第一篇：中學(xué)概率統(tǒng)計的教學(xué)策略

中學(xué)概率統(tǒng)計的教學(xué)策略

《學(xué)周刊·理論與實(shí)踐》 2009年第4期 字?jǐn)?shù)：2255 字體： 【大 中 小】

摘要：概率統(tǒng)計所研究的對象是不確定的現(xiàn)象，通過對大量重復(fù)試驗所得到的數(shù)據(jù)分析找到其中的規(guī)律。這與中學(xué)教學(xué)其他知識有著很大的區(qū)別，對于初學(xué)概率的學(xué)生來說，會產(chǎn)生困擾，本文通過對學(xué)生在學(xué)習(xí)中的認(rèn)知規(guī)律及教師的教學(xué)策略進(jìn)行分析，對新課程標(biāo)準(zhǔn)下概率與統(tǒng)計教學(xué)進(jìn)行反思，從而提高教學(xué)質(zhì)量與效果。關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)；概率統(tǒng)計；教學(xué)策略

在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中，學(xué)生的認(rèn)知層次主要局限于對具有因果關(guān)系的確定性事物的把握。對偶然性與必然性的了解還比較膚淺，僅僅停留在定性甚至是感性認(rèn)識的水平之上，而概率是揭示偶然世界規(guī)律性的科學(xué)，與中學(xué)數(shù)學(xué)其他知識不同的是它研究的是隨機(jī)現(xiàn)象，通過對概率統(tǒng)計內(nèi)容的學(xué)習(xí)，掌握這種不確定性的思想，進(jìn)而達(dá)到對事物本質(zhì)的把握。

針對教學(xué)實(shí)踐中的問題我們認(rèn)為對教學(xué)策略和教學(xué)方式的選取等方面的研究是必要的。這樣有助于我們理清教學(xué)思路，熟悉有關(guān)方法技術(shù)，把數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)與教學(xué)合理地組合成一個有機(jī)的系統(tǒng)，使得這方面的教學(xué)順暢自然，使學(xué)生更易于接受和理解。

從概率統(tǒng)計課程本身的特性來看，要采取合適的教學(xué)策略，才能保證學(xué)生正確理解相關(guān)的概念以及其中的思想方法。首先，要以試驗引路，通過對實(shí)際現(xiàn)象的分析討論。讓學(xué)生對大量偶然的現(xiàn)象中蘊(yùn)含著必然性有直觀的印象：其次，要引導(dǎo)學(xué)生分析試驗的意義，特別是它的模型作用。通過對相關(guān)試驗在各種情形下的分析思考，逐步達(dá)到對數(shù)據(jù)分析方法的初步理解：再次，要通過案例分析對概率統(tǒng)計中一些重要的數(shù)字特征的意義和它們之間的關(guān)聯(lián)、區(qū)別討論清楚。同時，對總體與樣本、頻率與概率之間的轉(zhuǎn)化及應(yīng)用上的理解要給予清楚的分析：最后，要通過一些具體的應(yīng)用實(shí)例讓學(xué)生體會“用數(shù)據(jù)說話”、“以樣本估計總體”、“預(yù)測結(jié)果”的意義。

在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生還存在很多的問題，這些問題一方面反映了學(xué)生認(rèn)識概率過程中的障礙，另一方面也反映了教師在教學(xué)中存在著模糊不清的認(rèn)識。我們針對這些問題加以分析研究。

問題一：在第一節(jié)概率概念教學(xué)中，學(xué)生對隨機(jī)事件發(fā)生的可能性與必然性認(rèn)識模糊。例如：在拋擲硬幣試驗中，學(xué)生一方面能從感覺上認(rèn)為兩種結(jié)果出現(xiàn)是等可能的，另一方面也認(rèn)為實(shí)際試驗產(chǎn)生的結(jié)果必然應(yīng)該是各占一半。但實(shí)際試驗卻不是各占一半，學(xué)生開始懷疑試驗的準(zhǔn)確性以及概率的準(zhǔn)確性。再如：天氣預(yù)報中預(yù)報明天下雨的機(jī)會是90％，結(jié)果第二天沒下雨，一部分學(xué)生認(rèn)為預(yù)報不準(zhǔn)，因為按預(yù)報說應(yīng)該一定下雨。這些問題產(chǎn)生的原因都是學(xué)生對隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì)理解不清，不了解試驗的結(jié)果是偶然的，而概率是我們通過大攝重復(fù)試驗的數(shù)據(jù)分析得到的必然結(jié)果。通過概率去預(yù)測偶然現(xiàn)象的發(fā)生，這種過程是可以不準(zhǔn)確的，可以出現(xiàn)偏差的。但這并不能妨礙我們?nèi)シ治鲭S機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的規(guī)律性。

為了澄清學(xué)生認(rèn)識上的錯誤，我們在拋擲硬幣前增加了分析的環(huán)節(jié)，先讓學(xué)生思考為什么拋擲均勻硬幣結(jié)果各占一半，是不是拋兩次必然一正一反，如果不是，那各占一半說明的到底是什么?再如。家庭中生男孩女孩的機(jī)會各占多大，是不是家庭中的兩個孩子必然是一男一女?天氣預(yù)報下雨的機(jī)會是90％，第二天我們是否應(yīng)該帶傘?這些簡單而實(shí)際的問題有助于學(xué)生形成正確的概率思想，理解頻率與概率之間不確定性與確定性的辯證關(guān)系。

問題二：在學(xué)生具體操作拋擲硬幣試驗中，學(xué)生對試驗個體和試驗次數(shù)產(chǎn)生懷疑。我們是這樣設(shè)置試驗的：全班共50人，每名學(xué)生準(zhǔn)備lO枚相同的一元硬幣，同時拋擲一次，記下全班的結(jié)果，相當(dāng)于將一枚硬幣拋擲500次，然后統(tǒng)計正面向上的個數(shù)，這樣重復(fù)拋擲10次，得到10組數(shù)據(jù)，觀察數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律。但在具體試驗中。學(xué)生有這樣困惑。教材拋擲硬幣試驗是拋擲一枚多次。還是拋擲多枚一次。他們之間有什么區(qū)別；拋擲多少次所反映的結(jié)果才算準(zhǔn)確，我們的試驗結(jié)果是否可靠?為什么教材給出的結(jié)果中拋擲24000次所得的0.5005要比拋擲72088次所得的0.5011更接近0.57這些問題產(chǎn)生是因為模型轉(zhuǎn)化的過程中，學(xué)生不明白什么樣的問題可以歸結(jié)為同一模型，什么樣的問題可以互相轉(zhuǎn)化，從古典概率模型上來分析，由于硬幣之間的無差別，這就決定了可以將500枚硬幣拋擲1次與l枚硬幣拋擲500次轉(zhuǎn)化為同樣的背景、同一模型。這種模型處理的方式在概率試驗中，可以使試驗變得簡潔和易于操作，并且在處理具體問題中應(yīng)用也很廣泛。如，一個袋子黑球自球數(shù)目等同且無差別，從中摸取一個，可以轉(zhuǎn)化為硬幣試驗，正面向上相當(dāng)于摸到黑球，反面向上相當(dāng)于摸到白球。再如射擊中，擊中目標(biāo)與未能擊中目標(biāo)是等可能的。這也可以看作是拋擲硬幣，正面向上相當(dāng)于擊中，反面向上相當(dāng)于未能擊中。學(xué)生的另一個問題是對多數(shù)定律和中心極限定理的原理不清楚。我們所研究的現(xiàn)象，當(dāng)其大量重復(fù)之后才會有規(guī)律性。而其中的大量指的是無限次或接近無限次，重復(fù)大次數(shù)比重復(fù)小次數(shù)獲得的規(guī)律更可靠。教材中24000次試驗與72088次試驗同屬于大量重復(fù)試驗，沒有大的差別，都很好地反映了頻率在0.5附近波動的事實(shí)。同時在試驗中引導(dǎo)學(xué)生將自己的試驗結(jié)果與教材所給的蒲豐、皮爾遜、維尼的試驗結(jié)果對比，更進(jìn)一步地說明了重復(fù)次數(shù)多時規(guī)律的可靠性。

概率論是數(shù)學(xué)的一個非常有特色的分支，它的產(chǎn)生和發(fā)展過程都有著耐人尋味、引人入勝的情節(jié)。這就為激發(fā)學(xué)生認(rèn)知動因提供了良好環(huán)境和條件。因此教師只有把握好概率統(tǒng)計的教學(xué)策略才能為概率論這顆明珠再添光彩。

第二篇：概率統(tǒng)計復(fù)習(xí)資料

廣東海洋大學(xué)寸金學(xué)院 2012—2013 學(xué)年第 二 學(xué)期

概率統(tǒng)計復(fù)習(xí)資料：

第一章：事件的關(guān)系與運(yùn)算，概率的性質(zhì)，古典概型，條件概率的概念與性質(zhì)，乘法公式，事件的獨(dú)立性。

例題：1.1、1.3、1.4；習(xí)題一：4、6、13、23、30、33等。

第二章：離散型隨機(jī)變量的分布律，兩點(diǎn)分布，二項分布，泊松分布，分布函數(shù)的定義與性質(zhì)，密度函數(shù)，均勻分布，指數(shù)分布，正態(tài)分布。

例題：2.10、2.13；習(xí)題二：4、15、21、22等。

第三章：離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律、邊緣分布律、條件分布與獨(dú)立性，連續(xù)

型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)。

例題：3.1、3.6、3.9；習(xí)題三：13等。

第四章：期望、方差的性質(zhì)與計算，協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)。

例題：4.12、2.13；習(xí)題四：1、5、7等。

相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X與Y具有的性質(zhì)，例如：D?X?Y??D?X??D?Y?

E?X?Y??E?X??E?Y?，E?XY??E?X?E?Y?

第五章：切比雪夫不等式。

設(shè)隨機(jī)變量X的均值EX??、方差DX??2，由切比雪夫不等式知P(X???3?)?

第六章：總體、樣本、簡單隨機(jī)抽樣的概念，常用的統(tǒng)計量，單正態(tài)總體的抽樣分布。

第七章：矩估計、極大使然估計的計算，無偏性、區(qū)間估計的定義。例題：7.1、7.2；習(xí)題七：

2、3等。

第八章：單正態(tài)總體期望的假設(shè)檢驗

例題：8.2、8.3；習(xí)題八：2等。

試題類型：

一、單項選擇題： 每小題2分，共20分；

二、填空題：每小題3分，共15分；

三、計算題：5個小題，共57分 ；

四、證明題共8分。

第三篇：統(tǒng)計與概率總結(jié)

“統(tǒng)計與概率”課題實(shí)施總結(jié)

一年多來，我校課題組全體成員解放思想，勇于創(chuàng)新，以推進(jìn)素質(zhì)教育為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)真學(xué)習(xí)相關(guān)理論，圍繞《統(tǒng)計與概率》課堂教學(xué)改革和課題的實(shí)驗工作，認(rèn)真分析課堂案例，調(diào)查研究，收集材料，努力探究《統(tǒng)計與概率》課堂教學(xué)的有效模式，對照課題實(shí)驗方案，順利地完成了各項教育教學(xué)任務(wù)和課題研究的階段工作。下面就這近一年來的課題研究工作總結(jié)如下。

一、做好課題研究的準(zhǔn)備工作。

1、在課題實(shí)施之前，我們積極主動的收集和學(xué)習(xí)相關(guān)知識和理論，我們深入課堂，了解、分析我校《統(tǒng)計與概率的教學(xué)現(xiàn)狀，找出教學(xué)中存在的各種問題，確定本課題的研究內(nèi)容。

（1）關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計與概率部分教學(xué)現(xiàn)狀、存在問題的調(diào)查研究；

（2）對于人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材關(guān)于統(tǒng)計與概率部分內(nèi)容的分布、與原有教材對比變化、教學(xué)難點(diǎn)及其編寫特點(diǎn)的分析研究；

（3）在統(tǒng)計知識教學(xué)中，強(qiáng)化學(xué)生數(shù)據(jù)的收集、記錄和整理能力的培養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生關(guān)于數(shù)據(jù)的分析、處理并由此作出解釋、推斷與決策的能力，對數(shù)據(jù)和統(tǒng)計信息有良好的判斷能力的教學(xué)策略改進(jìn)，加強(qiáng)目標(biāo)設(shè)定與目標(biāo)達(dá)成的實(shí)驗研究；

（4）培養(yǎng)小學(xué)生用數(shù)據(jù)表示可能性的大小并對事件作出合理推斷和預(yù)測的能力的教法研究；（5）在統(tǒng)計和概率部分教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，促進(jìn)教學(xué)有效性的研究；

（6）進(jìn)行統(tǒng)計與概率部分的課堂教學(xué)有效模式的研究。

2、落實(shí)好課題組人員，成員如下：

組 長：陳 麗

副 組 長：陳萬江 吳學(xué)峰

核 心 成 員：馬玉鳳 王立波 李天鳳 陳維 李玉靜 孫曉慧 薛麗華

二、加強(qiáng)對課題組的管理，進(jìn)一步發(fā)揮課題的作用。

1、嚴(yán)格按計劃實(shí)施研究，積極開展課題研究活動。

課題立項之后，我們集中大家認(rèn)真學(xué)習(xí)了《統(tǒng)計與概率》課題研究方案，制定了課題的研究計劃，對組內(nèi)教師合理分工，在管理上做到定計劃、定時間、定地點(diǎn)、定內(nèi)容，讓實(shí)驗老師們深刻理解了《人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材“統(tǒng)計與概率”課堂教學(xué)有效性研究》課題中研究項目的主要內(nèi)容和意義，進(jìn)一步增強(qiáng)科研能力，樹立科研信心每次的校本教研既有骨干教師的教學(xué)論壇，也有年青教師的課堂展示，有理論學(xué)習(xí)，也有實(shí)際的課堂點(diǎn)評。

2、優(yōu)化聽課制度，促進(jìn)課題實(shí)驗

學(xué)校教導(dǎo)處規(guī)定，每周的周三各備課組進(jìn)行集體備課，下一周的周一課題組成員走進(jìn)課堂聽課，一方面是為課題組成員搭建相互交流的平臺，另一方面也是驗證前一周集體備課設(shè)計方案的可行性，這樣有利于及時、靈活地掌握課題實(shí)施情況和課堂教學(xué)情況，有效地促進(jìn)教師上課改課、上優(yōu)質(zhì)課，從而真正地把課題理念落實(shí)到每一節(jié)課堂教學(xué)之中；同時，課題組還要求聽課者帶著一定的目的從多個角度進(jìn)行聽課，并對收集到的事實(shí)材料進(jìn)行多角度詮釋、解讀和分析，有針對性地提出討論的問題和改進(jìn)的建議。聽課制度的優(yōu)化，有效地避免形式主義的聽課、評課活動，對促進(jìn)課題研究和實(shí)驗起到了很大的作用。

三、課題研究的實(shí)施過程

課題申報后，課題組成員就著手調(diào)查我校《統(tǒng)計與概率》的教學(xué)現(xiàn)狀以及存在的問題。

1、人教版小學(xué)數(shù)學(xué)各冊教材使用中，關(guān)于統(tǒng)計與可能性部分教學(xué)問題及其改進(jìn)策略的調(diào)查研究。

教學(xué)現(xiàn)狀：課堂教學(xué)多數(shù)“照本宣科”，教學(xué)目標(biāo)定位不準(zhǔn)，教師和學(xué)生都不很重視這一領(lǐng)域的教和學(xué)。原因有如下幾點(diǎn)：一是教師專業(yè)知識不能適應(yīng)新課程的教學(xué)需要；二是《統(tǒng)計與概率》這一領(lǐng)域里的可學(xué)習(xí)和參考的案例較少，教師看得不多，所以課堂改革的水平提高不快；三是在小學(xué)階段，關(guān)于《統(tǒng)計與概率》的考試內(nèi)容相對較少，且難度不大，所以教師和學(xué)生重視不夠。

存在問題：統(tǒng)計教學(xué)中，教師只按教材幫助學(xué)生收集、整理數(shù)據(jù)，而忽視了對數(shù)據(jù)的分析和運(yùn)用；概率教學(xué)中比較突出的問題是重結(jié)果、輕過程，沒有把學(xué)生隨機(jī)意識的培養(yǎng)放在重要的位置。比如，有一個老師在執(zhí)教二年級《可能性》一課時，沒有充分地讓學(xué)生感受確定現(xiàn)象和不確定現(xiàn)象，而是把訓(xùn)練的重點(diǎn)放在讓學(xué)生用“一定”“可能”和“不可能”的說話訓(xùn)練上，把數(shù)學(xué)課當(dāng)作了語文課來上。再如，有一個老師在執(zhí)教《用分?jǐn)?shù)表示可能性的大小》時，始終把重點(diǎn)放在學(xué)生的計算訓(xùn)練上，而忽視了學(xué)生對事件發(fā)生的可能性從感性描述到定量刻畫的過程訓(xùn)練上。

改進(jìn)策略：（1）加強(qiáng)教師的專業(yè)知識的學(xué)習(xí)和培訓(xùn)。要求課題組的成員認(rèn)真學(xué)習(xí)新課標(biāo)并深刻領(lǐng)會其主要精神，同時督促教師學(xué)習(xí)《統(tǒng)計與概率》的相關(guān)理論，聘請教學(xué)骨干做專題講座，提高教師的理論素養(yǎng)；（2）定期召開研討會，選擇有典型的課例進(jìn)行會課或教學(xué)比賽，有的是采取同課異構(gòu)的形式進(jìn)行多層次的研究；（3）圍繞某一難點(diǎn)進(jìn)行針對性討論，反復(fù)研究，取得了較為顯著的成效。如，在教學(xué)《等可能性》時，多數(shù)教師都遇到了一個較為棘手的問題：當(dāng)袋子里放有相同數(shù)量的黃球和白球，啟發(fā)學(xué)生猜想：從中任意摸40次，摸到黃球和白球的可能性怎樣？學(xué)生很容易猜想并認(rèn)可結(jié)果：摸到黃球和白球的可能性相等。可是，學(xué)生實(shí)驗后，立刻質(zhì)疑并迅速推翻自己的猜想。此時教師無所適從，只好自圓其說：同學(xué)們，當(dāng)實(shí)驗的次數(shù)越多，摸到黃球的次數(shù)和摸到白球的次數(shù)就越接近。針對上述存在的問題，我們開展了一次又一次的研究，最終按照“現(xiàn)實(shí)情境—猜想—實(shí)驗—驗證猜想—分析原因”的步驟，緊緊抓住“任意”關(guān)鍵詞，培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)意識，讓學(xué)生真切地感到：袋子里放有相同數(shù)量的黃球和白球，任意去摸若干次，摸到黃球的可能性和白球的可能性相等，但結(jié)果是隨機(jī)的，即摸到黃球的次數(shù)和白球的次數(shù)不一定相等。

2、創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境對于小學(xué)統(tǒng)計與概率教學(xué)效果的作用與影響的研究。

良好的教學(xué)情境，能使學(xué)生積極主動地、充滿自信的參與到學(xué)習(xí)之中，使學(xué)生的認(rèn)知活動與情感活動有機(jī)地結(jié)合，從而促進(jìn)學(xué)生非智力因素的發(fā)展和健康人格的形成。比如我們在研究一年級下冊第98頁的《統(tǒng)計》這一內(nèi)容時，就歷經(jīng)了“沒有教學(xué)情境—一創(chuàng)設(shè)有教學(xué)情境——創(chuàng)設(shè)有效的教學(xué)情境”的過程，研究中我們發(fā)現(xiàn)教學(xué)效果差異較大。

??反復(fù)的實(shí)踐和研究使我們深深地體會到：教學(xué)情境對教學(xué)效果的影響較大。只有創(chuàng)設(shè)有效的教學(xué)情境，創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生生活實(shí)際的教學(xué)情境，才能把學(xué)生真正地帶入到具體的情境中去，使學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生一種親近感，使學(xué)生感到數(shù)學(xué)是活生生的，感受到數(shù)學(xué)源于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)。

3、“統(tǒng)計與概率”有效教學(xué)模式研究

課題研究之前，多數(shù)教師反映《統(tǒng)計與概率》的教學(xué)有著一定的困難，教學(xué)時也只是“照本宣科”，根本談不上有效和優(yōu)化。為此，我們通過典型引路，反復(fù)研究，不斷實(shí)踐，在數(shù)次的實(shí)踐中摸索了“統(tǒng)計與概率”的教學(xué)模式：創(chuàng)設(shè)情境――猜想探究――驗證概括――實(shí)踐運(yùn)用。

“創(chuàng)設(shè)情境”旨在把學(xué)生帶入到具體的生活情境中，一方面是為了幫助學(xué)生借助已有的生活經(jīng)驗自主探究新知，另一方面也可以讓學(xué)生初步感悟統(tǒng)計與概率在生活中的作用，從而調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；“猜想探究” 就是先鼓勵學(xué)生大膽猜想結(jié)果，然后引領(lǐng)學(xué)生探究新知，這樣可以充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，把學(xué)習(xí)的主動權(quán)交個學(xué)生，讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人，在具體的學(xué)習(xí)過程中鍛煉學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，同時也能讓學(xué)生體驗自主探究新知的快樂；“驗證概括”就是運(yùn)用多種手段幫助學(xué)生驗證自己的猜想，從而使學(xué)生獲得成就感，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心，同時把剛剛獲得的新知高度、凝練地概括出一般的規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)“實(shí)踐運(yùn)用”就是將所學(xué)的知識運(yùn)用于實(shí)際，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)源于生活、服務(wù)生活的思想。

通過改革實(shí)驗，我們高興地發(fā)現(xiàn)課堂成效發(fā)生了較為顯著的變化。課堂的教學(xué)結(jié)構(gòu)完整了，教學(xué)板塊清晰了教學(xué)目標(biāo)定位準(zhǔn)確而又全面，教師經(jīng)過了迷茫無奈－有條有理－精心設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)的過程。學(xué)生從被動學(xué)習(xí)－主動探究，學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，使課堂氣氛活躍了許多，也大大提高了課堂教學(xué)效率。

四、課題研究的成效

1、對課題研究的意義的理解和認(rèn)識。

21世紀(jì)的數(shù)學(xué)課程改革，把《統(tǒng)計與概率》作為一個單獨(dú)的領(lǐng)域，進(jìn)入小學(xué)數(shù)學(xué)課程，這是一個重大的舉措具有里程碑的意義。因為在信息社會，收集、整理、描述、展示和解釋數(shù)據(jù)，根據(jù)情報作出決定和預(yù)測，已成為公民日益重要的技能。加強(qiáng)《統(tǒng)計與概率》課題的研究，可以強(qiáng)化學(xué)生數(shù)據(jù)的收集、記錄和整理能力的培養(yǎng)，提高學(xué)生分析、處理數(shù)據(jù)并由此作出解釋、推斷與決策的能力。

2、重視學(xué)生學(xué)習(xí)過程的研究，把學(xué)習(xí)的主動權(quán)還給了學(xué)生

新課標(biāo)明確指出：學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者。所以我們在數(shù)學(xué)課題的研究中，非常關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)過程的研究，注重在具體的情境中對隨機(jī)現(xiàn)象的體驗，而不是單純地只獲取結(jié)論結(jié)合學(xué)生生活的實(shí)際，精心創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，使學(xué)生主動地投入到學(xué)習(xí)的狀態(tài)，提出關(guān)鍵的問題；搜集、整理數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)，作出推測，并用一種別人信服的方式交流信息。不僅讓學(xué)生親身經(jīng)歷統(tǒng)計與實(shí)驗的過程，而且還讓學(xué)生在實(shí)踐中自我感悟信息的價值。根據(jù)獲取的信息作出合理的推斷，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

3、營造教研氛圍，提高研究實(shí)效

我們以課題研究為契機(jī)，開展形式多樣的教研活動，旨在增強(qiáng)教師的教科研意識，營造良好的教研氛圍，豐富教師的科研素養(yǎng)，提高課堂教學(xué)效率。一年來，我們召開了《統(tǒng)計與概率》的專題研討會，舉行了課題研討會課比賽，開展了教師百花獎比賽、課堂教學(xué)擂臺賽等全校性教學(xué)教研活動，收到了較好的效果，得到了老師們的認(rèn)可，兄弟學(xué)校的積極參與，社會的肯定。每次活動，我們堅持“實(shí)踐、思考、再實(shí)踐、再思考”的基本方法，確立一個研究主題，本著“學(xué)有所獲，研有所果”的原則，發(fā)動每個教師全程參與，45周歲以下的教師必須參與課堂展示或設(shè)計，年老的教師參與課堂點(diǎn)評，實(shí)實(shí)在在的教研活動，不僅調(diào)動了校內(nèi)教師的教研熱情，也吸引了區(qū)內(nèi)兄弟學(xué)校老師的加盟，他們積極參與了我們的課題研究。

五、今后的思考

雖然在課題的前期研究過程中，我們?nèi)〉昧顺醪降某尚В覀兩钪覀兊恼n題研究工作還有許多不盡如人意的地方。為了進(jìn)一步做好下一階段課題的研究工作，我們想從以下幾個方面力求突破：

1、細(xì)化分工，明確職責(zé)。根據(jù)課題的研究內(nèi)容和前期的研究進(jìn)展，我們決定對后期的研究工作作一些適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，更加細(xì)化分工，各負(fù)其責(zé)，確保課題的研究工作順利進(jìn)行。通過課堂教學(xué)研究，提高學(xué)生收集、整理數(shù)據(jù)的能力，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生推斷與決策的能力，體會數(shù)學(xué)的價值。以課堂教學(xué)為主陣地，重點(diǎn)研究概率教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)意識，提高學(xué)生分析問題和預(yù)測未來的能力。

2、加強(qiáng)理論學(xué)習(xí)，提高研究水平。前期的研究工作我們主要把精力放在課堂教學(xué)研究上，了解《統(tǒng)計與概率》的教學(xué)現(xiàn)狀、教學(xué)困惑，尋找課堂教學(xué)的有效模式，應(yīng)該說在實(shí)際層面探討的比較多。接下來的課題研究工作我們 將在關(guān)注課堂教學(xué)的同時，重視理論學(xué)習(xí)，把目光聚焦在理論層面的研究上，遵循理論結(jié)合實(shí)際的原則，用理論豐富研究成果。

3、全面總結(jié)經(jīng)驗，推廣研究成果。2010年下半年我們打算召開一次“課題經(jīng)驗總結(jié)暨成果展示會”，旨在進(jìn)一步加強(qiáng)和深入課題的研究工作，提升我們課題的研究水平，同時通過總結(jié)、展示，來推廣我們的研究成果，改進(jìn)和優(yōu)化今后的課堂教學(xué)。

第四篇：概率統(tǒng)計教學(xué)評估匯報

凝聚實(shí)干，齊創(chuàng)輝煌

——2008-2009學(xué)概率統(tǒng)計教學(xué)評估匯報材料

這一年，是奮斗的一年，也是收獲頗豐的一年。因為我們始終相信：付出與收獲是成正比的。在莊老師的悉心指導(dǎo)下，我們耕耘了，所以我們收獲了。靜下心，細(xì)梳理。我們本學(xué)期的概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程確實(shí)收獲頗豐。

一、課程注重理論學(xué)習(xí)，灌輸概率思維。

觀念是行動的指南。老師講課思路清晰，引領(lǐng)到位，不流于形式，注重實(shí)效。深入了解學(xué)生思想，與學(xué)生們一同交流、研討，了解學(xué)生需要，教學(xué)工作目標(biāo)明確，針對性強(qiáng)，效果好。特別是突出“實(shí)”、“新”、“活”的特點(diǎn)。“實(shí)”是說講課實(shí)實(shí)在在，不走過場；“新”是說努力為學(xué)生們提供先進(jìn)的課程信息，引領(lǐng)教學(xué)；“活”是說不拘泥形式，學(xué)生們?nèi)笔裁矗P(guān)心什么，講什么。老師授課無論從內(nèi)容的選擇上，還是方法的運(yùn)用上，都具體實(shí)用。

二、學(xué)習(xí)注重過程，講求實(shí)效。

教學(xué)，主要是過程性管理。任何一次講課，都要考慮它的實(shí)效性，對不同層次的學(xué)生采取不同的授課方式及要求。不管是哪種類型的學(xué)生，老師都能堅持聽完學(xué)生想法，接納改進(jìn)意見和建議，給學(xué)生自行改正的時間，隨后再次上課時重點(diǎn)檢查、指導(dǎo)。這樣的教學(xué)方式特別有利于學(xué)生成長。莊老師上完課后，都會進(jìn)行課程延伸和答疑。答疑問題包括針對學(xué)生作業(yè)暴露出的問題，以及學(xué)生自己的想法見解。這種集講課、互動、答疑為一體的講課方式，使得概率課程的學(xué)習(xí)不是浮于表面，而是深度的教學(xué)研究。因此，特別有利于學(xué)生的專業(yè)發(fā)展，也特別有利于學(xué)生個人成長。

課程進(jìn)度，從章節(jié)難點(diǎn)要點(diǎn)的確定，到具體問題解決，一步一個腳印，踏踏實(shí)實(shí)；時間分配恰到好處，讓學(xué)生即積極學(xué)習(xí)知識，又不至于壓力力過大，在輕松和快樂中學(xué)習(xí)知識。課程順利完結(jié)，而且獲得的評價也特別高。因此，我們是在過程中耕耘，在過程中問鼎收獲。

三、老師搭建平臺，盡展學(xué)生風(fēng)采。

可以說，每個人都具有強(qiáng)烈的自我發(fā)展與提高的欲望和自我超越的能力。每一位學(xué)生都希望自己在學(xué)習(xí)過程中成為一個優(yōu)秀者、成功者。莊老師緊緊抓住這一心理，為滿足學(xué)生自我超越的需要，為他們展示才華搭建平臺，爭取給每一個學(xué)生展示的機(jī)會。從課堂到課外，從講課到作業(yè)，莊老師都很認(rèn)真的對待同學(xué)們的成果，鼓勵大家各抒己見，一旦有好的想法構(gòu)思，都會予以鼓勵、正確引導(dǎo)，所以課堂氣氛很是活躍。

總之，在教學(xué)活動中，莊老師抓住教學(xué)本質(zhì)，突出一個“研”字；抓住計劃措施落實(shí)，突出一個“實(shí)”字；抓培養(yǎng)全班同學(xué)，不落一個，突出一個“優(yōu)”字，在三“字”上下功夫，實(shí)現(xiàn)了我班概率統(tǒng)計課程教學(xué)的成功。

在概率統(tǒng)計課程的學(xué)習(xí)過程中我們也有深刻的認(rèn)識。“人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)，人人都能獲得必要的數(shù)學(xué)，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”，這是新世紀(jì)數(shù)學(xué)課程的基本理念。貫徹課改的新理念，結(jié)合莊老師帶來的學(xué)習(xí)實(shí)踐,我深深感到：善于培養(yǎng)大家的內(nèi)在動機(jī)，使學(xué)生喜愛學(xué)習(xí)，師生互動，才是教學(xué)成功的法寶。尤其是概率統(tǒng)計的學(xué)習(xí)，學(xué)生對跟教學(xué)相關(guān)的生活實(shí)例表現(xiàn)出濃厚的興趣，真正體驗到了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣和價值。概率統(tǒng)計教學(xué)中，應(yīng)著重注意以下三點(diǎn)：

一、教師應(yīng)通過日常生活中的大量實(shí)例，使學(xué)生更好地理解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性及頻率的相對穩(wěn)定性，幫助學(xué)生澄清在日常生活中對身邊所發(fā)生的一些問題存在的錯誤認(rèn)識。比如我們經(jīng)常會遇到以下問題：

天氣預(yù)報這樣表達(dá)：“明日有雨的概率為60％”，這個60％意味什么？應(yīng)鼓勵學(xué)生發(fā)表自己的看法。對這句話有很多錯誤的理解，比如“明天有 的時間下雨”“明天有 的地區(qū)下雨”等等。最后教師歸納概括：考察歷史上的天氣記錄，如果和明天在氣壓、云層、溫度等天氣條件方面大致相同的天數(shù)是100天，其中有60天降雨了；不能從概率的統(tǒng)計定義解釋即用頻率近似作為概率，因這一事件不能進(jìn)行大量重復(fù)實(shí)驗。

如何理解“雖然預(yù)報今天濟(jì)南的降水概率是70％，北京的降水概率是90％，但是濟(jì)南今天降雨了，北京沒降雨”這一現(xiàn)象？從概率的角度解釋，“今天降雨”是一個隨機(jī)事件，今天濟(jì)南的降水概率是70％，北京的降水概率是90％，只是說明今天北京降雨的可能性比濟(jì)南大，并不表示今天北京一定下雨。如果濟(jì)南今天降雨了而北京沒降雨，即可能性較小的事件發(fā)生了而可能性較大的事件卻沒有發(fā)生，正是隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性的體現(xiàn)。

二、教師應(yīng)讓學(xué)生通過實(shí)例理解古典概型的特征：每一個實(shí)驗結(jié)果出現(xiàn)的等可能性，讓學(xué)生初步學(xué)會把一些實(shí)際問題轉(zhuǎn)化古典概型，從而通過正確合理的推斷來認(rèn)識日常生活中遇到的事情。譬如抽簽的公平性問題。

人們常用抽簽的方法決定一件事情，先抽還是后抽（后抽人不知道先抽人抽出的結(jié)果），對各人來說是公平的嗎？例如在10張彩票中，有2張獎票，先有甲后有乙各抽一張，看誰能中獎。教師事先準(zhǔn)備好口袋和球，讓學(xué)生分組進(jìn)行摸球來模擬試驗，匯總?cè)嗟臄?shù)據(jù)后，得出直觀上的認(rèn)識。

三、教師在統(tǒng)計教學(xué)中應(yīng)通過對一些典型案例的處理，使學(xué)生經(jīng)歷較系統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理全過程，在此過程中學(xué)習(xí)一些數(shù)據(jù)處理的方法幷運(yùn)用所學(xué)知識和方法去解決實(shí)際問題。本章中有幾處學(xué)生感到疑惑的地方，可通過鼓勵學(xué)生查閱相關(guān)內(nèi)容的現(xiàn)實(shí)例子，課上交流討論，寓解疑于趣味之中。

在學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計課程中，莊老師是這樣教我們的，我們確實(shí)從中受益匪淺。在感激莊老師的精心教導(dǎo)之余更愿意更多的人找到學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計的方法，并享受到其中的樂趣。所以謹(jǐn)以此文獻(xiàn)給我們敬愛的莊老師，及襄院的廣大師生。

第五篇：概率統(tǒng)計教案2

第三章 多維隨機(jī)變量及其分布

一、教材說明

本章內(nèi)容包括：多維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布和邊際分布、多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布、多維隨機(jī)變量的特征數(shù)，隨機(jī)變量的獨(dú)立性概念，條件分布與條件期望。本章仿照一維隨機(jī)變量的研究思路和方法。

1、教學(xué)目的與教學(xué)要求 本章的教學(xué)目的是：

（1）使學(xué)生掌握多維隨機(jī)變量的概念及其聯(lián)合分布，理解并掌握邊際分布和隨機(jī)變量 的獨(dú)立性概念；

（2）使學(xué)生掌握多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，理解并掌握多維隨機(jī)變量的特征數(shù)；（3）使學(xué)生理解和掌握條件分布與條件期望。本章的教學(xué)要求是：（1）深刻理解多維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布的概念，會熟練地求多維離散隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列和多維連續(xù)隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)，并熟練掌握幾種常見的多維分布；

（2）深刻理解并掌握邊際分布的概念，能熟練求解邊際分布列和邊際密度函數(shù)；理解隨機(jī)變量的獨(dú)立性定義，掌握隨機(jī)變量的獨(dú)立性的判定方法；（3）熟練掌握多維隨機(jī)變量的幾種函數(shù)的分布的求法，會用變量變換法求解、證明題目；（4）理解并掌握多維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差的概念及性質(zhì)，掌握隨機(jī)變量不相關(guān)與獨(dú)立性的關(guān)系；（5）深刻理解條件分布與條件期望，能熟練求解條件分布與條件期望并會用條件分布與條件期望的性質(zhì)求解、證明題目。

2、本章的重點(diǎn)與難點(diǎn)

本章的重點(diǎn)是多維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布和邊際分布、多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布及條件分布、多維隨機(jī)變量的特征數(shù)，難點(diǎn)是多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布及條件分布的求法。

二、教學(xué)內(nèi)容

本章共分多維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布、邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性、多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布、多維隨機(jī)變量的特征數(shù)、條件分布與條件期望等5節(jié)來講述本章的基本內(nèi)容。

3.1 多維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布

一、多維隨機(jī)變量

定義3.1.1 如果X1(?),X2(?),???,Xn(?)是定義在同一個樣本空間??{?}上的n個隨機(jī)變量，則稱X(?)?(X1(?),...,Xn(?))為n維隨機(jī)變量或隨機(jī)向量。

二、聯(lián)合分布函數(shù)

1、定義3.1.2 對任意n個實(shí)數(shù)x1,x2,???,xn，則n個事件{X1?x1},{X2?x2},???,{Xn?xn}同時發(fā)生的概率 F(x1,x2,???,xn)?P{X1?x1,X2?x2,???,Xn?xn}

稱為n維隨機(jī)變量(X1,X2,???,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)。

n!n2p1n1p2???prnr，n1!n2!???nr!這個聯(lián)合分布列稱為r項分布，又稱為多項分布，記為M(n,p1,p2,???,pr).例3.1.4 一批產(chǎn)品共有100件，其中一等品60件，二等品30件，三等品10件。從這批產(chǎn)品中有放回地任取3件，以X和Y分別表示取出的3件產(chǎn)品中一等品、二等品的件數(shù)，求二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布列。

分析 略。

解 略。

2、多維超幾何分布

多維超幾何分布的描述：袋中有N只球，其中有Ni只i號球，i?1,2,???,r。記N?N1?N2?????Nr，從中任意取出n只，若記Xi為取出的n只球中i號球的個數(shù)，i?1,2,???,r，則

?N1??N2??Nr??????????nnnP(X1?n1,X2?n2,???Xr?nr)??1??2??r?.?N????n?其中n1?n2?????nr?n。

例3.1.5 將例3.1.4改成不放回抽樣，即從這批產(chǎn)品中不放回地任取3件，以X和Y分別表示取出的3件產(chǎn)品中一等品、二等品的件數(shù)，求二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布列。

解

略。

3、多維均勻分布

設(shè)D為R中的一個有界區(qū)域，其度量為SD，如果多維隨機(jī)變量(X1,X2,???,Xn)的聯(lián)合密度函數(shù)為 n?1?,(x1,x2,???,xn)?D, p(x1,x2,???,xn)??SD?0,其他?則稱(X1,X2,???,Xn)服從D上的多維均勻分布，記為(X1,X2,???,Xn)~U（D).例3.1.6 設(shè)D為平面上以原點(diǎn)為圓心以r為半徑的圓，(X,Y)服從D上的二維均勻分布，其密度函數(shù)為

?1222?2,x?y?r, p(x,y)???r222??0,x?y?r.試求概率P(X?).解 略。

4、二元正態(tài)分布

如果二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為

12??1?2(x??1)2(x??1)(y??2)(y??2)21exp{?[?2??]},???x,y???22(1??2)?12?1?2?21??2r2p(x,y)?2則稱(X,Y)服從二維正態(tài)分布，記為(X,Y)~N(?1,?2,?12,?2,?).其中五個參數(shù)的取值范圍分別是：????1,?2???;?1,?2?0;?1???1.以后將指出：?1,?2分別是X與Y的均值，?12,?22分別是X與Y的方差，?是X與Y的相關(guān)系數(shù)。

2例3.1.7 設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)~N(?1,?2,?12,?2,?).求(X,Y)落在區(qū)域D?{(x,y):(x??1)2?21?2?(x??1)(y??2)?1?2?(y??2)2?22??2}內(nèi)的概率。

解 略。

注 凡是與正態(tài)分布有關(guān)的計算一般需要作變換簡化計算。

3.2 邊際分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性

一、邊際分布函數(shù)

1、二維隨機(jī)變量(X,Y)中

X的邊際分布

FX(x)?P(X?x)?P(X?Y的邊際分布

FY(y)?F(??,y)x,Y???)?limF(x,y?)y???F(x,? ?

2、在三維隨機(jī)變量(X,Y,Z)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y,z)中，用類似的方法可得到更多的邊際分布函數(shù)。

例3.2.1設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為

?1?e?x?e?y?e?x?y??xy,x?0,y?0, F(x,y)??0,其他?這個分布被稱為二維指數(shù)分布，求其邊際分布。

解 略。

注 X與Y的邊際分布都是一維指數(shù)分布，且與參數(shù)??0無關(guān)。不同的??0對應(yīng)不

p(x1,x2,???,xn)??pi(xi)

i?1n則稱X1,X2,???,Xn相互獨(dú)立。

例3.2.7設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為

?8xy,0?x?y?1, p(x,y)??0,其他.?問X與Y是否相互獨(dú)立？

分析 為判斷X與Y是否相互獨(dú)立，只需看邊際密度函數(shù)之積是否等于聯(lián)合密度函數(shù)。解 略。

3.3 多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布

一、多維離散隨機(jī)變量函數(shù)的分布

以二維為例討論，設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的取值為(xi,yj),Z?f(X,Y), 隨機(jī)變量

Z的取值為zk.令Ck?{(xi,yj):f(xi,yj)?zk}，則

P(Z?zk)?P(f(xi,yj)?zk)?P((xi,yj)?Ck)?(xi,yj)?Ck?pij.例3.3.2（泊松分布的可加性）設(shè)X~P(?1),Y~P(?2), 且X與Y相互獨(dú)立。證明

Z?X?Y~P(?1??2).證明：略。

注 證明過程用到離散場合下的卷積公式，這里卷積指“尋求兩個獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布運(yùn)算”，對有限個獨(dú)立泊松變量有

P(?1)?P(?2)?????P(?n)?P(?1??2??????n).例3.3.3（二項分布的可加性）設(shè)X~b(n,p),Y~b(m,p),且X與Y相互獨(dú)立。證明Z?X?Y~b(m?n,p).證明 略。

注（1）該性質(zhì)可以推廣到有限個場合

b(n1,p)?b(n2,p)?????b(nk,p)?b(n1?n2?????nk,p)

（2）特別當(dāng)n1?n2?????nk?1時，b(1,p)?b(1,p)?????b(1,p)?b(n,p)這表明，服從二項分布b(n,p)的隨機(jī)變量可以分解成n個相互獨(dú)立的0-1分布的隨機(jī)

變量之和。

二、最大值與最小值的分布

例3.3.4（最大值分布）設(shè)X1,X2,???,Xn是相互獨(dú)立的n個隨機(jī)變量，若

Y?max(X1,X2,???Xn).設(shè)在以下情況下求Y的分布：

（1）Xi~Fi(x),i?1,2,???,n;

（2）Xi同分布，即Xi~F(x),i?1,2,???,n;

（3）Xi為連續(xù)隨機(jī)變量，且Xi同分布，即Xi的密度函數(shù)為p(x),i?1,2,???,n;

（4）Xi~Exp(?),i?1,2,???,n.解 略。

注 這道題的解法體現(xiàn)了求最大值分布的一般思路。

例3.3.5（最小值分布）設(shè)X1,X2,???,Xn是相互獨(dú)立的n個隨機(jī)變量；若Y?min(X1,X2,???Xn)，試在以下情況下求Y的分布：

（1）Xi~Fi(x),i?1,2,???,n;

（2）Xi同分布，即Xi~F(x),i?1,2,???,n;

（3）Xi為連續(xù)隨機(jī)變量，且Xi同分布，即Xi的密度函數(shù)為p(x),i?1,2,???,n;

（4）Xi~Exp(?),i?1,2,???,n.解 略。

注 這道例題的解法體現(xiàn)了求最小值分布的一般思路。

三、連續(xù)場合的卷積公式

定理3.3.1設(shè)X與Y是兩個相互獨(dú)立的連續(xù)隨機(jī)變量，其密度函數(shù)分別為pX(x)、pY(y)，則其和Z?X?Y的密度函數(shù)為

pZ(z)??????pX(z?y)pY(y)dy.證明 略。

本定理的結(jié)果就是連續(xù)場合下的卷積公式。

例3.3.6（正態(tài)分布的可加性）設(shè)X~N(?1,?1),Y~N(?2,?2),且X與Y相互獨(dú)立。證明Z?X?Y~N(?1??2,?1??2).證明 略

2222

注 任意n個相互獨(dú)立的正態(tài)變量的非零線性組合仍是正態(tài)變量。

四、變量變換法

1、變量變換法

設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為p(x,y)，函數(shù)??u?g1(x,y),有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且存在唯一

v?g(x,y).?2?x?x(u,v),的反函數(shù)?，其變換的雅可比行列式

y?y(u,v)??x?(x,y)?uJ???(u,v)?x?v若??y?u?y?v??1???(u,v)?????????(x,y)????u?x?v?x?u?y?v?y????0.????1?U?g1(X,Y)則(U,V)的聯(lián)合密度函數(shù)為

?V?g2(X,Y),p(u,v)?p(x(u,v),y(u,v))J.這個方法實(shí)際上就是二重積分的變量變換法，其證明可參閱數(shù)學(xué)分析教科書。例3.3.9設(shè)X與Y獨(dú)立同分布，都服從正態(tài)分布N(?,?2)，記?試求(U,V)的聯(lián)合密度函數(shù)。U與V是否相互獨(dú)立？

解 略。

2、增補(bǔ)變量法

增補(bǔ)變量法實(shí)質(zhì)上是變換法的一種應(yīng)用：為了求出二維連續(xù)隨機(jī)變量(X,Y)的函數(shù)

?U?X?Y，?V?X?Y.U?g(X,Y)的密度函數(shù)，增補(bǔ)一個新的隨機(jī)變量V?h(X,Y)，一般令V?X或V?Y。先用變換法求出(U,V)的聯(lián)合密度函數(shù)p(u,v)，再對p(u,v)關(guān)于v積分，從而得出關(guān)于U的邊際密度函數(shù)。

例3.3.10（積的公式）設(shè)X與Y相互獨(dú)立，其密度函數(shù)分別為 pX(x)和pY(y).則U?XY的密度函數(shù)為pU(u)??證 略。

????pX(uv)pY(v)1dv.v例3.3.11（商的公式）設(shè)X與Y相互獨(dú)立，其密度函數(shù)分別為pX(x)和pY(y)，則U?XY的密度函數(shù)為pU(u)??

????pX(uv)pY(v)vdv.10111213

例3.5.5設(shè)(X,Y)服從G?{(x,y):x2?y2?1}上的均勻分布，試求給定Y?y條件下X的條件密度函數(shù)p(x|y)。

解 略。

3、連續(xù)場合的全概率公式和貝葉斯公式 全概率公式的密度函數(shù)形式

pY(y)??????pX(x)p(y|x)dx,pX(x)??????pY(y)p(x|y)dy.pY(y)p(x|y)貝葉斯公式的密度函數(shù)形式

p(x|y)?pX(x)p(y|x)?????pX(x)p(y|x)dx,p(y|x)??????pY(y)p(x|y)dy.注 由邊際分布和條件分布就可以得到聯(lián)合分布。

二、條件數(shù)學(xué)期望

1、定義3.5.4 條件分布的數(shù)學(xué)期望（若存在）稱為條件數(shù)學(xué)期望，其定義如下：

??xiP(X?xi|Y?y),(X,Y)為二維離散隨機(jī)變量；?E(X|Y?y)??i??

?(X,Y)為二維連續(xù)隨機(jī)變量。???xp(x|y)dx，???yjP(Y?yj|X?x),(X,Y)為二維離散隨機(jī)變量；?jE(Y|X?x)??

???(X,Y)為二維連續(xù)隨機(jī)變量。???yp(y|x)dy，?注(1)條件數(shù)學(xué)期望具有數(shù)學(xué)期望的一切性質(zhì)。

(2)條件數(shù)學(xué)期望E(X|Y)可以看成是隨機(jī)變量Y的函數(shù)，其本身也是一個隨機(jī)變量。

2、定理3.5.1（重期望公式）設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，且E(X)存在，則

E(X)?E(E(X|Y))。

證明 略。

注 重期望公式的具體使用如下

（1）如果Y是一個離散隨機(jī)變量，E(X)?（2）如果Y是一個連續(xù)隨機(jī)變量，E(X)??E(X|y?y)P(Y?y);

jjj?????E(X|Y?y)pY(y)dy.例3.5.10（隨機(jī)個隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望）設(shè)X1,X2,???,Xn是一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，隨機(jī)變量N只取正整數(shù)值，且與{Xn}獨(dú)立。證明

E(?Xi)?E(X1)E(N).i?1N

第四章 大數(shù)定律與中心極限定理

一、教材說明

本章內(nèi)容包括特征函數(shù)及其性質(zhì)，常用的幾個大數(shù)定律，隨機(jī)變量序列的兩種收斂性的定義及其有關(guān)性質(zhì)，中心極限定理。大數(shù)定律涉及的是一種依概率收斂，中心極限定理涉及按分布收斂。這些極限定理不僅是概率論研究的中心議題，而且在數(shù)理統(tǒng)計中有廣泛的應(yīng)用。

1、教學(xué)目的與教學(xué)要求 本章的教學(xué)目的是：

（1）使學(xué)生掌握特征函數(shù)的定義和常用分布的特征函數(shù)；

（2）使學(xué)生深刻理解和掌握大數(shù)定律及與之相關(guān)的兩種收斂性概念，會熟練運(yùn)用幾個大數(shù)定律證明題目；

（3）使學(xué)生理解并熟練掌握獨(dú)立同分布下的中心極限定理。本章的教學(xué)要求是：

（1）理解并會求常用分布的特征函數(shù)；

（2）深刻理解并掌握大數(shù)定律，能熟練應(yīng)用大數(shù)定律證明題目；

（3）理解并掌握依概率收斂和按分布收斂的定義，并會用其性質(zhì)證明相應(yīng)的題目；（4）深刻理解與掌握中心極限定理，并要對之熟練應(yīng)用。

2、重點(diǎn)與難點(diǎn)

本章的重點(diǎn)是大數(shù)定律與中心極限定理，難點(diǎn)是用特征函數(shù)的性質(zhì)證明題目，大數(shù)定律和中心極限定理的應(yīng)用。

二、教學(xué)內(nèi)容

本章共分特征函數(shù)、大數(shù)定律、隨機(jī)變量序列的兩種收斂性，中心極限定理等4節(jié)來講述本章的基本內(nèi)容。

4.1特征函數(shù)

一、特征函數(shù)的定義

1.定義4.1.1 設(shè)X是一個隨機(jī)變量，稱?(t)=E(e)，-∞ < t < + ∞，為X的特征函數(shù)。

itXitX注 因為e?1，所以E(e)總是存在的，即任一隨機(jī)變量的特征函數(shù)總是存在的。

itX

2.特征函數(shù)的求法

（1）當(dāng)離散隨機(jī)變量X的分布列為Pk= P（X= xk)，k = 1，2，…，則X的特征函數(shù)為

φ(t)=?ek?1??itxkPk，-∞ < t < + ∞。

（2）當(dāng)連續(xù)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為p(x)，則X的特征函數(shù)為

φ(t)=?????eitxP(x)dx，-∞ < t < + ∞。

例4.1.1 常用分布的特征函數(shù)

(1)單點(diǎn)分布：P(X= a)= 1，其特征函數(shù)為φ(t)= eita。(2)0 –1分布：P(X= x)=px(1

證明 略。

定理4.1.1（一致連續(xù)性）隨機(jī)變量X的特征函數(shù)φ(t)在(-∞，+ ∞)上一致連續(xù)。定理4.1.2（非負(fù)定性）隨機(jī)變量X的特征函數(shù)φ(t)是非負(fù)定的。定理4.1.4（唯一性定理）隨機(jī)變量的分布函數(shù)由其特征函數(shù)唯一決定。例4.1.3 試?yán)锰卣骱瘮?shù)的方法求伽瑪分布Ga(α，λ)的數(shù)學(xué)期望和方差。解 因為Ga(α，λ)的特征函數(shù)φ(t)= φ(t)= ‘

‘?i?i?i(1?)???1；φ(0)= ???(1?it??)?，?’‘’1)i2it；φ(t)= ?(??(1?)???2；φ(0)= 2?(??1)?2??，所以由性質(zhì)4.1.5得

E(X)??'(0)i???;Var(X)???''(0)?(?'(0))2?2.??4.2大數(shù)定律

一、何謂大數(shù)定律（大數(shù)定律的一般提法）

定義4.2.1設(shè){Xn}為隨機(jī)變量序列，若對任意的??0,有

?1n?1nlimP??Xi??E(Xi)????1.(4.2.5)n???ni?1?ni?1?則稱{Xn}服從大數(shù)定律。

二、切比雪夫大數(shù)定律

定理4.2.2（切比雪夫大數(shù)定律）設(shè){Xn}為一列兩兩不相關(guān)的隨機(jī)變量序列，若每個Xi的方差存在，且有共同的上界，即Var(Xi)?c,i?1,2,???,則{Xn}服從大數(shù)定律，即對任意的??0，式(4.2.5)成立。

利用切比雪夫不等式就可證明。此處略。

推論（定理4.2.1：伯努利大數(shù)定律）設(shè)?n為n重伯努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，P為每次試驗中A出現(xiàn)的概率，則對任意的??0，有

???limP?n?p????1.n????n?分析 ?n服從二項分布，因此可以把?n表示成n個相互獨(dú)立同分布、都服從0–1分布的隨機(jī)變量的和。

三、馬爾可夫大數(shù)定律

定理4.2.3（馬爾可夫大數(shù)定律）對隨機(jī)變量序列{Xn}，若馬爾可夫條件n1Var(?Xi)?0成立，則{Xn}服從大數(shù)定律，即對任意的??0，式(4.2.5)成立。n2i?1證明 利用切比雪夫不等式就可證得。

例4.2.3 設(shè){Xn}為一同分布、方差存在的隨機(jī)變量序列，且Xn僅與Xn?1和Xn?1相關(guān)，而與其他的Xi不相關(guān)，試問該隨機(jī)變量序列{Xn}是否服從大數(shù)定律？

解 可證對{Xn}，馬爾可夫條件成立，故由馬爾可夫大數(shù)定律可得{Xn}服從大數(shù)定律。

四、辛欽大數(shù)定律

定理4.2.4（辛欽大數(shù)定律）設(shè){Xn}為一獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，若Xn的數(shù)學(xué)期望存在，則{Xn}服從大數(shù)定律，即對任意的??0，式(4.2.5)成立。

4.3隨機(jī)變量序列的兩種收斂性

一、依概率收斂

1.定義4.3.1（依概率收斂）設(shè){Xn}為一隨機(jī)變量序列，Y為一隨機(jī)變量。如果對于任意的??0，有

n???limP?Yn?Y????1.P則稱{Xn}依概率收斂于Y，記做Yn???Y。

1n1nP注 隨機(jī)變量序列{Xn}服從大數(shù)定律??Xi??E(Xi)???0。

ni?1ni?12.依概率收斂的四則運(yùn)算

定理4.3.1 設(shè){Xn}，{Yn}是兩個隨機(jī)變量序列，a，b是兩個常數(shù)。如果

PP{Xn}???a，{Yn}???b，則有(1)Xn?Yn???a?b;(3)Xn?Yn???a?b(b?0).?a?b;(2)Xn?Yn??

二、按分布收斂、弱收斂 PPP

1.定義4.3.2 設(shè){Fn(x)}是隨機(jī)變量序列{Xn}的分布函數(shù)列，F(xiàn)(x)為X的分布函數(shù)。若對F(x)的任一連續(xù)點(diǎn)x，都有l(wèi)imFn(X)=F(x)，則稱{Fn(x)}弱收斂于F(x)，記做

n????Fn(X)???F(x)。也稱{Xn}按分布收斂于X，記做Xn???lX。

2.依概率收斂與按分布收斂間的關(guān)系

P(1)定理4.3.2 Xn???X?Xn?l??X。

P(2)定理4.3.3 若c為常數(shù)，則Xn???c?Xn?l??c

兩個定理的證明均略。

三、判斷弱收斂的方法

定理4.3.4 分布函數(shù)序列{Fn(x)}弱收斂于分布函數(shù)F(X)的充要條件是{Fn(x)}的特征函數(shù)序列{φn(t)}收斂于F(x)的特征函數(shù)φ(t)。

這個定理的證明只涉及數(shù)學(xué)分析的一些結(jié)果，參閱教材后文獻(xiàn)[1]。例4.3.3 若X?~P(?)，證明

1?X???limP???x??????2????解 用定理4.3.4。此處略。

?x??edt.?t224.4中心極限定理

一、中心極限定理概述

研究獨(dú)立隨機(jī)變量和的極限分布為正態(tài)分布的命題。

二、獨(dú)立同分布下的中心極限定理

定理4.4.1（林德貝格-勒維中心極限定理）設(shè){Xn}是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E(Xi)??,Var(Xi)???0.記

2Yn*?則對任意實(shí)數(shù)y，有

X1?X2?????Xn?n??n.1*? limP?Y?y??(y)??n?n???2?

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