高中物理平拋運動經典例題及解析

[例1]

如圖1所示，某人騎摩托車在水平道路上行駛，要在A處越過的壕溝，溝面對面比A處低，摩托車的速度至少要有多大？

圖1

解析：在豎直方向上，摩托車越過壕溝經歷的時間

在水平方向上，摩托車能越過壕溝的速度至少為

2.從分解速度的角度進行解題

對于一個做平拋運動的物體來說，如果知道了某一時刻的速度方向，則我們常常是“從分解速度”的角度來研究問題。

[例2]

如圖2甲所示，以9.8m/s的初速度水平拋出的物體，飛行一段時間后，垂直地撞在傾角為的斜面上。可知物體完成這段飛行的時間是（）

A.B.C.D.圖2

解析：先將物體的末速度分解為水平分速度和豎直分速度（如圖2乙所示）。根據平拋運動的分解可知物體水平方向的初速度是始終不變的，所以；又因為與斜面垂直、與水平面垂直，所以與間的夾角等于斜面的傾角。再根據平拋運動的分解可知物體在豎直方向做自由落體運動，那么我們根據就可以求出時間了。則

所以

根據平拋運動豎直方向是自由落體運動可以寫出

所以

所以答案為C。

3.從分解位移的角度進行解題

對于一個做平拋運動的物體來說，如果知道了某一時刻的位移方向（如物體從已知傾角的斜面上水平拋出，這個傾角也等于位移與水平方向之間的夾角），則我們可以把位移分解成水平方向和豎直方向，然后運用平拋運動的運動規律來進行研究問題（這種方法，暫且叫做“分解位移法”）

[例3]

在傾角為的斜面上的P點，以水平速度向斜面下方拋出一個物體，落在斜面上的Q點，證明落在Q點物體速度。

解析：設物體由拋出點P運動到斜面上的Q點的位移是，所用時間為，則由“分解位移法”可得，豎直方向上的位移為；水平方向上的位移為。

又根據運動學的規律可得

豎直方向上，水平方向上

則，所以Q點的速度

[例4]

如圖3所示，在坡度一定的斜面頂點以大小相同的速度同時水平向左與水平向右拋出兩個小球A和B，兩側斜坡的傾角分別為和，小球均落在坡面上，若不計空氣阻力，則A和B兩小球的運動時間之比為多少？

圖3

解析：和都是物體落在斜面上后，位移與水平方向的夾角，則運用分解位移的方法可以得到

所以有

同理

則

4.從豎直方向是自由落體運動的角度出發求解

在研究平拋運動的實驗中，由于實驗的不規范，有許多同學作出的平拋運動的軌跡，常常不能直接找到運動的起點（這種軌跡，我們暫且叫做“殘缺軌跡”），這給求平拋運動的初速度帶來了很大的困難。為此，我們可以運用豎直方向是自由落體的規律來進行分析。

[例5]

某一平拋的部分軌跡如圖4所示，已知，，求。

圖4

解析：A與B、B與C的水平距離相等，且平拋運動的水平方向是勻速直線運動，可設A到B、B到C的時間為T，則

又豎直方向是自由落體運動，則

代入已知量，聯立可得

5.從平拋運動的軌跡入手求解問題

[例6]

從高為H的A點平拋一物體，其水平射程為，在A點正上方高為2H的B點，向同一方向平拋另一物體，其水平射程為。兩物體軌跡在同一豎直平面內且都恰好從同一屏的頂端擦過，求屏的高度。

圖5

解析：本題如果用常規的“分解運動法”比較麻煩，如果我們換一個角度，即從運動軌跡入手進行思考和分析，問題的求解會很容易，如圖5所示，物體從A、B兩點拋出后的運動的軌跡都是頂點在軸上的拋物線，即可設A、B兩方程分別為，則把頂點坐標A（0，H）、B（0，2H）、E（2，0）、F（，0）分別代入可得方程組

這個方程組的解的縱坐標，即為屏的高。

6.靈活分解求解平拋運動的最值問題

[例7]

如圖6所示，在傾角為的斜面上以速度水平拋出一小球，該斜面足夠長，則從拋出開始計時，經過多長時間小球離開斜面的距離的達到最大，最大距離為多少？

圖6

解析：將平拋運動分解為沿斜面向下和垂直斜面向上的分運動，雖然分運動比較復雜一些，但易將物體離斜面距離達到最大的物理本質凸顯出來。

取沿斜面向下為軸的正方向，垂直斜面向上為軸的正方向，如圖6所示，在軸上，小球做初速度為、加速度為的勻變速直線運動，所以有

①

②

當時，小球在軸上運動到最高點，即小球離開斜面的距離達到最大。

由①式可得小球離開斜面的最大距離

當時，小球在軸上運動到最高點，它所用的時間就是小球從拋出運動到離開斜面最大距離的時間。由②式可得小球運動的時間為

7.利用平拋運動的推論求解

推論1：任意時刻的兩個分速度與合速度構成一個矢量直角三角形。

[例8]

從空中同一點沿水平方向同時拋出兩個小球，它們的初速度大小分別為和，初速度方向相反，求經過多長時間兩小球速度之間的夾角為？

圖7

解析：設兩小球拋出后經過時間，它們速度之間的夾角為，與豎直方向的夾角分別為和，對兩小球分別構建速度矢量直角三角形如圖7所示，由圖可得和

又因為，所以

由以上各式可得，解得

推論2：任意時刻的兩個分位移與合位移構成一個矢量直角三角形

[例9]

宇航員站在一星球表面上的某高度處，沿水平方向拋出一個小球，經過時間，小球落到星球表面，測得拋出點與落地點之間的距離為，若拋出時初速度增大到兩倍，則拋出點與落地點之間的距離為。已知兩落地點在同一水平面上，該星球的半徑為R，萬有引力常數為G，求該星球的質量M。

解析：設第一次拋出小球，小球的水平位移為，豎直位移為，如圖8所示，構建位移矢量直角三角形有

若拋出時初速度增大到2倍，重新構建位移矢量直角三角形，如圖9所示有，由以上兩式得

令星球上重力加速度為，由平拋運動的規律得

由萬有引力定律與牛頓第二定律得

由以上各式解得

推論3：平拋運動的末速度的反向延長線交平拋運動水平位移的中點。

證明：設平拋運動的初速度為，經時間后的水平位移為，如圖10所示，D為末速度反向延長線與水平分位移的交點。根據平拋運動規律有

水平方向位移

豎直方向和

由圖可知，與相似，則

聯立以上各式可得

該式表明平拋運動的末速度的反向延長線交平拋運動水平位移的中點。

圖10

[例10]

如圖11所示，與水平面的夾角為的直角三角形木塊固定在地面上，有一質點以初速度從三角形木塊的頂點上水平拋出，求在運動過程中該質點距斜面的最遠距離。

圖11

解析：當質點做平拋運動的末速度方向平行于斜面時，質點距斜面的距離最遠，此時末速度的方向與初速度方向成角。如圖12所示，圖中A為末速度的反向延長線與水平位移的交點，AB即為所求的最遠距離。根據平拋運動規律有，和

由上述推論3知

據圖9中幾何關系得

由以上各式解得

即質點距斜面的最遠距離為

圖12

推論4：平拋運動的物體經時間后，其速度與水平方向的夾角為，位移與水平方向的夾角為，則有

證明：如圖13，設平拋運動的初速度為，經時間后到達A點的水平位移為、速度為，如圖所示，根據平拋運動規律和幾何關系：

在速度三角形中

在位移三角形中

由上面兩式可得

圖13