第一篇：5.2任意角的三角比教案

5.2課題：任意角的三角比（2）教案

教學目的：

1、掌握三角比在各個象限的符號規律以及誘導公式一。

2、會用三角比的定義得到公式一，并能用公式一將任意角的正弦、余弦、正切的三角比分別轉化為0°到360°的角的同一三角比。

教學重點：利用三角比的定義得出：三角比在各象限的符號特點及公式一。教學過程：

（一）、引入

一、任意角三角比的定義：

設?是一個任意角，?的終邊上任意一點P的坐標是(x,y)，P與原點的距離r?x2?y2，則sin?=

yxyxrr，cos?=，tan?=，cot?=, sec?=, sec?=

rxxxry二、三角比的值的號是有什么元素確定的？

由三角比的定義知道：三角比的值的符號是有角?的終邊確定的。

（二）、新課 一、三角比在各象限的符號的確定 由三角比的定義，以及各象限內點的坐標的符號，可以得知三角比的值在各象限的符號：

y y y O x O x O x yxsin?? cos?? tan??rrrrcsc?? sec?? cot??yxyxx y

二、誘導公式一

因為角的三角比值是由?的終邊位置決定的，所以所有終邊相同的角的三角比值是相同的。

誘導公式一：

sin(2k???)?sin?(k?Z)cos(2k???)?cos?(k?Z)tan(2k???)?tan?(k?Z)cot(2k???)?cot?(k?Z)

三、典型例題（3個，基礎的或中等難度）例

1、確定下列三角比的符號：

?11?(1)cos2500(2)sin(?)(3)tan(?6720)(4)tan

43解：(1)∵250°角屬于第三象限角, ∴cos250°<0(2)∵??4角屬于第四象限角, ∴sin(??4)<0(3)∵tan(?6720)?tan(480?2?3600)?tan480.而48°角屬于第一象限角, ∴tan(?6720)>0(4)∵tan11?????tan(4??)?tan(?),?角屬于第四象限角，3333?11?tan(?)?0∴tan<0

例

2、求下列三角比：

911(1)cos?;(2)tan(??)（3）sin1485°

469112解：(1)cos??cos(2???)?cos??。

444211??3。(2)tan(??)?cos(?2?)?cos?6663(3)sin1485°=sin(4×360°+45°)=sin45°=

2。2例3：求證角θ是第三象限角的充分必要條件是??sin??0 ．

tan??0?證明:(1)必要性, ∵角θ是第三象限角,p(x,y)為終邊上任意一點(非原點)，則x<0，y<0，r=x2?y2?0, ∴sinθ<0且tanθ>0，即??sin??0

?tan??0(2)充分性

∵sinθ<0, ∴θ角終邊可能位于第三、第四象限或y軸的負半軸上。又tanθ>0，∴θ角終邊可能位于第一、第三象限。因此，θ角終邊只可能位于第三象限。故命題得證。

五、課堂練習（2個，基礎的或中等難度）

1、求下列各三角比：（1）cos10935?)；?；（2）tan(-（3）sin(-315°)631311?·cot?為_______； 5472、確定下列各題的符號： sin125°·cos175°為_______；tan5?17?cos8為________；10為______。

3?2?cscsec45sin

六、拓展探究（2個）

1、已知角?的終邊過點(3a-9，a+2)，且cos?≤0,sin?>0，則?的取值范圍是_____。

2、已知集合A={y|y=

|sinx|cosx|tanx|}，用列舉法表示集合A是_________。??sinx|cosx|tanx109??1?=cos(36π+)=cos=； 3332答案：五：

1、（1）cos（2）tan(-

335???)=tan(-6π+)=tan=； 66632。2（3）sin(-315°)=sin(-360°+45°)=sin45°=

2、負；負；正；正 六：

1、；由題意知??3a?9?0，a的取值范圍是(-2，3]。

?a?2?02、當x在第一象限時，y=3； 當x在第二象限時，y=-1； 當x在第三象限時，y=-1； 當x在第四象限時，y=-1。∴A={-1，3}

（三）、小結

三角比的符號規律和誘導公式一。

（四）、作業課外作業：（6+2填空，3+1選擇，3+1解答，其中+后面的題目可以難些用“*”注明）

一、填空題

1、判斷三角比的符號：cos722°_______；tan1230°______。（填“正”或“負”）

2、求下列各三角比：tan

171125?=______，cot(-?)=______，csc?=______。4463、若cos?<0，tan?>0，則?是第________象限角。

4、若cos?>0，tan?<0，則?的集合是_________________。

5、若?是第三象限角，①sin?+cos?<0；②tan?-sin?>0；③cot?·csc?<0； ④sin?·sec?>0。其中正確的是_________________。

6、在ΔABC中，都有cos?tan?cot?<0，則這個三角形是__________三角形。7*、若cot(sin?)·tan(cos?)>0，則?是第_________象限角。

2??sin(?x)(?1?x?0)8*、函數f(x)=?x?1，若f(1)+f(a)=2，則a可能的值是_______。

?(x?0)?e

二、選擇題

1、已知A是三角形的一個內角，則cosA的值

（）

A、一定是正數

B、一定是非負數

C、是非負數

D、正數、零、負數都有可能

2、已知?是第三象限角，則點(sin?，cos?)，位于

（）A、第一象限

B、第二象限

C、第三象限

D、第四象限

3、設y=sin?·cos?·cot?，且?是象限角，則y的符號為（）A、恒正

B、恒負

C、可能為0

D、不定

4*、對于象限角?，都有|tan?+cot?|=|tan?|+|cot?|，則?是（）A、第一、第三象限角

B、第二、第四象限角 C、第三、第四象限角

D、任意象限角

三、解答題

1、化簡：msin(-630°)+ntan(-315°)-2mncos(-720°)2213，且?為第二象限角，求sin(8π+?)。5????

3、求值（1）tan(2π+)·tan(4π+)·tan(6π+)·?·tan(2010π+)；

4444????（2）tan(2π+)+tan(4π+)+tan(6π+)+?+tan(2010π+)。

44442、已知cot?=-

?2cos2(2??x)?sin(2??x)?cos(?4??x)?34*、已知f(x)=，求f()。2232?2cos(6??x)?2sin(?8??x)

四、雙基鋪墊

1、任意角三角比的定義是什么？

2、1、任意角各三角比在象限內的符號是什么？

任意角的三角比（2）課外作業答案

一、填空題

1、正，負

；

2、4、{?|2kπ-

2，3，；

3、第三象限； 2?

；

5、①，②，③，④

6、鈍角 ；

27、若?是第一象限角，則0

?228、∵f(1)=1，∴f(a)=1，當-1

222或a=1。

2二、選擇題

1、D ；

2、C

；

3、A ；

4、D

；（由題設知：tan?·cot?>0，∴?是任意象限角。）

三、解答題

1、原式=m2sin(-720°+90°)+n2tan(-360°+45°)-2mncos(-720°+0°)=m-2mn+n=(m?n)2

2、設角?終邊上的一點為(x，y)，則x<0，y>0，由題意得x=-12，y=5，∴r=13，∴sin(8π+?)=sin?=

3、原式=tan225 13?1005???·tan??tan=(tan)=1。

4444?原式=1005tan=1005。

42cos2x?sin(?x)?cosx?

34、f(x)= 222?2cosx?2sinx???1312?cos2?sin(?)?cos?32?()2???333?333222???∴f()=

??348132?2cos2?2sin22?2?()2?2?()2332

2四、雙基鋪墊

1、任意角三角比的定義是什么？ 答：sin?=

yxyxrr，cos?=，tan?=，cot?=, sec?=, sec?=

rxxxry2、任意角各三角比在象限內的符號是什么？ 答：正弦一、二正；余弦一、四正；正切一、三正。

第二篇：教案《任意角》

《任意角》教案

教學目標：要求學生掌握用“旋轉”定義角的概念，理解任意角的概念，學會在平面內建立適當的坐標系來討論角；并進而理解“正角”“負角”“象限角”“終邊相同的角”的含義。

教學重點：理解“正角”“負角”“象限角”“終邊相同的角”的含義

教學難點：“旋轉”定義角

課標要求：了解任意角的概念

教學過程：

一、引入

同學們在初中時，曾初步接觸過三角函數，那時的運用僅限于計算一些特殊的三角函數值、研究一些三角形中簡單的邊角關系等。三角函數也是高中數學的一個重要內容，在今后的學習中大家會發現三角學有著極其豐富的內容，它能夠簡單地解決許多數學問題，在中學數學中有著非常廣泛的應用。

二、新課

1．回憶：初中是任何定義角的？

（從一個點出發引出的兩條射線構成的幾何圖形）這種概念的優點是形象、直觀、容易理解，但它的弊端在于“狹隘”

師：初中時，我們已學習了0○～360○角的概念，它是如何定義的呢？

生：角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形。

師：如圖1，一條射線由原來的位置OA，繞著它的端點O按逆時針方向旋轉到終止位置OB，就形成角α。旋轉開始時的射線OA叫做角的始邊，OB叫終邊，射線的端點O叫做叫α的頂點。

師：在體操比賽中我們經常聽到這樣的術語：“轉體720o”（即轉體2周），“轉體1080o”（即轉體3周）；再如時鐘快了5分鐘，現要校正，需將分針怎樣旋轉？如果慢了5分鐘，又該如何校正？

生：逆時針旋轉300；順時針旋轉300.師：（1）用扳手擰螺母；（2）跳水運動員身體旋轉．說明旋轉第二周、第三周……，則形成了更大范圍內的角，這些角顯然超出了我們已有的認識范圍。本節課將在已掌握 ～ 角的范圍基礎上，重新給出角的定義，并研究這些角的分類及記法．

2.角的概念的推廣：

角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形 3．正角、負角、零角概念

師：為了區別起見，我們把按逆時針方向旋轉所形成的角叫正角，如圖2中的角為正角，它00等于30與750；我們把按逆時針方向旋轉所形成的角叫正角，那么同學們猜猜看，負角怎么規定呢？零角呢？

生：按順時針方向旋轉所形成的角叫負角，如果一條射線沒有作任何旋轉，我們稱它形成了一個零角。

00師：如圖3，以OA為始邊的角α=-150，β=-660。特別地，當一條射線沒有作任何旋轉時，我們也認為這是形成了一個角，并把這個角稱為零角。師：好，角的概念經過這樣的推廣之后，就應該包

括正角、負角、零角。這里還有一點要說明：為了簡單起見，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可簡記為α.4.象限角

師：在今后的學習中，我們常在直角坐標系內討論角，為此我們必須了解象限角這個概念。同學們已經經過預習，請一位同學回答什么叫：象限角？

生：角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合。那么，角的終邊（除端點外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角。

師：很好，從剛才這位同學的回答可以知道，她已經基本理解了“象限角”的概念了。下面請大家將書上象限角的定義劃好，同時思考這么三個問題：

1.定義中說：角的始邊與x軸的非負半軸重合，如果改為與x軸的正半軸重合行不行，為什么？

2.定義中有個小括號，內容是：除端點外，請問課本為什么要加這四個字？ 3.是不是任意角都可以歸結為是象限角，為什么？ 處理：學生思考片刻后回答，教師適時予以糾正。答：1.不行，始邊包括端點（原點）； 2．端點在原點上；

3．不是，一些特殊角終邊可能落在坐標軸上；如果角的終邊落在坐標軸上，就認為這個角不屬于任一象限。

師：同學們一定要學會看數學書，特別是一些重要的概念、定理、性質要斟字酌句，每個字都要弄清楚，這樣的預習才是有效果的。

00000師生討論：好，按照象限角定義，圖中的30，390，-330角，都是第一象限角；300，-60

0角，都是第四象限角；585角是第三象限角。師：很好，不過老師還有幾事不明，要請教大家：（1）銳角是第一象限角嗎？第一象限角是銳角嗎？為什么？

生：銳角是第一象限角，第一象限角不一定是銳角；

0師：（2）銳角就是小于90的角嗎？

0生：小于90的角可能是零角或負角，故它不一定是銳角；

00師：（3）銳角就是0～90的角嗎？

000000生：銳角：{θ|0<θ<90}；0～90的角：{θ|0≤θ<90}.學生練習（口答）已知角的頂點與坐標系原點重合，始邊落在x軸的非負半軸上，作出下列各角，并指出它們是哪個象限的角？

0000（1）420；

（2）-75；

（3）855；

（4）-510.答：（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）第三象限角.5.終邊相同的角的表示法

師：觀察下列角你有什么發現? 390?

?330?

30?

1470?

?1770? 生:終邊重合.0師:請同學們思考為什么？能否再舉三個與30角同終邊的角？

0000000000生：圖中發現390，-330與30相差360的整數倍，例如，390=360+30，-330=-360+30；000與30角同終邊的角還有750，-690等。

0師：好！這位同學發現了兩個同終邊角的特征，即：終邊相同的角相差360的整數倍。例0000000如：750=2×360+30；-690=-2×360+30。那么除了這些角之外，與30角終邊相同的角還有：

3×360+30

-3×360+30

0000

4×360+30

-4×360+30

??，??，000由此，我們可以用S={β|β=k×360+30，k∈Z}來表示所有與30角終邊相同的角的集合。6.例題講評

例1 設E?{小于90o的角｝，F?{銳角｝，G＝{第一象限的角｝，那么有（D 0000）．

（

）

D．

A．例2用集合表示：

B．

C．

（1）各象限的角組成的集合．

（2）終邊落在

o

o

o

軸右側的角的集合．

解：(1)第一象限角：｛α|k360π＜α＜k360+90,k∈Z｝

oooo第二象限角：｛α|k360+90＜α＜k360+180,k∈Z｝

oooo第三象限角：｛α|k360+180＜α＜k360+270,k∈Z｝

ooo第四象限角：{α|k360+270o＜α＜k360+360 ,k∈Z｝

三.本課小結

本節課我們學習了正角、負角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何象限，本節課的重點是學習終邊相同的角的表示法。判斷一個角 么 是第幾象限角，只要把

改寫成

與角，適合關系：，那，在第幾象限，則、就是第幾象限角，若角

與 終邊相同；若角 適合關系：

則、終邊互為反向延長線．判斷一個角所有象限或不同角之間的終邊關系，可首先把，這種模式（），然后只要考查 的相關它們化為：

問題即可．另外，數形結合思想、運動變化觀點都是學習本課內容的重要思想方法．

四.作業:

第三篇：任意角三角函數教案（推薦）

問題1 本章研究的問題是三角函數，函數的研究離不開平面直角坐標系，這在第一節中已經有所感受。現在請你回憶初中學過的銳角三角函數的定義，并思考一個問題：如果將銳角置于平面直角坐標系中，如何用直角坐標系中角的終邊上的點的坐標表示銳角三角函數呢？

（設計意圖：將已有知識坐標化,分化難點。用新的觀點再認識學生的已有知識經驗，發揮其正遷移作用，同時使本課時的學習與學生的已有知識經驗緊密聯系，使知識有一個熟悉的起點，扎實的固著點。）

預計的回答：學生可以回憶出初中學過的銳角三角函數的定義，但是在用坐標語言表述時可能會出現困難——即使將角置于坐標系中但是仍然習慣用三角形邊的比值表示銳角三角函數，需要教師引導學生將之轉換為用終邊上的點的坐標表示銳角三角函數。

解答過程：

：如圖1，在直角△POM中，∠M是直角，那么。

（2）坐標化：如圖2，建立平面直角坐標系，設點P的坐標為（x，y），那么，于是。

問題2 回憶弧度制中1弧度角的幾何解釋，它是借助于單位圓給出的，能否從中得到啟示將上述定義的形式化簡，化簡的依據是什么？寫出最簡單的形式。（設計意圖：引入單位圓。深化對單位圓作用的認識，用數學的簡潔美引導學生進行研究，為定義的拓展奠定基礎。該問題與問題1結合，分步推進，降低難度，基本尊重教材的處理方式。）

預計的困難：由于學生只接觸過一次單位圓，對它所能起的作用只有一般的了解，所以需要教師的引導。也可以引導學生從形式上對上述定義化簡，使得分母為1，之后通過分母的幾何意義將之與單位圓結合起來。

解答過程：

單位圓中定義銳角三角函數：如圖3，線段OP=1，點P的坐標為（x，y），那么銳角α的三角函數可以用坐標表示為：。

（說明：單位圓的定義建議在弧度制一節中給出。）

依據：三角形相似，比值與具體的點的位置沒有關系。

問題3：上述定義是借助于單位圓，利用角的終邊與單位圓的交點的坐標給出的，它可以推廣到任意角的三角函數，請你寫出任意角的三角函數的定義。分小組分別寫出角α的終邊位于第二、三、四象限和x軸、y軸上時的三角函數。（設計意圖：具體認識任意角的三角函數，突現本課時的研究重點。如果問題太一般化，如設計為：上述定義可以推廣到任意角的三角函數，請寫出任意角的三角函數的定義。那么學生不知道“上述定義”是指哪個，而且不明白任意角該如何取。所以在問題設計中再次強調要借助于單位圓，利用坐標，限定學生的思維，以免太發散。再者在一般要求“寫出任意角的三角函數”之后，又提出具體的活動方式：分小組針對不同位置的角分別寫出其三角函數。這樣將問題具體化，學生容易著手解決。寫出定義的過程也是鞏固推廣的過程，而且這樣做盡可能避免出現學生用計算器算cosπ的現象。）

活動形式：由學生分組獨立完成之后再展示交流，形成具體而全面的認識。學生可能會在寫出任意角的三角函數的定義時出現困難，教師的幫助不要具體，而是在思維上引導——用坐標表示，并引導學生正確認識三角函數的定義域。

預計的答案：如圖4，針對其中的圖（1）（2）（3）學生寫出，針對其中的圖（4）學生寫出，針對其中的圖（5）學生寫出，tanα無意義。

結論：給出三角函數的定義：（略）。

問題4：根據上述過程，你能寫出三角函數的定義域嗎？你能用函數的定義對三角函數進行分析嗎？

（設計意圖：順勢而為形成定義，并將三角函數的定義進行同化，通過這樣的活動強化學生對任意角三角函數定義的理解，達到對概念的初步精致。）

預計的困難：學生對三角函數的自變量認識可能會存在問題。

教師的引導：引導學生利用單位圓的幾何意義解釋正弦、余弦的值域。預計的答案：設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P（x,y）。

例1 求的正弦、余弦和正切值。

（設計意圖：鞏固對定義的理解。）

分析：根據定義求解，先利用銳角三角函數知識求出點P的坐標，再根據定義求解。

解：如圖5，可知在RTΔOPC中，∠OPC=30o，所以OC=，CP=，所以點P的坐標是。

根據定義可得：

練習１（P15練習3）完成下列表格中的前兩列：

例2 已知角α的終邊經過點P（－3，－4），求角α的正弦、余弦和正切值。

（設計意圖：通過問題的轉化，進一步加深對定義的理解。）

分析：通過相似求出角α的終邊與單位圓的交點坐標，之后再根據定義求解。解：如圖6，由已知可得： |OP0|=。

設角α的終邊與單位圓交于點P（x，y）,分別過點P和P0作x軸的垂線MP，M 0P0，則

又|OP|=1，根據∽Δ，可得，即，所以。

所以。

（說明：上述書寫過程基本與例1統一，這樣可以將該題目的求解思路同化，降低學習難度。）

問題5 通過本課時的學習你有哪些收獲，請從知識、思想方法經驗等方面進行小結。此外你還有哪些需要質疑之處。

（設計意圖：引導學生小結，并進一步思考。通過質疑引導學生全面認識三角函數，雖然在課堂上不研究其他3個三角函數，但是可以讓學生有一個全面的認識，培養思維的嚴謹性。通過三角函數定義的一般化，引導學生用辯證的觀點認識事物，理解三角函數。）

小結：知識：（略）；

思想方法：（略）；

經驗：用函數的觀點認識三角函數，用單位圓的幾何特征研究三角函數。

拓展1：3個數可以形成6個比值，為什么只對其中的三個比值進行定義和研究，其他3個比值又能對應什么函數呢？有興趣的同學可以自己查閱資料進行研究。

拓展2：通過求解例2，你能發現還可以怎么定義任意角的三角函數呢？請閱讀教材的旁白。這是三角函數定義的等價定義。

六、目標檢測設計 1．P15練習1，2，3；

（設計意圖：初步應用定義和等價定義。）2．習題1.2A組2。

（設計意圖：培養學生類比、對比解決問題能力。）

3．完成教材P13的探究，之后完成P15練習4，6，把結果填在書上。（設計意圖：將作業作為課堂教學的延伸，培養學生自主學習的能力和習慣。）七．設計思路 1．突出單位圓的作用。具體表現在三個方面：第一是將銳角三角函數坐標化，引入單位圓；第二是利用單位圓寫出任意角的三角函數；第三是利用單位圓寫出定義域及正弦、余弦的值域；第四是在例2的解決過程中建立單位圓與一般定義的關系。

2．用函數同化三角函數。給出任意角的三角函數的定義之后，用函數的定義對三角函數進行分析，將之納入到已有的認知結構中，并使得原有認知結構發生順應變化。

3．力求在數學的自然、必要和學生的認知之間尋找平衡點。根據聽課時出現的問題，在本教學設計中采取了下列處理方式。（1）先坐標化再引入單位圓，降低認知臺階。

從銳角三角函數到任意角三角函數這一段的處理基本尊重教材，這是因為在聽課過程中發現如果將“坐標化”與“單位圓”兩個問題同時拋給學生，雖然能體現出做這兩個工作的必要性，但是跨度較大，學生感到困難，解決問題的過程費時費力，不但不能使學生感受到學習的必要性，反而制約了學生的思維。

（2）將問題分解、具體化，通過具體認識一般。

在形成任意角的三角函數的定義時將問題解剖，并采取分組合作的組織方式，旨在將抽象的問題具體化，降低難度。讓學生根據角的不同位置寫出定義，特別是對于象限角也進行了相同的處理辦法，這是因為學生的思維從具體問題開始，而且要形成“初始效應”，在新概念學習伊始就使得它植根于學生的已有認知結構中，并形成強烈的意識——用新定義解決問題，而不再用計算器或其他辦法。

（3）解題思路求同，強化定義的作用。

例

1、例2兩個題目的解決思路都是相同的：先求出角的終邊與單位圓交點的坐標，之后再根據定義求解。差別在于求角的終邊與單位圓交點的坐標的具體方法不同，這些求法都是學生已經具備的技能。據此建議教材中將例2的解題過程修改，將利用相似求線段長的計算前置，分步完成即降低了難度，又統一了思路，突出了定義的作用。

（4）將作業作為課堂教學的有效延伸，給學生思考的空間。

作業中的第3項的設計，其意是使得學生的作業不但有模仿的，更有需要獨立思考的，培養學生的能力。

2009-04-09 人教網 關閉 打印

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第四篇：《任意角和弧度制》教案

《任意角和弧度制》教案

篇一：人教A版高中數學必修四

1.1《任意角和弧度制》

1.1

《任意角和弧度制》教案

【教學目標】

1.理解任意角的概念.2.學會建立直角坐標系討論任意角，判斷象限角，掌握終邊相同角的集合的書寫.3.了解弧度制，能進行弧度與角度的換算.4.認識弧長公式，能進行簡單應用.對弧長公式只要求了解，會進行簡單應用，不必在應用方面加深.5.了解角的集合與實數集建立了一一對應關系，培養學生學會用函數的觀點分析、解決問題.【導入新課】

復習初中學習過的知識：角的度量、圓心角的度數與弧的度數及弧長的關系

提出問題：

1．初中所學角的概念.2．實際生活中出現一系列關于角的問題.3.初中的角是如何度量的？度量單位是什么？

4.1°的角是如何定義的？弧長公式是什么？

5.角的范圍是什么？如何分類的？

新授課階段

一、角的定義與范圍的擴大

1．角的定義：一條射線繞著它的端點O，從起始位置OA旋轉到終止位置OB，形成一個角，點O是角的頂點，射線OA,OB分別是角的終邊、始邊.說明：在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以簡記為．

2．角的分類：

正角：按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角；

負角：按順時針方向旋轉形成的角叫做負角；

零角：如果一條射線沒有做任何旋轉，我們稱它為零角.說明：零角的始邊和終邊重合.3．象限角：

在直角坐標系中，使角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的非負軸重合，則

（1）象限角：若角的終邊（端點除外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角.例如：30,390,330都是第一象限角；300,60是第四象限角.（2）非象限角（也稱象限間角、軸線角）：如角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何象限.例如：90,180,2等等.說明：角的始邊“與x軸的非負半軸重合”不能說成是“與x軸的正半軸重合”.因為

x軸的正半軸不包括原點，就不完全包括角的始邊，角的始邊是以角的頂點為其端點的射線.4．終邊相同的角的集合：由特殊角30看出：所有與30角終邊相同的角，連同30角自身在內，都可以寫成30k360

kZ的形式；反之，所有形如

30k360kZ的角都與30角的終邊相同.從而得出一般規律：

所有與角終邊相同的角，連同角在內，可構成一個集合S|k360,kZ，即：任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數個周角的和.說明：終邊相同的角不一定相等，相等的角終邊一定相同.例1在0與360范圍內，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限角？

（1）120；（2）640；（3）95012.解：（1）120240360，所以，與120角終邊相同的角是240，它是第三象限角；

（2）640280360，所以，與640角終邊相同的角是280角，它是第四象限角；

（3）95012129483360，所以，95012角終邊相同的角是12948角，它是第二象限角.例2

若k3601575,kZ，試判斷角所在象限.解：∵k3601575(k5)360225,(k5)Z

∴與225終邊相同，所以，在第三象限.例3

寫出下列各邊相同的角的集合S，并把S中適合不等式360720的元素

寫出來：（1）60；（2）21；（3）36314．

解：（1）S|60k360,kZ，S中適合360720的元素是

601360300,60036060,601360420.（2）S|21k360,kZ，S中適合360720的元素是

21036021,211360339,212260699

（3）S|36314k360,kZ

S中適合360720的元素是

36314236035646,3631413603***036314.例4

寫出第一象限角的集合M．

分析：（1）在360內第一象限角可表示為090；

（2）與0,90終邊相同的角分別為0k360,90k360,(kZ)；

（3）第一象限角的集合就是夾在這兩個終邊相同的角中間的角的集合，我們表示為：

M|k36090k360,kZ．

學生討論，歸納出第二、三、四象限角的集合的表示法：

P|90k360180k360,kZ；

N|90k360180k360,kZ；

Q|2k360360k360,kZ．

說明：區間角的集合的表示不唯一.例5寫出yx(x0)所夾區域內的角的集合.解：當終邊落在yx(x0)上時，角的集合為|45k360,kZ；

當終邊落在yx(x0)上時，角的集合為|45k360,kZ；

所以，按逆時針方向旋轉有集合：S|45k36045k360,kZ．

二、弧度制與弧長公式

1.角度制與弧度制的換算：

∵360=2（rad），∴180=

rad.∴

1=

180

rad0.01745rad.180

1rad57.305718.o

S

l

2．弧長公式：lr.由公式：

lnrlr.比公式l簡單.r180

lR，其中l是扇形弧長，R是圓的半徑.2

弧長等于弧所對的圓心角（的弧度數）的絕對值與半徑的積

3．扇形面積公式

S注意幾點：

1．今后在具體運算時，“弧度”二字和單位符號“rad”可以省略，如：3表示3rad，sin表示rad角的正弦；

2．一些特殊角的度數與弧度數的對應值應該記住：

3．應確立如下的概念：角的概念推廣之后，無論用角度制還是弧度制都能在角的集合與實數的集合之間建立一種一一對應的關系.任意角的集合實數集R

例6

把下列各角從度化為弧度：

(1)252；（2）1115；(3)

30；(4)6730.解：(1)

/

（2）0.0625

(3)

(4)

0.375

變式練習：把下列各角從度化為弧度：(1)22o30′；（2）-210o；(3)1200o.解：(1)

；（2）

18720；(3).63

例7

把下列各角從弧度化為度：

（1）；(2)

3.5；(3)

2；(4)

5.4

解：（1）108

o；(2)200.5o；(3)114.6o；(4)45o.變式練習：把下列各角從弧度化為度：

（1）

；（2）-；（3）.12310

解：（1）15

o；（2）-240o；（3）54o.例8

知扇形的周長為8cm，圓心角為2rad，求該扇形的面積.解：因為2R+2R=8,所以R=2,S=4.課堂小結

1．弧度制的定義；

2．弧度制與角度制的轉換與區別；

3．.弧度制下的弧長公式和扇形面積公式，并靈活運用；

篇二：(教案3)1.1任意角和弧度制

1.1.1任意角

教學目標：要求學生掌握用“旋轉”定義角的概念，理解任意角的概念，學會在平面內建立

適當的坐標系來討論角；并進而理解“正角”“負角”“象限角”“終邊相同的角”的含義。

教學重點：理解“正角”“負角”“象限角”“終邊相同的角”的含義

教學難點：“旋轉”定義角

課標要求：了解任意角的概念

教學過程：

一、復習

師：上節課我們學習了角的概念的推廣，推廣后的角分為正角、負角和零角；另外還學習了象限角的概念，下面請一位同學敘述一下它們的定義。

生：略

師：上節課我們還學習了所有與α角終邊相同的角的集合的表示法，[板書]

0S={β|β=α+k×360，k∈Z}

這節課我們將進一步學習并運用角的概念的推廣，解決一些簡單問題。

二、例題選講

00例1寫出與下列各角終邊相同的角的集合S，并把S中適合不等式-360≤β720的元素β

寫出來：

000，（1）60；

（2）-21；

（3）36314

0000解：（1）S={β|β=60+k×360，k∈Z}S中適合-360≤β720的元素是

00000000060+（-1）×360=-30060+0×360=6060+1×360=420.0000（2）S={β|β=-21+k×360，k∈Z}

S中適合-360≤β720的元素是

000

000

000

-21+0×360=-21

-21+1×360=339-21+2×360=699

0000說明：-21不是0到360的角，但仍可用上述方法來構成與-21角終邊相同的角的集合。

0，000（3）S={β|β=36314+k×360，k∈Z}

S中適合-360≤β720的元素是

0，00，0，00，0，00，36314+（-2）×360=-3564636314+（-1）×360=31436314+0×360=36314

說明：這種終邊相同的角的表示法非常重要，應熟練掌握。

例2．寫出終邊在下列位置的角的集合(1)x軸的負半軸上；（2）y軸上

分析：要求這些角的集合，根據終邊相同的角的表示法，關鍵只要找出符合這個條件的一個

0角即α，然后在后面加上k×360即可。

○○0解：（1）∵在0～360間，終邊在x軸負半軸上的角為180，∴終邊在x軸負半軸上

00的所有角構成的集合是{β|β=180+k×360，k∈Z

}

○○000（2）∵在0～360間，終邊在y軸上的角有兩個，即90和2，∴與90角終邊相

00同的角構成的集合是S1={β|β=90+k×360，k∈Z

}

000同理，與2角終邊相同的角構成的集合是S2={β|β=2+k×360，k∈Z

}

提問：同學們思考一下，能否將這兩條式子寫成統一表達式？

師：一下子可能看不出來，這時我們將這兩條式子作一簡單變化：

0000S1={β|β=90+k×360，k∈Z

}={β|β=90+2k×180，k∈Z

}（1）

00000S2={β|β=2+k×360，k∈Z

}={β|β=90+180+2k×180，k∈Z

}

00={β|β=90+（2k+1）×180，k∈Z

}

（2）

0師：在（1）式等號右邊后一項是180的所有偶數（2k）倍；在（2）式等號右邊后一項是

00180的所有奇數（2k+1）倍。因此，它們可以合并為180的所有整數倍，（1）式和（2）式

可統一寫成90+n×180（n∈Z），故終邊在y軸上的角的集合為

0000S=

S1∪S2

={β|β=90+2k×180，k∈Z

}∪{β|β=90+（2k+1）×180，k∈Z

}

00={β|β=90+n×180，n∈Z

}

處理：師生討論，教師板演。

提問：終邊落在x軸上的角的集合如何表示？終邊落在坐標軸上的角的集合如何表示？

00（思考后）答：{β|β=k×180，k∈Z

},{β|β=k×90，k∈Z

}

進一步：終邊落在第一、三象限角平分線上的角的集合如何表示？

00答：{β|β=45+n×180，n∈Z

}

0推廣：{β|β=α+k×180，k∈Z

}，β，α有何關系？（圖形表示）

處理：“提問”由學生作答；“進一步”教師引導，學生作答；“推廣”由學生歸納。

例1

若是第二象限角，則2，00，分別是第幾象限的角？

師：是第二象限角，如何表示？

0000解：（1）∵是第二象限角，∴90+k×360180+k×360（k∈Z）

0000∴

180+k×7202360+k×720

∴2是第三或第四象限的角，或角的終邊在y軸的非正半軸上。

．．．．．．．．

（2）∵k18045

2k18090(kZ)，處理：先將k取幾個具體的數看一下（k=0，1，2，3），再歸納出以下規律：

是第一象限的角；

當k2n1(nZ)時，n360225n3602(kZ)，是第三象限的22當k2n(nZ)時，n36045n36090(kZ)，角。

∴是第一或第三象限的角。

是第一或第二或第四象限的角）

3說明：配以圖形加以說明。

（3）學生練習后教師講解并配以圖形說明。（進一步求是第幾象限的角（是第三象限的角），學生練習，教師校對答案。

三、例題小結

1．要注意某一區間內的角和象限角的區別，象限角是由無數各區間角組成的；

2．要學會正確運用不等式進行角的表述同時要會以k取不同的值討論型如

0θ=a+k×120（k∈Z）所表示的角所在的象限。

四、課堂練習

練習2

若的終邊在第一、三象限的角平分線上，則2的終邊在y軸的非負半軸上.練習3

若的終邊與60角的終邊相同，試寫出在（0，360）內，與000角的終邊相同的3

角。

（20，140，260）

（備用題）練習4

如右圖，寫出陰影部分（包括邊界）的角

0，的集合，并指出-95012是否是該集合中的角。

000

（{α|

120+k×360≤α≤250+k×360，k∈Z}；是）

0000

探究活動

經過5小時又25分鐘，時鐘的分針、時針各轉多少度？

五、作業

A組:

1．與

終邊相同的角的集合是___________，它們是第____________象限的角，其中最小的正角是___________，最大負角是___________．

2．在0o~360o范圍內，找出下列各角終邊相同的角，并指出它們是哪個象限的角：

（1）－265

（2）－1000o

（3）－843o10’

（4）3900o

B組

3．寫出終邊在x軸上的角的集合。

4．寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－360o≤β＜360o的元素寫出來：

(1)60o

(2)－75o

(3)

－824o30’

(4)

475o

(5)

90o

(6)

2o

(7)

180o

(8)

0oC組：若

是第二象限角時，則，分別是第幾象限的角？

篇三：1.1

任意角和弧度制

教學設計

教案

教學準備

1.教學目標

1、知識與技能

（1）推廣角的概念、引入正角和負角；（2）理解并掌握正角、負角、零角的定義；

（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有與角終邊相同的角（包括角）的表示方法；（5）樹立運動變化觀點，深刻理解推廣后的角的概念.2、過程與方法

通過創設情境：“轉體，逆（順）時針旋轉2周”，角有正角、零角和旋轉方向不同所形成的角等，引入正角、負角和零角的概念；角的概念得到推廣以后，將角放入平面直角坐標系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出幾個終邊相同的角，畫出終邊所在的位置，找出它們的關系，探索具有相同終邊的角的表示.3、情態與價值

通過本節的學習，使同學們對角的概念有了一個新的認識，即有正角、負角和零角之分.角的概念推廣以后，知道角之間的關系.學會運用運動變化的觀點認識事物.2.教學重點/難點

重點:

理解正角、負角和零角的定義，掌握終邊相同角的表示法.難點:

終邊相同的角的表示.3.教學用具

多媒體

4.標簽

任意角

教學過程

【創設情境】

思考:你的手表慢了5分鐘，你是怎樣將它校準的？假如你的手表快了1.25小時，你應

當如何將它校準？當時間校準以后，分針轉了多少度？

[取出一個鐘表,實際操作]我們發現，校正過程中分針需要正向或反向旋轉，有時轉不到一周，有時轉一周以上,這就是說角已不僅僅局限于之間，這正是我們這節課要研究的主要內容——任意角.【探究新知】

1．初中時，我們已學習了角的概念，它是如何定義的呢？

[展示投影]角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形.如圖1.1-1，一條射線由原來的位置，繞著它的端點按逆時針方向旋轉到終止位置，就形成角.旋轉開始時的射線叫做角的始邊，叫終邊，射線的端點叫做叫的頂點.2.如上述情境中所說的校準時鐘問題以及在體操比賽中我們經常聽到這樣的術語：“轉體”

（即轉體2周），“轉體”（即轉體3周）等,都是遇到大于的角以及按不同方向旋轉而成的角.同學們思考一下:能否再舉出幾個現實生活中“大于的角或按不同方向旋轉而成的角”的例子,這些說明了什么問題又該如何區分和表示這些角呢

[展示]如自行車車輪、螺絲扳手等按不同方向旋轉時成不同的角,這些都說明了我們研究推廣角概念的必要性.為了區別起見，我們規定:按逆時針方向旋轉所形成的角叫正角(positive

angle),按順時針方向旋轉所形成的角叫負角(negative

angle).如果一條射線沒有做任何旋轉,我們稱它形成了一個零角(zero

angle).[展示課件]如教材圖1.1.3(1)中的角是一個正角,它等于；圖1.1.3(2)中，正角，負角；這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角（any

angle）,包括正角、負角和零角.為了簡單起見，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可簡記為.3.在今后的學習中，我們常在直角坐標系內討論角，為此我們必須了解象限角這個概念.角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合。那么，角的終邊（除端點外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角(quadrant

angle).如教材圖1.1-4中的角、角分別是第一象限角和第二象限角.要特別注意:如果角的終邊在坐標軸上,就認為這個角不屬于任何一個象限,稱為非象限角.4.[展示投影]練習:

(1)(口答)銳角是第幾象限角第一象限角一定是銳角嗎再分別就直角、鈍角來回答這兩個問題.(2)(回答)今天是星期三，那么天后的那一天是星期幾

天前的那一天是星期幾100天后的那一天是星期幾

5.探究:將角按上述方法放在直角坐標系中后,給定一個角,就有唯一的一條終邊與之對應.反之,對于直角坐標系中任意一條射線(如圖1.1-5),以它為終邊的角是否唯一如果不惟一,那么終邊相同的角有什么關系請結合4.(2)口答加以分析.[展示課件]不難發現,在教材圖1.1-5中,如果

角的終邊都是,而

.的終邊是，那么

設,則角都是的元素,角也是的元素.因此,所有與角終邊相同的角,連同角在內,都是集合的元素；反過來，集合的任一元素顯然與角終邊相同.一般地,我們有:所有與角終邊相同的角,連同角在內,可構成一個集合,即任一與角終邊相同的角,都可以表示成角

與整數個周角的和.6.[展示投影]例題講評

例1.在范圍內，找出與角

象限角.（注：是指

例2.寫出終邊在軸上的角的集合.上的角的集合,并把中適合不等式終邊相同的角，并判定它是第幾）

例3.寫出終邊直線在的元素寫出來.課堂小結

(1)

你知道角是如何推廣的嗎

(2)

象限角是如何定義的呢

(3)

你熟練掌握具有相同終邊角的表示了嗎會寫終邊落在上的角的集合.課后習題

軸、軸、直線

板書

《》

第五篇：任意角的概念, 精品教案

1.1.1任意角

教學目標：

1、知識與技能

（1）推廣角的概念、引入大于360?角和負角；（2）理解并掌握正角、負角、零角的定義；（3）理解任意角以及象限角的概念；

(4)掌握所有與?角終邊相同的角（包括?角）的表示方法；（5）樹立運動變化觀點，深刻理解推廣后的角的概念；

2、過程與方法

通過創設情境：“轉體720?，逆（順）時針旋轉”，角有大于360?角、零角和旋轉方向不同所形成的角等，引入正角、負角和零角的概念；角的概念得到推廣以后，將角放入平面直角坐標系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出幾個終邊相同的角，畫出終邊所在的位置，找出它們的關系，探索具有相同終邊的角的表示；講解例題，總結方法，鞏固練習.3、情態與價值

通過本節的學習，使同學們對角的概念有了一個新的認識，即有正角、負角和零角之分.角的概念推廣以后，知道角之間的關系.理解掌握終邊相同角的表示方法，學會運用運動變化的觀點認識事物.教學重點: 理解正角、負角和零角的定義，掌握終邊相同角的表示法.教學難點: 終邊相同的角的表示.教學過程：

一、創設問題情境

思考:你的手表慢了5分鐘，你是怎樣將它校準的？假如你的手表 快了1.25 小時，你應當如何將它校準？當時間校準以后，分針轉了多少度？ [取出一個鐘表,實際操作]我們發現，校正過程中分針需要正向或反向旋轉，有時轉不到一周，有時轉一周以上,這就是說角已不僅僅局限于0??360?之間，這正是我們這節課要研究的主要內容——任意角.二、探索開發新結論

1．初中時，我們已學習了0??360?角的概念，它是如何定義的呢？ [展示投影]角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形.如圖1.1-1，一條射線由原來的位置OA，繞著它的端點O按逆時針方向旋轉到終止位置OB，就形成角?.旋轉

OB叫終邊，開始時的射線OA叫做角的始邊，射線的端點O叫做叫?的頂點.2.如上述情境中所說的校準時鐘問題以及在體操比賽中我們經常聽到這樣的術語：“轉體720?”（即轉體2周），“轉體1080?”（即轉體3周）等,都是遇到大于360?的角以及按不同方向旋轉而成的角.同學們思考一下:能否再舉出幾個現實生活中“大于360?的角或按不同方向旋轉而成的角”的例子,這些說明了什么問題?又該如何區分和表示這些角呢? [展示課件]如自行車車輪、螺絲扳手等按不同方向旋轉時成不同的角, 這些都說明了我們研究推廣角概念的必要性.三、總結概括新結論 為了區別起見，我們規定:按逆時針方向旋轉所形成的角叫正角(positive angle),按順時針方向旋轉所形成的角叫負角(negative angle).如果一條射線沒有做任何旋轉,我們稱它形成了一個零角(zero angle).在今后的學習中，我們常在直角坐標系內討論角，為此我們必須了解象限角這個概念.角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合。那么，角的終邊（除端點外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角(quadrant angle).要特別注意:如果角的終邊在坐標軸上,就認為這個角不屬于任何一個象限,稱為非象限角.四、驗證開發新結論:(1)(口答)銳角是第幾象限角?第一象限角一定是銳角嗎?再分別就直角、鈍角來回答這兩個問題.(2)(回答)今天是星期三那么7k(k?Z)天后的那一天是星期幾? 7k(k?Z)天前的那一天是星期幾?100天后的那一天是星期幾? 探究:將角按上述方法放在直角坐標系中后,給定一個角,就有唯一的一條終邊與之對應.反之,對于直角坐標系中任意一條射線OB(如圖1.1-5),以它為終邊的角是否唯一?如果不惟一,那么終邊相同的角有什么關系? [展示課件]不難發現,如果?32?的終邊是OB,那么328?,?392??角的終邊都是OB,而328???32??1?360?,?392???32??(?1)?360?.設S?{?|???32??k?360?,k?Z},則328?,?392?角都是S的元素,?32? 角也是S的元素.因此,所有與?32?角終邊相同的角,連同?32?角在內,都是集合S的元素；反過來，集合S的任一元素顯然與?32?角終邊相同.一般地,我們有:所有與角?終邊相同的角,連同角?在內,可構成一個集合

S?{?|????k?360?,k?Z},即任一與角?終邊相同的角,都可以表示成角?與整數個周角的和.五、鞏固應用新結論：

例1.例1在0??360?范圍內，找出與－950?12'角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角.（注：0?－360?是指0????360?）

例2.寫出終邊在y軸上的角的集合.例3.寫出終邊直線在y?x上的角的集合S,并把S中適合不等式?360???

?720?的元素?寫出來.六、練習

教材P6第3、4、5題.注意:（1）k?Z；（2）?是任意角（正角、負角、零角）；（3）終邊相同的角不一定相等；但相等的角，終邊一定相同；終邊相同的角有無數多個，它們相差360?的整數倍.七、課堂小結

(1)你知道角是如何推廣的嗎?(2)象限角是如何定義的呢?(3)你熟練掌握具有相同終邊角的表示了嗎?會寫終邊落在x軸、y軸、直線y?x上的角的集合.八、作業：

1．習題1.1 A組第1,2,3題．

2．多舉出一些日常生活中的“大于360?的角和負角”的例子，熟練掌握他們的表示，進一步理解具有相同終邊的角的特點．

九、板書設計