第一篇：單調性奇偶性教案
函數性質
一、單調性
1.定義：一般地，設函數f(x)的定義域為I:如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1,x2，當x1?x2時，若都有f(x1)?f(x2)，那么就說函數在．．區間D上單調遞增，若都有f(x1)?f(x2)，那么就說函數在區間D上單調遞減。例1.證明f?x??x?1在?1,???上單調遞增 x
總結：
1）用定義證明單調性的步驟：取值----作差----變形-----定號-----判斷 2）增+增=增
減+減=減
-增=減
1/增=減 3）一次函數y?kx?b的單調性 例1.判斷函數y??2.復合函數分析法
設y?f(u)，u?g(x)x?[a,b]，u?[m,n]都是單調函數，則y?f[g(x)]在[a,b]上也是單調函數，其單調性由“同增異減”來確定，即“里外”函數增減
1的增減性 x?1性相同，復合函數為增函數，“里外”函數的增減性相反，復合函數為減函數。如下表：
u?g(x)
y?f(u)
y?f[g(x)]
增 增 減 減 增 減 增 減 增 減 減 增
例1.判斷函數y?log2(x?1)在定義域內的單調性
一、函數單調性的應用 1.比較大小
例1.若f(x)在R上單調遞增，且f?2a?1??f(a?3)，求a的取值范圍
3例2.已知函數f(x)在?0,???上是減函數，試比較f()與f(a2?a?1)的大小
42.利用單調性求最值
1例1.求函數y?x?1?的最小值
x
x2?2x?a1例2.已知函數f(x)?,x??1,???.當a?時，求函數f(x)的最小值
x2
1?1?例3.若函數f(x)的值域為?,3?，求函數g(x)?f(x)?的值域
2f(x)??
練習：1）求函數y?x2?1?x在?0,???的最大值
1?1?2）若函數f(x)的值域為?,3?，求函數g(x)?f(x)?的值域
2f(x)??
3.求復合函數的單調區間 1)求定義域
2)判斷增減區間 3)求交集
12例1.求函數y??x?2x?3的單調區間
2練習：求函數y??x2?2x?8的單調增區間
4.求參數取值范圍
例1.函數f(x)?x2?2ax?3在區間?1,2?上單調，求a的取值范圍
二、奇偶性
1.判斷奇偶性的前提條件：定義域關于原點對稱 例1.奇函數f(x)定義域是(t,2t?3)，則t?
.2.奇函數的定義：對于函數f(x)，其定義域D關于原點對稱，如果?x?D,恒有f(?x)??f(x)，那么函數f(x)為奇函數。
3.奇函數的性質： 1）圖像關于原點對稱 2）在圓點左右單調性相同
3）若0在定義域內，則必有f(0)?0
1奇函數的例子：y?x,y?x3,y?x?,y?sinx
x4.偶函數的定義：對于函數f(x)，其定義域D關于原點對稱，如果?x?D,恒有f(?x)?f(x)，那么函數f(x)為偶函數。
5.偶函數的性質： 1）圖像關于y軸對稱 2）在圓點左右單調性相反
偶函數的例子：y?x2,y?x,y?cosx
6.結論：奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇?奇=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇
四、常見題型： 1.函數奇偶性的判定
4?x2例1.判斷函數f(x)?的奇偶性
x?2?2
例2.判斷f(x)?(x?2)
2?x的奇偶性 2?x2.奇偶性的應用
例1.已知f(x)?x5?ax3?bx?8,f(?2)?10,則f(2)?_______
例2.已知f(x)是奇函數，且當x?0時，f(x)?x(x?2),求x?0時，f(x)的解析式
例3.設f(x)是偶函數，g(x)是奇函數，且f(x)?g(x)?
3.函數單調性與奇偶性的綜合應用
例1.設偶函數f(x)在[0,??)為減函數，則不等式f(x)?f(2x?1)的解集是。
例2.已知函數f(x)是定義在實數集R上的函數，若f(x)在區間??5,5?上是奇函數，在區間?0,5?上是單調函數，切f(3)?f(1)，則（）
A.f(?1)?f(?3)B.f(0)?f(?1)C.f(?1)?f(1)D.f(?3)?f(?5)，例3.函數f(x)?ax?b12???1,1是定義在上的奇函數，且 f()?2251?x1，求f(x),g(x)x?11）求f(x)的解析式
2）判斷函數f(x)在??1,1?上的單調性 3）解不等式f(t?1)?f(t)?0
第二篇：奇偶性與單調性及典型例題
奇偶性與單調性及典型例題
函數的單調性、奇偶性是高考的重點內容之一，考查內容靈活多樣.本節主要幫助考生深刻理解奇偶性、單調性的定義，掌握判定方法，正確認識單調函數與奇偶函數的圖象.難點磁場
(★★★★)設a>0,f(x)=是R上的偶函數，(1)求a的值；(2)證明： f(x)在(0，+∞)上是增函數.案例探究
［例1］已知函數f(x)在(－1，1)上有定義，f()=－1,當且僅當0 (1)f(x)為奇函數；(2)f(x)在(－1，1)上單調遞減.命題意圖：本題主要考查函數的奇偶性、單調性的判定以及運算能力和邏輯推理能力.屬★★★★題目.知識依托：奇偶性及單調性定義及判定、賦值法及轉化思想.錯解分析：本題對思維能力要求較高，如果“賦值”不夠準確，運算技能不過關，結果很難獲得.技巧與方法：對于(1)，獲得f(0)的值進而取x=－y是解題關鍵；對于(2)，判定的范圍是焦點.證明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)為奇函數.(2)先證f(x)在(0，1)上單調遞減.令0 ∵0 ∴x2－x1<1－x2x1，∴0<<1,由題意知f()<0， 即f(x2) 結合0 本難點所涉及的問題及解決方法主要有： (1)判斷函數的奇偶性與單調性 若為具體函數，嚴格按照定義判斷，注意變換中的等價性.若為抽象函數，在依托定義的基礎上，用好賦值法，注意賦值的科學性、合理性.同時，注意判斷與證明、討論三者的區別，針對所列的“磁場”及“訓練”認真體會，用好數與形的統一.復合函數的奇偶性、單調性.問題的解決關鍵在于：既把握復合過程，又掌握基本函數.(2)加強逆向思維、數形統一.正反結合解決基本應用題目，下一節我們將展開研究奇偶性、單調性的應用.殲滅難點訓練 一、選擇題 1.(★★★★)下列函數中的奇函數是（） A.f(x)=(x－1) B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 2.(★★★★★)函數f(x)=的圖象（） A.關于x軸對稱 B.關于y軸對稱 C.關于原點對稱 D.關于直線x=1對稱 二、填空題 3.(★★★★)函數f(x)在R上為增函數，則y=f(|x+1|)的一個單調遞減區間是_________.4.(★★★★★)若函數f(x)=ax3+bx2+cx+d滿足f(0)=f(x1)=f(x2)=0(0 5.(★★★★)已知函數f(x)=ax+(a>1).(1)證明：函數f(x)在(－1，+∞)上為增函數.(2)用反證法證明方程f(x)=0沒有負數根.6.(★★★★★)求證函數f(x)=在區間(1，+∞)上是減函數.7.(★★★★)設函數f(x)的定義域關于原點對稱且滿足：(i)f(x1－x2)=；(ii)存在正常數a使f(a)=1.求證： (1)f(x)是奇函數.(2)f(x)是周期函數，且有一個周期是4a.8.(★★★★★)已知函數f(x)的定義域為R，且對m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且 f(－)=0,當x>－時，f(x)>0.(1)求證：f(x)是單調遞增函數； (2)試舉出具有這種性質的一個函數，并加以驗證.參考答案 難點磁場 (1)解：依題意，對一切x∈R,有f(x)=f(－x),即+aex.整理，得(a－)(ex－)=0.因此，有a－=0,即a2=1,又a>0,∴a=1 (2)證法一：設0＜x1＜x2,則f(x1)－f(x2)= 由x1>0,x2>0,x2>x1,∴>0,1－e＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2) ∴f(x)在(0,+∞)上是增函數 證法二：由f(x)=ex+e－x，得f′(x)=ex－e－x=e－x·(e2x－1).當x∈(0,+∞)時，e－x>0,e2x－1>0.此時f′(x)>0,所以f(x)在［0，+∞)上是增函數.殲滅難點訓練 一、1.解析：f(－x)= =－f(x)，故f(x)為奇函數.答案：C 2.解析：f(－x)=－f(x),f(x)是奇函數，圖象關于原點對稱.答案：C 二、3.解析：令t=|x+1|,則t在(－∞,－1上遞減，又y=f(x)在R上單調遞增，∴y=f(|x+1|)在(－∞,－1上遞減.答案：(－∞,－1 4.解析：∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x－x1)(x－x2)=ax3－a(x1+x2)x2+ax1x2x，∴b=－a(x1+x2),又f(x)在［x2,+∞單調遞增，故a>0.又知0＜x1＜x,得x1+x2>0，∴b=－a(x1+x2)＜0.答案：(－∞,0） 三、5.證明：(1）設－1＜x1＜x2＜+∞,則x2－x1>0, >1且>0，∴>0,又x1+1>0,x2+1>0 ∴>0，于是f(x2)－f(x1)=+ >0 ∴f(x)在(－1，+∞）上為遞增函數.(2）證法一：設存在x0＜0(x0≠－1)滿足f(x0)=0,則且由0＜＜1得0＜－＜1,即＜x0＜2與x0＜0矛盾，故f(x)=0沒有負數根.證法二：設存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0,若－1＜x0＜0,則＜－2,＜1,∴f(x0)＜－1與f(x0)=0矛盾，若x0＜－1,則>0, >0，∴f(x0)>0與f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0沒有負數根.6.證明：∵x≠0,∴f(x)=，設1＜x1＜x2＜+∞,則.∴f(x1)>f(x2),故函數f(x)在(1，+∞）上是減函數.(本題也可用求導方法解決） 7.證明：(1）不妨令x=x1－x2,則f(－x)=f(x2－x1)= =－f(x1－x2)=－f(x).∴f(x)是奇函數.(2）要證f(x+4a)=f(x),可先計算f(x+a),f(x+2a).∵f(x+a)=f［x－(－a)］=.∴f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］==f(x),故f(x)是以4a為周期的周期函數.8.(1）證明：設x1＜x2,則x2－x1－>－,由題意f(x2－x1－)>0，∵f(x2)－f(x1)=f［(x2－x1)+x1］－f(x1)=f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)=f(x2－x1)－1=f(x2－x1)+f(－)－1=f［(x2－x1)－］>0，∴f(x)是單調遞增函數.(2)解：f(x)=2x+1.驗證過程略.難點8 奇偶性與單調性(二) 函數的單調性、奇偶性是高考的重點和熱點內容之一，特別是兩性質的應用更加突出.本節主要幫助考生學會怎樣利用兩性質解題，掌握基本方法，形成應用意識.●難點磁場 (★★★★★)已知偶函數f(x)在(0，+∞)上為增函數，且f(2)=0,解不等式［flog2(x2+5x+4)］≥0. ●案例探究 ［例1］已知奇函數f(x)是定義在(－3，3)上的減函數，且滿足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,設不等式解集為A，B=A∪{x|1≤x≤},求函數g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值.命題意圖：本題屬于函數性質的綜合性題目，考生必須具有綜合運用知識分析和解決問題的能力，屬★★★★級題目.知識依托：主要依據函數的性質去解決問題.錯解分析：題目不等式中的“f”號如何去掉是難點，在求二次函數在給定區間上的最值問題時，學生容易漏掉定義域.技巧與方法：借助奇偶性脫去“f”號，轉化為xcos不等式，利用數形結合進行集合運算和求最值.解：由且x≠0,故0 當0≤≤1時，即0≤m≤2時，g(m)=－+2m－2>0 4－2 綜上，符合題目要求的m的值存在，其取值范圍是m>4－2.●錦囊妙計 本難點所涉及的問題以及解決的方法主要有： (1)運用奇偶性和單調性去解決有關函數的綜合性題目.此類題目要求考生必須具有駕馭知識的能力，并具有綜合分析問題和解決問題的能力.(2)應用問題.在利用函數的奇偶性和單調性解決實際問題的過程中，往往還要用到等價轉化和數形結合的思想方法，把問題中較復雜、抽象的式子轉化為基本的簡單的式子去解決.特別是：往往利用函數的單調性求實際應用題中的最值問題.●殲滅難點訓練 一、選擇題 1.(★★★★)設f(x)是(－∞,+∞)上的奇函數，f(x+2)=－f(x),當0≤x≤1時，f(x)=x,則f(7.5)等于（） A.0.5 B.－0.5 C.1.5 D.－1.5 2.(★★★★)已知定義域為(－1，1)的奇函數y=f(x)又是減函數，且f(a－3)+f(9－a2)<0,則a的取值范圍是（） A.(2，3) B.(3，) C.(2，4) D.(－2，3) 二、填空題 3.(★★★★)若f(x)為奇函數，且在(0，+∞)內是增函數，又f(－3)=0,則xf(x)<0的解集為_________.4.(★★★★)如果函數f(x)在R上為奇函數，在(－1，0)上是增函數，且f(x+2)=－f(x),試比較f(),f(),f(1)的大小關系_________.三、解答題 5.(★★★★★)已知f(x)是偶函數而且在(0，+∞)上是減函數，判斷f(x)在(－∞,0)上的增減性并加以證明.6.(★★★★)已知f(x)=(a∈R)是R上的奇函數，(1)求a的值； (2)求f(x)的反函數f－1(x); (3)對任意給定的k∈R+,解不等式f－1(x)>lg.7.(★★★★)定義在(－∞,4］上的減函數f(x)滿足f(m－sinx)≤f(－+cos2x)對任意x∈R都成立，求實數m的取值范圍.8.(★★★★★)已知函數y=f(x)=(a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函數，當x>0時，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)<.(1)試求函數f(x)的解析式； (2)問函數f(x)圖象上是否存在關于點(1，0)對稱的兩點，若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.參考答案 難點磁場 解：∵f(2)=0,∴原不等式可化為f［log2(x2+5x+4)］≥f(2).又∵f(x)為偶函數，且f(x)在(0，+∞)上為增函數，∴f(x)在(－∞,0）上為減函數且f(－2)=f(2)=0 ∴不等式可化為log2(x2+5x+4)≥2 ① 或log2(x2+5x+4)≤－2 ② 由①得x2+5x+4≥4 ∴x≤－5或x≥0 ③ 由②得0＜x2+5x+4≤得≤x＜－4或－1＜x≤ ④ 由③④得原不等式的解集為 {x|x≤－5或≤x≤－4或－1＜x≤或x≥0} 殲滅難點訓練 一、1.解析：f(7.5)=f(5.5+2)=－f(5.5)=－f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=－f(1.5)=－f(－0.5+2)= f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5.答案：B 2.解析：∵f(x)是定義在(－1，1）上的奇函數又是減函數，且f(a－3)+f(9－a2)＜0.∴f(a－3)＜f(a2－9).∴ ∴a∈(2,3).答案：A 二、3.解析：由題意可知：xf(x)＜0 ∴x∈(－3,0)∪(0,3) 答案：(－3，0）∪(0，3） 4.解析：∵f(x)為R上的奇函數 ∴f()=－f(－),f()=－f(－),f(1)=－f(－1),又f(x)在(－1，0)上是增函數且－> －>－1.∴f(－)>f(－)>f(－1),∴f()＜f()＜f(1).答案：f()＜f()＜f(1) 三、5.解：函數f(x)在(－∞,0）上是增函數，設x1＜x2＜0,因為f(x)是偶函數，所以 f(－x1)=f(x1),f(－x2)=f(x2),由假設可知－x1>－x2>0,又已知f(x)在(0，+∞)上是減函數，于是有f(－x1)＜f(－x2),即f(x1)＜f(x2),由此可知，函數f(x)在(－∞,0)上是增函數.6.解：(1）a=1.(2)f(x)=(x∈R)f－-1(x)=log2(－1＜x＜1.(3)由log2>log2log2(1－x)＜log2k,∴當0＜k＜2時，不等式解集為{x|1－k＜x＜1;當k≥2時，不等式解集為{x|－1＜x＜1.7.解：，對x∈R恒成立，∴m∈［,3］∪{}.8.解：(1)∵f(x)是奇函數，∴f(－x)=－f(x),即 ∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)=≥2，當且僅當x=時等號成立，于是2=2,∴a=b2,由f(1)＜得＜即＜,∴2b2－5b+2＜0,解得＜b＜2，又b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+.(2)設存在一點(x0,y0)在y=f(x)的圖象上，并且關于(1，0）的對稱點(2－x0,－y0)也在y=f(x)圖象上，則 消去y0得x02－2x0－1=0,x0=1±.∴y=f(x)圖象上存在兩點(1+,2),(1－,－2)關于(1，0)對稱.函數的單調性、奇偶性是高考的重點和熱點內容之一，特別是兩性質的應用更加突出.本節主要幫助考生學會怎樣利用兩性質解題，掌握基本方法，形成應用意識.●難點磁場 (★★★★★)已知偶函數f(x)在(0，+∞)上為增函數，且f(2)=0,解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0. ●案例探究 ［例1］已知奇函數f(x)是定義在(－3，3)上的減函數，且滿足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,設不等式解集為A，B=A∪{x|1≤x≤ },求函數g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值.命題意圖：本題屬于函數性質的綜合性題目，考生必須具有綜合運用知識分析和解決問題的能力，屬★★★★級題目.知識依托：主要依據函數的性質去解決問題.錯解分析：題目不等式中的“f”號如何去掉是難點，在求二次函數在給定區間上的最值問題時，學生容易漏掉定義域.技巧與方法：借助奇偶性脫去“f”號，轉化為xcos不等式，利用數形結合進行集合運算和求最值.解：由 且x≠0,故0 本難點所涉及的問題以及解決的方法主要有： (1)運用奇偶性和單調性去解決有關函數的綜合性題目.此類題目要求考生必須具有駕馭知識的能力，并具有綜合分析問題和解決問題的能力.(2)應用問題.在利用函數的奇偶性和單調性解決實際問題的過程中，往往還要用到等價轉化和數形結合的思想方法，把問題中較復雜、抽象的式子轉化為基本的簡單的式子去解決.特別是：往往利用函數的單調性求實際應用題中的最值問題.●殲滅難點訓練 一、選擇題 1.(★★★★)設f(x)是(－∞,+∞)上的奇函數，f(x+2)=－f(x),當0≤x≤1時，f(x)=x,則f(7.5)等于（）A.0.5 B.－0.5 C.1.5 D.－1.5 2.(★★★★)已知定義域為(－1，1)的奇函數y=f(x)又是減函數，且f(a－3)+f(9－a2)<0,則a的取值范圍是（）A.(2，3) B.(3，)C.(2，4) D.(－2，3) 二、填空題 3.(★★★★)若f(x)為奇函數，且在(0，+∞)內是增函數，又f(－3)=0,則xf(x)<0的解集為_________.4.(★★★★)如果函數f(x)在R上為奇函數，在(－1，0)上是增函數，且f(x+2)=－f(x),試比較f(),f(),f(1)的大小關系_________.三、解答題 5.(★★★★★)已知f(x)是偶函數而且在(0，+∞)上是減函數，判斷f(x)在(－∞,0)上的增減性并加以證明.6.(★★★★)已知f(x)=(a∈R)是R上的奇函數，(1)求a的值； (2)求f(x)的反函數f－1(x);(3)對任意給定的k∈R+,解不等式f－1(x)>lg.7.(★★★★)定義在(－∞,4］上的減函數f(x)滿足f(m－sinx)≤f(－ +cos2x)對任意x∈R都成立，求實數m的取值范圍.8.(★★★★★)已知函數y=f(x)=(a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函數，當x>0時，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)<.(1)試求函數f(x)的解析式； (2)問函數f(x)圖象上是否存在關于點(1，0)對稱的兩點，若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.參考答案 難點磁場 解：∵f(2)=0,∴原不等式可化為f［log2(x2+5x+4)］≥f(2).又∵f(x)為偶函數，且f(x)在(0，+∞)上為增函數，∴f(x)在(－∞,0）上為減函數且f(－2)=f(2)=0 ∴不等式可化為log2(x2+5x+4)≥2 ① 或log2(x2+5x+4)≤－2 ② 由①得x2+5x+4≥4 ∴x≤－5或x≥0 ③ 由②得0＜x2+5x+4≤ 得 ≤x＜－4或－1＜x≤ ④ 由③④得原不等式的解集為 {x|x≤－5或 ≤x≤－4或－1＜x≤ 或x≥0} 殲滅難點訓練 一、1.解析：f(7.5)=f(5.5+2)=－f(5.5)=－f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=－f(1.5)=－f(－0.5+2)= f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5.答案：B 2.解析：∵f(x)是定義在(－1，1）上的奇函數又是減函數，且f(a－3)+f(9－a2)＜0.∴f(a－3)＜f(a2－9).∴ ∴a∈(2 ,3).答案：A 二、3.解析：由題意可知：xf(x)＜0 ∴x∈(－3,0)∪(0,3)答案：(－3，0）∪(0，3）4.解析：∵f(x)為R上的奇函數 ∴f()=－f(－),f()=－f(－),f(1)=－f(－1),又f(x)在(－1，0)上是增函數且－ > － >－1.∴f(－)>f(－)>f(－1),∴f()＜f()＜f(1).答案：f()＜f()＜f(1) 三、5.解：函數f(x)在(－∞,0）上是增函數，設x1＜x2＜0,因為f(x)是偶函數，所以 f(－x1)=f(x1),f(－x2)=f(x2),由假設可知－x1>－x2>0,又已知f(x)在(0，+∞)上是減函數，于是有f(－x1)＜f(－x2),即f(x1)＜f(x2),由此可知，函數f(x)在(－∞,0)上是增函數.6.解：(1）a=1.(2)f(x)=(x∈R)f－-1(x)=log2(－1＜x＜1.(3)由log2 >log2 log2(1－x)＜log2k,∴當0＜k＜2時，不等式解集為{x|1－k＜x＜1;當k≥2時，不等式解集為{x|－1＜x＜1.7.解：，對x∈R恒成立，∴m∈［ ,3］∪{ }.8.解：(1)∵f(x)是奇函數，∴f(－x)=－f(x),即 ∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)= ≥2，當且僅當x= 時等號成立，于是2 =2,∴a=b2,由f(1)＜ 得 ＜ 即 ＜ ,∴2b2－5b+2＜0,解得 ＜b＜2，又b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+.(2)設存在一點(x0,y0)在y=f(x)的圖象上，并且關于(1，0）的對稱點(2－x0,－y0)也在y=f(x)圖象上，則 消去y0得x02－2x0－1=0,x0=1±.∴y=f(x)圖象上存在兩點(1+ ,2),(1－ ,－2)關于(1，0)對稱. 對數函數的單調性、奇偶性的運用 張軍麗 一、對數函數的單調性及其應用 利用函數的單調性可以：①比較大小；②解不等式；③判斷單調性；④求單調區間；⑤求值域和最值.要求同學們：一是牢固掌握對數函數的單調性；二是理解和掌握復合函數的單調性規律；三是樹立定義域優先的觀念.1.比較下列各組數中的兩個值大小： (1)log23.4，log28.5 (2)log0.31.8，log0.32.7 (3)loga5.1，loga5.9(a>0且a≠1) 思路點撥：由數形結合的方法或利用函數的單調性來完成.(1)解法1：畫出對數函數y=log2x的圖象，橫坐標為3.4的點在橫坐標為8.5的點的下方，所以，log23.4 解法2：由函數y=log2x在R+上是單調增函數，且3.4<8.5，所以log23.4 解法3：直接用計算器計算得：log23.4≈1.8，log28.5≈3.1，所以log23.4 (2)與第(1)小題類似，log0.3x在R+上是單調減函數，且1.8<2.7，所以log0.31.8>log0.32.7； (3)注：底數是常數，但要分類討論a的范圍，再由函數單調性判斷大小.解法1：當a>1時，y=logax在(0，+∞)上是增函數，且5.1<5.9，所以，loga5.1 當0 解法2：轉化為指數函數，再由指數函數的單調性判斷大小，令b1=loga5.1，則 所以，b1 所以，b1>b2，即舉一反三： 【變式1】（2011 天津理 7）已知 A． 解析：另 B．，C．，則（） D．，令b2=loga5.9，則 .當a>1時，y=ax在R上是增函數，且5.1<5.9 當0 又∵為單調遞增函數，∴ 2.證明函數 故選C.上是增函數.思路點撥：此題目的在于讓學生熟悉函數單調性證明通法，同時熟悉利用對函數單調性比較同底數對數大小的方法.證明：設 舉一反三： 【變式1】已知f(logax)=的單調性.解：設t=logax(x∈R+，t∈R).當a>1時，t=logax為增函數，若t1 則 又∵y=log2x在即f(x1) 上是增函數.上是增函數 ∴函數f(x)=log2(x2+1)在∵ 0 解：設t=-x2+2x+3，則t=-(x-1)2+4.∵ y=≤4，∴ y≥ =-2，即函數的值域為[-2，+∞.(-x2+2x+3)的定義域為-x2+2x+3>0，即 再由：函數y=-1 二、函數的奇偶性 4.判斷下列函數的奇偶性.(1) (2) .t(-x2+2x+3)的減區間為(-1，1)，增區間為[1，3.(1)思路點撥：首先要注意定義域的考查，然后嚴格按照證明奇偶性基本步驟進行.解：由 所以函數的定義域為：(-1，1)關于原點對稱 又 所以函數 是奇函數； 總結升華：此題確定定義域即解簡單分式不等式，函數解析式恒等變形需利用對數的運算性質.說明判斷對數形式的復合函數的奇偶性，不能輕易直接下結論，而應注意對數式的恒等變形.(2)解：由 以函數的定義域為R關于原點對稱 即f(-x)=-f(x)；所以函數 所 又 .總結升華：此題定義域的確定可能稍有困難，函數解析式的變形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.三、對數函數性質的綜合應用 5．已知函數f(x)=lg(ax2+2x+1).(1)若函數f(x)的定義域為R，求實數a的取值范圍；(2)若函數f(x)的值域為R，求實數a的取值范圍.思路點撥：與求函數定義域、值域的常規問題相比，本題屬非常規問題，關鍵在于轉化成常規問題.f(x)的定義域為R，即關于x的不等式ax2+2x+1>0的解集為R，這是不等式中的常規問題.f(x)的值域為R與ax2+2x+1恒為正值是不等價的，因為這里要求f(x)取遍一切實數，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正數，考察此函數的圖象的各種情況，如圖，我們會發現： 使u能取遍一切正數的條件是 .的解集為R，解：(1)f(x)的定義域為R，即：關于x的不等式ax2+2x+1>0 當a=0時，此不等式變為2x+1>0，其解集不是R； 當a≠0時，有∴ a的取值范圍為a>1.(2)f(x)的值域為R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正數 a>1.a=0或 0≤a≤1，∴ a的取值范圍為0≤a≤1.6．已知函數h(x)=2x(x∈R)，它的反函數記作g(x)，A、B、C三點在函數g(x)的圖象上，它們的橫坐標分別為a，a+4，a+8(a>1)，記ΔABC的面積為S.(1)求S=f(a)的表達式；(2)求函數f(a)的值域； (3)判斷函數S=f(a)的單調性，并予以證明；(4)若S>2，求a的取值范圍.解：(1)依題意有g(x)=log2x(x>0).并且 A、B、C三點的坐標分別為A(a，log2a)，B(a+4，log2(a+4))，C(a+8，log2(a+8))(a>1)，∴A，C中點D的縱坐標為〔log2a+log2(a+8)〕 ∴ S=|BD|·4·2=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8).(2)把S=f(a)變形得：S=f(a)=2〔2log2(a+4)-log2a-log2(a+8)〕=2log2=2log2(1+).，又函數y=log2x 由于a>1時，a2+8a>9，∴1<1+在(0，+∞)上是增函數，∴ 0<2log2(1+)<2log2，即0 (1+)-(1+)=16(+8a2>0，)=16·+8a1>0，a1-a2<0，由a1>1，a2>1，且a2>a1，∴ a1+a2+8>0，∴ 1<1+ <1+，再由函數y=log2x在(0，+∞)上是增函數，于是可得f(a1)>f(a2) ∴ S=f(a)在(1，+∞)上是減函數.(4)由S>2，即得，1 函數的單調性，函數的奇偶性，反函數 [本周教學重點] 掌握函數單調性的定義，會用定義法證明函數的單調性及其步驟。 (1)設x1，x2是定義域上的任意兩個值，且x1 (2)作差f(x1)-f(x2)并將其變形為可判斷符號的形式； (3)判斷f(x1)-f(x2)的正、負； (4)結論 理解函數奇偶性的定義及奇、偶函數定理，能判斷、證明一些簡單函數的奇偶性，會利用函數奇偶性求解有關函數問題。 (1)函數的定義域在數軸上關于原點對稱，是函數具有奇偶性的必要條件。 (2)f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0f(x)是奇函數。 f(x)=f(-x)f(-x)-f(x)=0f(x)是偶函數。 由f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是側重于函數解析式的變形去證明f(x)的奇偶性；而f(-x)+f(x)=0或f(-x)-f(x)=0是通過運算去證明f(x)的奇偶性，兩種定義形式各具不同優勢。 (3)若f(x)是奇函數且允許x=0，則f(0)=0，即f(x)的圖象過原點。 (4)若f(x)既是奇函數，又是偶函數，則f(x)=0。 (5)同為奇函數，同為偶函數的兩個函數之積是偶函數；一奇一偶兩個函數之積是奇函數。 (6)定義在R上的任意一個函數f(x)都可表示為一個奇函數g(x)與一個偶函數h(x)的和。 即f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)=[f(x)-f(-x)]，h(x)= [f(x)+f(-x)]。 理解反函數的概念，掌握求反函數的方法步驟。 (1)由原函數y=f(x)求出它的值域； (2)由原函數y=f(x)反解出x=f- 1(y)； (3)交換x，y改寫成y=f-1(x)； (4)用f(x)的值域確定f-1(x)的定義域。 [例題分析] 例1．證明函數f(x)= 在定義域上的單調性。 [分析與解答] 函數的單調性必須在定義域內進行考查。由x2+x≥0得f(x)定義域為(-∞，-1][0，+∞)。 函數定義域不是一個連續的區間，應分別考查在每一個區間上的單調性，用定義法證明時，只需任取x1 任取x1 == 當-∞ ∴ f(x1)-f(x2)>0，∴ f(x)是(-∞，-1]上的單調遞減函數。 當0≤x1 >0。 ∴ f(x1)-f(x2)<0，∴ f(x)是[0，+∞)上的單調遞增函數。 例2．函數f(x)是[0，+∞)上的單調遞減函數，f(x)≠0且f(2)=1，證明函數F(x)=f(x)+在[0，2]上的單調性。 [分析與解答]函數f(x)沒有給出解析式，因此對F(x)的函數值作差后，需由f(x)的單調性，確定作差后的符號。任取0≤x1 由F(x1)-F(x2)=f(x1)+-f(x2)-=f(x1)-f(x2)+ =[f(x1)-f(x2)]·[1-] ∵ 0≤x1 ∴ f(x1)-f(x2)>0，f(x1)·f(x2)>1，<1，1->0，∴ F(x1)-F(x2)>0，F(x)是[0，2]上的單調遞減函數。 例3．證明函數f(x)=的奇偶性。 [分析與解答] 函數的奇偶性必須在其定義域內考查。 由 函數f(x)定義域為[-1，0)(0，1]。 ∴ |x+3|-3=x+3-3=x。即f(x)=，由f(-x)= =-f(x)，∴ f(x)是奇函數。 例4．設f(x)是定義在R上的函數，對任意x1，x2∈R，恒有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，且f(x)不恒為0，證明 f(x)的奇偶性。 [分析與解答] 函數f(x)沒有給出解析式，這就必須從定義域，法則，及f(x)不恒為0去分析，完成奇偶性的證明。由f(x)定義域為R，顯然允許x=0，所以f(0)=0是f(x)的奇函數的必要條件。 令x1=x2=0，由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)得f(0+0)=f(0)+f(0)，整理得f(0)=0，對任意x∈R，由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)知f(-x)+f(x)=f(-x+x)=f(0)=0，∴ f(-x)=-f(x)，∵ f(x)不恒為0，∴f(x)不可能既是奇函數又是偶函數，所以f(x)是R上的奇函數。 例5．已知函數f(x)=(a，b，c∈Z)是奇函數，且f(1)=2，f(2)<3。 (1)求a，b，c的值；(2)用定義法證明f(x)在(0，1)上的單調性。 [分析與解答](1)∵ f(x)是奇函數，∴f(-x)=-f(x)，即 =-，解出c=0，∴ f(x)=，∵ f(1)=2，∴ =2，∴ 2b=a+1。 ∵ f(2)＜3，∴<3。將2b=a+1代入，∴ <3，解出-1 (2)f(x)==x+。任取0 f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=(x1-x2)(1-) ∵ 0 例6．證明函數f(x)= (x≠)的圖象關于直線y=x對稱。 [分析與解答] 由反函數定理可知，當兩個函數互為反函數時，它們的圖象關于直線y=x對稱，所以要證明 f(x)=(x≠)的圖象關于直線y=x對稱，只需證明f(x)的反函數是其自身即可。 ∴ f(x)的值域為{y|y≠，y∈R}。 由y=，∴ ayx-y=x-1，(ay-1)x=y-1。 ∵ y≠，∴ ay-1≠0，x=，即f-1(x)= (x≠)，顯然f(x)與f-1(x)是同一函數，所求f(x)的圖象關于直線y=x對稱。 [參考練習] 1．設f(x)是定義在R上的任意一個增函數，F(x)=f(x)-f(-x)必是（）。 A、增函數且是奇函數 B、增函數且是偶函數 C、減函數且是奇函數 D、減函數且是偶函數 2．已知y=f(x)是R上的奇函數，當x≥0時，f(x)=x2-2x，則f(x)在R上的表達式是（）。 A、y=x(x-2)B、y=x(|x|-1)C、y=|x|·(x-2)D、y=x(|x|-2) 3．若點(1，2)在函數y=的圖象上，又在它的反函數的圖象上，則（）。 A、a=3，b=-7 B、a=3，b=7 C、a=-3，b=-7 D、a=-3，b=7 4．函數f(x)是定義在[-6，6]上的偶函數，且在[-6，0]上是減函數，則（）。 A、f(3)+f(4)>0 B、f(-3)-f(2)<0 C、f(-2)+f(-5)<0 D、f(4)-f(-1)>0 5．設f(x)是定義在(-1，1)上的奇函數且是單調減函數，求解關于x的不等式f(1-x)+f(1-x2)<0的解集。 [參考答案]： 1.A 2.D 3.D 4.D 5.由f(1-x)+f(1-x2)<0，∴ f(1-x)<-f(1-x2)，∵ f(x)是(-1，1)上的奇函數，∴ f(1-x) {x|0 函數的單調性和奇偶性 一、目標認知 學習目標： 1.理解函數的單調性、奇偶性定義； 2.會判斷函數的單調區間、證明函數在給定區間上的單調性； 3.會利用圖象和定義判斷函數的奇偶性； 4.掌握利用函數性質在解決有關綜合問題方面的應用.重點、難點： 1.對于函數單調性的理解； 2.函數性質的應用.二、知識要點梳理 1.函數的單調性 (1)增函數、減函數的概念 一般地，設函數f(x)的定義域為A，區間 如果對于M內的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，那么就說f(x)在區間M上是增函數； 如果對于M內的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)，那么就說f(x)在區間M上是減函數.如果函數f(x)在區間M上是增函數或減函數，那么就說函數f(x)在區間M上具有單調性，M稱為函數f(x)的單調區間.要點詮釋： [1]“任意”和“都”； [2]單調區間與定義域的關系----局部性質； [3]單調性是通過函數值變化與自變量的變化方向是否一致來描述函數性質的； [4]不能隨意合并兩個單調區間.(2)已知解析式，如何判斷一個函數在所給區間上的單調性？ 基本方法：觀察圖形或依據定義.2.函數的奇偶性 偶函數：若對于定義域內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)稱為偶函數.奇函數：若對于定義域內的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)稱為奇函數.要點詮釋： [1]奇偶性是整體性質； [2]x在定義域中，那么-x在定義域中嗎？----具有奇偶性的函數，其定義域必定是關于原點對稱的； [3]f(-x)=f(x)的等價形式為：，f(-x)=-f(x)的等價形式為：； [4]由定義不難得出若一個函數是奇函數且在原點有定義，則必有f(0)=0； [5]若f(x)既是奇函數又是偶函數，則必有f(x)=0； [6]，.三、規律方法指導 1.證明函數單調性的步驟： (1)取值.設是 定義域內一個區間上的任意兩個量，且 ； (2)變形.作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形； (3)定號.判斷差的正負或商與1的大小關系； (4)得出結論.2.函數單調性的判斷方法： (1)定義法； (2)圖象法； (3)對于復合函數在區間 或者，若 在區間上是單調函數；若 為增函數；若 上是單調函數，則 與與單調性相同（同時為增或同時為減），則單調性相反，則 為減函數.3.常見結論: (1)若 (2)若是增函數，則和 為減函數；若 和 是減函數，則 為增函數； 均為增（或減）函數，則在的公共定義域上為增（或減)函數； (3)若且為增函數，則函數為增函數，為減函數； 若 (4)若奇函數數，且有最小值 且在為減函數，則函數為減函數，則 在為增函數.在是增函是增函數.上是增函數，且有最大值 在；若偶函數是減函數，則 經典例題透析 類型 一、函數的單調性的證明 1.證明函數上的單調性.證明： 總結升華： [1]證明函數單調性要求使用定義； [2]如何比較兩個量的大小？(作差) [3]如何判斷一個式子的符號？(對差適當變形) 舉一反三： 【變式1】用定義證明函數 總結升華：可以用同樣的方法證明此函數在上是減函數.上是增函數；在今后的學習中經常會碰到這個函數，在此可以嘗試利用函數的單調性大致給出函數的圖象.類型 二、求函數的單調區間 2.判斷下列函數的單調區間； (1)y=x2-3|x|+2；(2) 舉一反三： 【變式1】求下列函數的單調區間： (1)y=|x+1|；(2) 總結升華： [1]數形結合利用圖象判斷函數單調區間； [2]關于二次函數單調區間問題，單調性變化的點與對稱軸相關.[3]復合函數的單調性分析：先求函數的定義域；再將復合函數分解為內、外層函數；利用已知函數的單調性解決.關注：內外層函數同向變化復合函數為增函數；內外層函數反向變化復合函數為減函數.類型 三、單調性的應用(比較函數值的大小，求函數值域，求函數的最大值或最小值) 3.已知函數f(x)在(0，+∞)上是減函數，比較f(a2-a+1)與 的大小.4.求下列函數值域： (1)； 1)x∈[5，10]； 2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x2-2x+3； 1)x∈[-1，1]； 2)x∈[-2，2].舉一反三： 【變式1】已知函數.(1)判斷函數f(x)的單調區間； (2)當x∈[1，3]時，求函數f(x)的值域.思路點撥：這個函數直接觀察恐怕不容易看出它的單調區間，但對解析式稍作處理，即可得到我們相對熟悉的形式.域.，第二問即是利用單調性求函數值 5.已知二次函數f(x)=x2-(a-1)x+5在區間 上是增函數，求：(1)實數a的取值范圍；(2)f(2)的取值范圍.類型 四、判斷函數的奇偶性 6.判斷下列函數的奇偶性： (1) (2) (3)f(x)=x2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5) (6) (7) 思路點撥：根據函數的奇偶性的定義進行判斷.舉一反三： 【變式1】判斷下列函數的奇偶性： (1)； (2)f(x)=|x+1|-|x-1|； (3)f(x)=x2+x+1； (4).思路點撥：利用函數奇偶性的定義進行判斷.舉一反三： 【變式2】已知f(x)，g(x)均為奇函數，且定義域相同，求證：f(x)+g(x)為奇函數，f(x)·g(x)為偶函數.類型 五、函數奇偶性的應用(求值，求解析式，與單調性結合) 7.已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).8.f(x)是定義在R上的奇函數，且當x＜0時，f(x)=x2-x，求當x≥0時，f(x)的解析式，并畫出函數圖象.6 9.設定義在[-3，3]上的偶函數f(x)在[0，3]上是單調遞增，當f(a-1)＜f(a)時，求a的取值范圍.類型 六、綜合問題 10.定義在R上的奇函數f(x)為增函數，偶函數g(x)在區間的圖象重合，設a＞b＞0，給出下列不等式，其中成立的是_________.①f(b)-f(-a)＞g(a)-g(-b)； ②f(b)-f(-a)＜g(a)-g(-b)； ③f(a)-f(-b)＞g(b)-g(-a)； ④f(a)-f(-b)＜g(b)-g(-a).(1)11.求下列函數的值域： (2) (3)的圖象與f(x) 思路點撥：(1)中函數為二次函數開方，可先求出二次函數值域；(2)由單調性求值域，此題也可換元解決；(3)單調性無法確定，經換元后將之轉化為熟悉二次函數情形，問題得到解決，需注意此時t范圍.解： 12.已知函數f(x)=x2-2ax+a2-1.(1)若函數f(x)在區間[0，2]上是單調的，求實數a的取值范圍； (2)當x∈[-1，1]時，求函數f(x)的最小值g(a)，并畫出最小值函數y=g(a)的圖象.7 13.已知函數f(x)在定義域(0，+∞)上為增函數，f(2)=1，且定義域上任意x、y都滿足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)≤3.證明： 14.判斷函數上的單調性，并證明.15.設a為實數，函數f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，試討論f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.解： 學習成果測評 基礎達標 一、選擇題 1．下面說法正確的選項() A．函數的單調區間就是函數的定義域 B．函數的多個單調增區間的并集也是其單調增區間 C．具有奇偶性的函數的定義域定關于原點對稱 D．關于原點對稱的圖象一定是奇函數的圖象 2．在區間上為增函數的是() A． C． B． D． 3．已知函數 A.B.4．若偶函數在上是增函數，則下列關系式中成立的是() C.D.為偶函數，則的值是() A． B． C． 5．如果奇函數是() A．增函數且最小值是 C．減函數且最大值是 6．設是定義在在區間 D． 上是增函數且最大值為，那么 在區間 上 B．增函數且最大值是 D．減函數且最小值是 上的一個函數，則函數，在上一定是() A．奇函數 B．偶函數 C．既是奇函數又是偶函數 D．非奇非偶函數.7．下列函數中，在區間 上是增函數的是() A． B． C． D． 8．函數f(x)是定義在[-6，6]上的偶函數，且在[-6，0]上是減函數，則() A.f(3)+f(4)＞0 B.f(-3)-f(2)＜0 C.f(-2)+f(-5)＜0 D.f(4)-f(-1)＞0 二、填空題 1．設奇函數的定義域為，若當的解是____________.時，的圖象 如右圖，則不等式 2．函數 3．已知 4．若函數____________.5．函數____________.三、解答題 的值域是____________.，則函數的值域是____________.是偶函數，則的遞減區間是在R上為奇函數，且，則當，1．判斷一次函數 2．已知函數(2)在定義域上 反比例函數，二次函數的單調性.的定義域為，且同時滿足下列條件：(1)是奇函數； 單調遞減；(3) 3．利用函數的單調性求函數 4．已知函數 ① 當 求的取值范圍.的值域； .時，求函數的最大值和最小值； 在區間 上是單調函數.② 求實數的取值范圍，使能力提升 一、選擇題 1．下列判斷正確的是() A．函數數 C．函數函數 2．若函數 A． C． 3．函數 A． C． 4．已知函數圍是() A． B． 是奇函數 B．函數是偶函 是非奇非偶函數 D．函數既是奇函數又是偶 在上是單調函數，則的取值范圍是() B． D．的值域為() B． D． 在區間上是減函數，則實數的取值范 C． D． 5．下列四個命題：(1)函數增函數；(2)若 函數的遞增區間為正確命題的個數是() 在時是增函數，與；(4) 也是增函數，所以 且 是；(3) 軸沒有交點，則 和 表示相等函數.其中 A． B． C． D． 6．定義在R上的偶函數則() A． C． 二、填空題 1．函數 2．已知定義在______.上的奇函數，滿足，且在區間上為遞增，B． D．的單調遞減區間是____________________.，當時，那么時，3．若函數 4．奇函數 則 5．若函數 三、解答題 1．判斷下列函數的奇偶性 在區間 在上是奇函數，則的解析式為________.上是增函數，在區間__________.上的最大值為8，最小值為-1，在上是減函數，則的取值范圍為__________.(1) (2) 2．已知函數且當時，的定義域為，且對任意 是，都有 上的減函數；(2)函數，恒成立，證明：(1)函數是奇函數.3．設函數與的定義域是 且，是偶函數，是奇函數，且 4．設為實數，函數 (1)討論 ，求和的解析式.，的最小值..的奇偶性；(2)求綜合探究 1．已知函數，的奇偶性依次為() A．偶函數，奇函數 B．奇函數，偶函數 C．偶函數，偶函數 D．奇函數，奇函數 2．若是偶函數，其定義域為，且在，則 上是減函數，則的大小關系是() A．＞ B．＜ C． D． 3．已知_____.，那么＝ 4．若 在區間上是增函數，則的取值范圍是________.5．已知函數果對于 6．當 7．已知 的定義域是，且滿足，(1)求 ；(2)解不等式，如 .，都有時，求函數的最小值.在區間內有一最大值，求的值.8．已知函數的值..的最大值不大于，又當，求 14第三篇：對數函數的單調性、奇偶性的運用
第四篇：7函數的單調性函數的奇偶性反函數 教案
第五篇：函數的單調性和奇偶性教案!(學生版)
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