第一篇：小學五年級數學質數和合數教學設計

小學五年級數學質數和合數教學設計

教學內容：九年義務教育五年制小學數學質數合數。

教學目標： 1.培養學生自主探索、獨立思考、合作交流的能力。

2.培養學生敢于探索科學之謎的精神,充分展示數學自身的魅力。

3.理解質數和合數的概念，并能判斷一個數是質數還是合數,會把自然數按約數的個數進行分類。教學過程: 活動一:以新聞引入

活動目的:創設情境,激發學生主動探索的欲望.活動過程:

剛才大家提起“歌德巴赫猜想”，賈老師也很感興趣,而且一直在搜集這方面材料,點擊課件, 很巧前一段有這樣的報道-----小時候就聽說有人把“歌德巴赫猜想”比做數學王冠上的明珠，點擊課件，今天競有人懸賞100萬美元求征“歌德巴赫猜想之解” ,歌德巴赫猜想到底是什麼呀？有興趣看看嗎？點擊課件 出示：大于4的偶數總能寫成兩個奇素數之和。

師: 誰來讀一下.著名的哥德巴赫猜想.生讀.師：就這樣一句話呀。你讀懂了嗎？你讀懂什麼啦？ 生：大于4的偶數 能舉個例子嗎? 6、8、10?? 奇數:什麼是奇數?

素數(質數): 什么樣的數是質數？

師:哦你們是這樣理解的.看來質數與約數有直接關系。你從那知道的？

活動二: 理解質數合數的意義

活動目的: 讓學生自己去經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動的過程，發展合情推理能力，初步的演繹思維能力及解決問題的能力。活動過程:

1、認識質數

.師：看來你們對這個猜想已經初步理解了，我們能試著寫一個符合這個猜想的式子嗎。

生：8=3+5 3、5是奇數嗎？是質數嗎？ 10=11+3 3、11是奇數嗎？是質數嗎？ 14=7+7 同意嗎？為什么？

師：都有興趣舉，拿出本來，看誰舉的多。生：舉例。你舉了幾個.師把最多的式子板書黑板.師：還有補充嗎?

師：我們按照自己對“哥德巴赫猜想”的理解寫出了這些式子，是否都符合這個猜想呢？

師:符號右邊都是奇數嗎？都是質數嗎？質數有什么共同特點? 生：除了1和它本身不再有其他約數的數叫質數。

師：能舉出一個質數嗎？5 是質數,為什麼？17是質數,為什么？ 師：都想舉拿出本舉看誰舉得多？四人交流一下。

師：生匯報。這些數都是質數，到底什么是質數。板書:質數

2、認識合數。

.師：9這個數為什么不是質數?我們把這樣的數叫什麼數。生：合數，為什么？

師：誰能再舉一個合數。什么是合數？板書:合數.3、今天我們學習了質數和合數.板書課題:質數 合數有問題嗎?

4、判斷數字卡片是質數還是合數？ 出示：

5、9 為什么？

搶答：3、19、49、63、47、39、121、2、1、31、5730?? 師：2為什么是質數？1為什么不是質數也不是合數？ 活動三：學生自己選擇要研究的問題進行活動。

活動目的：教師要主動把課堂教學活動的主角位置讓給學生，把課堂教學活動的時間多分給學生使用，把課堂教學活動的內容多留給學生處理解決，教師做好組織、設計、指導或點撥，主導者要讓賢于主體者，采用這一教法，可讓學生認識“自我”，感受到“自我”的價值。愛因斯坦說過：“提出一個問題比解決一個問題更重要。”

活動過程：

1．你還想研究質數合數的那些知識？(學生提出很多)如:（1）找最大質數.（2）如何判斷一個數是質數還是合數.（3）自然數中是不是除了質數就是合數?? 2．請各小組選一個你們喜歡研究的問題,開始研究吧.3．匯報研究成果.教學反思: 教師在課后設計了這樣一個環節，你還想研究質數、合數有關的那些知識。這一過程，教師充分讓位還權，放手讓學生去探究，留足學生探究的時間與空間，關注有差異的學生去發現，去完成自己的學習目標，使每個學生都積極參與“做”數學，能在課上研究的問題就在課上處理，留下的問題讓學生向家長、老師、書籍、網絡??學習,這樣設計已經不只局限于使學生理解、掌握知識,更多關注的是培養學生探究知識能力，著眼學生的可持續發展。體現出學生學習的主體參與意識，此環節的處理,雖然耽誤了一些時間, 但我想還是值得的.教師應以學生為本,而不應以備好的教案為本.活動四:回到開頭。

活動目的: 教師本著以人的發展為本的教學理念，著眼于學生的可持續發展.活動過程:

1.我們學習了質數和合數，對于哥德巴赫猜想中的奇素數你是怎么理解的？點擊課件出示：大于4的偶數總能寫成兩個奇素數之和。

師：是不是所有一個盡可能大的偶數總能寫成兩個奇素數之和呢？能證明嗎？ 師：雖然我們現在還不能證明？但是通過這節課我們對哥德巴赫猜想的理解和我們之間的交流。你們是不是已經感受到了數學王國的神秘。

2.著名科學家牛頓曾說過這樣一句話：我之所以取得今天的成績，是因為我站在巨人肩膀上的緣故。同學們其實你們已經站在巨人肩膀上研究問題啦。這使我堅信，在不久的將來，在座的各位通過不懈的努力，將來肯定會有人摘下這顆數學王冠上的明珠，解開“哥德巴赫猜想。

六、板書：

第二篇：小學數學五年級《質數和合數》教學設計

《質數和合數》教學設計

教學目標：

1、使學生理解質數、合數的意義，會判斷一個數是質數還是合數。

2、培養學生觀察、比較、概括和判斷能力。

3、通過質數與合數兩個概念的教學，向學生滲透“對立統一”的辯證唯物主義的觀點。

教學重點：理解質數和合數的意義。

教學難點：判斷一個數是質數還是合數的方法。教學過程： 課前談話：

給教室里的人分類。體會：同樣的事物，依據不同的分類標準，可以有多種不同的分類方法。明確：分類的標準很重要。

一、復習舊知

說一說，在我們學習的空間，你可以得到哪些數？（要求與同學說的盡量不重復）

給這些自然數分類。根據自然數能不能被2整除，可以分成奇數和偶數兩類。

板書對應的集合圖。自然數

（能不能被2整除）

把學生列舉的數填寫在對應的集合圈里。

問：看了集合圖，你想說什么么？（學生看圖說自己的想法，復習奇數和偶數的有關知識）

說明：這是一種有價值的分類方法，在以后的學習中很有用。問：想不想學一種新的分類方法？關于新的分類方法，你想知道些什么？

二、進行新課

今天我們就用找約數的方法來給自然數分類。復習：什么叫約數？怎樣找一個數所有的約數？ 同桌合作，找出列舉的各數的所有的約數。（同時板演）

引導學生觀察：觀察以上各數所含約數的個數，你能把它們分成幾種情況！

根據學生的回答板書。自然數（約數的個數）

（只有兩個約數）（有3個或3個以上的約數）

引導學生思考：只含有兩個約數的，這兩個約數有什么特點？引出約數的概念。

明確合數的概念，提問：合數至少有幾個約數？想一想：1的約數有哪幾個？它是質數嗎？它是合數嗎？

明確：這是一種新的分類方法。看了集合圈，你想說什么？（學生看圖說自己的想法，鞏固奇數和合數的知識）猜一猜：奇數有多少個？合數呢？

明確：因為自然數的個數是無限的，所以，奇數和偶數的個數也是無限的。運用新知，解決問題。

出示例1 下面各數，哪些是質數？哪些是合數？ 15 28 31 53 77 89 111 學生獨立完成。問：你是怎么判斷的？

明確：可以找出每個數所有的約數，再根據質數和合數的意義來判斷；一個數，只有找到1和它本身以外的第三個約數，就能判斷這個數是合數還是質數。不必找出所有的約數來，這樣可以提高判斷的效率。說明：判斷一個數是不是質數還可以查表。100以內的質數比較常用，看書本上的100以內的質數表。用質數表檢查對例1的判斷是否正確。完成練一練。

三、練習鞏固

1、檢查下面各數的約數的個數，指出哪些是質數哪些是合數，再用質數表檢查。29 35 49 51 79 83

2、出示2到50的數。先劃掉2的倍數，再依次劃掉3、5、7的倍數（但2、3、5、7本身不劃掉。）學生操作后，提問：剩下的都是什么數？

告訴學生：古代的數學家就是用這樣的方法來找質數的。

四、全課總結

學到這里，一種新的分類方法，你掌握了嗎？學生回答；相機揭示課題，質數和合數

討論：質數、合數、奇數、偶數之間是怎樣的關系呢？

五、布置作業（略）。

第三篇：五年級數學 質數和合數 教學設計

“質數和合數”教學設計

教學內容：

質數和合數的意義及其判定。（人教版小學《數學》第十冊14-15頁）

教學目的：

1.引導學生自主探究、理解和把握質數和合數的特征，進而掌握質數和合數的意義。

2．使學生初步掌握分類的教學方法，并在分類中深化對質數與合數的理解，能正確地對質數和合數做出判定。

3．通過小組學習，使學生獨立思考能力和合作精神得到和諧發展，培養學生樂于探究的精神。教學重點、難點：

1．重點：使學生掌握質數與合數的意義，能正確地對質數與合數作出判定。

2．難點：使學生準確理解和把握質數與合數的特征，進而掌握質數與合數的意義。教具、學具：電腦課件 教學過程:

一、復習導入

1、什么叫約數和倍數？舉例說明。生1:如果ａ能被ｂ整除，那么ａ就叫做ｂ的倍數，ｂ就叫做ａ的約數。例如：15÷5=3，15是5的倍數，5是15的約數。

2、什么叫奇數？什么叫偶數？

生2：不能被2整除的數叫奇數，能被2整除的數叫偶數。

3、導入新課

由奇數和偶數的意義，我們知道，自然數按“能否被2整除”這個標準可以劃分奇數和偶數兩大類。[課件演示一] 自然數→奇數 偶數

自然數還有別的分類方法嗎？

那么自然數除了這種分類方法外，還有沒有別的分類方法呢？（在課件一上補充演示：“自然數還有別的分類方法嗎？”）這就是我們今天這節課所要研究的問題。（板書：質數與合數）看到這個題目，同學們都有哪些想法？

生1：我想知道，什么叫質數？什么叫合數？

生2：我想知道，區分質數與合數的標準是什么？

生3：我想知道，對質數與合數該怎樣進行判定？

……

師：同學們這些想法都很好。今天，我們就對這些問題進行逐一研究。

二、引導探究

（一）質數與合數的意義

1、理解質數與合數的特征。

師：我們先來研究質數與合數的意義。（板書：

一、意義）① 說出1-12每個數的所有約數（指名口答，全班訂正）。[ 課件演示二] 1的約數：1 7的約數：

1、7 2的約數：

1、2 8的約數：1、2、4、8 3的約數：

1、3 9的約數：1、3、9 4的約數：1、2、4 10的約數：1、2、5、10 5的約數：

1、5 11的約數：

1、11 6的約數：1、2、3、6 12的約數：1、2、3、4、6、12 ② 引導學生按照約數個數的多少，對上面的數進行分類，把握各類特征（學生分組探究，找規律、抓特點，每組推薦一人匯報探究結果）。

歸納板書：

約數個數 ：①只有一個約數的數：1（非質非合）

②有兩個約數的數：2、3、5、7、11（質數）③有兩個以上約數的數：4、6、8、9、10、12（合數）。

2．揭示質數與合數的意義。[課件演示三] 一個數，如果只有1和它本身兩個約數，這樣的數叫做質數（或素數）。如：2、3、5、7、11都是質數。

一個數，如果除了1和它本身還有別的約數，這樣的數叫做合數。如：4、6、8、9、10、12都是合數。1既不是質數，也不是合數。

板書補充：

在前次板書①后補充“非質非合”，②后補充“質數”，③后補充“合數”。3．梳理歸納

通過上面的探究，我們找到了自然數的另一種分類方法，這種方法是以“自然數約數個數的多少”這一標準，將自然數分為：

1、質數、合數三類。

[課件演示四] 自然數｛質數 1 合數

師：至此，我們對什么叫質數，什么叫合數，區分質數與合數的標準是什么這些問題都已經弄明白了。下面我們再來研究怎樣判定質數與合數（二、判定）4．質數與合數的判定

①根據意義判定： [課件演示五] 判斷下列各數，哪些是質數，哪些是合數。17、22、29、35、37、87 師：一個數是質數還是合數，可以根據質數與合數的意義來判定，關鍵在于分析檢查這個數的約數的個數。

我們知道，自然數除1以外，每個數的約數必然有1（最小的）和它本身（最大的），如果我們再能找出一個它的約數，那么，這個自然數就是合數（符合兩個以上的約數這一特征），否則，這個自然數就是質數（符合只有兩個約數這一特征）。（學生獨立分析、檢查每個約數的個數，做出判定，指名匯報判定結果）[課件演示六]（補充于[課件演示五]之后）17、29、37是質數 22、35、87是合數

②查質數表判定

師：在二千多年前，古希臘的數學家就發明了質數表，他們的質數表是這樣制成的。[課件演示七] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 依次劃掉2、3、5、7的倍數，但2、3、5、7本身不得劃掉，剩下的數都是質數。

用不同色彩劃完后，將剩下的數整理，即得到50以內的質數表： 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 師：利用查質數表的方法，可對一個數是質數還是合數作出準確、快捷地判定。

如：下面哪些是質數？哪些是合數？查表判定。19 21 43 46 經查表得知：19 43是質數，21 46是合數。

這是50以內的質數表，使用范圍很有限，教材的60頁還為我們提供了100以內的質數表，希望同學們熟記，以便今后應用（指導學生看教材60頁質數表）5．課堂小結

師;通過這節課，你都學到了些什么？

生1：我知道了什么叫質數，什么叫合數。

生2：我知道了區別質數與合數的標準。

生3：我知道了自然數的兩種不同分類方法。

生4：我知道了質數與合數的兩種判定方法。

師：重申質數與合數的意義，強調自然數兩種分類方法的標準及結果，叮嚀質數的兩種判定方法。

三、課堂練習 [課件演示八] 1．判斷。

①只有兩個約數的自然數是質數。（）

②自然數可以分為質數和合數。（）

③自然數可以分為質數、合數、奇數、偶數。（）④一個自然數，不是奇數，就是偶數。（）2．填空。

質數：（）

合數：（）

（學生完成上述習題，全班訂正）。

四、課后作業（略）板書設計

質數與合數

一、意義

①只有一個約數的數:1(非質非合)約數個數 ②有兩個約數的數：2、3、5、7、11（質數）

③有兩個以上約數的數：4、6、8、9、10、12（合數）

二、判定

1、根據意義判定。

2、查質數表判定。

第四篇：五年級《質數和合數》教學設計

五年級《質數和合數》教學設計

五年級《質數和合數》教學設計

教學目標：

1.使學生理解質數和合數的概念，能正確地判斷一個數是質數還是合數。

2.培養學生觀察、比較、抽象、慨括的能力。

3.知道100以內的質數，熟悉20以內的質數。

4.讓學生在學習活動中體驗到學習數學的樂趣，培養學習數學的興趣。

教學重點:理解質數、合數的含義，能正確快速地判斷一個數是質數還是合數。

教學難點:能運用一定的方法，從不同的角度判斷、感悟質數與合數。

教學過程：

課前談話：

給教室里的人分類。體會：同樣的事物，依據不同的分類標準，可以有多種不同的分類方法。明確：分類的標準很重要。

一、復習舊知

給自然數分類。根據自然數是不是2的倍數，把自然數可以分成奇數和偶數兩類。

說明：這是一種有價值的分類方法，在以后的學習中很有用。

問：想不想學一種新的分類方法？關于新的分類方法，你想知道些什么？

二、進行新課

今天我們就用找因數的方法來給自然數分類。

復習：什么叫因數？怎樣找一個數所有的因數？

小組合作：找出列舉的各數的所有的因數。引導學生觀察：觀察以上各數所含的因數的個數，你能把它們分成幾種情況‘！

根據學生的回答板書。

自然數

（因數的個數）

（只有兩個因數）（有3個或3個以上的因數）

引導學生思考：只含有兩個因數的，這兩個因數有什么特點？引出因數的概念。

明確合數的概念．提問：合數至少有幾個因數？

想一想：1的因數有哪幾個？它是質數嗎？它是合數嗎？

明確：這是一種新的分類方法。

猜一猜：質數有多少個？合數呢？

明確：因為自然數的個數是無限的，所以，質數和合數的個數也是無限的。

三、組織趣味游戲

20以內的同學請起立，我們比比看，誰的反應快。

（1）你的學號如果是20以內的質數，請你往前一步。

（2）請你們將20以內的質數，按照從小到大的順序排列起來。

（3）你的學號如果20以內的合數，請你后退一步。

（4）（詢問學號是1的同學）你為什么兩次都沒動？

四、動手操作，制質數表。（教學例1）

出示P14例題1，找出100以內的質數，做一個質數表。

（1）提問：如何很快的制作一張100以內的質數表？

（2）按質數的概念逐個判斷？也可以用篩選法。

（3）介紹篩選法：先排除2以外的所有偶數，接著排除3以外的所有3的倍數，再接著排除5以外的所有5的倍數，最后排除7以外的7的倍數。因為1既不是質數，也不是合數，所以也必須排除。

學生操作后，提問：剩下的都是什么數？

（4）學生在組內制作質數表。

（5）講：判斷一個數是不是質數，除了用質數的定義進行判斷外，還可以查質數表，如100以內的質數表。

告訴學生：古代的數學家就是用這樣的方法來找質數的。

小結方法：同學們運用“排除”的方法，篩選出了100以內的質數。

五、練習鞏固

1、找出下面各數的因數的個數，指出哪些是質數哪些是合數，再用質數表檢查。

83

學生獨立完成。

問：你是怎么判斷的？

明確：可以找出每個數所有的因數，再根據質數和合數的意義來判斷；一個數，只有找到1和它本身以外的第三個約束，就能判斷這個數是合數還是質數。不必找出所有的因數來，這樣可以提高判斷的效率。

說明：判斷一個數是不是質數還可以查表。100以內的質數比較常用，看書本上的100以內的質數表。用質數表檢查對例子1的判斷是否正確。

完成課件上的練一練。

六、課堂總結，暢談收獲。

師：通過這節課的學習，你們有什么收獲？

第五篇：五年級數學下冊質數合數教學設計

五年級數學下冊《質數、合數》教學設計

教學內容：五年級下冊質數與合數。教學目標 ：

1.培養學生自主探索、獨立思考、合作交流的能力。

2.培養學生敢于探索科學之謎的精神,充分展示數學自身的魅力。

3.理解質數和合數的概念，并能判斷一個數是質數還是合數,會把自然數按約數的個數進行分類。教學過程 : 活動一:以新聞引入

活動目的:創設情境,激發學生主動探索的欲望.活動過程 : 剛才大家提起“歌德巴赫猜想”，老師也很感興趣,而且一直在搜集這方面材料,點擊課件, 很巧前一段有這樣的報道-----小時候就聽說有人把“歌德巴赫猜想”比做數學王冠上的明珠，點擊課件，今天競有人懸賞100萬美元求征“歌德巴赫猜想之解” ,歌德巴赫猜想到底是什麼呀？有興趣看看嗎？點擊課件

出示：大于4的偶數總能寫成兩個奇素數之和。師: 誰來讀一下.著名的哥德巴赫猜想.生讀.師：就這樣一句話呀。你讀懂了嗎？你讀懂什麼啦？ 生：大于4的偶數 能舉個例子嗎? 6、8、10……

奇數:什麼是奇數? 素數(質數): 什么樣的數是質數？

師:哦你們是這樣理解的.看來質數與約數有直接關系。你從那知道的？

教學反思: 這樣的教學,使學生懸念頓生，興趣盎然，思維處于欲罷不能的憤悱狀態。此時教師巧妙地把握住時機，導入 新課。這樣從新聞入手，激發了全體學生的興趣,使課堂氣氛頓時活躍起來.為本節課的順利實施提供了有效的條件。活動二: 理解質數合數的意義

活動目的: 讓學生自己去經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動的過程，發展合情推理能力，初步的演繹思維能力及解決問題的能力。活動過程 :

1、認識質數

.師：看來你們對這個猜想已經初步理解了，我們能試著寫一個符合這個猜想的式子嗎。生：8=3+5 3、5是奇數嗎？是質數嗎？ 10=11+3 3、11是奇數嗎？是質數嗎？ 14=7+7 同意嗎？為什么？

師：都有興趣舉，拿出本來，看誰舉的多。生：舉例。你舉了幾個.師把最多的式子板書黑板.師：還有補充嗎? 師：我們按照自己對“哥德巴赫猜想”的理解寫出了這些式子，是否都符合這個猜想呢？ 師:符號右邊都是奇數嗎？都是質數嗎？質數有什么共同特點? 生：除了1和它本身不再有其他約數的數叫質數。

師：能舉出一個質數嗎？5 是質數,為什麼？17是質數,為什么？ 師：都想舉拿出本舉看誰舉得多？四人交流一下。

師：生匯報。這些數都是質數，到底什么是質數。板書:質數

2、認識合數。

.師：9這個數為什么不是質數?我們把這樣的數叫什麼數。生：合數，為什么？

師：誰能再舉一個合數。什么是合數？板書:合數.3、今天我們學習了質數和合數.板書課題:質數 合數有問題嗎?

4、判斷數字卡片是質數還是合數？ 出示：

5、9 為什么？

搶答：3、19、49、63、47、39、121、2、1、31、5730…… 師：2為什么是質數？1為什么不是質數也不是合數？

教學反思: 教師在引導學生發現判斷質數、合數方法的過程中，自始至終都沒有以一個“裁判者”的身份出現，而是力求使自己成為學生學習的促進者、參與協商，鼓勵和監控學生的討論和練習過程，但不控制學生的討論結果。同時教師也把自己當作學習者，與學生一道共同完成學習任務。當時的課堂氣氛和諧、民主。收到了良好的效果。

活動三：學生自己選擇要研究的問題進行活動。

活動目的：教師要主動把課堂教學活動的主角位置讓給學生，把課堂教學活動的時間多分給學生使用，把課堂教學活動的內容多留給學生處理解決，教師做好組織、設計、指導或點撥，主導者要讓賢于主體者，采用這一教法，可讓學生認識“自我”，感受到“自我”的價值。愛因斯坦說過：“提出一個問題比解決一個問題更重要。” 活動過程 ：

1．你還想研究質數合數的那些知識？(學生提出很多)如:（1）找最大質數.（2）如何判斷一個數是質數還是合數.（3）自然數中是不是除了質數就是合數…… 2．請各小組選一個你們喜歡研究的問題,開始研究吧.3．匯報研究成果.教學反思: 教師在課后設計了這樣一個環節，你還想研究質數、合數有關的那些知識。這一過程，教師充分讓位還權，放手讓學生去探究，留足學生探究的時間與空間，關注有差異的學生去發現，去完成自己的學習目標，使每個學生都積極參與“做”數學，能在課上研究的問題就在課上處理，留下的問題讓學生向家長、老師、書籍、網絡……學習,這樣設計已經不只局限于使學生理解、掌握知識,更多關注的是培養學生探究知識能力，著眼學生的可持續發展。體現出學生學習的主體參與意識，此環節的處理,雖然耽誤了一些時間, 但我想還是值得的.教師應以學生為本,而不應以備好的教案為本.活動四:回到開頭。

活動目的: 教師本著以人的發展為本的教學理念，著眼于學生的可持續發展.活動過程 : 1.我們學習了質數和合數，對于哥德巴赫猜想中的奇素數你是怎么理解的？點擊課件出示：大于4的偶數總能寫成兩個奇素數之和。

師：是不是所有一個盡可能大的偶數總能寫成兩個奇素數之和呢？能證明嗎？

師：雖然我們現在還不能證明？但是通過這節課我們對哥德巴赫猜想的理解和我們之間的交流。你們是不是已經感受到了數學王國的神秘。2.著名科學家牛頓曾說過這樣一句話：我之所以取得今天的成績，是因為我站在巨人肩膀上的緣故。同學們其實你們已經站在巨人肩膀上研究問題啦。這使我堅信，在不久的將來，在座的各位通過不懈的努力，將來肯定會有人摘下這顆數學王冠上的明珠，解開“哥德巴赫猜想。

教學反思:當時學生舉手非常踴躍,表現出一種探索的欲望, 敢于探索科學之謎的精神,充分展示出了數學自身的魅力。