第一篇：“任意角的三角函數”教學反思

“任意角的三角函數”教學反思

在進行人教版高中數學必修（4）1.2.1任意角的三角函數的的教學過程中，我將教材內容進行整合:首先，讓學生回顧初中相關內容－－銳角三角函數的概念、特殊角的三角函數值等；然后將初中的銳角三角形放到直角坐標系中，出現了點的坐標，鄰、對、斜變成了橫、縱、r(=OP)。老教材上的定義自然推出；再次，將r特殊化令r=1,新教材上的定義立即出現；最后，進行定義的應用，教材14頁例1考查新教材定義，例2考查舊教材定義；強化練習、課堂小結、布置作業。課上的很順，自我感覺良好。但針對上節內容布置當堂作業，卻發現學生仍不能很好地理解掌握相關的知識點。過后，我在備課本的教學反思處寫下了四條教學反思：

（1）知識與能力：這節課從知識傳授上看比較成功，三個問題環環相扣，但從能力培養上顯得不足，主要是在例題與練習的處理上，投入的時間不足，沒有及時將知識內化為能力，但通過作業和調研題的講解，師生對三角函數概念的理解都有了質的飛躍。

（2）循序漸進：在題目設計上相對于學生已有的知識是難了一點，因此出錯率高。在今后的教學中要注意梯度的設計，跨度不要太大，貼近教材、貼近學生、貼近實際。

（3）教給與教會：這節課也許是我設計得太自然了，臺階過密、跨度太小，學生在學習過程中沒有遇到陷阱，沒有產生激烈的思維碰撞，因此，看似順暢，效果不佳。下一步要注意梯度的設計，臺階不要過密，要有一定的思維跨度。

（4）腳踏實地：由于教師對新課改理解不深、盲目跟風，片面追求課堂氣氛，將“滿堂灌”變成了“滿堂問”。學生為了表現自己，爭搶回答問題，失去了對問題的深入思考，致使學生基礎不扎實了，計算器的使用也降低了學生基本的運算能力。在今后的教學中要切實抓好落實，把數學解題真正落實到學生的筆頭上。

反思是人類進步的階梯，進步其實就是在沒有極限的發現問題和解決問題的矛盾發展的過程中點滴積累起來的。努力讓自己同時也鼓勵自己的學生做生活工作的有心人，發現問題，在反思中促進自身的成長。

第二篇：《任意角的三角函數》教學反思

《任意角的三角函數》教學反思

肥東縣長臨河中學趙治龍

任意角三角函數的第一節課，其中心任務應該是讓學生建立起計算一個任意角的三角函數與其終邊上點的坐標之間的關系，并在此基礎上初步建立任意角三角函數概念的意義，《任意角的三角函數》教學反思。如，計算方法、定義域、值域、符號表示、有關結論（與點的位置的選取無關）后，首先提供“坐標系”作為腳手架，并引發學生的認知沖突—“在坐標系下，如何研究一個任意角的三角函數？”并以坐標系為平臺，有層次的研究隨角的變化，即第一象限下的銳角（認識研究方法的變化，以及符號表示的變化）——0~2π范圍內的角（認識該范圍內角的三角函數的表示方法，特別是值域的變化）——不同象限下終邊相同的角（逐漸形成計算一個任意角的三角函數的操作過程）。

銳角三角函數概念教學時如果是先給一個銳角，再構造三角形，而不是象當前大多數教材中采用的直接放在一個直角三角形下，對學生概念的遷移會更有幫助。

“任意角和弧度制”，應該完成用弧度制表示一個角α及其終邊相同的角的集合如何表示，會對本節課“任意角的三角函數”概念的教學更有意義。

新教材的教學理念之一是讓學生去體驗新知識的發生過程,這節《任意角三角函數》的教案,主要圍繞這一點來設計.到底應該怎樣去合理定義任意角的三角函數呢讓學生提出自己的想法,同時讓學生去辨證這個想法是否是科學的因為一個概念是嚴謹的,科學的,不能隨心所欲地編造,必須去論證它的合理性,至少這種概念不能和銳角三角函數的定義有所沖突.在這個立-破的過程中,讓學生去體驗一個新的數學概念可能是如何形成,在形成的過程中可以從哪些角度加以科學的辯思.這樣也有助于學生對任意角三角函數概念的理解.讓學生充分體會在任意角三角函數定義的推廣中,是如何將直角三角形這個“形”的問題,轉換到直角坐標系下點的坐標這個“數”的過程的.培養數形結合的思想.《標準》把發展學生的數學應用意識和創新意識作為其目標之一,在教學中不僅要突出知識的來龍去脈還要為學生創設應用實踐的空間,促進學生在學習和實踐過程中形成和發展數學應用意識,提高學生的直覺猜想、歸納抽象、數學地提出、分析、解決問題的能力,發展學生的數學應用意識和創新意識,使其上升為一種數學意識,自覺地對客觀事物中蘊涵的一些數學模式作出思考和判斷，教學反思《《任意角的三角函數》教學反思》。在解答問題的過程中體驗到從數學的角度運用學過的數學思想、數學思維、數學方法去觀察生活、分析自然現象、解決實際問題的策略,使學生認識到數學原來就來自身邊的現實世界,是認識和解決我們生活和工作中問題的有力武器,同時也獲得了進行數學探究的切身體驗和能力。增進了他們對數學的理解和應用數學的信心。

第三篇：《任意角的三角函數》教學反思

《任意角的三角函數》教學反思

《任意角的三角函數》教學反思1

首先，讓學生回顧初中相關內容－－銳角三角函數的概念、特殊角的三角函數值等；

然后將初中的銳角三角形放到直角坐標系中，出現了點的坐標，鄰、對、斜變成了橫、縱、r(r=|op|)。教材上的定義自然推出；

再次，將r特殊化令r=1，教材上的定義立即出現。

最后，進行定義的應用，教材14頁例1考查新教材定義，例2考查舊教材定義；強化練習、課堂小結、布置作業。課上的很順，自我感覺良好。

但接下來發生的事卻直得深思，自習輔導課上針對上節內容布置當堂作業，題目是教材17頁第一題，當堂批閱、統計，出錯率20％，我很愕然。立即進行進一步的學情調研：讓學生每人準備一張白紙，可以不署名，限時做教材23頁A組練習第二題，當堂批閱、統計，出錯率60％，真的沒有想到。

過后，我寫下了四條教學反思：

（1）知識與能力：

這節課從知識傳授上看比較成功，三個問題環環相扣，但從能力培養上顯得不足，主要是在例題與練習的處理上，投入的時間不足，沒有及時將知識內化為能力，但通過作業和調研題的講解，學生對三角函數概念的理解都有了質的飛躍。

（2）循序漸進：

A組練習二的目的是為了調研，此題相對于學生已有的知識是難了一點，因此出錯率高。在今后的教學中要注意梯度的設計，跨度不要太大，貼近教材、貼近學生、貼近實際。

（3）教給與教會：

這節課也許是我設計得太自然了，臺階過密、

跨度太小，學生在學習過程中沒有遇到陷阱，沒有產生激烈的思維碰撞，因此，看似順暢，效果不佳。下一步要注意梯度的設計，臺階不要過密，要有一定的思維跨度。

（4）不可忽視的浮夸風：

片面追求課堂氣氛，將“滿堂灌”變成了“滿堂問”。學生為了表現自己，爭搶回答問題，失去了對問題的深入思考，致使學生基礎不扎實了，計算器的使用也降低了學生基本的運算能力。

當統計完調研題后，我提問數學課代表，讓他猜測答對率，他回答－－80％（實際為40％）。進一步表明了學生過高估計自己的解題能力，存在著嚴重的“浮夸風”。在今后的教學中要切實抓好落實，把數學解題真正落實到學生的筆頭上。

《任意角的三角函數》教學反思2

改進的設想：

（1）回顧任意角、象限角與軸線角的概念。

（2）回顧銳角三角函數的定義，有了任意角之后，原來三角函數的定義有局限性，需要對其重新定義，以適用于任意的三角函數。

（3）除了銳角的三角函數外，在其它學科中有沒有接觸到一些特殊角的三角函數值？（意圖是讓學生說出）

重新定義的原則有哪些？

①和諧的原則，新定義應該包含以前的定義，即當角為銳角時，其定義應與前面的三角形邊的比值等價。由此可以確定，新的定義仍應是比值的形式；

②傳承的原則，新定義應保留舊定義中的一些做法，如可以同樣在角的終邊上任取一點來定義，且所得結果應與所取點的位置無關。

③相容的原則，新定義不能與一些熟悉的結論相矛盾。如當角為鈍角時，其余弦值應為負值。由此可知，新的三角函數的定義應保證所得三角函數值有正負之分；

④自然的原則，新定義不能出來得很奇怪，要讓人接受必須順其自然，可在我們前面討論的象限角的基礎上進行，換句話說，老師在給出一個任意角的時候，就可以將角直接放在直角坐標系下，因為前面已討論過象限角。

按上述幾個原則讓學生自主探究。

《任意角的三角函數》教學反思3

任意角三角函數的第一節課，其中心任務應該是讓學生建立起計算一個任意角的三角函數與其終邊上點的坐標之間的關系，并在此基礎上初步建立任意角三角函數概念的意義，《任意角的三角函數》教學反思。如，計算方法、定義域、值域、符號表示、有關結論（與點的位置的選取無關）后，首先提供“坐標系”作為腳手架，并引發學生的認知沖突—“在坐標系下，如何研究一個任意角的三角函數？”并以坐標系為平臺，有層次的`研究隨角的變化，即第一象限下的銳角（認識研究方法的變化，以及符號表示的變化）——0~2π范圍內的角（認識該范圍內角的三角函數的表示方法，特別是值域的變化）——不同象限下終邊相同的角（逐漸形成計算一個任意角的三角函數的操作過程）。

銳角三角函數概念教學時如果是先給一個銳角，再構造三角形，而不是象當前大多數教材中采用的直接放在一個直角三角形下，對學生概念的遷移會更有幫助。

“任意角和弧度制”，應該完成用弧度制表示一個角α及其終邊相同的角的集合如何表示，會對本節課“任意角的三角函數”概念的教學更有意義。

新教材的教學理念之一是讓學生去體驗新知識的發生過程,這節《任意角三角函數》的教案,主要圍繞這一點來設計.

到底應該怎樣去合理定義任意角的三角函數呢讓學生提出自己的想法,同時讓學生去辨證這個想法是否是科學的因為一個概念是嚴謹的,科學的,不能隨心所欲地編造,必須去論證它的合理性,至少這種概念不能和銳角三角函數的定義有所沖突.在這個立-破的過程中,讓學生去體驗一個新的數學概念可能是如何形成,在形成的過程中可以從哪些角度加以科學的辯思.這樣也有助于學生對任意角三角函數概念的理解.

讓學生充分體會在任意角三角函數定義的推廣中,是如何將直角三角形這個“形”的問題,轉換到直角坐標系下點的坐標這個“數”的過程的培養數形結合的思想.

《標準》把發展學生的數學應用意識和創新意識作為其目標之一,在教學中不僅要突出知識的來龍去脈還要為學生創設應用實踐的空間,促進學生在學習和實踐過程中形成和發展數學應用意識,提高學生的直覺猜想、歸納抽象、數學地提出、分析、解決問題的能力,發展學生的數學應用意識和創新意識,使其上升為一種數學意識,自覺地對客觀事物中蘊涵的一些數學模式作出思考和判斷，教學反思《任意角的三角函數》教學反思》。在解答問題的過程中體驗到從數學的角度運用學過的數學思想、數學思維、數學方法去觀察生活、分析自然現象、解決實際問題的策略,使學生認識到數學原來就來自身邊的現實世界,是認識和解決我們生活和工作中問題的有力武器,同時也獲得了進行數學探究的切身體驗和能力。增進了他們對數學的理解和應用數學的信心。

《任意角的三角函數》教學反思4

三角函數的教學中，要充分發揮單位圓的作用，并且要注意逐漸使學生形成用單位圓討論三角函數問題的意識和習慣，引導學生自主地用單位圓探索三角函數的有關性質，提高分析和解決問題的能力。在我們的教學中可以注意以下幾點:

（1）進行定義的應用，教材14頁例1考查新教材定義，例2考查舊教材定義；強化練習、課堂小結、布置作業。課上的很順，自我感覺良好。但接下來發生的事卻直得深思，自習輔導課上針對上節內容布置當堂作業，題目是教材17頁第一題，當堂批閱、統計，出錯率20％，我很愕然。立即進行進一步的學情調研：讓學生每人準備一張白紙，可以不署名，限時做教材23頁A組練習第二題，當堂批閱、統計，出錯率60％，真的沒有想到。

（2）這節課從知識傳授上看比較成功，三個問題環環相扣，但從能力培養上顯得不足，主要是在例題與練習的處理上，投入的時間不足，沒有及時將知識內化為能力，但通過作業和調研題的講解，師生對三角函數概念的理解都有了質的飛躍。

（3）例題2變式的目的是為了調研，此題相對于學生已有的知識是難了一點，因此出錯率高。在今后的教學中要注意梯度的設計，跨度不要太大，貼近教材、貼近學生、貼近實際。

（4）這節課也許是我設計得太自然了，臺階過密、跨度太小，學生在學習過程中沒有遇到陷阱，沒有產生激烈的思維碰撞，因此，看似順暢，效果不佳。下一步要注意梯度的設計，臺階不要過密，要有一定的思維跨度。

寫在最后，多媒體給中學教學帶來了新工具，但同時也滋生了盲目跟風，個別教師對新課改理解不深、片面追求課堂氣氛，將“滿堂灌”變成了“滿堂問”。學生為了表現自己，爭搶回答問題，失去了對問題的深入思考，致使學生基礎不扎實，進一步表明過高估計自己的解題能力，存在著嚴重的“浮夸風”。在今后的教學中要切實抓好落實，把數學解題真正落實到學生的筆頭上。

《任意角的三角函數》教學反思5

任意角的三角函數是三角函數這一章里最重要的一節課，是本章的基礎。因此本節課的重點放在了任意角的三角函數的理解上。在本節課的開頭以學生所熟悉的直角三角形的銳角入手，引導學生嘗試探究，逐步深入，引出任意三角函數的定義，以問題的形式鞏固深化任意角三角函數值的計算。引導學生自主探究任意角的三角函數的生成過程，讓學生在活動中體驗數學與社會的聯系，新舊知識的內在聯系。

通過任意角三角函數的定義，啟發學生找到各個三角函數在每個象限的符號以及在坐標軸上的值。并用“一全正，二正弦，三余弦，四正切”這一句話來概括了各個象限的符號。

在例題的設置上，例1是已知一個角終邊上一點的坐標，求這個角的三個三角函數值。通過這個例題的練習，讓學生更好地鞏固了任意三角函數的定義，會求任意一個角的三角函數。例2和例3的設置是讓學生進一步熟記各個三角函數在每個象限的范圍以及坐標軸上的值。例4是把幾個三角函數組合在一起，形成一個新的函數，結合函數的表達形式求定義域，能夠讓學生反過來已知三角函數值的符號去判斷角的大小。四個立體的設置讓學生更好地掌握任意角的三角函數，為以后的學習打下基礎。

《對數函數的圖象和性質》這節課再次利用學習指數函數時的細胞分裂例子，從研究指數函數的反面入手，已知了分裂后的個數求分裂的次數，由此引出了對數函數的概念。把對數函數和指數函數相對比能夠發現它們的定義域和值域相互交換，它們互為反函數。用描點法畫出對數函數的圖象，再仿照研究指數函數的方法讓學生自主地去探究對數函數的定義域，值域，定點，單調性，函數值的分布等各個性質。教給學生方法比教給學生知識更重要。通過類比，以舊引新，自然過渡到本節的學習，用研究指數函數的圖象與性質的方法來研究對數函數的圖象與性質。在教學過程中，引導學生確定探究問題、探究方向和探究步驟，確保了探究的有效性；讓學生動手畫圖、觀察圖象，啟發學生思考、實驗、分析、歸納，注重探究的過程與方法。讓學生成為學習的主人，學會學習，學到“對比聯系”、“數形結合”及“分類討論”的思想方法。

例題的設置主要就是圍繞對數函數的性質。總最基本的定義域和值域開始。再用對數函數的單調性去比較兩個對數的大小以及解對數形式的不等式。對數函數是函數中的一種，因此，例5后的練習把對數函數和二次函數結合在了一起，并且加上了一個參數，根據對數函數和二次函數的性質去討論參數的取值范圍。通過這些例題的練習使學生加深了對對數函數的理解。

《任意角的三角函數》教學反思6

任意角三角函數的第一節課，其中心任務應該是讓學生建立起計算一個任意角的三角函數與其終邊上點的坐標之間的關系，并在此基礎上初步建立任意角三角函數概念的意義，《任意角的三角函數》教學反思。如，計算方法、定義域、值域、符號表示、有關結論（與點的位置的選取無關）后，首先提供“坐標系”作為腳手架，并引發學生的認知沖突—“在坐標系下，如何研究一個任意角的三角函數？”并以坐標系為平臺，有層次的研究隨角的變化，即第一象限下的銳角（認識研究方法的變化，以及符號表示的變化）——0~2π范圍內的角（認識該范圍內角的三角函數的表示方法，特別是值域的變化）——不同象限下終邊相同的角（逐漸形成計算一個任意角的三角函數的操作過程）。

銳角三角函數概念教學時如果是先給一個銳角，再構造三角形，而不是象當前大多數教材中采用的直接放在一個直角三角形下，對學生概念的遷移會更有幫助。

“任意角和弧度制”，應該完成用弧度制表示一個角α及其終邊相同的角的集合如何表示，會對本節課“任意角的三角函數”概念的教學更有意義。

新教材的教學理念之一是讓學生去體驗新知識的發生過程，這節《任意角三角函數》的教案，主要圍繞這一點來設計。

到底應該怎樣去合理定義任意角的三角函數呢讓學生提出自己的想法，同時讓學生去辨證這個想法是否是科學的因為一個概念是嚴謹的，科學的，不能隨心所欲地編造，必須去論證它的合理性，至少這種概念不能和銳角三角函數的定義有所沖突。在這個立—破的過程中，讓學生去體驗一個新的數學概念可能是如何形成，在形成的過程中可以從哪些角度加以科學的辯思。這樣也有助于學生對任意角三角函數概念的理解。

讓學生充分體會在任意角三角函數定義的推廣中，是如何將直角三角形這個“形”的問題，轉換到直角坐標系下點的坐標這個“數”的過程的。培養數形結合的思想。

《標準》把發展學生的數學應用意識和創新意識作為其目標之一，在教學中不僅要突出知識的。來龍去脈還要為學生創設應用實踐的空間，促進學生在學習和實踐過程中形成和發展數學應用意識，提高學生的直覺猜想、歸納抽象、數學地提出、分析、解決問題的能力，發展學生的數學應用意識和創新意識，使其上升為一種數學意識，自覺地對客觀事物中蘊涵的一些數學模式作出思考和判斷，教學反思《任意角的三角函數》教學反思》。在解答問題的過程中體驗到從數學的角度運用學過的數學思想、數學思維、數學方法去觀察生活、分析自然現象、解決實際問題的策略，使學生認識到數學原來就來自身邊的現實世界，是認識和解決我們生活和工作中問題的有力武器，同時也獲得了進行數學探究的切身體驗和能力。增進了他們對數學的理解和應用數學的信心。

《任意角的三角函數》教學反思7

改進的設想：

（1）回顧任意角、象限角與軸線角的概念．

（2）回顧銳角三角函數的定義，有了任意角之后，原來三角函數的定義有局限性，需要對其重新定義，以適用于任意的三角函數．

（3）除了銳角的三角函數外，在其它學科中有沒有接觸到一些特殊角的三角函數值？（意圖是讓學生說出）

重新定義的原則有哪些？

①和諧的原則，新定義應該包含以前的定義，即當角為銳角時，其定義應與前面的三角形邊的比值等價．由此可以確定，新的定義仍應是比值的形式；

②傳承的原則，新定義應保留舊定義中的一些做法，如可以同樣在角的終邊上任取一點來定義，且所得結果應與所取點的位置無關．

③相容的原則，新定義不能與一些熟悉的結論相矛盾．如當角為鈍角時，其余弦值應為負值．由此可知，新的三角函數的定義應保證所得三角函數值有正負之分；

④自然的原則，新定義不能出來得很奇怪，要讓人接受必須順其自然，可在我們前面討論的象限角的基礎上進行，換句話說，老師在給出一個任意角的時候，就可以將角直接放在直角坐標系下，因為前面已討論過象限角．

按上述幾個原則讓學生自主探究．

第四篇：任意角的三角函數教學反思

任意角的三角函數教學反思

任意角的三角函數教學反思1

首先，讓學生回顧初中相關內容－－銳角三角函數的概念、特殊角的三角函數值等；

然后將初中的銳角三角形放到直角坐標系中，出現了點的坐標，鄰、對、斜變成了橫、縱、r(r=|op|)。教材上的定義自然推出；

再次，將r特殊化令r=1，教材上的定義立即出現。

最后，進行定義的應用，教材14頁例1考查新教材定義，例2考查舊教材定義；強化練習、課堂小結、布置作業。課上的很順，自我感覺良好。

但接下來發生的事卻直得深思，自習輔導課上針對上節內容布置當堂作業，題目是教材17頁第一題，當堂批閱、統計，出錯率20％，我很愕然。立即進行進一步的學情調研：讓學生每人準備一張白紙，可以不署名，限時做教材23頁A組練習第二題，當堂批閱、統計，出錯率60％，真的沒有想到。

過后，我寫下了四條教學反思：

（1）知識與能力：

這節課從知識傳授上看比較成功，三個問題環環相扣，但從能力培養上顯得不足，主要是在例題與練習的'處理上，投入的時間不足，沒有及時將知識內化為能力，但通過作業和調研題的講解，學生對三角函數概念的理解都有了質的飛躍。

（2）循序漸進：

A組練習二的目的是為了調研，此題相對于學生已有的知識是難了一點，因此出錯率高。在今后的教學中要注意梯度的設計，跨度不要太大，貼近教材、貼近學生、貼近實際。

（3）教給與教會：

這節課也許是我設計得太自然了，臺階過密、

跨度太小，學生在學習過程中沒有遇到陷阱，沒有產生激烈的思維碰撞，因此，看似順暢，效果不佳。下一步要注意梯度的設計，臺階不要過密，要有一定的思維跨度。

（4）不可忽視的浮夸風：

片面追求課堂氣氛，將“滿堂灌”變成了“滿堂問”。學生為了表現自己，爭搶回答問題，失去了對問題的深入思考，致使學生基礎不扎實了，計算器的使用也降低了學生基本的運算能力。

當統計完調研題后，我提問數學課代表，讓他猜測答對率，他回答－－80％（實際為40％）。進一步表明了學生過高估計自己的解題能力，存在著嚴重的“浮夸風”。在今后的教學中要切實抓好落實，把數學解題真正落實到學生的筆頭上。

任意角的三角函數教學反思2

任意角的三角函數是三角函數這一章里最重要的一節課，是本章的基礎。因此本節課的重點放在了任意角的三角函數的理解上。在本節課的開頭以學生所熟悉的直角三角形的銳角入手，引導學生嘗試探究，逐步深入，引出任意三角函數的定義，以問題的形式鞏固深化任意角三角函數值的計算。引導學生自主探究任意角的三角函數的生成過程，讓學生在活動中體驗數學與社會的聯系，新舊知識的內在聯系。

通過任意角三角函數的定義，啟發學生找到各個三角函數在每個象限的符號以及在坐標軸上的值。并用“一全正，二正弦，三余弦，四正切”這一句話來概括了各個象限的符號。

在例題的設置上，例1是已知一個角終邊上一點的坐標，求這個角的三個三角函數值。通過這個例題的練習，讓學生更好地鞏固了任意三角函數的定義，會求任意一個角的三角函數。例2和例3的設置是讓學生進一步熟記各個三角函數在每個象限的范圍以及坐標軸上的值。例4是把幾個三角函數組合在一起，形成一個新的函數，結合函數的表達形式求定義域，能夠讓學生反過來已知三角函數值的符號去判斷角的大小。四個立體的設置讓學生更好地掌握任意角的三角函數，為以后的學習打下基礎。

《對數函數的圖象和性質》這節課再次利用學習指數函數時的細胞分裂例子，從研究指數函數的反面入手，已知了分裂后的個數求分裂的次數，由此引出了對數函數的概念。把對數函數和指數函數相對比能夠發現它們的定義域和值域相互交換，它們互為反函數。用描點法畫出對數函數的圖象，再仿照研究指數函數的方法讓學生自主地去探究對數函數的定義域，值域，定點，單調性，函數值的分布等各個性質。教給學生方法比教給學生知識更重要。通過類比，以舊引新，自然過渡到本節的`學習，用研究指數函數的圖象與性質的方法來研究對數函數的圖象與性質。在教學過程中，引導學生確定探究問題、探究方向和探究步驟，確保了探究的有效性；讓學生動手畫圖、觀察圖象，啟發學生思考、實驗、分析、歸納，注重探究的過程與方法。讓學生成為學習的主人，學會學習，學到“對比聯系”、“數形結合”及“分類討論”的思想方法。

例題的設置主要就是圍繞對數函數的性質。總最基本的定義域和值域開始。再用對數函數的單調性去比較兩個對數的大小以及解對數形式的不等式。對數函數是函數中的一種，因此，例5后的練習把對數函數和二次函數結合在了一起，并且加上了一個參數，根據對數函數和二次函數的性質去討論參數的取值范圍。通過這些例題的練習使學生加深了對對數函數的理解。

任意角的三角函數教學反思3

改進的設想：

（1）回顧任意角、象限角與軸線角的概念．

（2）回顧銳角三角函數的定義，有了任意角之后，原來三角函數的定義有局限性，需要對其重新定義，以適用于任意的三角函數．

（3）除了銳角的三角函數外，在其它學科中有沒有接觸到一些特殊角的三角函數值？（意圖是讓學生說出）

重新定義的原則有哪些？

①和諧的原則，新定義應該包含以前的定義，即當角為銳角時，其定義應與前面的三角形邊的'比值等價．由此可以確定，新的定義仍應是比值的形式；

②傳承的原則，新定義應保留舊定義中的一些做法，如可以同樣在角的終邊上任取一點來定義，且所得結果應與所取點的位置無關．

③相容的原則，新定義不能與一些熟悉的結論相矛盾．如當角為鈍角時，其余弦值應為負值．由此可知，新的三角函數的定義應保證所得三角函數值有正負之分；

④自然的原則，新定義不能出來得很奇怪，要讓人接受必須順其自然，可在我們前面討論的象限角的基礎上進行，換句話說，老師在給出一個任意角的時候，就可以將角直接放在直角坐標系下，因為前面已討論過象限角．

按上述幾個原則讓學生自主探究．

任意角的三角函數教學反思4

任意角三角函數的第一節課，其中心任務應該是讓學生建立起計算一個任意角的三角函數與其終邊上點的坐標之間的關系，并在此基礎上初步建立任意角三角函數概念的意義，《任意角的三角函數》教學反思。如，計算方法、定義域、值域、符號表示、有關結論（與點的位置的.選取無關）后，首先提供“坐標系”作為腳手架，并引發學生的認知沖突—“在坐標系下，如何研究一個任意角的三角函數？”并以坐標系為平臺，有層次的研究隨角的變化，即第一象限下的銳角（認識研究方法的變化，以及符號表示的變化）——0~2π范圍內的角（認識該范圍內角的三角函數的表示方法，特別是值域的變化）——不同象限下終邊相同的角（逐漸形成計算一個任意角的三角函數的操作過程）。

銳角三角函數概念教學時如果是先給一個銳角，再構造三角形，而不是象當前大多數教材中采用的直接放在一個直角三角形下，對學生概念的遷移會更有幫助。

任意角的三角函數教學反思5

三角函數的教學中，要充分發揮單位圓的作用，并且要注意逐漸使學生形成用單位圓討論三角函數問題的意識和習慣，引導學生自主地用單位圓探索三角函數的有關性質，提高分析和解決問題的能力。在我們的教學中可以注意以下幾點:

（1）進行定義的應用，教材14頁例1考查新教材定義，例2考查舊教材定義；強化練習、課堂小結、布置作業。課上的很順，自我感覺良好。但接下來發生的事卻直得深思，自習輔導課上針對上節內容布置當堂作業，題目是教材17頁第一題，當堂批閱、統計，出錯率20％，我很愕然。立即進行進一步的學情調研：讓學生每人準備一張白紙，可以不署名，限時做教材23頁A組練習第二題，當堂批閱、統計，出錯率60％，真的沒有想到。

（2）這節課從知識傳授上看比較成功，三個問題環環相扣，但從能力培養上顯得不足，主要是在例題與練習的處理上，投入的時間不足，沒有及時將知識內化為能力，但通過作業和調研題的講解，師生對三角函數概念的理解都有了質的飛躍。

（3）例題2變式的目的是為了調研，此題相對于學生已有的知識是難了一點，因此出錯率高。在今后的'教學中要注意梯度的設計，跨度不要太大，貼近教材、貼近學生、貼近實際。

（4）這節課也許是我設計得太自然了，臺階過密、跨度太小，學生在學習過程中沒有遇到陷阱，沒有產生激烈的思維碰撞，因此，看似順暢，效果不佳。下一步要注意梯度的設計，臺階不要過密，要有一定的思維跨度。

寫在最后，多媒體給中學教學帶來了新工具，但同時也滋生了盲目跟風，個別教師對新課改理解不深、片面追求課堂氣氛，將“滿堂灌”變成了“滿堂問”。學生為了表現自己，爭搶回答問題，失去了對問題的深入思考，致使學生基礎不扎實，進一步表明過高估計自己的解題能力，存在著嚴重的“浮夸風”。在今后的教學中要切實抓好落實，把數學解題真正落實到學生的筆頭上。

第五篇：任意角三角函數定義

“任意角三角函數定義”的教學認識與設計

浙江金華第一中學 孔小明

本文首先對三角函數定義的教學進行從整體到局部的分析，并在此基礎上給出定義教學的主干問題設計.1．整體把握，使教學線索清晰，層次分明

三角函數是以函數為主線，刻畫周期現象的數學模型.高中學習的三角函數是在初中學習銳角三角函數的基礎上，通過用旋轉的觀點將角的概念推廣到任意角，并使角與實數建立一一對應關系，然后結合坐標系和單位圓重新定義任意角的三角函數.因此，三角函數是函數的下位概念，同時又是銳角三角函數的上位概念，教學要以函數思想為指導，以坐標系和單位圓為定義工具，以初中銳角三角函數概念為認知的起點，促進任意角三角函數定義的有效生成.教科書在完成任意角三角函數定義基礎上衍生出：(1)三角函數值在各個象限的符號；(2)單位圓中的三角函數線；(3)同角三角函數的基本關系；(4)三角函數的誘導公式；(5)三角函數的圖象與性質等.可見，三角函數的定義在三角函數教學中可謂重中之重,是整個三角部分的奠基石,它貫穿于與三角有關的各部分內容并起著關鍵作用.本節課的學習目標是理解任意角三角函數（正弦、余弦、正切）的定義，經歷從銳角三角函數定義過渡到任意角三角函數定義的推廣過程,體驗三角函數概念的產生、發展過程,領悟直角坐標系和單位圓的功能,豐富數形結合的經驗.由于三角函數的定義內涵豐富、外延廣泛等原因，同時，用單位圓上點的坐標表示的任意角三角函數定義,與學生初中學習的銳角三角函數定義有一定的距離,一個側重幾何的邊與邊的比值表示,一個側重代數的坐標（比值）表示.與學生熟悉的一般函數定義也有距離,一般函數是實數到實數的對應,而三角函數首先是實數（弧度數）到點的坐標的對應,然后才是實數（弧度數）到實數（橫坐標或縱坐標）的對應.學生理解該定義很難一步到位，需要分成若干個層次，逐步加深提高.促進學生理解定義的關鍵是讓學生經歷定義的形成過程,增強學習活動的體驗,在教師的引導下獨立思考、自主探究,完成定義的意義建構.教材中任意角三角函數定義的得出經歷了以下四個循序漸進、不斷深化的過程：（1）回憶用直角三角形邊長的比產生的銳角三角函數的定義；（2）把銳角α放在直角坐標系中，用角的終邊上點的坐標表示銳角α的三角函數；（3）由相似三角形的知識可知，三角函數值只與α的大小有關，與點在終邊上的位置無關，因此可用單位圓上點的坐標表示銳角α的三角函數；（4）類比得出用單位圓定義任意角三角函數，并將它納入到一般函數概念的范疇.教科書這樣設計改變了以往純學術形態的形式,一定程度上具有了教育形態的特征,體現了數學知識的產生、發展過程,反映了數學的“來龍去脈”,通過有效的鋪墊,使之符合學生的認知規律,使從銳角三角函數到任意角三角函數過渡自然,有利于學生步步加深對三角函數定義本質的理解.因此,筆者認為,教學設計時無須“另起爐灶”,只要在此基礎上,依據學生的認知特點,進行教學法的深加工即可.2．抓住關鍵，使教學精煉、簡約而高效

由于教科書自身特點的限制,教科書還不能成為教師教學用的教學設計,根據教材的內容、要求以及編寫意圖,教師還需要一個再加工、再創造的過程.具體的,就是將教材中得出任意角三角函數定義經歷的四個環節進一步教學化,使之符合學生的認知特點和規律,包括內容研究的必要性，坐標系、單位圓引入的自然性，以及用單位圓定義的可行性、合理性等.把它變成適合學生認知特點的具體的教育形態,使學生感受“數學是自然的、清楚的、水到渠成的”.當前,高中數學課標課程比大綱課程的內容有所增加，初中數學對高中數學支持減弱，新課程賦予數學教學更多的價值取向，要讓課堂的所有環節都讓學生有深度思考、自主探究并展示結果是不現實也是沒必要的.事實上，學生在校以學習間接經驗為主,學生的學習主要是“接受——建構”式的,因此,對教學起關鍵作用的內容，要留足時間讓學生充分思考、交流與展示,其它內容教師可多講授與引導，發揮先行組織者作用,使教與學達到平衡，讓教學效益達到最大化.在引導學生回憶初中銳角三角函數定義之前,先解決“學習的必要性”問題,明確要研究的內容.教材將“三角函數”作為重要的基本初等函數,是周期現象的基本模型,教師可借助本章的章頭語,完成課題的引入.由于初中的銳角三角函數定義不能推廣到任意角的情形，從而引發學生認知沖突，激發學生進一步探究的欲望.用什么定義、怎樣定義、這樣定義是否合理等,成為繼續研究的自然問題.之前,在任意角內容的學習中,學生已經有了在直角坐標系內討論角的經驗，但教學實踐表明,學生仍不能自然想到引入坐標系工具,利用坐標來定義任意角三角函數.筆者認為，從幫助學生理解定義的實質，體會坐標思想與數形結合思想的角度，教師可利用適當的語言,引導學生重點解決“如何用坐標表示銳角三角函數”的關鍵問題.需要提及的是,陶老師的問題設計具有啟示性：

現在，角的范圍擴大了,由銳角擴展到了0°~360°內的角,又擴展到了任意角,并且在直角坐標系中,使得角的頂點與原點重合,始邊與x軸的正半軸重合．在這樣的環境中,你認為,對于任意角α，sinα怎樣定義好呢？

上述問題提得“大氣”，既能使學生的學習圍繞關鍵問題展開，又突出正弦函數的概念分析.當然，若能依教材先作銳角情形的鋪墊，教學更符合學生“最近發展區”，提高效率.這里，需要引導學生從函數的觀點認識用坐標表示的銳角三角函數，有助于從函數的本質特征來認識三角函數.在第三個環節中，首先是如何自然引入單位圓的問題.用單位圓上點的坐標定義三角函數有許多優點，其中最主要的是使正弦函數、余弦函數從自變量（角的弧度數）到函數值（單位圓上點的橫、縱坐標）之間的對應關系更清楚、簡單，突出了三角函數的本質，有利于學生利用已有的函數概念來理解三角函數，其次是使三角函數反映的數形關系更直接，為后面討論函數的性質奠定了基礎.但單位圓的這些“優點”要在引入單位圓后才能逐步體會到.因此，引入單位圓的“理由”應該另辟蹊徑，白老師在引導學生完成用角的終邊上任意一點的坐標表示銳角三角函數之后，從求簡的角度設置問題,不愧為“棋高一招”：

大家有沒有辦法讓所得到的定義式變得更簡單一點？

在學生得出時定義式最簡單后,白老師引入單位圓,引導學生利用單位圓定義銳角三角函數.至此，學生就有了第四環節中用單位圓定義任意角三角函數的認知準備.由于“定義”是一種“規定”，因此，第四環節中，教師可類比用單位圓定義銳角三角函數情形，直接給出任意角三角函數定義，對學生而言，關鍵是理解這樣“規定”的合理性，對定義合理性認知基礎就是三角函數的“函數”本質——定義要符合一般函數的內涵（函數三要素）.3．精心設計問題，讓課堂成為學生思維閃光的舞臺 基于上述認識，對定義部分的教學，給出如下先行組織者和主干問題設計.先行組織者1：周期現象是社會生活和科學實踐中的基本現象，大到宇宙運動，小到粒子變化，這些現象的共同特點是具有周期性，另外，如潮汐現象、簡諧振動、交流電等，也具有周期性，而“三角函數”正是刻畫這些變化的基本函數模型.三角函數到底是一種怎樣的函數？它具有哪些特別的性質？在解決具有周期性變化規律的問題中到底能發揮哪些作用？本課從研究第一個問題入手.意圖：明確研究方向與內容.問題1：在初中，我們已經學習了銳角三角函數，它是怎樣定義的？ 意圖：從學生已有的數學經驗出發，為用坐標定義三角函數作準備.問題2：現在，角的概念已經推廣到了任意角，上述定義方法能推廣到任意角嗎？ 意圖：引發學生的認知沖突，激發學生求知欲望.問題3：如何定義任意角的三角函數？ 意圖：引導學生探索任意角三角函數的定義.先行組織者2：我們知道，直角坐標系是展示函數規律的載體，是構架“數形結合”的天然橋梁，上堂課我們把任意角放在平面直角坐標系內進行研究，借助坐標系，可以使角的討論簡化，也能有效地表現出角的終邊位置“周而復始”的現象.坐標系也為我們從“數”的角度定義任意角三角函數提供有效載體.意圖：引導學生借助坐標系來定義任意角三角函數.問題4：先考慮銳角的情形，如圖1，在平面直角坐標系中，你能用點的坐標來表示銳角α的三角函數嗎？

意圖：引導學生用坐標表示銳角三角函數.問題5：各個比值與角之間有怎樣的關系？比值是角的函數嗎？

意圖：扣準函數概念的內涵，把三角函數知識納入函數知識結構，突出變量之間的依賴關系或對應關系，增強函數觀念.先讓學生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，得出結論：三個比值分別是以銳角α為自變量、以比值為函數值的函數.問題6：既然可在終邊上任取一點，那有沒有辦法讓所得的對應關系變得更簡單一點？ 意圖：為引入單位圓進行鋪墊.教師給出單位圓定義之后，可引導學生進一步明確：正弦、余弦、正切都是以銳角α為自變量、以單位圓上點的坐標（或比值）為函數值的函數.問題7：類比上述做法，設任意角α的終邊與單位圓交點為P（x，y），定義正弦函數為，余弦函數為，正切函數為.你認為這樣定義符合函數定義要求嗎? 意圖：給出任意角三角函數的定義,引導學生用函數三要素說明定義的合理性，明確任意角三角函數的對應法則、定義域、值域.引導學生思考定義的合理性，先讓學生作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，同時作好解釋說明，得出結論：正弦、余弦、正切都是以任意角α為自變量、以單位圓上的坐標或坐標的比值（如果存在的話）為函數值的函數.接著給出任意角三角函數的定義域、值域.“任意角三角函數的概念”教學設計

陶維林（江蘇南京師范大學附屬中學，210003）

一．內容和內容解析

三角函數是一個重要的基本初等函數，它是描述周期現象的重要數學模型．它的基礎主要是幾何中的相似形和圓，研究方法主要是代數中的圖象分析和式子變形，三角函數的研究已經初步把幾何與代數聯系起來．它在物理學、天文學、測量學等學科中都有重要的應用，它是解決實際問題的重要工具，它是學習數學中其他學科的基礎．

角的概念已經由銳角擴展到0°~360°內的角，再擴充到任意角，相應地，銳角三角函數概念也必須有所擴充．任意角三角函數概念的出現是角的概念擴充的必然結果．

比較銳角三角函數與任意角三角函數這兩個概念，共同點是，它們都是“比值”，不同點是銳角三角函數是“線段長度的比值”，而任意角三角函數是直角坐標系中“坐標與長度的比值，或者是坐標的比值”．正是由于“比值”這一與在角的終邊上所取點的位置無關的特點，因此，可以用角的終邊與單位圓的交點的坐標（或坐標的比值）來表示任意角的三角函數，這是概念的核心．這樣定義，不僅簡化了任意角三角函數的表示，也為后續研究它的性質帶來了方便．

從銳角三角函數到任意角三角函數類似于從自然數到整數擴充的過程，產生了“符號問題”．因此，學習任意角三角函數可以與銳角三角函數相類比，借助銳角三角函數的概念建立起任意角三角函數的概念．

任意角三角函數概念的重點是任意角的正弦、余弦、正切的定義．它們是本節，乃至本章的基本概念，是學習其他與三角函數有關內容的基礎，具有根本的重要的作用．解決這一重點的關鍵，是學會用直角坐標系中，角的終邊上的點的坐標來表示三角函數．因為正切函數并不獨立，最主要的是正弦函數與余弦函數．

任意角三角函數自然具有函數的一切特征，有它的定義域，對應法則以及值域．任意角三角函數的定義域是實數集（或它的子集），這是因為，在建立弧度制以后，角的集合與實數集合間建立了一一對應關系，從這個意義上說，“角是實數”，三角函數是定義在實數集上的函數．各種不同的三角函數定義了不同的對應法則，因而可能有不同的定義域與值域．

任意角三角函數概念是核心概念，它是解決一切三角函數問題的基點．無論是研究三角函數在各象限中的符號、特殊角的三角函數值，還是同角三角函數間的關系，以及三角函數的性質，等等，都具有基本的重要的意義．

在建立任意角三角函數這個定義的過程中，學生可以感受到數與形結合，以及類比、運動、變化、對應等數學思想方法． 二．目標和目標解析

本節課的目標是，理解任意角三角函數（正弦、余弦、正切）的定義．

學生已經學習過銳角三角函數sinα，cosα，tanα，了解三角函數是直角三角形中邊長的比值，這個比值僅與銳角的大小有關，是隨著銳角取值的變化而變化的，其值是惟一確定的，等函數的要素．這是任意角三角函數概念的“生長點”．

理解任意角三角函數（正弦、余弦、正切）定義的關鍵是由銳角三角函數這個線段長度的比值擴展為點的坐標或坐標的比值．因此，對銳角三角函數理解得怎樣，對理解任意角三角函數有決定意義，復習銳角三角函數，加深對銳角三角函數的理解是必要的．

要實現讓學生“理解”任意角三角函數定義的教學目標，莫過于讓學生參與任意角三角函數定義的過程．讓學生感受到因角的概念的擴展，銳角三角函數概念擴展的必要性，任意角三角函數是銳角三角函數概念的自然延伸．反過來，既然銳角集合是任意角集合的子集，那么，銳角三角函數也應該是任意角三角函數的特殊情況，是一個包含關系．讓學生參與定義，可以感受到這樣定義的合理性，感受到這個定義是自然的．

三．教學問題診斷分析

從銳角三角函數到任意角三角函數的學習，從認知結構發展的角度來說，是屬于“下、上位關系學習”，是一個從特殊到一般的過程，“先行組織者”是銳角三角函數的概念．教學策略上先復習包容性小、抽象概括程度低的銳角三角函數的概念，然后讓學生“再創造”抽象程度高的上位概念（參與定義），并形成新的認知結構，讓原有的銳角三角函數的概念類屬于抽象程度更高的任意角三角函數的概念之中．

學生過去在直角三角形中研究過銳角三角函數，這對研究任意角三角函數在認識上會有一定的局限性，所以學生在用角的終邊上的點的坐標來研究三角函數可能會有一定的困難．可以讓學生在原有的對銳角三角函數的幾何認識的基礎上，嘗試讓學生建立用終邊上的點的坐標定義任意角三角函數，或者嘗試用終邊上的點的坐標定義銳角三角函數，然后再定義任意角的三角函數．

教學的另一個難點是，任意角三角函數的定義域是實數集（或它的子集）．因為學生剛剛接觸弧度制，未必能理解“把角的集合與實數集建立一一對應”到底是為了什么．可以在復習銳角三角函數時，把銳角說成區間（0，四．教學支持條件分析

利用幾何畫板軟件，可以動態改變角的終邊位置，從而改變角的終邊上點的坐標大小的特點，便于學生認識任意角的位置的改變，所對應的三角函數值也改變的特點，感受函數的本質；感受終邊相同的角具有相同的三角函數值；也便于觀察各三角函數在各象限中符號的變化情況，加深對任意角三角函數概念的理解，增強教學效果．）內的角，以便分散這個難點． 五．教學過程設計 1．理解銳角三角函數

要理解任意角三角函數首先要理解銳角三角函數．銳角三角函數是任意角三角函數的先行組織者．

問題1 任意畫一個銳角α，借助三角板，找出sinα，cosα，tanα的近似值．

教師用幾何畫板任意畫一個銳角．要求學生自己任意也畫一個銳角，利用手中的三角板畫直角三角形，度量角α的對邊長、斜邊長，計算比值．

意圖：復習初中所學習過的銳角三角函數，加深對銳角三角函數概念的理解，它是學習任意角三角函數的基礎．突出：

（1）與點的位置的選取無關；（2）是直角三角形中線段長度的比值． 問題2 能否把某條線段畫成單位長，有些三角函數值不用計算就可以得到？

意圖：學生根據自己實際畫圖操作，以及計算比值的體驗，會很快認為把斜邊畫成單位長比較方便，為后續任意角三角函數的“單位圓定義法”做鋪墊．

問題3 銳角三角函數sinα作為一個函數，自變量以及與之對應的函數值分別是什么？

意圖：以便與后面的任意角三角函數的自變量是角（的弧度，對應一個實數），對應的函數值是α的終邊與單位圓交點的縱坐標比較．

銳角三角函數sinα作為一個函數，自變量是銳角．由于角的弧度值與實數可以一一對應，所以，α是（0，）上的實數．而與之對應的函數值sinα是線段長度的比值，是區間（0，1）上的實數．

問題4 你產生過這個疑問嗎：“三角函數只有這三個？”

意圖：這個問題具有元認知提示的特點，引導學生勤于思考，逐步學會發現問題、提出問題、研究問題．

三條邊相互比，可以產生六個比．還有哪三個呢？再把已知的三個倒過來． 2．任意角三角函數定義的“再創造”

教師利用幾何畫板，把角α的頂點定義為原點，一邊與x軸的正半軸重合，轉動另一條邊，表現任意角．

問題5 現在，角的范圍擴大了．在直角坐標系中，使得角的頂點在原點，始邊與x軸的正半軸重合．在這樣的環境下，你認為，對于任意角α，sinα，cosα，tanα怎樣來定義好呢？

意圖：可以打破知識結構的平衡，感受到學習新知識的必要性——角的范圍擴大了，銳角三角函數也應該“與時俱進”，并不顯得突然．把定義的主動權交給學生，引導學生參與定義過程，發展思維．

有兩種可能的回答．

可能一：在α的終邊上任意畫一點P（x，y），|OP|＝r．

可能二：設角α的終邊與單位圓的交點為P（x，y）．

不論出現可能一還是可能二，都再問：“都是這樣的嗎？”

引導學生議論，以確認兩種定義方法的一致性、各自特點．再問“你贊成哪一種？”，統一認識，建立任意角三角函數的定義．（板書）

因為前面已經有引導，學生可能很快接受“可能二”． 3．任意角三角函數的認識（對定義的體驗）

問題6（1）求下列三角函數值：

問題6（2）說出幾個使得cosα＝1的α的值． 意圖：通過定義的簡單應用，把握定義的內涵．

逐題給出，對于每一個答案，都要求學生說出“你是怎樣得到的．”突出“畫終邊，找交點坐標，算比值（對正切函數）”的步驟．

問題6（3）指出下列函數值：

意圖：角的終邊位置決定了三角函數值的大小．終邊位置相同的角同一三角函數值相等．于是有 sin（α＋2kπ）＝sinα，cos（α＋2kπ）＝cosα，tan（α＋2kπ）＝tanα．（其中k∈Z）問題6（4）

①確定下列三角函數的符號：

②θ在哪個象限？請說明理由．反過來呢？

③角α的哪些三角函數值在第二、三象限都是負數？為什么？ ④tanα在哪些象限中取正數？為什么？ 意圖：認識三角函數在各象限中的符號．

問題7 做了這么多題，要反思．你是否發現了任意角三角函數的一些性質？還有些什么體會？ 意圖：體驗以后的概括，階段小結．（1）抓住各三角函數的定義不放；（2）各象限中三角函數的符號特點，等．

教師板書學生獲得的成果、感受． 4．任意角三角函數的定義域

問題8 α是任意角，作為函數的sinα，cosα，tanα，它們的定義域分別是什么？

意圖：三角函數也是函數，自然應該關心它的定義域．

建立了角的弧度制，角的集合與實數集合之間建立了一一對應關系，因此，sinα，cosα的定義域是R；tanα＝中，x≠0，于是tanα的定義域是

仍然緊扣定義，并引導以弧度制表示它的定義域． 5．練習

（1）確定下列三角函數值的符號，并借助計算器計算：

（2）求下列三角函數值：

6．小結

問題9 下課后，你走出教室，如果有人問你：“過去你就學習過銳角三角函數，今天又學習了任意角的三角函數，它們的差別在哪里呢？”你怎么回答他？

意圖：通過問題小結．不追求面面俱到，突出銳角三角函數是三角形中，邊長的比值，而任意角的三角函數是直角坐標系中角的終邊與單位圓交點的坐標，或者是坐標的比值．

若時間允許，再問：“還有其他收獲嗎？”比如，終邊相同的角的同一三角函數相等；各象限三角函數的符號；任意角三角函數的定義域，等． 六．目標檢測設計

（1），寫出α的終邊與單位圓交點的橫坐標，并寫出tanα的值．

（2）求下列三角函數的值：

（3）角α的終邊與單位圓的交點是Q，點Q的縱坐標是1/2，說出幾個滿足條件的角α．

（4）點P（3，－4）在角α終邊上，說出sinα，cosα，tanα分別是多少？

（1）實際教學片段

上課始，教師用幾何畫板任意畫一個銳角，提出問題1：“任意畫一個銳角α，借助三角板，找出sinα，cosα，tanα的近似值．”然后走進學生中間，觀察他們的學習行為．結果發現，有一部分同學畫出角之后，一片茫然．教師又不愿意把結果告訴學生，提示同桌的兩位同學可以商量一下，并提示，完成的同學請舉手示意，以便教師了解情況，結果舉手的人很少．之后，教師提問一位舉手的學生，問：“你是怎么做的？”她要求上黑板，教師非常贊成．她在黑板上畫出一個直角三角形，并不熟練地寫出一個銳角的正弦是它的對邊比斜邊以及余弦、正切等三個三角函數．之后，教師又與學生討論了問題2：能否把某條線段畫成單位長，有些三角函數值不用計算就可以得到？學生比較一致認為把斜邊長畫成單位長比較好，為“單位圓定義法”做必要的鋪墊．接著討論問題3：銳角三角函數sinα作為一個函數，自變量以及與之對應的函數值分別是什么？在教師類比正方形的面積s＝a2的提示下，學生說出銳角三角函數中自變量以及與之對應的函數值分別是角、比值，最后討論問題4：你產生過這個疑問嗎：“三角函數只有這三個？”有學生舉手，表示想過這個問題，應該是六個，另外三個可以把現有的三個倒一下得到．至此，時間已經過去20多分鐘．

教師本以為，學生在初中既然學習過銳角三角函數，對給出的一個銳角，借助三角板構造直角三角形，找出它的正弦、余弦的近似值是很容易的事，而恰恰在這一點上，學生耗費了大量的時間，而教師又不想越俎代庖地告訴學生，這就嚴重影響了后續建立任意角三角函數的概念，并通過特殊角的求值體驗、把握內涵的時間保證，造成體驗不夠，概括

過早，應用更少的現象．

（2）問題出在哪里

問題在教學設計不夠合理，當中的“教學問題診斷分析”不夠準確．沒有準確把握學生的知識基礎與認識能力，對學生在學習中可能出現的困難估計不足．尤其是，對學生關于銳角三角函數的理解估計過高．主要表現在兩個方面，一是初中學習銳角三角函數是在直角三角形中進行的，并不要求給出一個銳角，兩邊是射線，求出它的三角函數值．二是并不要求把“銳角三角函數”作為函數來認識，比如關注它的自變量是角，對應的函數值是比值，更不關心它的定義域、值域以及對應法則這些函數的要素．只要求運用符號sinA，cosA，tanA的意義來進行有關的計算，等．現在，要求學生從函數角度建立任意角三角函數概念這就失去了概念的上位支持．

關于銳角三角函數，在《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》中，是在“空間與圖形”的“圖形與變換”部分．標準指出：“通過實例認識銳角三角函數（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函數值；會使用計算器由已知銳角求它的三角函數值，由已知三角函數值求它對應的銳角．”以及“運用三角函數解決與直角三角形有關的簡

單實際問題．”

筆者查閱了按照“課程標準”編寫的幾套初中教材，給出sinA的方式基本上一致，是：

如圖（圖略），在Rt△ABC中，∠C＝90°，我們把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正弦（sine），記作sinA，即”（對cosA，tanA有類似的定義）并指出“銳角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函

數．”

以后的內容（包括解實際問題），都是有關三角函數值的計算，并不強調它們的函數特征．有的教材雖然指出“對于銳角A的每一個確定的值，sinA有唯一確定的值與它對應，所以sinA是A的函數．同樣地，cosA，tanA也是A的函數．”作出了銳角三角函數是一種特殊的函數的提示，由于缺少必要的練習，作用并不大．應該說，這些都不違背“課程標準” 的要求．可見學生在初中學習過的函數有正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數，銳角三角函數并不納入“函

數”這個系統．

初中學習銳角三角函數有一個特定的載體，這就是直角三角形，因此，當他們面對任意畫出的一個銳角，其兩條邊是射線，要求出這個角的三角函數的近似值這個新情境時，竟不知如何是好，手足無措，無計可施，也說明學生對銳角三角函數并不理解．這樣看來，畫出一個銳角，要求學生會取點、畫垂線、度量、計算比值的要求是必要的．

有教師認為，不必復習銳角三角函數，直接提出問題“同學們已經學習過銳角三角函數，你認為應該怎樣來定義任意角的三角函數？”這種“大撒手”的問題跨度太大，學生更難回答．原因是對銳角三角函數的“函數”特征認識不足、理解不到位，要讓學生直接建立任意角的三角函數，又要突出“函數”這一特征，很困難．因此，為建立任意角的三角函數的概念，需要先復習初中銳角三角函數的概念，因為從銳角（三角函數）到任意角（三角函數）又是由下位到上位的學習．教材要求首先把直角三角形中邊長的比值擴展到坐標或者坐標的比值，在直角坐標系中認識銳角三角函數，并引導學生從“函數”的角度認識它，也就是弄清自變量以及與之對應的函數分別是什么是必要的．

（3）對教學的反思

高中教師應該了解義務教育階段的數學課程標準，了解初中教材，了解學生在初中學習過哪些內容，尤其是相應的教學目標是什么，關注學生的認知結構．應該做好初、高中的銜接工作，不僅注意知識的銜接，還要注意思想方法、能力要求等各方面的銜接，為學習高中的相關內容做好鋪墊．以為已經學習過銳角三角函數，學生就能夠把它理解為一種特殊的函數，是一個明顯的例子．

教科書在節首提出的“思考”是：“我們已經學過銳角三角函數，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數值的函數，你能用直角坐標系中角的終邊上的點的坐標來表示銳角三角函數嗎”其實，學生只知道銳角三角函數是直角三角形中邊長的比值，并不完全知道“它們都是以銳角為自變量，以比值為函數值的函數”，這就需要通過復習，來幫助學生

補上這一點．

2．其他反思

（1）由于學生在復習階段花了較多的時間，影響了新課的學習，用任意角三角函數概念解題的時間不多，體驗不夠，有教師提出“下課后練習不好做”，說明復習銳角三角函數沒有必要．筆者認為，當“預設”與“生成”發生矛盾時，教師寧可選擇“生成”．尊重學生的認知水平，尊重學生的認知心理過程，決不簡單化，把結論直接告訴給學生，追求“結果”，追求“完成”教學任務．教師不能認為我已經把這個概念告訴你了，你就應該知道了．數學教學不是“告訴教學”，概念不能靠學生“復制”，對概念需要的是理解，需要學生用自己的體驗建立起對概念的理解．什么是“教學任務”，不能僅限于知識要求，要注意學生的全面發展．比如，當學生不能正確選擇在角的一邊上取點，畫垂線時，啟示學生互相討論、啟發一下，借助于同伴的幫助解決問題．當學生不能說出“作為函數的銳角三角函數，自變量以及它的函數分別是什么”（屬性）意義不清，不好回答時，教師降低難度，啟發類比S＝a2中a表示邊長，而S表示正方形的面積．突出線段長、面積，等等．

“任意角三角函數的概念”與作為第一節課的“任意角三角函數的概念”不是同一個概念．對“任意角三角函數的概念”的認識、理解不是一蹴而就的，不是一節課可以完成的任務，需要一個長期的過程．比如，把角度化成弧度到底是為了什么？即便化成弧度，又為什么省略不寫呢？建立角的弧度與實數間的一一對應有什么必要呢？任意角三角函數的自變量明明白白是角，為什么偏要把它說成實數呢？剛剛接觸任意角三角函數就要求理解這一切是十分困難的．隨著學習的深入，尤其是三角函數的應用，學生才能慢慢消除這些疑問，逐漸理解它．比如，在三相交流電路中，某一相電路中的電流強度IA＝Imsin（ωt）（其中Im是電路中電流強度的峰值），三角函數是刻畫現實世界中周期現象的基本數學模型；再比如，當學生接觸到函數y＝sin（cosx）后，再來看三角函數的定義域，會認識到抽象后的任意角三角函數的自變量作為實數更具廣泛性．

這一節課把教學的基本要求定位在，弄清任意角三角函數與銳角三角函數的區別，接受用坐標（或坐標的比值）表示三角函數就夠了．如同在建立數軸之后，一個知道把向東2公里表示為2公里而向西2公里表示成－2公里，接受“路程也可以是負數”的學生，就已經開始接受有理數，逐漸成為中學生了．

還需要注意的是，應該通過什么方式讓學生建立起用坐標（或比值）表示任意角三角函數，以及領會建立這個概念過程

中所蘊涵的數學思想方法．

（2）在求cosπ時，一個學生說出的結果是0.9985．教師追問“你是怎么算出來的？”他回答：“用計算器．”后來，筆者用計算器做了實驗，發現他用計算器計算時，把計算器中的角度模式（Mode）設置成了角度制（Degree）．在這種模式下，計算cosπ可以得到0.9985（即計算的是cosπ°）．如果把角度模式設置成了弧度制（Radian），計算cosπ仍可以得到－1．這件事的出現給我以及所有聽課教師引發諸多思考．第一，這位同學沒有關注到這節課剛學習過的概念，運用新概念解決當前的問題，而是停留在“三角函數值是能夠用計算器算出來的”這個認識水平上；第二，反映了計算器的過度使用，會形成對學具的依賴，影響學生思維能力的發展．學具的功能越全面越強大不一定是好事．比如，具有解方程（Solve）功能的計算器在初中使用可能會削弱解一元二次方程的學習；具有圖象功能的計算器的過早使用可能會干擾函數的學習．因此，教師應該注意技術在教學中的“輔助”作用，適度使用教具，重視算理分析，重視算法的來源，重視思維能力的培養，而不是追求計算結果．

借班上課，對學生的不熟悉是教師的苦惱，加上教學進度等問題，學生的知識儲備不足（在教學任意角三角函數概念之前僅上過一堂“任意角”的課），是教學并不理想的一個重要原因．教學過程是師生雙邊活動的過程，離不開師生之間的交流，生疏是交流的障礙之一，生疏更難以做到師生之間配合默契．另外，學生對教師的教學風格的適應或認可也有一個過程，比如教師希望學生積極發言而不僅是聽講，等等．

（3）討論中，老師們提出了許多有價值的教學應該遵循的一般規律以及一些先進的教學理念，但是，要求一節課全面體現各種先進教學理念，去承擔反映數學教學規律中太多的東西是不現實，也是不應該的．

課堂教學是一項實踐性很強的工作，除了認真的課前準備外，對教學過程中出現的“突發事件”，隨機應變十分重要．教師需要關注學生的學習行為，關注學生的認識過程，隨時修改自己的教學設計，調整教學內容、教學要求，改變策略，選擇恰當的方法實施教學，以達到最佳教學效果．這一切都需要教師有很強的基本功．