第一篇：妙用向量解題

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妙用向量解題

作者：姜利麗

來源：《數(shù)理化學習·高一二版》2013年第08期

向量作為一種新型的解題工具，在眾多數(shù)學問題中有十分廣泛的應用.除了在空間立體幾何的廣泛應用外，筆者也發(fā)現(xiàn)在解析幾何，不等式，代數(shù)中，也能找到它的影子.一、用向量證明三點共線

例1 在平行四邊形ABCD中，M是AB的中點，N是BD上一點，BN=13BD.求證：M、N、C三點共線.

第二篇：妙用公倍數(shù)解題數(shù)學日記

星期天，也是母親節(jié)，我溜進書房，想做一張賀卡，媽媽聲音響起：“嗯，不錯，知道學習了，你做幾道奧數(shù)題吧!”沒辦法，我只好翻開了《舉一反三》。

“嗯，今天該做這幾個題了”。只見題上寫道：“從小亮家到學校，原來隔50米豎一根電線桿，連兩端的兩根一共有55根電線桿，現(xiàn)在要改成每隔60米豎一根電線桿，除兩端的兩根不需要移動外，中途還有幾根不必要移動?”

看完題后，我丈二和尚摸不著頭腦，該用什么方法去解呢，我冥思苦想;對了，我們最近剛學過“最小公倍數(shù)”這種題是否適用呢?我決定試一試。算這種題需先求出整條路的長，因為是每隔50米一根電線桿，連兩端共55根，所以路長應是50×(55-1)=2700米，全長2700米，原來是每隔50米豎一根，現(xiàn)在是隔60米，也就是說正好處在50和60的公倍數(shù)處的電線桿不必移動，那求50和60的最小公倍數(shù)就是了!用短除，正好300，接著用全長路段除以50和60的最小公倍數(shù)，2700除以300等于9，因為起點那根是一定的，去掉最后一根剩8根，即中途有8根不必移動。

算完后，我將信將疑到底對不對呢?我去問媽媽，媽媽檢查后夸我真聰明，說這是她母親節(jié)收到的最好的禮物。我高興極了。通過解這道題讓我明白了：今后不論遇到什麼難題都應該勤動腦多動手，要舉一反三去思考，不怕困難，這樣才能不斷打敗學習路上的攔路虎，才能使自己不斷進步。

第三篇：向量在高中階段解題的巧用

向量在高中階段解題的應用

(一)向量對圓錐曲線的應用.圓錐曲線是高考重點考查的內容。考查的內容包括圓錐曲線的概

念和性質。但直線與圓錐曲線的位置關系等，很多時也要結合向量的知識來簡便解題。

例1：證明：等軸雙曲線上任一點到中心的距離是它到兩焦點距

離的等比中項。

證明：設P（x?，y?）是等軸雙曲線x2-y2=a2右支上任一點

∴x?2-y?2=a2

則||2=x?2+y?2=x?2+x?2-a2=2x?2-a2 | PF1|2=x?+a,| PF2|=2x?-a

∴|PF1|·|PF2|=(2x?+a)(2x?-a)=2x?2-a2 ∴|PO|2=|PF1|·|PF2|

同理,當P(x?,y?)是左支點上也成立.(二)向量對立體幾何題的應用.由于立體幾何涉及空間幾何圖形，許多考生望而生畏，認為這很

抽象，但只要掌握好向量的相關知識，把立體幾何圖形的各線段轉換

成向量,那解題便簡便得多了.例1：如圖,在正方體ABCD--A?B?C?D?中，E、F、G、分別是AB，B B?，BC的中點。

證明：B D?⊥平面EFG。

分析：應通過建立空間坐標系，通過

空間向量的坐標運算來證明。

證明：設正方體的棱長為2a并以D為原點，DA為X軸，DC為Y軸，DD?為Z軸，建立空間直角坐標系，則

D?（0，0，2a），B（2a，2a，0），F(xiàn)（2a，2a，a），E（2a，a，0），G（a，2a，0）

∴BD1=（-2a，-2a，2a），=（0，a，a），=（-a，-a，0），=-2a·∴BD1·0-2a· a+2a·a=0? BD1⊥

BD1·（-a）+（-2a）·（-a）+2a·0=0? BD1⊥ =-2a·

∴B D?⊥平面EFG

點評：此題運用了空間向量的坐標運算來證明。

（三）向量在平面解析幾何圖形的應用

由于向量的線性運算和數(shù)量積運算具有鮮明的幾何背景，平面幾何圖形的許多性質都可以用向量方法解決平面幾何中的一些問題，現(xiàn)在由我們共同探討向量方法在平面幾何中的應用。

例1：在邊長為1的正方形ABCD中，設=, =, =,求|-+|

解：如圖，作DC的延長線，截MC=CD=1，連結BM.又∵=, =, =

∴|a-b+c|=|AB-AD+AC|=|DB+AC|

又∵=BM

∴|-+|=||=

2點評：本題利用了向量加減法的幾何意義計算線段的長度，把復習的平面幾何圖形簡單化，可見其簡便之處。

（四）向量在證明不等式中的應用

例1：設а≠b，а>0，b>0，求證：

（a+b）（a+ b）>（a+ b）

證明：構造向量 =(a, b), =(a,b),則：

332222cos2θ EF)=| AB|·（a+ b）=(AB·|EF|·224422332

≤||·||=(a+ b)·（a+ b）

∵a>0,b>0,a≠b

∴θ≠0

∴cosθ≠

1∴(a+ b)·（a+ b）>（a+ b）

點評:在解不等式或證明時,除了掌握其基本不等式外還要把握題目的特點尋找簡便的方法,而本題就是運用向量解題的簡便方法.（五）向量在證明平行題的應用

例1:已知AC、BD是梯形ABCD的對角線。E、F分別為BD、AC4422332222442

2的中點。

求證：EF∥BC

證明：設=, = ∵AD∥BC ∴=k=k 則=-=b-a

∵E為BD的中點 ∴=?=?(-)

∵F為AC的中點 ∴=+=+?=+?(-)=?(+)=?(-)=?(k-)∴EF=BF-BE=?(kb-a)-?(b-a)=(?k-?)b=[(?k-?)·1/k] BC ∴∥,即EF∥BC

點評：這類題應掌握好向量的三角形定則，認識向量平行的充要條件。

（六）向量在三角函數(shù)的應用。

例1:在直角坐標系X0Y中,已知P(2 cosа+1,2 cosа+2)和點Q(cosа,－1),其中а?[0,?

解:由于OP⊥OQ = cosа（2cosа+1）-（2cosа+2）=0——① ∴·].且OP⊥OQ,求X的值。

又∵cos 2а=2cosа-1————————②

由①和②，得2cosа-cosа=0? cosа=0或0.5 2

∵а?[0,?]

∴а=?/2或?/

3點評：本題利用向量的知識解答，使過程簡便許多。

（七）向量在解物理題的應用。

例1：平面上有兩個向量e1=（1，0），e2=（0，1），今有動點P從P?(-1,2)開始沿著向量e1+e2相同的方向作勻速直線運動，速度大小為|e1+e2|；另一動點Q從Q?(-2,-1)出發(fā)，沿與向量3e1+2e2相同的方向作勻速直線運動，速度的大小為|3e1+2e2|，設P、Q在時刻t=0秒時，分別在P?、Q?處，則當PQ⊥P?Q?時，時

間t為多少秒？

解：依題意P?(-1,2),Q?(-2,-1)則POQO=(-2,-1)-(-1,2)=(-1,-3)

e1+e2=(-1,0)+(0,1)=(1,1)|e1+e2|=2 3e1+2e2=3×(1,0)+2×(0,1)=(3,2)|3e1+2e2|=

∴當t時刻P點位置為（-1，2）+t（1，1）=（-1+t，2+t），點Q位置為（-2，1）+t（3，2）=（-2+3t，-1+2t）∴=(-2+3t,-1+2t)－(-1+t,2+t)=(-1+2t,-3+t)又⊥POQO

∴(-1+2t)·(-1)+(-3+t)·(-3)=0解得t=2 ∴當⊥POQO時，時間t為2秒。

第四篇：高考數(shù)學難點突破難點—— 運用向量法解題

難點3 運用向量法解題

平面向量是新教材改革增加的內容之一，近幾年的全國使用新教材的高考試題逐漸加大了對這部分內容的考查力度，本節(jié)內容主要是幫助考生運用向量法來分析，解決一些相關問題.●難點磁場

(★★★★★)三角形ABC中，A(5，－1)、B(－1，7)、C(1，2)，求：(1)BC邊上的中線 AM的長；(2)∠CAB的平分線AD的長；(3)cosABC的值.●案例探究

［例1］如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.(1)求證：C1C⊥BD.(2)當CD的值為多少時，能使A1C⊥平面C1BD？請給出證明.CC1命題意圖：本題主要考查考生應用向量法解決向量垂直，夾角等問題以及對立體幾何圖形的解讀能力.知識依托：解答本題的閃光點是以向量來論證立體幾何中的垂直問題，這就使幾何問題代數(shù)化，使繁瑣的論證變得簡單.錯解分析：本題難點是考生理不清題目中的線面位置關系和數(shù)量關系的相互轉化，再就是要清楚已知條件中提供的角與向量夾角的區(qū)別與聯(lián)系.技巧與方法：利用a⊥b?a·b=0來證明兩直線垂直，只要證明兩直線對應的向量的數(shù)量積為零即可.(1)證明：設CD=a, CB=b,CC1=c,依題意，|a|=|b|，CD、CB、CC1中兩兩所成夾角為θ，于是BD?CD?DB=a－b，CC1?BD=c(a－b)=c·a－c·b=|c|·|a|cosθ－|c|·|b|cosθ=0,∴C1C⊥BD.(2)解：若使A1C⊥平面C1BD，只須證A1C⊥BD，A1C⊥DC1，由CA1?C1D?(CA?AA1)?(CD?CC1)

=(a+b+c)·(a－c)=|a|2+a·b－b·c－|c|2=|a|2－|c|2+|b|·|a|cosθ－|b|·|c|·cosθ=0,得 當|a|=|c|時，A1C⊥DC1，同理可證當|a|=|c|時，A1C⊥BD，∴CD=1時，A1C⊥平面C1BD.CC1［例2］如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點.(1)求BN的長；

I(2)求cos的值；

(3)求證：A1B⊥C1M.命題意圖：本題主要考查考生運用向量法中的坐標運算的方法來解決立體幾何問題.屬 ★★★★級題目.知識依托：解答本題的閃光點是建立恰當?shù)目臻g直角坐標系O－xyz,進而找到點的坐標和求出向量的坐標.錯解分析：本題的難點是建系后，考生不能正確找到點的坐標.技巧與方法：可以先找到底面坐標面xOy內的A、B、C點坐標，然后利用向量的模及方向來找出其他的點的坐標.(1)解：如圖，以C為原點建立空間直角坐標系O－xyz.依題意得：B(0，1，0)，N(1，0，1)∴|BN|=(1?0)2?(0?1)2?(1?0)2?3.(2)解：依題意得：A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2).∴BA1=(1,?1,2),CB1=(0，1，2)BA1?CB1=1×0+(－1)×1+2×2=3 |BA1|=(1?0)2?(0?1)2?(2?0)2?6

|CB1|?(0?0)2?(1?0)2?(2?0)2?5 ?cos?BA1,CB1??BA1?CB1|BC1|?|CB1|?36?5?30.10(3)證明：依題意得：C1(0，0，2)，M(，2)

112211C1M?(，0),A1B?(?1,1,?2)

2211∴A1B?C1M?(?1)??1??(?2)?0?0,?A1B?C1M，22∴A1B⊥C1M.●錦囊妙計

1.解決關于向量問題時，一要善于運用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進行向量的各種運算，加深對向量的本質的認識.二是向量的坐標運算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉化和密切結合的思想.2.向量的數(shù)量積常用于有關向量相等，兩向量垂直、射影、夾角等問題中.常用向量的直角坐標運算來證明向量的垂直和平行問題；利用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩條直線的夾角和兩點間距離的問題.II 3.用空間向量解決立體幾何問題一般可按以下過程進行思考：(1)要解決的問題可用什么向量知識來解決？需要用到哪些向量？

(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉化成的向量直接表示？

(3)所需要的向量若不能直接用已知條件轉化成的向量表示，則它們分別最易用哪個未知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉化的向量有何關系？

(4)怎樣對已經表示出來的所需向量進行運算，才能得到需要的結論？ ●殲滅難點訓練

一、選擇題

1.(★★★★)設A、B、C、D四點坐標依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，則四邊形ABCD為（）A.正方形

B.矩形 C.菱形

D.平行四邊形

2.(★★★★)已知△ABC中，AB=a，a·b<0，S△ABC=AC=b，15,|a|=3,|b|=5,則a與b的夾角是（）4A.30°

B.－150°

C.150°

D.30°或150°

二、填空題

3.(★★★★★)將二次函數(shù)y=x2的圖象按向量a平移后得到的圖象與一次函數(shù)y=2x－5的圖象只有一個公共點(3，1)，則向量a=_________.4.(★★★★)等腰△ABC和等腰Rt△ABD有公共的底邊AB，它們所在的平面成60°角，若AB=16 cm,AC=17 cm,則CD=_________.三、解答題

5.(★★★★★)如圖，在△ABC中，設AB=a，AC =b，AP =c, AD=λa,(0<λ<1),AE =μb(0<μ<1),試用向量a，b表示c.6.(★★★★)正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長為a,側棱長為2a.(1)建立適當?shù)淖鴺讼担懗鯝、B、A1、C1的坐標；(2)求AC1與側面ABB1A1所成的角.7.(★★★★★)已知兩點M(－1，0)，N(1，0)，且點P使MP?MN,PM?PN,NM?NP成公差小于零的等差數(shù)列.(1)點P的軌跡是什么曲線？

(2)若點P坐標為(x0,y0),Q為PM與PN的夾角，求tanθ.8.(★★★★★)已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點.(1)用向量法證明E、F、G、H四點共面；(2)用向量法證明：BD∥平面EFGH；

III(3)設M是EG和FH的交點，求證：對空間任一點O，有OM? 參考答案

難點磁場

解：(1)點M的坐標為xM=

1(OA?OB?OC?OD).4?1?17?299?0;yM??,?M(0,)2222221.29?|AM|?(5?0)2?(?1?)2?2(2)|AB|?(5?1)2?(?1?7)2?10,|AC|?(5?1)2?(?1?2)2?5

D點分BC的比為2.∴xD=?1?2?117?2?211?,yD??

1?231?2311114|AD|?(5?)2?(?1?)2?2.333(3)∠ABC是BA與BC的夾角，而BA=(6，8），BC=(2，－5）.?cosABC?BA?BC|BA|?|BC|?6?2?(?8)?(?5)62?(?8)2?22?(?5)2?521029?2629 145殲滅難點訓練

一、1.解析：AB =(1，2），DC =(1，2），∴AB=DC，∴AB∥DC，又線段AB與線段DC無公共點，∴AB∥DC且|AB|=|DC|，∴ABCD是平行四邊形，又|AB|=5，AC =(5，3），|AC|=34，∴|AB|≠|AC},∴ABCD不是菱形，更不是正方形；又BC=(4，1），∴1·4+2·1=6≠0,∴AB不垂直于BC，∴ABCD也不是矩形，故選D.答案：D 2.解析：∵1511?·3·5sinα得sinα=,則α=30°或α=150°.242又∵a·b＜0,∴α=150°.答案：C

二、3.(2,0)4.13 cm

IV

三、5.解：∵BP與BE共線，∴BP=mBE=m(AE－AB)=m(μb－a), ∴AP=AB+BP=a+m(μb－a)=(1－m)a+mμb

①

又CP與CD共線，∴CP=nCD=n(AD－AC)=n(λa－b), ∴AP=AC+CP=b+n(λa－b)=nλa+(1－n)b 由①②，得(1－m）a+μmb=λna+(1－n)b.②

?1?m??a??n?m?1?0∵a與b不共線，∴?

即??m?1?nn??m?1?0??解方程組③得：m=

③

1??1??1,n?代入①式得c=(1－m)a+mμb=［λ(1－μ)a+μ(1－1???1???1???λ)b］.6.解：(1)以點A為坐標原點O，以AB所在直線為Oy軸，以AA1所在直線為Oz軸，以經過原點且與平面ABB1A1垂直的直線為Ox軸，建立空間直角坐標系.由已知，得A(0，0，0），B(0，a,0）,A1(0,0,2a),C1(－

3aa，222a).3a,0,0）, 2(2)取A1B1的中點M，于是有M(0，,2a），連AM，MC1，有MC1=(－且AB=(0，a,0）,AA1=(0,02a)

a2由于MC1·AB=0，MC1·AA1=0，所以MC1⊥面ABB1A1，∴AC1與AM所成的角就是AC1與側面ABB1A1所成的角.∵AC1=(?3aaa，2a),AM?(0，2a), 222a29?AC1?AM?0??2a2?a

443212a232而|AC1|?a?a?2a?3a,|AM|??2a?a

444292a34? 323a?a2?cos?AC1,AM??所以AC1與AM所成的角，即AC1與側面ABB1A1所成的角為30°.V 7.解：(1)設P(x,y）,由M(－1，0），N(1，0）得，PM =－MP=(－1－x,－y）,PN??NP =(1－x,－y),MN =－NM=(2,0),∴MP·MN=2(1+x), PM·PN=x2+y2－1,NM?NP =2(1－x).于是，MP?MN,PM?PN,NM?NP是公差小于零的等差數(shù)列，等價于

1?22?x2?y?3?x?y?1?[2(1?x)?2(1?x)] 即? 2??x?0??2(1?x)?2(1?x)?0所以，點P的軌跡是以原點為圓心，3為半徑的右半圓.(2)點P的坐標為(x0,y0)PM?PN?x0?y0?1?2,|PM|?|PN|?(1?x)2?y0?(1?x0)2?y0?(4?2x0)(4?2x0)?24?x0?cos??PM?PN|PM|?PN?14?x0222222

1??0?x0?3,??cos??1,0???,23?sin??1?cos2??1?1sin?2,?tan???3?x?|y0| 02cos?4?x08.證明：(1）連結BG，則EG?EB?BG?EB?(BC?BD)?EB?BF?EH?EF?EH 由共面向量定理的推論知：E、F、G、H四點共面，(其中(2）因為EH?AH?AE?121BD=EH）21111AD?AB?(AD?AB)?BD.2222所以EH∥BD，又EH?面EFGH，BD?面EFGH

所以BD∥平面EFGH.(3）連OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG 由(2）知EH?被M平分，所以 11BD，同理FG?BD，所以EH?FG，EH22FG,所以EG、FH交于一點M且 VI OM??1(OA?OB?OC?OD).41111111(OE?OG)?OE?OG?[(OA?OB)]?[(OC?OD)]2222222.VII

第五篇：空間向量解題時數(shù)學思想的運用

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空間向量解題時數(shù)學思想的運用

作者：胡彬

來源：《數(shù)理化學習·高一二版》2013年第08期

用空間向量來解決空間立體幾何問題非常得心應手，比如證明平行、垂直以及求角、求距離等.但是，我們不能把眼光僅僅限制于這些問題的證明與求解.在運用空間向量解決問題時，也包含著許多數(shù)學思想運用于其中.一、方程思想求值

例1 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側棱長為2，底面邊長為1，M是BC的中點.在直線CC1上是否存在一點N，使得MN⊥AB1？若存在，請你求出它的位置；若不存在，請說明理由.