七年級數學上冊數軸上的動點問題培優專題練習
含答案解析
一、相關知識準備
1.數軸上表示4和1的兩點之間的距離是_____________。
2.若數軸上點A表示的數為,點B表示的數為，則A與B兩點之間的距離用式子可以表示為_____________，若在數軸上點A在點B的右邊，則式子可以化簡為_____________。
3.A點在數軸上以2個單位長度/秒的速度向右運動，若運動時間為，則A點運動的路程可以用式子表示為______________。
4.若數軸上點A表示的數為,A點在數軸上以2個單位長度/秒的速度向右運動，若運動時間為，則A點運動秒后到達的位置所表示的數可以用式子表示為______________。
答案：1、3；
2、，x+1；
3、2t；
4、二、例題精講
1、如圖所示，在數軸上原點O表示數0，A點在原點的左側，所表示的數是a，B點在原點的右側，所表示的數是b，并且a、b滿足
（1）
點A表示的數為
_________，點B表示的數為________。
（2）
若點P從點A出發沿數軸向右運動，速度為每秒3個單位長度，點Q從點B出發沿數軸向左運動，速度為每秒1個單位長度，P、Q兩點同時運動，并且在點C處相遇，試求點C所表示的數。
（3）
在（2）的條件下，若點P運動到達B點后按原路原速立即返回，點Q繼續按原速原方向運動，從P、Q在點C處相遇開始，再經過多少秒，P、Q兩點的距離為4個單位長度？
解：（1）點A表示的數為
____，點B表示的數為___8____
(2)
設P、Q同時運動t秒在點C處相遇
3t+t=24
解得t=6
此時點C所表示的數是
答：點C所表示的數是2.（2）
再經過a秒，P、Q兩點的距離為4個單位長度
分類討論：①
從點C處相遇后反向而行，點P到達B點前相距4個單位長度
3a+a=4
解得a=1
②
點P到達B點后返回，此時相當于點Q在P點前4個單位長度
解得a=4
③
點P到達B點后返回，從后追上Q點后又相距4個單位長度，此時相當于點P在點Q前4個單位長度
解得a=8
答：再經過1秒或4秒或8秒，P、Q兩點的距離為4個單位長度。
2、數軸上有A、B?兩點表示—10，30，有兩只螞蟻P、Q同時分別從A、B?兩點相向出發，速度分別是2單位單位長度/秒、3個單位長度/秒，當它們相距10個單位長度時，則螞蟻P在數軸上表示的數是（）
解：經過t秒，P、Q相距10個單位長度，則P點運動路程為2t,運動后P點表示數為—10+2t，Q點運動路程為3t
分類討論：①
還未相遇前相距10個單位長度
2t+3t=40-10
解得t=6
此時P點表示數為—10+2×6=2
②
相遇后又相距10個單位長度
2t+3t=40+10
解得t=10
此時P點表示數為—10+2×10=10
綜上所述，螞蟻P在數軸上表示的數是2或10
挑戰題：
1．已知數軸上有A、B、C三點，分別代表—24，—10，10，兩只電子螞蟻甲、乙分別從A、C兩點同時相向而行，甲的速度為4個單位/秒。
⑴問多少秒后，甲到A、B、C的距離和為40個單位？
⑵若乙的速度為6個單位/秒，兩只電子螞蟻甲、乙分別從A、C兩點同時相向而行，問甲、乙在數軸上的哪個點相遇？
⑶在⑴⑵的條件下，當甲到A、B、C的距離和為40個單位時，甲調頭返回。問甲、乙還能在數軸上相遇嗎？若能，求出相遇點；若不能，請說明理由。
分析：如圖1，易求得AB=14，BC=20，AC=34
⑴設x秒后，甲到A、B、C的距離和為40個單位。此時甲表示的數為—24+4x。
①甲在AB之間時，甲到A、B的距離和為AB=14
甲到C的距離為10—（—24+4x）=34—4x
依題意，14+（34—4x）=40，解得x=2
②甲在BC之間時，甲到B、C的距離和為BC=20，甲到A的距離為4x
依題意，20+4x）=40，解得x=5
即2秒或5秒，甲到A、B、C的距離和為40個單位。
⑵是一個相向而行的相遇問題。設運動t秒相遇。
依題意有，4t+6t=34，解得t=3.4
相遇點表示的數為—24+4×3.4=—10.4（或：10—6×3.4=—10.4）
⑶甲到A、B、C的距離和為40個單位時，甲調頭返回。而甲到A、B、C的距離和為40個單位時，即的位置有兩種情況，需分類討論。
①甲從A向右運動2秒時返回。設y秒后與乙相遇。此時甲、乙表示在數軸上為同一點，所表示的數相同。甲表示的數為：—24+4×2—4y；乙表示的數為：10—6×2—6y
依題意有，—24+4×2—4y=10—6×2—6y，解得y=7
相遇點表示的數為：—24+4×2—4y=—44（或：10—6×2—6y=—44）
②甲從A向右運動5秒時返回。設y秒后與乙相遇。甲表示的數為：—24+4×5—4y；乙表示的數為：10—6×5—6y
依題意有，—24+4×5—4y=10—6×5—6y，解得y=—8（不合題意，舍去）
即甲從A點向右運動2秒后調頭返回，能在數軸上與乙相遇，相遇點表示的數為—44。
點評：分析數軸上點的運動，要結合數軸上的線段關系進行分析。點運動后所表示的數，以起點所表示的數為基準，向右運動加上運動的距離，即終點所表示的數；向左運動減去運動的距離，即終點所表示的數。
2．如圖，已知A、B分別為數軸上兩點，A點對應的數為—20，B點對應的數為100。
⑴求AB中點M對應的數；
⑵現有一只電子螞蟻P從B點出發，以6個單位/秒的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從A點出發，以4個單位/秒的速度向右運動，設兩只電子螞蟻在數軸上的C點相遇，求C點對應的數；
⑶若當電子螞蟻P從B點出發時，以6個單位/秒的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從A點出發，以4個單位/秒的速度也向左運動，設兩只電子螞蟻在數軸上的D點相遇，求D點對應的數。
分析：⑴設AB中點M對應的數為x，由BM=MA
所以x—（—20）=100—x，解得?x=40???即AB中點M對應的數為40
⑵易知數軸上兩點AB距離，AB=140，設PQ相向而行t秒在C點相遇，依題意有，4t+6t=120，解得t=12
（或由P、Q運動到C所表示的數相同，得—20+4t=100—6t，t=12）
相遇C點表示的數為：—20+4t=28（或100—6t=28）
⑶設運動y秒，P、Q在D點相遇，則此時P表示的數為100—6y，Q表示的數為—20—4y。P、Q為同向而行的追及問題。
依題意有，6y—4y=120，解得y=60
（或由P、Q運動到C所表示的數相同，得—20—4y=100—6y，y=60）
D點表示的數為：—20—4y=—260（或100—6y=—260）
點評：熟悉數軸上兩點間距離以及數軸上動點坐標的表示方法是解決本題的關鍵。⑵是一個相向而行的相遇問題；⑶是一個同向而行的追及問題。在⑵、⑶中求出相遇或追及的時間是基礎。
3．已知數軸上兩點A、B對應的數分別為—1，3，點P為數軸上一動點，其對應的數為x。
⑴若點P到點A、點B的距離相等，求點P對應的數；
⑵數軸上是否存在點P，使點P到點A、點B的距離之和為5？若存在，請求出x的值。若不存在，請說明理由？
⑶當點P以每分鐘一個單位長度的速度從O點向左運動時，點A以每分鐘5個單位長度向左運動，點B一每分鐘20個單位長度向左運動，問它們同時出發，幾分鐘后P點到點A、點B的距離相等？
分析：⑴如圖，若點P到點A、點B的距離相等，P為AB的中點，BP=PA。
依題意，3—x=x—（—1），解得x=1
⑵由AB=4，若存在點P到點A、點B的距離之和為5，P不可能在線段AB上，只能在A點左側，或B點右側。
①P在點A左側，PA=—1—x，PB=3—x
依題意，（—1—x）+（3—x）=5，解得
x=—1.5
②P在點B右側，PA=x—（—1）=x+1，PB=x—3
依題意，（x+1）+（x—3）=5，解得
x=3.5
⑶點P、點A、點B同時向左運動，點B的運動速度最快，點P的運動速度最慢。故P點總位于A點右側，B可能追上并超過A。P到A、B的距離相等，應分兩種情況討論。
設運動t分鐘，此時P對應的數為—t，B對應的數為3—20t，A對應的數為—1—5t。
①B未追上A時，PA=PA，則P為AB中點。B在P的右側，A在P的左側。
PA=—t—（—1—5t）=1+4t，PB=3—20t—（—t）=3—19t
依題意有，1+4t=3—19t，解得?t=
②B追上A時，A、B重合，此時PA=PB。A、B表示同一個數。
依題意有，—1—5t=3—20t，解得
t=
即運動或分鐘時，P到A、B的距離相等。
4．已知：如圖，數軸上點A表示的數為6，點B表示的數為2，點C表示的數為﹣8，動點P從點A出發，沿數軸向左運動，速度為每秒1個單位長度．點M為線段BC中點，點N為線段BP中點．設運動時間為t秒．
（1）線段AC的長為14個單位長度；點M表示的數為﹣3；
（2）當t=5時，求線段MN的長度；
（3）在整個運動過程中，求線段MN的長度．（用含t的式子表示）．
【分析】（1）根據兩點間的距離公式可得AC=6﹣（﹣8），根據中點坐標公式可得M點表示的數為﹣8+[2﹣（﹣8）]；
（2）當t=5時，可得P表示的數，再根據中點坐標公式可得N點表示的數，再根據兩點間的距離公式可得線段MN的長度；
（3）分①當點P在點A、B兩點之間運動時，②當點P運動到點B的左側時，利用中點的定義和線段的和差求出MN的長即可．
【解答】解：（1）線段AC的長為AC=6﹣（﹣8）=14個單位長度；點M表示的數為﹣8+[2﹣（﹣8）]=﹣3；
（2）當t=5時，點P表示的數為6﹣5×1=1，點N表示的數為2﹣[2﹣1]=1.5，線段MN的長度為1.5﹣（﹣3）=4.5；
（3）①當點P在點A、B兩點之間運動時，點P表示的數為6﹣t，點N表示的數為2+[（6﹣t）﹣2]=4﹣t，線段MN的長度為4﹣t﹣（﹣3）=7﹣t；
②當點P運動到點B的左側時，點P表示的數為6﹣t，點N表示的數為2﹣[2﹣（6﹣t）]=4﹣t，線段MN的長度為|4﹣t﹣（﹣3）|=|7﹣t|．
故答案為：14，﹣3．
三．培優練習
1．已知點A在數軸上對應的數為a，點B對應的數為b，且|2b﹣6|+（a+1）2=0，A、B之間的距離記作AB，定義：AB=|a﹣b|．
（1）求線段AB的長．
（2）設點P在數軸上對應的數x，當PA﹣PB=2時，求x的值．
（3）M、N分別是PA、PB的中點，當P移動時，指出當下列結論分別成立時，x的取值范圍，并說明理由：①PM÷PN的值不變，②|PM﹣PN|的值不變．
2．如圖1，已知數軸上兩點A、B對應的數分別為﹣1、3，點P為數軸上的一動點，其對應的數為x．
（1）PA= _________ ；PB= _________（用含x的式子表示）
（2）在數軸上是否存在點P，使PA+PB=5？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．
（3）如圖2，點P以1個單位/s的速度從點D向右運動，同時點A以5個單位/s的速度向左運動，點B以20個單位/s的速度向右運動，在運動過程中，M、N分別是AP、OB的中點，問：的值是否發生變化？請說明理由．
3．如圖1，直線AB上有一點P，點M、N分別為線段PA、PB的中點，AB=14．
（1）若點P在線段AB上，且AP=8，求線段MN的長度；
（2）若點P在直線AB上運動，試說明線段MN的長度與點P在直線AB上的位置無關；
（3）如圖2，若點C為線段AB的中點，點P在線段AB的延長線上，下列結論：①的值不變；②的值不變，請選擇一個正確的結論并求其值．
4．如圖，P是定長線段AB上一點，C、D兩點分別從P、B出發以1cm/s、2cm/s的速度沿直線AB向左運動（C在線段AP上，D在線段BP上）
（1）若C、D運動到任一時刻時，總有PD=2AC，請說明P點在線段AB上的位置：
（2）在（1）的條件下，Q是直線AB上一點，且AQ﹣BQ=PQ，求的值．
（3）在（1）的條件下，若C、D運動5秒后，恰好有，此時C點停止運動，D點繼續運動（D點在線段PB上），M、N分別是CD、PD的中點，下列結論：①PM﹣PN的值不變；②的值不變，可以說明，只有一個結論是正確的，請你找出正確的結論并求值．
5．如圖1，已知數軸上有三點A、B、C，AB=AC，點C對應的數是200．
（1）若BC=300，求點A對應的數；
（2）如圖2，在（1）的條件下，動點P、Q分別從A、C兩點同時出發向左運動，同時動點R從A點出發向右運動，點P、Q、R的速度分別為10單位長度每秒、5單位長度每秒、2單位長度每秒，點M為線段PR的中點，點N為線段RQ的中點，多少秒時恰好滿足MR=4RN（不考慮點R與點Q相遇之后的情形）；
（3）如圖3，在（1）的條件下，若點E、D對應的數分別為﹣800、0，動點P、Q分別從E、D兩點同時出發向左運動，點P、Q的速度分別為10單位長度每秒、5單位長度每秒，點M為線段PQ的中點，點Q在從是點D運動到點A的過程中，QC﹣AM的值是否發生變化？若不變，求其值；若不變，請說明理由．
6．如圖1，已知點A、C、F、E、B為直線l上的點，且AB=12，CE=6，F為AE的中點．
（1）如圖1，若CF=2，則BE= _________，若CF=m，BE與CF的數量關系是
（2）當點E沿直線l向左運動至圖2的位置時，（1）中BE與CF的數量關系是否仍然成立？請說明理由．
（3）如圖3，在（2）的條件下，在線段BE上，是否存在點D，使得BD=7，且DF=3DE？若存在，請求出值；若不存在，請說明理由．
7．已知：如圖1，M是定長線段AB上一定點，C、D兩點分別從M、B出發以1cm/s、3cm/s的速度沿直線BA向左運動，運動方向如箭頭所示（C在線段AM上，D在線段BM上）
（1）若AB=10cm，當點C、D運動了2s，求AC+MD的值．
（2）若點C、D運動時，總有MD=3AC，直接填空：AM= _________ AB．
（3）在（2）的條件下，N是直線AB上一點，且AN﹣BN=MN，求的值．
8．已知數軸上三點M，O，N對應的數分別為﹣3，0，1，點P為數軸上任意一點，其對應的數為x．
（1）如果點P到點M，點N的距離相等，那么x的值是 _________ ；
（2）數軸上是否存在點P，使點P到點M，點N的距離之和是5？若存在，請直接寫出x的值；若不存在，請說明理由．
（3）如果點P以每分鐘3個單位長度的速度從點O向左運動時，點M和點N分別以每分鐘1個單位長度和每分鐘4個單位長度的速度也向左運動，且三點同時出發，那么幾分鐘時點P到點M，點N的距離相等？
9．如圖，已知數軸上點A表示的數為6，B是數軸上一點，且AB=10．動點P從點A出發，以每秒6個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，設運動時間為t（t＞0）秒．
（1）寫出數軸上點B表示的數 _________，點P表示的數 _________ 用含t的代數式表示）；
（2）動點R從點B出發，以每秒4個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，若點P、R同時出發，問點P運動多少秒時追上點R？
（3）若M為AP的中點，N為PB的中點．點P在運動的過程中，線段MN的長度是否發生變化？若變化，請說明理由；若不變，請你畫出圖形，并求出線段MN的長；
10．如圖，已知數軸上點A表示的數為6，B是數軸上一點，且AB=10．動點P從點A出發，以每秒6個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，設運動時間為t（t＞0）秒．
（1）①寫出數軸上點B表示的數 _________，點P表示的數 _________（用含t的代數式表示）；
②M為AP的中點，N為PB的中點．點P在運動的過程中，線段MN的長度是否發生變化？若變化，請說明理由；若不變，請你畫出圖形，并求出線段MN的長；
（2）動點Q從點A出發，以每秒1個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動；動點R從點B出發，以每秒個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，若P、Q、R三動點同時出發，當點P遇到點R時，立即返回向點Q運動，遇到點Q后則停止運動．那么點P從開始運動到停止運動，行駛的路程是多少個單位長度？
參考答案與試題解析
一．解答題（共10小題）
1．已知點A在數軸上對應的數為a，點B對應的數為b，且|2b﹣6|+（a+1）2=0，A、B之間的距離記作AB，定義：AB=|a﹣b|．
（1）求線段AB的長．
（2）設點P在數軸上對應的數x，當PA﹣PB=2時，求x的值．
（3）M、N分別是PA、PB的中點，當P移動時，指出當下列結論分別成立時，x的取值范圍，并說明理由：①PM÷PN的值不變，②|PM﹣PN|的值不變．
考點：
一元一次方程的應用；數軸；兩點間的距離．2097170
分析：
（1）根據非負數的和為0，各項都為0；
（2）應考慮到A、B、P三點之間的位置關系的多種可能解題；
（3）利用中點性質轉化線段之間的倍分關系得出．
解答：
解：（1）∵|2b﹣6|+（a+1）2=0，∴a=﹣1，b=3，∴AB=|a﹣b|=4，即線段AB的長度為4．
（2）當P在點A左側時，|PA|﹣|PB|=﹣（|PB|﹣|PA|）=﹣|AB|=﹣4≠2．
當P在點B右側時，|PA|﹣|PB|=|AB|=4≠2．
∴上述兩種情況的點P不存在．
當P在A、B之間時，﹣1≤x≤3，∵|PA|=|x+1|=x+1，|PB|=|x﹣3|=3﹣x，∴|PA|﹣|PB|=2，∴x+1﹣（3﹣x）=2．
∴解得：x=2；
（3）由已知可得出：PM=PA，PN=PB，當①PM÷PN的值不變時，PM÷PN=PA÷PB．
②|PM﹣PN|的值不變成立．
故當P在線段AB上時，PM+PN=（PA+PB）=AB=2，當P在AB延長線上或BA延長線上時，|PM﹣PN|=|PA﹣PB|=|AB|=2．
點評：
此題主要考查了一元一次方程的應用，滲透了分類討論的思想，體現了思維的嚴密性，在今后解決類似的問題時，要防止漏解．
利用中點性質轉化線段之間的倍分關系是解題的關鍵，在不同的情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解題的簡潔性．同時，靈活運用線段的和、差、倍、分轉化線段之間的數量關系也是十分關鍵的一點．
2．如圖1，已知數軸上兩點A、B對應的數分別為﹣1、3，點P為數軸上的一動點，其對應的數為x．
（1）PA= |x+1| ；PB= |x﹣3|（用含x的式子表示）
（2）在數軸上是否存在點P，使PA+PB=5？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．
（3）如圖2，點P以1個單位/s的速度從點D向右運動，同時點A以5個單位/s的速度向左運動，點B以20個單位/s的速度向右運動，在運動過程中，M、N分別是AP、OB的中點，問：的值是否發生變化？請說明理由．
考點：
一元一次方程的應用；數軸；兩點間的距離．2097170
分析：
（1）根據數軸上兩點之間的距離求法得出PA，PB的長；
（2）分三種情況：①當點P在A、B之間時，②當點P在B點右邊時，③當點P在A點左邊時，分別求出即可；
（3）根據題意用t表示出AB，OP，MN的長，進而求出答案．
解答：
解：（1）∵數軸上兩點A、B對應的數分別為﹣1、3，點P為數軸上的一動點，其對應的數為x，∴PA=|x+1|；PB=|x﹣3|（用含x的式子表示）；
故答案為：|x+1|，|x﹣3|；
（2）分三種情況：
①當點P在A、B之間時，PA+PB=4，故舍去．
②當點P在B點右邊時，PA=x+1，PB=x﹣3，∴（x+1）（x﹣3）=5，∴x=3.5；
③當點P在A點左邊時，PA=﹣x﹣1，PB=3﹣x，∴（﹣x﹣1）+（3﹣x）=5，∴x=﹣1.5；
（3）的值不發生變化．
理由：設運動時間為t分鐘．則OP=t，OA=5t+1，OB=20t+3，AB=OA+OB=25t+4，AP=OA+OP=6t+1，AM=AP=+3t，OM=OA﹣AM=5t+1﹣（+3t）=2t+，ON=OB=10t+，∴MN=OM+ON=12t+2，∴==2，∴在運動過程中，M、N分別是AP、OB的中點，的值不發生變化．
點評：
此題主要考查了一元一次方程的應用，根據題意利用分類討論得出是解題關鍵．
3．如圖1，直線AB上有一點P，點M、N分別為線段PA、PB的中點，AB=14．
（1）若點P在線段AB上，且AP=8，求線段MN的長度；
（2）若點P在直線AB上運動，試說明線段MN的長度與點P在直線AB上的位置無關；
（3）如圖2，若點C為線段AB的中點，點P在線段AB的延長線上，下列結論：①的值不變；②的值不變，請選擇一個正確的結論并求其值．
考點：
兩點間的距離．2097170
分析：
（1）求出MP，NP的長度，即可得出MN的長度；
（2）分三種情況：①點P在AB之間；②點P在AB的延長線上；③點P在BA的延長線上，分別表示出MN的長度即可作出判斷；
（3）設AC=BC=x，PB=y，分別表示出①、②的值，繼而可作出判斷．
解答：
解：（1）∵AP=8，點M是AP中點，∴MP=AP=4，∴BP=AB﹣AP=6，又∵點N是PB中點，∴PN=PB=3，∴MN=MP+PN=7．
（2）①點P在AB之間；②點P在AB的延長線上；③點P在BA的延長線上，均有MN=AB=7．
（3）選擇②．
設AC=BC=x，PB=y，①==（在變化）；
（定值）．
點評：
本題考查了兩點間的距離，解答本題注意分類討論思想的運用，理解線段中點的定義，難度一般．
4．如圖，P是定長線段AB上一點，C、D兩點分別從P、B出發以1cm/s、2cm/s的速度沿直線AB向左運動（C在線段AP上，D在線段BP上）
（1）若C、D運動到任一時刻時，總有PD=2AC，請說明P點在線段AB上的位置：
（2）在（1）的條件下，Q是直線AB上一點，且AQ﹣BQ=PQ，求的值．
（3）在（1）的條件下，若C、D運動5秒后，恰好有，此時C點停止運動，D點繼續運動（D點在線段PB上），M、N分別是CD、PD的中點，下列結論：①PM﹣PN的值不變；②的值不變，可以說明，只有一個結論是正確的，請你找出正確的結論并求值．
考點：
比較線段的長短．2097170
專題：
數形結合．
分析：
（1）根據C、D的運動速度知BD=2PC，再由已知條件PD=2AC求得PB=2AP，所以點P在線段AB上的處；
（2）由題設畫出圖示，根據AQ﹣BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，從而求得PQ與AB的關系；
（3）當點C停止運動時，有，從而求得CM與AB的數量關系；然后求得以AB表示的PM與PN的值，所以．
解答：
解：（1）根據C、D的運動速度知：BD=2PC
∵PD=2AC，∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP，∴點P在線段AB上的處；
（2）如圖：
∵AQ﹣BQ=PQ，∴AQ=PQ+BQ；
又AQ=AP+PQ，∴AP=BQ，∴，∴．
當點Q＇在AB的延長線上時
AQ＇﹣AP=PQ＇
所以AQ＇﹣BQ＇=3PQ=AB
所以=；
（3）②．
理由：如圖，當點C停止運動時，有，∴；
∴，∵，∴，∴；
當點C停止運動，D點繼續運動時，MN的值不變，所以，．
點評：
本題考查了比較線段的長短．利用中點性質轉化線段之間的倍分關系是解題的關鍵，在不同的情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解題的簡潔性．同時，靈活運用線段的和、差、倍、分轉化線段之間的數量關系也是十分關鍵的一點．
5．如圖1，已知數軸上有三點A、B、C，AB=AC，點C對應的數是200．
（1）若BC=300，求點A對應的數；
（2）如圖2，在（1）的條件下，動點P、Q分別從A、C兩點同時出發向左運動，同時動點R從A點出發向右運動，點P、Q、R的速度分別為10單位長度每秒、5單位長度每秒、2單位長度每秒，點M為線段PR的中點，點N為線段RQ的中點，多少秒時恰好滿足MR=4RN（不考慮點R與點Q相遇之后的情形）；
（3）如圖3，在（1）的條件下，若點E、D對應的數分別為﹣800、0，動點P、Q分別從E、D兩點同時出發向左運動，點P、Q的速度分別為10單位長度每秒、5單位長度每秒，點M為線段PQ的中點，點Q在從是點D運動到點A的過程中，QC﹣AM的值是否發生變化？若不變，求其值；若不變，請說明理由．
考點：
一元一次方程的應用；比較線段的長短．2097170
分析：
（1）根據BC=300，AB=AC，得出AC=600，利用點C對應的數是200，即可得出點A對應的數；
（2）假設x秒Q在R右邊時，恰好滿足MR=4RN，得出等式方程求出即可；
（3）假設經過的時間為y，得出PE=10y，QD=5y，進而得出+5y﹣400=y，得出﹣AM=﹣y原題得證．
解答：
解：（1）∵BC=300，AB=，所以AC=600，C點對應200，∴A點對應的數為：200﹣600=﹣400；
（2）設x秒時，Q在R右邊時，恰好滿足MR=4RN，∴MR=（10+2）×，RN=[600﹣（5+2）x]，∴MR=4RN，∴（10+2）×=4×[600﹣（5+2）x]，解得：x=60；
∴60秒時恰好滿足MR=4RN；
（3）設經過的時間為y，則PE=10y，QD=5y，于是PQ點為[0﹣（﹣800）]+10y﹣5y=800+5y，一半則是，所以AM點為：+5y﹣400=y，又QC=200+5y，所以﹣AM=﹣y=300為定值．
點評：
此題考查了一元一次方程的應用，根據已知得出各線段之間的關系等量關系是解題關鍵，此題閱讀量較大應細心分析．
6．如圖1，已知點A、C、F、E、B為直線l上的點，且AB=12，CE=6，F為AE的中點．
（1）如圖1，若CF=2，則BE= 4，若CF=m，BE與CF的數量關系是
（2）當點E沿直線l向左運動至圖2的位置時，（1）中BE與CF的數量關系是否仍然成立？請說明理由．
（3）如圖3，在（2）的條件下，在線段BE上，是否存在點D，使得BD=7，且DF=3DE？若存在，請求出值；若不存在，請說明理由．
考點：
兩點間的距離；一元一次方程的應用．2097170
分析：
（1）先根據EF=CE﹣CF求出EF，再根據中點的定義求出AE，然后根據BE=AB﹣AE代入數據進行計算即可得解；根據BE、CF的長度寫出數量關系即可；
（2）根據中點定義可得AE=2EF，再根據BE=AB﹣AE整理即可得解；
（3）設DE=x，然后表示出DF、EF、CF、BE，然后代入BE=2CF求解得到x的值，再求出DF、CF，計算即可得解．
解答：
解：（1）∵CE=6，CF=2，∴EF=CE﹣CF=6﹣2=4，∵F為AE的中點，∴AE=2EF=2×4=8，∴BE=AB﹣AE=12﹣8=4，若CF=m，則BE=2m，BE=2CF；
（2）（1）中BE=2CF仍然成立．
理由如下：∵F為AE的中點，∴AE=2EF，∴BE=AB﹣AE，=12﹣2EF，=12﹣2（CE﹣CF），=12﹣2（6﹣CF），=2CF；
（3）存在，DF=3．
理由如下：設DE=x，則DF=3x，∴EF=2x，CF=6﹣x，BE=x+7，由（2）知：BE=2CF，∴x+7=2（6﹣x），解得，x=1，∴DF=3，CF=5，∴=6．
點評：
本題考查了兩點間的距離，中點的定義，準確識圖，找出圖中各線段之間的關系并準確判斷出BE的表示是解題的關鍵．
7．已知：如圖1，M是定長線段AB上一定點，C、D兩點分別從M、B出發以1cm/s、3cm/s的速度沿直線BA向左運動，運動方向如箭頭所示（C在線段AM上，D在線段BM上）
（1）若AB=10cm，當點C、D運動了2s，求AC+MD的值．
（2）若點C、D運動時，總有MD=3AC，直接填空：AM= AB．
（3）在（2）的條件下，N是直線AB上一點，且AN﹣BN=MN，求的值．
考點：
比較線段的長短．2097170
專題：
分類討論．
分析：
（1）計算出CM及BD的長，進而可得出答案；
（2）根據圖形即可直接解答；
（3）分兩種情況討論，①當點N在線段AB上時，②當點N在線段AB的延長線上時，然后根據數量關系即可求解．
解答：
解：（1）當點C、D運動了2s時，CM=2cm，BD=6cm
∵AB=10cm，CM=2cm，BD=6cm
∴AC+MD=AB﹣CM﹣BD=10﹣2﹣6=2cm
（2）
（3）當點N在線段AB上時，如圖
∵AN﹣BN=MN，又∵AN﹣AM=MN
∴BN=AM=AB，∴MN=AB，即．
當點N在線段AB的延長線上時，如圖
∵AN﹣BN=MN，又∵AN﹣BN=AB
∴MN=AB，即．綜上所述=
點評：
本題考查求線段的長短的知識，有一定難度，關鍵是細心閱讀題目，理清題意后再解答．
8．已知數軸上三點M，O，N對應的數分別為﹣3，0，1，點P為數軸上任意一點，其對應的數為x．
（1）如果點P到點M，點N的距離相等，那么x的值是 ﹣1 ；
（2）數軸上是否存在點P，使點P到點M，點N的距離之和是5？若存在，請直接寫出x的值；若不存在，請說明理由．
（3）如果點P以每分鐘3個單位長度的速度從點O向左運動時，點M和點N分別以每分鐘1個單位長度和每分鐘4個單位長度的速度也向左運動，且三點同時出發，那么幾分鐘時點P到點M，點N的距離相等？
考點：
一元一次方程的應用；數軸；兩點間的距離．2097170
分析：
（1）根據三點M，O，N對應的數，得出NM的中點為：x=（﹣3+1）÷2進而求出即可；
（2）根據P點在N點右側或在M點左側分別求出即可；
（3）分別根據①當點M和點N在點P同側時，②當點M和點N在點P兩側時求出即可．
解答：
解：（1）∵M，O，N對應的數分別為﹣3，0，1，點P到點M，點N的距離相等，∴x的值是﹣1．
（2）存在符合題意的點P，此時x=﹣3.5或1.5．
（3）設運動t分鐘時，點P對應的數是﹣3t，點M對應的數是﹣3﹣t，點N對應的數是1﹣4t．
①當點M和點N在點P同側時，因為PM=PN，所以點M和點N重合，所以﹣3﹣t=1﹣4t，解得，符合題意．
②當點M和點N在點P兩側時，有兩種情況．
情況1：如果點M在點N左側，PM=﹣3t﹣（﹣3﹣t）=3﹣2t．PN=（1﹣4t）﹣（﹣3t）=1﹣t．
因為PM=PN，所以3﹣2t=1﹣t，解得t=2．
此時點M對應的數是﹣5，點N對應的數是﹣7，點M在點N右側，不符合題意，舍去．
情況2：如果點M在點N右側，PM=（﹣3t）﹣（1﹣4t）=2t﹣3．PN=﹣3t﹣（1+4t）=t﹣1．
因為PM=PN，所以2t﹣3=t﹣1，解得t=2．
此時點M對應的數是﹣5，點N對應的數是﹣7，點M在點N右側，符合題意．
綜上所述，三點同時出發，分鐘或2分鐘時點P到點M，點N的距離相等．
故答案為：﹣1．
點評：
此題主要考查了數軸的應用以及一元一次方程的應用，根據M，N位置的不同進行分類討論得出是解題關鍵．
9．如圖，已知數軸上點A表示的數為6，B是數軸上一點，且AB=10．動點P從點A出發，以每秒6個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，設運動時間為t（t＞0）秒．
（1）寫出數軸上點B表示的數 ﹣4，點P表示的數 6﹣6t 用含t的代數式表示）；
（2）動點R從點B出發，以每秒4個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，若點P、R同時出發，問點P運動多少秒時追上點R？
（3）若M為AP的中點，N為PB的中點．點P在運動的過程中，線段MN的長度是否發生變化？若變化，請說明理由；若不變，請你畫出圖形，并求出線段MN的長；
考點：
數軸；一元一次方程的應用；兩點間的距離．2097170
專題：
方程思想．
分析：
（1）B點表示的數為6﹣10=﹣4；點P表示的數為6﹣6t；
（2）點P運動x秒時，在點C處追上點R，然后建立方程6x﹣4x=10，解方程即可；
（3）分類討論：①當點P在點A、B兩點之間運動時，②當點P運動到點B的左側時，利用中點的定義和線段的和差易求出MN．
解答：
解：（1）答案為﹣4，6﹣6t；
（2）設點P運動x秒時，在點C處追上點R（如圖）
則AC=6x，BC=4x，∵AC﹣BC=AB，∴6x﹣4x=10，解得：x=5，∴點P運動5秒時，在點C處追上點R．
（3）線段MN的長度不發生變化，都等于5．理由如下：
分兩種情況：
①當點P在點A、B兩點之間運動時：
MN=MP+NP=AP+BP=（AP+BP）=AB=5；
②當點P運動到點B的左側時：
MN=MP﹣NP=AP﹣BP=（AP﹣BP）=AB=5，∴綜上所述，線段MN的長度不發生變化，其值為5．
點評：
本題考查了數軸：數軸的三要素（正方向、原點和單位長度）．也考查了一元一次方程的應用以及數軸上兩點之間的距離．
10．如圖，已知數軸上點A表示的數為6，B是數軸上一點，且AB=10．動點P從點A出發，以每秒6個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，設運動時間為t（t＞0）秒．
（1）①寫出數軸上點B表示的數 ﹣4，點P表示的數 6﹣6t（用含t的代數式表示）；
②M為AP的中點，N為PB的中點．點P在運動的過程中，線段MN的長度是否發生變化？若變化，請說明理由；若不變，請你畫出圖形，并求出線段MN的長；
（2）動點Q從點A出發，以每秒1個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動；動點R從點B出發，以每秒個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，若P、Q、R三動點同時出發，當點P遇到點R時，立即返回向點Q運動，遇到點Q后則停止運動．那么點P從開始運動到停止運動，行駛的路程是多少個單位長度？
考點：
一元一次方程的應用；數軸；兩點間的距離．2097170
專題：
動點型．
分析：
（1）①設B點表示的數為x，根據數軸上兩點間的距離公式建立方程求出其解，再根據數軸上點的運動就可以求出P點的坐標；
②分類討論：當點P在點A、B兩點之間運動時；當點P運動到點B的左側時，利用中點的定義和線段的和差易求出MN；
（2）先求出P、R從A、B出發相遇時的時間，再求出P、R相遇時P、Q之間剩余的路程的相遇時間，就可以求出P一共走的時間，由P的速度就可以求出P點行駛的路程．
解答：
解：（1）設B點表示的數為x，由題意，得
6﹣x=10，x=﹣4
∴B點表示的數為：﹣4，點P表示的數為：6﹣6t；
②線段MN的長度不發生變化，都等于5．理由如下：
分兩種情況：
當點P在點A、B兩點之間運動時：
MN=MP+NP=AP+BP=（AP+BP）=AB=5；
當點P運動到點B的左側時：
MN=MP﹣NP=AP﹣BP=（AP﹣BP）=AB=5，∴綜上所述，線段MN的長度不發生變化，其值為5．
（2）由題意得：
P、R的相遇時間為：10÷（6+）=s，P、Q剩余的路程為：10﹣（1+）×=，P、Q相遇的時間為：÷（6+1）=s，∴P點走的路程為：6×（）=
點評：
本題考查了數軸及數軸的三要素（正方向、原點和單位長度）．一元一次方程的應用以及數軸上兩點之間的距離公式的運用，行程問題中的路程=速度×時間的運用．
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