第一篇：二次函數在區間上的最值

二次函數在區間上的最值問題

教學目的：1.根據函數的概念和函數的單調性研究二次函數 在區間的最值；

2.進一步掌握數形結合相思和分類討論思想.教學重點：二次函數在區間上的最值問題 教學難點：含參問題的討論.教學過程：

一、復習引入

1.二次函數的概念和性質； 2.單調函數的概念.二、例題 例1.求函數y?3x2?12x?15當自變量x在下列范圍內取值時的最值，并求此函數取最值時的x值.（1）x?R;(2)0?x?3;(3)?1?x?1.例2.求函數y?x2?2x?3在區間[0,a]上的最值，并求時x的值.例3關于x的方程x2?(k?2)x?k2?3k?5?0有兩個實根α，β，求α2+β2的最值.例4.已知函數2x2?2ax?3在區間[-1，1]上有最小值，記作g(a).(1)求g(a)的表達式；(2)求g(a)的最大值.三、作業

1.函數yt=x2-mx+4(m>0)在[-3,2]上有最大值4，求a值.112.關于x的不等式9x2?6ax?a2?2a?6?0在[?,]上恒成立，求實數a

33的取值范圍.3.某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內，西紅柿市場售價與上市時間的關系用圖一的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關系用圖二的拋物線段表示。

（I）寫出圖一表示的市場售價與時間的函數關系P=f(t)；

寫出圖二表求援 種植成本與時間的函數關系式Q=g(t)；

（II）認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大？

（注：市場售價和種植成本的單位：，時間單位：天）

第二篇：二次函數在閉區間上的最值

二次函數的最值的教學設計

一、教學內容分析

二次函數在高考中占有重要的地位，而二次函數在閉區間上的最值在各個方面都有重要的應用，主要考察我們分類討論和數形結合思想。這節課我們主要學會應用二次函數的圖像和性質求二次函數在閉區間上的最值。影響二次函數在閉區間上的最值主要有三個因素：拋物線的開口方向、對稱軸和區間的位置。對稱軸與定義域區間的相互位置關系的討論往往成為解決這類問題的關鍵。此類問題包括以下四種情形：（1）軸定，區間定；（2）軸定，區間變；（3）軸變，區間定；（4）軸變，區間變。

二、教學目標設計

知識與技能

1、掌握運用分類討論和數形結合思想求二次函數的最值

2、會利用轉化化規思想求解含參數不等式中參數的范圍。

過程與方法

1、經歷從軸定區間動到軸動區間定的類比推理，培養學生類比推理能力。

2、結合圖像與函數的知識進行分類討論，求解一元二次函數的最值問題，提高

學生的綜合能力

情態與價值

1、有機地滲透數形結合、化歸等數學思想方法，培養了學生良好的思維習慣。

2、了解圖像與函數的關系，進一步感受數形結合的基本思想。

三、教學重點與難點

重點：運用分類討論和數形結合思想求二次函數的最值

難點：求解含參數的一元二次函數不等式中參數的范圍

四、教學方法：類比推理法，講授發現法

五、教學過程（典型例題分析）

（1）軸定，區間定

方法：可以對其二次函數配方處理或者是結合二次函數圖形求解，例1若實數x,y滿足2x2?6x?y2?0，則x2?y2?2x的最大值是 2?6x?2x?0?22解：由y?6x?2x得?2 2222??x?y?2x?x?6x?2x?2x?8x?x

問題轉化為求f(x)?8x?x2，當x?[0,3]中的最大值，易的f(x)max?f(3)?15.1設計意圖：利用消元思想將問題簡化，但是其中必須注意的是消元之后的自變量的取值范圍，進而轉化為二次函數在閉區間上的最值。

例2 設x1,x2是方程2x2?4mx?(5m2?9m?12)?0的兩實根，求x1?x2的最值.分析：二次方程有實根，則必須△?0,由此先解出m的范圍.2

2x12?x22?(x1?x2)2?2x1x2，利用韋達定理將x12?x22表示成關于m的二次函數.4m25m2?9m?12??m2?9m?12?f(m)解：由韋達定理知x?x2?()?2?222

由2x2?4mx?(5m2?9m?12)?0有兩實根可得它的??0

即??(?4m)2?4?2?(5m2?9m?12)??24m2?72m?96?0，解得?1?m?

4,時]的最值，易的問題轉化為求f(m)??m2?9m?12，當m?[?1m

f(m)max?f(4)?32，f(m)min?f(?1)?2.設計意圖:結合韋達定理轉化成為有關m的二次函數，但是其中的隱含條件：二次方程有實根，從而確定m的取值范圍。

（2）軸定，區間變

方法：結合二次函數的圖象，討論對稱軸與區間的相對位置關系：① 軸在區間右邊②軸在區間左邊③軸在區間內

例3 已知f(x)?x2?2x?2在x?[t,t?1]上的最大、最小值分別為M(t)、m(t)，求M(t)、m(t)的解析式.活動：師生一起合作求解函數的最小值m(t)的表達式，并作小結，再讓學生板書求解函數的最大值M(t)的表達式，和下面例題4的最小值g(t)的表達式設計意圖:（1）通過講解讓學生體會解題過程中注意分哪幾類討論，做到不遺漏不重復，同時怎樣結合圖像求解函數的最值，并且引導學生注意解題的規范性

（2）學生求解例3函數中最大值的表達式中討論軸在區間內的可能遇到阻礙，講解過程中啟發學生結合函數的圖像和性質：如果我們倆個自變量的值到對稱軸的距離相等，則我們的函數值也相等，離對稱軸的距離越遠，我們的函數值越大的性質來求解函數的最大值的表達式

（3）根據物理中動、靜（定）的相對原理，那么例題4的軸變區間定的題型可以類比成軸定區間動的這種題型求解，培養學生的發散思維和類比能力解：對稱軸為x?1，分4種情況討論（另解：最大值可以分2種情況，最小值可以分3種情況）：

22（1）t?1?1，即t?0時，M(t)?f(t)?t-2t?

2、m(t)?f(t?1)?t?

1（2）t?1時，M(t)?f(t?1)?t2?

1、m(t)?f(t)?t2-2t?

2，且1-t?t?1-1，即（3）0?t?11?t?1時，2

M(t)?f(t?1)?t2?

1、m(t)?f(1)?

1，且1-t?t?1-1，即1?t?（4）0?t?11時，2M(t)?f(t)?t2?2t?

2、m(t)?f(1)?1 1?2?t2?1(t?0)t?2t?2(t?)???2綜上，M(t)??，m(t)??1(0?t?1)1?t2?1(t?)?t2?2t?2(t?1)???

2（3）軸變，區間定

方法: 與情形2一樣.例4已知f(x)?x2?2tx?2在x?[0,1]上的最小值為g(t)，求g(t)的解析式.解：對稱軸x?t，分三種情況討論

（1）t?0時，g(t)?f(0)?0

2（2）0?t?1時，g(t)?f(t)?2?t

（3）1?t時，g(t)?f(1)?3?2t

?2(t?0)?2綜上，g(t)??2?t(0?t?1)

?3?2t(t?1)?

例5 設f(x)?x2?ax?3，當x?[?2,2]時恒有f(x)?a，求a的范圍.變式一：若將f(x)?a改為f(x)?a時，其它條件不變，求a的范圍

變式二：若將f(x)?a改為f(x)?a時，其它條件不變，求a的范圍

變式三：若將x?[?2,2]改為x?(?2,2)時，其它條件不變，求a的范圍

設計意圖：通過講解例題5和變式一，讓學生體會解不等式中的一種轉化思想并一起總結歸納：若f(x)?a?f(x)min?a;f(x)?a?f(x)max?a，通過變式二、三和原題的思考對比讓學生體會相似題型的解法的相同點和不同點

分析：f(x)?a恒成立?f(x)min?a

a解：對稱軸為x??，分三種情況討論

2?a?a?4????2?（1）?2??7?? a??3??fmax?f(?2)??2a?7?a?

a??2???2???4?a?4??4?a?4?2(2)?????4?a?2 ?2?22?f?f(?a)?a?a?3?a?a?4a?12?0??6?a?2

min??242

?a?a??4???2（3）?2????7?a??4 a??7???fmin?f(2)?2a?7?a

綜上，?7?a?2，即a的值域為a?[?7,2]

（4）軸變，區間變

例6已知y2?4a(x?a)(a?0)，求u?(x?3)2?y2的最小值。

分析：將y2?4a(x?a)代入u中，得

u?(x?3)2?4a(x?a)?[x?(3?2a)]2?12a?8a2，x?[a，??)

分①3?2a?a、②3?2a?a討論

解：將y2?4a(x?a)代入u中，得

u?(x?3)2?4a(x?a)?[x?(3?2a)]2?12a?8a

2由y2?4a(x?a)?0得x?a

u?[x?(3?2a)]2?12a?8a2的對稱軸為x?3?2a，分兩種情況

①3?2a?a?0時，即0?a?1時，fmin?f(3?2a)??8a2?12a

②3?2a?a時，即a?1時，fmin?f(a)?a2?6a?9

綜上，f(x)min2?(0?a?1)?12a?8a?? 2?(a?1)?(a?3)

（5）二次函數的逆向最值問題

3例7已知二次函數f(x)?ax2?(2a?1)x?1在區間[?，2]上的最大值為3，求實2

數a的值。

分析：這是一個逆向最值問題，若從求最值入手，需分a?0與a?0兩大類五種情形討論，過程繁瑣不堪。若注意到f(x)的最值總是在閉區間的端點或拋物線的頂點處取到，因此先計算這些點的函數值，再檢驗其真假，過程簡明。

解：（1）令f(?2a?11)?3，得a?? 22a

32] 此時拋物線開口向下，對稱軸為x??2，且?2?[?，2

1故a??不合題意； 2

（2）令f(2)?3，得a?

稱軸遠些，故a?1，此時拋物線開口向上，閉區間的右端點距離對21符合題意； 2

32（3）若f(?)?3，得a??，經檢驗，符合題意。32

綜上，a?21或a?? 32

評注：本題利用特殊值檢驗法，先計算特殊點（閉區間的端點、拋物線的頂點）的函數值，再檢驗其真假，思路明了、過程簡潔，是解決逆向型閉區間二次函數最值問題的一種有效方法。

六、課后小結：本教學設計幾乎涵蓋了二次函數在閉區間上的最值中出現的所有可能性，不論是正向型還是逆向型，設計中主要體現在它們總體解題思路是根據對稱軸和區間的三種位置關系：（1）軸在區間右邊；（2）軸在區間左邊；（3）軸在區間內，根據這三種位置關系一一分類討論并且結合二次函數圖像及性質求解。本教學設計最主要還是向同學灌輸了分類討論、數形結合、轉化化規三種重要的數學思想方法，讓學生的數學思維得到不斷延伸，提升他們的綜合能力。我感覺課堂給他們的時間可能比較少，課堂內容比較大，需要課后不斷鞏固。

第三篇：二次函數在閉區間上的最值說課稿

《二次函數在閉區間上的最值問題》說課稿

各位評委老師，大家好！

我是高一年級的數學老師史紅紅，今天我要進行說課的課題是《二次函數在閉區間上的最值問題》。下面我將從教材分析；教學目標分析；教法、學法；教學過程；教學評價五個方面來陳述我對本節課的設計方案。懇請在座的評委老師批評指正。

一、教材分析

本節課是在學習了二次函數的圖像和性質的基礎上進一步研究二次函數在閉區間上的最值問題，因為最值是函數非常重要的一個性質，尤其是含參二次函數的最值問題在歷年陜西高考中出現，而這個知識既是學生學習的一個重點又是一個難點，所以上好這節課顯得尤為重要。

二、教學目標

1.知識目標：初步掌握解決二次函數在閉區間上最值問題的一般解法，總結歸納出二次函數在閉區間上最值的一般規律，學會運用二次函數在閉區間上的圖像研究和理解相關問題.2.能力目標：通過圖像，觀察影響二次函數在閉區間上的最值的因素，在此基礎上討論探究出解決二次函數在閉區間上最值問題的一般解法和規律.3.情感目標：通過探究，讓學生體會分類討論思想與數形結合思想在解決數學問題中的重要作用,培養學生分析問題、解決問題的能力，同時培養學生合作與交流的能力

三、教學重難點

含參二次函數在閉區間上的最值.。

四、教法分析

“教無定法”，這是一節探究課，首先我給自己定位的角色是教學的組織者、引導者、合作者，在教學過程要充分調動學生的積極性、主動性，讓學生成為課堂的主人。在教學過程中我主要采用以下教學方法：開放式探究法、啟發式引導法、小組合作討論法、學生展示、反饋式評價法。

2、學法分析

“授人以魚，不如授人以漁”，在學習過程中的參與狀態和參與度是影響教學效果最重要的因素。在學法選擇上，我主要采用：自主探究法、觀察發現法、合作交流法、歸納總結法。讓學生真正成為課堂的主人。

五、教學過程

六、教學評價

本節課是在學生已有知識的基礎上學習的，在教學過程中通過自主探究、合作交流，充分調動學生的積極性跟主動性，及時吸收反饋信息，并通過學生的自評、互評，讓內部動機和外界刺激協調作用，促進其數學素養不斷提高。

第四篇：二次函數在閉區間上的最值問題

“二次函數在閉區間上的最值問題”課件設計原理及實現

1.課件的教學設計要點

⑴ 教材的知識脈絡和學生原有的知識經驗分析

二次函數是最簡單的非線性函數之一，自身性質活躍，同時經常作為其他函數的載體。二次函數在某一區間上的最值問題，是初中二次函數內容的繼續和發展，隨著區間的確定或變化，以及在系數中增添參變數，使其又成為高考數學中的熱點。但學生受一次函數的最值求法的影響，總是把邊界值代進函數就可以得出最大或最小值了，為了讓學生掌握二次函數在閉區間上的最值問題，必須經過其主動的探究，體會探究過程的每個環節，才能對問題有深刻地認識，只有充分的調動學生的認知準備，特別是對數形結合的思想方法的學習，更需要學生自己在探究過程中深刻體會，以學生的親身體驗主動建構新知識，才能使其使用這一思想方法成為一種自覺的行為，這種學習才是有效的。所以，本堂課更加注重學生運用數形結合數學思想方法的體驗，情感目標是通過學生自己的探索解決問題，增強其學習數學的興趣和信心。

學生已經了解一元二次函數的性質（圖像），要讓學生先了解給定具體區間（不含參數）的最值問題知識之后，勇于自己嘗試對含參數的此類問題的研究解答。從運動的觀點來體會參數值的變化導致圖象的變化，從而引起函數單調性的變化，才使得函數的最值有不同的情況。

⑵ 教學策略和方法設計

復習提問，讓學生探究例1完成后，然后把區間改變，既探究例2，然后用多媒體課件的動態演示，讓學生有更直觀的體會，對基礎教差學生的理解起到的積極的輔助作用，由原來的知識掌握，確定為讓學生加深運用數形結合的數學思想方法的體驗。然后再研究例題3，以運動的觀點來體會參數值的變化導致圖象的變化，從而引起函數單調性的變化，才使得函數的最值有不同的情況。例題的難度作了梯度變更（由易到難），制作課件等。2.課件設計的技術要點

⑴設計問題情境及技術要點：

我們已學習了哪些一元二次函數的性質？學生再回顧一元二次函數的性質（圖像），在閉區間的最值是怎樣的呢？完成例題1；研究例2，然后反問，為什么要這樣做，這樣做的依據是什么，為什么必須這樣做。然后再提問參數對圖象分別有什么影響？ 技術要點：

① 建立“復習引入”頁面，把復習引入的文本和新課說明復制到該頁面中，并用【顯示/隱藏】按鈕控制。

② 建立“具體二次函數最值”頁面，利用自動吸附網格功能，快速制作二次函數圖象，動態變化區間[a，b]，用多媒體課件的動態演示，讓學生有更直觀的體會。

③ 建立“含參數二次函數最值”頁面，利用自動吸附網格功能，制作二次函數的圖象，在利用a、b、c三個參量分別變化，引起函數

圖象的變化，讓學生觀察比較不同的參數引起的圖象的不同變化，得到含參數二次函數的圖象的性質，進而更加清楚理解二次函數在閉區間上的最值的求法。

第五篇：二次函數在閉區間上的最值問題教案設計

二次函數在閉區間上的最值問題教案設計

設計意圖: 同學們學習了二次函數以后，有一類問題就是討論二次函數在閉區間上的最值問題，同學們可能感覺不太好做。這節課就這樣一類問題進行討論。教學目標：

希望通過這節課的討論，同學們能夠對這一類問題有一個清晰的認識，以后再碰到類似的問題會思考，從而會解題。教學重難點：

讓學生通過仔細觀察二次函數圖像，體會和理解二次函數在閉區間上最值問題的解法，并逐步培養對參數進行討論的意識和習慣。教學方法：

借助多媒體進行教學。

二次函數的區間最值問題，核心是函數對稱軸與給定區間的相對位置關系的討論。一般分為：對稱軸在區間的左邊，中間，右邊三種情況.設f(x)?ax?bx?c(a?0)，求f(x)在x?[m，n]上的最大值與最小值。2?b4ac?b2?b分析：將f(x)配方，得頂點為??、對稱軸為 x??，?2a4a??2a 當a?0時，它的圖象是開口向上的拋物線，數形結合可得在[m，n]上f(x)的最值：

b?m，n時，f(x)的最小值是（1）當?2a??2?b?4ac?bf????，f(x)的最大值是?2a?4af(m)、f(n)中的較大者。

b?m，n時 2ab?m，由f(x)在m，n上是增函數則f(x)的最小值是f(m)，最大值是f(n)若?2ab若n??，由f(x)在m，n上是減函數則f(x)的最大值是f(m)，最小值是f(n)

2a

當a?0時，可類比得結論。（2）當???????例題分析歸類：

（一）、正向型

是指已知二次函數和定義域區間，求其最值。對稱軸與定義域區間的相互位置關系的討論往往成為解決這類問題的關鍵。此類問題包括以下三種情形：（1）軸定，區間定；（2）軸定，區間變；（3）軸變，區間定。

1.軸定區間定

二次函數是給定的，給出的定義域區間也是固定的，我們稱這種情況是“定二次函數在定

第1頁（共4頁）區間上的最值”。

例1.函數y??x?4x?2在區間[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

分析：畫出函數圖像如下不難求出最值。2圖1 練習.已知2x?3x，求函數f(x)?x?x?1的最值。

22圖2

2、軸定區間變

二次函數是確定的，但它的定義域區間是隨參數而變化的，我們稱這種情況是“定函數在動區間上的最值”。

例2.如果函數f(x)?(x?1)?1定義在區間t，t?1上，求f(x)的最小值。

2??圖1圖2圖8 2f(x)?x?2x?3，當x?[t，t?1](t?R)時，求f(x)的最大值． 練習.已知

二次函數的區間最值結合函數圖象總結如下：

第2頁（共4頁）

當a?0時f(x)maxb?f(n)，??n(如圖3)?b12a??f(m)，??(m?n)(如圖1)?bb??2a2??f(x)min??f(?)，m???n(如圖4)

b12a2a?f(n)，???(m?n)(如圖2)?b?2a2?f(m)，??m(如圖5)?2a?

當a?0時f(x)maxb?f(n)，??n(如圖6)?b1?2af(m)，??(m?n)(如圖9)???2a2bb? ??f(?)，m???n(如圖7)f(x)min??b12a2a?f(n)，??(m?n)(如圖10)??b?2a2?f(m)，??m(如圖8)?2a?

3、軸變區間定

二次函數隨著參數的變化而變化，即其圖象是運動的，但定義域區間是固定的，我們稱這種情況是“動二次函數在定區間上的最值”。

例3.已知x?1，且a?2?0，求函數f(x)?x?ax?3的最值。

解：由已知對稱軸x??22a??1即可得最值。2

圖3 練習.(1)求f(x)?x?2ax?1在區間[-1,2]上的最大值。

(2)求函數y??x(x?a)在x?[?1,1]上的最大值。

2第3頁（共4頁）二）、逆向型

是指已知二次函數在某區間上的最值，求函數或區間中參數的取值。

例4.已知函數f(x)?ax2?2ax?1在區間[?3,2]上的最大值為4，求實數a的值。分析：分三種情況：最大值是在-3,2，還是在頂點處取得，求出a，然后再檢驗即可。

練習.已知二次函數f(x)?ax2?(2a?1)x?1在區間???3?求實數,2?上的最大值為3，?2?a的值。

三．作業

21．函數y?x?x?1在[?1,1]上的最小值和最大值分別是

（）

(A)1 ,3

(B)2311 ,3

（C）? ,3

（D）?, 3

424

2已知函數y?x?2x?3在閉區間[0,m]上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是________3．設f(x)?x2?4x?4,x?[t,t?1](t?R),求函數f(x)的最小值g(t)的解析式。

4．已知f(x)?x?ax?

小結與反思：

這節課學習了二次函數在閉區間上的最值得求法。課后了解到并沒有達到預期的目的。這樣設計的優點是：這類問題討論得比較全面。不足是：內容太多，講解不夠仔細，學生并不能掌握。如何改進：我想針對以上不足，可以把以上內容分兩個課時來上，或者選擇例題更簡單些，讓學生易于接受，同時，如果借助多媒體教學，會更直觀形象一些，效果可能會更好一些。

2a，在區間[0,1]上的最大值為g(a)，求g(a)的最小值。2第4頁（共4頁）