第一篇：應用統計典型例題

關于矩估計與極大似然估計的典型例題 例1，設總體X 具有分布律

23??1X~???22?(1??)(1??)2??

??其中0???1為未知參數。已經取得了樣本值x1?1,x2?2,x3?1，試求參數?的矩估計與極大似然估計。

解：（i）求矩估計量，列矩方程（只有一個未知參數）

E(X)??2?2?2?(1??)?3?(1??)2?3?2??X 43?3?X3?x53??? 得 ?矩?2226（ii）求極大似然估計，寫出似然函數，即樣本出現的概率

L(?)?P(X1?x1,X2?x2,X3?x3)

?P(X1?1,X2?2,X3?1)

?P(X1?1)?P(X2?2)?P(X3?1)??2?2?(1??)??2?2?5(1??)

對數似然

lnL(?)?ln2?5ln??ln(1??)

dlnL(?)51???0 d??1??得極大似然估計為

5??極? 6

例2，某種電子元件的壽命（以

h記）X服從雙參數指數分布，其概率密度為

?1?exp[?(x??)/?],x??f(x)???

?0,其他?其中?，??0均為未知參數，自一批這種零件中隨機抽取n件進行壽命試驗，xx,?,xn.設它們的失效時間分別為1,2（1）求（2）求?，?的最大似然估計量； ?，?的矩估計量。

n解：（1）似然函數，記樣本的聯合概率密度為

L(?，?)?f(x1,x2,?,xn;?，?)??f(xi)

i?1?n1??exp[?(xi??)/?],x1,x2,?,xn????i?1? ?0,其他?n?1?nexp(?(?xi?n?)/?),??x(1)???i?1 ?0,??x(1)?在求極大似然估計時，L(?，?)?0肯定不是最大值的似然函數值，不考

n慮這部分，只考慮另一部分。

取另一部分的對數似然函數

lnL(?,?)??nln??(?xi?n?)/?,??x(1)

i?1

n?xi?n????lnL(?,?)ni?1?????02????? ??lnL(?,?)n??0?????可知關于?，?的駐點不存在，但能判定單調性

?lnL(?,?)n??0知 由???lnL(?,?)??nln??(?xi?n?)/?,??x(1)，i?1n關于?是增函數，故

?極?x(1)??lnL(?,?)n???將之代入到????x?n?ii?1n?2?0中得

??極?x?x(1)

????x?則極(1)，極?x?x(1)一定能使得似然函數達到最大，故?，?的極大似然估計為

????極?x?x(1)? ???x??極(1)

（2）列矩方程組（兩個未知參數）

??1?E(X)??xexp[?(x??)/?]dx?????X?????n??2112222?E(X)?xexp[?(x??)/?]dx?(???)????Xi????ni?1?解出

n?12???(X?X)?矩?ini?1??1n??2??X?(X?X)?i?矩ni?1? 例3，設總體X~U[0,?]，其中??0為未知參數，X1,X2,?,Xn為來自總體X的一組簡單隨機樣本，12大似然估計。

解：似然函數，即樣本的聯合概率密度

nx,x,?,xn為樣本觀察值，求未知參數?的極

?1?n,0?x1,x2,?,xn??L(?)?f(x1,x2,?,xn;?)??f(xi)??? i?1??0,elseL(?)?0肯定不是最大值，考慮另一部分的最大值，取對數似然

lnL(?)??nln?,??x(n)

dlnL(?)n???0 d??知lnL(?)??nln?在??x(n)內是單調遞減的，故?的極大似然估計值為

取x(n)能使得似然函數達到最大，則???x，極大似然估計量為???X ?(n)(n)極極

第二篇：勻變速直線運動規律典型例題應用

勻變速直線運動規律典型例題應用

1．勻變速直線運動中，加速度a、初速度VO、末速度Vt、時間t、位移x之間關

系正確的是()

A．x?v0t?12atB．x=V0t2

C．x?1

2atD．x=（V0+Vt）t/2

222．汽車在平直的公路上以20m／s的速度行駛，當汽車以5m／s的加速度剎車時，剎車2s內與剎車6S內的位移之比為()

A．1：lB．3：4C．3：lD．4：3

3．一個作勻加速直線運動的物體，其位移和時間的關系是s=18t-6t2，則它的速度為零的時刻為()

A．1．5sB．3sC．6sD．18s

4．初速度為零的勻變速直線運動，第一秒、第二秒、第三秒的位移之比為()

A．1：2：3B．1：2：4C．1：3：5D．1：4：9

5．以下敘述正確的是（）

A．勻加速直線運動中，加速度一定與速度同向

B．勻減速直線運動中，加速度一定與速度反向

C．勻加速直線運動的加速度一定大于勻減速直線運動加速度

D．-5m/s2一定大于+3 m/s2

6．由靜止開始作勻變速直線運動的物體，笫4s內平均速度為14m/s，則它 在第3s內的位移是_________m，第4s末的速度是_______m/s，它通過第三個2m所需時間為__________s。

7．某飛機的起飛速度是60m/s，在跑道上可能產生的最大加速度為4 m/s2，該飛機從靜止到起飛成功需要跑道的最小長度為___________。

8．某市規定：卡車在市區內行駛速度不得超過40km／h，一次一輛市區路面緊急剎車后，經1．5s停止，量得剎車痕跡S=9m，問這車是否違章行駛?

9．一輛汽車，以36km／h的速度勻速行駛lOs，然后以lm／s2的加速度勻加速行駛10s，汽車在這20s內的位移是多大?平均速度是多大?汽車在加速的10s內平均速度是多大?

10．做勻加速直線運動的物體，速度從v增加到2v時通過的距離是30m，則當速度從3v增加到4v時，求物體通過的距離是多大?

第三篇：典型例題

【典型例題】She had a great ___ for the town where she grew up.A.affection

B.affectation

C.infection

D.affectionate 【試題詳解】答案 A 她熱愛她長大的那座小鎮 have an affection for 對??有感情

affectation n.矯揉造作 infection n.傳染，感染 affectionate adj.深情的

【常用短語】have an affection for sbsth 【詞匯補充】affect v.喜愛 affectionate adj.深愛的

【典型例題】How to talk to Martin is rather an____ question.A.advanced

B.absolute

C.accurate

D.academic 【試題詳解】答案 D 如何讓與火星人交談是一個學術性很強的問題。academic question 學術問題;advanced 高級的accurate 準確的 absolute 絕對的

【詞匯補充】academicals 博士服，碩士服 academic year 學年 academician 院士 academy 私立中學 academicism 墨守成規

【典型例題】When you __ big , believe big , and pray big , big things happen!A.affirm

B.know C.agree

D.ensure 【試題詳解】答案是A。句意：當你確認偉大，相信你偉大，起到偉大，偉大的事情就會發生！

affirm肯定，斷言；know知道；agree同意；ensure保證，確保。

【典型考題】

The _____ of the past week had left her exhausted.A anxieties

B concerns

C expectations

D anticipation 解析：由同意詞辨析可知此題答案選 A 意為過去一個星期的擔憂使她筋疲力盡。

【典型考題】: Now,let us come to item No.5 on the __.A.plan

B.program

C.agenda

D.project 解析：答案是C。句意：現在讓我們討論議事日程上的第五項。

agenda待議諸事一覽表；program（行動）計劃；project工程，項目；plan計劃。

【典型考題】

Age affects the range of a person’s ______ A capacities B capabilities

C capacious D capable 解析：答案選B 此題考查易錯詞辨析。句意為年齡影響一個人能力的大小。Capacity 表示

容量容積明顯不符合題意。后兩個答案分別為他們的形容詞形式。【典型考題】

He’s had no end of bad luck but he just seems to ______ every time.A.bounce back

B.recover

C.reverse

D.come to 解析：答案選A 句意：他總是遇到不如意的事，但是好像每次都能恢復過來。bounce back 指失意后恢復過來。【典型考題】

Everyone is encouraged to ____ food and clothing for the refugees.A attribute

B contribute

C stimulate

D distribute 解析：答案為B ,此題考查對形近詞的區分。句意：鼓勵每個人為難民捐助食品和衣物。contribute 表示“捐贈，出錢（力）”，因為本題是鼓勵每個人，所以不可能是“分發”食品和衣物，只會是“捐贈”

【Derivative】

contributor n.捐助者，投稿者 ； contribution n.貢獻，捐獻物

contributive adj.有助的，促成的 ；contributory adj.促成的，捐助性的。【典型考題】

Everyone is encouraged to ____ food and clothing for the refugees.A attribute

B contribute

C stimulate

D distribute 解析：答案為B ,此題考查對形近詞的區分。句意：鼓勵每個人為難民捐助食品和衣物。contribute 表示“捐贈，出錢（力）”，因為本題是鼓勵每個人，所以不可能是“分發”食品和衣物，只會是“捐贈”

Counsel/???????/ noun, verb ? Noun 1.(formal)advice, especially given by older people or experts;a peiece of advice(尤指老年人或專家的)勸告，忠告，建議：Listen to the counsel of your elders.2 a lawyer or group of lawyers representing sb in a court of law 律師：the counsel for the defence/prosecution.? Verb 1 to listen to and give support or professional advice to sb who needs help.為某人提供幫助：Therapists were brought in to counsel the bereaved.2 to advise sb to do sth 建議，勸告（做某事）Most experts counsel caution in such cases.【Common phrases】

a counsel of despair 知難而退的建議

； a counsel of perfection 聽上去完美卻難以實行的建議

； keep your own counsel 保留自己的意見?！綝erivative】

counseling noun 咨詢，輔導

； counselor noun 顧問，輔導顧問 【易錯詞】

Council;noun a group of people who are elected to govern an area such as a city or county.【典型考題】

The court then heard_____ for the dead woman’s father.A council

B councilor

C counsel

D counselor 解析：答案選C，句意為：法庭接著聽取了已死女人的父親所請律師的陳述。A項意為委員會 此題考查形近詞。[典型考題]

That is Taoist pragmatistic ___and positivist___.a.crisp b.crisis c.crises d.criminate [試題分析] 答案為b.[詳細解答] 這主要表現為道教的“實用主義危機”和“實證主義危機.a.crisp是鈔票；c.crises是危險;d.criminate是指控，譴責的意思，均與原文不符。[典型考題]

I want an appointment for a___time and place.a.definitive b.definitely c.definite d.distinct [試題分析] 答案為c [詳細解答] 句意：我要有確切的時間和地點的約會。表示“明確的，不可能引起誤解的”；顯然約會的時間和地點是不能含糊的，應該明確無誤的。[典型考題] Believe in each child is own----potentiality.a.developmental b.experimental c.formative d.development [試題分析] 答案為a.[詳細解答] 句意為 相信每一個兒童都有發展的潛能。b.experimental多用于表達實驗(性)的, 試驗(性)的；而c.formative是(影響)形成〔構成, 發展〕的，但developmental更貼近句意；d.development為名詞，詞性不符。

[典型考題]。

He could not give a ____explanation of his intention.A.distinct B.Obvious C.clear D.plain [試題分析] 答案為 A.[試題分析] 本題考查近義詞的辨析問題。他不能清楚明白地解釋他的意圖。Distinct指人表達思想，概念清楚明白；指容易感受到或看到。本題的賓語是“解釋他的意圖”。Obvious指事物一目了然，含無可置疑之意。Clear范圍較廣，指事物清楚明白；plain注重作品等顯而易見的，淺顯易懂的。

[典型考題]：

I was most ____to hear the sad news for your father death.a.distressed b.distressing c.distressful d.distress [試題分析] 分析：答案為a.[試題詳解] distressed我聽到你父親去世的消息，十分難過。Distressed使某人感動痛苦，難過。多用于修飾人。而b.distressing以形容事情令人痛苦為主；c.distressful與b.distressing 的用法相

同，多用于修飾事件；d.distress是動詞，此處應為形容詞，詞性不符。

[典型考題] In most universities, males and females live in the same____.a.room b.flat c.chamber d.dorm [試題分析]

分析：答案為d.[試題詳解] 在大部分高校，男生和女生住在相同的宿舍里。room指房間，顯然與原句不合邏輯；flat強調一套房間，公寓套房；c.chamber是指會議廳，會所。所以只有d.dorm最符合原文。而且學生公寓一般均用dorm表示。?典型考題?That old professor is a walking____.A.book

B.encyclopedia C.novel

D.fiction ?試題分析?本題為詞義辨析題?？疾槊~的辨義。

?詳細解答?典型考題答案B。句意：那位老教授是一個活百科。book n.書本，書籍；encyclopedia n.百科全書；novel n.長篇故事，小說；fiction n.虛構的文學作品，小說。典型考題? His____ are limited, and scarcely fit him for his post.A.endorsement

B.engagement C.endowment

D.enlargement ?試題分析?本題是形近詞辨析題。?詳細解答?典型考題答案C。句意：他的天資很有限，不太適合擔任這項職務。endorsement n.1.(公開的)贊同，支持，認可,2.(通常為名人在廣告中為某一產品的)宣傳，吹噓；engagement n.預約，約會，訂婚：enlargement n.擴大物（尤指照片），擴大，增大;endowment n.天資，天賦。?典型考題? Is it____ to promote cigarettes through advertising? A.ethereal

B.ethnic C.ether

D.ethical ?試題分析?本題是形近詞辨析題。

?詳細解答?典型考題答案D。句意：通過廣告推銷香煙合乎道德嗎？ethereal adj.輕飄的，靈氣的；ethnic adj.種族的，民族的；ether n.乙醚，太空；ethical adj.合乎道德的?典型考題?Students of social problems investigate the home, social and moral_____(s)of different classes of people.A.surroundings

B.conditions C.environment

C.situation ?試題分析?本題為詞義辨析題。考查名詞的辨義。?詳細解答?典型考題答案C。句意：研究社會問題的學者調查各階層人民的家庭，社會和精神方面的生活環境。surrounding 多指 地理環境；condition 意為“情況，條件”；situation 指“情況，狀況”；environment指“環境”。

?典型考題?The teacher____ the performance of each student.A.evacuated

B.evaluated

C.equated

D.evoked ?試題分析?本題是詞義辨析題。?詳細解答?典型考題答案B。句意：老師對每個學生的成績進行評估。evacuate vt.撤退，疏散；equate vt.同等看待，使相等,與equal是同根；evoke vt.喚起，激起；evaluate vt.對某物進行評價，評估。

[典型考題]They complained about the ＿＿noise coming from the upstairs flat.A、overladen B、immoderate C、inordinate D、excessive ［試題分析］近義詞辨析 答案為D ［詳細解答］句意為他們抱怨樓上發出的噪音太大。A意為裝貨過多的;(房間)裝飾[擺設]過多的;(工作)負擔過多的。B意為無節制的,極端的C意為紊亂的;放肆的，無限制的, 無節制的D excessive noise 表示噪音的音量很大

［詞形變換］exceed v.超過 excess n.超過，超越，過量，過度 excessively adv.極端地，過分地

［典型考題］America has suffered the ＿＿crisis.A、economic

B、economical C、financial

D、monetary ［試題分析］近義詞辨析 答案為C ［詳細解答］固定搭配 financial crisis 金融危機。A意為經濟的, 經濟學的

合算的, 有經濟效益的B意為節約的, 節儉的, 經濟的 D意為貨幣的;通貨的;錢的;金融的;財政的

［詞形變換］finances n、財力、財源、基金；finance n、財政、金融；financer n、財政家、金融家；financially adv、在財政上、在經濟上

【典型例題】It's the music to ____ the dramatic effect.A.enhance

B.heighten

C.intensify

D.aggravate 【試題詳解】答案 B

那是用于提高戲劇效果的配樂。

區別 enhanceheightenintensifyaggravate 這些動詞均有“加強，增強”之意： enhance：側重指增加價值，魅力或聲望等使人或物具有超科尋常的吸引力。

heighten：通常指使某物的某種性質變得不同一般的顯著或突出。intensify：指深化或強化某事或某物，尤指其特別之處。aggravate：指加劇令人不快或困難的形勢。

【典型例題】She had no ___ about making her opinions known.A.fear

B.afraid

C.interest

D.inhibition 【試題詳解】答案 D 她敢于公開地談論自己的想法。

fear “害怕” 常用搭配“fear of for sth”

afraid “恐懼的” 常用搭配 “be afraid of sth” interest “興趣”

常用搭配 “interest inon sth”

【詞形變換】inhibit v.阻止；使拘束

inhibited adj.拘謹的 【典型考題】 He has ___his mother’s patience.A.inhabited

B.inhibited

C.inhered

D.inherited 【試題詳解】答案 D 這種耐心是母親遺傳給他的。

inhabit v.居住

inhibit v.阻止；抑制

inhere v.存在于??中；歸屬于 inherit v.繼承

【常用短語】 inherit(sth)from sb 【典型例題】Perfume____ with the skin’s natural chemicals.A.communicate

B.influence

C.affect

D.interact 【試題詳解】答案 D 香水和皮膚的天然化學物質相互作用。communicate with sb “與某人溝通”

influence 僅指單方面的影響，對??起作用 affect 同上“influence”

【典型例題】There was a serious incident ___ a group of youths.A.including

B.revolving

C.involving

D.evolving 【試題詳解】答案C 有一起嚴重的事件涉及一群年輕人。include v.包含，包括 revolve v.旋轉，轉動

evolve v.發展，演變

【常用短語】involve(sb)in sthdoing sth

beget involed in sth beget involed with sb 【詞形變換】involved adj.有關聯的；復雜的；關系密切的1)【典型考題】

The cherk of the House prepares the ___ of the House.A

journal B diary C

record 答案：A 解析：下議院的書記整理了下議院的議事錄。Journal 在這里的是議事程的意思，diary 是指日記，不僅記錄所發生之事，還強調包括個人情感與想法。

【典型考題】

As he reached ___ Bandit became more difficult to live with.A mature B ripe

C maturity

D matured 答案：D

解析：然而到了成年之后，邦就變得特別難相處。Reach

maturity 表示長大成熟，為固定搭配，ripe通常表示作物和時機成熟。

【典型考題】He likes to show off his ___ physique.A.male

B.masculine

C.manly

D.man 答案：B

解析：句意：他喜歡顯示他強健的男子本色。Masculine指在心理上或身體上具有男子特征，本句中形容詞所修飾的名詞是physique(體魄)，所以，masculine 符合題意。

【典型考題】She has a deep ____of strangers, so she never lkes to talk to them.A.mistrust

B.distrust

C.trust

D.untrustworth 答案：A

解析:她對陌生人猜忌及深，她也從不喜歡跟陌生人搭訕。根據句意。C選項不符合題意，D為形容詞，所填選項必須為名詞，予以排除。distrust 和 mistrust 都有猜忌的意思，但差別很小。distrust 更為通用，語氣稍強，確信某人不誠實或不可信常用distrust.表示并不信任則大概用mistrust.這里只是表示她對陌生人不信任所以選A.【典型考題】Have you listened to ___ this morning ? A newsagent B newspaper C newsdom D newscast 答案：D 解析：newsagent 意為報刊經銷人，newspaper 不符合題意，newsdom 代表報界，固選D 代表新聞。

[典型考題] He ____ through themist，trying to find the right path.A.pecked B.peered C.peeped D.peeled [試題分析] 本題考查形近詞的辨析。pecked 啄；peered 仔細看；peeped 偷窺；peeled 削皮；可知正確答案為B

[典型考題] I ___his commment as a challenge.A． feeled B.observed C.perceived D.comprehend [試題分析] 本題考查近義詞辨析。perceive 的意思是interpret sth in a certain way，與as 搭配。選C 【典型考題】He was born in a ___ family.A single parent B single-parent C single-parents D single-parental 答案：B 解析：single-parent 為固定搭配意為“單親家庭的”。他出身在一個單親家庭。所填詞應屬形容詞性質，B符合題意。

parental 本身就是形容詞，所以D選項不符合題意，予以排除。

[典型考題] Mr.Smith had an unusual ___, he was first an office clerk, then a sailor, and ended up as a school teacher.A.profession B.occupation C.position D.carrer

[試題分析] 本題考查近義詞辨析。A,B指所從事的職業，C 是指所在職位，D指職業生涯。正確答案為D。

[典型試題]

The next edition of the book is ___ for publication in March.A.projected B.propelled C.professed D.protected [試題分析] 本題考查形近詞辨析。project是計劃、規劃的意思。propel是推動、迫使的意思。C 項 公開表明的。protect 保護。

[典型考題]

Few people will admit being racially ___.A.pride B.proud C.prejudiced D.pessimistic [試題分析] 本題考查形近詞辨析。A、B項的意思是驕傲的，自豪的；C項是有偏見的、有歧視的；D項的意思是悲觀的。根據句意，很少有人愿意承認他們有種族歧視，正確答案為C。

第四篇：典型例題

典型例題

一、填空題

1.教育是社會主義現代化建設的基礎，國家保障教育事業優先發展。全社會應當關心和支持教育事業的發展。全社會應當尊重教師。

2.新課程的三維目標是 知識與技能目標、過程與方法目標和情感態度與價值觀目標。

二、單項選擇題（下列所給的選項中，只有一個最符合題目要求）

1.《基礎教育課程改革綱要（試行）》中指出，國家課程標準（A）

A.是教學和命題的依據B.包括教學重點和難點

C.是大多數學生都能達到的最高要求D.是根據專家的意見編制的2.人們常說：“教學有法，而無定法”。這反映了教師勞動具有（B）

A.示范性B.創造性C.間接性D.主體性

三、判斷題（請判斷下列各題的觀點是否正確，正確的打“√”，錯誤的打“”。

1.學生評教是促進教師發展過程中惟一客觀的評價方式。（×）

2.新課程目標取向及精神內核就是以學生的發展為本。（√）

四、簡單題

1.中小學教師的職業道德規范主要涉及哪些方面？

答：愛國守法、愛崗敬業、關愛學生、教書育人、為人師表、終身學習。

2.《中華人民共和國未成年人保護法》規定學校應尊重未成年學生的哪些權利？

答：學校應當尊重未成年學生受教育的權利，關心、愛護學生，對品行有缺點、學習有困難的學生，應當耐心教育、幫助，不得歧視，不得違反法律和國家規定開除未成年學生。

五、案例分析題

學校規定初三學生必須在6點鐘到校參加早自修，作為任課教師第二天與學生一起參與早自修的我在班級中也強調了一下，可是第二天仍有許多學生遲到，我看到這一情況，下令讓遲到的學生在走廊罰站。到了第三天，再也沒有一個學生遲到。還有一次，初三（2）班的一位男同學老是不肯做一周一次的時政作業，每次問他為什么，總都有原因，上次他說忘了，這次又說要點評的報紙沒買，下次他會說作業本沒帶。這樣幾個星期下來，我光火了，不僅讓他在辦公室反思了一刻鐘，寫下保證書，還對他說，“下次再不交作業，甭來上課”，他這才有所收斂。

請從有關師德要求分析“我”的做法，并提出合理解決此類問題的建議。

答：本案主要反映了案例中的“我”以罰代教的教育方法，這明顯違反了新時期我國教師職業道德內容中關于“對待學生”的相應規定，違反了不準以任何借口體罰或變相體罰學生，不準因學生違反紀律而加罰與違反紀律無關的任務等。

這位教師的做法在我們的身邊也有可能出現。面對那些頑皮學生，有的教師可能無計可施。只得用“罰站”、“威脅”來對付他們，取得的效果看似有效，其實學生并非真正地接受，這不是真正的教育。雖然教師的出發點是好的，但這位教師的處理方法與《中小學教師職業道德規范》背道而馳。

教師對學生嚴格要求，要耐心教導，不諷刺、挖苦、歧視學生，不體罰或變相體罰學生，保護學生的合法權益。教師應該采用“說理”教育來對待那些頑皮學生，教師以朋友的身份心平氣和地找那些學生談心，尊重學生的人格，平等、公正地對待學生，多付出一點愛，多花時間在他們身上，當他們感受到老師在關心他們時，相信他們會改正缺點，努力做的更好。

第五篇：牛頓運動定律的簡單應用典型例題

牛頓運動定律的簡單應用典型例題

【例1】一物體放在光滑水平面上，初速為零，先對物體施加一向東的恒力F，歷時1s；隨即把此力改為向西，大小不變，歷時1s；接著又把此力改為向東，大小不變．歷時1s；如此反復，只改變力的方向，共歷時1min，在此1min內 [ ] A．物體時而向東運動，時而向西運動，在1min末靜止于初始位置之東 B．物體時而向東運動，時而向西運動，在1min末靜止于初始位置 C．物體時而向東運動，時而向西運動，在1min末繼續向東運動 D．物體一直向東運動，從不向西運動，在1min末靜止于初始位置之東 【分析】物體在第1s內受恒力作用向東作勻加速運動．在第2s內，受力向西，加速度方向向西，但速度方向仍向東，物體作向東的勻減速運動．由于力的大小不變，前、后兩秒內物體的加速度大小不變，僅方向相反，所以至第2s末，物體向東運動的速度恰減為零，且第2s內的位移與第1s內的位移相同． 以后，力的方向又改為向東、繼而向西??如此往復，物體則相應地向東作勻加速運動、繼而向東作勻減速運動，??在1min內物體一直向東運動，至1min末恰靜止． 【答】 D．

【說明】 物體運動的加速度方向必與受力方向相同，但不一定與速度方向相同．若以向東方向為速度的正方向，物體運動的v-t圖如圖所示，物體依次作著加速度大小相等、加速度方向相反的勻加速運動、勻減速運動，??直到停止．整個1min內v＞0，表示物體一直向東運動．

【例2】汽車空載時的質量是4×103kg，它能運載的最大質量是3×103kg．要使汽車在空載時加速前進需要牽引力是2.5×104N，那么滿載時以同樣加速度前進，需要的牽引力是多少？

【分析】由空載時車的質量和牽引力算出加速度，然后根據加速度和滿載時的總質量，再由牛頓第二定律算出牽引力．

空載時，m1=4×103kg，F1=2.5×104N，由牛頓第二定律得加速度： 滿載時，總質量為m1+m2=7×103kg，同理由牛頓第二定律得牽引力：

F2=（m1+m2）a=7×103×6.25N=4.375×104N

【說明】根據牛頓第二定律F = ma可知，當加速度a相同時，物體所受的合外力與其質量成正比．因此可以不必先算出加速度的大小，直接由比例關系求解．即由

直接得

【例3】如圖1所示，一根質量為m，長為L的均勻長木料受水平拉力F作用后在粗糙水平面上加速向右運動．在離拉力作用點x處作一斷面，在這一斷面處，左右兩部分木料之間的相互作用力為多少？

【分析】 取整個木料和斷面左端（或右端）為研究對象，由于它們的加速度相同，可根據它們所受合外力與質量成正比的關系得解．

【解】 設整個木料所受的摩擦力為f，斷面兩側的相互作用力為T，作用在斷面左端部分的摩擦力為

整個木料和斷面左側水平方向的受力情況如圖2所示．根據加速度相同時力與質量的比例關系可知

【說明】本題由于利用了F∝m的關系，可以不必計算加速度，十分簡捷．由解得結果可知，截面位置取得離拉力處越遠，截面兩側的相互作用力越小，當x = L時，T=0，這是顯然的結果．

如果木料受到水平推力作用，情況怎樣？有興趣的同學可自行研究．

【例4】物體從某一高度自由落下，落在直立于地面的輕彈簧上，如圖1所示．在A點物體開始與彈簧接觸．到B點時，物體速度為零，然后被彈回，則以下說法正確的是 [ ]

A．物體從A下降和到B的過程中，速率不斷變小 B．物體從B上升到A的過程中，速率不斷變大

C．物體從A下降到B，以及從B上升到A的速程中，速率都是先增大，后減小

D．物體在B點時，所受合力為零

【分析】本題考察a與F合的對應關系，彈簧這種特殊模型的變化特點，以及由物體的受力情況判斷物體的運動性質．對物體運動過程及狀態分析清楚，同時對物體正確的受力分析，是解決本題思路所在． 【解】找出AB之間的C位置，此時F合=0 則（1）從A→C．由mg＞kx1，（2）在C位量mg = kxc，a=0，物體速度達最大（如圖2乙）（3）從C→B，由于mg＜kx2，同理，當物體從B→A時，可以分析B→C做加速度越來越小的變加速直線運動；從C→A做加速度越來越大的減速直線運動．

【說明】由物體的受力情況判斷物體的運動性質，是牛頓第二定律應用的重要部分，也是解綜合問題的基礎．

彈簧這種能使物體受力連續變化的模型，在物理問題（特別是定性判斷）中經常應用．其應用特點是：找好初末兩態，明確變化過程．

【例5】圖中A為電磁鐵，C為膠木秤盤，A和C（包括支架）的總質量為M，B為鐵片，質量為m，整個裝置用輕繩懸掛于O點．當電磁鐵通電，鐵片被吸引上升的過程中，輕繩上拉力F的大小為 [ ]

A．F = Mg B．Mg＜F＜（M＋m）g C．F=（M + m）g D．F＞（M + m）g

【分析】以鐵片為研究對象，它被吸引上升過程中受到電磁鐵對它的吸引力Q（變力）、重力mg．在每一時刻

Q-mg = ma，即Q＞mg．

根據牛頓第三定律，鐵片也對電磁鐵A（包括支架C）施加向下的吸引力，其大小Q′=Q．

以A和C為研究對象，它受到細線向上拉力F、A′和C的重力Mg、鐵片吸引力Q′．由力平衡條件知

F = Mg + Q′ = Mg + Q，∴F＞（M + m）g．

【答】 D．

【說明】必須注意，鐵片能吸引上升是一個加速過程，因此，Q＞mg．同時，不要疏忽鐵片對磁鐵的吸引力．

【例6】如圖1所示，一只質量為m的貓抓住用繩吊在天花板上的一根質量為M的垂直桿子．當懸繩突然斷裂時，小貓急速沿桿豎直向上爬，以保持它離地面的高度不變．則桿下降的加速度為 [ ]

【分析】 設貓急速上爬時對桿的作用力為f，方向向下，則桿對貓的作用力的大小也為f，方向向上，繩斷裂后，貓和桿的受力情況如圖2所示

由于貓急速上爬，保持對地面的高度不變，意味著在這個過程中，貓對地無加速度，處于力平衡狀態，所以f = mg

桿僅受兩個豎直向下的力作用，根據牛頓第二定律，得桿的加速度大小為

其方向豎直向下． 答 C．

說明 本題反映了牛頓第二定律的相對性，即加速度a必須是地面而言的．如果不理解這一點，本題就難以求解．

【例7】如圖1所示，一木塊從h=3.0m、長L=5.0m的固定斜面的頂端，由靜止開始沿著斜面滑至底端．如果木塊與斜面之間的動摩擦因數μ=0.30，求

（1）木塊運動的加速度；

（2）木塊從斜面頂端滑至底端所需的時間．

【分析】以木塊為研究對象，它在下滑過程中受到三個力作用：重力mg、斜面支持力N、斜面的滑動摩擦力f（圖2）由于這三個力不在同一直線上，可采用正交分解法，然后根據牛頓運動定律求出加速度，結合運動學公式可求出運動時間．

【解】（1）設斜面傾角為θ，由受力圖2可知：沿斜面方向由牛頓第二定律得

mgsinθ-f = ma．

垂直斜面方向由力平衡條件得

N-mgcosθ=0．

又由摩擦力與正壓力的關系得

f=μN．

聯立上述三式可解得木塊下滑的加速度為

a = g（sinθ-μcosθ）．

式中

∴a = g（sinθ-μcosθ）

=9.8（0.60-0.30×0.80）m／s2=3.60m／s2．

【說明】 這是屬于已知力求運動的問題，通過加速度建立了力和運動的聯系．題解中基本上遵循了牛頓第二定律應用的步驟。

【例8】 兩重疊在一起的滑塊，置于固定的、傾角為θ的斜面上，如圖1所示，滑塊A、B的質量分別為M、m，A與斜面間的滑動摩擦因數為μ1，B與A之間的滑動摩擦因數為μ2，已知兩滑塊都從靜止開始以相同的加速度從斜面滑下，滑塊B受到的摩擦力 [ ]

A．等于零 B．方向沿斜面向上 C．大小等于μ1mgcosθ D．大小等于μ2mgcosθ

【分析】把A、B兩滑塊作為一個整體，設其下滑加速度為a．由牛頓第二定律（M + m）gsinθ-μ1（M + m）gcosθ=（M + m）a，得

a = g（sinθ-μ1cosθ）．

由于a＜gsinθ，可見B隨A一起下滑過程中，必然受到A對它沿斜面向上的摩擦力，設力fB（圖2）由牛頓第二定律

mgsinθ-fB = ma，得fB =mgsinθ-ma

= mgsinθ-mg（sinθ-μ1cosθ）=μ1mgcosθ． 【答】 B、C．

【說明】由于所求的摩擦力是未知力，如果不從加速度大小的比較先判定其方向，也可任意假設，若設B受到A對它的摩擦力沿斜面向下．則牛頓第二定律的表達式為

mgsinθ+fB = ma，得 fB = ma-mgsinθ

=mg（sinθ-μ1cosθ）-mgsinθ =-μ1mgcosθ．

式中負號表示所求摩擦力的方向與假設的方向相反，應為沿斜面向上．

【例9】 一個質量為m的物體放在水平地面上，設物體與地面間的摩擦系數為μ，對物體施以作用力F。問：

（1）若F是拉力，則F應沿怎樣的方向拉，才能使物體獲得最大的加速度？（2）若F是推力，則為了不產生加速度，F應朝什么方向推？ 【誤解】

（1）當F沿著水平方向拉，物體才有最大的加速度。

（2）為了使物體不獲得加速度F的方向必須與水平地面垂直?！菊_解答】

（1）如圖1所示，物體受重力mg、支持力N′、摩擦力f和拉力F作用。設F與豎直方向成α角，與水平方向成θ角。

在y軸方向有

N′=mg-Fcosα 則f=μ（mg-Fcosα）

在x軸方向上的物體的加速度為

令 μ=tgθ，則

在F是拉力情況下，當90°-α=θ時，也就是作用力F的方向與地面的夾角恰為θ=arctgμ時，物體能獲得最大的加速度。很明顯，若μ=0，則θ=0°，也就是α=90°時，物體能獲得最大的加速度。

（2）如圖所示，若F是推力，設推力與豎直方向的夾角為α，與水平地面的夾角為θ，則

f=μ（mg + Fcosα）

在x軸方向上物體的加速度為

推力使物體在x方向上獲得加速度，即a＞0，所以

Fsinα-μ（mg + Fcosα）＞0 即 F（sinα-μcosα）-μmg＞0 當α角使

F（sinα-μcosα）-μmg≤0時，即 sinα-μcosα≤

sinα-μcosα≤0

來求解α角的范圍。令μ = tgβ 則有

sinα-tgβcosα≤0

即

sin（α-β）≤0，在α、β均為銳角時得

α≤β=arctgμ

當用力推物體時，施力的方向與豎直方向的夾角α小于β，不論F多大都不能使物體獲得加速度。

【錯因分析與解題指導】[誤解]的主要錯因是沒有注意摩擦力的影響，由于外力F的方向不同，會使摩擦力的大小發生變化。無論是滑動摩擦力還是最大靜摩擦力，都和物體與地面間的正壓力有關。當外力F以與地面成不同的角度來推、拉物體時，正壓力就有不同的值，所以物體所受的合力就有不同的值。只有在正確分析物體的受力情況后，對問題才能作出正確的解答。

【例10】 質量為m=2kg的木塊原來靜止在粗糙水平地面上，現在第1，3，5?奇數秒內給物體施加方向向右、大小為F1=6N的水平推力，在第2，4，6?偶數秒內，給物體施加方向仍向右、大小為F2=2N的水平推力，已知物體與地面間的摩擦因數μ=0.1．取g=10m／s2，問：（1）木塊在奇數秒和偶數秒內各做什么運動？（2）經過多長時間，木塊位移的大小等于40.25m？

【分析】以木塊為研究對象，它在豎直方向處于力平衡狀態，水平方向僅受推力F1（或F2）和摩擦力f的作用．由牛頓第二定律可判斷出木塊在奇數秒和偶數秒的運動，結合運動學公式，即可求出運動時間． 【解】（1）木塊在奇數秒內的加速度為

木塊在偶數秒內的加速度為

所以，木塊在奇數秒內做a = a1=2m／s2的勻加速直線運動，在偶數秒內做勻速直線運動．

（2）在第1s內木塊向右的位移為

至第1s末木塊的速度

v1=at=2×1m/s=2m/s．

在第2s內，木塊以第1s末的速度向右做勻速運動，在第2s內木塊的位移為

s2=v1t=2×1m=2m．

至第2s末木塊的速度

v2=v1=2m/s．

在第3s內，木塊向右做初速等于2m/s的勻加速運動，在第3s內的位移為

至第3s末木塊的速度

v3=v2+at=2m/s+2×1m/s=4m/s．

在第4s內，木塊以第3s末的速度向右做勻速運動，在第4s內木塊的位移為

S4=v3t=4×1m=4m．

至第4s末木塊的速度

v4=v3＝4m/s．

??

由此可見，從第1s起，連續各秒內木塊的位移是從1開始的一個自然數列．因此，在ns內的總位移為

當sn=40.25m時，n的值為8＜n＜9．取n=8，則8s內木塊的位移共為

至第8s末，木塊的速度為

v8=8m/s．

設第8s后，木塊還需向右運動的時間為tx，對應的位移為

sx=40.25m-36m=4.25m，由

得合理解

tx=0.5s．

所以，木塊的位移大小等于40.25m時需運動時間

T=8s+0.5s=8.5s．

【說明】木塊運動的v-t圖如下圖所示．

因為v-t圖線與t軸間的面積表示對應時間內的位移，所以每秒內位移成一等差數列，其公差等于劃有斜線的小三角形面積，即

△s=s1=1m．

[例11]如圖1所示，一細線的一端固定于傾角為45°的光滑楔形滑塊A的頂端P處，細線的另一端拴一質量為m的小球．當滑塊以a=2g的加速度向左運動時，線中拉力T等于多少？

【分析】當小球貼著滑塊一起向左運動時，小球受到三個力作用：重力mg、線中拉力T、滑塊A的支持力N，如圖2所示．小球在這三個力作用下產生向左的加速度．當滑塊向左運動的加速度增大到一定值時，小球可能拋起，滑塊的支持力變為零，小球僅受重力和拉力兩個力作用．

由于題設加速度a=2g時，小球的受力情況未確定，因此可先找出使N=0時的臨界加速度，然后將它與題設加速度a=2g相比較，確定受力情況后即可根據牛頓第二定律列式求解．

【解】根據小球貼著滑塊運動時的受力情況，可列出水平方向和豎直方向的運動方程分別為

Tcos45°-Nsin45°=ma，（1）Tsin45°+Ncos45°=mg．（2）

聯立兩式，得

N=mgcos45°-masin45°．

當小球對滑塊的壓力等于零，即應使N=0，滑塊的加速度至少應為

可見，當滑塊以a=2g加速向左運動時，小球已脫離斜面飄起．此時小球僅受兩個力作用：重力mg、線中拉力T′，（圖3）設線與豎直方向間夾角為β．同理由牛頓第二定律得

T′sinβ=ma，T′cosβ=mg．

聯立兩式得

【說明】 如果沒有對臨界狀態作出分析，直接由（1）、（2）兩式聯立得線中拉力

這就錯了！

【例12】如圖1質量為M的斜面體放在有摩擦的地面上，質量為m1的物體A與質量為m2的物體B之間有摩擦，但物體B與斜面間的摩擦不計，物體B的上表面水平．AB在加速下滑的過程中相對靜止，斜面的傾角為θ，求：

①物體B對物體A的摩擦力和彈力 ②地面對斜面體的摩擦力和彈力

【分析】 本題考察整體和隔離法研究動力學問題，恰當的選取研究對象并正確受力分析是解題關鍵．

【解】（1）取A和B組成的系統為研究對象，受力如圖2（a），沿斜面方向

（m1+m2）gsinθ=（m1+m2）a

∴ a=gsinθ（1）

再以A研究受力如圖2（b）則 x方向

m1gsinθ+f1cosθ-N1sinθ=m1a（2）y方向

N1cosθ+f1sinθ=m1gcosθ（3）

由式（1）（2）（3）得

f1=m1gcosθ·sinθ 方向：水平向左 N1=m1gcos2θ方向：豎直向上

（2）對物體B受力分析如圖2（c）沿y方向

N′2=m2gcosθ+N′1cosθ+f′1sinθ（4）

由牛頓第三定律知 N1=N′1（5）

f1= f′1（6）∴N′2=（m1+m2）gcosθ

對斜面體C分析受力如圖2（d），則沿x方向：

N2sinθ-f2=0（7）

沿y方向：

N-Mg-N2cosθ=0（8）

有牛頓第三定律知 N=N′2（9）由式（7）（8）（9）得

f2=（m1+m2）gcosθsinθ 方向水平向左 N = Mg +（m1+m2）g·cos2θ 方向豎直向上

【說明】 本題研究對象很多，在分析各力時，力要清晰，且標好各自符號。題目考察綜合分析能力．在運用牛頓第二定律解決問題的應用中，我們應當具備把一個復雜問題分解成若干簡單問題的能力，找準它們之間的聯系，這既是一種解題方法，也是解復雜題目的關鍵所在．

【例13】 如圖1所示的三個物體質量分別為m1和m2和m3，帶有滑輪的物體放在光滑水平面上，滑輪和所有接觸面的摩擦以及繩子的質量均不計，為使三個物體無相對運動．水平推力F等于多少？

【分析】由于三個物體無相對運動，因此可看作一個整體，列出整體的牛頓第二定律方程．然后再隔離m1、m2，分別列出它們的運動方程． 【解】 由整體在水平方向的受力列出牛頓第二定律方程為

F=（m1+m2+m3）a．（1）

分別以m1、m2為研究對象作受力分析（圖2）設繩張力為T． 對m1，在水平方向據牛頓第二定律得

T=m1a．（2）

對m2，在豎直方向由力平衡條件得

T-m2g=0．（3）

聯立式（1）、（2）、（3），得水平推力

【說明】也可以全部用隔離法求解．設連接m1與m2的繩中張力為T，m2與m3之間相互作用力為N，滑輪兩側繩子張力形成對m3的合力為F′，畫出各個物體的隔離體受力圖如圖3所示（m1、m3豎直方向的力省略）．

對于m1，由受力分析知

T=m1a．（4）

對于m2，由水平方向與豎直方向的受力情況，分別可得

N=m2a，（5）T-m2g=0．（6）

對于m3，設滑輪兩側繩中張力的合力為F′，其水平分力化都表示物體運動狀態已發生了改變．（向左）等于T，因此

F-N-T=m3a．（7）

由（4）、（5）、（6）三式得

把它們代入式（7）得水平推力

顯然，全部用隔離法求解時，不僅未知數和方程數多，還可能因疏漏滑輪兩側繩子拉力對m3的影響而造成錯誤．所以應注意靈活地有分有合，交替使用隔離法和整體法．

【例14】 在升降機地面上固定著一個傾角α=30°的光滑斜面，用一條平行于斜面的細繩拴住一個質量m=2kg的小球（圖1）當升降機以加速度a=2m／s2豎直向上勻加速運動時，繩子對球的拉力和小球對斜面的壓力分別為多少？（取g=10m／s2）

【分析】以小球為研究對象，它隨升降機向上加速運動過程中受到三個力作用：重力mg、繩子拉力T、斜面支持力N．由于這三個力不在一直線上，可采用正交分解法，然后列出牛頓第二定律方程，即可求解．

【解】 根據小球的受力情況（圖2），把各個力分解到豎直、水平兩方向．在豎直方向上（取向上為正方向），根據牛頓第二定律得

Tsinα + Ncosα-mg = ma．（1）

在水平方向上（取向右為正方向），根據力平衡條件得

Tcosα-Nsinα=0．（2）

將（1）式乘以sinα，（2）式乘以cosα，兩式相加得繩子對球的拉力為

將（1）式乘以cosα，（2）式乘以sinα，兩式相減得斜面對球的支持力為

根據牛頓第三定律，球對斜面的壓力

N′=-N=-20.8N，式中“-”號表示N′與N方向相反，即垂直斜面向下．

【說明】 本題是已知運動求力，解題基本步驟與例2相同．需注意題中求出的N是斜面對球的支持力，還必須用牛頓第三定律，得出球對斜面的壓力．

【例15】如圖所示，在一個盛水的容器中漂浮一個物體，這時水面到達物體的某一位置。如將這個容器放在升降機中，在升降機以加速度a由靜止開始向上勻加速直線上升的過程中，物體浸入水中的深淺如何變化？

【誤解】 設漂浮物體的密度為ρ，體積為V，浸入水中的體積為V′，水的密度為ρ水。當容器靜止時

ρgV=ρ

水gV′

當容器以加速度a向上做勻加速直線運動時

F浮-mg = ma

∴ F浮=m（g+a）=ρV（g+a）設此時排開水的體積為V″，則有 ρ水V″g=ρV（g+a）

物體浸入深度將大些。

【正確解答】當容器處于靜止狀態時

當容器以加速度a向上運動時，則有 F浮-mg = ma 即 ρ水（g + a）V″-ρgV =ρaV

∴V″=V′ 物體浸入深度不變。

【錯因分析與解題指導】當容器以加速度a豎直向上做勻加速運動時，容器中的漂浮物和水同樣處于“超重”狀態，因此，水對漂浮物的浮力應變成ρ水（g + a）V″而不是ρ水gV″，這也就是[誤解]的根源之所在。

我們不妨再來考慮一種特殊情況：即當盛水容器放在自由下落的升降機上，物體浸入水中的深淺又如何變化呢？

全決定于自由下落前物體浸入水中的情況。由于下落前物體已靜浮液在

結論。

[例16]一個質量m為3.0kg的物塊，靜置在水平面上，物塊與水平面間的動摩擦因數為0.20，現在給物塊施加一個大小為15N，方向向右的水平推力F，并持續作用6s，在6s末撤去F1，在撤去F1的同時給物塊施加一個大小為12N，方向向左的水平推力F2，持續作用一段時間后又將它撤去，并立即給物塊施加一個大小仍為12N、方向向右持續作用的水平推力F3，已知物塊由靜止開始運動，經歷14s速度達到18m/s，方向向右，g取10m/s2，求物塊在14s內發生的位移。[分析]本題是物塊多次受不同恒力而運動的題目，顯然研究對象是物塊。物塊的運動情況可分為三個階段： 第一段：v10=0

物體向右做初速為零的勻加速運動，歷時6s 第二段：v20=a1t1=3.0×6m/s=18m/s

物體將向右做勻減速運動，由于t2末知，t2秒末物體可能有向右速度，可能速度為零，可能有向左的速度。第三段：v3t=18m/s（向右）

由分析知道各段的速度和加速度情況，根據速度和加速度可畫出v-t圖象，用圖象來求解。

第二段末尾速度是第三段初始速度，兩段速度圖線交點在橫軸之上（即正值），且說明物體在第二段一直向右運動，t2=2sv2t=6m/s

[解]

解法一：用圖象解

物體運動的v-t圖線與橫軸所圍“面積”為位移大小，即

解法二：用牛頓定律和運動學公式解

v1t=a1t1=18m/s ②

v2t=v1-a2t2=18-6t2④

t3=t總-t1-t3=8-t2 ⑥

v3=v2t+a3t3=18-16t2+2(8-t2)=18 ⑦ 解得：

t2=2s t3=6s v2t=6m/s

解法二：用動量定律求解 對全程有

F1t1-F2t2+F3(t-t1-t2)-ft=mv

解得

t2=2s從而t3=6s 對第一段（F1-f）t1=mv1 v1=18m/s

對第二段

（F2+f）t2=mv2-mv1 v2=6m/s

∴ s=s1+s2+s3=150m [說明]

1.物體的運動性質由兩個條件決定：一是運動的初始狀態，即初速度，二是物體所受合外力的大小方向。

2.同一個物體做幾個不同的運動時，前一過程的末速度，是后一過程的初速度。3.一題往往有幾種不同的解法，注意各種解法的特點，正確運用物理公式求解。[例17]圖為一空間探測器的示意圖，P1、P2、P3、P4是四個噴氣發動機，P1、P3的連線與空間一固定坐標系的x軸平行，P2、P4的連線與y軸平行，每臺發動機開始時，都能向探測器提供推力，但不會使探測器轉動，開始時，探測器以恒定的速率v0向正x方向平動，要使探測器改為向正x偏負y60°的方向以原來的速率v0平動，則可

A.．先開動P1適當時間，再開動P4適當時間 B．先開動P3適當時間，再開動P2適當時間 C．開動P4適當時間

D．先開動P3適當時間，再開動P4適當時間

[分析]每臺發動機開動時，都能向探測器提供的是“推力”

最后探測器是向x偏負y60°的方向以原來的速度v0平動，對此速度進行分解

沿x正方向速率減小，要開動P1 , [解]正確答案為A。

[說明]判斷物體的運動時，要考慮初速度和受力情況。速度分解時，由于合速度處于直角三角形的斜邊所以合速度大小要大于水平分速度大小。