第一篇：三角函數周期與最值教案

三角函數的周期與最值，授課人：王俊

時間：2017-9-12 授課班級：高三（5）班

授課內容：三角函數的周期與最值 教學目標： 掌握三角函數的最小正周期的求法。掌握能化成形如y?Asin(?x??)?b的三角函數的最值的求法。3 有范圍限制的三角函數最值的求法

教學重點：把形如y?asinx?bcosx的三角函數化成y?Asin(?x??)?b的形式的方法與技巧。

教學過程：

回顧上節課內容，導入新課

復習上節課三角函數的圖像以及求單調區間，對稱軸，對稱中心。

新課講授：

一．三角函數的周期（最小正周期）

2?(x??)?b

T=

1.y?Asin?（w>0）

?2? 2.y?Acos(?x??)?b

T=（w>0）

???x??)?b

T=（w>0）3.y?Atan(?

二.三角函數的最值

1.形如y?Asin(?x??)?b（x∈R）的最值

若A>0時，ymax?A

ymin??A

若A<0時，ymax??A

ymin?A 注:有范圍限制時需結合圖像求值域

2.輔助角公式

y?asinx?bcosxab?a2?b2(sinx?cosx)

2222a?ba?b?a2?b2sin(x??)

(其中cos??aa?b22，sin?ba?b22)y?asinx?bcosx?a?bcos(x—?)22

（其中sin??aa?b22，cos??ba?b22）

三.例題：

1.選擇題

??x)+1是（）4

A

最小正周期為?的奇函數

B

最小正周期為?的偶函數

?C

最小正周期為的奇函數

?D

最小正周期為的非奇非偶函數

2.填空題

sin2x?cos2x函數y=的最小正周期

cos2x?sin2x

3.解答題

?已知函數f(x)=sin2x?sinxsin(x?)

（1）求f(x)的最小正周期

?

（2）當x∈﹝0，）時，求f（x）的值域

2函數y=-2cos2（練習題:

求y?23sinx?2cos(x??),x??0,??的最大值 3

備課組長簽字：

第二篇：簡評“三角函數最值求法”(張輝老師執教)

評課稿

2013年4月22日下午，赴陳經綸中學聽張輝老師執教高一數學“三角函數最值求法”習題課。感受頗深，很受啟發。覺得張老師采用的是教師引領學生探究式教學，學生參與度高，是一堂培養學生思維能力的成功的習題課。

課堂以求函數最值為主線，選擇三個典型的例子作為題材很恰當，雖然還有其他最值形式，但都可以練習的方式滲透、訓練。

好的方面不多說，主要有以下兩點看法：

1．從課堂引入的問題“求三角函數最值有哪些方法？”

從學生回答看來，學生對這樣的問題不好回答，其實，老師想要學生說的東西有些就不是一個方法，似乎是一個“目標模式”。因此，如果把提問調整為“就自己的親歷過的學習、練習、閱讀等，誰能說出一些求三角函數最值的目標模式，說多少都可以，其他同學也可以補充。”，我想學生就可以回答的比較具體，雖不一定說得全面，參與的同學多了，典型的目標模式是一定能收集到的。另外，教師這么問，是不是也意味著本節課要講的方法只是一個綜述呢，還是除了學生熟悉的方法，老師還有新方法傳授？

2．關于例2，張老師引領學生“完成解答”之后，我覺得她有點急于揭示解法之錯誤。由于?2?cos2x?cos2y?2，而學生跟著老師走過來的解法得到最大值是5，這明顯存在有“認知沖突”。因此，如果這時張老師放手讓學生交流做“合作交流，題后反思”，學生應該很快發現錯誤，形成“沖突”之后更有利于學生“求真欲望”，繼續放手讓學生找到可能出錯之處，再讓學生合作修復。我覺得對陳經綸中學的學生來說，這些做法在課堂上是可以完成的，哪怕是把例3留作作業也好。這樣處理可以使得教師掌控的時間縮短，給學生留下整理反思的時間，教師也能夠贏得“小結學生感受收獲”的時間。

以上寫出了我自己的所思所想。每個做課教師都是下過很大功夫的，通常是幾易其稿，最后實施教學。我們聽課者通常中午沒有休息，聽課的時候真的比較困，如果課堂上沒有抑制住疲勞，尤其是對課堂索然乏味的時候，既使在評課的時候，也還是很疲勞，精力得不到回復，大腦不聽使喚。在這種狀態下，教師評課積極性不高是可以理解的。所以，我倡議同仁們，加入到聽課后評課中來，以期大家智慧共享，改善我們的課堂教學。

清華附中朝陽學校王慧興

2013年4月22日星期一

第三篇：函數的值域與最值教案

專題課

函數的值域與最值

教材分析：1.值域是函數的三要素之一，函數的值域與最值，特別是最值是高考重點，而且考察的題型涉及選擇、填空、解答題.2.值域與最值知識在教材中比較分散，且方法較多，因此教學中要善于總結.教學設計：通過對例題的變式訓練，讓學生在問題的認知、探索、發現、設計、解決、創造等全過程、全方位、深層次中進行主體性、實質性的參與.教學目標：1.知識目標：讓學生掌握求值域的基本方法及基本函數的的值域.2.能力目標：培養學生觀察、分析、總結、化歸的能力，熟練各種方法.3.情感目標：在探究的過程中形成良好的數學素質和正確的學習態度.教學重點：求值域的方法.教學難點：判別式法、單調性法.教學方法：導練法 教學過程： 一.知識提煉：

1.函數的值域

值域是__________組成的集合，它是由_________和______________確定的.2.基本函數的值域

（1）.一次函數y?kx?b?k?0?的值域是______.（2）.二次函數y?ax2?bx?c(a?0),當a?0時，值域是_______________，當a?0時，值域是_______________.（3）.反比例函數y?kx?k?0?的值域是__________________.（4）.指數函數y?ax?a?0且a?1?的值域是_____________.（5）.對數函數y?logax?a?0且a?1?的值域是_____________.3.求值域的基本方法（1）.形如y?ax?bmx?n?mn?0?的函數，用________________________________求值域.（2）.形如y?ax2?bx?c(a?0)的函數，用___________求值域，要特別注意定義域.二次函數在給出區間上的最值有兩類：

一是求閉區間?a,b?上函數的最值問題；

二是求區間確定（運動），對稱軸運動（確定）時函數的最值問題。在求二次函數的最值問題時，一定要注意數形結合，注意“兩看”： 一看開口方向；

二看對稱軸與所給區間的相對位置關系。

（3）.形如y?ax2?bx?cmx2?nx?e?m,a至少一個不為0?的函數，可用____________求值域.（4）.形如y?f?x??g?x?的函數用_______________求值域.（5）.其它方法：不等式法，導數法，單調性法，函數的有界性，圖象法等.二.典例示范：

例1.求下列各函數的值域.（1）y?x2?4x?3?x?R?

變式1：當x??－1,3?時，求函數值域.變式2：當x??t，t?1??t?R?時，求函數的最小值.點評：（2）y?x?4x?x?0?

變式：當x??1，5?時，求函數的值域.點評：

（3）y?x2?x?1x?1

變式1：將函數式改為y?x2－x－2x?1，值域如何求？

變式2：將函數式改為y?x2?x?1x2?1，值域如何求？

點評：

（4）y?x?1?x

變式1：將函數式改為y?x－1?x，值域如何求？

變式2：將函數式改為y?x?1?x2，值域如何求？

點評：

例2.已知f(x)?2?log3x(1?x?9)，求函數g(x)?f2(x)?f(x2)的最大值與最小值.點評：

探究題.已知函數f(x)?x2?2x?ax,x?[1,??)（1）當a?

時，求函數f(x)的最小值 ；（2）若對任意x?[1,??)，f(x)?0恒成立，試求實數a的取值范圍.三.基礎練習：

1.函數y?x2?5的值域為x2______________.?42.y?3?2x?x2 的值域是______________.3.y?x?2x?1的最小值是______________.4.y?2x?1x?3的值域是______________.5.函數f?x??2x2?13x3在區間[－1，5]上的最大值是______

6.函數y?2?2x2x?1的值域為（）

A．（??,?2]?[?1,??)B．(??,?2)?(?1,??)

C．?yy??1,y?R? D．?yy??2,y?R?

7.已知函數f(x)的值域是[3,489]，試求y?f(x)?1?2f(x)的值域.8.已知函數f?x??logmx2?8x?n3x2?1的定義域為R，值域為?0,2?，求實數m,n的值.四.歸納總結：

1.求值域時不但要重視對應法則的作用，而且要特別注意定義域的制約作用.2.求值域問題的結果要寫成集合或區間形式.3.熟練掌握求值域的幾種方法，積累經驗，掌握規律，根據問題的不同特點，綜合而靈活地運用條件選擇方法求之.五.布置作業

第四篇：三角函數教案

三角函數

1教學目標

⑴: 使學生理解直角三角形中五個元素的關系，會運用勾股定理，直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數解直角三角形

⑵: 通過綜合運用勾股定理，直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數解直角三角形，逐步培養學生分析問題、解決問題的能力． ⑶: 滲透數形結合的數學思想，培養學生良好的學習習慣．

2學情分析

學生在具備了解直角三角形的基本性質后再對所學知識進行整合后利用才學習直角三角形邊角關系來解直角三角形。所以以舊代新學生易懂能理解。

3重點難點

重點：直角三角形的解法

難點：三角函數在解直角三角形中的靈活運用 以實例引入，解決重難點。

4教學過程 4.1 第一學時 教學活動 活動1【導入】

一、復習舊知，引入新課

一、復習舊知，引入新課

1．在三角形中共有幾個元素？ 2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B這五個元素間有哪些等量關系呢？

答：(1)、三邊之間關系 ： a2 +b2 =c2(勾股定理)(2)、銳角之間關系：∠A+∠B=90°(3)、邊角之間關系

以上三點正是解的依據．

3、如果知道直角三角形2個元素，能把剩下三個元素求出來嗎？經過討論得出解直角三角形的概念。

復習直角三角形的相關知識，以問題引入新課

注重學生的參與，這個過程一定要學生自己思考回答，不能讓老師總結得結論。

PPT，使學生動態的復習舊知

活動2【講授】

二、例題分析教師點撥

例1在△ABC中，∠C為直角，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，且b=，a=，解這個直角三角形． 例2在Rt△ABC中，∠B =35o，b=20，解這個直角三角形

活動3【練習】

三、課堂練習學生展示

完成課本91頁練習

1、Rt△ABC中，若sinA= ,AB=10，那么BC=_____，tanB=______．

2、在Rt△ABC中，∠C=90°，a=，c=，解這個直角三角形.3、如圖，在△ABC中，∠C=90°，sinA= AB=15，求△ABC的周長和tanA的值

4、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=72°，c=14，解這個直角三角形（結果保留三位小數）.活動4【活動】

四、課堂小結

1)、邊角之間關系 2)、三邊之間關系

3)、銳角之間關系∠A+∠B=90°．

4)、“已知一邊一角，如何解直角三角形？”

活動5【作業】

五、作業設置

課本 第96頁習題28．2復習鞏固第1題、第2題．

第五篇：兩角和與差的三角函數 解斜三角形 三角變換中的最值問題 教案

兩角和與差的三角函數，解斜三角形·三角變換中的最值問題·教案

北京市第一七一中學 許綺菲

教學目標

1．復習、鞏固和、差、倍、半角公式，使學生能夠熟練運用公式解決典型的三角函數式的最值問題． 2．在學生掌握三角函數式最值的基本求解方法的基礎上，引導學生在解決最值應用問題時，會引入角做變量列出目標函數，借助繁多的三角公式求解函數最值．

3．在教學過程中突出三角函數式與代數式的相互轉化，訓練學生靈活選擇代數與三角變換兩種工具，滲透“轉化”數學思想．

教學重點與難點

重點是教會學生把三角函數式最值問題轉化為代數式的最值問題，同時能夠利用三角變換知識解決代數式的最值問題，恰當選取方法解決問題．

難點是培養學生利用三角變換工具解決問題的意識，體現三角變換的工具性．講授難點是引導學生全面分析題目，恰當選取變量，正確列出較易求最值的目標函數．

教學過程設計

師：我們已經學過了和、差、倍、半角公式，深感三角公式繁多，變換多端，同時三角函數還具有單調性及有界性．今天我們來共同探討三角變換中的最值問題．首先我請一位同學回答代數式的最值問題有哪些基本求解方法．

生：有利用函數單調性的方法，如最常用的二次函數法、復合函數法、分離變量法、方程法、換元法等． 師：這位同學回答很好．我們在學習三角函數式的最值問題時也希望大家注意總結方法．下面讓我們看第一個例題．

例1 求y=cos2x+6cosx+5的最大、最小值．

分析：這個函數式變量形式不統一，我們首先要設法統一變量再求其最值． 生：可以利用倍角公式統一變量，轉化為二次函數求解．

因為cosx∈[-1，1]，所以ymax=12，ymin=0．

師：這個題目我們借助二次函數這一工具求最值，注意到了代數與三角變換間的溝通．下面我們看例2． 例2 求函數y=sinx+cosx+sinx·cosx+1的最大值與最小值． 生：這個題目既有“sinx”又有“cosx”，若用sin2x+cos2x=1求解，會出現根式，所以考慮把角度取半使其次數升高．

解

y=sinx·（1+cosx）+1+cosx =（1+cosx）·（1+sinx）

師：這位同學為了不出現根式而把角度減半以達到升次的目的，很好．但若把題目改為y=sinx+cosx+3sinxcosx+1，這樣能否可行？對例2有沒有更具有普遍意義的做法？

生：觀察到（sinx+cosx）2=sin2x+cos2x+2sinxcosx=1+2sinxcosx，故聯

函數求解．于是得到例2的又一解法． 解

師：這位同學的解法更具有普遍意義，特別值得表揚的是這位同學在換元時注意到了等價性，即求出了t的取值范圍．下面我們看例3．

例3 已知x2+y2=1，求u=3x+4y的值域．

分析：這個題目是代數式的最值問題，若用代數方法求解，要首先統一變元，這樣就會出現根式，運算不夠簡潔．觀察到x2+y2=1這一制約條件，聯想到sin2x+cos2x=1，可令x=cosα，y=sinα．進行三角換元，利用三角公式求最值．

解 令x=cosα，y=sinα．則

所以u∈[-5，5]．

下面我們做三個練習：

練習1 已知x2+y2=4，求μ=3x+4y的值域．

（分別請三位同學板演．）

解1 令x=2cosα，y=2sinα，則

所以μ∈[-10，10]．

師：這三位同學都注意到所求函數的定義域，利用三角換元求解最值．一般來說，利用三角換元求解y=f（x）的最值問題的步驟為：1°求函數y=f（x）的定義域；2°根據求出的定義域設計換元，注意換元后給出一個能夠保證其值域充滿給定函數y=f（x）的定義域的新變量的最小取值范圍，如練習2中要求x∈[-1，1]，令x=sinα后給出α∈

取值范圍；3°利用三角公式求函數的最值．

利用換元法求最值不僅限于把變量x換為sinα或cosα，還可以換元為tanα，cotα等，要依所給函數而定；三角換元也未必只在代數式

函數轉化為代數式求解，在求解最值問題時要恰當選取代數與三角兩種工具，并能互相轉化． 以上我們研究了函數式的最值問題，下面我們看幾個最值應用問題，探討如何利用三角這一工具解決問題． 例4 欲在半圓形鐵皮（如圖1）截取矩形，如何截取利用率最高．（半徑為R）

分析：矩形ABCD的面積取決于CD的位置，而CD∥AB，故C點位置一旦取定，則D點位置也隨之而定．C點在圓周上，連結圓心O與C點，則∠COB的大小便確定了C點的位置，故引入∠COB作為變量寫出目標函數．

解

S=Rsinα·2Rcosα=R2sin2α，利用三角變換解最值應用問題的一般步驟是：1°全面分析題目，選擇恰當的自變量；2°列出目標函數，確定自變量取值范圍；3°利用三角變換公式求最值．

若我們把半圓形鐵皮改為扇形鐵皮，如何求解呢？請同學們練習．

練習4 在半徑為R，中心角為α的扇形鐵皮中（如圖2）截取矩形，何時利用率最高．

（此題可利用正弦定理，即△ABC中，A，B，C為三內角，a，（給出時間讓學生獨立思考，請學生回答．）

生：與例4相似的有矩形ABCD面積由CD位置決定，CD∥AB，C點位置決定了矩形ABCD的面積，而∠COB的大小決定了C點位置．故引入∠COB為變量．這個題目與例4的區別在于目標函數較例4復雜．

解 設∠COB=θ，θ∈（0，α）．

在Rt△COB中，|BC|=Rsinθ，在△COD中，∠CDO=π-α，∠DOC=α-θ，由正弦定理，師：四個題目還可以略加改動．

練習5在中心角為α半徑為R的扇形中如圖截取矩形（如圖3），何時利用率最高．

請同學們課下解決，并且總結這類有動點在圓周上的題目的解法． 下面我們再看一個例題：

例5 邊長為α的正三角形ABC，其中心為O，過O的直線MN

分析：OM與ON的長度與過O的直線MN的傾斜程度有關，故引入∠AOM為變量，利用解三角形的知識表示出|OM|及|ON|，求解最值．

解 設∠AOM=α．

這個題目仍然是引入了角做變量，利用三角變換這一工具求解最值．這個題目限定自變量的取值范圍直接影響結果，十分重要．

下面我們小結一下這節課．這節課我們主要研究了兩個問題：即函數式的最值問題及最值應用問題．函數式的最值問題是最值應用問題的基礎，解決函數式的最值問題的關鍵在于靈活地選用代數與三角兩種工具，樹立轉化的數學思想，同時應注意一些典型方法的總結．解決最值應用問題的關鍵在于充分分析題目，選擇恰當的自變量，列出相對簡單的目標函數以便于求解最值．

作業

1．求下列函數的值域．

（2）已知（x+2y）2+y2=9，求u=x-y的最值． 3．求周長為定值P的直角三角形面積的最大值．

4．△ABC中，AB=AC=1，△ABC與以BC為邊的正△BCD面積和為S，求S的最大值．

5．如圖5，AB是半圓直徑，延長AB到D，使BD=R，C為半圓上的動點，C在何處時，以DC為邊的正△CDP與△OCD面積和最大．

課堂教學設計說明

最值問題是學生感到困難的一個內容，求最值的方法多樣，不可能一一列舉．這節課的主要目的是教會學生靈活選用代數與三角兩種工具解決問題，培養學生“轉化”這一數學思想，體現“三角變換”的工具性．