2019-2020學(xué)年市中學(xué)（4+n）高中聯(lián)合體高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1．設(shè)，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】集合是一次不等式的解集，分別求出再求交集即可

【詳解】，則

故選

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。

2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，若角α終邊過點(diǎn)P（2，-1），則sin（π-α）的值為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】由已知利用任意角的三角函數(shù)的定義求得sinα,再由誘導(dǎo)公式即可得答案

【詳解】

解：∵角α終邊過點(diǎn),∴,∴

∴,故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查已知終邊上一點(diǎn)求三角函數(shù)值,考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題

3．在中，，則為（）

A．直角三角形

B．銳角三角形

C．鈍角三角形

D．等腰三角形

【答案】C

【解析】根據(jù)大邊對(duì)大角可知最大內(nèi)角為；利用余弦定理可求得，可知為鈍角，從而得到結(jié)果.【詳解】

最大內(nèi)角為

且

為鈍角三角形

本題正確選項(xiàng)：

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形形狀的判斷，關(guān)鍵是能夠通過求解最大角的余弦值確定最大角所處的范圍.4．張丘建算經(jīng)卷上有“女子織布”問題：某女子善于織布，一天比一天織得快，而且每天增加的數(shù)量相同已知第一天織布6尺，30天共織布540尺，則該女子織布每天增加

A．尺

B．尺

C．尺

D．尺

【答案】C

【解析】利用數(shù)學(xué)文化知識(shí)，首先判定數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)一步利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的前n項(xiàng)和公式求出結(jié)果．

【詳解】

由于某女子善于織布，一天比一天織得快，而且每天增加的數(shù)量相同．

所以織布的數(shù)據(jù)構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，第一天織的數(shù)據(jù)為，第30天織的數(shù)據(jù)為，則：，解得：，則：，解得：，故選：C．

【點(diǎn)睛】

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)學(xué)文化知識(shí)的應(yīng)用，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型．

5．正方體ABCD—A1B1C1D1中，異面直線BD1與AC所成的角等于()

A．60°

B．45°

C．30°

D．90°

【答案】D

【解析】通過證明平面，可證得直線與直線垂直，即所成的角為.【詳解】

畫出圖像如下圖所示，連接，由于幾何體為正方體，故，所以平面，所以,即所成的角為.所以選D.【點(diǎn)睛】

本小題主要考查空間兩條直線的位置關(guān)系，考查正方體的幾何性質(zhì)，還考查了線面垂直的判定定理，屬于基礎(chǔ)題.6．某單位為了落實(shí)“綠水青山就是金山銀山”理念，制定節(jié)能減排的目標(biāo)，先調(diào)查了用電量（單位：度）與氣溫（單位：℃）之間的關(guān)系，隨機(jī)選取了4天的用電量與當(dāng)天氣溫，由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程：，則由此估計(jì)：當(dāng)氣溫為2℃時(shí)，用電量約為（）

（單位：℃）

（單位：度）

A．56度

B．62度

C．64度

D．68度

【答案】A

【解析】由已知可得，再根據(jù)線性回歸方程：過點(diǎn)（10,40），代入運(yùn)算得，再運(yùn)算即可得解.【詳解】

由已知有，則線性回歸方程：過點(diǎn)（10,40），代入運(yùn)算得，即線性回歸方程為：，當(dāng)時(shí)，故選A.【點(diǎn)睛】

本題考查了線性回歸方程，重點(diǎn)考查了樣本中心點(diǎn)在回歸方程上，屬基礎(chǔ)題.7．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，分別根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】運(yùn)用正弦定理公式，可以求出另一邊的對(duì)角正弦值，最后還要根據(jù)三角形的特點(diǎn)：“大角對(duì)大邊”進(jìn)行合理排除.【詳解】

A.,由所以不存在這樣的三角形.B.,由且所以只有一個(gè)角B

C.中，同理也只有一個(gè)三角形.D.中此時(shí)，所以出現(xiàn)兩個(gè)角符合題意，即存在兩個(gè)三角形.所以選擇D

【點(diǎn)睛】

在直接用正弦定理求另外一角中，求出后，記得一定要去判斷是否會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)角.8．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為

A．

B．

C．2

D．

【答案】A

【解析】

由給定的三視圖可知，該幾何體表示一個(gè)底面為一個(gè)直角三角形，且兩直角邊分別為和，所以底面面積為

高為的三棱錐，所以三棱錐的體積為，故選A．

9．函數(shù)在的圖像大致為

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】由分子、分母的奇偶性，易于確定函數(shù)為奇函數(shù)，由的近似值即可得出結(jié)果．

【詳解】

設(shè)，則，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，排除選項(xiàng)C．又排除選項(xiàng)D；，排除選項(xiàng)A，故選B．

【點(diǎn)睛】

本題通過判斷函數(shù)的奇偶性，縮小考察范圍，通過計(jì)算特殊函數(shù)值，最后做出選擇．本題較易，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查．

10．等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，a4+a6=-6．則當(dāng)Sn取最小值時(shí)，n=（）

A．6

B．7

C．8

D．9

【答案】A

【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn),得到的值,然后根據(jù)a1的值,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出公差d的值,根據(jù)a1和d的值寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)而寫出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn,配方后即可得到Sn取最小值時(shí)n的值

【詳解】

由,解得,又,∴,解得d=2,則,∴,∴當(dāng)n=6時(shí)，Sn取最小值．

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查等差中項(xiàng)的應(yīng)用,考查等差數(shù)列前項(xiàng)和的最小值,考查等差數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)

11．設(shè)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且在單調(diào)遞減，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】由已知函數(shù)為偶函數(shù)，把，轉(zhuǎn)化為同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，再比較大小．

【詳解】

是R的偶函數(shù)，．，又在(0，+∞)單調(diào)遞減，∴，故選C．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，解題關(guān)鍵在于利用中間量大小比較同一區(qū)間的取值．

12．?dāng)?shù)列{an}滿足，則a1a2a3…a10=（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】由題,當(dāng)時(shí),得到,與題目中式子相減,即可得到,進(jìn)而求解

【詳解】

解：n=1時(shí),a1=,∵,∴時(shí)，兩式相減可得2n-1an=,∴,n=1時(shí)，也滿足

∴,故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列遞推式,考查數(shù)列的通項(xiàng),解題的關(guān)鍵是確定數(shù)列的通項(xiàng),進(jìn)而求解

二、填空題

13．若向量，且，則_____

【答案】6

【解析】本題首先可通過題意得出向量以及向量的坐標(biāo)表示和向量與向量之間的關(guān)系，然后通過向量平行的相關(guān)性質(zhì)即可得出結(jié)果。

【詳解】

因?yàn)椋遥裕獾谩?/p>

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的相關(guān)性質(zhì)，主要考查向量平行的相關(guān)性質(zhì)，若向量，，則有，鍛煉了學(xué)生對(duì)于向量公式的使用，是簡(jiǎn)單題。

14．已知，則________．

【答案】

【解析】【詳解】

由于，所以，,故答案為.【考點(diǎn)】二倍角的正弦公式

15．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+1，那么它的通項(xiàng)公式為an=______．

【答案】

【解析】當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2；當(dāng)時(shí)，檢驗(yàn)后可得通項(xiàng)公式

【詳解】

解：當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=12+1=2；

當(dāng)時(shí)，檢驗(yàn),當(dāng)時(shí)，∴不符合∴，故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查由與的關(guān)系求通項(xiàng)公式,解此類問題時(shí)需注意檢驗(yàn)

16．如圖，為測(cè)量坡高M(jìn)N，選擇A和另一個(gè)山坡的坡頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)．從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角∠MAN=60°，C點(diǎn)的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；從C點(diǎn)測(cè)得∠MCA=60°．已知坡高BC=50米，則坡高M(jìn)N=______米．

【答案】75

【解析】由題意,可先求出AC的值,從而由正弦定理可求AM的值,在△MNA中,AM=50m,∠MAN=60°,從而可求得MN的值

【詳解】

解：在△ABC中,∠CAB=45°,BC=50m,所以AC=50m,在△AMC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,從而∠AMC=45°,由正弦定理得，即,因此AM=50m

在△MNA中,AM=50m,∠MAN=60°,由,得MN=50×=75m

故答案為：75

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦定理的應(yīng)用,考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用,考查運(yùn)算能力

三、解答題

17．5G網(wǎng)絡(luò)是第五代移動(dòng)通信網(wǎng)絡(luò)，其峰值理論傳輸速度可達(dá)每8秒1GB，比4G網(wǎng)絡(luò)的傳輸速度快數(shù)百倍．舉例來說，一部1G的電影可在8秒之內(nèi)下載完成．隨著5G技術(shù)的誕生，用智能終端分享3D電影、游戲以及超高畫質(zhì)（UHD）節(jié)目的時(shí)代正向我們走來．某手機(jī)網(wǎng)絡(luò)研發(fā)公司成立一個(gè)專業(yè)技術(shù)研發(fā)團(tuán)隊(duì)解決各種技術(shù)問題，其中有數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)，物理專業(yè)畢業(yè)，其它專業(yè)畢業(yè)的各類研發(fā)人員共計(jì)1200人．現(xiàn)在公司為提高研發(fā)水平，采用分層抽樣抽取400人按分?jǐn)?shù)對(duì)工作成績(jī)進(jìn)行考核，并整理得如上頻率分布直方圖（每組的頻率視為概率）．

（1）從總體的1200名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于50的概率；

（2）研發(fā)公司決定對(duì)達(dá)到某分?jǐn)?shù)以上的研發(fā)人員進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，要求獎(jiǎng)勵(lì)研發(fā)人員的人數(shù)達(dá)到30%，請(qǐng)你估計(jì)這個(gè)分?jǐn)?shù)的值；

（3）已知樣本中有三分之二的數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員分?jǐn)?shù)不低于70分，樣本中不低于70分的數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員人數(shù)與物理及其它專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員的人數(shù)和相等，估計(jì)總體中數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員的人數(shù)．

【答案】（1）0.1；（2）77.5；（3）540人.【解析】（1）由題意可知,樣本中隨機(jī)抽取一人,分?jǐn)?shù)小于50的概率是0.1,由此能估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)小于50的概率；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖,第六組的頻率為0.4,第七組頻率為0.2,由此能求出這個(gè)分?jǐn)?shù)；

（3）樣本中不低于70分的研發(fā)人員人數(shù)為240人,從而樣本中不低于70分的數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員為120人,樣本中有三分之二的數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員分?jǐn)?shù)不低于70分,從而樣本中的是數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員的人數(shù)為180人,由此能估計(jì)總體中數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員的人數(shù)

【詳解】

解：（1）由題意可知,樣本中隨機(jī)抽取一人,分?jǐn)?shù)小于50的概率是,所以估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)小于50的概率0.1

（2）根據(jù)頻率分布直方圖，第六組的頻率為0.04×10=0.4,第七組頻率為0.02×10=0.2,此分?jǐn)?shù)為

（3）因?yàn)闃颖局胁坏陀?0分的研發(fā)人員人數(shù)為400×（0.4+0.2）=240人,所以樣本中不低于70分的數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員為120人,又因?yàn)闃颖局杏腥种臄?shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員分?jǐn)?shù)不低于70分,所以樣本中的是數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員的人數(shù)120÷=180人,故估計(jì)總體中數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員的人數(shù)為：1200×=540人

【點(diǎn)睛】

本題考查概率、頻數(shù)的求法,考查頻率分布直方圖的性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題．

18．設(shè)等差數(shù)列{an}中，a2=-8，a6=0．

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）若等比數(shù)列{bn}滿足b1=-8，b2=a1+a2+a3，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．

【答案】（1）an=2n-12，n∈N；（2），n∈N.【解析】（1）等差數(shù)列{an}的公差設(shè)為d,運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,可列方程為,解方程可得首項(xiàng)和公差,進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；

（2）等比數(shù)列{bn}的公比設(shè)為q,由（1）可得,可得公比q,再由等比數(shù)列的求和公式求解即可

【詳解】

解：（1）等差數(shù)列{an}的公差設(shè)為d，a6=0,可得,解得,則,n∈N

（2）等比數(shù)列{bn}的公比設(shè)為q，由（1）可得，則q==3,所以前n項(xiàng)和Sn=,n∈N

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式,考查方程思想和運(yùn)算能力

19．在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足

.（1）求角的大小；

（2）若的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】(1)

.(2).【解析】試題分析：

(1)由題意結(jié)合正弦定理邊化角，整理可得：，則.(2)由題意結(jié)合面積公式可得，則的周長(zhǎng)為.試題解析：

（1）因?yàn)椋裕烧叶ɡ砜傻?即，又角為的內(nèi)角，所以，所以，又，所以.（2）由，得，又，所以，所以的周長(zhǎng)為.20．如圖所示，四棱錐P－ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F(xiàn)分別為線段AD，PC的中點(diǎn).(1)求證：AP∥平面BEF；

(2)求證：BE⊥平面PAC.【答案】

(1)

證明見解析

(2)

證明見解析

【解析】（1）連接CE，OF，易知四邊形ABCE是菱形，可得O是AC的中點(diǎn)，利用中位線的概念，可得PA∥OF，從而可證AP∥平面BEF；

（2）通過證明AP⊥BE、BE⊥AC，可證明BE⊥平面PAC

【詳解】

證明：(1)如圖所示，設(shè)AC∩BE＝O，連接OF，EC.由于E為AD的中點(diǎn)，AB＝BC＝AD，AD∥BC，所以AE∥BC，且AE＝AB＝BC，因此，四邊形ABCE為菱形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn).又F為PC的中點(diǎn)，所以在△PAC中，可得AP∥OF.又OF平面BEF，AP平面BEF，所以AP∥平面BEF.(2)由題意，知ED∥BC，ED＝BC，所以四邊形BCDE為平行四邊形，所以BE∥CD.又AP⊥平面PCD，所以AP⊥CD，所以AP⊥BE.因?yàn)樗倪呅蜛BCE為菱形，所以BE⊥AC.又AP∩AC＝A，AP，AC平面PAC，所以BE⊥平面PAC

【點(diǎn)睛】

本題考查了線面平行、垂直的判定，考查了線面垂直的性質(zhì)，在證明線面垂直問題時(shí)，注意線線垂直與線面垂直的互化.21．如圖，CM，CN為某公園景觀湖胖的兩條木棧道，∠MCN=120°，現(xiàn)擬在兩條木棧道的A，B處設(shè)置觀景臺(tái)，記BC=a，AC=b，AB=c（單位：百米）

（1）若a，b，c成等差數(shù)列，且公差為4，求b的值；

（2）已知AB=12，記∠ABC=θ，試用θ表示觀景路線A-C-B的長(zhǎng)，并求觀景路線A-C-B長(zhǎng)的最大值．

【答案】（1）10；（2）8.【解析】（1）利用a、b、c成等差數(shù)列,且公差為4,可得,利用余弦定理即可求b的值；

（2）利用正弦定理,求出AC、BC,可得到觀景路線A-C-B為是關(guān)于的函數(shù),求出最大值即可

【詳解】

解：（1）∵a、b、c成等差數(shù)列,且公差為4,∴,∵∠MCN=120°，∴,即°,∴b=10

（2）由題意,在中，則,∴，∴觀景路線A-C-B的長(zhǎng),且,∴θ=30°時(shí),觀景路線A-C-B長(zhǎng)的最大值為8

【點(diǎn)睛】

本題考查利用余弦定理求三角形的邊,考查正弦定理的應(yīng)用,考查三角函數(shù)的最值問題,考查運(yùn)算能力

22．已知點(diǎn)及圓.（1）若直線過點(diǎn)且被圓截得的線段長(zhǎng)為，求的方程；

（2）求過點(diǎn)的圓的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(1)

或；(2).【解析】試題分析：（1）直線與圓相交時(shí)，利用圓的半徑，弦長(zhǎng)的一半，圓心到直線的距離構(gòu)成直角三角形的三邊勾股定理求解；（2）求弦的中點(diǎn)的軌跡方程，首先設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)D（x，y），利用弦的中點(diǎn)與圓心的連線垂直于仙所在的直線得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

試題解析：（1）解法一：如圖所示，AB＝4，D是AB的中點(diǎn)，CD⊥AB，AD＝2，AC＝4，在Rt△ACD中，可得CD＝2．

設(shè)所求直線的斜率為k，則直線的方程為y－5＝kx，即kx－y＋5＝0．

由點(diǎn)C到直線AB的距離公式：

＝2，得k＝．

k＝時(shí)，直線l的方程為3x－4y＋20＝0．

又直線l的斜率不存在時(shí)，也滿足題意，此時(shí)方程為x＝0．

∴所求直線的方程為3x－4y＋20＝0或x＝0．

（2）設(shè)過P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)為D（x，y），則CD⊥PD，即

（x＋2，y－6）（x，y－5）＝0，化簡(jiǎn)得所求軌跡方程為x2＋y2＋2x－11y＋30＝0．

【考點(diǎn)】1．軌跡方程；2．直線與圓相交的相關(guān)問題