)中保證找出最佳點(diǎn)，并且這個(gè)最佳點(diǎn)就是n次試驗(yàn)中的最優(yōu)試驗(yàn)點(diǎn)；

②在目標(biāo)函數(shù)為單峰的情形，只有按照分?jǐn)?shù)法安排試驗(yàn)，才能通過(guò)n次試驗(yàn)保證從(Fn＋1－1)個(gè)試點(diǎn)中找出最佳點(diǎn)．

典例分析

【題型1】相似三角形的應(yīng)用

例題1：如圖，以AB＝4為直徑的圓與△ABC的兩邊分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，∠ACB＝60°，則EF＝________.1解：連接AE，則AE⊥BC，∠CAE＝30°，故CE＝CA，又因?yàn)椤鰽BC∽△EFC，2

CEEF所以＝，EF＝2.CAAB

【題型2】圓中的比例線段

例題2： 如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點(diǎn)F，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF＝CF＝2，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE與圓相切，則線段CE的長(zhǎng)為_(kāi)_______． 解：設(shè)AF＝4x，BF＝2x，BE＝x，則由相交弦定理得DF·CF＝AF·FB，177即8x2＝2，即x2CE2＝EB·EA＝7x2＝CE＝442

練習(xí)1：已知C點(diǎn)在圓O直徑BE的延長(zhǎng)線上，CA切圓O于A點(diǎn)，CD是∠ACB的平分線，交AE于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)D.若AB＝AC，則AC∶BC＝________.解：∵∠B＝∠EAC，∠ACE＝∠BCA，ACAE∴△ACE∽△BCA，∴.又∵AB＝AC，BCAB

ACAE3∴∠B＝∠ACB＝30°，∴在Rt△ABE＝tanB＝tan30°.BCAB3

【題型3】圓內(nèi)接四邊形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用

例題3： 如圖，AB是⊙O的直徑，CB切⊙O于點(diǎn)B，CD切⊙O于點(diǎn)D，交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若ED＝3，∠ADE＝30°，則△BDC的外接圓的直徑為_(kāi)_______．

解：連接OD，∠ODB＝∠OBD＝∠ADE＝30°，∴∠AOD＝∠ODB＋∠OBD＝60°.∴△AOD是正三角形．

又O，B，C，D四點(diǎn)共圓，∴∠C＝∠AOD＝60°.從而∠E＝∠OAD－∠ADE＝30°，∴BD＝DE＝3.BD3由正弦定理得△BCD外接圓直徑2R＝＝2.sinCsin60°

【題型4】?jī)?yōu)選法

例題4：某校高二生物研究性學(xué)習(xí)小組計(jì)劃進(jìn)行某種樹(shù)木種子發(fā)芽試驗(yàn)，從相關(guān)資料得知該樹(shù)木種子發(fā)芽率試驗(yàn)的試驗(yàn)溫度從小到大排列依次為16℃，17℃，18℃，19℃，20℃，21℃，22℃；學(xué)習(xí)小組決定用分?jǐn)?shù)法對(duì)試驗(yàn)溫度進(jìn)行優(yōu)選．設(shè)第一次和第二次試驗(yàn)的溫度分別為x1，x2(x1>x2)．若第一次試驗(yàn)溫度比第二次試驗(yàn)溫度效果好，則第三次試驗(yàn)的溫度x3＝________℃.5解：依題設(shè)試驗(yàn)溫度范圍為(15℃，23℃)，由分?jǐn)?shù)法可知x1＝15＋(23－15)＝20(℃)，x2＝8

15＋23－20＝18(℃)，則x3＝18＋23－20＝21℃

小明為了了解某種農(nóng)作物在這一周內(nèi)的生長(zhǎng)最適宜溫度，他根據(jù)分?jǐn)?shù)法進(jìn)行試驗(yàn)，他的第一試點(diǎn)為x1℃，第二試點(diǎn)為x2℃，且x1>x2，則x2＝________.解：選用分?jǐn)?shù)法進(jìn)行判定，將一周的7個(gè)溫度按由小到大編號(hào)為1,2，…，7，可知x1＝0＋5－0)＝5，x2＝0＋8－5＝3，即x1對(duì)應(yīng)為27℃，x2對(duì)應(yīng)為26℃.8

小結(jié)：

教后記：

第二篇：幾何證明選講

幾何證明選講

2007年：

15．（幾何證明選講選做題）如圖4所示，圓O的直徑AB?6，C為圓周上一點(diǎn)，BC?3，過(guò)C作圓的切線l，過(guò)A作l的 垂線AD，垂足為D，則?DAC?

A

2008年：

15．（幾何證明選講選做題）已知PA是圓O的切線，切點(diǎn)為A，PA=2．AC是圓O的直徑，PC與圓O交于B點(diǎn)，PB=1，則圓O的半徑R=

圖

4l

2009年：

15.(幾何證明選講選做題)如下圖，點(diǎn)A、B、C是圓O上的點(diǎn)，且AB=4，?ACB?30，則圓O的面積等于

o

2010年：

14．（幾何證明選講選做題）如上圖3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=

a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段AB，AD的中點(diǎn)，則EF=2

2011年：

15．（幾何證明選講選做題）如圖，在梯形ABCD中，AB//CAD,B?4,C?D2,分別為E,F，上的點(diǎn)，且ADBC，?

3EF，EFAB

則梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為

A

2012年：

15．（幾何證明選講選做題）如圖3，直線PB與圓O相切與點(diǎn)B，D是弦AC上的點(diǎn)，?PBA??DBA，若AD?m,AC?n，則AB

圖3

2013年：

15．（幾何證明選講選做題）如圖3，在矩形ABCD

中，AB?BC?3，BE?AC，垂足為E，則ED?

圖3

第三篇：幾何證明選講專題

幾何證明選講

幾何證明選講專題

一、基礎(chǔ)知識(shí)填空：

1.平行線等分線段定理:如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段_________.推論1: 經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必______________.推論2: 經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線________________.2.平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的________________成比例.推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段___________.3.相似三角形的性質(zhì)定理：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于______；相似三角形周長(zhǎng)的比、外接圓的直徑比、外接圓的周長(zhǎng)比都等于_______________； 相似三角形面積的比、外接圓的面積比都等于____________________；

4.直角三角形的射影定理：直角三角形斜邊上的高是______________________的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷蟔______與_________的比例中項(xiàng).5.圓周角定理：圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的____________的一半.圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于_______________的度數(shù).推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角_________；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧_______.o推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是____；90的圓周角所對(duì)的弦是________.弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的______________.6.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理：

圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角______；圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的_____.如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)______；如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)_________.7.切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的__________.推論：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)_______；經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)______.切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的________.8.相交弦定理:圓內(nèi)兩條相交弦，_____________________的積相等.割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，_____________的兩條線段長(zhǎng)的積相等.切割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是__________的比例中項(xiàng).切線長(zhǎng)定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)____；

圓心和這點(diǎn)的連線平分_____的夾角.二、經(jīng)典試題：

1.(梅州一模文)如圖所示，在四邊形ABCD中，EFFG+=． EF//BC，F(xiàn)G//AD，則D BCAD

C

2.(廣州一模文、理)在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，且AE：EB=1：2，DE與AC交于

點(diǎn)F，若△AEF的面積為6cm2，則△ABC的面積為

B cm2．

3.(廣州一模文、理)如圖所示，圓O上

一點(diǎn)C在直徑AB上的射影為D，CD=4，BD=8，則圓O的半徑等于．

4.(深圳二模文)如圖所示，從圓O外一點(diǎn)P 作圓O的割線PAB、PCD，AB是圓O的直徑，若PA=4，PC=5，CD=3，則∠CBD=__ 第1頁(yè)

5.(廣東文、理)已知PA是圓O的切線，切點(diǎn)為A，PA=2.AC是圓O的直徑，PC與圓O交于點(diǎn)B，PB=1，則圓O的半徑R=_______.6.(廣東文、理)如圖所示，圓O的直徑

AB=6，C圓周上一點(diǎn)，BC=3，過(guò)C作圓的切線l，過(guò)A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓交于點(diǎn) D、E，則∠DAC＝，線段AE的長(zhǎng)為

三、基礎(chǔ)訓(xùn)練： 1.(韶關(guān)一模理)

如圖所示，PC切⊙O于

點(diǎn)C，割線

PAB經(jīng)過(guò)圓心O，弦CD⊥AB于 點(diǎn)E，PC=4，PB=8，則CD=________.2.(深圳調(diào)研文)如圖所示，從圓O外一點(diǎn)A 引圓的切線AD和割線ABC，已知AD=

AC=6，圓O的半徑為3，則圓心O到AC的距 離為_(kāi)_______.3.(東莞調(diào)研文、理)如圖所示,圓O上一

點(diǎn)C

在直徑AB上的射影為D，CD=4，則圓O的半徑等于．

4.(韶關(guān)調(diào)研理)如圖所示，圓O是

△ABC的外接圓，過(guò)點(diǎn)C的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，CD=AB=BC=3.則BD的長(zhǎng)______，AC的長(zhǎng)_______．5.(韶關(guān)二模理)如圖，⊙O′和

⊙O相交于A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q和M，交AB的延長(zhǎng)線于N，MN=3，NQ=15，則 PN＝______．

6.(廣州二模文、理)如圖所示, 圓的內(nèi)接

△ABC的∠C的平分線CD延長(zhǎng)后交圓于點(diǎn)E，連接BE，已知BD=3，CE=7，BC=5，則線段.N7.（湛江一模文）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接

于⊙O，BC是直徑，MN切⊙O于A，∠MAB=25則∠D=___.8.(湛江一模理)如圖，在△ABC中，D 是AC的中點(diǎn)，E是BD的中點(diǎn)，AE交BC

BF=于F，則

FC

第2頁(yè)

9.(惠州一模理)如圖：EB、EC是⊙O的兩

條切線，B、C是切點(diǎn)，A、D是⊙O上兩點(diǎn)，如果∠E＝460，∠DCF＝320，則∠A的度數(shù)是.10.(汕頭一模理)如圖，AB是圓O的直徑，直線CE和圓O相切于點(diǎn)C，AD⊥CE于D，若AD=1，∠ABC=300，則圓O的面積是______.11.(佛山一模理)如圖，AB、CD是圓O的兩條弦，C

且AB是線段CD的中垂線，已知AB=6，CD=25，則線段AC的長(zhǎng)度為．

12.已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC∥EF，E是AB的中點(diǎn)，EF交BD于G，交AC于H.若 AD=5，BC=7，則GH=________.13.如圖，圓O上一點(diǎn)C在直徑AB上的射影為D.C

AD=2，AC= 25，則AB=____

14.如圖，PA是圓的切線，A為切點(diǎn)，PBC是圓的 割線，且PB=

B

1PABC，則的值是________.2PB

15.如圖，⊙O的割線PAB交⊙O于A、B兩點(diǎn)，割線

PCD經(jīng)過(guò)圓心O，PE是⊙O的切線。已知PA=6，AB=7，PO=12，則PE=____O的半徑是_______.3答 案

二、經(jīng)典試題：

1.1 ；2.72；3.5 ；4.30o；5.；6.30°，3.三、基礎(chǔ)訓(xùn)練：

243

.5.3..3.5.4.4，522116..7.115o.8..9.99O.10.4?.25

11..12.1.13.10，4.14..15.4, 8.1.第3頁(yè)

第四篇：幾何證明選講練習(xí)題

選修4-1幾何證明選講綜合練習(xí)題

1.如圖,⊙O的直徑AB的延長(zhǎng)線與弦CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P,E為⊙O上一點(diǎn),AE＝AC ,DE交AB于點(diǎn)F,且AB?2BP?4,（1）求PF的長(zhǎng)度.（2）若圓F且與圓O內(nèi)切，直線PT與圓F切于點(diǎn)T，求線段PT的長(zhǎng)度。解：（1）連結(jié)OC,OD,OE,由同弧對(duì)應(yīng)的圓周角與圓心角之間的關(guān)系 結(jié)合題中條件弧長(zhǎng)AE等于弧長(zhǎng)AC可得?CDE??AOC, 又?CDE??P??PFD,?AOC??P??OCP, 從而?PFD??OCP,故?PFD∽?PCO,E A F B 證明：（Ⅰ）?AB為切線，AE為割線, ?AB2?AD?AE又 ?AB?AC?(2)由（1）有?

AD?AE?AC2--------------5分

?ADC~?ACE

ADAC

?又??EAC??DAC?ACAE

?ADC??ACE 又??ADC??EGF ??EGF??ACE ?GF//AC

PFPD?,…………4? PCPO

PC?PD1

2??3.…………6? 由割線定理知PC?PD?PA?PB?12,故PF?

E PO

4（2）若圓F與圓O內(nèi)切，設(shè)圓F的半徑為r，因?yàn)镺F?2?r?1即r?

1A

所以O(shè)B是圓F的直徑，且過(guò)P點(diǎn)圓F的切線為PT

2F B

5．如圖，⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作⊙O1的切線交⊙O2于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作兩圓的割線，分別交⊙O1、⊙O2于點(diǎn)D、E，DE與AC相交于點(diǎn)P，（I）求證：AD∥EC；

（Ⅱ）若AD是⊙O2的切線，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的長(zhǎng)。22.解：（Ⅰ）連接AB，?AC是⊙O1的切線，??BAC??D，又??BAC??E，??D??E?AD//EC……………4分（Ⅱ）?PA是⊙O1的切線，PD是⊙O1的割線，?PA2?PB?PD,則PT

?PB?PO?2?4?8，即PT?…………10?

2.三角形ABC內(nèi)接于圓O，P在BC的延長(zhǎng)線上，PA切圓O于A，D為AB的中點(diǎn)，PD交AC于E,AE?3EC,求

PA

.PC

?62?PB?(PB?9)?PB?3又⊙O2中由相交弦定理，得PA?PC?BP?PE ?PE?4?AD是⊙O2的切線，DE是⊙O2的割線，?AD2?DB?DE?9?16，?AD?12.………………10分

6．如圖，已知⊙O和⊙M相交于A,B兩點(diǎn)，AD為⊙M的直徑，直線BD交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)G為弧BD中點(diǎn)，連結(jié)AG分別交⊙O,BD于點(diǎn)E,F，連結(jié)CE，PA2PA2PB?PCPB

解析：由PA?PC?PB,?()?，??

PCPCPC2PC2

過(guò)C作CH//AB，交PD于H，因?yàn)锽D?AD，PBBDADAEPA

????3，故?3 所以有

PCCHCHECPC

GFEF2

?（Ⅰ）求證：AG?EF?CE?GD；（Ⅱ）求證：。AGCE2

證明：（I）連結(jié)AB，AC，∵AD為?M的直徑，∴?ABD?90，3．(本小題滿分12分)選修4－1：幾何證明選講如圖，已知點(diǎn)C在圓O直徑BE的延長(zhǎng)線上，CA切圓O于A點(diǎn)，DC是?ACB的平分線并交AE于點(diǎn)F，交AB于D點(diǎn)，求?ADF的大小。

解：如圖，連接AO，因?yàn)锳C是圓O的切線，則?OAC?900，因DC是?ACB的平分線，又OA?OB，設(shè)?ACD??ECD??1,?ABO??BAO??2，在?ABC中，∴AC為?O的直徑，∴?CEF??AGD?90?．…………2分 ∵?DFG??CFE，∴?ECF??GDF，∵G為弧BD中點(diǎn)，∴?DAG??GDF．…………4分 ∵?ECB??BAG，∴?DAG??ECF，∴?CEF∽?AGD．…………5分

∴

CEAG

?，∴AG?EF?CE?GD．…………6分 EFGD

（II）由（I）知?DAG??GDF，?G??G，2?2?2?1?900?1800??1??2?450，而在?ADC中，?ADF??1??2?90，故?ADF?45° …………10分

∴?DFG∽?AGD，∴DG2?AG?GF．………8分

EF2GD2GFEF2

由（I）知，∴．………10分 ??222

CEAGAGCE

4.如圖，AB是⊙O的一條切線，切點(diǎn)為B，ADE,CFD,CGE

都是⊙O的割線，已知AC?AB，（Ⅰ）證明：AD?AE?AC；（Ⅱ）證明：FG//AC。

7．如圖，在?ABC中，?ABC?900，以BC為直徑的圓O交AC于點(diǎn)D，設(shè)E為AB的中點(diǎn)。（1）求證：直線DE為圓O的切線；（2）設(shè)CE交圓

O于點(diǎn)F，求證：CD?CA?CF?CE。

O，過(guò)點(diǎn)A的直線交⊙O于點(diǎn)P，交BC的延長(zhǎng)線于10．(本小題滿分10分)如圖，?ABC內(nèi)接于⊙

點(diǎn)D，且AB2?AP?AD。（1）求證：AB?AC；

O的半徑為1，（2）如果?ABC?600，⊙

且P為弧AC的中點(diǎn)，求AD的長(zhǎng)。

8．在?ABC中，AB?AC，過(guò)點(diǎn)A的直線與其外接圓交于點(diǎn)P，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)D。

PCPD

（1）求證：；（2）若AC?3，求AP?AD的值。?

ACBD

解：（1）??CPD??ABC,?D??D，??DPC～?DBA，11．如右上圖，?ABC是直角三角形，?ABC?900，以AB為直徑的圓O交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)D是BC

邊的中點(diǎn)，連OD交圓O于點(diǎn)M，（Ⅰ）求證：O,B,D,E四點(diǎn)共圓；（Ⅱ）求證：2DE2?DM?AC?DM?AB。

D

PCPDPCPD

又?AB?AC,?（5分）???

ABBDACBD

（2）??ACD??APC,?CAP??CAP,??APC～?ACD APAC，?AC2?AP?AD?9………（10分）??

ACAD

9．(本小題滿分12分)已知C點(diǎn)在⊙O直徑BE的延長(zhǎng)線上，CA切⊙O于A點(diǎn)，CD是?ACB的平分線且交AE于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)D。（1）求?ADF的度數(shù)；（2）若AB?AC，求

AC的值。

BC

12．如圖，?ABC的外角?EAC的平分線AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，延長(zhǎng)DA交?ABC的外接圓于點(diǎn)F，連結(jié)FB,FC。

（1）求證：FB2?FA?FD；

（2）若AB是?ABC外接圓的直徑，且?EAC?120?,BC?6，求線段AD的長(zhǎng)。

可以得知△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．

BFEFBFCFEFCF

∴BF?EF．∵G是AD的中點(diǎn)，∴DG?AG．∴?∴??．．

DGAGDGCGAGCG

（Ⅱ）連結(jié)AO，AB．∵BC是?O的直徑，∴?BAC?90°．

在Rt△BAE中，由（Ⅰ）得知F是斜邊BE的中點(diǎn)，∴AF?FB?EF．

∴?FBA??FAB．又∵OA?OB，∴?ABO??BAO．∵BE是?O的切線，∴?EBO?90°．∵?EBO??FBA??ABO??FAB??BAO??FAO?90°，∴PA是?O的切線．

15．如圖，⊙O是?ABC的外接圓，D是弧AC的中點(diǎn)，BD交AC于E。（I）求證：CD2?DE?DB。（II）若CD?O到AC的距離為1，求⊙O的半徑。

AB?1，圓O的2

割線MDC交圓O于點(diǎn)D,C，過(guò)點(diǎn)M作AM的垂線交直線AD,AC分別于點(diǎn)E,F，證明：（Ⅰ）?MED??MCF；（Ⅱ）ME?MF?3。

13．如圖：AB是圓O的直徑（O為圓心），M是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且MB?證明：（Ⅰ）連接BC得?ACB?90，所以?ACB??BMF?90，∴B,C,F,M四點(diǎn)共圓，∴?CBA??CFM，又∵?CBA??CDA??EDM ∴?EDM??CFM，在?EDM與?CFM中可知?MED??MCF。6分（Ⅱ）由?MED??MCF，得E,F,C,D四點(diǎn)共圓，∴ME?MF?MD?MC，又∵M(jìn)D?MC?MB?MA?3，∴ME?MF?3。┈┈┈┈┈10分

A

F

??

C

D

E

16．如圖所示，已知PA與?O相切，A為切點(diǎn)，PBC為割線，D為?O上的點(diǎn)，且AD=AC，AD，M

O

14.如圖, 點(diǎn)A是以線段BC為直徑的圓O上一點(diǎn),AD?BC于點(diǎn)D,BC相交于點(diǎn)E。（Ⅰ）求證：AP//CD；（Ⅱ）設(shè)F為CE上的一點(diǎn)，且?EDF??P，求證：CE?EB?FE?

EP.過(guò)點(diǎn)B作圓O的切線,與CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E, 點(diǎn)G是AD的中點(diǎn),連結(jié)CG并延長(zhǎng)與BE相交于點(diǎn)F, 延長(zhǎng)AF與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P.（Ⅰ）求證:BF?EF；

（Ⅱ）求證:PA是圓O的切線；

證明：（Ⅰ）∵BC是?O的直徑，BE是?O的切線，∴EB?BC．又∵AD?BC，∴AD∥BE．

第五篇：幾何證明選講習(xí)題

幾何證明選講

已知正方形ABCD，E、F分別為BC、AB邊上的點(diǎn)，且BE=BF，BH⊥CF于H，連結(jié)DH.求證：DH⊥EH.已知AD⊥BC于D，AE:ED=CD:BD,DF⊥BE于F，求證：AF⊥CF.已知正方形ABCD，E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，AE=3CE，F(xiàn)為AB邊中點(diǎn)，求證：DE⊥EF.F

B

如圖1，在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點(diǎn)，?BAC??AGF?90，它們的斜邊長(zhǎng)為2，若△ABC固定不動(dòng)，△AFG繞點(diǎn)

?

A旋轉(zhuǎn)，AF，AG與邊BC的交點(diǎn)分別為D，E（點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合），設(shè)BE?m，CD?n．

（1）請(qǐng)?jiān)趫D中找出兩對(duì)相似而不全等的三角形，并選取其中一對(duì)進(jìn)行證明；（2）求m與n的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量n的取值范圍；

（3）以△ABC的斜邊BC所在直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖2）．在邊BC上找一點(diǎn)D，使BD?CE，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，并通過(guò)計(jì)算

驗(yàn)證BD?CE?DE．

（4）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，（3）中的等量關(guān)系BD?CE?DE是否始終成立，若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

A

C G

2F 圖

1圖2

如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角．點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF． 解答下列問(wèn)題：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90o．

①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為．

F

E

A

E

C

B

圖乙

FEC

B圖甲

圖丙

②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖丙，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90o，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)．

試探究：當(dāng)△ABC滿足一個(gè)什么條件時(shí)，CF⊥BC（點(diǎn)C、F重合除外）？畫出相應(yīng)圖形，并說(shuō)明理由．（畫圖不寫作法）

（3）若AC

＝BC=3，在（2）的條件下，設(shè)正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點(diǎn)P，求線段CP長(zhǎng)的最大值．

已知：如圖①所示，在△ABC和△ADE中，AB?AC，AD?AE，?BAC??DAE，且點(diǎn)B，A，D在一條直線上，連接BE，CD，M，N分別為BE，CD的中點(diǎn)．（1）求證：①BE?CD；②△AMN是等腰三角形．

（2）在圖①的基礎(chǔ)上，將△ADE繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180，其他條件不變，得到圖②所示的圖形．請(qǐng)直接寫出（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立；

△PBD∽△AMN．（3）在（2）的條件下，請(qǐng)你在圖②中延長(zhǎng)ED交線段BC于點(diǎn)P．求證：

C

B

D

B

E

圖② A

?

如圖，已知：Rt△ABC中，?C?90?，AC?BC?2，將一塊三角尺的直角頂點(diǎn)與斜邊

A 圖①

AB的中點(diǎn)M重合，當(dāng)三角尺繞著點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，兩直角邊始終保持分別與邊BC，AC交于D，E兩點(diǎn)（D，E不與B，A重合）．（1）求證：MD?ME；

（2）求四邊形MDCE的面積；

（3）若只將原題目中的“AC?BC?2”改為“BC?a，AC?b(a?b)”其它都不變，請(qǐng)你探究：MD和ME還相等嗎?如果相等，請(qǐng)證明；如果不相等，請(qǐng)求出MD:ME的值．B

D

M

C

E

A