七年級數學上冊壓軸題精選

一．數軸上的動點問題

數軸上的動點問題離不開數軸上兩點之間的距離。為了便于對這類問題的分析，不妨先明確以下幾個問題：

1．數軸上兩點間的距離，即為這兩點所對應的坐標差的絕對值，也即用右邊的數減去左邊的數的差。即數軸上兩點間的距離=右邊點表示的數—左邊點表示的數。

2．點在數軸上運動時，由于數軸向右的方向為正方向，因此向右運動的速度看作正速度，而向作運動的速度看作負速度。這樣在起點的基礎上加上點的運動路程就可以直接得到運動后點的坐標。即一個點表示的數為a，向左運動b個單位后表示的數為a—b；向右運動b個單位后所表示的數為a+b。

3．數軸是數形結合的產物，分析數軸上點的運動要結合圖形進行分析，點在數軸上運動形成的路徑可看作數軸上線段的和差關系。

一、相關知識準備

1.數軸上表示4和1的兩點之間的距離是_____________。

2.若數軸上點A表示的數為,點B表示的數為，則A與B兩點之間的距離用式子可以表示為_____________，若在數軸上點A在點B的右邊，則式子可以化簡為_____________。

3.A點在數軸上以2個單位長度/秒的速度向右運動，若運動時間為，則A點運動的路程可以用式子表示為______________。

4.若數軸上點A表示的數為,A點在數軸上以2個單位長度/秒的速度向右運動，若運動時間為，則A點運動秒后到達的位置所表示的數可以用式子表示為______________。

答案：1、3；

2、，x+1；

3、2t；

4、二、例題精講：

1、如圖所示，在數軸上原點O表示數0，A點在原點的左側，所表示的數是a，B點在原點的右側，所表示的數是b，并且a、b滿足

（1）

點A表示的數為

_________，點B表示的數為________。

（2）

若點P從點A出發沿數軸向右運動，速度為每秒3個單位長度，點Q從點B出發沿數軸向左運動，速度為每秒1個單位長度，P、Q兩點同時運動，并且在點C處相遇，試求點C所表示的數。

（3）

在（2）的條件下，若點P運動到達B點后按原路原速立即返回，點Q繼續按原速原方向運動，從P、Q在點C處相遇開始，再經過多少秒，P、Q兩點的距離為4個單位長度？

解：（1）點A表示的數為

____，點B表示的數為___8____

(2)

設P、Q同時運動t秒在點C處相遇

3t+t=24

解得t=6

此時點C所表示的數是

答：點C所表示的數是2.（2）

再經過a秒，P、Q兩點的距離為4個單位長度

分類討論：①

從點C處相遇后反向而行，點P到達B點前相距4個單位長度

3a+a=4

解得a=1

②

點P到達B點后返回，此時相當于點Q在P點前4個單位長度

解得a=4

③

點P到達B點后返回，從后追上Q點后又相距4個單位長度，此時相當于點P在點Q前4個單位長度

解得a=8

答：再經過1秒或4秒或8秒，P、Q兩點的距離為4個單位長度。

2、數軸上有A、B?兩點表示—10，30，有兩只螞蟻P、Q同時分別從A、B?兩點相向出發，速度分別是2單位單位長度/秒、3個單位長度/秒，當它們相距10個單位長度時，則螞蟻P在數軸上表示的數是（）

解：經過t秒，P、Q相距10個單位長度，則P點運動路程為2t,運動后P點表示數為—10+2t，Q點運動路程為3t

分類討論：①

還未相遇前相距10個單位長度

2t+3t=40-10

解得t=6

此時P點表示數為—10+2×6=2

②

相遇后又相距10個單位長度

2t+3t=40+10

解得t=10

此時P點表示數為—10+2×10=10

綜上所述，螞蟻P在數軸上表示的數是2或10

挑戰題：

1．已知數軸上有A、B、C三點，分別代表—24，—10，10，兩只電子螞蟻甲、乙分別從A、C兩點同時相向而行，甲的速度為4個單位/秒。

⑴問多少秒后，甲到A、B、C的距離和為40個單位？

⑵若乙的速度為6個單位/秒，兩只電子螞蟻甲、乙分別從A、C兩點同時相向而行，問甲、乙在數軸上的哪個點相遇？

⑶在⑴⑵的條件下，當甲到A、B、C的距離和為40個單位時，甲調頭返回。問甲、乙還能在數軸上相遇嗎？若能，求出相遇點；若不能，請說明理由。

分析：如圖1，易求得AB=14，BC=20，AC=34

⑴設x秒后，甲到A、B、C的距離和為40個單位。此時甲表示的數為—24+4x。

①甲在AB之間時，甲到A、B的距離和為AB=14

甲到C的距離為10—（—24+4x）=34—4x

依題意，14+（34—4x）=40，解得x=2

②甲在BC之間時，甲到B、C的距離和為BC=20，甲到A的距離為4x

依題意，20+4x）=40，解得x=5

即2秒或5秒，甲到A、B、C的距離和為40個單位。

⑵是一個相向而行的相遇問題。設運動t秒相遇。

依題意有，4t+6t=34，解得t=3.4

相遇點表示的數為—24+4×3.4=—10.4（或：10—6×3.4=—10.4）

⑶甲到A、B、C的距離和為40個單位時，甲調頭返回。而甲到A、B、C的距離和為40個單位時，即的位置有兩種情況，需分類討論。

①甲從A向右運動2秒時返回。設y秒后與乙相遇。此時甲、乙表示在數軸上為同一點，所表示的數相同。甲表示的數為：—24+4×2—4y；乙表示的數為：10—6×2—6y

依題意有，—24+4×2—4y=10—6×2—6y，解得y=7

相遇點表示的數為：—24+4×2—4y=—44（或：10—6×2—6y=—44）

②甲從A向右運動5秒時返回。設y秒后與乙相遇。甲表示的數為：—24+4×5—4y；乙表示的數為：10—6×5—6y

依題意有，—24+4×5—4y=10—6×5—6y，解得y=—8（不合題意，舍去）

即甲從A點向右運動2秒后調頭返回，能在數軸上與乙相遇，相遇點表示的數為—44。

點評：分析數軸上點的運動，要結合數軸上的線段關系進行分析。點運動后所表示的數，以起點所表示的數為基準，向右運動加上運動的距離，即終點所表示的數；向左運動減去運動的距離，即終點所表示的數。

2．如圖，已知A、B分別為數軸上兩點，A點對應的數為—20，B點對應的數為100。

⑴求AB中點M對應的數；

⑵現有一只電子螞蟻P從B點出發，以6個單位/秒的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從A點出發，以4個單位/秒的速度向右運動，設兩只電子螞蟻在數軸上的C點相遇，求C點對應的數；

⑶若當電子螞蟻P從B點出發時，以6個單位/秒的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從A點出發，以4個單位/秒的速度也向左運動，設兩只電子螞蟻在數軸上的D點相遇，求D點對應的數。

分析：⑴設AB中點M對應的數為x，由BM=MA

所以x—（—20）=100—x，解得?x=40???即AB中點M對應的數為40

⑵易知數軸上兩點AB距離，AB=140，設PQ相向而行t秒在C點相遇，依題意有，4t+6t=120，解得t=12

（或由P、Q運動到C所表示的數相同，得—20+4t=100—6t，t=12）

相遇C點表示的數為：—20+4t=28（或100—6t=28）

⑶設運動y秒，P、Q在D點相遇，則此時P表示的數為100—6y，Q表示的數為—20—4y。P、Q為同向而行的追及問題。

依題意有，6y—4y=120，解得y=60

（或由P、Q運動到C所表示的數相同，得—20—4y=100—6y，y=60）

D點表示的數為：—20—4y=—260（或100—6y=—260）

點評：熟悉數軸上兩點間距離以及數軸上動點坐標的表示方法是解決本題的關鍵。⑵是一個相向而行的相遇問題；⑶是一個同向而行的追及問題。在⑵、⑶中求出相遇或追及的時間是基礎。

3．已知數軸上兩點A、B對應的數分別為—1，3，點P為數軸上一動點，其對應的數為x。

⑴若點P到點A、點B的距離相等，求點P對應的數；

⑵數軸上是否存在點P，使點P到點A、點B的距離之和為5？若存在，請求出x的值。若不存在，請說明理由？

⑶當點P以每分鐘一個單位長度的速度從O點向左運動時，點A以每分鐘5個單位長度向左運動，點B一每分鐘20個單位長度向左運動，問它們同時出發，幾分鐘后P點到點A、點B的距離相等？

分析：⑴如圖，若點P到點A、點B的距離相等，P為AB的中點，BP=PA。

依題意，3—x=x—（—1），解得x=1

⑵由AB=4，若存在點P到點A、點B的距離之和為5，P不可能在線段AB上，只能在A點左側，或B點右側。

①P在點A左側，PA=—1—x，PB=3—x

依題意，（—1—x）+（3—x）=5，解得

x=—1.5

②P在點B右側，PA=x—（—1）=x+1，PB=x—3

依題意，（x+1）+（x—3）=5，解得

x=3.5

⑶點P、點A、點B同時向左運動，點B的運動速度最快，點P的運動速度最慢。故P點總位于A點右側，B可能追上并超過A。P到A、B的距離相等，應分兩種情況討論。

設運動t分鐘，此時P對應的數為—t，B對應的數為3—20t，A對應的數為—1—5t。

①B未追上A時，PA=PA，則P為AB中點。B在P的右側，A在P的左側。

PA=—t—（—1—5t）=1+4t，PB=3—20t—（—t）=3—19t

依題意有，1+4t=3—19t，解得?t=

②B追上A時，A、B重合，此時PA=PB。A、B表示同一個數。

依題意有，—1—5t=3—20t，解得

t=

即運動或分鐘時，P到A、B的距離相等。

4．已知：如圖，數軸上點A表示的數為6，點B表示的數為2，點C表示的數為﹣8，動點P從點A出發，沿數軸向左運動，速度為每秒1個單位長度．點M為線段BC中點，點N為線段BP中點．設運動時間為t秒．

（1）線段AC的長為14個單位長度；點M表示的數為﹣3；

（2）當t=5時，求線段MN的長度；

（3）在整個運動過程中，求線段MN的長度．（用含t的式子表示）．

【分析】（1）根據兩點間的距離公式可得AC=6﹣（﹣8），根據中點坐標公式可得M點表示的數為﹣8+[2﹣（﹣8）]；

（2）當t=5時，可得P表示的數，再根據中點坐標公式可得N點表示的數，再根據兩點間的距離公式可得線段MN的長度；

（3）分①當點P在點A、B兩點之間運動時，②當點P運動到點B的左側時，利用中點的定義和線段的和差求出MN的長即可．

【解答】解：（1）線段AC的長為AC=6﹣（﹣8）=14個單位長度；點M表示的數為﹣8+[2﹣（﹣8）]=﹣3；

（2）當t=5時，點P表示的數為6﹣5×1=1，點N表示的數為2﹣[2﹣1]=1.5，線段MN的長度為1.5﹣（﹣3）=4.5；

（3）①當點P在點A、B兩點之間運動時，點P表示的數為6﹣t，點N表示的數為2+[（6﹣t）﹣2]=4﹣t，線段MN的長度為4﹣t﹣（﹣3）=7﹣t；

②當點P運動到點B的左側時，點P表示的數為6﹣t，點N表示的數為2﹣[2﹣（6﹣t）]=4﹣t，線段MN的長度為|4﹣t﹣（﹣3）|=|7﹣t|．

故答案為：14，﹣3．

二.方案選擇問題

6．某蔬菜公司的一種綠色蔬菜，若在市場上直接銷售，每噸利潤為1000元，經粗加工后銷售，每噸利潤可達4500元，經精加工后銷售，每噸利潤漲至7500元，當地一家公司收購這種蔬菜140噸，該公司的加工生產能力是：

如果對蔬菜進行精加工，每天可加工16噸，如果進行精加工，每天可加工6噸，但兩種加工方式不能同時進行，受季度等條件限制，公司必須在15天將這批蔬菜全部銷售或加工完畢，為此公司研制了三種可行方案：

方案一：將蔬菜全部進行粗加工．

方案二：盡可能多地對蔬菜進行粗加工，沒來得及進行加工的蔬菜，在市場上直接銷售．

方案三：將部分蔬菜進行精加工，其余蔬菜進行粗加工，并恰好15天完成．

你認為哪種方案獲利最多？為什么？

解：方案一：獲利140×4500=630000（元）

方案二：獲利15×6×7500+（140-15×6）×1000=725000（元）

方案三：設精加工x噸，則粗加工（140-x）噸．

依題意得=15

解得x=60

獲利60×7500+（140-60）×4500=810000（元）

因為第三種獲利最多，所以應選擇方案三．

7．某市移動通訊公司開設了兩種通訊業務：“全球通”使用者先繳50元月基礎費，然后每通話1分鐘，再付電話費0.2元；“神州行”不繳月基礎費，每通話1分鐘需付話費0.4元（這里均指市內電話）．若一個月內通話x分鐘，兩種通話方式的費用分別為y1元和y2元．

（1）寫出y1，y2與x之間的數量關系式（即等式）．

（2）一個月內通話多少分鐘，兩種通話方式的費用相同？

（3）若某人預計一個月內使用話費120元，則應選擇哪一種通話方式較合算？

解：（1）y1=0.2x+50，y2=0.4x．

（2）由y1=y2得0.2x+50=0.4x，解得x=250．

即當一個月內通話250分鐘時，兩種通話方式的費用相同．

（3）由0.2x+50=120，解得x=350

由0.4x+50=120，得x=300

因為350>300

故第一種通話方式比較合算．

8．某地區居民生活用電基本價格為每千瓦時0.40元，若每月用電量超過a千瓦時，則超過部分按基本電價的70%收費。（1）某戶八月份用電84千瓦時，共交電費30.72元，求a．

（2）若該用戶九月份的平均電費為0.36元，則九月份共用電多少千瓦時？應交電費是多少元？

解：（1）由題意，得

0.4a+（84-a）×0.40×70%=30.72

解得a=60

（2）設九月份共用電x千瓦時，則

0.40×60+（x-60）×0.40×70%=0.36x

解得x=90

所以0.36×90=32.40（元）

答：九月份共用電90千瓦時，應交電費32.40元．

9．某家電商場計劃用9萬元從生產廠家購進50臺電視機．已知該廠家生產3種不同型號的電視機，出廠價分別為A種每臺1500元，B種每臺2100元，C種每臺2500元．

（1）若家電商場同時購進兩種不同型號的電視機共50臺，用去9萬元，請你研究一下商場的進貨方案．

（2）若商場銷售一臺A種電視機可獲利150元，銷售一臺B種電視機可獲利200元，銷售一臺C種電視機可獲利250元，在同時購進兩種不同型號的電視機方案中，為了使銷售時獲利最多，你選擇哪種方案？

解：按購A，B兩種，B，C兩種，A，C兩種電視機這三種方案分別計算，設購A種電視機x臺，則B種電視機y臺．

（1）①當選購A，B兩種電視機時，B種電視機購（50-x）臺，可得方程

1500x+2100（50-x）=90000

即5x+7（50-x）=300

2x=50

x=25

50-x=25

②當選購A，C兩種電視機時，C種電視機購（50-x）臺，可得方程1500x+2500（50-x）=90000

3x+5（50-x）=1800

x=35

50-x=15

③當購B，C兩種電視機時，C種電視機為（50-y）臺．

可得方程2100y+2500（50-y）=90000

21y+25（50-y）=900，4y=350，不合題意

由此可選擇兩種方案：一是購A，B兩種電視機25臺；二是購A種電視機35臺，C種電視機15臺．

（2）若選擇（1）中的方案①，可獲利

150×25+250×15=8750（元）

若選擇（1）中的方案②，可獲利

150×35+250×15=9000（元）

9000>8750

故為了獲利最多，選擇第二種方案．

三．動角問題

1.如圖，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC=135°，將一個含45°角的直角三角尺的一個頂點放在點O處，斜邊OM與直線AB重合，另外兩條直角邊都在直線AB的下方．

（1）將圖1中的三角尺繞著點O逆時針旋轉90°，如圖2所示，此時∠BOM=________；在圖2中，OM是否平分∠CON？請說明理由；

（2）緊接著將圖2中的三角板繞點O逆時針繼續旋轉到圖3的位置所示，使得ON在∠AOC的內部，請探究：∠AOM與∠CON之間的數量關系，并說明理由；

（3）將圖1中的三角板繞點O按每秒5°的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第t秒時，直線ON恰好平分銳角∠AOC，則t的值為________（直接寫出結果）．

2.已知點O是直線AB上的一點，∠COE=120°，射線OF是∠AOE的一條三等分線，且∠AOF=1/3

∠AOE．（本題所涉及的角指小于平角的角）

（1）如圖，當射線OC、OE、OF在直線AB的同側，∠BOE=15°，求∠COF的度數；

（2）如圖，當射線OC、OE、OF在直線AB的同側，∠FOE比∠BOE的余角大40°，求∠COF的度數；

（3）當射線OE、OF在直線AB上方，射線OC在直線AB下方，∠AOF＜30°，其余條件不變，請同學們自己畫出符合題意的圖形，探究∠FOC與∠BOE確定的數量關系式，請直接給出你的結論．

3.如圖1，O為直線AB上一點，過點O作射線OC，∠AOC＝30°，將一直角三角板（∠M＝30°）的直角頂點放在點O處，一邊ON在射線OA上，另一邊OM與OC都在直線AB的上方

(1)

將圖1中的三角板繞點O以每秒3°的速度沿順時針方向旋轉一周，如圖2，經過t秒后，OM恰好平分∠BOC

①

求t的值

②

此時ON是否平分∠AOC？請說明理由

(2)

在(1)問的基礎上，若三角板在轉動的同時，射線OC也繞O點以每秒6°的速度沿順時針方向旋轉一周，如圖3，那么經過多長時間OC平分∠MON？請說明理由

(3)

在(2)問的基礎上，經過多長時間OC平分∠MOB？請畫圖并說明理由

答案與解析：

1)

①OM平分∠BOC時,與OB夾角為75°

需要(90-75)÷3=5秒

②

此時,∠MOC=75°

∠MON=90°

∴∠CON=15°

∠AON也是15°

所以ON也平zhi分∠AOC

2)

假設∠MON的平分線為OX,則當OC與OX重合時滿足要求

根據題意,開始的時候,OX領先OC的度數是90÷2-30=15°

每秒,OX順時針轉3°

OC順時針轉6°

重合需15÷(6-3)=5秒

所以經過5秒OC平分∠MON

3)

我們繼續假設∠MOB的平分線為OY,則當OC與OY重合時滿足要求

根據題意,開始的時候,OY領先OC的度數是90÷2+(90-30)=105°

每秒,OY順時針轉動3°÷2=1.5°

OC順時針轉動6°

重合需105÷(6-1.5)=70/3秒

所以經過70/3秒,OC平分∠MOB