第一篇：方程教學案例與分析

“嘗試”方程 別樣“口味”

【案例位臵】青島版五年級上冊第四單元

【目標定位】

1、結合具體情境理解方程的產生的必要性，引導學生轉變思維方式，實現由“算數思維”向“代數思維”的轉變；

2、在實現思維轉變的過程中，滲透方程函數思想，體會對比、數形結合等數學方法；

3、在解決問題的過程中，學生體驗數學的魅力，感受數學與生活的聯系。

【重、難點定位】

學生思維方式的轉變，“代數思維”的滲透 【課前熱身】

課前游戲：說反義詞，感受——“順”“逆”存在 多——（少）大——（小）高——（矮）增多——（減少）上升——（下降）

我比xxx高10厘米——xxx比老師矮10厘米 我比xxx重10千克——xxx比老師輕10千克 【新課實施】

一、問題引入，對比——“順”“逆”思維 師：今天到場的學生30人，我所任教的班級比今天到場的學生多20人。我所任教的班級有多少人？ 生：30+20=50

師：為什么選擇“加法”呢？

生：老師任教的班級比我們多，所以就用加法呀！

師：平時給你們上數學課的老師年齡是35歲，她比我大5歲。今年我多少歲？ 生：35-5=30

師：不是“大”嗎，怎么成“減”了呢？

生：是“大”啊，但是反過來就是“老師您比我們老師小5歲”，不就得減嘛。

師：看來雖然都是一個簡單算式解決的問題，在腦子里的思考方式是不一樣的。第一個是簡單的順向思考問題，而第二個問題則需要逆向思考。

【設計意圖】：在以往的教學中，教師往往忽視在學生腦海中對平時簡單數學問題的一種“歸臵”，一上課就從簡單問題入手去研究方程，讓很多孩子一頭霧水，明明很簡單的算式就能解決的問題，我為何再去理解“等量關系”，再去學個方程，于是后來的努力在孩子們的抵觸心理下立馬“事倍功半”。我在教學初加上這個環節，歸臵了孩子常見問題中實際是兩種不同的思考方式，一種是順向思考，另一種是逆向思考。而問題就是在逆向思考中發現的。對比了兩種思維方式，為孩子學得更清楚做好了準備。

二、探求新知，接受——“代數思維”

1、借助順向思考，感受復雜數量關系

師：今天到場學生30人，會議安排聽課的老師是學生的10倍還多8人。聽課的老師有多少人？ 生：30x10+8=308

師：我覺得里面的信息挺復雜呀，同學們怎么就這么快解決了呢？ 生：雖然信息很多，但是他說老師的人數是學生的10倍還多8人，學生人數我們知道，用學生人數乘10再加上多出來的8人，不就是要求的教師人數嘛。

（師可出示此題的數量關系，為了直觀可采用圖形式）

師：那咱們可以這樣認為，即使信息再多，只要是順著這個關系式思考，都是比較簡單的，那么大家想挑戰可能會出現在哪類問題中？ 生：逆向思考的問題！

【設計意圖】：這個問題的答案相信學生會脫口而出，但是我們的算式實際是借助于什么樣的等量關系列出的呢？學生之前未作思考，我就利用這個簡單問題讓孩子們清楚該題中有兩個數量（學生人數和教師人數），而它們的關系是：學生人數x10+8=教師人數。而這個等量關系式太抽象我們可以先借助于圖形讓孩子更好地理解。

2、借助一系列逆向思考問題，感受尋求“新工具”的迫切

師：今天聽課老師是368人，是專家人數的9倍還多8人。專家有多少人？

生1：(368-8)÷9 生2：368÷9-8

（在這里同學們的反應勢必慢下來，而且意見肯定會發生分歧，出現這種現象都是非常正常的，這意味著孩子們用算術法解決這樣的問題是有難度的）

師：我發現同學們的反應慢了而且意見也不一致了，這說明挑戰出現了！怎么辦？ 生：解決它

師：我們先看看為什么會出現困難，這個題好像好剛才差不多呀，都是幾倍還多多少呀，剛才很順利，現在怎么就麻煩了呢？

生：雖然這個也是誰是誰的幾倍還多多少，可是這次我們不知道專家有多少人，而是知道后面的教師人數呀，那么我們需要倒回去呀！（其實孩子們未必就能像我們設想的一樣表述那么清晰，但是這個問題勢必會刺激學生關注題目中的數量關系，去分析怎么就出困難了呢？盡管孩子們的語言不會準確，但他們的意思肯定都指向對題目中數量關系的分析，這就足夠了！）

師：其實同學們的意思我聽明白了，（結合課件中的圖形演示）雖然這個問題和剛才的類似，但是這次我們知道了教師人數，但不知道前面的專家人數，所以我們需要倒回去做出逆向思考。那么就在“往回倒時”同學們有了困難。

【設計意圖】學生對題目中相等的數量關系的理解和感悟重要嗎？相當重要，但是我們怎樣把孩子們的眼光從他們慣性的去尋求結果上轉移到對數量關系的分析上需要老師的智慧，明確告訴孩子：你們找找題目中的數量之間的關系？孩子們會很茫然，但是如果我們把問題換成：“明明和剛才差不多的問題，怎么這個就困難了呢？”這個離孩子們很近的問題來激發他們去用自己的語言表述題目中的數量關系，即使他們說不準確或者并不像我們需要的那么清晰又怎么樣呢？至少孩子們主動地去需求了題目中的數量關系，而不是接受和模仿。生：從這個圖上我們可以看出應該先減后除。（借助圖形孩子們應該理解了算術法解決的正確方法，不做過多處理。）

師：其實生活中還會不會有這種需要我們倒回去的麻煩問題呢？ 生：肯定有！

（出示：今天在賓館就餐的教師128人，安排了10桌還多8人，每桌有多少人？）

師：咱先來判斷一下這是不是個麻煩問題

生：根據這個問題我們應該知道每桌人數x10再加上多出來的8人就是一共就餐的人數，但是一共就餐的人數我們知道，可是每桌人數不知道，所以是個麻煩問題！

（教師可根據孩子們的意思適時總結，出現數量關系，并且標出已知量，和未知量，讓孩子清晰看到這是個逆向思考問題。）

師：其實生活中這樣的問題很多，甚至還有比這個更麻煩的倒不回去的問題，我們面對這樣的問題，會有一種夢想，如果……

（讓孩子們看到生活中同類問題會有很多很多，從而激發他們抽取同類問題的共性，找到此類問題的難點，繼而激發他們建立新的數學模型，找到新的數學工具的欲望）生：如果也能把他們變成順著思考的該多好啊！師：對呀

生：可是我們前面有不知道的數呀!那怎么辦呀

生：我們可以用字母來代替呀！用a或者其他字母都行呀！

師：對呀，不過為了交流方便人們習慣用x來代表這個不知道的量。生：可是這樣的式子還是沒算出數來呀！

師：這樣的式子我會解（教師把最后的結果寫在后面）

【設計意圖】無疑前面的所有工作都是這一環節的鋪墊，方程函數思想的接受對于孩子們來說是個很大的轉彎，也是個很大的難點，我認為也是方程教學最該完成的思想方法上的目標。

3、體驗感悟“新工具”的便利，總結方程特征和定義

師：既然我們研制出這么好的式子幫我們解決這些麻煩問題，咱們就來感受一下他的便利（出示問題：一個排球28元，學校購買了一個排球和兩個足球共花了138元。問：一個足球多少元錢？）生：28+2x=138

師：這樣的式子這么好用，咱們給起個名字吧 生：……

師：其實這樣的式子就是咱們聽說的方程。那么你認為什么是方程呢？ 生:……

師：含未知數的等式就是方程。為什么含未知數，為什么得是等式？ 生：……

三、練習鞏固

1、判斷哪些式子是方程

【設計意圖】：對知識目標的檢查

2、看圖列方程

【設計意圖】：對知識目標的檢查

3、拓展問題

有兩個數甲數和乙數，它們的和是190，差是50.這兩個數分別是多少？

【設計意圖】：對思想方法目標實現的檢測

四、總結提升

1、你知道嗎：《九章算術》是我國著名的數學著作，在收有的246個數學問題中，方程術是最高的數學成就。而直到1559年,法國數學家布脫才發明了與方程術相似的算法,比起我國,晚了一千六百多年。

你認同——方程術是最高的數學成就，這句話嗎？為什么？

2、解決問題的兩種工具：算式和方程，分別適合于哪些問題？

3、這節課我們只是簡單認識了方程，那么同學們認為關于方程還需要學習什么？（如何解方程……）

【課例反思】以上是我對“方程”教學的一次大膽嘗試，從同仁們的反應來看，“風味”十分獨特，這節課盡管存在一些問題，但我想從這樣嘗試中看看其中的收獲

1、首先從學生的反映看，在這節課中，出現了很多我們想聽到的聲音，比如：在我問“你認為什么是方程呢？”孩子們回答“有字母的式子”“就是解決一些很難的逆向思考問題時列的式子”……在我給出方程的標準定以后，我又追問孩子們“你認為為什么要含字母？”孩子們回答：“因為我們有一個數不知道，但我們又想把它放在前面”“因為我們想把那種需要逆回來的問題順著題目意思思考”……在最后我介紹了方程術的課外小知識，特別強調“方程術是最高成就”你認為這句話過分嗎？孩子們回答：“不過分，方程讓我以前很多頭疼的問題變得很簡單了”“用方程來解決那種復雜的逆向思考問題簡單多了”……在整個教學過程中也許老師和學生的語言并不是那么嚴謹，但我認為對“方程”這種數學模型的感悟十分到位，有時內心的準確感悟是不是比語言的精確表述更重要呢？、從數學建模的規律看。顧沛教授談到基本的數學思想有三種，數學抽象思想，數學推理思想和數學建模思想。而和本節課相關的方程思想就是數學建模思想派生出來的下一步思想。所以我認為方程思想的的滲透應該遵循數學建模的規律，那就是先讓孩子們從不同的問題中抽象出一類相同的困難或問題，然后找到一種工具解決這類問題，再把這種工具符號化，模型化，最后再建立的這種新模型投射到生活中，去解決更多的問題。而我對“方程”教學的嘗試基本遵循了這樣的規律。

3、從數學的教學起點看，我想這也是很多教師沒有注意到的一點，我們都知道方程教學這一體系的知識點很多，比如：等量關系，列方程，解方程，用方程解決問題等，我們都知道對于方程來講等量關系的尋找尤為重要，所以學方程必須先學等量關系，這已經成為教師的一種思維定式，很難破除。但教師可以想想，重要的東西是不是必須作為起點呢？從一個簡單問題開始讓孩子們找等量關系，只能讓孩子一頭霧水，以后就得步步跟著教師的引導走，很難實現學生的能動和思考，而我們從方程的必要性入手，讓孩子們充分感知當我們面對一類共性的困難時才找到了方程這種好工具，然后再體會要列方程就必須依賴于題目中的等量關系的尋找。

第二篇：“函數與方程思想”案例分析

教學設計案例分析

——“函數與方程思想”案例

一．主題

函數與方程是中學數學的重要概念，他們之間有著密切的聯系；函數與方程的思想是中學的基本思想，主要依據題意，構造恰當的函數，或建立相應的方程來解決問題。函數思想在解題中的應用主要表現在兩個方面：一是借助有關初等函數的性質，解有關求值，解（證）不等式，解方程以及討論參數的取值范圍等問題；二是在問題的研究中，通過建立函數關系式或構造中間函數，把所研究的問題轉化為討論函數的有關性質，達到化難為易，化繁為簡的目的。函數與方程的思想是歷年高考的重點和熱點。

1.函數的思想

用運動和變化的觀點，集合與對應的思想分析和研究具體問題中的數量關系，建立函數關系或構造函數，運用函數的圖像和性質去分析問題，轉化問題使問題獲得解決，函數思想是對函數概念的本質認識。

2.方程的思想

在解決問題時，用事先設定的未知數溝通問題中所涉及的各量間的等量關系，建立方程或方程組，求出未知數及各量的值，或者用方程的性質去分析，轉化問題，使問題獲得解決。

3.函數的思想與方程的思想的關系

在中學數學中，很多函數的問題需要用方程的知識和方法來支持，很多方程的問題需要用函數的知識和方法去解決。對于函數，當

時，就轉化為方程，也可以把函數

看作二元方程，函數與方程可相互轉化。

4.函數與方程的思想在解題中的應用

（1）函數與不等式的相互轉化，對函數，當

時，就化為不等式，借助于函數的圖像和性質可解決有關問題，而研究函數的性質也離不開不等式。，當

時，就化為不等式，借助于函數的圖像和性質可解決有關問題，而研究函數的性質也離不開不等式。

時，就化為不等式，借助于函數的圖像和性質可解決有關問題，而研究函數的性質也離不開不等式。，借助于函數的圖像和性質可解決有關問題，而研究函數的性質也離不開不等式。

（2）數列的通項與前

項和是自變量為正整數的函數，用函數的觀點去處理數列問題十分重要。

項和是自變量為正整數的函數，用函數的觀點去處理數列問題十分重要。

（3）解析幾何中的許多問題，需要通過解二元方程組才能解決。這都涉及二次方程與二次函數的有關理論。

（4）立體幾何中有關線段，角，面積，體積的計算，經常需要運用列方程或建立函數表達式的方法加以解決，建立空間直角坐標系后，立體幾何與函數的關系更加密切。

二．背景

此案例的背景主要是：這是一堂與函數與方程思想有關的中學數學課，雖然本節教材是實施新的課程改革，但是這節內容與老教材的內容基本一致。選用此案例的原因是雖然該案例的授課老師授課時是一節平常課，采用的上課方式是組討論式，但是該授課老師以前曾有過用此節內容開公開課的經歷，當時采用的上課方式是普通的啟發式教學。通過此案例我們可以將其進行分析比較，進而得到結果。

三．情景描述

四．教學反思研究

五．教學設想

第三篇：10簡易方程教學案例

《簡易方程》教學案例

[案例] 在教學完方程的意義與解簡單方程后，我布置了課本中這樣的一道練習：根據題中的數量關系列出方程，并求出方程的解。檢查學生作業，有兩種解法引起了我的注意。

其中圖2：一架錄音機原價X元，優惠45元，現價128元。列方程：X=45+128。圖3：一盒圓珠筆12枝，X元/枝，每盒18元。有學生這樣解答：

18÷X=12

解：18÷X×18=12×18

X=216 于是在講評時我把這兩個方程逐一寫在黑板上。學生看到這兩個方程開始議論紛紛。師：對于這兩位同學的解法大家有什么想說的？ 生1：X=45+128不是方程，他把X單獨放在一邊了。生2：是方程，只要含有未知數，又是等式就是方程。

生3：老師我覺得應該把這個方程改為X－45＝128或者X－128＝45才是正確的。（有的學生沒有表態，帶著疑惑的表情。）

師：從方程的意義來看X=45+128，它含有未知數，也是等式，它應該是方程。如果從這個方程表示的等量關系上看，它又是什么意思呢？

生：原價＝優惠價＋現價

師：是的，這道題要求原價，根據數量關系原價等于現價與優惠價的和，方程X=45+128實際上就是過去我們學過的算術法的算式。因此在列方程解答實際問題時，我們一般不列這樣的方程。剛才那位同學說的把X單獨放在一邊就是這個意思。（我這么一說，下面學生有的點頭，有的發出“哦”的聲音。）

師：那么18÷X=12這個方程呢？ 生：這個是對的。

接著我在這個方程下面繼續板書那位同學的解法，剛一寫完，有的同學就笑了，“老師，一盒筆才18元，一枝筆怎么216元了啊！”

師：是啊，一枝筆怎么比一盒筆還貴了呢？可方程是對的，那問題出在哪呢？ 生1：老師，我知道是她算錯了，方程兩邊不應該同時乘18。生2：那同時除以18也不對啊！師：那其他同學是怎么列方程的？ 生：12X=18。

師：首先我們要肯定這位同學列的方程是對的，18÷X=12用除法列方程，而12X=18用乘法列方程，一般來說，同一數量關系，用乘法列方程比用除法列方程更容易思考，在解答上也更簡便。因此今后遇到這種情況，應選擇乘法方程進行解答，對于18÷X=12的解法現在我們暫不學習，以后大家會接觸到。

我以為講到這里應該是可以結束了，沒想一學生（生3）站起來說：“老師，這個方程可以解答的，只要在方程兩邊同時乘X就可以了。”這話一出，學生們又議論開了，“這樣一來不是方程的左邊X就沒了？”我一看這樣式，心想不講清楚是不行了，干脆按那位同學的意思繼續板書：18÷X×X=12×X

18＝12X 生3：現在只要把這個方程的左右兩邊換過來就成了12X=18，也就是我們的乘法方程了。

我滿意地點著頭，其他同學也恍然大悟：“原來是這樣啊！”

師：這位同學真了不起！正因為這種解法有難度，所以我們現在暫時不學，而采用乘法方程來解答這樣的問題，今后大家在列方程解答實際問題時應該注意這一點。

反 思：

方程是個比較抽象的概念，對于剛接觸方程的小學生來說，由于長期用算術方法解決問題形成的定勢，所以在列方程解決問題時，往往容易受到算術法思路的干擾，列出形如X＝a±b或X＝ab這樣的方程，另一方面由于學生對列方程解決問題時，未知數要以一個字母為代表和已知數一起參加列式運算這一點也不是很理解，所以就容易出現象 X=45+128這樣的失誤。另外列方程解答問題具有優越性，但在一步計算的問題中這種優越性體現得并不是很明顯，學生往往更習慣于用算術的思維去思考問題，我想這應該也是導致學生列出X=45+128這類方程的一個原因。要讓學生學會列方程解決實際問題，并在解決問題中感受方程的優越性，這需要有一個過渡和適應的過程。當學生的練習中出現以上情況，我們應該在肯定其正確的前提下說明一般情況不列這樣的方程。為了避免算術思路對列方程解決實際問題的影響，教學中應注意進行對比，區別兩者在思考方法上的不同，使學生理解把X單獨放在一邊所列的方程實際上是應用了算術法的思考方法，這樣的方程是沒有意義的。

對于學生2在方程解答上的錯誤，我們不能單純地理解為計算的粗心馬虎，18÷X=12是一個正確的方程，只是目前來說這類方程的解答學生還沒有學習。分析該生的思路，我們不難看到她應用的是逆思考的方法，由于這類方程在變形和算理解釋上比較麻煩，所以在小學階段暫不出現，而是采用“以乘代除”的方法來列方程解答。雖然在例題的講解中我對這樣的問題也作了說明，但仍然無法避免學生出現類似現象。因為對于分析問題能力

相對較差的學生來說，要在幾種等量關系中選擇一種容易計算的列方程，部分學生覺得有困難。再看學生的解答過程，我們還能發現學生把18÷X=12與X÷18＝12的方程混淆了，另外在學生的思維意識中，等式性質中提到的同時加上（或減去）、同時乘以（或除以）一個相同的量，應該指的是數字，所以學生沒有想到也可以是字母，這也正是此類方程解答的困難所在。教學參考書中明確指出在小學階段暫不出現形如a－X＝b和a÷X＝b這類方程，但由于一學生的錯誤和另一學生的創新思維，卻使課堂有了新的生成，雖然解答過程不在要學的范圍內，但如果這樣的講解能使部分疑惑的同學解惑，我想這樣的方式應該也是可取的。

課后當我再次回想課堂上的情景時，我又有了這樣的困惑：對于解方程這部分內容，新教材與舊教材比較，新教材運用等式的性質解方程，的確是降低了計算的難度，也有利于加強中小學數學教學的銜接，但由于部分類型的方程在小學階段沒有出現，學生只能選擇當前能夠計算的思路列方程，這樣對拓展學生的思維來講是不是帶有一定的局限性？

第四篇：方程的意義教學案例

《方程的意義》教學案例

教學目標：

1.知識目標：使學生在具體情境中理解與掌握方程的意義，認識方程和等式之間的關系，使學生初步理解等式的基本性質。

2.能力目標：使學生在觀察、思考、分析、抽象、概括的過程中，經歷將現實問題抽象成等式與方程的過程，體會方程是刻畫現實世界的數學模型，發展學生思維的靈活性。

3.情感態度與價值觀：使學生在積極參與數學活動的過程中，加強數學知識與現實世界的聯系，培養學生認真觀察、善于思考的學習習慣與數學應用意識，滲透轉化的數學思想。教學過程：

一、認識等式與方程

1、出示例1天平圖（兩邊沒有砝碼）

提問：這是什么？它有什么作用？

2、在天平的兩邊放上砝碼（50＋50=100）

提問：你看到天平怎樣？天平平衡，說明什么？

你能用式子表示兩邊物體之間的質量關系嗎？（50＋50=100或50×2=100）為什么中間用等號？

指出：像這樣表示相等關系的式子就是等式。

3、現在老師把左邊的一個砝碼換成70克，天平會怎樣？哪邊重？你能用式子表示它們之間的關系嗎？（50＋70＞100）

4、現在老師如果把左邊托盤中的一個50克的砝碼換成X克的砝碼，你會有什么想法？

（50＋X＞100

50＋X=100

50＋X＜100）

5、出示例2天平圖

你能用式子表示兩邊物體之間的質量關系嗎？

（X＋50＞100

X＋50=150

X＋50＜200

2X=200）

6、出示觀察和操作得到的8道不同的式子。讓學生分組討論對8道式子進行分類。（提示：要按一定的標準進行分類。）指名分類，要求說出分類標準。

7、對“是等式的”與“含有字母的”式子進行再次分類。“是等式的”分為“不含有字母的等式”、“含有字母的等式”。“含有字母的”分為“含有字母的等式”、“ 含有字母的不等式”

觀察“是等式的”中“含有字母的等式”與“含有字母的” 中“含有字母的等式”發現了什么？這些式子有什么共同的特征？

8、師小結：像這樣含有未知數的等式是方程。你能舉出一些方程嗎？（先指名說，后同桌互說。）

9、揭示課題：認識方程。

二、認識等式與方程關系

1、哪些是等式？哪些是方程？

（1）6＋X=14（2）36－9=27

（3）60＋23＞70（4）8＋X（5）50÷2=25（6）X＋4＜14

（7）Y－28=35

（8）25－20=X＋1 等式有：

方程有：

2、判斷。（正確的打“√”，錯誤的打“×”。）（1）所有的方程都是等式。

（）（2）所有的等式都是方程。

（）

3、請同學們在作業本上畫圖表示方程與等式的關系。

指名回答，作品展示。

出示集合圖表示方程與等式的關系。

三、介紹我國古代運用方程的思想方法的歷史。（文字與錄音）

四、實踐應用，拓展外延。

1、看圖列方程。（略）

2、其實，在我們日常生活中，經常用方程來表示數量之間相等的關系。我們的生活離不開衣、食、住、行，下面請看題：（逐題進行，指名列方程。）（1）衣

為了慶祝“六一”兒童節，我班有12人參加舞蹈演出，每件舞蹈服b元，一共花了960元。（2）食

小明的早餐是一杯牛奶X克，一袋面包200克，牛奶和面包一共500克。（3）住

同學們參加夏令營活動，一個房間住5個人，Y個位房間能住45人。（4）行

一輛公共汽車從外國語學校開往大車站，車上原有X人，在我們解放路小學站有10人下車，8人上車，車上還剩20人。

3、挑戰題。

哥哥有60張卡片，弟弟有20張卡片，哥哥借給弟弟X張后，兩個人的卡片一樣多了，你能寫出方程嗎？

五、全課總結。

通過這節課的學習，你有哪些收獲？

第五篇：拋物線及其標準方程”教學案例

市教案設計一等獎

高中數學“情境·問題·反思·應用”

——“拋物線及其標準方程”教學案例

梁

家

斌

（江蘇省金湖中學，江蘇 金湖 211600）

摘要：通過幾何畫板及Fash的演示，使學生直觀感受拋物線的形成過程，然后學生運用類比的方法，自主研究、合作交流等方式得出拋物線的定義、標準方程，最后反思應用。

關鍵詞：拋物線；標準方程；教學 1 教學設計

1.1 教學內容分析

圓錐曲線是解析幾何中的一個重要內容，本章圓錐曲線分為橢圓、雙曲線和拋物線三個部分，三部分在圓錐曲線中的地位相同。本章對拋物線的安排篇幅不多，并非其不重要，主要是因為學生對于橢圓、雙曲線的基本知識和研究方法已經熟悉了，這里精簡介紹，學生是完全可以接受的，講解時應采用類比的方法讓學生自主研究、合作交流等方式得出拋物線的定義、標準方程，最后反思應用。本課是高二數學§8.5的第一課時，它是學習拋物線的性質及其應用的基礎。拋物線的定義很簡單但非常重要，學習時要注意和橢圓、雙曲線的第二定義相聯系，為深刻體會圓錐曲線的統一定義作好充分準備。由橢圓、雙曲線、拋物線的定義可以看出，它們都是平面內與一個定點的距離和它到一條直線的距離之比為常數e的點的軌跡，隨著e的變化，軌跡的圖形發生變化，既可從中得到圓錐曲線的統一定義，又可對學生進行運動、變化、對立、統一的辯證唯物主義思想教育。在由拋物線的定義導出它的標準方程時，可先讓學生考慮怎樣選擇坐標系，在導出方程的過程中，設焦點到準線的距離是p，這就是拋物線方程中參數p的幾何意義，所以p的值永遠大于0。1.2 數學情境的創設

筆者上這一節課的時間是2003年12月10日上午第二節，當時的背景是淮安市高

一、高二數學研討會在我校舉行，圍繞新課改的精神，如何進行課堂教學上的一節公開課。筆者設置了以下的數學情境：

前面我們一起研究了橢圓、雙曲線的定義，標準方程，幾何性質，大家想一想：橢圓、雙曲線的第二定義的內容是什么？

與一個定點的距離和一條定直線的距離的比是常數e的點的軌跡，當0＜e＜1時是橢圓，當e＞1時是雙曲線，那么，當e=1時，它是什么曲線呢？

師生一起利用幾何畫板進行動畫演示得出e=1，指出此時曲線是拋物線。1.3 教學目標

根據教學大綱和考試說明，結合數學情境的創設，確定本節課的素質教育目標是： ⑴知識教學目標：理解和掌握拋物線的定義與標準方程。

⑵能力訓練目標：掌握拋物線的定義及其標準方程，掌握拋物線的焦點、準線及方程與焦點坐標的關系，培養學生數形結合、分類討論、類比的思想。

⑶德育滲透目標：根據圓錐曲線的統一定義，對學生進行運動、變化、對立、統一的辯證唯物主義思想教育。2 教學過程 2.1 創設情境

師：前面我們一起研究了橢圓、雙曲線的定義，標準方程，幾何性質，大家想一想：橢圓、雙曲線的第二定義的內容是什么？

生：與一個定點的距離和一條定直線的距離的比是常數e的點的軌跡，當0＜e＜1時是橢圓，當e＞1時是雙曲線，那么，當e=1時，它是什么曲線呢？

師生一起利用幾何畫板進行動畫演示得出e=1，指出此時曲線是拋物線。

（通過幾何畫板的演示，由e的變化揭示課題，通過研究e的值，得到拋物線，再觀察拋物線的點滿足的條件，由學生歸納拋物線的定義，生動、直觀。）2.2 探索研究

1、實驗、演示，觀察猜想。幾何畫板課件演示：

學生觀察 ① 動點M到焦點F的距離|MF|與動點M到定直線l的距離d之間的關系；② 觀察追蹤動點M得到的軌跡形狀。

探索出當e ＝1時動點M的軌跡為拋物線，進而給出拋物線的定義。

2、拋物線的定義：

平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫拋物線.點F叫拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線.3、求拋物線的標準方程。師：下面，根據拋物線的定義，我們來求拋物線的方程，過F作準線的垂線，垂足為K，設｜MK｜＝p，如何建立直角坐標系？

先讓學生思考，獨立建立直角坐標系，教師巡視，從學生中歸納出以下幾種解法，視頻展臺展出。

y2＝2px－p2(p＞0)

y2＝2px＋p2(p＞0)

y2＝2px(p＞0)

師：選擇哪一種方程作為拋物線的標準方程？并說明理由。

生：將方程y2＝2px(p＞0)叫做拋物線的標準方程，因為此時方程最簡潔，頂點是原點。師：很好！我們把方程y2＝2px(p＞0)叫做拋物線的標準方程，它表示焦點在x軸的正半軸上，坐標是(p/2,0),準線方程是x＝－p/2。（Flash動畫演示）

強調：① p的幾何意義；

② 已知拋物線的標準方程y2＝2px（p>0），迅速寫出它的焦點坐標、準線方程； ③ 已知拋物線的焦點F（p/2，0）或準線方程x＝－p/2（p>0），迅速寫出其標準方程。練習：已知拋物線的標準方程是y2＝6x，則焦點坐標是________；準線方程是_____________。生：焦點(3/2, 0)，準線方程是x＝－3/2。

4、討論四種位置上的拋物線標準方程

利用Fash，設置一個旋轉按鈕將焦點在x軸正半軸上的拋物線（上圖）逆時針旋轉分別得到下列圖形，由學生說出標準方程，焦點坐標及準線方程。

圖形

標準方程：y2＝－2px（p>0）

x2＝2py（p>0）

x2＝－2py（p>0）焦

點：F(－p/2,0)

F(0，p/2)

F(0，－p/2)準線方程：x＝p/2

y＝－p/2

y＝p/2 師：觀察上面的圖與表格，觀察、歸納，尋找異同？ 生：相同點 ① 頂點為原點； ② 對稱軸為坐標軸；

③頂點到焦點的距離等于頂點到準線的距離，其值為p(p＞0)。不同點 ①一次項變量為x（或y），則焦點在x（或y）軸；若系數為正，則焦點在正半軸上，系數為負，則焦點在負半軸上；

② 焦點在x（或y）軸的正半軸上，開口向右（向上），焦點在x（或y）軸的負半軸上，開口向左（向下）。

（學生先歸納，師然后點評）

師：知道拋物線的標準方程，如何寫出焦點坐標與準線方程？

生1：先確定焦點的位置，然后根據表格寫出焦點坐標與準線方程。

生2：先觀察方程的結構，若一次項變量為x，則焦點的橫坐標是一次項系數的1/4，縱坐標為0；若一次項變量為y，則焦點的縱坐標是一次項系數的1/4，橫坐標為0。2.3 反思應用

例1 已知拋物線的焦點坐標是F（0，－2），求它的標準方程.生：因為焦點在y軸的負半軸上，并且所以所求拋物線的標準方程是x2=－8y.變：

⑴拋物線的標準方程是y2=－6x，則它的焦點坐標是＿，準線方程是＿＿＿； 生：焦點(－3/2,0)，準線方程x＝3/2 ⑵拋物線的標準方程是y=－x2/8，則它的焦點坐標是＿，準線方程是＿； 生：焦點(0，－2)，準線方程x＝2 ⑶拋物線的焦點F(0,3)，則它的標準方程是________； 生：x2＝12y ⑷拋物線的準線方程是y＝3,則它的標準方程是＿＿＿＿＿＿； 生：x2＝－12y ⑸拋物線的焦點在x軸上，且過點(－3,2)，則它的標準方程是_____； 生：由拋物線過點(－3,2)，且焦點在x軸上，設方程為y2＝－2px(p>0), 將點(－3,2)代入方程得p＝－4/3，所以方程為y2＝－4x/3。

師：大家想一想，在橢圓（或雙曲線）中，若橢圓（雙曲線）經過兩個點，求它的標準方程時，我們是如何設方程的？

生：一般化，設mx2＋ny2＝1(m>0,n>0)師：這里能否一般化？

生2：能！∵拋物線的焦點在x軸上，∴設方程y2＝mx(m≠0)將點(－3,2)代入方程得m＝－4/3，所以方程為y2＝－4x/3。例2 求適合下列條件的拋物線的標準方程 ⑴過點(－3,2)；

生：設方程為y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，將點的坐標代入得

y2 ＝－4x/3或 x2＝9y/2 ⑵焦點為直線l：2x＋y－4＝0與坐標軸的交點。生：先求出直線與坐標軸的交點（2,0）或（0,4），故標準方程為y2 ＝8x或 x2＝16y 例3 點P(2,y)為拋物線y2＝8x上的一點，F是它的焦點，則|PF|＝______，y＝_____。

生：由拋物線y2＝8x知準線方程x＝－2，根據拋物線的定義知|PF|等于點P到準線的距離4，將點的坐標代入方程有y＝±4。

師：解決這類問題，首先心中要有一個圖形，利用定義求解是關鍵。變：若點Q為拋物線的一點，⑴若|QF|＝4，則點Q的坐標是_________； 生：(2,±4)⑵|QF|的最小值是_______； 生：2 ⑶若A(3,4),則|QA|＋|QF|的最小值是____，此時點Q的坐標是_______。生：5；（2,4）2.4 歸納總結

師：下面請同學們回憶一下，這節課學習的主要內容？

生：⑴拋物線的定義、焦點、準線、標準方程等基本知識及其相互聯系； ⑵理解p的幾何意義，即焦點到準線的距離，p>0；

⑶掌握用坐標法求曲線方程的方法，要注意選好坐標系的恰當位置。師：用到了哪些數學思想方法：

生：坐標法、數形結合、待定系數法、定義法 師：一起觀看表格，并填充（表在幾何畫板上）3 回顧反思

這堂課受到聽課教師和學生的好評，主要是因為把學習的主動權交給學生，利用幾何畫板創設情境，使得學習內容直觀、生動，抓住解析幾何的核心─數形結合。3.1創設情境是上好課的基礎

利用幾何畫板從學生已有的知識進行遷移，采用類比的方法讓學生主動學習、合作交流，體驗數學的發現和創造過程，培養學生數學表達和交流的能力。3.2恰當引導學生提出數學問題

在上課前需要事先預想學生可能會提出的問題以及可能提出的解決方法，但是也不能忽視學生的發散思維，在講授過程中并不是每一個環節都能按照教師預想的步驟進行，對于課堂上突發性的問題，教師要能自如地應對。比如，在如何建立直角坐標系求方程時，有一個學生提出以FK為y軸，FK的中垂線為x軸，雖然與我們的過程不一致，也要加以肯定與鼓勵，其實從另一個角度來看，反而是一件好事，為我們后面談其它三種形式埋下引子。3.3 變式訓練，提高學生解題能力與思維深度

在本例中，我們圍繞例1進行變式訓練，師生圍繞幾個典型問題展開了充分的討論，學生在質疑、討論、總結的過程中，理解了拋物線的定義與標準方程，形成了自己的數學思想方法，更觸發了學生積極思考、勤奮探索的動力，開發了學生的智慧源泉，實現了舉一反

三、觸類旁通的效果。3.4 教師的反思