第一篇：高中數學曲線和方程教案(改)

各位老師，大家好！

我叫韓楊，今天我說課的課題是《曲線和方程》的第一課時。下面我將從教材分析、教學目標、教學重難點、教法和學法、教學過程和教學效果等六個方面加以分析和說明。

一、教材分析

《曲線和方程》是人教版高中數學第二冊上冊第七章第五小節的內容。本節課的主要內容是了解曲線上的點與方程的解之間的一一對應關系，學會求解曲線的方程，因為學生已有了用方程表示曲線的感性認識，特別是二元一次方程表示直線，現在要進一步研究平面內的曲線和含有兩個變量的方程之間的關系，是由直觀表象上升到抽象概念的過程。它既是對前一節線性規劃知識的延伸和發展，也為下一節圓的方程打下了基礎，起到了承上啟下的作用。

二、教學目標

根據教學大綱的要求和高中學生的認知規律，以及新課標對教育目標的定位，我將本節課的教育目標確定為以下三點：

?知識與技能目標：初步領會“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念；學會根據已有的情景資料找規律，培養學生分析、判斷、歸納的邏輯思維能力與抽象思維能力，同時強化“形”與“數”一致并相互轉化的思想方法。?過程與方法目標

（1）通過直線方程的復習引入，加強學生對方程的解和曲線上的點的一一對應關系的直觀認識；

（2）在形成曲線和方程概念的過程中，學生經歷觀察，分析，討論等數學活動過程，探索出結論并能有條理的闡述自己的觀點；

（3）能用所學知識理解新的概念，并能運用概念解決實際問題，從中體會轉化化歸的思想方法，提高思維品質，發展應用意識。

?情感態度與價值觀目標；課堂中，通過對問題的自主探究，培養學生的獨立意識和獨立思考能力；在問題逐步深入的研究中喚起學生追求真理，樂于創新的情感需求，引發學生強烈的求知欲。

三、教學的重難點

根據數學新課標標準，我確定本節課的重點是“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念。為強化其認識，決定用集合相等的概念來解釋曲線和方程的對應關系，并以此為工具來分析實例，這將有助于學生的理解，有助于學生通其法、知其理。

教學難點是怎樣利用定義驗證曲線是方程的曲線、方程是曲線的方程。因為學生在作 業中容易犯想當然的錯誤，通常在已知曲線建立方程的時候，不驗證方程的解為坐標的點在曲線上，就斷然得出所求的是曲線的方程。為了突破難點，本節課將通過例題讓學生體會“二者”缺一不可的性質。四：教法和學法分析

數學是一門培養和發展人的思維的重要學科。因此，在教學中，不僅要讓學生“知其然”，還要“知其所以然”，這也是我小學數學老師經常給我們說的一句話。新課標指出，學生是教學的主體，教師的教應從學生的認知規律出發，以學生活動為主線，在原有知識的基礎上，構建新的知識體系。學是中心，會學是目的。本節課主要板書的形式，教給學生“動手畫、動腦想、善分析、善總結”的研討式學習方法，教給學生主動思考問題、主動解決問題的方法，這樣才能使學生產生一種成就感，從而提高學習數學的興趣。五：教學過程

對于45分鐘的課堂，我做了以下時間安排: 課題引入約5分鐘，講授新課約20分鐘，練習鞏固約13分鐘，課堂小結約5分鐘，作業布置約2分鐘。

因為還沒有正式的成為老師，沒有教學經驗，對課堂的時間把握不是很準確，所以擬定了時間安排，希望對教學過程有所幫助，做到合理安排時間，下面我從六個方面介紹一下我的教學過程。

1、設置情境——提出課題

在本節課之前，學生已經學習過直線的各種方程，建立了二元一次方程與直線的對應關系。所以這節課首先讓學生先畫出方程x?y?0表示的直線，借助圖形讓學生再一次從直觀上深刻體會方程的解與直線上的點一一對應關系。在鞏固已有知識的前提下再提出：對任意曲線和二元方程是否都能建立這種等價關系呢？從而引出本節課的內容：曲線和方程。通過提問的方式有助于吸引學生的注意力，激發他們強烈的好奇心和求知欲，給學生搭建起一個探究和實踐的平臺． 2.講授新課

通過前面已經學過的圓、拋物線、再推廣到任意曲線，借助圖形讓學生體會到對任意曲線的解和方程的解都能建立一一對應關系，從而得出“曲線的方程”和“方程的曲線”的定義。

問題2：如果概念中的兩點少一點，是否也滿足曲線上的點與方程的解的一一對應關系呢？

通過提問，引導學生對得到的結論要給予更多的思考，幫助他們提高認識，這也是概念 教學中學生理解概念的要點，給學生較多的時間互相探究問題和討論解決問題。

找一下不同時滿足兩個條件的反例，通過反例的講解，讓學生自己總結得出: 要想滿足曲線上的點與方程的解的一一對應關系，概念中的兩點缺一不可。在概念教學中，通過反例的反襯，常常起著幫助學生理解概念的作用。

3、練習鞏固

找一些典型例題讓學生進行練習，做題過程中，要求學生獨立思考，抽點幾位學生到黑板上寫出自己的答題過程，其他學生也獨立完成，完成后，再抽點幾個同學上臺進行檢查，錯誤的地方加以修改。這樣既能讓學生積極參與，增強學生的注意力，也能對解答中容易出錯的地方加深印象。

4、課堂小結

本節課通過對實例的研究，掌握了“曲線的方程”、“方程的曲線”的定義，在領會定義時，要牢記定義中（1）、（2）兩點缺一不可，它們都是“曲線的方程”和“方程的曲線”的必要條件，兩者都滿足了，“曲線的方程”和“方程的曲線”才具備充分性。小結時才提出“必要性”與“充分性”的問題，使學生的認識再上一個臺階，另一點意在建立“解析幾何”的基本思想，使之逐步轉變為學生的思想。5.布置作業

書本習題7.5第2題、第3題、第5題、第6題。

作業要求：允許學生對不會做的題目可以不做，但要分析出不會做的癥結所在，這樣做的目的在于既可以避免抄襲現象的產生，也可以讓學生自己分析出知識的薄弱點，由被動學習變成主動學習，增強學習興趣。

6、板書設計

力求簡明清楚，重點突出，加深學生對重點知識的理解和掌握，有利于提高教學效果。

曲線與方程

公式推導 例題 練習六．教學效果分析

本節課在引導學生探究的過程中，關注學生的認知心理過程，重視學生學習過程中的參與度、自信心以及獨立思考能力。教學過程中注重層次性，對基礎薄弱的學生多給他們創造機會，力爭每一個層次的學生都能有機會得到積極的評價，因為這是讓他們保持自信，愛好數學的最佳培養時機。

以上是我的教學設計，肯定存在很多不足的地方，但是我一定會積極改進，請各位老師批評指正！謝謝！

第二篇：高中數學《曲線和方程》說課稿

高中數學《曲線和方程》說課稿

作為一名人民教師，編寫說課稿是必不可少的，說課稿可以幫助我們提高教學效果。那要怎么寫好說課稿呢？下面是小編為大家整理的高中數學《曲線和方程》說課稿，僅供參考，希望能夠幫助到大家。

各位領導、專家、同仁：

你們好!

我是廣安市樂善中學的數學教師蔣永華。我說課的內容是“曲線和方程”。下面我從教材分析、教學方法、學法指導、教學程序、板書設計以及評價六個方面來匯報對教材的鉆研情況和本節課的教學設想。懇請在座的專家、同仁批評指正。

一、關于教材分析

1、教材的地位和作用

“曲線和方程”是高中數學第二冊(上)第七章《直線和圓的方程》的重點內容之一，是在介紹了“直線的方程”之后，對一般曲線(也包括直線)與二元方程的關系作進一步的研究。這部分內容從理論上揭示了幾何中的“形”與代數中的“數”相統一的關系，為“形”與“數”的相互轉化開辟了途徑，同時也體現了解析幾何的基本思想，為解析幾何的教學奠定了一個理論基礎。

2、教學內容的選擇和處理

本節教材主要講解曲線的方程和方程的曲線、坐標法、解析幾何等概念，討論怎樣求曲線的方程以及曲線的交點等問題。共分四課時完成，這是第一課時。此課時的主要內容是建立“曲線的方程”和“方程的曲線”這兩個概念，并對概念進行初步運用。我在處理教材時，不拘泥于教材，敢于大膽進行調整。主要體現在對曲線的方程和方程的曲線的定義進行歸納上，通過構造反例，引導學生進行觀察、討論、分析、正反對比，逐步揭示其內涵，然后在此基礎上歸納定義;再一點就是在得出定義之后，引導學生用集合觀點來理解概念。

3、教學目標的確定

根據教學大綱的要求以及本節教材的地位和作用，結合高二學生的認知特點，我認為，通過本節課的教學，應使學生理解曲線和方程的概念;會用定義來判斷點是否在方程的曲線上、證明曲線的方程;培養學生分析、判斷、歸納的邏輯思維能力，滲透數形結合的數學思想;并借用曲線與方程的關系進行辯證唯物主義觀點的教育;通過對問題的不斷探討，培養學生勇于探索的精神。

4、關于教學重點、難點和關鍵

由于曲線和方程的概念體現了解析幾何的基本思想，學生只有透徹理解了這個概念，才能用解析法去研究幾何圖形，才算是踏上解析幾何的入門之徑。因此，我把曲線和方程的概念確定為本節課的教學重點。另外，由于曲線和方程的概念比較抽象，加之剛剛進入高二的學生抽象思維能力還不是很強，因此，他們對曲線和方程關系的“純粹性”與“完備性”不易理解，弄不清它們之間的區別與聯系，易產生“為什么要規定這樣兩個關系”的疑問。所以，對概念的理解，尤其是對“兩個關系”的認識是本節課的難點。

如何突破這一難點呢?由于學生在學習本節之前，已經有了用方程表示幾何圖形的感性認識(比如用方程表示直線、拋物線、雙曲線等)。因此，突破這一難點的關鍵在于利用學生積累的這些感性認識，通過分析反例，來揭示“兩個關系”中缺少任何一個都將破壞曲線與方程的統一性(即擴大概念的外延)。

二、關于教學方法與教學手段的選用

根據本節課的教學內容和學生的實際水平，我采用的是引導發現法和CAI輔助教學。

(1)引導發現法是通過教師的引導、啟發，調動學生參與教學活動的積極性，充分發揮教師的主導作用和學生的主體作用。在教學中通過設置疑問，創造出思維情境，然后引導學生動腦、動手、動口，使學生在開放、民主、和諧的教學氛圍中獲取知識，提高能力，促進思維的發展。

(2)借助CAI輔助教學，增大教學的容量和直觀性，增強學習興趣，從而達到提高教學效果和教學質量的目的。(這也符合教學論中的直觀性原則和可接受性原則。)

(3)教具：三角板、多媒體。

三、關于學法指導

古人說得好，“授人以魚，只供一飯;教人以漁，終身受用。”我們在向學生傳授知識的同時，必須教給他們好的學習方法，讓他們學會學習、享受學習。因此，在本節課的教學中，引導學生開展“仔細看、動腦想、多交流、細比較、勤練習”的研討式學習，加大學生的參與機會，增強參與意識，讓他們體驗獲取知識的歷程，掌握思考問題的方法，逐漸培養他們“會觀察”、“會類比”、“會分析”、“會歸納”的能力。

四、關于教學程序的設計

首先是“復習引入”。我先引導學生回顧本章第二節中直線與二元一次方程的關系，并讓學生指出二者能互相表示時滿足的條件。然后，在此基礎上提出“平面直角坐標系中一般曲線和二元方程之間要建立這樣的對應關系，也就是能互相完整地表示時，需具備什么樣的條件呢?”從而引出將要學習的課題――曲線和方程。這樣引入課題顯得比較自然，也符合由特殊到一般的思維認知規律。同時，直線與二元一次方程的關系也為下面研究一般曲線與二元方程的關系提供了一個實際模型。(本環節用時約分鐘。)

第二個環節“設疑導思”。在課題引出之后，我把剛才引入課題時的問題(即：一個二元方程f(x,y)=0的解與平面直角坐標系中一般的曲線C上的點需滿足什么樣的條件，就可以用方程f(x,y)=0來表示曲線C，同時曲線C也可以來表示這個方程f(x,y)=0?)再次交給學生，讓他們進行思考、討論，然后請學生

內容如下：

代表發表意見，我適當地集中學生的觀點，并逐步將其歸結為兩點：①曲線上點的坐標滿足方程f(x,y)=0，②以方程f(x,y)=0的解為坐標點在曲線上(學生用類比的方法和積累的用方程表示曲線的感性認識，是可以猜想出這一條件的)，但我對學生的觀點不作評判(這樣就留下了懸念)。這樣設計的意圖在于：此思考題是本節課的核心問題，在這里提出來是為了給學生一個明確的學習目標;同時，也是為了通過問題給學生營造出思維情境，調動起他們的思維。給學生留下懸念，是為了激發他們的學習熱情和求知欲望，從而使他們主動參與到后面的教學活動中來。(本環節用時約分鐘。)

接下來我就引導他們進行“實例探究”。首先用電腦投影例題1，讓學生對例題進行分析、討論，并動手畫圖，然后口答二者的關系。最后，由我給予訂正，同時用電腦顯示相關結果。設計此例的目的是讓學生從正面認識曲線和方程互相完整表示時所具有的兩個關系，即“(1)如果點M(x0,y0)是C1上的點，那么(x0,y0)一定是方程的解;反過來，(2)如果(x0,y0)方程的解，那么以(x0,y0)為坐標的點必在C1上。”顯然，它滿足剛才學生自己所提出的兩個條件。(也就是拋物線上的點與方程的解形成了一一對應的關系。)

盡管學生知道了曲線和方程互相完整表示時所具有的這樣兩個關系，但學生此時可能還會存有這樣的疑問：“曲線與方程互相完整表示時一定要滿足這樣兩個關系嗎?缺少一個會怎樣呢?”學生的這一疑問也正是本節課的教學難點所在。為了突破這一難點，我在例1的基礎上分別構造出兩個反例，一個是在原有拋物線上“長出”一部分，即“曲線多了”的情形，另一個是將原來的拋物線“剪去”一段，即“曲線少了”的情形。接著在教師的引導下，讓學生分別對兩個反例進行充分地觀察、分析、討論(當然，這里要給學生留足時間)。通過這些認知活動的開展，學生能夠發現：問題1中(反例1)，雖然以方程的解為坐標的點都在曲線C2上，但曲線C2上的點的坐標不全滿足方程(可舉例驗證)，也就是C2上“混進”了其坐標不是方程解的點，從而導致曲線C2上的點和方程解不是一一對應的關系，它們不能互相完整地表示，即“曲線多了”。此時，它滿足同學自己提出的“兩個關系”中②不滿足①。問題2(反例2)中，曲線C3上的點的坐標都滿足方程，但以方程的解為坐標的點不全在曲線C3上(也可舉例說明)，也就是曲線上“缺漏”其坐標是方程解的點，同樣導致曲線C3上的點與方程的解也不是一一對應的關系。顯然曲線C3與方程不能互相完整地表示，即“曲線少了”。此時，它滿足“兩個關系”中的①不滿足②。由此，學生可以得出結論：“兩個關系”中缺少任何一個，曲線和方程都不能互相完整地表示。這樣就使本節課的教學難點被突破了。這里對反例的設置是在例1的基礎上進行演化的，沒有另外構造反例，目的是讓學生能更好地進行正反對比，從而易于發現問題，形成深刻的印象。這一環節的教學是在教師的引導下采用研討的方式進行的，這樣處理有助于調動學生學習積極性，增強課堂參與意識，培養學生的觀察能力和邏輯思維能力。(本環節用時約分鐘)

通過上一環節的實例探究和反例分析，實際上已經揭示了曲線和方程對應關系的本質屬性，但學生對此還缺乏一種邏輯上的準確表述。因此，接下來就是引導學生在剛才的探討基礎上“歸納定義”。首先向學生提出這樣的問題：如果將例1中能完整表示曲線的這個方程稱為“曲線的方程”，那么我們該如何定義“曲線的方程”?這時可引導學生思考：為了避免兩個反例中曲線與方程關系的“不完整性”，我們應該作出怎樣的限制?隨著這一問題的解答，自然也就得出了定義。事實上，這一環節是在暴露定義產生的過程，目的是讓學生從中學到處理數學問題的思想和方法，培養學生的數學素質。另外，在歸納出定義后，又引導學生用集合對定義進行重新表述，這樣可以使學生對曲線與方程的關系進行再認識，從而強化對概念的理解。(本環節用時約分鐘)

接下來，我給學生準備了一道練習題，通過練習一方面可以加深學生對定義的理解;另一方面也旨在了解學生對概念的掌握情況，以便調節后面的教學節奏。同時，通過兩個引申提問(一個是怎樣修改圖形，可使曲線是方程的曲線，另一個是如何修改方程可使方程是曲線的方程。)，對題目作進一步的探討。這樣有利于培養學生的發散思維，促使良好思維習慣的形成。(練習用時約分鐘)

處理完練習以后，又引導學生對概念進行初步運用(目的還是為了加強對概念的理解)。首先我將例2、例3分別投影在屏幕上，然后引導學生分析解題思路，并根據學生的分析進行補充講解，最后師生共同完成解答。對例3的證明在理清思路后，由我將證明過程板書出來，目的是給學生起一個示范作用，讓學生掌握正確的書寫格式，培養學生嚴謹推理的習慣。另外，在解完例題之后，又引導學生對解題過程進行回顧，并歸納出具有一般性的結論，這樣既有利于解題技能的形成，又可培養學生良好的解題習慣。(本環節用時約分鐘)

課堂小結我是引導學生從知識內容和思想方法兩個方面進行小結的。通過小結使學生對本節課的知識結構有一個清晰的認識。在小結時不僅概括所學知識，而且還對所用到的數學方法和涉及的數學思想也進行歸納，這樣既可以使學生完成知識建構，又可以培養其能力。(用時約分鐘)

最后布置作業。所布置的作業都是緊緊圍繞著“曲線和方程”的概念及運用。通過作業來反饋知識掌握效果，鞏固所學知識，強化基本技能的訓練，培養學生良好的學習習慣和品質。另外，設計選作題是為了給學有余力的學生留出自由發展的.空間。(用時約分鐘)

五、關于板書設計

我將板書設計為“提綱式”。這樣設計主要是力求重點突出，能加深學生對重點知識的理解和掌握，便于記憶，從而提高教學效果。

六、關于評價

在授課過程中，我根據學生對課堂提問及例習題的解答情況，及時調節課堂節奏，“易”則可加快，“難”則應放慢速度，并借用富有啟發性的、階梯性的提問對學生進行思維引導。

課后，我將通過統計《課堂練習反饋表》、批改作業以及與學生談話等方式，來了解學生對“曲線與方程”概念的掌握情況，檢查教學目的的實現程度。同時，根據收集的這些教學反饋信息來對下一步教學工作作出必要的調整和改進。另外，通過對作業的評判和統計課堂練習完成情況，有助于學生認識自我，讓他們獲得成就感，從而增強其自信心，培養學生積極進取的學習態度。

以上，我從六個方面闡述了對“曲線和方程”這一節內容的有關分析和教學設想。不妥之處，敬請各位專家、同仁指正。謝謝大家!

我說課的內容是高中數學第二冊（上冊）第七章《直線和圓的方程》中的第六節“曲線和方程”的第一課時，下面我的說課將從以下幾個方面進行闡述：

一、教材分析

教材的地位和作用

“曲線和方程”這節教材揭示了幾何中的形與代數中的數相統一的關系，為“作形判數”與“就數論形”的相互轉化開辟了途徑，這正體現了解析幾何這門課的基本思想，對全部解析幾何教學有著深遠的影響。學生只有透徹理解了曲線和方程的意義，才算是尋得了解析幾何學習的入門之徑。如果以為學生不真正領悟曲線和方程的關系，照樣能求出方程、照樣能計算某些難題，因而可以忽視這個基本概念的教學，這不能不說是一種“舍本逐題”的偏見，應該認識到這節“曲線和方程”的開頭課是解析幾何教學的“重頭戲”！

根據以上分析，確立教學重點是：“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念；難點是：怎樣利用定義驗證曲線是方程的曲線，方程是曲線的方程。

二、教學目標

根據教學大綱的要求以及本教材的地位和作用，結合高二學生的認知特點確定教學目標如下：

知識目標：

1、了解曲線上的點與方程的解之間的一一對應關系；

2、初步領會“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念；

3、學會根據已有的情景資料找規律，進而分析、判斷、歸納結論；

4、強化“形”與“數”一致并相互轉化的思想方法。

能力目標：

1、通過直線方程的引入，加強學生對方程的解和曲線上的點的一一對應關系的認識；

2、在形成曲線和方程的概念的教學中，學生經歷觀察、分析、討論等數學活動過程，探索出結論，并能有條理的闡述自己的觀點；

3、能用所學知識理解新的概念，并能運用概念解決實際問題，從中體會轉化化歸的思想方法，提高思維品質，發展應用意識。

情感目標：

1、通過概念的引入，讓學生感受從特殊到一般的認知規律；

2、通過反例辨析和問題解決，培養合作交流、獨立思考等良好的個性品質，以及勇于批判、敢于創新的科學精神。

三、重難點突破

“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念是本節的重點，這是由于本節課是由直觀表象上升到抽象概念的過程，學生容易對定義中為什么要規定兩個關系產生困惑，原因是不理解兩者缺一都將擴大概念的外延。由于學生已經具備了用方程表示直線、拋物線等實際模型，積累了感性認識的基礎，所以可用舉反例的方法來解決困惑，通過反例揭示“兩者缺一”與直覺的矛盾，從而又促使學生對概念表述的嚴密性進行探索，自然地得出定義。為了強化其認識，又決定用集合相等的概念來解釋曲線和方程的對應關系，并以此為工具來分析實例，這將有助于學生的理解，有助于學生通其法，知其理。

怎樣利用定義驗證曲線是方程的曲線，方程是曲線的方程是本節的難點。因為學生在作業中容易犯想當然的錯誤，通常在由已知曲線建立方程的時候，不驗證方程的解為坐標的點在曲線上，就斷然得出所求的是曲線方程。這種現象在高考中也屢見不鮮。為了突破難點，本節課設計了三種層次的問題，幻燈片9是概念的直接運用，幻燈片10是概念的逆向運用，幻燈片11是證明曲線的方程。通過這些例題讓學生再一次體會“二者”缺一不可。

四、學情分析

此前，學生已知，在建立了直角坐標系后平面內的點和有序實數對之間建立了一一對應關系，已有了用方程（有時以函數式的形式出現）表示曲線的感性認識（特別是二元一次方程表示直線），現在要進一步研究平面內的曲線和含有兩個變數的方程之間的關系，是由直觀表象上升到抽象概念的過程，對學生有相當大的難度。學生在學習時容易產生的問題是，不理解“曲線上的點的坐標都是方程的解”和“以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點”這兩句話在揭示“曲線和方程”關系時各自所起的作用。本節課的教學目標也只能是初步領會，要求學生能答出曲線和方程間必須滿足兩個關系時才能稱作“曲線的方程”和“方程的曲線”，兩者缺一不可，并能借助實例指出兩個關系的區別。

1、對教材地位與作用的認識

在高中數學教學中，作為數學思想應向學生滲透，強化的有：函數與方程思想;數形結合思想;分類討論思想;等價轉化及運動變化思想。不是所有的課都能把這些思想自然的容納進去，但由于“曲線和方程”這一節在教材中的特殊地位，它把代數和幾何兩個單科自然而緊密地結合在一起，因而上述思想能用到大半，這不能不引起我們教師的重視。“曲線和方程”這節教材揭示了幾何中的形與代數中的數相統一的關系，為“依形判數”與“就數論形”的相互轉化開辟了途徑，這正體現了解析幾何這門課的基本思想，用代數的方法研究幾何問題。”曲線與方程”是解析幾何中最為重要的基本內容之一.在理論上它是基礎,在應用上它是工具,對全部解析幾何的教學有著深遠的影響，另外在高考中也是考察的重點內容，尤其是求曲線的方程，學生只有透徹理解了曲線與方程的含義，才算是找到了解析幾何學習得入門之路。應該認識到這節“曲線和方程”得開頭課是解析幾何教學的“重頭戲”!

2、教學目標的確定及依據

(大綱的要求)通過本小節的學習,要使學生了解解析幾何的基本思想,了解用坐標法研究幾何問題的初步知識和觀點,理解曲線的方程和方程的曲線的意義,初步掌握求曲線的方程的方法.所以第一課我在教學目標上是這樣設定的:

1).了解曲線上的點與方程的解之間的一一對應關系,領會“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念及其關系，并能作簡單的判斷與推理;

2).在形成概念的過程中，培養分析、抽象和概括等思維能力;

3)會證明已知曲線的方程。

本節課的教學目標定在“初步掌握”的水平上，但“初步”絕不等同于“含糊”，它反應在學生的學習行為上，即要求學生能答出曲線與方程間必須滿足的兩個關系，才能稱作“方程的曲線”和“曲線的方程”，兩者缺一不可，并能借助實例進一步明確這二者的區別。知識的學習與能力的培養是同步的，在具體操作上結合圖形分析與反例，來辨析“兩個關系”之間的區別，從認識特例到歸納出曲線的方程和方程的曲線一般概念，因而在形成概念的過程中，培養學生分析、抽象、概括的思維能力.會證明已知曲線的方程就能更進一步的理解曲線和方程概念的含義并為下節課求曲線的方程打基礎.3、如何突破重難點

本小節的重點是理解曲線與方程的有關概念與相互聯系，以及求曲線方程的方法、步驟.只有深刻理解了曲線與方程的含義，才能真正掌握好求曲線軌跡方程的一般方法，進一步學好后面的內容.曲線和方程的概念比較抽象，由直觀表象到抽象概念有相當難度，對學生理解上可能遇到的問題是學生不理解“曲線上的點的坐標都是方程的解”和”“以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點”這兩句話在揭示“曲線和方程”關系各自所起的作用。有的學生只從字面上死記硬背;有的學生甚至誤以為這兩句話是同義反復。要突破這一點，關鍵在于利用充要條件，函數圖象，直線和方程,軌跡等知.識,正反兩方面說明問題.本節課的難點在于對定義中為什么要規定兩個關系(純粹性和完備性)產生困惑，原因是不理解兩者缺任何一個都將擴大概念的外延。

4、對教學過程的設計

今天要講的“曲線和方程”這部分教材的內容主要包括“曲線方程的概念”，“已知曲線求它的方程”、“已知方程作出它的曲線”等。在課時安排上分為3個課時進行教學，具體的課時分配是：第一課時講解“曲線與方程”和“方程與曲線”的概念及其關系;第二課時講解求曲線的方程一般方法，第三課時為習題課，通過練習來總結、鞏固和深化本節知識。如果以為學生不真正領悟曲線和方程得關系照樣能求出方程，照樣能計算某些難題，因而可以忽視這個基本概念得教學，這不能不說是一種“舍本逐末”得偏見。

在教材中,曲線和方程這一概念是隨著知識的講授而不斷深化,逐步為學生所理解,因而教材中從直線開始,多次,重復地闡述,這說明其重要性.同時也說明理解它,掌握它確實需要一個過程.數學本身是很抽象，把數學和實際問題相結合才能激發學生的學習興趣，真正達到素質教育的要求。根據以上考慮，確定了這節課教學過程的基本線索是：實際問題引入，提出課題→運用反例，揭示內涵→討論歸納，得出定義→集合表述，強化理解→知識應用，反復辨析。

教材的編寫也往往體現著教法.,例如,本節一開頭說“我們研究過直線的各種方程，討論了直線和二元一次方程的關系。”學生已經有了用方程(有時用函數式的形式出現)表示曲線的感性認識，在本節教學中充分發揮這些感性認識的作用。從人造地球衛星運行的軌道等生動形象的實際問題引入，引起學生的興趣和好奇心以及對數學的應用有了更高的認識，更激發他們進一步學好數學的決心。(具體……)提出課題。運用學生熟知的知識，1)求線段AB的垂直平分線方程和2)作出方程y=x2的圖象作為引例，從曲線到方程，從方程到曲線兩方面入手分析了曲線上的點和方程的解之間的關系，為形成曲線和方程的概念提供了實際模型，但是如果就此而由教師直接給出結論，那就不僅會失去開發學生思維的機會，影響學生的理解，而且會使教學變得枯燥乏味，抑制了學生學習的主動性和積極性，接著用反例來突破難點。通過反例1)直線去掉第三象限部分，則方程y=x的解為坐標的點不都在曲線上，以及2)改方程為，那么曲線上就混有不滿足方程的點坐標就此揭示“兩者缺一”與直覺的矛盾，通過舉反例和步步追問使我要的答案逐步明了，從而又促使學生對概念表述的嚴格性進行探索，學生自已認識曲線和方程的概念必須要具備的兩個關系，培養學生分析，歸納問題的能力，自然得出定義。并且把這個關系板書到黑板上，以示這就是這節課的重點。為了在重難點有所突破后強化其認識，又用集合相等的概念來解釋曲線和方程的對應關系，并以此為工具來分析實例，這將有助于學生的理解，有助于學生通其法，知其理。

然后通過運用與練習，糾正錯誤的認識，促使對概念的正確理解，通過反復重現，可以不斷領悟，加強識記。所以安排了例1，例2(見課件)目的也在于幫助學生正確理解概念，通過解題辨析“兩個關系”，實現本節課的教學目標，為此題目中的“曲線”和“方程”都力求簡單,由此得出點在曲線上的充要條件。

曲線是符合某種條件的點的軌跡，為了下節課“求曲線的方程”的教學，安排了例3(見課件)證明曲線的方程，增加學生的感性認識，由于教材上有嚴謹的證明過程，讓學生閱讀并總結證明已知曲線的方程的方法和步驟，上升到理論上，可以培養學生獨立思考，閱讀歸納的能力。為了讓學生更深入的理解這節課的主要內容，通過4個變式引申檢查他們的掌握程度，但難度不能太大，我選擇這樣幾個練習：(略)簡單評講后小結本課的主要內容，進一步強化“曲線和方程”概念中兩個關系缺一不可，只有符合關系1)2)才能進行數與形的轉化。由于下節課的內容是求曲線的方程，特地安排了一個思考探索題。

5、對學生學習活動的引導和組織

教案的設計與教案的實施往往有一定的距離，本節課有著概念性強，思維量大，例題與練習題不多的特點，這就決定了整節課將以學生的觀察、思考、討論為主，通過提問，舉例，啟發，互動完成教學，在具體操作上比較靈活，視學生的具體情況而定，把握學生的思維規律于數學思想的基本方法。例如，在概念教學中引導學生看反例，通過正反對比的方法，當學生觀察了例1回答不清為什么，可以舉出幾個點的坐標作檢驗，這就是”從特殊到一般“的方法：或引導學生看圖，比比劃劃，這就是“從直觀到抽象”的方法。只要啟發方法符合學生的認識規律，學生的認識活動就會順利展開，而且在認知的過程中訓練了探索的能力。強化數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，完善學生的數學的結構，讓學生動手、動腦，以及觀察、聯想、猜測、歸納等合理推理，鼓勵學生多向思維、積極思考，勇于探索，從中培養學生合情推理能力，數學交流與合作能力以及主動參與的精神。

第三篇：曲線和方程 說課教案

曲線和方程

各位評委：大家好。

我叫xx，來自川師成都學院，今天我說課的題目是《曲線和方程》第一課時，我將通過教材分析、教學目標分析、教學重難點、教法與學法、課堂設計五方面來逐一加以分析和說明。

一、教材分析

《曲線和方程》是人教版高中數學第二冊（上冊）第七章第六節的內容。這節教材揭示了幾何中的形與代數中的數相統一的關系，為“作形判數”與“就數論形”的相互轉化開辟了途徑，這正體現了解析幾何的基本思想，對解析幾何教學有著深遠的影響。從知識上說，曲線與方程的概念是對后面所學的求出曲線的方程的準確性來說是很關鍵的，它在下節課中起到基礎性的作用，不僅是本節的重點概念，也是高中學生較難以理解的一個概念。通過本節的學習，提高學生對概念的理解能力，也為以后進一步學習奠定了基礎，對培養學生觀察問題、分析問題、解決問題的能力有重要作用，是培養高二學生的觀察分析能力和邏輯思維能力的重要訓練內容。

二、教學目標 ◆知識目標：

1、理解曲線上的點與方程的解之間的一一對應關系；

2、初步領會“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念；

3、學會根據已有的資料找規律，進而分析、判斷、歸納結論；

4、強化“形”與“數”一致并相互轉化的思想方法。◆能力目標：

1、通過直線方程的引入，加強學生對方程的解和曲線上的點的一一對應關系的認識；

2、在形成曲線和方程的概念的教學中，學生經歷觀察、分析、討論等數學活動過程，探索出結論，并能有條理的闡述自己的觀點；

3、在構建曲線和方程概念的過程中，培養學生分析、判斷、歸納的邏輯思維能力、知識遷移能力、合情推理能力，同時強化“形”與“數”結合并相互轉化的思想方法。◆情感目標：

1、通過概念的引入，讓學生感受從特殊到一般的認知規律；

2、通過反例辨析和問題解決，培養合作交流、獨立思考等良好的個性品質，以及勇于批判、敢于創新的科學精神。

三、教學重難點 本節重點：“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念 本節難點：“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念并利用定義驗證曲線是方程的曲線，方程是曲線的方程

重難點突破分析：“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念是本節的重點，本節課是由幾個特例上升到抽象概念的過程，學生容易對定義中為什么要規定兩個關系產生困惑，原因是不理解兩者缺一都將擴大概念的外延，也就是曲線上的點與方程的解之間的一一對應關系的理解透徹問題。由于學生已經具備了用方程表示直線、圓、拋物線等實際模型，積累了感性認識的基礎，所以可用舉反例的方法來解決困惑，通過反例揭示“兩者缺一”與直覺的矛盾，從而又促使學生對概念表述的嚴密性進行探索，加強認識曲線和方程的對應關系，使學生通其法，知其理。

怎樣利用定義驗證曲線是方程的曲線，方程是曲線的方程是本節的一個難點。通常在由已知曲線建立方程的時候，不驗證方程的解為坐標的點在曲線上，就斷然得出所求的是曲線方程。這種現象在高考中也屢見不鮮。為了突破難點，本節課通過一個實例來展示，由于課標只作為了解，在本節課不要求學生必須掌握。

四、教法與學法

教法：探究式教學是適應新課程體系的一種全新教學模式，因此在我的教學中，主要采用探究式教學方法。從實例、到類比歸納、到推廣的問題探究方式，它對激發學生學習興趣，培養學習能力都十分有利。啟發引導學生得出概念，深化概念，并應用它所解決問題去討論、去研究。用舉反例的方法來突破難點，引導學生對概念表述的嚴密性進行探索的探究教學法。在師生互動中解決問題，為提高學生分析問題、解決問題的能力打下了基礎。同時結合多媒體輔助教學，節省了板書時間，增大了信息量，增強了直觀形象性。

學法：問題探究和啟發引導式相結合。本節屬于概念教學，可采用以語言傳遞信息、分析概念的講授法。引導學生主動參與，親身實踐，獨立思考，合作探究，發展學生搜集處理信息的能力，獲取新知識的能力，分析和解決問題的能力，以及交流合作的能力，基于此，本節課從實例引入→類比→推廣→得概念→概念挖掘深化→具體應用→作業中的研究性問題的思考，始終讓學生主動參與，親身實踐，獨立思考，與合作探究相結合，在生生合作，師生互動中，使學生真正成為知識的發現者和知識的研究者。

五、教學過程

（一）提出課題

師：在本節課之前，我們研究過直線的各種方程，建立了二元一次方程與直線的對應關系：在平面直角坐標系中，任何一條直線都可以用一個二元一次方程表示，同時任何一個二元一次方程也表示著一條直線。讓學生畫出方程x?y?0表示的直線 ◆思考直線上所有點的集合與方程的解的集合之間的對應關系是怎樣的？（出示幻燈片）

1、直線上的點的坐標都是方程的解；

2、以這個方程的解為坐標的點都在直線上。

即：直線上所有點的集合與方程的解的集合之間建立了一一對應關系。

我們就可以說方程x-y=0是表示直線l的方程，直線l是表示方程x-y=0的直線 ◆（引導學生思考）我們已經學過的還有一些曲線和方程，是否有類似的對應關系？（出示幻燈片，引導學生類比、推廣并思考相關問題）類比：（引導和啟發學生說出曲線上的點與方程的解之間是否也是一一對應關系，注意引導學生類似上面的表達方式。）

1、圓上的點的坐標都是方程的解；

2、以這個方程的解為坐標的點都在圓上。

即：圓上所有點的集合與方程的解的集合之間建立了一一對應關系。我們就可以說方程(x?a)2?(y?b)2?r2是表示此圓的方程，圓是表示方程222(x?a)?(y?b)?r的圓。

類似的讓學生表述出以下的對應關系：

◆推廣：任意的曲線和二元方程是否都能建立這種對應關系呢？ 也即：方程f(x,y)?0的解與曲線C上的點的坐標具備怎樣的關系就能用方程f(x,y)?0表示曲線C，同時曲線C也表示著方程f(x,y)?0？

設計目的：運用學生熟知的舊知識引入，再類比和推廣，由特殊到一般地提出了課題，又為形成“曲線和方程”的概念提供了實際模型。學生是學習的主體，所學的知識只有通過學生的再創造活動，才能納入其認知結構中。通過對以前所學的知識進行有意識的引導探究活動，得出所要學的知識，并且學會類似的表達，使學生感受發現知識過程和容易接受所要學的知識，同時也提高學生對數學知識的表達能力和觀察能力。

（二）通過合情推理，概括形成定義

引導學生根據前面分析曲線上的點與方程的解之間是否是一一對應關系，模仿前面的結論對“曲線的方程”和“方程的曲線”下這樣的定義：

一般地，在直角坐標系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x,y)?0的實數解建立了如下的關系：

⑴曲線上的點的坐標都是這個方程的解；

⑵以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點，那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線。

（三）討論歸納給出定義——運用反例揭示概念內涵

我們在給曲線方程下定義時，語言表述概念不失概念的嚴謹性，表述是否正確呢？如果概念中的兩點少一點，是否也滿足曲線上的點坐標與方程的解之間的一一對應關系呢？

設計目的：引導學生對得到的結論要給予更多的思考，幫助他們提高認識，更加深入探索是概念表述的實質內涵是什么。這也是概念教學中學生理解概念的要點，突出本節課的教學重點，給學生較多的時間互相探究問題和討論解決問題，讓學生對概念的豐富內涵有更深的認識。

（出示幻燈片，引導學生探究和思考相關問題）

◆請同學們探究下列兩個圖上曲線上的點與方程的解之間的對應問題：

如圖1：（1）直線上的點的坐標是否都滿足方程x-y=0解？

（2）以方程x-y=0解為點的坐標是都否直線上？

曲線上的點的坐標與方程的解之間是否滿足一一對應關系？

圖1 讓學生探究得出結論是不符合的是關系（1）

如圖2：（1）射線上的點的坐標是否都滿足方程x-y=0解？

（2）以方程x-y=0解為點的坐標是都否射線上？

曲線上的點的坐標與方程的解之間是否滿足一一對應關系？ 圖讓學生探究得出結論是不符合的是關系（2）

最后總結：對“曲線的方程”和“方程的曲線”下的定義兩點關系的理解是： 關系（1）說的是曲線上的點的坐標與這個方程的解都對應。

關系（2）說的是以這個方程的解為坐標的點都與曲線上的點對應。

兩點合來才說明是曲線上的點與方程的解之間是一一對應關系，二者缺一不可。設計目的：讓學生通過探究以上來兩個反例對“曲線上的點與方程的解之間是否滿足一一對應關系”，從得出曲線上的點與方程的解之間不滿足一一對應關系。使學生在探究的過程中提高對概念的理解。

（四）通過練習應用和強化概念的理解（出示幻燈片，給學生足夠時間練習）

1.下列各題中，圖所示的的曲線C的方程為所列方程，對嗎？如果不對，是不符合關系（1）還是關系（2）？

2.解答下列問題，并說出各依據了“曲線的方程”和“方程的曲線”定義中的哪一個關系？

⑴點A（3，－4）、B（?25，2）是否在方程x2?y2?25的圓上？ ⑵已知方程為x2?y2?25的圓過點C（7，m），求m的值。

設計目的：對曲線與方程的概念的準確理解是對今后求出準確的曲線方程有重要作用。因此通過練習加強學生應用和強化概念的理解，同時也讓學生主動參與課堂教學，通過師生互動得到答案，了解學生理解概念的情況 用概念證明的例題講解P35

例1：證明與兩條坐標軸的距離的積是常數k(k?0)的軌跡方程是xy??k。

設計目的：這為下節課打下基礎，證明對學生來說是一個難度較大的，也是個難點，課標不作為必須掌握的，本節課只是讓學生初步了解，提高對概念的應用能力 分析：引導學生思考從概念的兩點出發去找證明思路：（1）證明軌跡上的點的坐標都是方程的解；（2）證明方程的解為坐標的點都在曲線上。證明：（1）設M(x0,y0)是軌跡上的任意一點，則M與x軸的距離是y0，與y軸的距離是而x0，?x0?y0?k 即(x0,y0)是方程xy??k??k的解。

?k（2）設點M1的坐標(x1,y1)是方程xyx1的解，則x1y1?，即

x1?y1?k，y1分別是點M1與y軸的距離和x軸的距離，所以點M1到這兩坐標軸的距離的積是常數k，點M1是曲線上的點。由（1）（2）可知，xy??k是與兩條坐標軸的距離的積是常數k(k?0)的軌跡方程。

（五）小結歸納

本節課我們通過對實例的探究，理解了“曲線的方程”和“方程的曲線”的定義，探究定義時，要記住關系⑴、⑵兩者缺一不可，其實質是曲線上的點的坐標與方程的解之間是一一對應關系。它們都是“曲線的方程”和“方程的曲線”的必要條件，兩者都滿足了“曲線的方程”和“方程的曲線”才具備充分性。曲線和方程之間一一對應關系的確立，把曲線與方程統一了起來，在此基礎上，我們就可以更多地用代數的方法研究幾何問題。讓學生從知識內容和數學思想方法兩個方面進行小結，使學生對本節課的知識有一個清晰的認識，對所用到的數學方法和涉及的數學思想也有體會，使學生能力得到培養。

（六）布置作業： 作業P37練習1,2 習題2.1 1

（七）板書設計

（有的借助多媒體顯示）

2.1曲線與方程

1．曲線與方程的定義： 例1：

證明： 2.對關系（1）的理解

對關系（2）的理解

第四篇：高中數學 《圓與方程》教案

圓的一般方程

一、教學目標(一)知識教學點

使學生掌握圓的一般方程的特點；能將圓的一般方程化為圓的標準方程從而求出圓心的坐標和半徑；能用待定系數法，由已知條件導出圓的方程．

(二)能力訓練點

使學生掌握通過配方求圓心和半徑的方法，熟練地用待定系數法由已知條件導出圓的方法，熟練地用待定系數法由已知條件導出圓的方程，培養學生用配方法和待定系數法解決實際問題的能力．

(三)學科滲透點

通過對待定系數法的學習為進一步學習數學和其他相關學科的基礎知識和基本方法打下牢固的基礎．

二、教材分析

1．重點：(1)能用配方法，由圓的一般方程求出圓心坐標和半徑；(2)能用待定系數法，由已知條件導出圓的方程．

(解決辦法：(1)要求學生不要死記配方結果，而要熟練掌握通過配方求圓心和半徑的方法；(2)加強這方面題型訓練．)2．難點：圓的一般方程的特點．

(解決辦法：引導學生分析得出圓的一般方程的特點，并加以記憶．)3．疑點：圓的一般方程中要加限制條件D2+E2-4F＞0．(解決辦法：通過對方程配方分三種討論易得限制條件．)

三、活動設計

講授、提問、歸納、演板、小結、再講授、再演板．

四、教學過程(一)復習引入新課

前面，我們已討論了圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2，現將展開可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可見，任何一個圓的方程都可以寫成x2+y2+Dx+Ey+F=0．請大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲線是不是圓？下面我們來深入研究這一方面的問題．復習引出課題為“圓的一般方程”．

(二)圓的一般方程的定義

1．分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的軌跡 將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左邊配方得：

(1)(1)當D2+E2-4F＞0時，方程(1)與標準方程比較，可以看出方程

半徑的圓；

(3)當D2+E2-4F＜0時，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0沒有實數解，因而它不表示任何圖形． 這時，教師引導學生小結方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的軌跡分別是圓、法．

2．圓的一般方程的定義

當D2+E2-4F＞0時，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0稱為圓的一般方程．

同時強調：由圓的一般方程求圓心坐標和半徑，一般用配方法，這要熟練掌握． 例2 求過三點O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圓的方程． 解：設所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，由O、A、B在圓上，則有

解得：D=-8，E=6，F=0，故所求圓的方程為x2+y2-8x+6=0． 例2小結：

1．用待定系數法求圓的方程的步驟：

(1)根據題意設所求圓的方程為標準式或一般式；(2)根據條件列出關于a、b、r或D、E、F的方程；

(3)解方程組，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所設方程，就得要求的方程． 2．關于何時設圓的標準方程，何時設圓的一般方程：一般說來，如果由已知條件容易求圓心的坐標、半徑或需要用圓心的坐標、半徑列方程的問題，往往設圓的標準方程；如果已知條件和圓心坐標或半徑都無直接關系，往往設圓的一般方程．再看下例： 例3 求圓心在直線 l：x+y=0上，且過兩圓C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交點的圓的方程．

(0，2)．

設所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，因為兩點在所求圓上，且圓心在直線l上所以得方程組為

故所求圓的方程為：(x+3)2+(y-3)2=10． 這時，教師指出：

(1)由已知條件容易求圓心坐標、半徑或需要用圓心的坐標、半徑列方程的問題，往往設圓的標準方程．

(2)此題也可以用圓系方程來解： 設所求圓的方程為：

x2+ y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1)整理并配方得：

由圓心在直線l上得λ=-2．

將λ=-2代入所假設的方程便可得所求圓的方程為x2+y2+6x-6y+8=0．此法到圓與圓的位置關系中再介紹，此處為學生留下懸念． 的軌跡，求這個曲線的方程，并畫出曲線． 此例請兩位學生演板，教師巡視，并提示學生：

(1)由于曲線表示的圖形未知，所以只能用軌跡法求曲線方程，設曲線上任一點M(x，y)，由求曲線方程的一般步驟可求得；

(2)應將圓的一般方程配方成標準方程，進而得出圓心坐標、半徑，畫出圖形．(五)小結

1．圓的一般方程的定義及特點； 2．用配方法求出圓的圓心坐標和半徑；

第五篇：曲線軌跡方程的求法教案

曲線的軌跡方程的求法

高二年級數學組 王莉

一、教學目標

（1）使學生掌握常用動點的軌跡以及求動點軌跡方程的常用技巧與方法。（2）通過對求軌跡方程的常用技巧與方法的歸納和介紹，培養學生綜合運用各方面知識的能力。

（3）通過對求軌跡方程的常用技巧與方法的介紹，使學生掌握常用動點的軌跡，為學習物理等學科打下扎實的基礎。

二、教學重難點

1、重點：求動點的軌跡方程的常用技巧與方法。

2、難點：各種方法的靈活運用。

三、教學工具

（1）教師自制的多媒體課件、三角板，圓規（2）上課環境為多媒體大屏幕環境

四、教學方法

數形結合、合作探究

五、教學過程

1、高考導向。求的軌跡方程是解析幾何的的基本問題，是高考中的一個熱點和重點，近幾年高考試題中以綜合問題出現較多。

2、診測補償

（1）解析幾何要要解決的兩個基本問題是什么?（2）什么是動點的軌跡?（3）求動點的軌跡方程的常用方法 有哪些?

3、求曲線方程的步驟：

（1）建立適當的坐標系，用有序實數對（x,y）表示曲線上任意一點M的坐標；（2）寫出適合條件p的點M的集合P={M︱p（M）}；（3）用坐標表示條件p（M）,列出方程f（x,y）=0；（4）化方程f（x,y）=0為最簡形式；（5）說明以化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上。

4、求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法（待定系數法、相關點法、參數法。

題型一 直接法求曲線方程

1、如圖已知F(1,0)，直線l：x＝－1，P為平面上的動點，過點P作l的垂線，垂足為Q，且 解：設

學后反思 當動點所滿足的條件本身就是一些幾何量的等量關系或這些幾何條件簡單明了易于表達時，只要將這種關系“翻譯”成含x、y的等式就能得到曲線的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法稱之為直接法。題型二 利用定義或待定系數法求曲線方程

2、已知圓

，求動點P的軌跡方程。

C1?x?3?: C1及圓

2?y?12 和圓

C2?x?3?：

2?y2?9

動圓M同時與圓

C2相外切.求動圓圓心M的軌跡方程。

分別外切于點A和點B，解: 設動圓M與圓 C1及圓

C2 ,半徑為R，則 由兩圓相切的定義知，這表明動點M到兩定點

C1、C2的距離的差是常數2.根據雙曲線的定義，動點M的軌跡為雙曲線的左支（點M到到

C2 的距離大，C1的距離小），2b?8 其中a=1,c=3,則

y2x??18則其軌跡方程為(x≤-1).2學后反思

若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義，如圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，則可以直接根據定義求出動點的軌跡方程: 首先要結合圓錐曲線的定義，分析出曲線的類型，再按定義寫出標準方程。

（例1）題型三 相關點法求曲線方程

（例2）

3、以原點為圓心，以r=2為半徑的圓，過圓上任意一點p作x軸的垂線，求中點M的軌跡方程。

解：過圓上任意一點p向x軸作垂線，垂足為Q

即 學后反思

對涉及較多點之間的關系問題，可先設出它們各自的坐標，并充分利用題設建立它們之間的相關關系；再對它們進行轉化和化簡，最后求出所求動點坐標所滿足的方程.這種根據已知動點的軌跡方程，求另外一點的軌跡方程的方法稱為代入法或相關點法.題型四 用參數法求軌跡方程

2y?4x的頂點O引兩條互相垂直的直線分別與拋物線相交于A、4、過拋物線B兩點，求線段AB的中點P的軌跡方程.解： 由題意知，兩直線的斜率都存在.設直線OA的斜率為k，則OA:y=kx,OB: y??1xk

?y?kx?2y?4x由 ?得1?y??x?k??y2?4x同理由? 得??12?x?2?2?k????k???y?2?1?k????k?? ?設P(x,y),則

22y?2x??8y?2x?8 由②^2-2×①，得 即2y?2x?8 故線段AB的中點P的軌跡方程為學后反思

本題運用了參數法求軌跡.當動點P的坐標x、y之間的直接關系不易建立時，可適當地選取中間變量t,并用t表示動點的坐標x、y，從而得到動點軌跡的參數方程

??x?f?t???y?g?t? 消去參數t，便可得到動點P的軌跡方程.其中應

?注意方程的等價性和參數t與動點P(x,y)關系的密切性.（練習1）

（例4）

5、課堂練習

ABCD?A1B1C1D1中, 是側面 BB1C1C內一動點,若P到直線 BC1、如圖,正方體

C1D1的距離相等,則動點 的軌跡所在的曲線是()與直線

A.直線 B.圓 C.雙曲線 D.拋物線

2、等腰三角形ABC中，若一腰的兩個端點分別為A(4,2)、B(－2,0)，A為頂點，求另一腰的一個端點C的軌跡方程。

3、已知一條直線 L和它上方的一點F ,點F到L的距離是2,一條曲線也在L的上方,它上面的每一個點到 F的距離減去到L的距離的差都是2,建立適當地坐標系,求這條曲線的方程。

6、小結

求曲線的方程常用的幾種方法

（1）直接法（2）定義法(待定系數法)（3）相關點法（4）參數法

六、作業

習題3-4 A 1、2、4 B、2