《應用概率統計》綜合作業二
一、填空題（每小題2分，共20分）
1．某箱裝有100件產品，其中一、二、三等品分別為80，10和10件，現從中隨機地抽取一件，記，則，的聯合分布律為
（X1，X2）～
(0，0)
(0，1)
(1，0)
(1，1)
0.1
0.1
0.8
0
.2．設二維連續型隨機變量（，）的聯合密度函數為其中為常數，則=
.3．設隨機變量和相互獨立，且，則（，）的聯合密度函數為
f(y)=?*＇(lny)×(lny)＇=N(μ,σ^2)|x=lny
×1/y
.4．設隨機變量和同分布，的密度函數為若事件，相互獨立，且，4^(1/3)
.5．設相互獨立的兩個隨機變量和具有同一分布律，且
0
0.5
0.5
則隨機變量的分布律為
Z=0，P=14
Z=1，P=34
.6．設表示10次獨立重復射擊命中目標的次數，每次射中目標的概率為0.4，則的數學期望
18.4
.7．設離散型隨機變量服從參數的泊松分布，且已知，則參數=
.8．設隨機變量和相互獨立，且均服從正態分布，則隨機變量的數學期望
2/（√（2pai））
.9．設隨機變量，相互獨立，其中服從正[0，6]區間上的均勻分布，服從正態分布，服從參數的泊松分布，記隨機變量，則
.10．設隨機變量的數學期望，方差，則由切貝雪夫（Chebyshev）不等式，有
1/9
.二、選擇題（每小題2分，共20分）
1．設兩個隨機變量和相互獨立且同分布，，則下列各式成立的是（A）
（A）
（B）
（C）
（D）
2．設隨機變量的分布律為：
且滿足，則等于（B）
（A）0
（B）
（C）
（D）1
3．設兩個隨機變量和相互獨立，且都服從（0，1）區間上的均勻分布，則服從相應區間或區域上的均勻分布的隨機變量是（D）
（A）
（B）
（C）
（D）（）
4．設離散型隨機變量（）的聯合分布律為
若和相互獨立，則和的值為（A）
（A），（B），（C）
（D），5．設隨機變量的相互獨立，其分布函數分別為與，則隨機變量的分布函數
是（C）
（A）
（B）
（C）
（D）
6．對任意兩個隨機變量和，若，則下列結論正確的是（B）
（A）
（B）
（C）和相互獨立
（D）和不相互獨立
7．設隨機變量服從二項分布，且，則參數，的值等于（B）
（A），（B），（C），（D），8．設兩個隨機變量和的方差存在且不等于零，則是和的（C）
（A）不相關的充分條件，但不是必要條件
（B）獨立的必要條件，但不是充分條件
（C）不相關的充分必要條件
（D）獨立的充分必要條件
9．設隨機變量（，）的方差，相關系數，則方差（C）
（A）40
（B）34
（C）25.6
（D）17.6
10．設隨機變量和相互獨立，且在（0，）上服從均勻分布，則（C）
（A）
（B）
（C）
（D）
三、（10分）設隨機變量，，相互獨立，且同分布：，0.4，=1，2，3，4．
求行列式的概率分布.解答：
Y1=X1X4
Y2=X2X3
Z=Y1-Y2
P{Y1=1}=P{Y2=1}={X2=1,X3=1}=0.16
P{Y1=0}P{Y2=0}=1-0.16=0.84
Z有三種可能-1,0,1
P{Z=-1}={Y1=0,Y2=1}=0.84×0.16=0.1344
P{Z=1}P{Y1=1,Y2=0}=0.16×0.84=0.1344
P{Z=0}=1-2×0.1344=0.7312
Z
0
P
0.1344
0.7312
0.1344
四、（10分）已知隨機變量的概率密度函數為，；
（1）求的數學期望和方差.（2）求與的協方差，并問與是否不相關？
（3）問與是否相互獨立？為什么？
解答：
五、（10分）設二維隨機變量（）的聯合密度函數為試求：
（1）常數；
（2），；
（3），；
（4）.解答：
(1)由概率密度函數的性質∫+∞?∞∫+∞?∞f(x,y)dxdy=1，得
∫+∞0dy∫y0cxe?ydx=c2∫+∞0y2e?ydy=c=1，即c=1
(2)由于為判斷X與Y的相互獨立性,先要計算邊緣密度fX(x)與fY(y).fX(x)=∫+∞?∞f(x,y)dy={xe?x0amp;,x>0amp;,x?0
類似地,有fY(y)=???12y2e?y0amp;,y>0amp;,y?0
由于在0 因此隨機變量X與Y不是相互獨立的。 (3)當y>0時,fX|Y(x|y)=f(x,y)fY(y)=?????2xy20amp;,0 (4)P{X<1|Y<2}=P(X<1,Y<2)P(Y<2)=∫1?∞∫2?∞f(x,y)dxdy∫2?∞fY(y)dy =∫10dx∫2xxe?ydy∫2012y2e?ydy=1?2e?1?12e?21?5e?2，由條件密度的性質知P{X<1|y=2}=∫1?∞fx|y(x|2)dx，而fx|y(x|2)=???x20amp;,0 用X1,X2表示兩臺機器先后開動的記錄儀無故障工作的時間，則：T=X1+X2.由已知條件,X1與X2相互獨立,且Xi(i=1,2)的概率密度為： p(x)={5e?5x,x>00,x?0，利用兩個獨立隨機變量和的密度公式可得： ①對于任意t>0，T的概率分布： f(t)=∫∞?∞p1(x)p2(t?x)dx=25∫ t0e?5xe?5(t?x)dx=25e?5t∫ t0dx=25te?5t ②當t?0時,顯然有：f(t)=0.于是，f(t)={25te?5t,t>00,t?0.由于Xi(i=1,2)服從參數為λ=5的指數分布，所以：EXi=15,DXi=125.因此,ET=E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)=25 因為X1與X2相互獨立，所以： DT=D(X1+X2)=D(X1)+D(X2)=225 七、（10分）設隨機變量和相互獨立，服從[0，1]上的均勻分布，的密度函數為試求隨機變量的密度函數.解答： 八、（10分）某箱裝有100件產品，其中一、二和三等品分別為80、10和10件，現在從中隨機抽取一件，記.試求：（1）隨機變量與的聯合分布律； （2）隨機變量與的相關系數.解答：
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