第一篇：證明三角形全等(四)

全等三角形問題中常見的輔助線的作法

一、倍長中線（線段）造全等

例

2、如圖，△ABC中，E、F分別在AB、AC上，DE⊥DF，D是中點，試比較BE+CF與EF的大小.例

3、如圖，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點，求證：AD平分∠BAE.A

二、截長補短

1、如圖，?ABC中，AB=2AC，AD平分?BAC，且AD=BD，求證：CD⊥AC

E

F

B

D

C2、如圖，AC∥BD，EA,EB分別平分∠CAB,∠DBA，CD求證;AB＝AC+BD

A3、如圖，已知在?ABC內，?BAC?60，?C?400，P，Q分別 在BC，CA上，并且AP，BQ分別是?BAC，?ABC的角平分線。

C

A

BDEC

B

應用：

1、（09崇文二模）以?ABC的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt?ABD和等腰Rt?ACE，?BAD??CAE?90?,連接DE，M、N分別是BC、DE的中點．探究：AM與DE的位置關系及

求證：BQ+AQ=AB+BP

數量關系．

（1）如圖① 當?ABC為直角三角形時，AM與DE的位置關系是，線段AM與DE的數量關系是；

（2）將圖①中的等腰Rt?ABD繞點A沿逆時針方向旋轉?(0

?

C4、如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分?ABC，求證： ?A??C?180

C5、如圖在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任意一點，求證;AB-AC＞PB-PC

A

四、借助角平分線造全等

1、如圖，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平

應用：

分線AD,CE相交于點O，求證：OE=OD

B

B

C2、如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.A

（1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的長.B

G

C

F

D

三、平移變換

例1 AD為△ABC的角平分線，直線MN⊥AD于A.E為MN上一點，△ABC周長記為PA，△EBC周長記為PB.求證PB＞PA.應用：

1、如圖①，OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：

（1）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數量關系；

（2）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你在(1)中所得結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。

例2 如圖，在△ABC的邊上取兩點D、E，且BD=CE，求證：AB+AC>AD+AE.A

圖①

B

M

P N

圖②

D C

D

BDE

C

圖③

C

五、旋轉

例1 正方形ABCD中，E為BC上的一點，F為CD上的一點，BE+DF=EF，求∠EAF的度數.例2 D為等腰Rt?ABC斜邊AB的中點，DM⊥DN,DM,DN分別交BC,CA于點E,F。(1)當?MDN繞點D轉動時，求證DE=DF。(2)若AB=2，求四邊形DECF的面積。

3、在等邊?ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為?ABC外一點，且

??

當M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、?MDN?60,?BDC?120,BD=DC.探究：

MN之間的數量關系及?AMN的周長Q與等邊?ABC的周長L的關系．

A

D

F

B

E

C

A

例3 如圖，?ABC是邊長為3的等邊三角形，?BDC是等腰三角形，且?為頂點做一個600角，使其兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連接MN，則?AMN的周長為；

2、（西城09年一模）已知以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點落在直線AB的兩側.(1)如圖,當∠APB=45°時,求AB及PD的長;

(2)當∠APB變化,且其它條件不變時,求PD的最大值,及相應∠APB的大小.圖1圖2圖

3（I）如圖1，當點M、N邊AB、AC上，且DM=DN時，BM、NC、MN之間的數量關系是； 此時

QL

?；

（II）如圖2，點M、N邊AB、AC上，且當DM?DN時，猜想（I）問的兩個結論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；

（III）如圖3，當M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，若AN=x，則Q=（用

． x、L表示）

B

C

第二篇：全等三角形證明

全等三角形的證明

1.?翻折

如圖（1），?BOC≌?EOD，?BOC可以看成是由?EOD沿直線AO翻折180?得到的；

?旋轉

如圖（2），?COD≌?BOA，?COD可以看成是由?BOA繞著點O旋轉180?得到的；

?平移

如圖（3），?DEF≌?ACB，?DEF可以看成是由?ACB沿CB方向平行移動而得到的。

2.判定三角形全等的方法：

（1）邊角邊公理、角邊角公理、邊邊邊公理、斜邊直角邊（直角三角形中）公理

（2）推論：角角邊定理

3.注意問題：

（1）在判定兩個三角形全等時，至少有一邊對應相等；

（2）不能證明兩個三角形全等的是，a: 三個角對應相等，即AAA；b :有兩邊和其中一角對應相等，即SSA。

一、全等三角形知識的應用

（1）證明線段（或角）相等

例1：如圖，已知AD=AE,AB=AC.求證：BF=FC

（2）證明線段平行

例2：已知：如圖，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為E、F，DE=BF，AE=CF.求證：AB∥CD

（3）證明線段的倍半關系，可利用加倍法或折半法將問題轉化為證明兩條線段相等

例3：如圖，在△ ABC中，AB=AC，延長AB到D，使BD=AB，取AB的中點E，連接CD和CE.求證：CD=2CE

例4 如圖，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求證：AB＝AC＋CD．

．

例5：已知：如圖，A、D、B三點在同一條直線上，CD⊥AB,ΔADC、ΔBDO為等腰Rt三角形，AO、BC的大小關系和位置關系分別如何？證明你的結論。

例6.如圖，已知C為線段AB上的一點，?ACM和?CBN都是等邊三角形，AN和CM相交于F點，BM和CN交于E點。求證：?CEF是等邊三角形。

N

M

FE

C

A B

第三篇：全等三角形證明

全等三角形證明

1、已知CD∥AB，DF∥EB，DF=EB，問AF=CE嗎？說明理由。

CA2、已知∠E=∠F，∠1=∠2，AB=CD，問AE=DF嗎？說明理由。

F3、已知，點C是AB的中點，CD∥BE，且CD=BE，問∠D=∠E嗎？說明理由。

4、已知AB=CD，BE=DF，AE=CF，問AB∥CD嗎？

A B

C

第四篇：全等三角形練習題(證明)

全等三角形練習題（8）

一、認認真真選，沉著應戰！

1．下列命題中正確的是（）

A．全等三角形的高相等B．全等三角形的中線相等

C．全等三角形的角平分線相等D．全等三角形對應角的平分線相等 2． 下列各條件中，不能做出惟一三角形的是（）

A．已知兩邊和夾角B．已知兩角和夾邊

C．已知兩邊和其中一邊的對角D．已知三邊

4．下列各組條件中，能判定△ABC≌△DEF的是()

A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D

B．∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EF

C．AB=DE，BC=EF，△ABC的周長= △DEF的周長

D．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F

5．如圖，在△ABC中，∠A:∠B:∠C=3:5:10，又△MNC≌△ABC，則∠BCM：∠BCN等于（）

A．1:2B．1:3C．2:3D．1:

46．如圖，∠AOB和一條定長線段A，在∠AOB內找一點P，使P到OA、OB的距離都等于A，做法如下：（1）作OB的垂線NH，使NH=A，H為垂足．（2）過N作NM∥OB．（3）作∠AOB的平分線OP，與NM交于P．（4）點P即為所求．

其中（3）的依據是（）

A．平行線之間的距離處處相等

B．到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上

C．角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等

D．到線段的兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上

7． 如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA長分別是20、30、40，其三條 角平分線將△ABC分為三個三角形，則S△ABO︰S△BCO︰S△CAO等于（）

A．1︰1︰1B．1︰2︰3C．2︰3︰4D．3︰4︰

58．如圖，從下列四個條件：①BC＝B′C，②AC＝A′C，③∠A′CB＝∠B′CB，④AB＝A′B′中，任取三個為條件，ANCA

C F 余下的一個為結論，則最多可以構成正確的結論的個數是（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

9．要測量河兩岸相對的兩點A，B的距離，先在AB的垂線BF上 取兩點C，D，使CD=BC,再定出BF的垂線DE，使A，C，E在同 一條直線上，如圖，可以得到?EDC??ABC，所以ED=AB，因

E

此測得ED的長就是AB的長，判定?EDC??ABC的理由是（）A．SASB．ASAC．SSSD．HL

10．如圖所示，△ABE和△ADC是△ABC分別沿著AB，AC邊 翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，則∠α的度數為（）

A．80°B．100°C．60°D．45°．

二、仔仔細細填，記錄自信！

11．如圖，在△ABC中，AD=DE，AB=BE，∠A=80°，則∠CED=_____．

12．已知△DEF≌△ABC，AB=AC，且△ABC的周長為23cm，BC=4 cm，則△DEF的邊中必有一條邊等于______．

13． 在△ABC中，∠C=90°，BC=4CM，∠BAC的平分線交BC于D，且BD︰DC=5︰3，則D到AB的距離為_____________．

14． 如圖，△ABC是不等邊三角形，DE=BC，以D，E為兩個頂點作位置不同的三角形，使所作的三角形與△ABC全等，這樣的三角形最多可以畫出_____個．

BE

BCDE

?分別是銳角三角形ABC和銳角三角形A?B?C?中BC,B?C?邊上的高，且15． 如圖，AD，A?D?B，?AB?AAD?

?D?若使△ABC≌△A?B?C?，請你補充條件___________．(填寫一個你認為適A．

當的條件即可)

C

'

'

B D D

17． 如果兩個三角形的兩條邊和其中一條邊上的高對應相等，那么這兩個三角形的第三邊所對的角的關

'

C

'

系是__________．

19． 如右圖，已知在?ABC中，?A?90?,AB?AC,CD平

分?ACB，DE?BC于E，若BC?15cm，則△DEB 的周長為cm．

E

C

20．在數學活動課上，小明提出這樣一個問題：∠B=∠C=900，E是

BC的中點，DE平分∠ADC，∠CED=350，如圖，則∠EAB是多少 度？大家一起熱烈地討論交流，小英第一個得出正確答案，是______．

三、平心靜氣做，展示智慧！

21．如圖，公園有一條“Z”字形道路ABCD，其中

AB∥CD，在E,M,F處各有一個小石凳，且BE?CF，M為BC的中點，請問三個小石凳是否在一條直線上？說出你推斷的理由．

22．如圖，給出五個等量關系：①AD?BC ②AC?BD ③CE?DE ④?D??C⑤?DAB??CBA．請你以其中兩個為條件，另三個中的一個為結論，推出一個正確 的結論（只需寫出一種情況），并加以證明．

已知：

求證：

證明：

23．如圖，在∠AOB的兩邊OA,OB上分別取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于點C． 求證：點C在∠AOB的平分線上．

A

B

B

如圖，已知△ABC和△DEC都是等邊三角形，∠ACB=∠DCE=60°，B、C、E在同一直線上，連結BD和AE.求證：BD=AE.2．已知：如圖點C是AB的中點，CD∥BE，且CD=BE.求證：∠D=∠E.3．已知：E、F是AB上的兩點，AE=BF，又AC∥DB，且AC=DB.求證：CF=DE。

4．如圖，D、E、F、B在一條直線上，AB=CD，∠B=∠D，BF=DE。求證：⑴AE=CF；⑵AE∥CF；⑶∠AFE=∠CEF。

1、已知：如圖，∠1＝∠2，∠B＝∠D。求證：△AFC≌△DEB4、已知：AD為△ABC中BC邊上的中線，CE∥AB交AD的延長線于E。

求證：（1）AB＝CE； ５、已知：AB＝AC，BD＝CD

求證：（1）∠B＝∠C

（2）DE＝DF

６．已知：AD為△ABC中BC邊上的中線，CE∥AB交AD的延長線于E。７．已知：如圖，AB=CD，DA⊥CA，AC⊥BC。

求證：△ADC≌△CBA

求證：（1）AB＝CE；

參考答案

一、1—5：DCDCD6—10：BCBBA

二、11．100° 12．4cm或9．5cm 13．1．5cm 14．4 15．略

16．1?AD?5 17． 互補或相等 18． 180 19．15 20．350

三、21．在一條直線上．連結EM并延長交CD于F' 證CF?CF'． 22．情況一：已知：AD?BC，AC?BD

求證：CE?DE（或?D??C或?DAB??CBA）

證明：在△ABD和△BAC中 ∵AD?BC，AC?BD

AB?BA

∴△ABD≌△BAC

∴?CAB??DBA∴AE?BE

∴AC?AE?BD?BE

即CE?ED

情況二：已知：?D??C，?DAB??CBA

求證：AD?BC（或AC?BD或CE?DE）證明：在△ABD和△BAC中?D??C，?DAB??CBA∵AB?A B

∴△ABD≌△BAC

∴AD?B C

23．提示：OM=ON，OE=OD，∠MOE=∠NOD，∴△MOE≌△NOD，∴∠OME=∠OND，又DM=EN，∠DCM=∠ECN，∴△MDC≌△NEC，∴MC=NC，易得△OMC≌△ONC（SSS）∴∠MOC=∠NOC，∴點C在∠AOB的平分線上．

四、24．(1)解：△ABC與△AEG面積相等

過點C作CM⊥AB于M，過點G作GN⊥EA交EA延長線于N，則

?AMC??ANG?90?

?四邊形ABDE和四邊形ACFG都是正方形

??BAE??CAG?90，AB?AE，AC?AG??BAC??EAG?180

??

??EAG??GAN?180??BAC??GAN?△ACM≌△AGN

?

D

?CM?GN?S△ABC?

AB?CM，S△AEG?

12AE?GN

?S△ABC?S△AEG

(2)解：由(1)知外圈的所有三角形的面積之和等于內圈的所有三角形的面積之和

?這條小路的面積為(a?2b)平方米．

第五篇：第八課 三角形全等證明

第八講 三角形全等的條件（2）

5．如圖，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，BE交CD于F，且AD=DF，三角形全等條件（3）：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等．

C

求證：AC= BF。如圖，在?ABC與?DEF中 ?A??D

AB?

DE ?B??E

A

E

F

?

?

ABC??DEF(ASA)

ASA公理推論（AAS公理）：有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等．

1． 如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE

⊥AB于E，DF

⊥AC于F

。求證：DE=DF．

2．如圖，已知：AD=AE，?ACD??ABE，求證：

A

6.如圖，AB，CD相交于點O，且AO=BO，試添加一個條件，使△AOC≌△BOD，并說明添加的條件是正確的。（不少于兩種方法）

DB

7.如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90o，多點A的任一直線AN，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，你能說說DE=BD-CE的理由嗎？

8．如圖，已知?AED??ADE,?BAE??CAD，求證：BE=CD

E

3．如圖，已知∠A=∠C，AF=CE，DE∥BF，求證：△ABF≌△CDE.4．如圖，已知?1??2??3，AB=AD.求證：BC=DE.D

F

C

E

9.如圖△ABC中，∠B＝∠C，D，E，F分別在AB,BC,AC上，且BD=CE,∠DEF=∠B 求證：ED=EF

C

F

D

E

C

10.如圖，∠E=∠B，∠1=∠2，EC=BC，求證：DE=AB

11.如圖，AB∥DE，AC∥DF，BE=CF． 求證：AB=DE

第八講 三角形全等的條件（2）

15.如圖，在正方形ABCD中，CE?DF．求證：△CBE≌△DCF.A

E

D

D

C B F

16.已知：△ABC中，D、E、F分別是AB、AC、BC上的點，連結DE、EF，∠ADE=∠EFC，∠AED=∠ACB，DE=FC。求證：△ADE≌△EFC

17.已知：如圖∠1=∠2，∠3=∠4，求證：△ABC≌△ABD。

18.如圖，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求證：AB=CD

△BED與△CFD全等嗎？

13.如圖，D是AB上一點，DF交AC于點E，AE?EC，CF∥AB．求證：AD?CF

B

A

F

19.如圖：AE、BC交于點M，F點在AM上，BE∥CF，BE=CF。求證：AM是△ABC的中線。

G

C

B

F

B E C

F

12.如圖所示，BE⊥AE，CF⊥AE，垂足分別是E、F，D是EF的中點，A

D

A

C B

C

14.如圖，ABCD是正方形．G是 BC 上的一點，DE⊥AG于 E，BF⊥AG于 F．

A D

（1）求證：△ABF≌△DAE；（2）DE?EF?FB．

B

E

M

C

第八講 三角形全等的條件（2）24.已知：如圖，AC⊥OB，BD⊥OA，AC與BD交于E 點，20.如圖：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分別為E、F，若OA=OB，求證：AE=BE。求證：MB=MC

求證：BE=CD

22.如圖，將一等腰直角三角形ABC的直角頂點置于直線l上，且過A、B兩點分別作直線l的垂線，垂足分別為D、E．請你仔細觀察后，在圖中找出一對全

等三角形，并寫出證明它們全等的過程．

C

O

21.已知：如圖，AB=AC，BD?AC，CE?AB，垂足分別為D、E，BD、CE相交于點F，25.已知：如圖，AB=CD，AD=BC，O是AC中點，OE⊥AB于E，OF⊥D于F。求證：OE=OF。

C

A E B

三角形全等條件（4）

1、如圖，B、E、F、C在同一直線上，AE⊥BC，DF⊥BC，AB=DCBF=CE，試判斷AB與CD的位置關系.2、已知 如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DC，求證：AD∥BC.D

C

23.如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線AC折疊，使點B落到點B′的位置，AB′與CD交于點E.（1）求證：△ADE≌△CB′E；（2）若AB=8，DE=3，試求BC的長.D

C

A

B

第八講 三角形全等的條件（2）

3、如圖，AD是△ABC的高，E為AC上一點，BE交AD于F，具有BF=AC，FD=CD，8.如圖，在ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別 試探究BE與AC的位置關系.求證：△ACF≌△BDE.5．如圖，已知AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF

垂足分別為E、F，那么，CE=DF嗎？談談你的理由!

求證：（1）CE=BE；（2）CB⊥AD.B

B

D C4、如圖，A、E、F、B四點共線，AC⊥CE、BD⊥DF、E A

是E、F，且DE=DF，試說明AB=AC.9.如圖，DC=BC，∠B＝∠D=90°，求證：AB＝AD.10.已知：如圖∠B=∠E=90°AC=DFFB=EC，證明：AB=DE 已知：如圖，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE?BF．求證：AB∥CD．

6．如圖，已知AB=AC，AB⊥BD，AC⊥CD，AD，BC12.已知：如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD，若E是AC上一點。求證：EB=ED

7.如圖，△ABC中，D是BC上一點，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分別為垂足，且AE=AF，試說明：DE=DF，AD平分∠BAC.E