2019年中考數學真題（陜西省）

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.計算：

（）

A.1

B.0

C.3

D.2.如圖，是由兩個正方體組成的幾何體，則該幾何體的俯視圖為

（）

3.如圖，OC是∠AOB的角平分線，l//OB,若∠1=52°，則∠2的度數為（）

A.52°

B.54°

C.64°

D.69°

4.若正比例函數的圖象經過點O（a-1,4）,則a的值為（）

A.-1

B.0

C.1

D.2

5.下列計算正確的是（）

A.B.C.D.6.如圖，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AB，垂足為E。若DE=1，則BC的長為（）

A.2+

B.C.2+

D.3

7.在平面直角坐標系中，將函數的圖象向上平移6個單位長度，則平移后的圖象與x軸的交點坐標為（）

A.(2,0)

B.(-2,0)

C.(6,0)

D.(-6,0)

8.如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，若點E，F分別在AB,CD上，且BE=2AE，DF=2FC，G，H分別是AC的三等分點，則四邊形EHFG的面積為（）

A.1

B.C.2

D.4

9.如圖，AB是⊙O的直徑，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF與AB交于點C，連接OF，若∠AOF=40°，則∠F的度數是（）

A.20°

B.35°

C.40°

D.55°

10.在同一平面直角坐標系中，若拋物線與關于y軸對稱，則符合條件的m，n的值為（）

A.m=,n=

B.m=5，n=

C.m=

-1，n=6

D.m=1，n=

二、填空題（共4小題，每小題3分，共12分）

11.已知實數，0.16，，，其中為無理數的是

12.若正六邊形的邊長為3，則其較長的一條對角線長為

13.如圖，D是矩形AOBC的對稱中心，A(0,4)，B（6，0），若一個反比例函數的圖象經過點D，交AC于點M，則點M的坐標為

14.如圖，在正方形ABCD中，AB=8，AC與BD交于點O，N是AO的中點，點M在BC邊上，且BM=6.P為對角線BD上一點，則PM—PN的最大值為

三、解答題（共78分）

15.（5分）計算：

16.（5分）化簡：

17.（5分）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的高。請用尺規作圖法，求作△ABC的外接圓。（保留作圖痕跡，不寫做法）

18.（5分）如圖，點A，E，F在直線l上，AE=BF，AC//BF，且AC=BD，求證：CF=DE

19.（7分）本學期初，某校為迎接中華人民共和國建國七十周年，開展了以“不忘初心，緬懷革命先烈，奮斗新時代”為主題的讀書活動。校德育處對本校七年級學生四月份“閱讀該主題相關書籍的讀書量”（下面簡稱：“讀書量”）進行了隨機抽樣調查，并對所有隨機抽取學生的“讀書量”（單位：本）進行了統計，如下圖所示：

根據以上信息，解答下列問題：

（1）

補全上面兩幅統計圖，填出本次所抽取學生四月份“讀書量”的眾數為

（2）

求本次所抽取學生四月份“讀書量”的平均數；

（3）

已知該校七年級有1200名學生，請你估計該校七年級學生中，四月份“讀書量”為5本的學生人數。

20.（7分）小明利用剛學過的測量知識來測量學校內一棵古樹的高度。一天下午，他和學習小組的同學帶著測量工具來到這棵古樹前，由于有圍欄保護，他們無法到達古樹的底部B，如圖所示。于是他們先在古樹周圍的空地上選擇一點D，并在點D處安裝了測量器DC，測得古樹的頂端A的仰角為45°；再在BD的延長線上確定一點G，使DG=5米，并在G處的地面上水平放置了一個小平面鏡，小明沿著BG方向移動，當移動帶點F時，他剛好在小平面鏡內看到這棵古樹的頂端A的像，此時，測得FG=2米，小明眼睛與地面的距離EF=1.6米，測傾器的高度CD=0.5米。已知點F、G、D、B在同一水平直線上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求這棵古樹的高度AB。（小平面鏡的大小忽略不計）

21.（7分）根據記錄，從地面向上11km以內，每升高1km，氣溫降低6℃；又知在距離地面11km以上高空，氣溫幾乎不變。若地面氣溫為m（℃），設距地面的高度為x（km）處的氣溫為y（℃）

（1）

寫出距地面的高度在11km以內的y與x之間的函數表達式；

（2）

上周日，小敏在乘飛機從上海飛回西安圖中，某一時刻，她從機艙內屏幕顯示的相關數據得知，飛機外氣溫為－26℃時，飛機距離地面的高度為7km,求當時這架飛機下方地面的氣溫；小敏想，假如飛機當時在距離地面12km的高空，飛機外的氣溫是多少度呢？請求出假如當時飛機距離地面12km時，飛機外的氣溫。

22.（7分）現有A、B兩個不透明袋子，分別裝有3個除顏色外完全相同的小球。其中，A袋裝有2個白球，1個紅球；B袋裝有2個紅球，1個白球。

（1）

將A袋搖勻，然后從A袋中隨機取出一個小球，求摸出小球是白色的概率；

（2）

小華和小林商定了一個游戲規則：從搖勻后的A，B兩袋中隨機摸出一個小球，摸出的這兩個小球，若顏色相同，則小林獲勝；若顏色不同，則小華獲勝。請用列表法或畫出樹狀圖的方法說明這個游戲規則對雙方是否公平。

23.（8分）如圖，AC是⊙O的一條弦，AP是⊙O的切線。作BM=AB并與AP交于點M，延長MB交AC于點E，交⊙O于點D，連接AD。

（1）

求證：AB=BE

（2）

若⊙O的半徑R=5，AB=6，求AD的長。

24.（10分）在平面直角坐標系中，已知拋物線L：經過點A（-3，0）和點B（0，-6），L關于原點O堆成的拋物線為

（1）

求拋物線L的表達式

（2）

點P在拋物線上，且位于第一象限，過點P作PD⊥y軸，垂足為D。若△POD與△AOB相似，求復合條件的點P的坐標

25.（12分）

問題提出：

（1）

如圖1，已知△ABC，試確定一點D，使得以A，B，C，D為頂點的四邊形為平行四邊形，請畫出這個平行四邊形；

問題探究：

（2）

如圖2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在該矩形中作出一個面積最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求滿足條件的點P到點A的距離；

問題解決：

（3）

如圖3，有一座草根塔A，按規定，要以塔A為對稱中心，建一個面積盡可能大的形狀為平行四邊形的草根景區BCDE。根據實際情況，要求頂點B是定點，點B到塔A的距離為50米，∠CBE=120°，那么，是否可以建一個滿足要求的面積最大的平行四邊形景區BCDE？若可以，求出滿足要求的平行四邊形BCDE的最大面積；若不可以，請說明理由。（塔A的占地面積忽略不計）

答案解析

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.計算：

A.1

B.0

C.3

D.【解析】本題考查0指數冪，此題答案為1，故選A

2.如圖，是由兩個正方體組成的幾何體，則該幾何體的俯視圖為

【解析】本題考查三視圖，俯視圖為從上往下看，所以小正方形應在大正方形的右上角，故選D

3.如圖，OC是∠AOB的角平分線，l//OB,若∠1=52°，則∠2的度數為

A.52°

B.54°

C.64°

D.69°

【解析】∵l//OB，∴∠1+∠AOB=180°，∴∠AOB=128°，∵OC平分∠AOB，∴∠BOC=64°，又l//OB，且∠2與∠BOC為同位角，∴∠2=64°，故選C

4.若正比例函數的圖象經過點O（a-1,4）,則a的值為

B.-1

B.0

C.1

D.2

【解析】函數過O（a-1,4），∴，∴，故選A

5.下列計算正確的是

B.B.C.D.【解析】A選項正確結果應為，B選項正確結果應為，C選項為完全平方差公式，正確結果應為，故選D

6.如圖，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AB，垂足為E。若DE=1，則BC的長為

A.2+

B.C.2+

D.3

【解析】

過點D作DF⊥AC于F如圖所示，∵AD為∠BAC的平分線，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF=1，在Rt△BED中，∠B=30°，∴BD=2DE=2，在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF為等腰直角三角形，∴CD=DF=，∴BC=BD+CD=，故選A

7.在平面直角坐標系中，將函數的圖象向上平移6個單位長度，則平移后的圖象與x軸的交點坐標為

B.(2,0)

B.(-2,0)

C.(6,0)

D.(-6,0)

【解析】根據函數圖象平移規律，可知向上平移6個單位后得函數解析式應為，此時與軸相交，則，∴，即，∴點坐標為（-2,0），故選B

8.如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，若點E，F分別在AB,CD上，且BE=2AE，DF=2FC，G，H分別是AC的三等分點，則四邊形EHFG的面積為

A.1

B.C.2

D.4

【解析】BE＝2AE，DF＝2FC，G、H分別是AC的三等分點

∴E是AB的三等分點，F是CD的三等分點

∴EG∥BC且EG＝－BC＝2

同理可得HF∥AD且HF＝－AD＝2

∴四邊形EHFG為平行四邊形EG和HF間距離為1

S四邊形EHFG＝2×1=2，故選C

9.如圖，AB是⊙O的直徑，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF與AB交于點C，連接OF，若∠AOF=40°，則∠F的度數是

A.20°

B.35°

C.40°

D.55°

【解析】連接FB，得到FOB＝140°；

∴∠FEB＝70°

∵EF＝EB

∴∠EFB＝∠EBF

∵FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF，∴∠EFO＝∠EBO，∠F＝35°，故選B

10.在同一平面直角坐標系中，若拋物線與關于y軸對稱，則符合條件的m，n的值為

B.m=,n=

B.m=5，n=

C.m=

-1，n=6

D.m=1，n=

【解析】關于y軸對稱，a，c不變，b變為相反數，∴解之得，故選D

二、填空題（共4小題，每小題3分，共12分）

11.已知實數，0.16，，，其中為無理數的是

【解析】無理數為無限不循環的小數，常見的有開方開不盡的數，本題為，含有π或者關于π的代數式，本題為π，故本題答案為

12.若正六邊形的邊長為3，則其較長的一條對角線長為

【解析】如圖所示為正六邊形最長的三條對角線，由正六邊形性質可知，△AOB，△COD為兩個邊長相等的等邊三角形，∴AD=2AB=6，故答案為6

13.如圖，D是矩形AOBC的對稱中心，A(0,4)，B（6，0），若一個反比例函數的圖象經過點D，交AC于點M，則點M的坐標為

【解析】如圖所示，連接AB，作DE⊥OB于E，∴DE∥y軸，∵D是矩形AOBC的中心，∴D是AB的中點，∴DE是△AOB的中位線，∵OA=4，OB=6，∴DE=OA=2，OE=OB=3，∴D（3,2），設反比例函數的解析式為，∴，反比例函數的解析式為，∵AM∥x軸，∴M的縱坐標和A的縱坐標相等為4，代入反比例函數得A的橫坐標為，故M的坐標為

14.如圖，在正方形ABCD中，AB=8，AC與BD交于點O，N是AO的中點，點M在BC邊上，且BM=6.P為對角線BD上一點，則PM—PN的最大值為

【解析】

如圖所示，作以BD為對稱軸作N的對稱點，連接，根據對稱性質可知，∴PM-PN，當三點共線時，取“=”，∵正方形邊長為8，∴AC=AB=，∵O為AC中點，∴AO=OC=，∵N為OA中點，∴ON=，∴，∴，∵BM=6，∴CM=AB-BM=8-6=2，∴

∴PM∥AB∥CD，∠90°，∵∠=45°，∴△為等腰直角三角形，∴CM==2，故答案為2

三、解答題（共78分）

15.（5分）計算：

【解析】原式＝－2×(－3)＋－1－4

＝1＋

16.（5分）化簡：

【解析】原式＝×＝a

17.（5分）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的高。請用尺規作圖法，求作△ABC的外接圓。（保留作圖痕跡，不寫做法）

【解析】如圖所示

18.（5分）如圖，點A，E，F在直線l上，AE=BF，AC//BF，且AC=BD，求證：CF=DE

【解析】證明：∵AE＝BF，∴AF＝BE

∵AC∥BD，∴∠CAF＝∠DBE

又AC＝BD，∴△ACF≌△BDE

∴CF＝DE

19.（7分）本學期初，某校為迎接中華人民共和國建國七十周年，開展了以“不忘初心，緬懷革命先烈，奮斗新時代”為主題的讀書活動。校德育處對本校七年級學生四月份“閱讀該主題相關書籍的讀書量”（下面簡稱：“讀書量”）進行了隨機抽樣調查，并對所有隨機抽取學生的“讀書量”（單位：本）進行了統計，如下圖所示：

所抽取該校七年級學生四月份“讀書量”的統計圖

根據以上信息，解答下列問題：

（1）

補全上面兩幅統計圖，填出本次所抽取學生四月份“讀書量”的眾數為

（2）

求本次所抽取學生四月份“讀書量”的平均數；

（3）

已知該校七年級有1200名學生，請你估計該校七年級學生中，四月份“讀書量”為5本的學生人數。

【解析】

（1）

如圖所示，眾數為3（本）

（2）

平均數=

（3）

四月份“讀書量”為5本的學生人數=（人）

20.（7分）小明利用剛學過的測量知識來測量學校內一棵古樹的高度。一天下午，他和學習小組的同學帶著測量工具來到這棵古樹前，由于有圍欄保護，他們無法到達古樹的底部B，如圖所示。于是他們先在古樹周圍的空地上選擇一點D，并在點D處安裝了測量器DC，測得古樹的頂端A的仰角為45°；再在BD的延長線上確定一點G，使DG=5米，并在G處的地面上水平放置了一個小平面鏡，小明沿著BG方向移動，當移動帶點F時，他剛好在小平面鏡內看到這棵古樹的頂端A的像，此時，測得FG=2米，小明眼睛與地面的距離EF=1.6米，測傾器的高度CD=0.5米。已知點F、G、D、B在同一水平直線上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求這棵古樹的高度AB。（小平面鏡的大小忽略不計）

【解析】：如圖，過點C作CH⊥AB于點H，則CH＝BD，BH＝CD＝0.5

在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，∴AH＝CH＝BD

∴AB＝AH＋BH＝BD＋0.5

∵EF⊥FB，AB⊥FB，∴∠EFG＝∠ABG＝90°.由題意，易知∠EGF＝∠AGB，∴△EFG∽△ABC

∴＝

即＝

解之，得BD＝17.5

∴AB=17.5＋0.5＝18(m)．

∴這棵古樹的高AB為18m．

21.（7分）根據記錄，從地面向上11km以內，每升高1km，氣溫降低6℃；又知在距離地面11km以上高空，氣溫幾乎不變。若地面氣溫為m（℃），設距地面的高度為x（km）處的氣溫為y（℃）

（1）

寫出距地面的高度在11km以內的y與x之間的函數表達式；

（2）

上周日，小敏在乘飛機從上海飛回西安圖中，某一時刻，她從機艙內屏幕顯示的相關數據得知，飛機外氣溫為－26℃時，飛機距離地面的高度為7km,求當時這架飛機下方地面的氣溫；小敏想，假如飛機當時在距離地面12km的高空，飛機外的氣溫是多少度呢？請求出假如當時飛機距離地面12km時，飛機外的氣溫。

【解析】(1)y＝m－6x

(2)將x＝7，y＝－26代入y＝m－6x，得－26＝m－42，∴m＝16

∴當時地面氣溫為16℃

∵x＝12＞11，∴y＝16－6×11＝－50(℃)

假如當時飛機距地面12km時，飛機外的氣溫為－50℃

22.（7分）現有A、B兩個不透明袋子，分別裝有3個除顏色外完全相同的小球。其中，A袋裝有2個白球，1個紅球；B袋裝有2個紅球，1個白球。

（1）

將A袋搖勻，然后從A袋中隨機取出一個小球，求摸出小球是白色的概率；

（2）

小華和小林商定了一個游戲規則：從搖勻后的A，B兩袋中隨機摸出一個小球，摸出的這兩個小球，若顏色相同，則小林獲勝；若顏色不同，則小華獲勝。請用列表法或畫出樹狀圖的方法說明這個游戲規則對雙方是否公平。

【解析】：(1)共有3種等可能結果，而摸出白球的結果有2種

∴P(摸出白球)＝

(2)根據題意，列表如下：

A

B

紅1

紅2

白

白1

(白1，紅1)

(白1，紅2)

(白1，白)

白2

(白2，紅1)

(白2，紅2)

(白2，白)

紅

(紅，紅1)

(紅，紅2)

(白1，白)

由上表可知，共有9種等可能結果，其中顏色相同的結果有4種，顏色不同的結果有5種

∴P(顏色相同)＝，P(顏色不同)＝

∵＜

∴這個游戲規則對雙方不公平

23.（8分）如圖，AC是⊙O的一條弦，AP是⊙O的切線。作BM=AB并與AP交于點M，延長MB交AC于點E，交⊙O于點D，連接AD。

（1）

求證：AB=BE

（2）

若⊙O的半徑R=5，AB=6，求AD的長。

【解析】(1)證明：∵AP是⊙O的切線，∴∠EAM＝90°，∴∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEB＋∠AMB＝90°.又∵AB＝BM，∴∠MAB＝∠AMB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE

(2)解：連接BC

∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°

在Rt△ABC中，AC＝10，AB＝6，∴BC＝8

由(1)知，∠BAE＝∠AEB，∴△ABC∽△EAM

∴∠C＝∠AME，＝

即＝

∴AM＝

又∵∠D＝∠C，∴∠D＝∠AMD

∴AD＝AM＝

24.（10分）在平面直角坐標系中，已知拋物線L：經過點A（-3，0）和點B（0，-6），L關于原點O堆成的拋物線為

（1）

求拋物線L的表達式

（2）

點P在拋物線上，且位于第一象限，過點P作PD⊥y軸，垂足為D。若△POD與△AOB相似，求復合條件的點P的坐標

【解析】(1)由題意，得，解之，得，∴L：y=－x2－5x－6

(2)∵點A、B在L′上的對應點分別為A′(－3，0)、B′(0，－6)

∴設拋物線L′的表達式y＝x2＋bx＋6

將A′(－3，0)代入y＝x2＋bx＋6，得b＝－5.∴拋物線L′的表達式為y＝x2－5x＋6

A(－3，0)，B(0，－6)，∴AO＝3，OB＝6.設P(m，m2－5m＋6)(m＞0).∵PD⊥y軸，∴點D的坐標為(0，m2－5m＋6)

∵PD＝m，OD＝m2－5m＋6

Rt△POD與Rt△AOB相似，∴＝或＝

①當＝時，即＝，解之，得m1＝1，m2＝6

∴P1(1，2)，P2(6，12)

②當＝時，即＝，解之，得m3＝，m4＝4

∴P3(，)，P4(4，2)

∵P1、P2、P3、P4均在第一象限

∴符合條件的點P的坐標為(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2)

25.（12分）

問題提出：

（1）

如圖1，已知△ABC，試確定一點D，使得以A，B，C，D為頂點的四邊形為平行四邊形，請畫出這個平行四邊形；

問題探究：

（2）

如圖2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在該矩形中作出一個面積最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求滿足條件的點P到點A的距離；

問題解決：

（3）

如圖3，有一座草根塔A，按規定，要以塔A為對稱中心，建一個面積盡可能大的形狀為平行四邊形的草根景區BCDE。根據實際情況，要求頂點B是定點，點B到塔A的距離為50米，∠CBE=120°，那么，是否可以建一個滿足要求的面積最大的平行四邊形景區BCDE？若可以，求出滿足要求的平行四邊形BCDE的最大面積；若不可以，請說明理由。（塔A的占地面積忽略不計）

【解析】（1）如圖記為點D所在的位置

（2）如圖，∵AB=4，BC=10，∴取BC的中點O，則OB＞AB.∴以點O為圓心，OB長為半徑作⊙O，⊙O一定于AD相交于兩點，連接，∵∠BPC=90°，點P不能再矩形外；

∴△BPC的頂點P在或位置時，△BPC的面積最大

作⊥BC，垂足為E，則OE=3，∴

由對稱性得

（3）可以，如圖所示，連接BD，∵A為□BCDE的對稱中心，BA=50，∠CBE=120°，∴BD=100，∠BED=60°

作△BDE的外接圓⊙O，則點E在優弧上，取的中點，連接

則，且∠=60°，∴△為正三角形.連接并延長，經過點A至，使，連接

∵⊥BD，∴四邊形為菱形，且∠°

作EF⊥BD，垂足為F，連接EO，則

∴

∴

所以符合要求的□BCDE的最大面積為