第一篇：初三幾何證明綜合題1（xiexiebang推薦）

幾何證明綜合題（1）

1、將矩形ABCD紙片沿對(duì)角線AC剪開，得到△ABC和△A′C′D，如圖1所示.將△A′C′D的頂點(diǎn)A′與點(diǎn)A重合，并繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D、A(A′)、B在同一條直線上，如圖2所示．

觀察圖2可知：與BC相等的線段是▲，∠CAC′=▲°．

C'

DCC'CDC

BA BA'ADA(A')B問題探究

圖1圖

2如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向

△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q.試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.E

QP

F

BG

圖

3C2、點(diǎn)O是等邊△ABC所在平面上的任意一點(diǎn)，連結(jié)OA并延長到E，使得AE=OA。以O(shè)B、OC為鄰邊作平行四邊形OBFC，連結(jié)EF。探究EF與BC的關(guān)系。

3、如圖12，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在邊AC、AB上，并且∠ABE=∠ACF，BE、CF交于點(diǎn)O．過點(diǎn)O作OP⊥AC，OQ⊥AB，P、Q為垂足．求證：DP=DQ．

4.兩塊等腰直角三角板△ABC和△DEC如圖擺放，其中∠ACB =∠DCE = 90°，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，H是AE的中點(diǎn)，G是BD的中點(diǎn)．

（1）如圖1，若點(diǎn)D、E分別在AC、BC的延長線上，通過觀察和測量，猜想FH和FG的數(shù)量關(guān)系為_______和位置關(guān)系為______；（2）如圖2，若將三角板△DEC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至ACE在一條直線上時(shí)，其余條件均不變，則（1）中的猜想是否還成立，若成立，請(qǐng)證明，不成立請(qǐng)5.如圖。，BD是△ABC的內(nèi)角平分線，CE是△ABC的外角平分線，過點(diǎn)A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分別為F、G。

探究：線段FG的長與△ABC三邊的關(guān)系，并加以證明。

附加題：探究BD、CE滿足什么條件時(shí)，線段FG的長與△ABC的周長存在一定的數(shù)量關(guān)系，并給出證明。說明理由；

（2）如圖3，將圖1中的△DEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，得到圖3，（1）中的猜想還成立嗎？直接寫出結(jié)論，不用證明.圖1 A B 圖

2圖

36.在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分∠DAB．

(1)如圖①，當(dāng)∠DAB＝120°，∠B＝∠D＝90°時(shí)，求證：AB＋AD＝AC．(2)如圖②，當(dāng)∠DAB＝120°，∠B與∠D互補(bǔ)時(shí)，線段AB、AD、AC有怎樣的數(shù)量關(guān)系?寫出你的猜想，并給予證明．

(3)如圖③，當(dāng)∠DAB＝90°，∠B與∠D互補(bǔ)時(shí)，線段AB、AD、AC有怎樣7.（1）如圖1所示，在四邊形ABCD中，AC=BD，AC與BD相交于點(diǎn)O，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)EF，分別交AC、BD于點(diǎn)

M、N，試判斷△OMN的形狀，并加以證明；（2）如圖2，在四邊形ABCD中，若AB?CD，E、F分別是AD、BC的數(shù)量關(guān)系?寫出你的猜想，并給予證明．的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)FE并延長，分別與BA、CD的延長線交于點(diǎn)M、N，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫圖并觀察，圖中是否有相等的角，若有，請(qǐng)直接寫出結(jié)論：；

（3）如圖3，在△ABC中，AC?AB，點(diǎn)D在AC上，AB?CD，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)FE并延長，與BA的延長線交于點(diǎn)M，若?FEC?45?，判斷點(diǎn)M與以AD為直徑的圓的位置關(guān)系，并簡要說明理由．A

E

DBF

C

F

圖 1圖2圖

38.如圖，△ABC是等邊三角形，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，D在線段BC上，連接

DF，以DF為邊在DF的右側(cè)作等邊△DFE，ED的延長線交AB于H，連

接EC，則以下結(jié)論：①∠AHE+∠AFD=180°；②AF=

BC；③D在線段

29、以△ABC中AB、AC為邊分別向形外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACF，AH是△ABC的高。

1、探究：線段GE、GF的數(shù)量關(guān)系。

2、若以梯形ABCD的腰AB、DC向形外作等腰直角△ABE、△DCF，G是EF的中點(diǎn)，探究：線段GA、GD的數(shù)量關(guān)系。（利用中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形）1

BC?EC

BC上（不與B，C重合）運(yùn)動(dòng)，其他條件不變時(shí)DC

是定值；

（1）其中正確的是-------------------；（2）對(duì)于（1）中的結(jié)論加以說明；

F

H B

G

D

C

E

第二篇：初三數(shù)學(xué)幾何綜合題

Xupeisen110初三數(shù)學(xué)

初三數(shù)學(xué)幾何綜合題

Ⅰ、綜合問題精講：

幾何綜合題是中考試卷中常見的題型，大致可分為幾何計(jì)算型綜合題與幾何論證型綜合題，它主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用幾何知識(shí)的能力，這類題往往圖形較復(fù)雜，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，題設(shè)和結(jié)論之間的關(guān)系較隱蔽，常常需要添加輔助線來解答．解幾何綜合題，一要注意圖形的直觀提示；二要注意分析挖掘題目的隱含條件、發(fā)展條件，為解題創(chuàng)造條件打好基礎(chǔ)；同時(shí)，也要由未知想需要，選擇已知條件，轉(zhuǎn)化結(jié)論來探求思路，找到解決問題的關(guān)鍵．解幾何綜合題，還應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

⑴ 基本圖形．

⑵ 掌握常規(guī)的證題方法和思路．

⑶ 數(shù)學(xué)思想方法伯?dāng)?shù)形結(jié)合、分類討論等）．

Ⅱ、典型例題剖析

【例1】（南充，10分）⊿ABC中，ABAC與AB相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F是BE的中點(diǎn)．

（1）求證：DF是⊙O，BC＝12，求BF的長．

解：（1）證明：連接OD，∴ AD⊥BC．AC，∴

又∠BED的外角，∴∠C＝∠BED．

故∠B＝∠BED，即DE＝DB．

點(diǎn)F是BE的中點(diǎn)，DF⊥AB且OA和OD是半徑，即∠DAC＝∠BAD＝∠ODA．

故OD⊥DF，DF是⊙O的切線．

（2）設(shè)BF＝x，BE＝2BF＝2x．

又 BD＝CD＝2BC＝6，根據(jù)BE?AB?BD?BC，2x?(2x?14)?6?12．

2化簡，得 x?7x?18?0，解得 x1?2,x2??9（不合題意，舍去）．

1則 BF的長為2．

點(diǎn)撥：過半徑的外端且垂直于半徑的直線才是切線，所以要證明一條直線是否是此圓的切線，應(yīng)滿足這兩個(gè)條件才行．

【例2】

點(diǎn)D在AEBD＝CD。

證明所以在△ADB所以 點(diǎn)撥：要想證明BD=CD，應(yīng)首先觀察它們所在的圖形之間有什么聯(lián)系，經(jīng)觀察可得它們所在的三角形有可能全等．所以應(yīng)從證明兩個(gè)三角形全等的角度得出，當(dāng)然此題還可以采用“AAS”來證明．

【例3】（內(nèi)江，10分）如圖⊙O半徑為2，弦BD＝23C，A為弧

BD的中點(diǎn)，E為弦AC的中點(diǎn)，且在BD上。求：四邊形ABCD的面積。

解:連結(jié)OA、OB，OA交BD于F。

A為弧BD的中點(diǎn)?OF?BD,BF?FD?3? ?OB?2?

?

OF?1?AF?1 ?S?ABD?12BD?AF?AE?CE?S?ADE?S?CDE,S?ABE?S?CBE

?S四邊形?2S?ABD?23 ABCD

【例4】（博興模擬，10分）國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過高的現(xiàn)狀，目前正在全國各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造．蓮花村六組有四個(gè)村莊A、B、CD正好位于一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)．現(xiàn)計(jì)劃在四個(gè)村莊聯(lián)合架一條線路，他們設(shè)計(jì)了四種架設(shè)方案，如圖2－4－4中的實(shí)線部分．請(qǐng)你幫助計(jì)算一下，哪種架設(shè)方案最省電線．

解3． 圖2－4－圖2－4－顯然圖2－4點(diǎn)撥：路長，然后通過比較，得出結(jié)論．

【例5】（紹興）如圖矩形ABCD中，過A，B兩點(diǎn)的⊙O切CD于E，交BC于F，AH⊥BE于H，連結(jié)EF。

⑴求證：∠CEF＝∠BAH,⑵若BC＝2CE＝6，求BF的長。

⑴證明：∵CE切⊙O于E，∴∠CEF=∠EBC，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°

Xupeisen110初三數(shù)學(xué)

∴∠ABE+∠EBC=90°，∵AH丄BE，∴∠ABE+∠BAH=90°

∴∠BAH=∠EBC，∴∠CEF＝∠BAH

⑵解： ∵CE切⊙O于E

∴CE2=CF·BC，BC=2CE=6

339∴CE2=CF·6，所以CF=∴BF=BC-CF=6－ =22

2點(diǎn)撥：熟練掌握切線的性質(zhì)及切線長定理是解決此題的關(guān)鍵．

Ⅲ、綜合鞏固練習(xí)：（100分；90分鐘）

一、選擇題（每題3分，共21分）

1．如圖2－4－6的直徑為1．2米，桌面距離地面13地面上陰影部分的面積為（）

A．0．036π平方米;B．0．C．2π平方米;D、3．2．同學(xué)們設(shè)計(jì)出正三角形、正方形和圓圖案是（）

A．正三角形．圓;D．不能確定

3．下列說法：1：2，那么這兩個(gè)三角形的面積之比是1：4；中錯(cuò)誤是（）

A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)

4．等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為70°，則這個(gè)三角形其余的內(nèi)角可能為（）

A．700，400B．700，550

C．700，400或550，550D．無法確定

5．如圖2－4－7所示，周長為68的矩形被分成了7個(gè)全等的矩

形，則矩形ABCD的面積為（）

A．98B．196;C．280D．28

4Xupeisen110初三數(shù)學(xué)

6．在△ABC

中，若|sinA?1|?2cosB)?0，則∠C2的度數(shù)為（）

A．60oB．30 oC．90 oD．45 o

7．下列命題中是真命題的個(gè)數(shù)有（）

⑴直角三角形的面積為2，兩直角邊的比為1。2，則它的斜邊長為10 ；⑵直角三角形的最大邊長為，最短邊長為l，則另一邊長為2 ；（3）在直角三角形中，若兩條直角邊為n－1和2n，則斜邊長為n＋1；⑸等腰三角形面積為12，底邊上的高為4，則腰長為5．

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

二、填空題（每題3分，共27分）

8．如圖2－4－8所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=．將△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)至△A′BC使點(diǎn)A、B、C′三點(diǎn)在一條直線上，則點(diǎn)A線的長度是_____．

9．若正三角形、正方形、正六邊形的積分別記為S3,S4,S6,則S3,S4,S6,2210若菱形的一個(gè)內(nèi)角為60__________．已知數(shù)4，6是________12一油桶高 0．8m1m，從桶蓋小口（小口靠近上壁）斜插入桶內(nèi)，0．87m，則桶內(nèi)油面的高度為13 等腰三角形底邊中點(diǎn)與一腰的距離為5cm，則腰上的高為__________cm．在平坦的草地上有 A、B、C三個(gè)小球，若已知 A球和 B球相距3米，A球與C球相距1米，則B球與C球可能相距________米．（球的半徑可忽略不計(jì)，只要求填出一個(gè)符合條件的數(shù)）如果圓的半徑為3cm，那么60°的圓心角所對(duì)的弧長為____cm．如圖2－4－9所示，在正方形 ABCD中，AO⊥BD、OE、FG、HI都

垂直于 AD，EF、GH、IJ都垂直于AO，若已知 SΔAIJ=1，則S

ABCD正方形=______.Xupeisen110初三數(shù)學(xué)

三、解答題（每題13分，52分）

17.已知：如圖 2－4－10所示，在 Rt△ABC中，AB=AC，∠A＝90°，點(diǎn)D為BA上任一點(diǎn)，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M為BC的中點(diǎn)．試判斷△MEF是什么形狀的三角形，并證明你的結(jié)論．

18.今有一片正方形土地，要在其上修筑兩條筆直的道路，使道路把這片土地分成形狀相同且面積相等的4并簡述步驟．

19.如圖2－4－11所示，已知測速站P到公路lPO米，一輛汽車在公路l上行駛，測得此車從點(diǎn)A行駛到點(diǎn)BAPO=60○，∠BPO=30○，計(jì)算此車從A到B過了每秒22米的限制速度．

20.如圖2－4－12為梯形ABCD的中位線．AH平分∠DA B交EF于M，延長DM交AB于N．求證：AADN是等腰三角形．

第三篇：初三數(shù)學(xué)幾何證明

一、精心選一選

1、△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC邊于點(diǎn)D，∠BDC=75°，則∠A的度數(shù)為（）

A35°B40°C70°D110°

2、三角形的三個(gè)內(nèi)角中，銳角的個(gè)數(shù)不少于（）

A1 個(gè)B2 個(gè)C3個(gè)D不確定

3、適合條件∠A =∠B =1∠C的三角形一定是（）

3A銳角三角形B鈍角三角形C直角三角形D任意三角形

4、用兩個(gè)全等的直角三角形拼下列圖形：①平行四邊形（不包含菱形、矩形、正方形）；②矩形；③正方形；④等腰三角形，一定可以拼成的圖形是（）

A①②④B②④C①④D②③

5、如圖，D在AB上，E在AC上，且∠B＝∠C，那么補(bǔ)充下列一個(gè)條件后，仍無法判定△ABE≌△ACD的是（）

AAD＝AEB∠AEB＝∠ADC CBE＝CDDAB＝AC

E

A(第5題圖)(第6題圖)

6、如圖，⊿ABC?⊿FED，那么下列結(jié)論正確的是（）

AEC = BDBEF∥AB

CDE = BDDAC∥ED7、等腰三角形的一邊為4，另一邊為9，則這個(gè)三角形的周長為（）

A17B22C13D17或228、有兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形（）

A必定全等B必定不全等C不一定全等D以上答案都不對(duì)

9、以下命題中，真命題的是（）

A兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)B同位角相等

C兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等D等腰三角形底邊中點(diǎn)到兩腰相等

10、面積相等的兩個(gè)三角形（）

A必定全等B必定不全等C不一定全等D以上答案都不對(duì)

二、耐心填一填：

11、如果等腰三角形的一個(gè)底角是80°，那么頂角是.12、⊿ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A + ∠

B還大12?，那么∠B =度

13、在方格紙上有一三角形ABC，它的頂點(diǎn)位置如圖所示，則這個(gè)三角形是三角形

.(第12題圖)(第13題圖)

第 19頁

14、如圖：△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，AD、CE交于點(diǎn)H，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：，使△AEH≌△CEB。

15、等腰直角三角形一條直角邊的長為1cm，那么它斜邊長上的高是cm.16、在△ABC和△ADC中，下列論斷：①AB=AD；②∠BAC=∠DAC；③BC=DC，把其中兩個(gè)論斷作為條件，另一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)真命題：

17、在△ABC中，邊AB、BC、AC的垂直平分線相交于P，則PA、PB、PC的大小關(guān)系是.18、已知⊿ABC中，∠A = 90，角平分線BE、CF交于點(diǎn)O，則∠BOC =

三、細(xì)心做一做：（本大題共5小題，每小題6分，共30分）

19、如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE相交于F，若BF=AC，求∠ABC的度數(shù)是

20、如圖，△ABC中，∠C=Rt∠，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，BD

∶

DC=

2∶1，BC=7.8cm，求D到AB的距離

21、已知：如圖，∠A=∠D=90°，AC=BD.求證：OB=OC

第 20頁 022、已知：如圖，P、Q是△ABC邊BC上兩點(diǎn)，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度數(shù).23、已知：如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，點(diǎn)E為梯形外一點(diǎn)，且AE=DE.求證：BE=CE．

四、勇敢闖一闖：（本大題共 2小題，每小題

8分，共

16分）

24、已知：如圖，CE⊥AB，BF⊥AC，CE與BF相交于D，且BD=CD.求證：D在∠BAC的平分線上.第 21頁

25、已知：如圖，D是等腰ABC底邊BC上一點(diǎn)，它到兩腰AB、AC的距離分別為DE、DF。當(dāng)D點(diǎn)在什么位置時(shí)，DE=DF？并加以證明.26、如圖1，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM，△CBN是等邊三角形，直線AN，MC交于點(diǎn)F。

(1)求證：AN=BM；

(2)求證： △CEF

為等邊三角形；

(3)將△ACM繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)900，其他條件不變，在圖2中補(bǔ)出符合要求的圖形，并判斷第（1）、（2）兩小題的結(jié)論是否仍然成立（不要求證明）

第 22頁

第四篇：初三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)(幾何證明、計(jì)算)

幾何證明、計(jì)算

解題方法指導(dǎo)

平面幾何是研究平面圖形性質(zhì)的一門學(xué)科，研究平面圖形的形狀、大小及位置關(guān)系，除了常見的計(jì)算、證明外，從目前素質(zhì)教育的要求來看，必須培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦、分析、觀察、和邏輯思維能力，所以新穎的幾何題，往往具有操作性、運(yùn)動(dòng)性，需要觀察、猜想與證明，需要有較強(qiáng)的綜合解題能力。其次要求有觀察復(fù)雜圖形的能力。然后去推理、證明和計(jì)算。我們經(jīng)常用的等量關(guān)系有已知的等量、勾股定理的等式、平行線推導(dǎo)的比例式，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的等式、相似三角形的性質(zhì)等時(shí)，面積等式等。

第一課時(shí)

一、出示例題

1、例1：如圖在△ABC中，∠C=90,點(diǎn)D在BC上，BD=4,AD=BC,cos∠ADC=

(1)求DC的長；(2)sinB的值

(老師引導(dǎo)學(xué)生分析后再做)

2、例2：已知如圖在△ABC中，AD是高，CE是中線，DC=BE,DG⊥CE，G是垂足。

求證(1)G是CE的中點(diǎn);(2)∠B=2∠BCE

（師生共同分析后，學(xué)生獨(dú)立完成）

BEGDCA3。5ABC3、例3：如圖已知在△ABC中，∠A=90.(1)在所給出的圖形基礎(chǔ)上，按題意操作：先畫BC邊上中線AM，設(shè)H是線段BM上任一點(diǎn)，再過H,C分別畫AB,AM的平行線，相交于點(diǎn)D，連接AD,AH;

(2)求證△ABM∽△DHC；(3)求證AD=AH

A

B

C

分析：第（1）題是按題意畫圖，考查操作實(shí)踐能力。第（2）題是考察對(duì)直角三角形性質(zhì)、相似三角形判定掌握情況。第（3）題的證法較多，如果注意到問題之間的相關(guān)性、層次性或者抓住基本圖形的特征，就容易解決了。

說明：近幾年的中考試卷中看，有關(guān)幾何的證明題基本上是題目新穎、難度不大，涉及重要的知識(shí)點(diǎn)較多，且要求證明過程邏輯嚴(yán)密，言必有據(jù)，重點(diǎn)考察分析能力及推理能力，本題設(shè)計(jì)新型，又有一定的操作能力，是一道很好的中考模擬試題。

二、小結(jié)

三、作業(yè)

1、將兩塊三角形如圖（1）放置，其中∠C=∠EDB=90, ∠A=45, ∠E=30,AB=DE=6,求重疊部分四邊形DBCF 的面積。

2、如圖（2）Rt △ ABC中，∠B=90，∠A的平分線交BC于點(diǎn)D，E為AB上的一點(diǎn)，DE=DC,以D為圓心，DB長為半徑作⊙D。

求證：（1）AC是⊙D的切線；（2）AB+EB=AC

EB

C

A

A

FEC

DB

D3、如圖（3）矩形ABCD中，AB=8cm,BC=4cm,將矩形折疊，使A點(diǎn)與C點(diǎn)重合（1）畫出圖形；（2）求折疊后矩形分成的兩直角梯形不重疊部分的面積和。

4、如圖（4）△ ABC中，AB=AC，∠A=36，BD平分∠ABC交AC于D，CD=2cm,△ ABC的周長是19cm，求BC的長。

DA

A

B

D

C5、如圖（5），BE平分∠ABC,D是AB的中點(diǎn)，DE∥BC。求證BE⊥AE。

A

BC

DE

B

C

第五篇：幾何證明

龍文教育浦東分校學(xué)生個(gè)性化教案

學(xué)生：錢寒松教師：周亞新時(shí)間：2010-11-27

學(xué)生評(píng)價(jià)◇特別滿意◇滿意◇一般◇不滿意

【教材研學(xué)】

一、命題

1．概念：對(duì)事情進(jìn)行判斷的句子叫做命題．

2．組成部分：命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成．每個(gè)命題都可以寫成“如果??，那么??”的形式，“如果”的內(nèi)容部分是題設(shè)，“那么”的內(nèi)容部分是結(jié)論．

3．分類：命題分為真命題和假命題兩種．判斷正確的命題稱為真命題，反之稱為假命題．驗(yàn)證一個(gè)命題是真命題，要經(jīng)過證明；驗(yàn)證一個(gè)命題是假命題，可以舉出一個(gè)反例．

二、互逆命題

1．概念：在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)

命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的題設(shè)，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題，其中一個(gè)叫做原命題，則另一個(gè)就叫做它的逆命題．

2．說明：

（1）任何一個(gè)命題都有逆命題，它們互為逆命題，“互逆”是指兩個(gè)命題之間的關(guān)系；

（2）把一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論交換，就得到它的逆命題；

（3）原命題成立，它的逆命題不一定成立，反之亦然．

三、互逆定理

1．概念：如果一個(gè)定理的逆命題也是定理（即真命題），那么這兩個(gè)定理叫做互逆定理，其中一個(gè)定理叫做另一個(gè)定理的逆定理．

2．說明：

（1）不是所有的定理都有逆定理，如“對(duì)頂角相等”的逆命題是“如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角”，這是一個(gè)假命題，所以“對(duì)頂角相等”沒有逆定理．

（2）互逆定理和互逆命題的關(guān)系：互逆定理首先是互逆命題，是互逆命題中要求更為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊活悾椿ツ婷}包含互逆定理．

所以∠C=∠C’=90°，即△ABC是直角三角形．

【點(diǎn)石成金】

例1． 指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論，并寫出它們的逆命題．

（1）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；

（2）直角三角形的兩個(gè)銳角互余；

（3）對(duì)頂角相等．

分析：解題的關(guān)鍵是找出原命題的題設(shè)和結(jié)論，然后再利用互逆命題的特征寫出它們的逆命題．

（1）題設(shè)是“兩條平行線被第三條直線所截”，結(jié)論是“同旁內(nèi)角互補(bǔ)”；逆命題是“如果兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行”．

（2）題設(shè)是“如果一個(gè)三角形是直角三角形”，結(jié)論是“那么這個(gè)三角形的兩個(gè)銳角互余”；逆命題是“如果一個(gè)三角形中兩個(gè)銳角互余，那么這個(gè)三角形是直角三角形”．

（3）題設(shè)是“如果兩個(gè)角是對(duì)頂角”，結(jié)論是“那么這兩個(gè)角相等”；逆命題是“如果有兩個(gè)角相等，那么它們是課題：幾何證明

對(duì)頂角”．

名師點(diǎn)金：當(dāng)一個(gè)命題的逆命題不容易寫時(shí)，可以先把這個(gè)命題寫成“如果??，那么??”的形式，然后再把題設(shè)和結(jié)論倒過來即可．

例2．某同學(xué)寫出命題“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命題是“如果一個(gè)三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形”，你認(rèn)為他寫得對(duì)嗎?

分析：寫出一個(gè)命題的逆命題，是把原命題的題設(shè)和結(jié)論互換，但有時(shí)需要適當(dāng)?shù)淖兺ǎ纭暗妊切蔚膬傻捉窍嗟取钡哪婷}不能寫成“兩底角相等的三角形是等腰三角形”，因?yàn)槲覀冞€沒有判斷出是等腰三角形，所以不能有“底角”這個(gè)概念．

解：上面的寫法不對(duì)．原命題條件是直角三角形，斜邊是直角三角形的邊的特有稱呼，該同學(xué)寫的逆命題的條件中提到了斜邊，就已經(jīng)承認(rèn)了直角三角形，就不需要再得這個(gè)結(jié)論了．因此，逆命題應(yīng)寫成“如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形”．

名師點(diǎn)金：在寫一個(gè)命題的逆命題時(shí)，千萬要注意一些專用詞的用法．

例3．如圖，在△ABD和△ACE中，有下列四個(gè)等式：① AB=AC；②AD=AE；③ ∠1=∠2；④BD=CE．請(qǐng)你以其中三個(gè)等式作為題設(shè)，余下的作為結(jié)論，寫出一個(gè)真命題(要求寫出已知，求證及證明過程)

解：選①②③作為題設(shè)，④作為結(jié)論．

已知：如圖19—4—103，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．

求證：BD=CE,證明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD．

即∠BAD=∠CAE．

在△BAD和△CAE中，AB=AC．∠BAD＝∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（S．A．S．）∴BD=CE．

名師點(diǎn)金：本題考查的是證明三角形的全等，但條件較為開放．當(dāng)然，此題的條件還可以任選其他三個(gè)．

【練習(xí)】

1．“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”的題設(shè)是____________________，結(jié)論是_________________________

2．判斷：（1）任何一個(gè)命題都有逆命題．()

（2）任何一個(gè)定理都有逆定理．()

【升級(jí)演練】

一、基礎(chǔ)鞏固

1．下列語言是命題的是()

A．畫兩條相等的線段B．等于同一個(gè)角的兩個(gè)角相等嗎

C．延長線段AD到C，使OC=OAD．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等

2．下列命題的逆命題是真命題的是()

A．直角都相等B．鈍角都小于180。

龍文教育浦東分校個(gè)性化教案ABDEC.cn

C．如果x+y=0，那么x=y=0D．對(duì)頂角相等

3．下列說法中，正確的是()

A．一個(gè)定理的逆命題是正確的B．命題“如果x<0，y>0，那么xy<0”的逆命題是正確的C．任何命題都有逆命題

D．定理、公理都應(yīng)經(jīng)過證明后才能用

4．下列這些真命題中，其逆命題也真的是()

A．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等

B．兩個(gè)圖形關(guān)于軸對(duì)稱，則這兩個(gè)圖形是全等形

C．等邊三角形是銳角三角形

D．直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半

5．證明一個(gè)命題是假命題的方法有__________．

6．將命題“所有直角都相等”改寫成“如果??那么?”的形式為___________。

7．舉例說明“兩個(gè)銳角的和是銳角”是假命題。

二、探究提高

8．下列說法中，正確的是()

A．每個(gè)命題不一定都有逆命題B．每個(gè)定理都有逆定理

c．真命題的逆命題仍是真命題D．假命題的逆命題未必是假命題

9．下列定理中，沒有逆定理的是()

A．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行B．直角三角形中兩銳角互余

c．相反數(shù)的絕對(duì)值相等D．同位角相等，兩直線平行

三、拓展延伸

10．下列命題中的真命題是()

A．銳角大于它的余角B．銳角大于它的補(bǔ)角

c．鈍角大于它的補(bǔ)角D．銳角與鈍角之和等于平角

11．已知下列命題：①相等的角是對(duì)頂角；②互補(bǔ)的角就是平角；③互補(bǔ)的兩個(gè)角一定是一個(gè)銳角，另一個(gè)為鈍角；④平行于同一條直線的兩直線平行；⑤鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直．其中，正確命題的個(gè)數(shù)為()

A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)

龍文教育浦東分校個(gè)性化教案