第一篇：任意角三角函數定義

“任意角三角函數定義”的教學認識與設計

浙江金華第一中學 孔小明

本文首先對三角函數定義的教學進行從整體到局部的分析，并在此基礎上給出定義教學的主干問題設計.1．整體把握，使教學線索清晰，層次分明

三角函數是以函數為主線，刻畫周期現象的數學模型.高中學習的三角函數是在初中學習銳角三角函數的基礎上，通過用旋轉的觀點將角的概念推廣到任意角，并使角與實數建立一一對應關系，然后結合坐標系和單位圓重新定義任意角的三角函數.因此，三角函數是函數的下位概念，同時又是銳角三角函數的上位概念，教學要以函數思想為指導，以坐標系和單位圓為定義工具，以初中銳角三角函數概念為認知的起點，促進任意角三角函數定義的有效生成.教科書在完成任意角三角函數定義基礎上衍生出：(1)三角函數值在各個象限的符號；(2)單位圓中的三角函數線；(3)同角三角函數的基本關系；(4)三角函數的誘導公式；(5)三角函數的圖象與性質等.可見，三角函數的定義在三角函數教學中可謂重中之重,是整個三角部分的奠基石,它貫穿于與三角有關的各部分內容并起著關鍵作用.本節課的學習目標是理解任意角三角函數（正弦、余弦、正切）的定義，經歷從銳角三角函數定義過渡到任意角三角函數定義的推廣過程,體驗三角函數概念的產生、發展過程,領悟直角坐標系和單位圓的功能,豐富數形結合的經驗.由于三角函數的定義內涵豐富、外延廣泛等原因，同時，用單位圓上點的坐標表示的任意角三角函數定義,與學生初中學習的銳角三角函數定義有一定的距離,一個側重幾何的邊與邊的比值表示,一個側重代數的坐標（比值）表示.與學生熟悉的一般函數定義也有距離,一般函數是實數到實數的對應,而三角函數首先是實數（弧度數）到點的坐標的對應,然后才是實數（弧度數）到實數（橫坐標或縱坐標）的對應.學生理解該定義很難一步到位，需要分成若干個層次，逐步加深提高.促進學生理解定義的關鍵是讓學生經歷定義的形成過程,增強學習活動的體驗,在教師的引導下獨立思考、自主探究,完成定義的意義建構.教材中任意角三角函數定義的得出經歷了以下四個循序漸進、不斷深化的過程：（1）回憶用直角三角形邊長的比產生的銳角三角函數的定義；（2）把銳角α放在直角坐標系中，用角的終邊上點的坐標表示銳角α的三角函數；（3）由相似三角形的知識可知，三角函數值只與α的大小有關，與點在終邊上的位置無關，因此可用單位圓上點的坐標表示銳角α的三角函數；（4）類比得出用單位圓定義任意角三角函數，并將它納入到一般函數概念的范疇.教科書這樣設計改變了以往純學術形態的形式,一定程度上具有了教育形態的特征,體現了數學知識的產生、發展過程,反映了數學的“來龍去脈”,通過有效的鋪墊,使之符合學生的認知規律,使從銳角三角函數到任意角三角函數過渡自然,有利于學生步步加深對三角函數定義本質的理解.因此,筆者認為,教學設計時無須“另起爐灶”,只要在此基礎上,依據學生的認知特點,進行教學法的深加工即可.2．抓住關鍵，使教學精煉、簡約而高效

由于教科書自身特點的限制,教科書還不能成為教師教學用的教學設計,根據教材的內容、要求以及編寫意圖,教師還需要一個再加工、再創造的過程.具體的,就是將教材中得出任意角三角函數定義經歷的四個環節進一步教學化,使之符合學生的認知特點和規律,包括內容研究的必要性，坐標系、單位圓引入的自然性，以及用單位圓定義的可行性、合理性等.把它變成適合學生認知特點的具體的教育形態,使學生感受“數學是自然的、清楚的、水到渠成的”.當前,高中數學課標課程比大綱課程的內容有所增加，初中數學對高中數學支持減弱，新課程賦予數學教學更多的價值取向，要讓課堂的所有環節都讓學生有深度思考、自主探究并展示結果是不現實也是沒必要的.事實上，學生在校以學習間接經驗為主,學生的學習主要是“接受——建構”式的,因此,對教學起關鍵作用的內容，要留足時間讓學生充分思考、交流與展示,其它內容教師可多講授與引導，發揮先行組織者作用,使教與學達到平衡，讓教學效益達到最大化.在引導學生回憶初中銳角三角函數定義之前,先解決“學習的必要性”問題,明確要研究的內容.教材將“三角函數”作為重要的基本初等函數,是周期現象的基本模型,教師可借助本章的章頭語,完成課題的引入.由于初中的銳角三角函數定義不能推廣到任意角的情形，從而引發學生認知沖突，激發學生進一步探究的欲望.用什么定義、怎樣定義、這樣定義是否合理等,成為繼續研究的自然問題.之前,在任意角內容的學習中,學生已經有了在直角坐標系內討論角的經驗，但教學實踐表明,學生仍不能自然想到引入坐標系工具,利用坐標來定義任意角三角函數.筆者認為，從幫助學生理解定義的實質，體會坐標思想與數形結合思想的角度，教師可利用適當的語言,引導學生重點解決“如何用坐標表示銳角三角函數”的關鍵問題.需要提及的是,陶老師的問題設計具有啟示性：

現在，角的范圍擴大了,由銳角擴展到了0°~360°內的角,又擴展到了任意角,并且在直角坐標系中,使得角的頂點與原點重合,始邊與x軸的正半軸重合．在這樣的環境中,你認為,對于任意角α，sinα怎樣定義好呢？

上述問題提得“大氣”，既能使學生的學習圍繞關鍵問題展開，又突出正弦函數的概念分析.當然，若能依教材先作銳角情形的鋪墊，教學更符合學生“最近發展區”，提高效率.這里，需要引導學生從函數的觀點認識用坐標表示的銳角三角函數，有助于從函數的本質特征來認識三角函數.在第三個環節中，首先是如何自然引入單位圓的問題.用單位圓上點的坐標定義三角函數有許多優點，其中最主要的是使正弦函數、余弦函數從自變量（角的弧度數）到函數值（單位圓上點的橫、縱坐標）之間的對應關系更清楚、簡單，突出了三角函數的本質，有利于學生利用已有的函數概念來理解三角函數，其次是使三角函數反映的數形關系更直接，為后面討論函數的性質奠定了基礎.但單位圓的這些“優點”要在引入單位圓后才能逐步體會到.因此，引入單位圓的“理由”應該另辟蹊徑，白老師在引導學生完成用角的終邊上任意一點的坐標表示銳角三角函數之后，從求簡的角度設置問題,不愧為“棋高一招”：

大家有沒有辦法讓所得到的定義式變得更簡單一點？

在學生得出時定義式最簡單后,白老師引入單位圓,引導學生利用單位圓定義銳角三角函數.至此，學生就有了第四環節中用單位圓定義任意角三角函數的認知準備.由于“定義”是一種“規定”，因此，第四環節中，教師可類比用單位圓定義銳角三角函數情形，直接給出任意角三角函數定義，對學生而言，關鍵是理解這樣“規定”的合理性，對定義合理性認知基礎就是三角函數的“函數”本質——定義要符合一般函數的內涵（函數三要素）.3．精心設計問題，讓課堂成為學生思維閃光的舞臺 基于上述認識，對定義部分的教學，給出如下先行組織者和主干問題設計.先行組織者1：周期現象是社會生活和科學實踐中的基本現象，大到宇宙運動，小到粒子變化，這些現象的共同特點是具有周期性，另外，如潮汐現象、簡諧振動、交流電等，也具有周期性，而“三角函數”正是刻畫這些變化的基本函數模型.三角函數到底是一種怎樣的函數？它具有哪些特別的性質？在解決具有周期性變化規律的問題中到底能發揮哪些作用？本課從研究第一個問題入手.意圖：明確研究方向與內容.問題1：在初中，我們已經學習了銳角三角函數，它是怎樣定義的？ 意圖：從學生已有的數學經驗出發，為用坐標定義三角函數作準備.問題2：現在，角的概念已經推廣到了任意角，上述定義方法能推廣到任意角嗎？ 意圖：引發學生的認知沖突，激發學生求知欲望.問題3：如何定義任意角的三角函數？ 意圖：引導學生探索任意角三角函數的定義.先行組織者2：我們知道，直角坐標系是展示函數規律的載體，是構架“數形結合”的天然橋梁，上堂課我們把任意角放在平面直角坐標系內進行研究，借助坐標系，可以使角的討論簡化，也能有效地表現出角的終邊位置“周而復始”的現象.坐標系也為我們從“數”的角度定義任意角三角函數提供有效載體.意圖：引導學生借助坐標系來定義任意角三角函數.問題4：先考慮銳角的情形，如圖1，在平面直角坐標系中，你能用點的坐標來表示銳角α的三角函數嗎？

意圖：引導學生用坐標表示銳角三角函數.問題5：各個比值與角之間有怎樣的關系？比值是角的函數嗎？

意圖：扣準函數概念的內涵，把三角函數知識納入函數知識結構，突出變量之間的依賴關系或對應關系，增強函數觀念.先讓學生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，得出結論：三個比值分別是以銳角α為自變量、以比值為函數值的函數.問題6：既然可在終邊上任取一點，那有沒有辦法讓所得的對應關系變得更簡單一點？ 意圖：為引入單位圓進行鋪墊.教師給出單位圓定義之后，可引導學生進一步明確：正弦、余弦、正切都是以銳角α為自變量、以單位圓上點的坐標（或比值）為函數值的函數.問題7：類比上述做法，設任意角α的終邊與單位圓交點為P（x，y），定義正弦函數為，余弦函數為，正切函數為.你認為這樣定義符合函數定義要求嗎? 意圖：給出任意角三角函數的定義,引導學生用函數三要素說明定義的合理性，明確任意角三角函數的對應法則、定義域、值域.引導學生思考定義的合理性，先讓學生作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，同時作好解釋說明，得出結論：正弦、余弦、正切都是以任意角α為自變量、以單位圓上的坐標或坐標的比值（如果存在的話）為函數值的函數.接著給出任意角三角函數的定義域、值域.“任意角三角函數的概念”教學設計

陶維林（江蘇南京師范大學附屬中學，210003）

一．內容和內容解析

三角函數是一個重要的基本初等函數，它是描述周期現象的重要數學模型．它的基礎主要是幾何中的相似形和圓，研究方法主要是代數中的圖象分析和式子變形，三角函數的研究已經初步把幾何與代數聯系起來．它在物理學、天文學、測量學等學科中都有重要的應用，它是解決實際問題的重要工具，它是學習數學中其他學科的基礎．

角的概念已經由銳角擴展到0°~360°內的角，再擴充到任意角，相應地，銳角三角函數概念也必須有所擴充．任意角三角函數概念的出現是角的概念擴充的必然結果．

比較銳角三角函數與任意角三角函數這兩個概念，共同點是，它們都是“比值”，不同點是銳角三角函數是“線段長度的比值”，而任意角三角函數是直角坐標系中“坐標與長度的比值，或者是坐標的比值”．正是由于“比值”這一與在角的終邊上所取點的位置無關的特點，因此，可以用角的終邊與單位圓的交點的坐標（或坐標的比值）來表示任意角的三角函數，這是概念的核心．這樣定義，不僅簡化了任意角三角函數的表示，也為后續研究它的性質帶來了方便．

從銳角三角函數到任意角三角函數類似于從自然數到整數擴充的過程，產生了“符號問題”．因此，學習任意角三角函數可以與銳角三角函數相類比，借助銳角三角函數的概念建立起任意角三角函數的概念．

任意角三角函數概念的重點是任意角的正弦、余弦、正切的定義．它們是本節，乃至本章的基本概念，是學習其他與三角函數有關內容的基礎，具有根本的重要的作用．解決這一重點的關鍵，是學會用直角坐標系中，角的終邊上的點的坐標來表示三角函數．因為正切函數并不獨立，最主要的是正弦函數與余弦函數．

任意角三角函數自然具有函數的一切特征，有它的定義域，對應法則以及值域．任意角三角函數的定義域是實數集（或它的子集），這是因為，在建立弧度制以后，角的集合與實數集合間建立了一一對應關系，從這個意義上說，“角是實數”，三角函數是定義在實數集上的函數．各種不同的三角函數定義了不同的對應法則，因而可能有不同的定義域與值域．

任意角三角函數概念是核心概念，它是解決一切三角函數問題的基點．無論是研究三角函數在各象限中的符號、特殊角的三角函數值，還是同角三角函數間的關系，以及三角函數的性質，等等，都具有基本的重要的意義．

在建立任意角三角函數這個定義的過程中，學生可以感受到數與形結合，以及類比、運動、變化、對應等數學思想方法． 二．目標和目標解析

本節課的目標是，理解任意角三角函數（正弦、余弦、正切）的定義．

學生已經學習過銳角三角函數sinα，cosα，tanα，了解三角函數是直角三角形中邊長的比值，這個比值僅與銳角的大小有關，是隨著銳角取值的變化而變化的，其值是惟一確定的，等函數的要素．這是任意角三角函數概念的“生長點”．

理解任意角三角函數（正弦、余弦、正切）定義的關鍵是由銳角三角函數這個線段長度的比值擴展為點的坐標或坐標的比值．因此，對銳角三角函數理解得怎樣，對理解任意角三角函數有決定意義，復習銳角三角函數，加深對銳角三角函數的理解是必要的．

要實現讓學生“理解”任意角三角函數定義的教學目標，莫過于讓學生參與任意角三角函數定義的過程．讓學生感受到因角的概念的擴展，銳角三角函數概念擴展的必要性，任意角三角函數是銳角三角函數概念的自然延伸．反過來，既然銳角集合是任意角集合的子集，那么，銳角三角函數也應該是任意角三角函數的特殊情況，是一個包含關系．讓學生參與定義，可以感受到這樣定義的合理性，感受到這個定義是自然的．

三．教學問題診斷分析

從銳角三角函數到任意角三角函數的學習，從認知結構發展的角度來說，是屬于“下、上位關系學習”，是一個從特殊到一般的過程，“先行組織者”是銳角三角函數的概念．教學策略上先復習包容性小、抽象概括程度低的銳角三角函數的概念，然后讓學生“再創造”抽象程度高的上位概念（參與定義），并形成新的認知結構，讓原有的銳角三角函數的概念類屬于抽象程度更高的任意角三角函數的概念之中．

學生過去在直角三角形中研究過銳角三角函數，這對研究任意角三角函數在認識上會有一定的局限性，所以學生在用角的終邊上的點的坐標來研究三角函數可能會有一定的困難．可以讓學生在原有的對銳角三角函數的幾何認識的基礎上，嘗試讓學生建立用終邊上的點的坐標定義任意角三角函數，或者嘗試用終邊上的點的坐標定義銳角三角函數，然后再定義任意角的三角函數．

教學的另一個難點是，任意角三角函數的定義域是實數集（或它的子集）．因為學生剛剛接觸弧度制，未必能理解“把角的集合與實數集建立一一對應”到底是為了什么．可以在復習銳角三角函數時，把銳角說成區間（0，四．教學支持條件分析

利用幾何畫板軟件，可以動態改變角的終邊位置，從而改變角的終邊上點的坐標大小的特點，便于學生認識任意角的位置的改變，所對應的三角函數值也改變的特點，感受函數的本質；感受終邊相同的角具有相同的三角函數值；也便于觀察各三角函數在各象限中符號的變化情況，加深對任意角三角函數概念的理解，增強教學效果．）內的角，以便分散這個難點． 五．教學過程設計 1．理解銳角三角函數

要理解任意角三角函數首先要理解銳角三角函數．銳角三角函數是任意角三角函數的先行組織者．

問題1 任意畫一個銳角α，借助三角板，找出sinα，cosα，tanα的近似值．

教師用幾何畫板任意畫一個銳角．要求學生自己任意也畫一個銳角，利用手中的三角板畫直角三角形，度量角α的對邊長、斜邊長，計算比值．

意圖：復習初中所學習過的銳角三角函數，加深對銳角三角函數概念的理解，它是學習任意角三角函數的基礎．突出：

（1）與點的位置的選取無關；（2）是直角三角形中線段長度的比值． 問題2 能否把某條線段畫成單位長，有些三角函數值不用計算就可以得到？

意圖：學生根據自己實際畫圖操作，以及計算比值的體驗，會很快認為把斜邊畫成單位長比較方便，為后續任意角三角函數的“單位圓定義法”做鋪墊．

問題3 銳角三角函數sinα作為一個函數，自變量以及與之對應的函數值分別是什么？

意圖：以便與后面的任意角三角函數的自變量是角（的弧度，對應一個實數），對應的函數值是α的終邊與單位圓交點的縱坐標比較．

銳角三角函數sinα作為一個函數，自變量是銳角．由于角的弧度值與實數可以一一對應，所以，α是（0，）上的實數．而與之對應的函數值sinα是線段長度的比值，是區間（0，1）上的實數．

問題4 你產生過這個疑問嗎：“三角函數只有這三個？”

意圖：這個問題具有元認知提示的特點，引導學生勤于思考，逐步學會發現問題、提出問題、研究問題．

三條邊相互比，可以產生六個比．還有哪三個呢？再把已知的三個倒過來． 2．任意角三角函數定義的“再創造”

教師利用幾何畫板，把角α的頂點定義為原點，一邊與x軸的正半軸重合，轉動另一條邊，表現任意角．

問題5 現在，角的范圍擴大了．在直角坐標系中，使得角的頂點在原點，始邊與x軸的正半軸重合．在這樣的環境下，你認為，對于任意角α，sinα，cosα，tanα怎樣來定義好呢？

意圖：可以打破知識結構的平衡，感受到學習新知識的必要性——角的范圍擴大了，銳角三角函數也應該“與時俱進”，并不顯得突然．把定義的主動權交給學生，引導學生參與定義過程，發展思維．

有兩種可能的回答．

可能一：在α的終邊上任意畫一點P（x，y），|OP|＝r．

可能二：設角α的終邊與單位圓的交點為P（x，y）．

不論出現可能一還是可能二，都再問：“都是這樣的嗎？”

引導學生議論，以確認兩種定義方法的一致性、各自特點．再問“你贊成哪一種？”，統一認識，建立任意角三角函數的定義．（板書）

因為前面已經有引導，學生可能很快接受“可能二”． 3．任意角三角函數的認識（對定義的體驗）

問題6（1）求下列三角函數值：

問題6（2）說出幾個使得cosα＝1的α的值． 意圖：通過定義的簡單應用，把握定義的內涵．

逐題給出，對于每一個答案，都要求學生說出“你是怎樣得到的．”突出“畫終邊，找交點坐標，算比值（對正切函數）”的步驟．

問題6（3）指出下列函數值：

意圖：角的終邊位置決定了三角函數值的大小．終邊位置相同的角同一三角函數值相等．于是有 sin（α＋2kπ）＝sinα，cos（α＋2kπ）＝cosα，tan（α＋2kπ）＝tanα．（其中k∈Z）問題6（4）

①確定下列三角函數的符號：

②θ在哪個象限？請說明理由．反過來呢？

③角α的哪些三角函數值在第二、三象限都是負數？為什么？ ④tanα在哪些象限中取正數？為什么？ 意圖：認識三角函數在各象限中的符號．

問題7 做了這么多題，要反思．你是否發現了任意角三角函數的一些性質？還有些什么體會？ 意圖：體驗以后的概括，階段小結．（1）抓住各三角函數的定義不放；（2）各象限中三角函數的符號特點，等．

教師板書學生獲得的成果、感受． 4．任意角三角函數的定義域

問題8 α是任意角，作為函數的sinα，cosα，tanα，它們的定義域分別是什么？

意圖：三角函數也是函數，自然應該關心它的定義域．

建立了角的弧度制，角的集合與實數集合之間建立了一一對應關系，因此，sinα，cosα的定義域是R；tanα＝中，x≠0，于是tanα的定義域是

仍然緊扣定義，并引導以弧度制表示它的定義域． 5．練習

（1）確定下列三角函數值的符號，并借助計算器計算：

（2）求下列三角函數值：

6．小結

問題9 下課后，你走出教室，如果有人問你：“過去你就學習過銳角三角函數，今天又學習了任意角的三角函數，它們的差別在哪里呢？”你怎么回答他？

意圖：通過問題小結．不追求面面俱到，突出銳角三角函數是三角形中，邊長的比值，而任意角的三角函數是直角坐標系中角的終邊與單位圓交點的坐標，或者是坐標的比值．

若時間允許，再問：“還有其他收獲嗎？”比如，終邊相同的角的同一三角函數相等；各象限三角函數的符號；任意角三角函數的定義域，等． 六．目標檢測設計

（1），寫出α的終邊與單位圓交點的橫坐標，并寫出tanα的值．

（2）求下列三角函數的值：

（3）角α的終邊與單位圓的交點是Q，點Q的縱坐標是1/2，說出幾個滿足條件的角α．

（4）點P（3，－4）在角α終邊上，說出sinα，cosα，tanα分別是多少？

（1）實際教學片段

上課始，教師用幾何畫板任意畫一個銳角，提出問題1：“任意畫一個銳角α，借助三角板，找出sinα，cosα，tanα的近似值．”然后走進學生中間，觀察他們的學習行為．結果發現，有一部分同學畫出角之后，一片茫然．教師又不愿意把結果告訴學生，提示同桌的兩位同學可以商量一下，并提示，完成的同學請舉手示意，以便教師了解情況，結果舉手的人很少．之后，教師提問一位舉手的學生，問：“你是怎么做的？”她要求上黑板，教師非常贊成．她在黑板上畫出一個直角三角形，并不熟練地寫出一個銳角的正弦是它的對邊比斜邊以及余弦、正切等三個三角函數．之后，教師又與學生討論了問題2：能否把某條線段畫成單位長，有些三角函數值不用計算就可以得到？學生比較一致認為把斜邊長畫成單位長比較好，為“單位圓定義法”做必要的鋪墊．接著討論問題3：銳角三角函數sinα作為一個函數，自變量以及與之對應的函數值分別是什么？在教師類比正方形的面積s＝a2的提示下，學生說出銳角三角函數中自變量以及與之對應的函數值分別是角、比值，最后討論問題4：你產生過這個疑問嗎：“三角函數只有這三個？”有學生舉手，表示想過這個問題，應該是六個，另外三個可以把現有的三個倒一下得到．至此，時間已經過去20多分鐘．

教師本以為，學生在初中既然學習過銳角三角函數，對給出的一個銳角，借助三角板構造直角三角形，找出它的正弦、余弦的近似值是很容易的事，而恰恰在這一點上，學生耗費了大量的時間，而教師又不想越俎代庖地告訴學生，這就嚴重影響了后續建立任意角三角函數的概念，并通過特殊角的求值體驗、把握內涵的時間保證，造成體驗不夠，概括

過早，應用更少的現象．

（2）問題出在哪里

問題在教學設計不夠合理，當中的“教學問題診斷分析”不夠準確．沒有準確把握學生的知識基礎與認識能力，對學生在學習中可能出現的困難估計不足．尤其是，對學生關于銳角三角函數的理解估計過高．主要表現在兩個方面，一是初中學習銳角三角函數是在直角三角形中進行的，并不要求給出一個銳角，兩邊是射線，求出它的三角函數值．二是并不要求把“銳角三角函數”作為函數來認識，比如關注它的自變量是角，對應的函數值是比值，更不關心它的定義域、值域以及對應法則這些函數的要素．只要求運用符號sinA，cosA，tanA的意義來進行有關的計算，等．現在，要求學生從函數角度建立任意角三角函數概念這就失去了概念的上位支持．

關于銳角三角函數，在《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》中，是在“空間與圖形”的“圖形與變換”部分．標準指出：“通過實例認識銳角三角函數（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函數值；會使用計算器由已知銳角求它的三角函數值，由已知三角函數值求它對應的銳角．”以及“運用三角函數解決與直角三角形有關的簡

單實際問題．”

筆者查閱了按照“課程標準”編寫的幾套初中教材，給出sinA的方式基本上一致，是：

如圖（圖略），在Rt△ABC中，∠C＝90°，我們把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正弦（sine），記作sinA，即”（對cosA，tanA有類似的定義）并指出“銳角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函

數．”

以后的內容（包括解實際問題），都是有關三角函數值的計算，并不強調它們的函數特征．有的教材雖然指出“對于銳角A的每一個確定的值，sinA有唯一確定的值與它對應，所以sinA是A的函數．同樣地，cosA，tanA也是A的函數．”作出了銳角三角函數是一種特殊的函數的提示，由于缺少必要的練習，作用并不大．應該說，這些都不違背“課程標準” 的要求．可見學生在初中學習過的函數有正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數，銳角三角函數并不納入“函

數”這個系統．

初中學習銳角三角函數有一個特定的載體，這就是直角三角形，因此，當他們面對任意畫出的一個銳角，其兩條邊是射線，要求出這個角的三角函數的近似值這個新情境時，竟不知如何是好，手足無措，無計可施，也說明學生對銳角三角函數并不理解．這樣看來，畫出一個銳角，要求學生會取點、畫垂線、度量、計算比值的要求是必要的．

有教師認為，不必復習銳角三角函數，直接提出問題“同學們已經學習過銳角三角函數，你認為應該怎樣來定義任意角的三角函數？”這種“大撒手”的問題跨度太大，學生更難回答．原因是對銳角三角函數的“函數”特征認識不足、理解不到位，要讓學生直接建立任意角的三角函數，又要突出“函數”這一特征，很困難．因此，為建立任意角的三角函數的概念，需要先復習初中銳角三角函數的概念，因為從銳角（三角函數）到任意角（三角函數）又是由下位到上位的學習．教材要求首先把直角三角形中邊長的比值擴展到坐標或者坐標的比值，在直角坐標系中認識銳角三角函數，并引導學生從“函數”的角度認識它，也就是弄清自變量以及與之對應的函數分別是什么是必要的．

（3）對教學的反思

高中教師應該了解義務教育階段的數學課程標準，了解初中教材，了解學生在初中學習過哪些內容，尤其是相應的教學目標是什么，關注學生的認知結構．應該做好初、高中的銜接工作，不僅注意知識的銜接，還要注意思想方法、能力要求等各方面的銜接，為學習高中的相關內容做好鋪墊．以為已經學習過銳角三角函數，學生就能夠把它理解為一種特殊的函數，是一個明顯的例子．

教科書在節首提出的“思考”是：“我們已經學過銳角三角函數，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數值的函數，你能用直角坐標系中角的終邊上的點的坐標來表示銳角三角函數嗎”其實，學生只知道銳角三角函數是直角三角形中邊長的比值，并不完全知道“它們都是以銳角為自變量，以比值為函數值的函數”，這就需要通過復習，來幫助學生

補上這一點．

2．其他反思

（1）由于學生在復習階段花了較多的時間，影響了新課的學習，用任意角三角函數概念解題的時間不多，體驗不夠，有教師提出“下課后練習不好做”，說明復習銳角三角函數沒有必要．筆者認為，當“預設”與“生成”發生矛盾時，教師寧可選擇“生成”．尊重學生的認知水平，尊重學生的認知心理過程，決不簡單化，把結論直接告訴給學生，追求“結果”，追求“完成”教學任務．教師不能認為我已經把這個概念告訴你了，你就應該知道了．數學教學不是“告訴教學”，概念不能靠學生“復制”，對概念需要的是理解，需要學生用自己的體驗建立起對概念的理解．什么是“教學任務”，不能僅限于知識要求，要注意學生的全面發展．比如，當學生不能正確選擇在角的一邊上取點，畫垂線時，啟示學生互相討論、啟發一下，借助于同伴的幫助解決問題．當學生不能說出“作為函數的銳角三角函數，自變量以及它的函數分別是什么”（屬性）意義不清，不好回答時，教師降低難度，啟發類比S＝a2中a表示邊長，而S表示正方形的面積．突出線段長、面積，等等．

“任意角三角函數的概念”與作為第一節課的“任意角三角函數的概念”不是同一個概念．對“任意角三角函數的概念”的認識、理解不是一蹴而就的，不是一節課可以完成的任務，需要一個長期的過程．比如，把角度化成弧度到底是為了什么？即便化成弧度，又為什么省略不寫呢？建立角的弧度與實數間的一一對應有什么必要呢？任意角三角函數的自變量明明白白是角，為什么偏要把它說成實數呢？剛剛接觸任意角三角函數就要求理解這一切是十分困難的．隨著學習的深入，尤其是三角函數的應用，學生才能慢慢消除這些疑問，逐漸理解它．比如，在三相交流電路中，某一相電路中的電流強度IA＝Imsin（ωt）（其中Im是電路中電流強度的峰值），三角函數是刻畫現實世界中周期現象的基本數學模型；再比如，當學生接觸到函數y＝sin（cosx）后，再來看三角函數的定義域，會認識到抽象后的任意角三角函數的自變量作為實數更具廣泛性．

這一節課把教學的基本要求定位在，弄清任意角三角函數與銳角三角函數的區別，接受用坐標（或坐標的比值）表示三角函數就夠了．如同在建立數軸之后，一個知道把向東2公里表示為2公里而向西2公里表示成－2公里，接受“路程也可以是負數”的學生，就已經開始接受有理數，逐漸成為中學生了．

還需要注意的是，應該通過什么方式讓學生建立起用坐標（或比值）表示任意角三角函數，以及領會建立這個概念過程

中所蘊涵的數學思想方法．

（2）在求cosπ時，一個學生說出的結果是0.9985．教師追問“你是怎么算出來的？”他回答：“用計算器．”后來，筆者用計算器做了實驗，發現他用計算器計算時，把計算器中的角度模式（Mode）設置成了角度制（Degree）．在這種模式下，計算cosπ可以得到0.9985（即計算的是cosπ°）．如果把角度模式設置成了弧度制（Radian），計算cosπ仍可以得到－1．這件事的出現給我以及所有聽課教師引發諸多思考．第一，這位同學沒有關注到這節課剛學習過的概念，運用新概念解決當前的問題，而是停留在“三角函數值是能夠用計算器算出來的”這個認識水平上；第二，反映了計算器的過度使用，會形成對學具的依賴，影響學生思維能力的發展．學具的功能越全面越強大不一定是好事．比如，具有解方程（Solve）功能的計算器在初中使用可能會削弱解一元二次方程的學習；具有圖象功能的計算器的過早使用可能會干擾函數的學習．因此，教師應該注意技術在教學中的“輔助”作用，適度使用教具，重視算理分析，重視算法的來源，重視思維能力的培養，而不是追求計算結果．

借班上課，對學生的不熟悉是教師的苦惱，加上教學進度等問題，學生的知識儲備不足（在教學任意角三角函數概念之前僅上過一堂“任意角”的課），是教學并不理想的一個重要原因．教學過程是師生雙邊活動的過程，離不開師生之間的交流，生疏是交流的障礙之一，生疏更難以做到師生之間配合默契．另外，學生對教師的教學風格的適應或認可也有一個過程，比如教師希望學生積極發言而不僅是聽講，等等．

（3）討論中，老師們提出了許多有價值的教學應該遵循的一般規律以及一些先進的教學理念，但是，要求一節課全面體現各種先進教學理念，去承擔反映數學教學規律中太多的東西是不現實，也是不應該的．

課堂教學是一項實踐性很強的工作，除了認真的課前準備外，對教學過程中出現的“突發事件”，隨機應變十分重要．教師需要關注學生的學習行為，關注學生的認識過程，隨時修改自己的教學設計，調整教學內容、教學要求，改變策略，選擇恰當的方法實施教學，以達到最佳教學效果．這一切都需要教師有很強的基本功．

第二篇：任意角三角函數定義的教學認識

1.整體把握,使教學線索清晰,層次分明

三角函數是以函數為主線,刻畫周期現象的數學模型.高中學習的三角函數是在初中學習銳角三角函數的基礎上,通過用旋轉的觀點將角的概念推廣到任意角,并使角與實數建立一一對應關系,然后結合坐標系和單位圓重新定義任意角的三角函數.因此,三角函數是函數的下位概念,同時又是銳角三角函數的上位概念,教學要以函數思想為指導,以坐標系和單位圓為定義工具,以初中銳角三角函數概念為認知的起點,促進任意角三角函數定義的有效生成.教科書在完成任意角三角函數定義基礎上衍生出:(1)三角函數值在各個象限的符號;(2)單位圓中的三角函數線;(3)同角三角函數的基本關系;(4)三角函數的誘導公式;(5)三角函數的圖象與性質等.可見,三角函數的定義在三角函數教學中可謂重中之重,是整個三角部分的奠基石,它貫穿于與三角有關的各部分內容并起著關鍵作用.本節課的學習目標是理解任意角三角函數(正弦、余弦、正切)的定義,經歷從銳角三角函數定義過渡到任意角三角函數定義的推廣過程,體驗三角函數概念的產生、發展過程,領悟直角坐標系和單位圓的功能,豐富數形結合的經驗.由于三角函數的定義內涵豐富、外延廣泛等原因,同時,用單位圓上點的坐標表示的任意角三角函數定義,與學生初中學習的銳角三角函數定義有一定的距離,一個側重幾何的邊與邊的比值表示,一個側重代數的坐標(比值)表示.與學生熟悉的一般函數定義也有距離,一般函數是實數到實數的對應,而三角函數首先是實數(弧度數)到點的坐標的對應,然后才是實數(弧度數)到實數(橫坐標或縱坐標)的對應.學生理解該定義很難一步到位,需要分成若干個層次,逐步加深提高.促進學生理解定義的關鍵是讓學生經歷定義的形成過程,增強學習活動的體驗,在教師的引導下獨立思考、自主探究,完成定義的意義建構.教材中任意角三角函數定義的得出經歷了以下四個循序漸進、不斷深化的過程:(1)回憶用直角三角形邊長的比產生的銳角三角函數的定義;(2)把銳角α放在直角坐標系中,用角的終邊上點的坐標表示銳角α的三角函數;(3)由相似三角形的知識可知,三角函數值只與α的大小有關,與點在終邊上的位置無關,因此可用單位圓上點的坐標表示銳角α的三角函數;(4)類比得出用單位圓定義任意角三角函數,并將它納入到一般函數概念的范疇.教科書這樣設計改變了以往純學術形態的形式,一定程度上具有了教育形態的特征,體現了數學知識的產生、發展過程,反映了數學的“來龍去脈”,通過有效的鋪墊,使之符合學生的認知規律,使從銳角三角函數到任意角三角函數過渡自然,有利于學生步步加深對三角函數定義本質的理解.因此,筆者認為,教學設計時無須“另起爐灶”,只要在此基礎上,依據學生的認知特點,進行教學法的深加工即可.2.抓住關鍵,使教學精煉、簡約而高效

由于教科書自身特點的限制,教科書還不能成為教師教學用的教學設計,根據教材的內容、要求以及編寫意圖,教師還需要一個再加工、再創造的過程.具體的,就是將教材中得出任意角三角函數定義經歷的四個環節進一步教學化,使之符合學生的認知特點和規律,包括內容研究的必要性,坐標系、單位圓引入的自然性,以及用單位圓定義的可行性、合理性等.把它變成適合學生認知特點的具體的教育形態,使學生感受“數學是自然的、清楚的、水到渠成的”.當前,高中數學課標課程比大綱課程的內容有所增加,初中數學對高中數學支持減弱,新課程賦予數學教學更多的價值取向,要讓課堂的所有環節都讓學生有深度思考、自主探究并展示結果是不現實也是沒必要的.事實上,學生在校以學習間接經驗為主,學生的學習主要是“接受--建構”式的,因此,對教學起關鍵作用的內容,要留足時間讓學生充分思考、交流與展示,其它內容教師可多講授與引導,發揮先行組織者作用,使教與學達到平衡,讓教學效益達到最大化.在引導學生回憶初中銳角三角函數定義之前,先解決“學習的必要性”問題,明確要研究的內容.教材將“三角函數”作為重要的基本初等函數,是周期現象的基本模型,教師可借助本章的章頭語,完成課題的引入.由于初中的銳角三角函數定義不能推廣到任意角的情形,從而引發學生認知沖突,激發學生進一步探究的欲望.用什么定義、怎樣定義、這樣定義是否合理等,成為繼續研究的自然問題.之前,在任意角內容的學習中,學生已經有了在直角坐標系內討論角的經驗,但教學實踐表明,學生仍不能自然想到引入坐標系工具,利用坐標來定義任意角三角函數.筆者認為,從幫助學生理解定義的實質,體會坐標思想與數形結合思想的角度,教師可利用適當的語言,引導學生重點解決“如何用坐標表示銳角三角函數”的關鍵問題.需要提及的是,陶老師的問題設計具有啟示性: 現在,角的范圍擴大了,由銳角擴展到了0°~360°內的角,又擴展到了任意角,并且在直角坐標系中,使得角的頂點與原點重合,始邊與x軸的正半軸重合.在這樣的環境中,你認為,對于任意角α,sinα怎樣定義好呢? 上述問題提得“大氣”,既能使學生的學習圍繞關鍵問題展開,又突出正弦函數的概念分析.當然,若能依教材先作銳角情形的鋪墊,教學更符合學生“最近發展區”,提高效率.這里,需要引導學生從函數的觀點認識用坐標表示的銳角三角函數,有助于從函數的本質特征來認識三角函數.在第三個環節中,首先是如何自然引入單位圓的問題.用單位圓上點的坐標定義三角函數有許多優點,其中最主要的是使正弦函數、余弦函數從自變量(角的弧度數)到函數值(單位圓上點的橫、縱坐標)之間的對應關系更清楚、簡單,突出了三角函數的本質,有利于學生利用已有的函數概念來理解三角函數,其次是使三角函數反映的數形關系更直接,為后面討論函數的性質奠定了基礎.但單位圓的這些“優點”要在引入單位圓后才能逐步體會到.因此,引入單位圓的“理由”應該另辟蹊徑,白老師在引導學生完成用角的終邊上任意一點的坐標表示銳角三角函數之后,從求簡的角度設置問題,不愧為“棋高一招”: 大家有沒有辦法讓所得到的定義式變得更簡單一點? 在學生得出 時定義式最簡單后,白老師引入單位圓,引導學生利用單位圓定義銳角三角函數.至此,學生就有了第四環節中用單位圓定義任意角三角函數的認知準備.由于“定義”是一種“規定”,因此,第四環節中,教師可類比用單位圓定義銳角三角函數情形,直接給出任意角三角函數定義,對學生而言,關鍵是理解這樣“規定”的合理性,對定義合理性認知基礎就是三角函數的“函數”本質--定義要符合一般函數的內涵(函數三要素).3.精心設計問題,讓課堂成為學生思維閃光的舞臺

基于上述認識,對定義部分的教學,給出如下先行組織者和主干問題設計.先行組織者1:周期現象是社會生活和科學實踐中的基本現象,大到宇宙運動,小到粒子變化,這些現象的共同特點是具有周期性,另外,如潮汐現象、簡諧振動、交流電等,也具有周期性,而“三角函數”正是刻畫這些變化的基本函數模型.三角函數到底是一種怎樣的函數?它具有哪些特別的性質?在解決具有周期性變化規律的問題中到底能發揮哪些作用?本課從研究第一個問題入手.意圖:明確研究方向與內容.問題1:在初中,我們已經學習了銳角三角函數,它是怎樣定義的? 意圖:從學生已有的數學經驗出發,為用坐標定義三角函數作準備.問題2:現在,角的概念已經推廣到了任意角,上述定義方法能推廣到任意角嗎? 意圖:引發學生的認知沖突,激發學生求知欲望.問題3:如何定義任意角的三角函數? 意圖:引導學生探索任意角三角函數的定義.先行組織者2:我們知道,直角坐標系是展示函數規律的載體,是構架“數形結合”的天然橋梁,上堂課我們把任意角放在平面直角坐標系內進行研究,借助坐標系,可以使角的討論簡化,也能有效地表現出角的終邊位置“周而復始”的現象.坐標系也為我們從“數”的角度定義任意角三角函數提供有效載體.意圖:引導學生借助坐標系來定義任意角三角函數.問題4:先考慮銳角的情形,如圖1,在平面直角坐標系中,你能用點的坐標來表示銳角α的三角函數嗎? 意圖:引導學生用坐標表示銳角三角函數.問題5:各個比值與角之間有怎樣的關系?比值是角的函數嗎? 意圖:扣準函數概念的內涵,把三角函數知識納入函數知識結構,突出變量之間的依賴關系或對應關系,增強函數觀念.先讓學生想象思考,作出主觀判斷,再用幾何畫板動畫演示,得出結論:三個比值分別是以銳角α為自變量、以比值為函數值的函數.問題6:既然可在終邊上任取一點,那有沒有辦法讓所得的對應關系變得更簡單一點? 意圖:為引入單位圓進行鋪墊.教師給出單位圓定義之后,可引導學生進一步明確:正弦、余弦、正切都是以銳角α為自變量、以單位圓上點的坐標(或比值)為函數值的函數.問題7:類比上述做法,設任意角α的終邊與單位圓交點為p(x,y),定義正弦函數為 ,余弦函數為 ,正切函數為.你認為這樣定義符合函數定義要求嗎? 意圖:給出任意角三角函數的定義,引導學生用函數三要素說明定義的合理性,明確任意角三角函數的對應法則、定義域、值域.引導學生思考定義的合理性,先讓學生作出主觀判斷,再用幾何畫板動畫演示,同時作好解釋說明,得出結論:正弦、余弦、正切都是以任意角α為自變量、以單位圓上的坐標或坐標的比值(如果存在的話)為函數值的函數.接著給出任意角三角函數的定義域、值域.

第三篇：《任意角三角函數》說課稿

《任意角三角函數》說課稿

《任意角三角函數》說課稿1

各位同仁，各位專家：

我說課的課題是《任意角的三角函數》，內容取自蘇教版高中實驗教科書《數學》第四冊 第1。2節

先對教材進行分析

教學內容：任意角三角函數的定義、定義域，三角函數值的符號。

地位和作用： 任意角的三角函數是本章教學內容的基本概念對三角內容的整體學習至關重要。同時它又為平面向量、解析幾何等內容的學習作必要的準備，通過這部分內容的學習，又可以幫助學生更加深入理解函數這一基本概念。所以這個內容要認真探討教材，精心設計過程。

教學重點：任意角三角函數的定義

教學難點：正確理解三角函數可以看作以實數為自變量的函數、初中用邊長比值來定義轉變為坐標系下用坐標比值定義的觀念的轉換以及坐標定義的合理性的理解；

學情分析：

學生已經掌握的內容，學生學習能力

1。初中學生已經學習了基本的銳角三角函數的定義，掌握了銳角三角函數的一些常見的知識和求法。

2。我們南山區經過多年的初中課改，學生已經具備較強的自學能力，多數同學對數學的學習有相當的興趣和積極性。

3。在探究問題的能力，合作交流的意識等方面發展不夠均衡，尚有待加強必須在老師一定的指導下才能進行

針對對教材內容重難點的和學生實際情況的分析我們制定教學目標如下

知識目標：

（1）任意角三角函數的定義；三角函數的定義域；三角函數值的符號，

能力目標：

（1）理解并掌握任意角的三角函數的定義；

（2）正確理解三角函數是以實數為自變量的函數；

（3）通過對定義域，三角函數值的符號的推導，提高學生分析探究解決問題的能力。

德育目標：

（1）學習轉化的思想，（2）培養學生嚴謹治學、一絲不茍的科學精神；

針對學生實際情況為達到教學目標須精心設計教學方法

教法學法：溫故知新，逐步拓展

（1）在復習初中銳角三角函數的定義的基礎上一步一步擴展內容，發展新知識，形成新的概念；

（2）通過例題講解分析，逐步引出新知識，完善三角定義

運用多媒體工具

（1）提高直觀性增強趣味性。

教學過程分析

總體來說， 由舊及新，由易及難，

逐步加強，逐步推進

先由初中的直角三角形中銳角三角函數的定義

過度到直角坐標系中銳角三角函數的定義

再發展到直角坐標系中任意角三角函數的定義

給定定義后通過應用定義又逐步發現新知識拓展完善定義。

具體教學過程安排

引入： 復習提問：初中直角三角形中銳角的正弦余弦正切是怎樣定義的？

由學生回答

SinA=對邊/斜邊=BC/AB

cosA=對邊/斜邊=AC/AB

tanA=對邊/斜邊=BC/AC

逐步拓展：在高中我們已經建立了直角坐標系， 把“定義媒介”從直角三角形改為平面直角坐標系。

我們知道，隨著角的概念的推廣，研究角時多放在直角坐標系里， 那么三角函數的定義能否也放到坐標系去研究呢？

引導學生發現B的坐標和邊長的關系。進一步啟發他們發現由于相似三角形的相似比導致OB上任一P點都可以代換B，把三角函數的定義發展到用終邊上任一點的坐標來表示， 從而銳角三角函數可以使用直角坐標系來定義，自然地，要想定義任意一個角三角函數，便考慮放在直角坐標中進行合理進行定義了

從而得到

知識點一：任意一個角的三角函數的定義

提醒學生思考：由于相似比相等，對于確定的角A ，這三個比值的大小和P點在角的終邊上的位置無關。

精心設計例題，引出新內容深化概念，完善定義

例1已知角A 的終邊經過P（2，—3），求角A的三個三角函數值

（此題由學生自己分析獨立動手完成）

例題變式1，已知角A 的大小是30度，由定義求角A的三個三角函數值

結合變式我們發現三個三角函數值的大小與角的大小有關，只會隨角的大小而變化，符合當初函數的定義，而我們又一直稱呼為三角函數，

提出問題：這三個新的定義確實問是函數嗎？為什么？

從而引出函數極其定義域

由學生分析討論，得出結論

知識點二：三個三角函數的定義域

同時教師強調：由于弧度制使角和實數建立了一一對應關系，所以三角函數是以實數為自變量的函數

例題變式2， 已知角A 的終邊經過P（—2a，—3a）（ a不為0），求角A的三個三角函數值

解答中需要對變量的正負即角所在象限進行討論， 讓學生意識到三角函數值的正負與角所在象限有關，從而導出第三個知識點

知識點三：三角函數值的正負與角所在象限的關系

由學生推出結論，教師總結符號記憶方法，便于學生記憶

例題2：已知A在第二象限且 sinA=0。2 求cosA，tanA

求cosA，tanA

綜合練習鞏固提高，更為下節的同角關系式打下基礎

拓展，如果不限制A的象限呢，可以留作課外探討

小結回顧課堂內容

課堂作業和課外作業以加強知識的記憶和理解

課堂作業P16 1，2，4

（學生演板，后集體討論修訂答案同桌討論，由學生回答答案）

課后分層作業（有利于全體學生的發展）

必作P23 1（2），5（2），6（2）（4） 選作P23 3，4

板書設計（見PPT）

《任意角三角函數》說課稿2

1、教學目標：

一、借助單位圓理解任意角的三角函數的定義。

二、根據三角函數的定義，能夠判斷三角函數值的符號。

三、通過學生積極參與知識的“發現”與“形成”的過程，培養合情猜測的能力，從中感悟數學概念的嚴謹性與科學性。

四、讓學生在任意角三角函數概念的形成過程中，體會函數思想，體會數形結合思想。

2、教學重點與難點：

重點：任意角的正弦、余弦、正切的定義；三角函數值的符號。

難點：任意角的三角函數概念的建構過程。

授課過程：

一、引入

在我們的現實世界中的許多運動變化都有循環往復、周而復始的現象，這種變化規律稱為周期性。如何用數學的方法來刻畫這種變化？從這節課開始，我們要來學習刻畫這種規律的數學模型之一――三角函數。

二、創設情境

三角函數是與角有關的函數，在學習任意角概念時，我們知道在直角坐標系中研究角，可以給學習帶來許多方便，比如我們可以根據角終邊的位置把它們進行歸類，現在大家考慮：若在直角坐標系中來研究銳角，則銳角三角函數又可怎樣定義呢？

學生情況估計：學生可能會提出兩種定義的方式，一種定義為邊之比，另一種定義在比值中引入了終邊上的一點P的坐標。

問題：

1、銳角三角函數能否表示成第二種比值方式？

2、點P能否取在終邊上的其它位置？為什么？

3、點P在哪個位置，比值會更簡潔？（引出單位圓的定義）。指出sina＝mP的函數依舊表示一個比值，不過其分母為1而已。

練習：計算的各三角函數值。

三、任意角的三角函數的定義

角的概念已經推廣道了任意角，那么三角函數的定義在任意角的范圍里改怎么定義呢？

嘗試：根據銳角三角函數的定義，你能嘗試著給出任意角三角函數的定義嗎？

評價學生給出的定義。給出任意角三角函數的定義。

四、解析任意角三角函數的定義

三角函數首先是函數。你能從函數觀點解析三角函數嗎？（定義域）

對于確定的角a，上面三個函數值都是唯一確定的，所以，正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數值的函數，我們將它們統稱為三角函數。由于角的集合和實數集之間可以建立一一對應的關系，三角函數可以看成是自變量為實數的函數。

五、三角函數的應用。

1、已知角，求a的三角函數值。

2、已知角a終邊上的一點P（－3，－4），求各三角函數值。

以上兩道書上的例題，讓學生自習看書，學生看書的同時，老師提出問題：

1、已知角如何求三角函數值？

2、利用角a的終邊上任意一點的坐標也可以定義三角函數，你能給出這種定義嗎？（這種定義與課本中給出的定義各有什么特點？）

3、變式：已知角a終邊上點P（－3b，－4b），（b0），求角a的各三角函數值。

4、探究：三角函數的值在各象限的符號。

六、小結及作業

教案設計說明：

新教材的教學理念之一是讓學生去體驗新知識的發生過程，這節《任意角三角函數》的教案，主要圍繞這一點來設計。

首先，角的概念推廣了，那么銳角三角函數的定義是否也該推廣到任意角的三角函數的定義呢？通過這個問題，讓學生體會到新知識的發生是可能的，自然的。

其次，到底應該怎樣去合理定義任意角的三角函數呢？讓學生提出自己的想法，同時讓學生去辨證這個想法是否是科學的？因為一個概念是嚴謹的，科學的，不能隨心所欲地編造，必須去論證它的合理性，至少這種概念不能和銳角三角函數的定義有所沖突。在這個立－破的過程中，讓學生去體驗一個新的數學概念可能是如何形成，在形成的過程中可以從哪些角度加以科學的辯思。這樣也有助于學生對任意角三角函數概念的理解。

再次，讓學生充分體會在任意角三角函數定義的推廣中，是如何將直角三角形這個“形”的問題，轉換到直角坐標系下點的坐標這個“數”的過程的。培養數形結合的思想。

《任意角三角函數》說課稿3

各位領導,各位老師:

我說課的課題是《任意角的三角函數》，內容取自人教版普通高中課程標準實驗教科書《數學》④（必修）第1.2.1節。

一、教材結構與內容簡析

本節內容在全書及章節的地位：三角函數是描述周期運動現象的重要的數學模型，有非常廣泛的應用。三角函數的定義是在初中對銳角三角函數的定義以及剛學過的“角的概念的推廣”的基礎上討論和研究的。三角函數的定義是本章最基本的概念，對三角內容的整體學習至關重要，是其他所有知識的出發點。緊緊扣住三角函數定義這個寶貴的源泉，可以自然地導出本章的具體內容：三角函數線、定義域、符號判斷、值域、同角三角函數關系、多組誘導公式、多組變換公式、圖象和性質。三角函數的定義在教材中起著承前啟后的作用，一方面，通過這部分內容的學習，可以幫助學生更加深入理解函數這一基本概念，另一方面它又為平面向量、解析幾何等內容的學習作必要的準備。三角函數知識還是物理學、高等數學、測量學、天文學的重要基礎。

三角函數定義必然是學好全章內容的關鍵，如果學生掌握不好，將直接影響到后續內容的學習，由三角函數定義的基礎性和應用的廣泛性決定了本節教材的重點就是定義本身。

數學思想方法分析：作為一名數學老師,不僅要傳授給學生數學知識,更重要的是傳授給學生數學思想、數學意識，因此本節課在教學中力圖向學生展示嘗試類比、數形結合等數學思想方法。

二、教學重點、難點、關鍵

教學重點：任意角的三角函數的定義，三角函數的符號規律。

教學難點：任意角的三角函數概念的建構過程。

教學關鍵：如何想到建立直角坐標系；六個比值的確定性（α確定，比值也隨之確定）與依賴性（比值隨著α的變化而變化）。

三、學情分析

學生已經掌握的內容及學生學習能力

1.學生在初中時已經學習了基本的銳角三角函數的定義，掌握了銳角三角函數的一些常見的知識和求法。

2.學生的運算能力較差。

3.部分同學對數學的學習有相當的興趣和積極性。

4.在探究問題的能力，合作交流的意識等方面發展不夠均衡，必須在老師一定的指導下才能進行。

四、教學目標

根據上述教材結構與內容分析，考慮到學生已有的認知結構心理特征，我制定如下教學目標：

1.基礎知識目標：使學生正確理解任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解余切、正割、余割的定義；

2.能力訓練目標：通過學生積極參與知識的“發現”與“形成”的過程，培養合情猜測的能力。

3.情感目標：通過學習，滲透數形結合和類比的數學思想，培養學生良好的思維習慣。

下面，為了講清重點、難點，使學生能達到本節設定的教學目標，我再從教法和學法上談談：

五、教學理念和方法

教學中注意用新課程理念處理傳統教材，學生的數學學習活動不僅要接受、記憶、模仿和練習，而且要自主探索、合作交流、師生互動，教師發揮組織者、引導者、合作者的作用，引導學生主體參與、揭示本質、經歷過程。

根據本節課內容、高一學生認知特點和我自己的教學風格，本節課采用“啟發探索、講練結合”的方法組織教學教法，在課堂結構上，設計了①創設情境——揭示課題②推廣認知——形成概念③鞏固新知——探求規律④總結反思——提高認識⑤任務后延——自主探究五個層次的學法，它們環環相扣，層層深入，從而順利完成教學目標。接下來，我再具體談一談這堂課的教學過程：

六、教學程序及設想

總體來說,由舊及新,由易及難,逐步加強,逐步推進，給定定義后通過應用定義又逐步發現新知識，拓展、完善定義.

先由初中的直角三角形中銳角三角函數的定義，過度到直角坐標系中銳角三角函數的定義，再發展到直角坐標系中任意角三角函數的定義。

（一）創設情境——揭示課題

問題1：在初中我們學習了銳角三角函數，那么銳角三角函數是如何定義的？

【設計意圖】學生在初中學習了銳角的三角函數概念，現在學習任意角的三角函數，又是一種推廣和拓展的過程（類似于從有理數到實數的擴展）。溫故知新，要讓學生體會知識的產生、發展過程，就要從源頭上開始，從學生現有認知狀況開始，對銳角三角函數的復習就必不可少。

問題2：角的概念推廣之后，這樣的三角函數定義還適用嗎？

問題3：若將銳角放入直角坐標系中，你能用角的終邊上的點的坐標來表示銳角三角函數嗎？

留時間讓學生獨立思考或自由討論，教師參與討論或巡回對學困生作啟發引導。

能表示嗎？怎樣表示？針對剛才的問題點名讓學生回答。用角的對邊、鄰邊、斜邊比值的說法顯然是受到阻礙了，由于前面已經以直角坐標系為工具來研究任意角了，學生一般會想到（否則教師進行提示）繼續用直角坐標系來研究任意角的三角函數。

【設計意圖】

從學生現有知識水平和認知能力出發，創設問題情景，讓學生產生認知沖突，進行必要的啟發，將學生思維引上自主探索、合作交流的“再創造”征程。

教師對學生回答情況進行點評后布置任務情景：請同學們用直角坐標系重新研究銳角三角函數定義！

師生共做（學生口述，教師板書圖形和比值）。

問題4：對于確定的角，這三個比值是否與P在的終邊上的位置有關？為什么？

先讓學生想象思考，作出主觀判斷，再引導學生觀察右圖，

聯系相似三角形知識，探索發現：對于銳角α的每一個確定值，

六個比值都是確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化。

得出結論(強調)：當α為銳角時，六個比值隨α的變化而變化；但對于銳角α的每一個確定值，六個比值都是確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化.所以，六個比值分別是以角α為自變量、以比值為函數值的.函數。

（二）推廣認知——形成概念

將銳角的比值情形推廣到任意角α后，水到渠成，師生共同進行探索和推廣出：任意角的三角函數定義。同時教師強調：由于弧度制使角和實數建立了一一對應關系，所以三角函數是以實數為自變量的函數，對數學學習能力較好的同學起到了很好的指導作用。

教師指出:sinα、cosα、tanα的定義域必須緊扣三角函數定義在理解的基礎上記熟，cotα、cscα、secα的定義域不要求記憶。

（關于值域，到后面再學習）

【設計意圖】定義域是函數三要素之一，研究函數必須明確定義域.指導學生根據定義自主探索確定三角函數定義域，有利于在理解的基礎上記住它、應用它，也增進對三角函數概念的掌握。

（三）鞏固新知——探求規律

為了使學生達到對知識的深化理解，進而達到鞏固提高的效果，

例1.已知角的終邊過點，求的六個三角函數值

要求：讀完題目，思考：計算什么?需要準備什么?閉目心算，對照板書，模仿書面表達格式。

鞏固定義之后，我特地設計了一組即時訓練題，以鞏固和加深對三角函數概念的理解，通過課堂積極主動的練習活動，培養學生分析解決問題的能力。

例2.求的正弦、余弦和正切值。

分析：終邊上有無窮多個點，根據三角函數的定義，只要知道終邊上任意一個點的坐標，就可以計算這個角的三角函數值（或判斷其無意義）

師生探索：緊扣三角函數定義求解，首先要在終邊上取定一點。終邊在哪兒呢？取定哪一點呢？任意點、還是特殊點？要靈活，只要能夠算出三角函數值，都可以。

取特殊點能使計算更簡明。

等待學生基本理解和掌握三角函數定義后，觀察、分析初、高中所計算的函數值有何變化，讓學生意識到三角函數值的正負與角所在象限有關,然后引導學生緊緊抓住三角函數定義來分析，從而導出三角函數值的正負與角所在象限的關系，進而由教師總結符號記憶方法,便于學生記憶。

【設計意圖】判斷三角函數值的正負符號，是本章教材的一項重要的知識、技能要求.要引導學生抓住定義、數形結合判斷和記憶三角函數值的正負符號，并總結出形象的“才”字符號法則，這也是理解和記憶的關鍵。

（四）總結反思——提高認識

由學生總結本節課所學習的主要內容：⑴任意角的三角函數的定義及其定義域；⑵三角函數的符號規律。讓學生通過知識性內容的小結，把課堂教學傳授的知識盡快化為學生的素質；通過數學思想方法的小結，使學生更深刻地理解數學思想方法在解題中的地位和應用，并且逐漸培養學生的良好的個性品質目標。

（五）任務后延——自主探究

學生經過以上四個環節的學習，已經初步掌握了任意角的三角函數的定義及三角函數的符號規律，有待進一步提高認知水平，因此我針對學生素質的差異設計了有層次的作業，其中思考題的設計思想是：綜合練習鞏固提高,更為下節的學習內容打下基礎，同時留給學生課后自主探究，這樣既使學生掌握基礎知識，又使學有佘力的學生有所提高，從而達到拔尖和“減負”的目的，以有利于全體學生的發展。

七、簡述板書設計。

cotα、cscα、secα的定義寫在sinα、cosα、tanα的左下方，突出本節重要內容的主體地位。

結束：以上，我僅從說教材，說學情，說教法，說學法，說教學程序上說明了“教什么”和“怎么教”，闡明了“為什么這樣教”。

希望各位領導、同行對本堂說課提出寶貴意見。

《任意角三角函數》說課稿4

一、教學目標

1．掌握任意角的正弦、余弦、正切函數的定義（包括定義域、正負符號判斷）；了解任意角的余切、正割、余割函數的定義.

2．經歷從銳角三角函數定義過度到任意角三角函數定義的推廣過程，體驗三角函數概念的產生、發展過程.領悟直角坐標系的工具功能，豐富數形結合的經驗.

3．培養學生通過現象看本質的唯物主義認識論觀點，滲透事物相互聯系、相互轉化的辯證唯物主義世界觀.

4．培養學生求真務實、實事求是的科學態度.

二、重點、難點、關鍵

重點：任意角的正弦、余弦、正切函數的定義、定義域、（正負）符號判斷法.

難點：把三角函數理解為以實數為自變量的函數.

關鍵：如何想到建立直角坐標系；六個比值的確定性（α確定，比值也隨之確定）與依賴性（比值隨著α的變化而變化）.

三、教學理念和方法

教學中注意用新課程理念處理傳統教材，學生的數學學習活動不僅要接受、記憶、模仿和練習，而且要自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學，師生互動，教師發揮組織者、引導者、合作者的作用，引導學生主體參與、揭示本質、經歷過程.

根據本節課內容、高一學生認知特點和我自己的教學風格，本節課采用“啟發探索、講練結合”的方法組織教學.

四、教學過程

[執教線索：

回想再認：函數的概念、銳角三角函數定義（銳角三角形邊角關系）--問題情境：能推廣到任意角嗎？--它山之石：建立直角坐標系（為何？）--優化認知：用直角坐標系研究銳角三角函數--探索發展：對任意角研究六個比值（與角之間的關系：確定性、依賴性，滿足函數定義嗎？）--自主定義：任意角三角函數定義--登高望遠：三角函數的要素分析（對應法則、定義域、值域與正負符號判定）--例題與練習--回顧小結--布置作業]

（一）復習引入、回想再認

開門見山，面對全體學生提問：

在初中我們初步學習了銳角三角函數，前幾節課，我們把銳角推廣到了任意角，學習了角度制和弧度制，這節課該研究什么呢？

探索任意角的三角函數（板書課題），請同學們回想，再明確一下：

（情景1）什么叫函數？或者說函數是怎樣定義的？

讓學生回想后再點名回答，投影顯示規范的定義，教師根據回答情況進行修正、強調：

傳統定義：設在一個變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值，y都有唯一確定的值和它對應，那么就說y是x的函數，x叫做自變量，自變量x的取值范圍叫做函數的定義域.

現代定義：設A、B是非空的數集，如果按某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數，在集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應，那么就稱映射?：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作：y=f（x），x∈A，其中x叫自變量,自變量x的取值范圍A叫做函數的定義域.

設計意圖：

函數和三角函數是一般和特殊的關系，是共性和個性的關系，學生已經學習了函數的概念，因此對三角函數的學習就是一個從一般到特殊的演繹的過程,也是以具體函數豐富函數概念的過程.教學經驗表明：學生對函數兩種定義的記憶是有一定困難的，容易遺忘，此處讓學生對函數概念進行回想再認，目的在于明確函數概念的本質，為演繹學習任意角三角函數概念作好知識和認知準備.

（情景2）我們在初中通過銳角三角形的邊角關系，學習了銳角的正弦、余弦、正切等三個三角函數.請回想：這三個三角函數分別是怎樣規定的？

學生口述后再投影展示，教師再根據投影進行強調：

設計意圖：

學生在初中學習了銳角的三角函數概念，現在學習任意角的三角函數，又是一種推廣和拓展的過程（類似于從有理數到實數的擴展）.溫故知新，要讓學生體會知識的產生、發展過程，就要從源頭上開始，從學生現有認知狀況開始，對銳角三角函數的復習就必不可少.

（二）引伸鋪墊、創設情景

（情景3）我們已經把銳角推廣到了任意角，銳角的三角函數概念也能推廣到任意角嗎？試試看，可以獨立思考和探索，也可以互相討論！

留時間讓學生獨立思考或自由討論，教師參與討論或巡回對學困生作啟發引導.

能推廣嗎？怎樣推廣？針對剛才的問題點名讓學生回答.用角的對邊、臨邊、斜邊比值的說法顯然是受到阻礙了，由于4.1節已經以直角坐標系為工具來研究任意角了，學生一般會想到（否則教師進行提示）繼續用直角坐標系來研究任意角的三角函數.

設計意圖：

從學生現有知識水平和認知能力出發，創設問題情景，讓學生產生認知沖突，進行必要的啟發，將學生思維引上自主探索、合作交流的“再創造”征程.

教師對學生回答情況進行點評后布置任務情景：請同學們用直角坐標系重新研究銳角三角函數定義！

師生共做（學生口述，教師板書圖形和比值）：

把銳角α安裝（如何安裝？角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸非負半軸重合）在直角坐標系中，在角α終邊上任取一點P，作Pm⊥x軸于m，構造一個RtΔomP，則∠moP=α（銳角），設P（x,y）（x＞0、y＞0），α的臨邊om=x、對邊mP=y，斜邊長|oP∣=r.

根據銳角三角函數定義用x、y、r列出銳角α的正弦、余弦、正切三個比值，并補充對應列出三個倒數比值：

設計意圖：

此處做法簡單，思想重要.為了順利實現推廣，可以構建中間橋梁或公共載體，使之既與初中的定義一致，又能自然地遷移到任意角的情形.由于前一節已經以直角坐標系為工具來研究任意角了，學生自然能想到仍然以直角坐標系為工具來研究任意角的三角函數.初中以直角三角形邊角關系來定義銳角三角函數，現在要用坐標系來研究，探索的結論既要滿足任意角的情形，又要包容初中銳角三角函數定義.這是一個認識的飛躍，是理解任意角三角函數概念的關鍵之一，也是數學發現的重要思想和方法，屬于策略性知識,能夠形成遷移能力,為學生在以后學習中對某些知識進行推廣拓展奠定了基礎（譬如從平面向量到空間向量的擴展，從實數到復數的擴展等）.

（情景4）各個比值與角之間有怎樣的關系？比值是角的函數嗎？

追問：銳角α大小發生變化時，比值會改變嗎？

先讓學生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，同時作好解釋說明：保持r不變，讓P繞原點o旋轉即α在銳角范圍內變化，六個比值隨之變化的直觀形象。結論是：比值隨α的變化而變化.

引導學生觀察圖3，聯系相似三角形知識，

探索發現：

對于銳角α的每一個確定值，六個比值都是

確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化.

得出結論(強調)：當α為銳角時，六個比值隨α的變化而變化；但對于銳角α的每一個確定值，六個比值都是確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化.所以，六個比值分別是以角α為自變量、以比值為函數值的函數.

設計意圖：

初中學生對函數理解較膚淺，這里在學生思維的最近發展區進一步研究初中學過的銳角三角函數，在思維上更上了一個層次，扣準函數概念的內涵，突出變量之間的依賴關系或對應關系，是從函數知識演繹到三角函數知識的主要依據，是準確理解三角函數概念的關鍵，也是在認知上把三角函數知識納入函數知識結構的關鍵.這樣做能夠使學生有效地增強函數觀念.

（三）分析歸納、自主定義

（情境5）能將銳角的比值情形推廣到任意角α嗎?

水到渠成，師生共同進行探索和推廣：

對于一個任意角α，它的終邊所在位置包括下列兩類共八種情形（投影展示并作分析）：

終邊分別在四個象限的情形：終邊分別在四個半軸上的情形：

；

（指出：不畫出角的方向，表明角具有任意性）

怎樣刻畫任意角的三角函數呢？研究它的六個比值：

（板書）設α是一個任意角，在α終邊上除原點外任意取一點P（x，y），P與原點o之間的距離記作r（r=＞0），列出六個比值：

α=kππ/2時，x=0，比值y/x、r/x無意義；

α=kπ時，y=0，比值x/y、r/y無意義.

追問：α大小發生變化時，比值會改變嗎？

先讓學生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，同時作好解釋說明：使r保持不變，P繞原點o逆時針、順時針旋轉即角α變化，六個比值隨之改變的直觀形象。結論是：各比值隨α的變化而變化.

再引導學生利用相似三角形知識，探索發現：對于任意角α的每一個確定值，六個比值都是確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化.

綜上得到（強調）：當角α變化時，六個比值隨之變化；對于確定的角α，六個比值（如果存在的話）都不會隨P在角α終邊上的改變而改變，六個比值是確定的(對應的多值性即誘導公式一留到下節課分析).

因此，六個比值分別是以角α為自變量、以比值為函數值的函數.

根據歷史上的規定，對比值進行命名，指出英文記法和讀法，記作（承前作復合板書）：

=sinα（正弦）=cosα（余弦）=tanα（正切）

=cscα（余割）=sec（正弦）=cotα（余切）

教師強調：sinα表示sin與α的乘積嗎？不是，sinα是函數記號，是一個整體,相當于函數記號f（x）.其它幾個三角函數也如此

投影顯示圖六，指導學生分析其對應關系，進一步體會其函數內涵：

（圖六）

指導學生識記六個比值及函數名稱.

教師指出：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六個函數統稱為三角函數，三角函數有非常豐富的知識和思想方法，我們以后主要學習正弦、余弦、正切三個函數的相關知識和方法，對于余切、正割、余割，只要同學們了解它們的定義就夠了（遵循大綱要求）.

引導學生進一步分析理解：

已知角的集合與實數集之間可以建立一一對應關系，對于每一個確定的實數，把它看成一個弧度數，就對應著唯一的一個角，從而分別對應著六個唯一的三角函數值.因此，（板書）三角函數可以看成是以實數為自變量的函數，這將為以后的應用帶來很多方便.

設計意圖：

把角的終邊分別在四個象限、四條半軸上的情形全作出來，有利于對任意性的全面把握.明確比值存在與否的條件，為確定函數定義域作準備.動畫演示比值與角之間的依賴性與確定性關系，深化理解三角函數內涵.引導學生在理解的基礎上自主地對三角函數作出明確定義，是本節課的中心任務.由于學生剛學弧度制，對弧度制的理解有待于在以后的學習應用中逐步感悟，因此部分學生對“三角函數可以看成是以實數為自變量的函數”的理解有半信半疑之感，有待通過后續的應用加深理解.

（四）探索定義域

（情景6）（1）函數概念的三要素是什么？

函數三要素：對應法則、定義域、值域.

正弦函數sinα的對應法則是什么？

正弦函數sinα的對應法則，實質上就是sinα的定義：對α的每一個確定的值，有唯一確定的比值y/r與之對應，即α→y/r=sinα.

(2)布置任務情景：什么是三角函數的定義域？請求出六個三角函數的定義域，填寫下表：

三角函數

sinα

cosα

tanα

cotα

cscα

secα

定義域

引導學生自主探索：

如果沒有特別說明，那么使解析式有意義的自變量的取值范圍叫做函數的定義域，三角函數的定義域自然是指：使比值有意義的角α的取值范圍.

關于sinα=y/r、cosα=x/r，對于任意角α（弧度數），r＞0，y/r、x/r恒有意義，定義域都是實數集R.

對于tanα=y/x，α=kππ/2時x=0，y/x無意義，tanα的定義域是：{α|α∈R，且α≠kππ/2}..........

教師指出:sinα、cosα、tanα的定義域必須緊扣三角函數定義在理解的基礎上記熟，cotα、cscα、secα的定義域不要求記憶.

（關于值域，到后面再學習）.

設計意圖：

定義域是函數三要素之一，研究函數必須明確定義域.指導學生根據定義自主探索確定三角函數定義域，有利于在理解的基礎上記住它、應用它，也增進對三角函數概念的掌握.

（五）符號判斷、形象識記

（情景7）能判斷三角函數值的正、負嗎？試試看！

引導學生緊緊抓住三角函數定義來分析，r＞0,三角函數值的符號決定于x、y值的正負，根據終邊所在位置總結出形象的識記口訣：

（同好得正、異號得負）

sinα=y/r：上正下負橫為0cosα=x/r：左負右正縱為0tanα=y/x：交叉正負

設計意圖：

判斷三角函數值的正負符號，是本章教材的一項重要的知識、技能要求.要引導學生抓住定義、數形結合判斷和記憶三角函數值的正負符號，并總結出形象的識記口訣，這也是理解和記憶的關鍵.

（六）練習鞏固、理解記憶

1、自學例1：已知角α的終邊經過點P（2，-3），求α的六個三角函數值.

要求：讀完題目，思考：計算什么?需要準備什么?閉目心算，對照解答，模仿書面表達格式，鞏固定義.

課堂練習：

p19題1：已知角α的終邊經過點P（-3，-1），求α的六個三角函數值.

要求心算，并提問中下學生檢驗，--------

點評：角α終邊上有無窮多個點，根據三角函數的定義，只要知道α終邊上任意一個點的坐標，就可以計算這個角的三角函數值（或判斷其無意義）.

補充例題：已知角α的終邊經過點P（x，-3），cosα=4/5，求α的其它五個三角函數值.

師生探索：已知y=-3，要求其它五個三角函數值，須知r=？，x=？.根據定義得=（方程思想），x＞0，解得x=4，從而--------.解答略.

2、自學例2：求下列各角的六個三角函數值：(1)0；(2)π/2；(3)3π/2.

提問，據反饋信息作點評、修正.

師生探索：緊扣三角函數定義求解，首先要在終邊上取定一點。終邊在哪兒呢？取定哪一點呢？任意點、還是特殊點？要靈活，只要能夠算出三角函數值，都可以。

取特殊點能使計算更簡明。課堂練習：p19題2.（改編）填表：

角α（角度）

0°

90°

180°

270°

360°

角α（弧度）

sinα

cosα

tanα

處理：要求取點用定義求解，針對計算過程提問、點評，理解鞏固定義.

強調：終邊在坐標軸上的角叫軸線角，如0、π/2、π、3π/2等，今后經常用到軸線角的三角函數值，要結合三角函數定義記熟這些值.

設計意圖：

及時安排自學例題、自做教材練習題，一般性與特殊性相結合，進行適量的變式練習，以鞏固和加深對三角函數概念的理解，通過課堂積極主動的練習活動進行思維訓練，把“培養學生分析解決問題的能力”貫穿在每一節課的課堂教學始終.

（七）回顧小結、建構網絡

要求全體學生根據教師所提問題進行總結識記，提問檢查并強調：

1．你是怎樣把銳角三角函數定義推廣到任意角的？或者說任意角三角函數具體是怎樣定義的？（建立直角坐標系，使角的頂點與坐標原點重合，---，在終邊上任意取定一點P，---）

2．你如何判斷和記憶正弦、余弦、正切函數的定義域？（根據定義，------）

3．你如何記憶正弦、余弦、正切函數值的符號？（根據定義，想象坐標位置，-----）

設計意圖：

遺忘的規律是先快后慢，回顧再現是記憶的重要途徑，在課堂內及時總結識記主要內容是上策.此處以問題形式讓學生自己歸納識記本節課的主體內容，抓住要害，人人參與，及時建構知識網絡，優化知識結構，培養認知能力.

（八）布置課外作業

1．書面作業：習題4.3第3、4、5題.

2．認真閱讀p22“閱讀材料：三角函數與歐拉”，了解歐拉的生平和貢獻，特別學習他對科學的摯著精神和堅忍不拔的頑強毅力！有興趣的同學可以上網查閱歐拉的相關情況.

教學設計說明

一、對本節教材的理解

三角函數是描述周期運動現象的重要的數學模型，有非常廣泛的應用.

星星之火，可以燎原.

直角三角形簡單樸素的邊角關系，以直角坐標系為工具進行自然地推廣而得到簡明的任意角的三角函數定義，緊緊扣住三角函數定義這個寶貴的源泉，自然地導出三角函數線、定義域、符號判斷、值域、同角三角函數關系、多組誘導公式、多組變換公式、輔助角公式、圖象和性質，本章教材就是這些內容的具體安排.定義直接用于解析幾何（如直線斜率公式、極坐標、部分曲線的參數方程等），定義還是直接解決某些問題的工具，三角函數知識是物理學、高等數學、測量學、天文學的重要基礎.

三角函數定義必然是學好全章內容的關鍵，如果學生掌握不好，將直接影響到后續內容的學習，由三角函數定義的基礎性和應用的廣泛性決定了本節教材的重點就是定義本身.

二、教學法加工

數學教材通常用抽象概括的形式化的數學書面語言闡述其知識和方法，教師只有通過教學法加工，始終貫徹“以學生的發展為本”的科學教育觀，“將數學的學術形態轉化為教育形態”（張奠宙語），引導學生積極主動地進行思考活動，直接參與體驗數學知識產生發展的背景、過程，返璞歸真，揭示本質，體會其中的思想和方法，學生只有這樣才能真正理解掌握數學知識和方法，有效地發展智力、培養能力.

在本節教材中，三角函數定義是重點，三角函數線是難點，為了較好地突出重點和突破難點，分散重點和難點，同時兼顧例題、課堂練習的協調匹配，將不按教材順序來進行教學，第一課時安排三角函數的定義（突出重點）、定義域、符號判斷、例題1、2及p19課堂練習1、2、3，第二課時安排三角函數線、p15練習（突破難點）、誘導公式一及課本例題3、4和其它練習.本課例屬第一課時.

教學經驗表明，三角函數定義“簡單易記”，學生很容易輕視它，不少學生機械記憶、一知半解.本課例堅持“教師主導、學生主體”的原則，采用“啟發探索、講練結合”的常規教學方法，在學生的最近發展區圍繞學生的學習目標設計了一系列符合學生認知規律的程序，通過多媒體輔助教學動畫演示比值與角之間的依賴關系，拓展思維活動時空，力求使學生全員主動參與，積極思考，體會定義產生、發展的過程，通過思維過程來理解知識、培養能力.

將六個比值放在一起來研究，同時給出六個三角函數的定義，能夠增強對比感和整體感，至于大綱對兩組函數掌握與了解的不同要求，在下一步的教學中注意區分就行了.

教學中關于符號sinα、cosα、tanα的出場安排，教材首先對比值取名并給出英文記法，再研究它們與α的函數關系；另外可以先研究六個比值與α之間的函數關系，然后再對六個比值取名給出記法.后者更能突出函數內涵，揭示三角函數本質.本課例采用后者組織教學.

三、教學過程分析（見穿插在教案中的設計意圖）.

《任意角三角函數》說課稿5

各位領導，各位老師：

我說課的課題是《任意角的三角函數》，內容取自人教版普通高中課程標準實驗教科書《數學》④（必修）第1。2。1節。

一、教材結構與內容簡析

本節內容在全書及章節的地位：三角函數是描述周期運動現象的重要的數學模型，有非常廣泛的應用。三角函數的定義是在初中對銳角三角函數的定義以及剛學過的“角的概念的推廣”的基礎上討論和研究的。三角函數的定義是本章最基本的概念，對三角內容的整體學習至關重要，是其他所有知識的出發點。緊緊扣住三角函數定義這個寶貴的源泉，可以自然地導出本章的具體內容：三角函數線、定義域、符號判斷、值域、同角三角函數關系、多組誘導公式、多組變換公式、圖象和性質。 三角函數的定義在教材中起著承前啟后的作用，一方面，通過這部分內容的學習，可以幫助學生更加深入理解函數這一基本概念，另一方面它又為平面向量、解析幾何等內容的學習作必要的準備。三角函數知識還是物理學、高等數學、測量學、天文學的重要基礎。

三角函數定義必然是學好全章內容的關鍵，如果學生掌握不好，將直接影響到后續內容的學習，由三角函數定義的基礎性和應用的廣泛性決定了本節教材的重點就是定義本身。

數學思想方法分析：作為一名數學老師，不僅要傳授給學生數學知識，更重要的是傳授給學生數學思想、數學意識，因此本節課在教學中力圖向學生展示嘗試類比、數形結合等數學思想方法。

二、教學重點、難點、關鍵

教學重點：任意角的三角函數的定義，三角函數的符號規律。

教學難點：任意角的三角函數概念的建構過程。

教學關鍵：如何想到建立直角坐標系；六個比值的確定性（ α確定，比值也隨之確定）與依賴性（比值隨著α的變化而變化）。

三、學情分析

學生已經掌握的內容及學生學習能力

1。 學生在初中時已經學習了基本的銳角三角函數的定義，掌握了銳角三角函數的一些常見的知識和求法。

2。學生的運算能力較差。

3。部分同學對數學的學習有相當的興趣和積極性。

4。在探究問題的能力，合作交流的意識等方面發展不夠均衡，必須在老師一定的指導下才能進行。

四、教學目標

根據上述教材結構與內容分析，考慮到學生已有的認知結構心理特征 ，我制定如下教學目標：

1。基礎知識目標：使學生正確理解任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解余切、正割、余割的定義；

2。能力訓練目標：通過學生積極參與知識的“發現”與“形成”的過程，培養合情猜測的能力。

3。情感目標：通過學習，滲透數形結合和類比的數學思想，培養學生良好的思維習慣。

下面，為了講清重點、難點，使學生能達到本節設定的教學目標，我再從教法和學法上談談：

五、教學理念和方法

教學中注意用新課程理念處理傳統教材，學生的數學學習活動不僅要接受、記憶、模仿和練習，而且要自主探索、合作交流、師生互動，教師發揮組織者、引導者、合作者的作用，引導學生主體參與、揭示本質、經歷過程。

根據本節課內容、高一學生認知特點和我自己的教學風格，本節課采用“啟發探索、講練結合”的方法組織教學教法， 在課堂結構上，設計了 ①創設情境——揭示課題②推廣認知——形成概念③鞏固新知——探求規律④總結反思——提高認識⑤任務后延——自主探究五個層次的學法，它們環環相扣，層層深入，從而順利完成教學目標。 接下來，我再具體談一談這堂課的教學過程：

六、教學程序及設想

總體來說， 由舊及新，由易及難，逐步加強，逐步推進，給定定義后通過應用定義又逐步發現新知識，拓展、完善定義。

先由初中的直角三角形中銳角三角函數的定義，過度到直角坐標系中銳角三角函數的定義，再發展到直角坐標系中任意角三角函數的定義。

（一）創設情境——揭示課題

問題1：在初中我們學習了銳角三角函數，那么銳角三角函數是如何定義的？

【設計意圖】學生在初中學習了銳角的三角函數概念，現在學習任意角的三角函數，又是一種推廣和拓展的過程（類似于從有理數到實數的擴展）。溫故知新，要讓學生體會知識的產生、發展過程，就要從源頭上開始，從學生現有認知狀況開始，對銳角三角函數的復習就必不可少。

問題 2：角的概念推廣之后，這樣的三角函數定義還適用嗎？

問題 3：若將銳角放入直角坐標系中，你能用角的終邊上的點的坐標來表示銳角三角函數嗎？

留時間讓學生獨立思考或自由討論，教師參與討論或巡回對學困生作啟發引導。

能表示嗎？怎樣表示？針對剛才的問題點名讓學生回答。 用角的對邊、鄰邊、斜邊比值的說法顯然是受到阻礙了，由于前面已經以直角坐標系為工具來研究任意角了，學生一般會想到（否則教師進行提示）繼續用直角坐標系來研究任意角的三角函數。

【設計意圖】

從學生現有知識水平和認知能力出發，創設問題情景，讓學生產生認知沖突，進行必要的啟發，將學生思維引上自主探索、合作交流的“再創造”征程。

教師對學生回答情況進行點評后布置任務情景：請同學們用直角坐標系重新研究銳角三角函數定義！

師生共做（學生口述，教師板書圖形和比值）。

問題 4：對于確定的角 ，這三個比值是否與P在 的終邊上的位置有關？為什么？

先讓學生想象思考，作出主觀判斷，再引導學生觀察右圖，

聯系相似三角形知識，探索發現： 對于銳角α的每一個確定值，

六個比值都是確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化。

得出結論（強調）：當α為銳角時，六個比值隨α的變化而變化；但對于銳角α的每一個確定值，六個比值都是確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化。 所以，六個比值分別是以角α為自變量、以比值為函數值的函數。

（二）推廣認知——形成概念

將銳角的比值情形推廣到任意角α后，水到渠成，師生共同進行探索和推廣出：任意角的三角函數定義。同時教師強調：由于弧度制使角和實數建立了一一對應關系，所以三角函數是以實數為自變量的函數，對數學學習能力較好的同學起到了很好的指導作用。

教師指出： sinα、csα、tanα的定義域必須緊扣三角函數定義在理解的基礎上記熟，ctα、cscα、secα的定義域不要求記憶。

（關于值域，到后面再學習）。

【設計意圖】定義域是函數三要素之一，研究函數必須明確定義域。 指導學生根據定義自主探索確定三角函數定義域，有利于在理解的基礎上記住它、應用它，也增進對三角函數概念的掌握。

（三）鞏固新知——探求規律

為了使學生達到對知識的深化理解，進而達到鞏固提高的效果，

例1。已知角 的終邊過點 ，求 的六個三角函數值

要求：讀完題目，思考：計算什么？需要準備什么？閉目心算，對照板書，模仿書面表達格式。

鞏固定義之后，我特地設計了一組即時訓練題，以鞏固和加深對三角函數概念的理解，通過課堂積極主動的練習活動，培養學生分析解決問題的能力。

例2。 求 的正弦、余弦和正切值。

分析： 終邊上有無窮多個點，根據三角函數的定義，只要知道 終邊上任意一個點的坐標，就可以計算這個角的三角函數值（或判斷其無意義）

師生探索：緊扣三角函數定義求解，首先要在終邊上取定一點。終邊在哪兒呢？取定哪一點呢？任意點、還是特殊點？要靈活，只要能夠算出三角函數值，都可以。

取特殊點能使計算更簡明。

等待學生基本理解和掌握三角函數定義后，觀察、分析初、高中所計算的函數值有何變化，讓學生意識到三角函數值的正負與角所在象限有關， 然后引導學生緊緊抓住三角函數定義來分析，從而導出三角函數值的正負與角所在象限的關系，進而由教師總結符號記憶方法，便于學生記憶。

【設計意圖】判斷三角函數值的正負符號，是本章教材的一項重要的知識、技能要求。 要引導學生抓住定義、數形結合判斷和記憶三角函數值的正負符號，并總結出形象的“才”字符號法則，這也是理解和記憶的關鍵。

（四）總結反思——提高認識

由學生總結本節課所學習的主要內容：⑴任意角的三角函數的定義及其定義域；⑵三角函數的符號規律。讓學生通過知識性內容的小結，把課堂教學傳授的知識盡快化為學生的素質；通過數學思想方法的小結，使學生更深刻地理解數學思想方法在解題中的地位和應用，并且逐漸培養學生的良好的個性品質目標。

（五）任務后延——自主探究

學生經過以上四個環節的學習，已經初步掌握了任意角的三角函數的定義及三角函數的符號規律，有待進一步提高認知水平，因此我針對學生素質的差異設計了有層次的作業，其中思考題的設計思想是：綜合練習鞏固提高，更為下節的學習內容打下基礎，同時留給學生課后自主探究，這樣既使學生掌握基礎知識，又使學有佘力的學生有所提高，從而達到拔尖和“減負”的目的，以有利于全體學生的發展。

六、簡述板書設計。

ctα、cscα、secα的定義寫在sinα、csα、tanα的左下方，突出本節重要內容的主體地位。

結束：以上，我僅從說教材，說學情，說教法，說學法，說教學程序上說明了“教什么”和“怎么教”，闡明了“為什么這樣教”。

希望各位領導 、同行對本堂說課提出寶貴意見。

第四篇：任意角三角函數教案（推薦）

問題1 本章研究的問題是三角函數，函數的研究離不開平面直角坐標系，這在第一節中已經有所感受。現在請你回憶初中學過的銳角三角函數的定義，并思考一個問題：如果將銳角置于平面直角坐標系中，如何用直角坐標系中角的終邊上的點的坐標表示銳角三角函數呢？

（設計意圖：將已有知識坐標化,分化難點。用新的觀點再認識學生的已有知識經驗，發揮其正遷移作用，同時使本課時的學習與學生的已有知識經驗緊密聯系，使知識有一個熟悉的起點，扎實的固著點。）

預計的回答：學生可以回憶出初中學過的銳角三角函數的定義，但是在用坐標語言表述時可能會出現困難——即使將角置于坐標系中但是仍然習慣用三角形邊的比值表示銳角三角函數，需要教師引導學生將之轉換為用終邊上的點的坐標表示銳角三角函數。

解答過程：

：如圖1，在直角△POM中，∠M是直角，那么。

（2）坐標化：如圖2，建立平面直角坐標系，設點P的坐標為（x，y），那么，于是。

問題2 回憶弧度制中1弧度角的幾何解釋，它是借助于單位圓給出的，能否從中得到啟示將上述定義的形式化簡，化簡的依據是什么？寫出最簡單的形式。（設計意圖：引入單位圓。深化對單位圓作用的認識，用數學的簡潔美引導學生進行研究，為定義的拓展奠定基礎。該問題與問題1結合，分步推進，降低難度，基本尊重教材的處理方式。）

預計的困難：由于學生只接觸過一次單位圓，對它所能起的作用只有一般的了解，所以需要教師的引導。也可以引導學生從形式上對上述定義化簡，使得分母為1，之后通過分母的幾何意義將之與單位圓結合起來。

解答過程：

單位圓中定義銳角三角函數：如圖3，線段OP=1，點P的坐標為（x，y），那么銳角α的三角函數可以用坐標表示為：。

（說明：單位圓的定義建議在弧度制一節中給出。）

依據：三角形相似，比值與具體的點的位置沒有關系。

問題3：上述定義是借助于單位圓，利用角的終邊與單位圓的交點的坐標給出的，它可以推廣到任意角的三角函數，請你寫出任意角的三角函數的定義。分小組分別寫出角α的終邊位于第二、三、四象限和x軸、y軸上時的三角函數。（設計意圖：具體認識任意角的三角函數，突現本課時的研究重點。如果問題太一般化，如設計為：上述定義可以推廣到任意角的三角函數，請寫出任意角的三角函數的定義。那么學生不知道“上述定義”是指哪個，而且不明白任意角該如何取。所以在問題設計中再次強調要借助于單位圓，利用坐標，限定學生的思維，以免太發散。再者在一般要求“寫出任意角的三角函數”之后，又提出具體的活動方式：分小組針對不同位置的角分別寫出其三角函數。這樣將問題具體化，學生容易著手解決。寫出定義的過程也是鞏固推廣的過程，而且這樣做盡可能避免出現學生用計算器算cosπ的現象。）

活動形式：由學生分組獨立完成之后再展示交流，形成具體而全面的認識。學生可能會在寫出任意角的三角函數的定義時出現困難，教師的幫助不要具體，而是在思維上引導——用坐標表示，并引導學生正確認識三角函數的定義域。

預計的答案：如圖4，針對其中的圖（1）（2）（3）學生寫出，針對其中的圖（4）學生寫出，針對其中的圖（5）學生寫出，tanα無意義。

結論：給出三角函數的定義：（略）。

問題4：根據上述過程，你能寫出三角函數的定義域嗎？你能用函數的定義對三角函數進行分析嗎？

（設計意圖：順勢而為形成定義，并將三角函數的定義進行同化，通過這樣的活動強化學生對任意角三角函數定義的理解，達到對概念的初步精致。）

預計的困難：學生對三角函數的自變量認識可能會存在問題。

教師的引導：引導學生利用單位圓的幾何意義解釋正弦、余弦的值域。預計的答案：設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P（x,y）。

例1 求的正弦、余弦和正切值。

（設計意圖：鞏固對定義的理解。）

分析：根據定義求解，先利用銳角三角函數知識求出點P的坐標，再根據定義求解。

解：如圖5，可知在RTΔOPC中，∠OPC=30o，所以OC=，CP=，所以點P的坐標是。

根據定義可得：

練習１（P15練習3）完成下列表格中的前兩列：

例2 已知角α的終邊經過點P（－3，－4），求角α的正弦、余弦和正切值。

（設計意圖：通過問題的轉化，進一步加深對定義的理解。）

分析：通過相似求出角α的終邊與單位圓的交點坐標，之后再根據定義求解。解：如圖6，由已知可得： |OP0|=。

設角α的終邊與單位圓交于點P（x，y）,分別過點P和P0作x軸的垂線MP，M 0P0，則

又|OP|=1，根據∽Δ，可得，即，所以。

所以。

（說明：上述書寫過程基本與例1統一，這樣可以將該題目的求解思路同化，降低學習難度。）

問題5 通過本課時的學習你有哪些收獲，請從知識、思想方法經驗等方面進行小結。此外你還有哪些需要質疑之處。

（設計意圖：引導學生小結，并進一步思考。通過質疑引導學生全面認識三角函數，雖然在課堂上不研究其他3個三角函數，但是可以讓學生有一個全面的認識，培養思維的嚴謹性。通過三角函數定義的一般化，引導學生用辯證的觀點認識事物，理解三角函數。）

小結：知識：（略）；

思想方法：（略）；

經驗：用函數的觀點認識三角函數，用單位圓的幾何特征研究三角函數。

拓展1：3個數可以形成6個比值，為什么只對其中的三個比值進行定義和研究，其他3個比值又能對應什么函數呢？有興趣的同學可以自己查閱資料進行研究。

拓展2：通過求解例2，你能發現還可以怎么定義任意角的三角函數呢？請閱讀教材的旁白。這是三角函數定義的等價定義。

六、目標檢測設計 1．P15練習1，2，3；

（設計意圖：初步應用定義和等價定義。）2．習題1.2A組2。

（設計意圖：培養學生類比、對比解決問題能力。）

3．完成教材P13的探究，之后完成P15練習4，6，把結果填在書上。（設計意圖：將作業作為課堂教學的延伸，培養學生自主學習的能力和習慣。）七．設計思路 1．突出單位圓的作用。具體表現在三個方面：第一是將銳角三角函數坐標化，引入單位圓；第二是利用單位圓寫出任意角的三角函數；第三是利用單位圓寫出定義域及正弦、余弦的值域；第四是在例2的解決過程中建立單位圓與一般定義的關系。

2．用函數同化三角函數。給出任意角的三角函數的定義之后，用函數的定義對三角函數進行分析，將之納入到已有的認知結構中，并使得原有認知結構發生順應變化。

3．力求在數學的自然、必要和學生的認知之間尋找平衡點。根據聽課時出現的問題，在本教學設計中采取了下列處理方式。（1）先坐標化再引入單位圓，降低認知臺階。

從銳角三角函數到任意角三角函數這一段的處理基本尊重教材，這是因為在聽課過程中發現如果將“坐標化”與“單位圓”兩個問題同時拋給學生，雖然能體現出做這兩個工作的必要性，但是跨度較大，學生感到困難，解決問題的過程費時費力，不但不能使學生感受到學習的必要性，反而制約了學生的思維。

（2）將問題分解、具體化，通過具體認識一般。

在形成任意角的三角函數的定義時將問題解剖，并采取分組合作的組織方式，旨在將抽象的問題具體化，降低難度。讓學生根據角的不同位置寫出定義，特別是對于象限角也進行了相同的處理辦法，這是因為學生的思維從具體問題開始，而且要形成“初始效應”，在新概念學習伊始就使得它植根于學生的已有認知結構中，并形成強烈的意識——用新定義解決問題，而不再用計算器或其他辦法。

（3）解題思路求同，強化定義的作用。

例

1、例2兩個題目的解決思路都是相同的：先求出角的終邊與單位圓交點的坐標，之后再根據定義求解。差別在于求角的終邊與單位圓交點的坐標的具體方法不同，這些求法都是學生已經具備的技能。據此建議教材中將例2的解題過程修改，將利用相似求線段長的計算前置，分步完成即降低了難度，又統一了思路，突出了定義的作用。

（4）將作業作為課堂教學的有效延伸，給學生思考的空間。

作業中的第3項的設計，其意是使得學生的作業不但有模仿的，更有需要獨立思考的，培養學生的能力。

2009-04-09 人教網 關閉 打印

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第五篇：《任意角三角函數》課后反思

談《任意角的三角函數》的教學反思

金堂實驗中學

吳華

一、本班學生認知水平

本班是高一年級的普通班，雖然有71人，有70%的人幾乎不能聽懂，有22%左右能聽懂但不能把習題完全做對，有8%的人聽懂也能正確完成習題，幾乎沒有人能超前思維，無主動自發學習習慣，這是本班的現狀。

二、學習本節需要的基礎知識

初中銳角三角函數知識；特殊銳角直角三角形三邊關系；直角坐標系下坐標在四個象限的符號特征；弧度制和角度制的互化 ；終邊落在Y軸的角表示方法；函數的定義和三要素。

三、教材設計安排

《任意角的三角函數》共分三個課時，第一課時主要是引入任意角的三角函數的定義，也是本節的教學重點和難點；第二課時誘導公式一的應用；第三課時利用單位圓有向線段表示三角函數。

（1）課堂設計安排

我上的是《任意角的三角函數》的第一課時。第一節課定義占了本節課15分鐘左右，在上課之前我認真看了教材上的李柏青老師課堂實錄，并認真記錄下他在每個知識點如何提問，如何由銳角三角函數過渡到任意角三角函數以及他在每個知識點上的時間分配。結合本班實際我在設計這堂課時改變了教材編排體系，在設計了任意角三角函數的定義和定義域之后我沒有直接評講例1“給定一個角求三角函數值”，我先給出一組“判斷三角函數值的符號”練習，讓更多的同學參加學習中來，通過練習學生很快總結出“任意角三角函數在四象限的符號特征”。比起求值，判斷符號肯定更簡單。同時我將例2“給定坐標求三角函數值”移至第二課時，例2用單位圓的方式解答會無形中增加本題難度，兩種方法對比學更能讓掌握此題的方法。第一課時的時間已經比較緊，即使能講完，學生也不能完成課堂練習。對定義域和值域兩個內容在指導老師的建議下分成兩節學習。學生學習“任意角的三角函數這個概念是以順應為主的認知過程，我把它分成如下四個階段：直角三角形中的銳角三角函數---直角坐標系中的銳角三角函數---單位圓上點的坐標表示的銳角三角函數---單位圓上點的坐標表示的任意角的三角函數---任意角終邊上任一點坐標定義三角函數，層層引入，所以學生就理解了任意角的三角函數。

（2）本節內容的特點

（A）數學課堂的情景創設是關鍵。雖然這節課情景創設是老掉牙的復習導入初中銳角三角函數，但注重與義務教材的銜接，初中教材中只涉及正弦、余弦和正切，在本節的內容比老教材相比三角函數的定義減少了三個，這三個三角函數的刪減大大降低三角函數一章的難度，由這三個也可以推導其他幾個。（B）定義的引入還有一個最大的特點是利用單位圓定義三角函數是一個創新。我認為它有如下幾個優點：一是使正余弦函數直接對應直角坐標系下一個點的橫縱坐標更加清楚、簡單，突出了三角函數的本質。有利于學生理解三角函數是函數的本質；二是使三角函數反映的數形關系更加明了，為后續內容奠定基礎。（C）本節的重點和難點是對任意角三角函數定義的理解，一要闡述任意角三角函數定義來歷，而要說明關系式是函數。在說明是函數上為了不讓學生會被函數的概念攪昏，我提出了啟發性的問題：給一個a值有一個點的坐標與之對應，所以它們是函數嗎？比直接問他們是不是函數好判斷多了。（D）銳角三角函數與任意角三角函數的關系是由特殊到一般的關系，首先，要建立銳角三角函數放在直角坐標系下，用終邊上點的坐標來表示，再用終邊與單位圓的交點的坐標表示。其次，角的概念擴大，學生在第一節學習了角的表示（過程的）：正角、零角、負角，象限角，與角α終邊相同的角，{α+k·360°}到{α+2kπ}(結構的)，學生對角的概念擴充，后面學習了角度可以用弧度表示。將三角函數的定義域擴充到實數，（3）本節滲透數學思想方法、思維能力

通過單位圓來定義三角函數，滲透數形結合思想。同時在說明三角函數是函數上體現了函數與方程思想。由銳角三角函數的坐標表示引到任意角的三角函數的坐標表示展示類比的思想。在探索四象限的三角函數的符號特征我采用探究式學習方式，鍛煉了學生的獨立思考的能力，也充分展現學生自學、探究學習的過程。

四、本課的學習和教學方式

課本中有些內容可以采用學生自主探究方法，但不適宜整課自學探究。結合本班學生實際讓他們提前預習了該節內容，并且利用晚自習把本節需要的基礎知識逐一補充。有些高中的內容如角度與弧度互化加強記憶，另一些初中的相關知識加以復習鞏固，這樣做到課前有準備，課上不慌張。新課程倡導積極主動、勇于探索的學習方式, 其關鍵在于要培養學生的探究意識。新課程強調探究式教學。但我們班的學生由于基礎差，學習習慣不好要探究出某個數學問題或者定理,需要花費大量時間,甚至可能無從著手，白白浪費時間。高中學生的學習任務主要是學習前人的知識與方法, 任何脫離知識基礎的探究都是盲目的。所以結合本班實際我采用了講授式，講授式教學有其優越性；因此在教法的選擇上，教師應從教學的實際內容出發，從學生的實際學情出發，內容適宜學生探究的或者問題有探究的意義的，就讓學生探究，內容適宜教師講授的，就讓學生“接受”。只有多種教學方式取長補短，平衡互補、相輔相成，才能取得相得益彰的教學效果。

五、其他啟示

數學概念(mathematical concepts)：是人腦對現實對象的數量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式，即一種數學的思維形式。，三角函數的概念教學是本節難點，如果教師直接“告訴”學生什么是“任意角三角函數”，就會讓學生處于茫然不知所日，在知識接受上有突兀感．在教學中應遵循高中數學新課標的要求，加強概念的引入，引導學生經歷從舊知抽象出數學概念的過程．合理設置情境，使學生積極參與教學，了解知識發生發展的背景和過程，使學生感受到學習的樂趣，為了總結出一個結論要建立任意角三角函數概念，角的概念先擴大，即任意角三角函數的概念是抽象度更高、包攝范圍更廣的概念。產生與原認知結構不協調的方面是：首先，要建立銳角三角函數的一個等價的表示過程，即放在直角坐標系下，用終邊上點的坐標來表示，進一步用終邊與單位圓的交點的坐標表示。其次，在不同象限下，角β所對應的三角函數的表示，符號等；第三，任意角三角函數的定義域、值域。通過上課及課后的研討，我的另一點體會是，教學設計既要重視“承上”，即與學生原有認知結構的聯系，也要重視“啟下”，即從后續知識發展的角度審視教學安排。銳角三角函數概念教學時如果是先給一個銳角，再構造三角形，而不是象當前大多數教材中采用的直接放在一個直角三角形下，對學生概念的遷移會更有幫助。另一個是，給出角上一點坐標求三角函數值，用單位圓解理解困難，我建議兩種方法對比學，學生可以因材施教，更利于學生掌握

以上是我對上這課的一點體會，總之無論上什么課對于教材都要認真鉆研教材、挖掘教材中體現的新思維、新理念，又要根據學生實際情況創造性的使用教材，發揮教材應有的指導性的功效，使我們的教學日臻完美。