第一篇：新課標(biāo)選修2-1空間向量與立體幾何檢測(cè)題(

空間向量

第Ⅰ卷（選擇題，共50分）

一、選擇題：（本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1．在下列命題中：①若a、b共線，則a、b所在的直線平行；②若a、b所在的直線是異面直線，則a、b一定不共面；③若a、b、c三向量?jī)蓛晒裁妫瑒ta、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，則空間任意一個(gè)向量總可以唯一表示為p?xa?yb?zc．其中正確命題的個(gè)數(shù)為

A．0B．1C．2D．3（）

（）??????????2．在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，向量D1A、D1C、A1C1是

A．有相同起點(diǎn)的向量B．等長(zhǎng)向量

C．共面向量D．不共面向量

3．若向量垂直向量和,向量????(?,??R且?、??0)則

A．//B．?D．以上三種情況都可能 C．不平行于,也不垂直于（）

4．已知a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，5，λ），若a、b、c三向量共面，則實(shí)數(shù)λ等于（）

A．

????5．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若?,?,CC1?，則A1B?

A．a(chǎn)+b－cB．a(chǎn)－b+cC．－a+b+c627B．637C．647D．657（）D．－a+b－c

6．已知++＝，||＝2，||＝3，||＝，則向量與之間的夾角?,?為（）

A．30°B．45°C．60°D．以上都不對(duì) 7．若、均為非零向量，則??是與共線的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件

8．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），則BC邊上的中線長(zhǎng)為（）

A．2B．3C．4D．5 9．已知?3?2?,???2,則5與

3A．－15 B．－5 C．－3 D．－1（）????????????????????10．已知OA?(1,2,3)，OB?(2,1,2)，OP?(1,1,2)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)QA?QB（）取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

***7A．(，)B．(，)C．(，)D．(，)243234333333

第Ⅱ卷（非選擇題，共100分）

二、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分）11．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m,n,m－2n)，C(m＋3,n－3,9)三點(diǎn)共線，則m+n= ． 12．已知S是△ABC所在平面外一點(diǎn)，D是SC的中點(diǎn)，????????????????

若BD＝xAB?yAC?zAS，則x＋y＋z＝． 13．在空間四邊形ABCD中，AC和BD為對(duì)角線，G為△ABC的重心，E是BD上一點(diǎn)，BE＝3ED，????????????????

以｛AB，AC，AD｝為基底，則GE＝．

14．設(shè)|m|＝1，|n|＝2，2m＋n與m－3n垂直，a＝4m－n，＝7＋2，則<,>＝．

三、解答題（本大題滿分76分）

15．(12分)如圖，一空間四邊形ABCD的對(duì)邊

AB與CD，AD與BC都互相垂直，用向量證明：AC與BD也互相垂直．

16．（12分））如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中點(diǎn)，取如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．（1）寫出A、B1、E、D1的坐標(biāo)；

（2）求AB1與D1E所成的角的余弦值．

17．（12分）如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、PC的中點(diǎn)．

（1）求證：EF∥平面PAD；（2）求證：EF⊥CD；

（3）若?PDA＝45?，求EF與平面ABCD所成的角的大小．

18．（12分）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，如圖Ｅ、Ｆ分別是BB1，ＣＤ的中點(diǎn)，（1）求證：D1F?平面ADE；

（2）

．

19．（14分）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD?底面ABCD，PD?DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF?PB交PB于點(diǎn)F.（1）證明 PA∥平面EDB；（2）證明PB?平面EFD；

（3）求二面角C-PB-D的大小．

20．（14分）如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，側(cè)

棱AA1=2，D、E分別是CC1與A1B的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G.（1）求A1B與平面ABD所成角的大小

（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；（2）求點(diǎn)A1到平面AED的距離.-3-

參考答案

（六）二、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分）11．

311

312． 013． ???14．0°2123

4三、解答題（本大題共6題，共76分）

15．(12分)證明：??CD???0.又???，?(CB?CA)?CD?0即???.……①??BC???0.又???，?(?)??0即???.……②

由①+②得：????0即??0.?AC?BD.16．(12分)解：(1)A(2, 2, 0)，B1(2, 0, 2)，E(0, 1, 0)，D1(0, 2, 2)

→→→→→→

(2)∵ AB1 ＝(0,-2, 2)，ED1 ＝(0, 1, 2)∴ |AB1 |＝ 2，|ED1 | ＝5，AB1 · ED1 ＝ 0－2＋4＝2,→→

→→AB· ED 21010

∴ cos ?AB1，ED1 ?＝＝＝ ．∴ AB1與ED1所成的角的余弦值為 ．

1010→→2×

5|AB1 |· |ED1 |

17．(12分)證：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，設(shè)AB＝2a，BC＝2b，PA＝2c，則：A(0, 0, 0)，B(2a, 0, 0)，C(2a, 2b, 0)，D(0, 2b, 0)，P(0, 0, 2c)∵ E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)∴ E(a, 0, 0)，F(xiàn)(a, b, c)

→→→(1)∵EF ＝(0, b, c)，AP ＝(0, 0, 2c)，AD ＝(0, 2b, 0)→1→→→→→

∴EF ＝(AP ＋AD)∴EF 與AP、AD 共面

又∵ E ?平面PAD ∴ EF∥平面PAD．

→→→(2)∵ CD ＝(-2a, 0, 0)∴ CD ·EF ＝(-2a, 0, 0)·(0, b, c)＝0 ∴ CD⊥EF．

→

(3)若?PDA＝45?，則有2b＝2c，即 b＝c，∴EF ＝(0, b, b)，→→→→→2b22 AP ＝(0, 0, 2b)∴ cos ? EF，AP ?＝＝∴ ? EF，AP ?＝45?

22b·2b→→→→

∵ AP ⊥平面 AC，∴ AP 是平面 AC的法向量 ∴ EF與平面AC所成的角為：90?－? EF，AP ?＝45?． 18．(12分)解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，（1

則D（0，0，0），A（1，0，0），D1（0，0，1），E（1，1，），F(xiàn)（0，0），21

則D1F＝（0，－1），D＝（1，0，0），＝（0，1，12），則D1?＝0，D1F?AE＝0，?D1F?DA，D1F?AE.?D1F?平面ADE.12，－

（２）B1（1，1，1），C（0，1，0），故CB1＝（1，0，1），＝（－1，－），?EF?CB1＝－1＋0－

＝－

32，??1?1?

3?

2，則

??

?

3?22

??

.?150?.19．（14分）解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點(diǎn).設(shè)DC(1)證明：連結(jié)AC，AC交BD于G.連結(jié)EG.?a.P

aa

依題意得A(a,0,0),P(0,0,a),E(0，)

22F?G是此正方形的中心，?底面ABCD是正方形，aa????????

故點(diǎn)G的坐標(biāo)為(，0)且PA?(a,0,?a),EG?(a,0,?a).2222?????????PA?2EG.這表明PA∥EG.而EG?平面EDB且PA?平面EDB，?PA∥平面EDB。

????????aaa2a2

(2)證明：依題意得B(a,a,0),PB?(a,a,?a)。又DE?(0，),故PB?DE?0???0

2222

?PB?DE, 由已知EF?PB，且EF?DE?E,所以PB?平面EFD.????????

(3)解：設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(x0,y0,z0),PF??PB,則(x0,y0,z0?a)??(a,a,?a)

從而x0

?aa11??a,y0??a,z0?(1??)a.所以???FE?(?x0,?y0,?z0)?(??a,(??)a,(??)a).由條件EF

?PB知，PE?PB?0即??a2?(1??)a2?(??1)a2?0,解得 ??

????

?點(diǎn)F的坐標(biāo)為(a,a,2a), 且FE?(?a,a,?a),FD?(?a,?a,?2a).????

。3

366333333

a2a22a2

PB?FD?????0,即PB?FD，故?EFD是二面角C?PB?D的平面角.333

a2a2a2a2a24a2a2a2a2a2

∵?

?????a????a ???

***

????????

FE.FD ?cosEFD??|FE||FD|

a2??,所以，1.二面角C—PC—D的大小為?.??EFD?

332

20．(14分)解：（1）連結(jié)BG，則BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B與平面ABD所成的角.如

圖所示建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，設(shè)CA=2a，則A（2a，0，0），B（0，2a，0），D（0，0，1）A1（2a，0，2）

E（a，a，1）G（2a2a1，）.333

aa2

?GE?(，),BD?(0,?2a,1)，333

????a2??0，解得a=1.33

241

?BA1?(2,?2,2),BG?(,?,),333

?cos?A1BG?

BA1?BG

?

|BA1||BG|

14/37.?132?21

A1B與平面ABD所成角是arccos

.（2）由（1）有A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，1，1），D（0，0，1）

??(?1,1,1)?(?1,?1，0）?0，AA,?1,0)?0 1??(0,0,2)?(?1?ED?平面AA1E，又ED?平面AED.∴平面AED⊥平面AA1E，又面AED?面AA1E=AE，∴點(diǎn)A在平面AED的射影K在AE上.AK??，則A1?A1??(??,?,??2)

??????2?0??由A，即，解得.??01

設(shè)

44162224??? ?A1?(?，?),?

9993333

即點(diǎn)A1到平面AED的距離為.

第二篇：《立體幾何VS空間向量》教學(xué)反思

我這節(jié)公開課的題目是《立體幾何VS空間向量》選題背景是必修2學(xué)過立體幾何而選修21又學(xué)到空間向量在立體幾何中的應(yīng)用。學(xué)生有先入為主的觀念，總想用舊方法卻解體忽視新方法的應(yīng)用，沒有掌握兩種方法的特征及適用體型導(dǎo)致做題不順利。針對(duì)此種情況，我特意選了這節(jié)內(nèi)容來講。整節(jié)課，我是這樣設(shè)計(jì)的。本著以學(xué)生為主，教師為輔的這一原則，把學(xué)生分成兩組。利用學(xué)生的求知欲和好勝心強(qiáng)的這一特點(diǎn)，采取競(jìng)賽方式通過具體例題來歸納。分析概括兩種方法的異同及適用體型。最終讓學(xué)生在知識(shí)上有所掌握。在能力和意識(shí)上有所收獲。那么這節(jié)課我最滿意的有以下幾個(gè)地方(1)學(xué)生的參與這節(jié)課的主講不是我，是學(xué)生我要做的是設(shè)置問題和激發(fā)興趣。至于整個(gè)分析過程和解決過程都是由學(xué)生來完成的。這節(jié)課二班學(xué)生積極參與，注意力集中。課堂氣氛活躍學(xué)生興趣濃厚，求知欲強(qiáng)，參與面大，在課堂中能夠進(jìn)行有效的合作與平等的交流。(2)學(xué)生的創(chuàng)新這一點(diǎn)是我這節(jié)課的意外收獲。在求一點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，我用的是投影而該班周英杰同學(xué)卻利用的是共線，方法簡(jiǎn)潔，給人以耳目一新的感覺。另外該班的徐漢宇同學(xué)在兩道中都提出了不同的做法。有其獨(dú)特的見解。可見學(xué)生真的是思考了，我也從中獲益不少。真的是給學(xué)生以展示的舞臺(tái)。他回報(bào)你以驚喜。(3)學(xué)生的置疑林森同學(xué)能直截了當(dāng)?shù)闹赋龊诎迳系腻e(cuò)誤而且是一個(gè)我沒發(fā)現(xiàn)的錯(cuò)誤這一點(diǎn)是我沒想到的.這說明了學(xué)生的注意力高度集中.善于觀察也說明了我們的課堂比較民主,學(xué)生敢于置疑.這種大膽質(zhì)疑的精神值得表?yè)P(yáng).我不滿意的地方有以下幾點(diǎn)(1)題量的安排 5道題雖然代表不同的類型.但從效果上看顯得很匆忙.每道題思考和總結(jié)的時(shí)間不是很長(zhǎng),我覺得要是改成4道題.時(shí)間就會(huì)充裕效果就會(huì)更好些.(2)課件的制作 立體幾何著重強(qiáng)調(diào)的是空間想象力,如果能從多個(gè)角度觀察圖形學(xué)生會(huì)有不同發(fā)現(xiàn).比如徐漢宇同學(xué)的不同做法.需要對(duì)圖形旋轉(zhuǎn).如果讓他上黑板做圖時(shí)間又不夠.我想不妨讓他畫好圖后用投影儀投到大屏幕上,效果會(huì)更好.(3)總結(jié)時(shí)間短 這節(jié)課的主題是兩種方法的比較和不同方法的適用題型,后來的小結(jié)時(shí)間不夠.這和我設(shè)置的容量大.有直接關(guān)系.沒有突出主題.我想不如直接刪掉一道題.空出時(shí)間讓學(xué)生自己談?wù)勑牡皿w會(huì).自己找找解題規(guī)律應(yīng)該會(huì)更好.以上就是我對(duì)這節(jié)課的反思.其實(shí)我最想說的是我的心路歷程.每次上公開課都能發(fā)現(xiàn)新問題.正是這些問題使我變得成熟,完善,我很珍惜每一次上公開課的機(jī)會(huì).它使我理智的看待自己的教學(xué)活動(dòng)中熟悉的習(xí)慣性的行為.使自己的教育教學(xué)理念和教學(xué)能力與時(shí)俱進(jìn).

第三篇：空間向量方法解立體幾何教案

空間向量方法解立體幾何

【空間向量基本定理】

例1.已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點(diǎn)，且PA⊥平面ABCD，M、N分別為PC、PD上的點(diǎn)，且M分

數(shù)x、y、z的值。成定比2，N分PD成定比1，求滿足的實(shí)

分析;結(jié)合圖形，從向量

用、、出發(fā)，利用向量運(yùn)算法則不斷進(jìn)行分解，直到全部向量都表示出來，即可求出x、y、z的值。

如圖所示，取PC的中點(diǎn)E，連接NE，則

點(diǎn)評(píng)：選定空間不共面的三個(gè)向量作基向量，并用它們表示出指定的向量，是用向量解決立體幾何問題的一項(xiàng)基本功，要結(jié)合已知和所求，觀察圖形，聯(lián)想相關(guān)的運(yùn)算法則和公式等，就近表示所需向量。再對(duì)照目標(biāo)，將不符合目標(biāo)要求的向量當(dāng)作新的所需向量，如此繼續(xù)下去，直到所有向量都符合目標(biāo)要求為止，這就是向量的分解。有分解才有組合，組合是分解的表現(xiàn)形式。空間向量基本定理恰好說明，用空間三個(gè)不共面的向量組可以表示出空間任意一個(gè)向量，而且a,b,c的系數(shù)是惟一的。

【利用空間向量證明平行、垂直問題】

例2.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB于點(diǎn)F。

（1）證明：PA//平面EDB；

（2）證明：PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C—PB—D的大小。

點(diǎn)評(píng)：（1）證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量．

（2）證明線面平行的方法：

①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；

②證明能夠在平面內(nèi)找到一個(gè)向量與已知直線的方向向量共線；

③利用共面向量定理，即證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量是共面向量．

（3）證明面面平行的方法：

①轉(zhuǎn)化為線線平行、線面平行處理；

②證明這兩個(gè)平面的法向量是共線向量．

（4）證明線線垂直的方法是證明這兩條直線的方向向量互相垂直．

（5）證明線面垂直的方法：

①證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量；

②證明直線與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量互相垂直．（6）證明面面垂直的方法：

①轉(zhuǎn)化為線線垂直、線面垂直處理；②證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直． 【用空間向量求空間角】

例3.正方形ABCD—中，E、F分別是

（1）異面直線AE與CF所成角的余弦值；（2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。，的中點(diǎn)，求：

點(diǎn)評(píng)：（1）兩條異面直線所成的角可以借助這兩條直線的方向向量的夾角

求得，即。

（2）直線與平面所成的角主要可以通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角求得，即或

（3）二面角的大小可以通過該二面角的兩個(gè)面的法向量的夾角求得，它等于兩法向量的夾角或其補(bǔ)角。

【用空間向量求距離】

例4.長(zhǎng)方體ABCD—中，AB=4，AD=6，段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中點(diǎn)，求：

（1）異面直線AM與PQ所成角的余弦值；（2）M到直線PQ的距離；（3）M到平面AB1P的距離。，M是A1C1的中點(diǎn)，P在線

本題用純幾何方法求解有一定難度，因此考慮建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量坐標(biāo)法來解決。利用向量的模和夾角求空間的線段長(zhǎng)和兩直線的夾角，在新高考試題中已多次出現(xiàn)，但是利用向量的數(shù)量積來求空間的線與線之間的夾角和距離，線與面、面與面之間所成的角和距離還涉及不深，隨著新教材的推廣使用，這一系列問題必將成為高考命題的一個(gè)新的熱點(diǎn)。現(xiàn)列出幾類問題的解決方法。

（1）平面的法向量的求法：設(shè)，利用n與平面內(nèi)的兩個(gè)向量a，b垂直，其數(shù)量積為零，列出兩個(gè)三元一次方程，聯(lián)立后取其一組解。

（2）線面角的求法：設(shè)n是平面

向量，則直線與平面的一個(gè)法向量，AB是平面的斜線l的一個(gè)方向

所成角為?則sin??

（3）二面角的求法：①AB，CD分別是二面角面直線，則二面角的大小為。的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的異

②設(shè)分別是二面角的兩個(gè)平面的法向量，則

就是二面角的平面角或其補(bǔ)角。

（4）異面直線間距離的求法：向量，又C、D分別是

是兩條異面直線，n是。的公垂線段AB的方向

上的任意兩點(diǎn)，則

（5）點(diǎn)面距離的求法：設(shè)n是平面平面的距離為。的法向量，AB是平面的一條斜線，則點(diǎn)B到

（6）線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離再用（5）中方法求解。

練習(xí)：

?????1????2????

1.若等邊?ABC的邊長(zhǎng)

為，平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足CM?CB?CA，則

????????MA?MB?_________

2．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，0，2），B(1，-3，1)，點(diǎn)M在y軸上，且M到A與到B的距離相等，則M的坐標(biāo)是________。3.（本小題滿分12分）

如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A ?平面ABCD, AD//BC//FE，AB?AD，M為EC的中點(diǎn)，AF=AB=BC=FE=

AD 2

(I)求異面直線BF與DE所成的角的大小；(II)證明平面AMD?平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。

4．（本題滿分15分）如圖，平面PAC?平面ABC，?ABC

是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E,F,O分別為PA，PB，AC的中點(diǎn)，AC?16，PA?PC?10．

（I）設(shè)G是OC的中點(diǎn)，證明：FG//平面BOE；

（II）證明：在?ABO內(nèi)存在一點(diǎn)M，使FM?平面BOE，并求點(diǎn)M到OA，OB的距離．

5.如圖，四棱錐P?ABCD的底面是正方形，PD?底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB上.（Ⅰ）求證：平面AEC?平面PDB；

（Ⅱ）當(dāng)PD?且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AE與

平面PDB所成的角的大小.

第四篇：人教B版選修2-1空間向量與立體幾何知識(shí)小結(jié)（模版）

選修2-1 第三章：空間向量與立體幾何

1、空間向量及其運(yùn)算： ??????（1）空間中的平行（共線）條件：a//bb?0??x?R,a?xb ??

????????（2）空間中的共面條件：a,b,c共面（b,c不共線）??x,y?R,a?xb?yc

????????????????推論：對(duì)于空間任一點(diǎn)O和不共線三點(diǎn)A、B、C，OP?xOA?yOB?zOC

?x?y?z?1?，則四點(diǎn)O、A、B、C共面

???（3）空間向量分解定理：如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)空間任一向量

?????p?xa?yb?z c

（4）空間向量的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積定義及運(yùn)算

????若a??x1,y1,z1?,b??x2,y2,z2?，則：a?b??x1?x2,y1?y2,z1?z2?

??? zx?1y2y?1z?a???x1,?y1,?z1?a?b?1x

2注1：數(shù)量積不滿足結(jié)合律；

注2：空間中的基底要求不共面。

2、空間向量在立體幾何證明中的應(yīng)用：

????????（1）證明AB//CD，即證明AB//CD

????????（2）證明AB?CD，即證明AB?CD?0

????????（3）證明AB//?（平面）（或在面內(nèi)），即證明AB垂直于平面的法向量或證明AB與平面

內(nèi)的基底共面；

????????（4）證明AB??，即證明AB平行于平面的法向量或證明AB垂直于平面內(nèi)的兩條相交的直線所對(duì)應(yīng)的向量；

（5）證明兩平面?//?（或兩面重合），即證明兩平面的法向量平行或一個(gè)面的法向量垂直于另一個(gè)平面；

（6）證明兩平面???，即證明兩平面的法向量垂直或一個(gè)面的法向量在內(nèi)一個(gè)面內(nèi)。

第五篇：用空間向量處理立體幾何的問題

【專題】用空間向量處理立體幾何的問題

一、用向量處理角的問題

例1在直三棱柱ABO?A1B1O1中，OO1?4，OA?4，OB?3，?AOB?90?，P是側(cè)棱

BB1上的一點(diǎn)，D為A1B1的中點(diǎn)，若OP?BD，求OP與底面AOB所成角的正切值。

B

1A1 P

B

A

?平面OAB，?OOB例2如圖，三棱柱OAB?O1A1B1，平面OBBO?60?，?AOB?90?，111

且OB?OO1?

2，OA? 求：（1）二面角O1?AB?O的余弦值；（2）異面直線A與AO1所成角的余弦值。1B

B1

A

例3如圖，已知ABCD是連長(zhǎng)為4的正方形，E、F分別是AD、AB的中點(diǎn)，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求點(diǎn)B到平面EFG的距離。

D

E

AB

AB?4，AD?3，AA1?2，M、N分別為DC、BB1例4在長(zhǎng)方體ABCD?A1BC11D1，的中點(diǎn)，求異面直線MN與A1B的距離。

三、用向量處理平行問題 例5如圖，已知四邊形ABCD，ABEF為兩個(gè)正方形，MN分別在其對(duì)角線BF、AC上，且FM=AN。

求證：MN//平面EBC。

E

F

M

B A

D

C

例6 在正方體ABCD?A1BC11D1中，求證：平面A1BD//平面CB1D1。

EFBD的中點(diǎn)，例7在正方體ABCD?A求證： A1F?平面BDE。1BC11D1中，、分別是CC1、例8如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面是以?ABC為直角的等腰三角形，AC?2，E為B1C的中點(diǎn)。BB1?2，D為AC11的中點(diǎn)，（1）求直線BE與DC所成的角；

（2）在線段AA1上是否存在點(diǎn)F，使CF?平面B1DF，若存在，求出AF的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）若F為AA1的中點(diǎn)，求C到平面B1DF的距離。

C

1A1

A

C

五、高考題回顧

1.(2003年全國(guó)高考題)如圖在直三棱柱ABC?A1B1C1,底面是等腰直角三角形,?ACB?900,側(cè)棱AA1?2,D,E分別是CC1與A1B的中點(diǎn),點(diǎn)E在平面ABD上的射影是?ABD的重心G.(?)求A1B與平面ABD所成角的余弦值;(??)求點(diǎn)A1到平面AED的距離.A2.(2004年高考題)如圖,直三棱柱ABC?A1B1C1中,?ACB?900,AA1?1,側(cè)面AA1B1B的兩條對(duì)角線交點(diǎn)為D,B1C1的中點(diǎn)為M.(?)求證CD?平面BDM;

(??)求面B1BD與面CBD所成二面角的余弦值.B

六、方法小結(jié)

1、求點(diǎn)到平面的距離

?

如圖，已知點(diǎn)P（x0，y0，z0），A（x1，y1，z1），平面?一個(gè)法向量n。

B

A

1C1

?????????????????????n?AP???由n?AP?|n|?|AP|cos?，其中???n,AP?，可知|AP|cos??

|n|

????

而|AP|cos?的絕對(duì)值就是點(diǎn)P到平面?的距離。

2、求異面直線的距離、夾角

?????????a?b|EF?n|?d?；cos?a,b??

|n||a|?|b|

3、求二面角

??????????

如圖:二面角??l??,平面?的法向量為n1,平面?的法向量為n2,若?n1,n2???,則二面角??l??為?或???.4、用空間向量證明“平行”，包括線面平行和面面平行。

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