第一篇：4.高一數學(人教新課標A版)函數的單調性和奇偶性教案!

函數的單調性和奇偶性

一、目標認知 學習目標：

1.理解函數的單調性、奇偶性定義；

2.會判斷函數的單調區間、證明函數在給定區間上的單調性； 3.會利用圖象和定義判斷函數的奇偶性；

4.掌握利用函數性質在解決有關綜合問題方面的應用.重點、難點：

1.對于函數單調性的理解；

2.函數性質的應用.二、知識要點梳理 1.函數的單調性

(1)增函數、減函數的概念

一般地，設函數f(x)的定義域為A，區間

如果對于M內的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，那么就說f(x)在區間M上是增函數；

如果對于M內的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)，那么就說f(x)在區間M上是減函數.如果函數f(x)在區間M上是增函數或減函數，那么就說函數f(x)在區間M上具有單調性，M稱為函數f(x)的單調區間.要點詮釋：

[1]“任意”和“都”；

[2]單調區間與定義域的關系----局部性質；

[3]單調性是通過函數值變化與自變量的變化方向是否一致來描述函數性質的；

[4]不能隨意合并兩個單調區間.(2)已知解析式，如何判斷一個函數在所給區間上的單調性？

基本方法：觀察圖形或依據定義.2.函數的奇偶性

偶函數：若對于定義域內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)稱為偶函數.奇函數：若對于定義域內的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)稱為奇函數.要點詮釋：

[1]奇偶性是整體性質；

[2]x在定義域中，那么-x在定義域中嗎？----具有奇偶性的函數，其定義域必定是關于原點對稱的；

[3]f(-x)=f(x)的等價形式為：，f(-x)=-f(x)的等價形式為：；

[4]由定義不難得出若一個函數是奇函數且在原點有定義，則必有f(0)=0；

[5]若f(x)既是奇函數又是偶函數，則必有f(x)=0；

[6]，.三、規律方法指導

1.證明函數單調性的步驟：

(1)取值.設是

定義域內一個區間上的任意兩個量，且

；

(2)變形.作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；

(3)定號.判斷差的正負或商與1的大小關系；

(4)得出結論.2.函數單調性的判斷方法：

(1)定義法；

(2)圖象法；

(3)對于復合函數在區間

同（同時為增或

同時為減），則為

減函數.為增函數；若

與

單調性相反，則或者

上是單調函數；若

與

單調性相，若

在區間

上是單調函數，則3.常見結論:

(1)若

(2)若是增函數，則和

為減函數；若

和

是減函數，則

為增函數；

均為增（或減）函數，則在的公共定義域上為增（或減)

函數；

(3)若且為增函數，則函數為增函數，為減函數；

若且為減函數，則函數為減函數，為增函數.(4)若奇函數數，且有最小值

在上是增函數，且有最大值，則在是增函；若偶函數在是減函數，則在是增函數.經典例題透析

類型

一、函數的單調性的證明

1.證明函數上的單調性.證明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1＞0

則

∵x1＞0，x2＞0，∴

∴上式＜0，∴△y=f(x2)-f(x1)＜0

∴

上遞減.總結升華：

[1]證明函數單調性要求使用定義； [2]如何比較兩個量的大小？(作差)[3]如何判斷一個式子的符號？(對差適當變形)舉一反三：

【變式1】用定義證明函數上是減函數.思路點撥：本題考查對單調性定義的理解，在現階段，定義是證明單調性的唯一途徑.證明：設x1，x2是區間

上的任意實數，且x1＜x2，則

∵0＜x1＜x2≤1 ∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜1

∵0＜x1x2＜1

故

∴x1＜x2時有f(x1)＞f(x2)，即f(x1)-f(x2)＞0

上是減函數.上是增函數；在今后的學習中經常

總結升華：可以用同樣的方法證明此函數在會碰到這個函數，在此可以嘗試利用函數的單調性大致給出函數的圖象.類型

二、求函數的單調區間

2.判斷下列函數的單調區間；

(1)y=x2-3|x|+2；(2)

解：(1)由圖象對稱性，畫出草圖

∴f(x)在增.上遞減，在上遞減，在上遞

(2)

∴圖象為

∴f(x)在

舉一反三：

【變式1】求下列函數的單調區間：

上遞增.(1)y=|x+1|；(2)

(3).解：(1)

∴函數的減區間為

畫出函數圖象，函數的增區間為(-1，+∞)；

(2)定義域為，其中u=2x-1為增函數，在(-∞，0)與(0，+∞)為減函數，則上為減函數；

(3)定義域為(-∞，0)∪(0，+∞)，單調增區間為：(-∞，0)，單調減區間為(0，+∞).總結升華：

[1]數形結合利用圖象判斷函數單調區間；

[2]關于二次函數單調區間問題，單調性變化的點與對稱軸相關.[3]復合函數的單調性分析：先求函數的定義域；再將復合函數分解為內、外層函數；利用已知函數的單調性解決.關注：內外層函數同向變化復合函數為增函數；內外層函數反向變化復合函數為減函數.類型

三、單調性的應用(比較函數值的大小，求函數值域，求函數的最大值或最小值)3.已知函數f(x)在(0，+∞)上是減函數，比較f(a2-a+1)與的大小.解：

又f(x)在(0，+∞)上是減函數，則

4.求下列函數值域：

.(1)； 1)x∈[5，10]； 2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；

(2)y=x2-2x+3；

1)x∈[-1，1]； 2)x∈[-2，2].思路點撥：(1)可應用函數的單調性；(2)數形結合.解：(1)位得到，如圖

2個單位，再上移2個單

1)f(x)在[5，10]上單增，；

2)

(2)畫出草圖

；

1)y∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]；

2)

舉一反三：

.【變式1】已知函數.(1)判斷函數f(x)的單調區間；

(2)當x∈[1，3]時，求函數f(x)的值域.思路點撥：這個函數直接觀察恐怕不容易看出它的單調區間，但對解析式稍作處理，即可得到我們相對熟悉的形式.域.，第二問即是利用單調性求函數值

解：(1)

上單調遞增，在上單調遞增；

(2)故函數f(x)在[1，3]上單調遞增

∴x=1時f(x)有最小值，f(1)=-2

x=3時f(x)有最大值

∴x∈[1，3]時f(x)的值域為

.5.已知二次函數f(x)=x2-(a-1)x+5在區間

上是增函數，求：(1)實數a的取值范圍；(2)f(2)的取值范圍.解：(1)∵對稱軸是決定f(x)單調性的關鍵，聯系圖象可知

只需；

(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2，∴-2a≥-4

∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7

.類型

四、判斷函數的奇偶性

6.判斷下列函數的奇偶性：

(1)

(2)

(3)f(x)=x2-4|x|+3

(4)f(x)=|x+3|-|x-3|

(5)

(6)

(7)

思路點撥：根據函數的奇偶性的定義進行判斷.解：(1)∵f(x)的定義域為

(2)∵x-1≥0，∴f(x)定義域，不關于原點對稱，因此f(x)為非奇非偶函數；

不關于原點對稱，∴f(x)為非奇非偶函數；

(3)對任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，則f(x)=x2-4|x|+3為偶函數 ；

(4)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)為奇函數；

(5)

，∴f(x)為奇函數；

(6)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)為奇函數；

(7)

舉一反三：

【變式1】判斷下列函數的奇偶性：

(1)，∴f(x)為奇函數.；

(2)f(x)=|x+1|-|x-1|；

(3)f(x)=x2+x+1；

(4).思路點撥：利用函數奇偶性的定義進行判斷.解：(1)

；

(2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x)∴f(x)為奇函數；

(3)f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1

∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x)∴f(x)為非奇非偶函數；

(4)任取x＞0則-x＜0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)

任取x＜0，則-x＞0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)

x=0時，f(0)=-f(0)∴x∈R時，f(-x)=-f(x)∴f(x)為奇函數.舉一反三：

【變式2】已知f(x)，g(x)均為奇函數，且定義域相同，求證：f(x)+g(x)為奇函數，f(x)·g(x)為偶函數.證明：設F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)則

F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)

G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)

∴f(x)+g(x)為奇函數，f(x)·g(x)為偶函數.類型

五、函數奇偶性的應用(求值，求解析式，與單調性結合)

7.已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).解：法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10

∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26

法二：令g(x)=f(x)+8易證g(x)為奇函數

∴g(-2)=-g(2)∴f(-2)+8=-f(2)-8

∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.8.f(x)是定義在R上的奇函數，且當x＜0時，f(x)=x2-x，求當x≥0時，f(x)的解析式，并畫出函數圖象.解：∵奇函數圖象關于原點對稱，∴x＞0時，-y=(-x)2-(-x)

即y=-x2-x又f(0)=0，如圖

9.設定義在[-3，3]上的偶函數f(x)在[0，3]上是單調遞增，當f(a-1)＜f(a)時，求a的取值范圍.解：∵f(a-1)＜f(a)∴f(|a-1|)＜f(|a|)

而|a-1|，|a|∈[0，3]

.類型

六、綜合問題

10.定義在R上的奇函數f(x)為增函數，偶函數g(x)在區間的圖象重合，設a＞b＞0，給出下列不等式，其中成立的是_________.①f(b)-f(-a)＞g(a)-g(-b)；

②f(b)-f(-a)＜g(a)-g(-b)；

③f(a)-f(-b)＞g(b)-g(-a)；

④f(a)-f(-b)＜g(b)-g(-a).答案：①③.(1)11.求下列函數的值域：

(2)

(3)的圖象與f(x)

思路點撥：(1)中函數為二次函數開方，可先求出二次函數值域；(2)由單調性求值域，此題也可換元解決；(3)單調性無法確定，經換元后將之轉化為熟悉二次函數情形，問題得到解決，需注意此時t范圍.解：(1)

；

(2)經觀察知，；

(3)

令

.12.已知函數f(x)=x2-2ax+a2-1.(1)若函數f(x)在區間[0，2]上是單調的，求實數a的取值范圍；

(2)當x∈[-1，1]時，求函數f(x)的最小值g(a)，并畫出最小值函數y=g(a)的圖象.解：(1)∵f(x)=(x-a)2-1 ∴a≤0或a≥2

(2)1°當a＜-1時，如圖1，g(a)=f(-1)=a2+2a

2°當-1≤a≤1時，如圖2，g(a)=f(a)=-1

3°當a＞1時，如圖3，g(a)=f(1)=a2-2a

，如圖

13.已知函數f(x)在定義域(0，+∞)上為增函數，f(2)=1，且定義域上任意x、y都滿足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)≤3.解：令x=2，y=2，∴f(2×2)=f(2)+f(2)=2 ∴f(4)=2

再令x=4，y=2，∴f(4×2)=f(4)+f(2)=2+1=3 ∴f(8)=3

∴f(x)+f(x-2)≤3可轉化為：f[x(x-2)]≤f(8)

.14.判斷函數上的單調性，并證明.證明：任取0＜x1＜x2，∵0＜x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1·x2＞0

(1)當

時

0＜x1·x2＜1，∴x1·x2-1＜0

∴f(x1)-f(x2)＞0即f(x1)＞f(x2)

(2)當x1，x2∈(1，+∞)時，上是減函數.上是增函數.難點：x1·x2-1的符號的確定，如何分段.15.設a為實數，函數f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，試討論f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.解：當a=0時，f(x)=x2+|x|+1，此時函數為偶函數；

當a≠0時，f(x)=x2+|x-a|+1，為非奇非偶函數.(1)當x≥a時，[1]

且

[2]

上單調遞增，上的最小值為f(a)=a2+1.(2)當x＜a時，[1]

上單調遞減，上的最小值為f(a)=a2+1

[2]上的最小值為

綜上：

.學習成果測評 基礎達標

一、選擇題

1．下面說法正確的選項()A．函數的單調區間就是函數的定義域

B．函數的多個單調增區間的并集也是其單調增區間 C．具有奇偶性的函數的定義域定關于原點對稱 D．關于原點對稱的圖象一定是奇函數的圖象

2．在區間上為增函數的是()

A．

C．

B．

D．

3．已知函數

A.B.4．若偶函數在 C.D.為偶函數，則的值是()

上是增函數，則下列關系式中成立的是()

A．

B．

C．

5．如果奇函數上是()

A．增函數且最小值是

C．減函數且最大值是

6．設是定義在在區間

D．

上是增函數且最大值為，那么在區間

B．增函數且最大值是

D．減函數且最小值是

上的一個函數，則函數，在上一定是()

A．奇函數

B．偶函數

C．既是奇函數又是偶函數

D．非奇非偶函數.7．下列函數中，在區間

上是增函數的是()

A．

B．

C．

D．

8．函數f(x)是定義在[-6，6]上的偶函數，且在[-6，0]上是減函數，則()

A.f(3)+f(4)＞0

B.f(-3)-f(2)＜0

C.f(-2)+f(-5)＜0

D.f(4)-f(-1)＞0

二、填空題

1．設奇函數的定義域為，若當的解是____________.時，的圖象

如右圖，則不等式

2．函數

3．已知

4．若函數____________.5．函數____________.三、解答題，則函數的值域是____________.的值域是____________.是偶函數，則的遞減區間是在R上為奇函數，且，則當，1．判斷一次函數

2．已知函數(2)在定義域上

反比例函數，二次函數的單調性.的定義域為，且同時滿足下列條件：(1)是奇函數；

單調遞減；(3)

3．利用函數的單調性求函數

4．已知函數

求的取值范圍.的值域；

.① 當時，求函數的最大值和最小值；

在區間

上是單調函數.② 求實數的取值范圍，使

能力提升

一、選擇題

1．下列判斷正確的是()

A．函數數

C．函數函數

2．若函數

A．

C．

3．函數

A．

C．

4．已知函數圍是()

A．

B．

是奇函數

B．函數是偶函

是非奇非偶函數

D．函數既是奇函數又是偶

在上是單調函數，則的取值范圍是()

B．

D．的值域為()

B．

D．

在區間上是減函數，則實數的取值范

C．

D．

5．下列四個命題：(1)函數增函數；(2)若

函數的遞增區間

在時是增函數，也是增函數，所以是

與軸沒有交點，則且；(3)

為；(4)和表示相等函數.其中正確命題的個數是()

A．

B．

C．

D．

6．定義在R上的偶函數則()

A．

C．

二、填空題

1．函數

2．已知定義在______.上的奇函數，當

時，那么

時，的單調遞減區間是____________________.B．

D．，滿足，且在區間

上為遞增，3．若函數

4．奇函數

則

5．若函數

三、解答題

1．判斷下列函數的奇偶性 在區間

在上是奇函數，則的解析式為________.上是增函數，在區間__________.上的最大值為8，最小值為-1，在上是減函數，則的取值范圍為__________.(1)

2．已知函數且當時，(2)的定義域為，且對任意

是，都有

上的減函數；(2)函數，恒成立，證明：(1)函數是奇函數.3．設函數與的定義域是

且，是偶函數，是奇函數，且

4．設為實數，函數

(1)討論，求和的解析式.，的最小值..的奇偶性；(2)求綜合探究

1．已知函數，的奇偶性依次

為()

A．偶函數，奇函數

B．奇函數，偶函數

C．偶函數，偶函數

D．奇函數，奇函數

2．若是偶函數，其定義域為，且在，則

上是減函數，則的

大小關系是()

A．＞

B．＜

C．

D．

3．已知_____.，那么＝

4．若

在區間上是增函數，則的取值范圍是________.5．已知函數果對于

6．當

7．已知 的定義域是，且滿足，(1)求

；(2)解不等式，如

.，都有時，求函數的最小值.在區間內有一最大值，求的值.8．已知函數的值.的最大值不大于，又當，求答案與解析 基礎達標

一、選擇題

1.C.2.B.3.B.奇次項系數為

4.D.5.A.奇函數關于原點對稱，左右兩邊有相同的單調性

6.A.7.A.8.D.二、填空題

1.2.3.值最大

4...在上遞減，在上遞減，在上遞減

.奇函數關于原點對稱，補足左邊的圖象

是的增函數，當

時，.該函數為增函數，自變量最小時，函數值最小；自變量最大時，函數

5.三、解答題

1．解：當.，在是增函數，當，在是減函數；

當，在是減函數，當，在是增函數；

當，在是減函數，在是增函數，當，在是增函數，在是減函數.2．解：，則，3．解：，顯然是的增函數，4．

解

：

對稱軸

∴

(2)對稱軸

∴

或

當.或

時，在上單調

能力提升

一、選擇題

1.C.選項A中的 而

而有意義，非關于原點對稱，選項B中的

有意義，非關于原點對稱，選項D中的函數僅為偶函數；

2.C.對稱軸，則，或，得，或

3.B.4.A.對稱軸，是的減函數，當

5.A.(1)反例；(2)不一定

和，開口向下也可；(3)畫出圖象 ；(4)對應法則不同

可知，遞增區間有

6.A.二、填空題

1．2.∵.設

.畫出圖象，則∴，，3..∵∴

即

4..在區間

上也為遞增函數，即

5.三、解答題..1．解：(1)定義域為，則，∵

(2)∵

2．證明：(1)設

∴

∴函數

(2)由

即

∴

3．解：∵是偶函數，則

∴且

為奇函數.∴

既是奇函數又是偶函數.，而

是上的減函數;

得，而

是奇函數.，即函數

是奇函數，∴，且

而，得，即，∴

4．解：(1)當

當時，時，.為偶函數，為非奇非偶函數；

(2)當時，當時，當時，不存在；

當時，當時，當

時，.綜合探究

1.D.畫出

則

當

時，則的圖象可觀察到它關于原點對稱或當，時，2.C.，3..，4..設則，而

，則

5.解：(1)令，則

(2)

，則

6.解：對稱軸

.當，即時，是的遞增區間，；

當，即；

時，是的遞減區間，當，即時，.7．解：對稱軸

則，當即時，得

是或的遞減區間，而，即

；

當即，時，是的遞增區間，則

得或，而，即不存在；當即時，則，即；∴或.8．解：，對稱軸，當時，是的遞減區間，而，即與矛盾，即不存在；

當時，對稱軸，而，且

即

∴.，而，即

第二篇：單調性奇偶性教案

函數性質

一、單調性

1.定義：一般地，設函數f(x)的定義域為I:如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1,x2，當x1?x2時，若都有f(x1)?f(x2)，那么就說函數在．．區間D上單調遞增，若都有f(x1)?f(x2)，那么就說函數在區間D上單調遞減。例1.證明f?x??x?1在?1,???上單調遞增 x

總結：

1）用定義證明單調性的步驟：取值----作差----變形-----定號-----判斷 2）增+增=增

減+減=減

-增=減

1/增=減 3）一次函數y?kx?b的單調性 例1.判斷函數y??2.復合函數分析法

設y?f(u)，u?g(x)x?[a,b]，u?[m,n]都是單調函數，則y?f[g(x)]在[a,b]上也是單調函數，其單調性由“同增異減”來確定，即“里外”函數增減

1的增減性 x?1性相同，復合函數為增函數，“里外”函數的增減性相反，復合函數為減函數。如下表：

u?g(x)

y?f(u)

y?f[g(x)]

增 增 減 減 增 減 增 減 增 減 減 增

例1.判斷函數y?log2(x?1)在定義域內的單調性

一、函數單調性的應用 1.比較大小

例1.若f(x)在R上單調遞增，且f?2a?1??f(a?3)，求a的取值范圍

3例2.已知函數f(x)在?0,???上是減函數，試比較f()與f(a2?a?1)的大小

42.利用單調性求最值

1例1.求函數y?x?1?的最小值

x

x2?2x?a1例2.已知函數f(x)?,x??1,???.當a?時，求函數f(x)的最小值

x2

1?1?例3.若函數f(x)的值域為?,3?，求函數g(x)?f(x)?的值域

2f(x)??

練習：1）求函數y?x2?1?x在?0,???的最大值

1?1?2）若函數f(x)的值域為?,3?，求函數g(x)?f(x)?的值域

2f(x)??

3.求復合函數的單調區間 1)求定義域

2)判斷增減區間 3)求交集

12例1.求函數y??x?2x?3的單調區間

2練習：求函數y??x2?2x?8的單調增區間

4.求參數取值范圍

例1.函數f(x)?x2?2ax?3在區間?1,2?上單調，求a的取值范圍

二、奇偶性

1.判斷奇偶性的前提條件：定義域關于原點對稱 例1.奇函數f(x)定義域是(t,2t?3)，則t?

.2.奇函數的定義：對于函數f(x)，其定義域D關于原點對稱，如果?x?D,恒有f(?x)??f(x)，那么函數f(x)為奇函數。

3.奇函數的性質： 1）圖像關于原點對稱 2）在圓點左右單調性相同

3）若0在定義域內，則必有f(0)?0

1奇函數的例子：y?x,y?x3,y?x?,y?sinx

x4.偶函數的定義：對于函數f(x)，其定義域D關于原點對稱，如果?x?D,恒有f(?x)?f(x)，那么函數f(x)為偶函數。

5.偶函數的性質： 1）圖像關于y軸對稱 2）在圓點左右單調性相反

偶函數的例子：y?x2,y?x,y?cosx

6.結論：奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇?奇=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇

四、常見題型： 1.函數奇偶性的判定

4?x2例1.判斷函數f(x)?的奇偶性

x?2?2

例2.判斷f(x)?(x?2)

2?x的奇偶性 2?x2.奇偶性的應用

例1.已知f(x)?x5?ax3?bx?8,f(?2)?10,則f(2)?_______

例2.已知f(x)是奇函數，且當x?0時，f(x)?x(x?2),求x?0時，f(x)的解析式

例3.設f(x)是偶函數，g(x)是奇函數，且f(x)?g(x)?

3.函數單調性與奇偶性的綜合應用

例1.設偶函數f(x)在[0,??)為減函數，則不等式f(x)?f(2x?1)的解集是。

例2.已知函數f(x)是定義在實數集R上的函數，若f(x)在區間??5,5?上是奇函數，在區間?0,5?上是單調函數，切f(3)?f(1)，則（）

A.f(?1)?f(?3)B.f(0)?f(?1)C.f(?1)?f(1)D.f(?3)?f(?5)，例3.函數f(x)?ax?b12???1,1是定義在上的奇函數，且 f()?2251?x1，求f(x),g(x)x?11）求f(x)的解析式

2）判斷函數f(x)在??1,1?上的單調性 3）解不等式f(t?1)?f(t)?0

第三篇：7函數的單調性函數的奇偶性反函數 教案

函數的單調性，函數的奇偶性，反函數

[本周教學重點] 掌握函數單調性的定義，會用定義法證明函數的單調性及其步驟。

(1)設x1，x2是定義域上的任意兩個值，且x1

(2)作差f(x1)-f(x2)并將其變形為可判斷符號的形式；

(3)判斷f(x1)-f(x2)的正、負；

(4)結論

理解函數奇偶性的定義及奇、偶函數定理，能判斷、證明一些簡單函數的奇偶性，會利用函數奇偶性求解有關函數問題。

(1)函數的定義域在數軸上關于原點對稱，是函數具有奇偶性的必要條件。

(2)f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0f(x)是奇函數。

f(x)=f(-x)f(-x)-f(x)=0f(x)是偶函數。

由f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是側重于函數解析式的變形去證明f(x)的奇偶性；而f(-x)+f(x)=0或f(-x)-f(x)=0是通過運算去證明f(x)的奇偶性，兩種定義形式各具不同優勢。

(3)若f(x)是奇函數且允許x=0，則f(0)=0，即f(x)的圖象過原點。

(4)若f(x)既是奇函數，又是偶函數，則f(x)=0。

(5)同為奇函數，同為偶函數的兩個函數之積是偶函數；一奇一偶兩個函數之積是奇函數。

(6)定義在R上的任意一個函數f(x)都可表示為一個奇函數g(x)與一個偶函數h(x)的和。

即f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)=[f(x)-f(-x)]，h(x)=

[f(x)+f(-x)]。

理解反函數的概念，掌握求反函數的方法步驟。

(1)由原函數y=f(x)求出它的值域；

(2)由原函數y=f(x)反解出x=f-

1(y)；

(3)交換x，y改寫成y=f-1(x)；

(4)用f(x)的值域確定f-1(x)的定義域。

[例題分析]

例1．證明函數f(x)=

在定義域上的單調性。

[分析與解答] 函數的單調性必須在定義域內進行考查。由x2+x≥0得f(x)定義域為(-∞，-1][0，+∞)。

函數定義域不是一個連續的區間，應分別考查在每一個區間上的單調性，用定義法證明時，只需任取x1

任取x1

==

當-∞0。

∴ f(x1)-f(x2)>0，∴ f(x)是(-∞，-1]上的單調遞減函數。

當0≤x10。

>0。

∴ f(x1)-f(x2)<0，∴ f(x)是[0，+∞)上的單調遞增函數。

例2．函數f(x)是[0，+∞)上的單調遞減函數，f(x)≠0且f(2)=1，證明函數F(x)=f(x)+在[0，2]上的單調性。

[分析與解答]函數f(x)沒有給出解析式，因此對F(x)的函數值作差后，需由f(x)的單調性，確定作差后的符號。任取0≤x1

由F(x1)-F(x2)=f(x1)+-f(x2)-=f(x1)-f(x2)+

=[f(x1)-f(x2)]·[1-]

∵ 0≤x1f(x2)≥f(2)=1。

∴ f(x1)-f(x2)>0，f(x1)·f(x2)>1，<1，1->0，∴ F(x1)-F(x2)>0，F(x)是[0，2]上的單調遞減函數。

例3．證明函數f(x)=的奇偶性。

[分析與解答] 函數的奇偶性必須在其定義域內考查。

由 函數f(x)定義域為[-1，0)(0，1]。

∴ |x+3|-3=x+3-3=x。即f(x)=，由f(-x)=

=-f(x)，∴ f(x)是奇函數。

例4．設f(x)是定義在R上的函數，對任意x1，x2∈R，恒有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，且f(x)不恒為0，證明

f(x)的奇偶性。

[分析與解答] 函數f(x)沒有給出解析式，這就必須從定義域，法則，及f(x)不恒為0去分析，完成奇偶性的證明。由f(x)定義域為R，顯然允許x=0，所以f(0)=0是f(x)的奇函數的必要條件。

令x1=x2=0，由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)得f(0+0)=f(0)+f(0)，整理得f(0)=0，對任意x∈R，由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)知f(-x)+f(x)=f(-x+x)=f(0)=0，∴ f(-x)=-f(x)，∵ f(x)不恒為0，∴f(x)不可能既是奇函數又是偶函數，所以f(x)是R上的奇函數。

例5．已知函數f(x)=(a，b，c∈Z)是奇函數，且f(1)=2，f(2)<3。

(1)求a，b，c的值；(2)用定義法證明f(x)在(0，1)上的單調性。

[分析與解答](1)∵ f(x)是奇函數，∴f(-x)=-f(x)，即

=-，解出c=0，∴ f(x)=，∵ f(1)=2，∴ =2，∴ 2b=a+1。

∵ f(2)＜3，∴<3。將2b=a+1代入，∴ <3，解出-1

(2)f(x)==x+。任取0

f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=(x1-x2)(1-)

∵ 01，1-<0，∴ f(x1)-f(x2)>0，f(x)是(0，1)上的單調遞減函數。

例6．證明函數f(x)=

(x≠)的圖象關于直線y=x對稱。

[分析與解答] 由反函數定理可知，當兩個函數互為反函數時，它們的圖象關于直線y=x對稱，所以要證明 f(x)=(x≠)的圖象關于直線y=x對稱，只需證明f(x)的反函數是其自身即可。

∴ f(x)的值域為{y|y≠，y∈R}。

由y=，∴ ayx-y=x-1，(ay-1)x=y-1。

∵ y≠，∴ ay-1≠0，x=，即f-1(x)=

(x≠)，顯然f(x)與f-1(x)是同一函數，所求f(x)的圖象關于直線y=x對稱。

[參考練習]

1．設f(x)是定義在R上的任意一個增函數，F(x)=f(x)-f(-x)必是（）。

A、增函數且是奇函數

B、增函數且是偶函數

C、減函數且是奇函數

D、減函數且是偶函數

2．已知y=f(x)是R上的奇函數，當x≥0時，f(x)=x2-2x，則f(x)在R上的表達式是（）。

A、y=x(x-2)B、y=x(|x|-1)C、y=|x|·(x-2)D、y=x(|x|-2)

3．若點(1，2)在函數y=的圖象上，又在它的反函數的圖象上，則（）。

A、a=3，b=-7 B、a=3，b=7 C、a=-3，b=-7 D、a=-3，b=7

4．函數f(x)是定義在[-6，6]上的偶函數，且在[-6，0]上是減函數，則（）。

A、f(3)+f(4)>0 B、f(-3)-f(2)<0 C、f(-2)+f(-5)<0 D、f(4)-f(-1)>0

5．設f(x)是定義在(-1，1)上的奇函數且是單調減函數，求解關于x的不等式f(1-x)+f(1-x2)<0的解集。

[參考答案]：

1.A 2.D 3.D 4.D

5.由f(1-x)+f(1-x2)<0，∴ f(1-x)<-f(1-x2)，∵ f(x)是(-1，1)上的奇函數，∴ f(1-x)

{x|0

第四篇：函數的單調性和奇偶性教案!(學生版)

函數的單調性和奇偶性

一、目標認知 學習目標：

1.理解函數的單調性、奇偶性定義；

2.會判斷函數的單調區間、證明函數在給定區間上的單調性； 3.會利用圖象和定義判斷函數的奇偶性；

4.掌握利用函數性質在解決有關綜合問題方面的應用.重點、難點：

1.對于函數單調性的理解；

2.函數性質的應用.二、知識要點梳理 1.函數的單調性

(1)增函數、減函數的概念

一般地，設函數f(x)的定義域為A，區間

如果對于M內的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，那么就說f(x)在區間M上是增函數；

如果對于M內的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)，那么就說f(x)在區間M上是減函數.如果函數f(x)在區間M上是增函數或減函數，那么就說函數f(x)在區間M上具有單調性，M稱為函數f(x)的單調區間.要點詮釋：

[1]“任意”和“都”；

[2]單調區間與定義域的關系----局部性質；

[3]單調性是通過函數值變化與自變量的變化方向是否一致來描述函數性質的；

[4]不能隨意合并兩個單調區間.(2)已知解析式，如何判斷一個函數在所給區間上的單調性？

基本方法：觀察圖形或依據定義.2.函數的奇偶性

偶函數：若對于定義域內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)稱為偶函數.奇函數：若對于定義域內的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)稱為奇函數.要點詮釋：

[1]奇偶性是整體性質；

[2]x在定義域中，那么-x在定義域中嗎？----具有奇偶性的函數，其定義域必定是關于原點對稱的；

[3]f(-x)=f(x)的等價形式為：，f(-x)=-f(x)的等價形式為：；

[4]由定義不難得出若一個函數是奇函數且在原點有定義，則必有f(0)=0；

[5]若f(x)既是奇函數又是偶函數，則必有f(x)=0；

[6]，.三、規律方法指導

1.證明函數單調性的步驟：

(1)取值.設是

定義域內一個區間上的任意兩個量，且

；

(2)變形.作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；

(3)定號.判斷差的正負或商與1的大小關系；

(4)得出結論.2.函數單調性的判斷方法：

(1)定義法；

(2)圖象法；

(3)對于復合函數在區間

或者，若

在區間上是單調函數；若

為增函數；若

上是單調函數，則

與與單調性相同（同時為增或同時為減），則單調性相反，則

為減函數.3.常見結論:

(1)若

(2)若是增函數，則和

為減函數；若

和

是減函數，則

為增函數；

均為增（或減）函數，則在的公共定義域上為增（或減)函數；

(3)若且為增函數，則函數為增函數，為減函數；

若

(4)若奇函數數，且有最小值 且在為減函數，則函數為減函數，則

在為增函數.在是增函是增函數.上是增函數，且有最大值

在；若偶函數是減函數，則 經典例題透析

類型

一、函數的單調性的證明

1.證明函數上的單調性.證明：

總結升華：

[1]證明函數單調性要求使用定義；

[2]如何比較兩個量的大小？(作差)

[3]如何判斷一個式子的符號？(對差適當變形)

舉一反三：

【變式1】用定義證明函數

總結升華：可以用同樣的方法證明此函數在上是減函數.上是增函數；在今后的學習中經常會碰到這個函數，在此可以嘗試利用函數的單調性大致給出函數的圖象.類型

二、求函數的單調區間

2.判斷下列函數的單調區間；

(1)y=x2-3|x|+2；(2)

舉一反三：

【變式1】求下列函數的單調區間：

(1)y=|x+1|；(2)

總結升華：

[1]數形結合利用圖象判斷函數單調區間；

[2]關于二次函數單調區間問題，單調性變化的點與對稱軸相關.[3]復合函數的單調性分析：先求函數的定義域；再將復合函數分解為內、外層函數；利用已知函數的單調性解決.關注：內外層函數同向變化復合函數為增函數；內外層函數反向變化復合函數為減函數.類型

三、單調性的應用(比較函數值的大小，求函數值域，求函數的最大值或最小值)

3.已知函數f(x)在(0，+∞)上是減函數，比較f(a2-a+1)與 的大小.4.求下列函數值域：

(1)； 1)x∈[5，10]； 2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；

(2)y=x2-2x+3；

1)x∈[-1，1]； 2)x∈[-2，2].舉一反三：

【變式1】已知函數.(1)判斷函數f(x)的單調區間；

(2)當x∈[1，3]時，求函數f(x)的值域.思路點撥：這個函數直接觀察恐怕不容易看出它的單調區間，但對解析式稍作處理，即可得到我們相對熟悉的形式.域.，第二問即是利用單調性求函數值

5.已知二次函數f(x)=x2-(a-1)x+5在區間

上是增函數，求：(1)實數a的取值范圍；(2)f(2)的取值范圍.類型

四、判斷函數的奇偶性

6.判斷下列函數的奇偶性：

(1)

(2)

(3)f(x)=x2-4|x|+3

(4)f(x)=|x+3|-|x-3|

(5)

(6)

(7)

思路點撥：根據函數的奇偶性的定義進行判斷.舉一反三：

【變式1】判斷下列函數的奇偶性：

(1)；

(2)f(x)=|x+1|-|x-1|；

(3)f(x)=x2+x+1；

(4).思路點撥：利用函數奇偶性的定義進行判斷.舉一反三：

【變式2】已知f(x)，g(x)均為奇函數，且定義域相同，求證：f(x)+g(x)為奇函數，f(x)·g(x)為偶函數.類型

五、函數奇偶性的應用(求值，求解析式，與單調性結合)

7.已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).8.f(x)是定義在R上的奇函數，且當x＜0時，f(x)=x2-x，求當x≥0時，f(x)的解析式，并畫出函數圖象.6 9.設定義在[-3，3]上的偶函數f(x)在[0，3]上是單調遞增，當f(a-1)＜f(a)時，求a的取值范圍.類型

六、綜合問題

10.定義在R上的奇函數f(x)為增函數，偶函數g(x)在區間的圖象重合，設a＞b＞0，給出下列不等式，其中成立的是_________.①f(b)-f(-a)＞g(a)-g(-b)；

②f(b)-f(-a)＜g(a)-g(-b)；

③f(a)-f(-b)＞g(b)-g(-a)；

④f(a)-f(-b)＜g(b)-g(-a).(1)11.求下列函數的值域：

(2)

(3)的圖象與f(x)

思路點撥：(1)中函數為二次函數開方，可先求出二次函數值域；(2)由單調性求值域，此題也可換元解決；(3)單調性無法確定，經換元后將之轉化為熟悉二次函數情形，問題得到解決，需注意此時t范圍.解：

12.已知函數f(x)=x2-2ax+a2-1.(1)若函數f(x)在區間[0，2]上是單調的，求實數a的取值范圍；

(2)當x∈[-1，1]時，求函數f(x)的最小值g(a)，并畫出最小值函數y=g(a)的圖象.7 13.已知函數f(x)在定義域(0，+∞)上為增函數，f(2)=1，且定義域上任意x、y都滿足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)≤3.證明：

14.判斷函數上的單調性，并證明.15.設a為實數，函數f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，試討論f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.解：

學習成果測評 基礎達標

一、選擇題

1．下面說法正確的選項()

A．函數的單調區間就是函數的定義域

B．函數的多個單調增區間的并集也是其單調增區間

C．具有奇偶性的函數的定義域定關于原點對稱

D．關于原點對稱的圖象一定是奇函數的圖象

2．在區間上為增函數的是()

A．

C．

B．

D．

3．已知函數

A.B.4．若偶函數在上是增函數，則下列關系式中成立的是()

C.D.為偶函數，則的值是()

A．

B．

C． 5．如果奇函數是()

A．增函數且最小值是

C．減函數且最大值是

6．設是定義在在區間

D．

上是增函數且最大值為，那么

在區間

上

B．增函數且最大值是

D．減函數且最小值是

上的一個函數，則函數，在上一定是()

A．奇函數

B．偶函數

C．既是奇函數又是偶函數

D．非奇非偶函數.7．下列函數中，在區間

上是增函數的是()

A．

B．

C．

D．

8．函數f(x)是定義在[-6，6]上的偶函數，且在[-6，0]上是減函數，則()

A.f(3)+f(4)＞0

B.f(-3)-f(2)＜0

C.f(-2)+f(-5)＜0

D.f(4)-f(-1)＞0

二、填空題

1．設奇函數的定義域為，若當的解是____________.時，的圖象

如右圖，則不等式

2．函數

3．已知

4．若函數____________.5．函數____________.三、解答題 的值域是____________.，則函數的值域是____________.是偶函數，則的遞減區間是在R上為奇函數，且，則當，1．判斷一次函數

2．已知函數(2)在定義域上

反比例函數，二次函數的單調性.的定義域為，且同時滿足下列條件：(1)是奇函數；

單調遞減；(3)

3．利用函數的單調性求函數

4．已知函數

① 當

求的取值范圍.的值域；

.時，求函數的最大值和最小值；

在區間

上是單調函數.② 求實數的取值范圍，使能力提升

一、選擇題

1．下列判斷正確的是()

A．函數數

C．函數函數

2．若函數

A．

C．

3．函數

A．

C．

4．已知函數圍是()

A．

B．

是奇函數

B．函數是偶函

是非奇非偶函數

D．函數既是奇函數又是偶

在上是單調函數，則的取值范圍是()

B．

D．的值域為()

B．

D．

在區間上是減函數，則實數的取值范

C．

D．

5．下列四個命題：(1)函數增函數；(2)若 函數的遞增區間為正確命題的個數是()

在時是增函數，與；(4)

也是增函數，所以

且

是；(3)

軸沒有交點，則

和

表示相等函數.其中

A．

B．

C．

D．

6．定義在R上的偶函數則()

A．

C．

二、填空題

1．函數

2．已知定義在______.上的奇函數，滿足，且在區間上為遞增，B．

D．的單調遞減區間是____________________.，當時，那么時，3．若函數

4．奇函數

則

5．若函數

三、解答題

1．判斷下列函數的奇偶性 在區間

在上是奇函數，則的解析式為________.上是增函數，在區間__________.上的最大值為8，最小值為-1，在上是減函數，則的取值范圍為__________.(1)

(2)

2．已知函數且當時，的定義域為，且對任意

是，都有

上的減函數；(2)函數，恒成立，證明：(1)函數是奇函數.3．設函數與的定義域是

且，是偶函數，是奇函數，且

4．設為實數，函數

(1)討論

，求和的解析式.，的最小值..的奇偶性；(2)求綜合探究

1．已知函數，的奇偶性依次為()

A．偶函數，奇函數

B．奇函數，偶函數

C．偶函數，偶函數

D．奇函數，奇函數

2．若是偶函數，其定義域為，且在，則

上是減函數，則的大小關系是()

A．＞

B．＜

C．

D．

3．已知_____.，那么＝

4．若

在區間上是增函數，則的取值范圍是________.5．已知函數果對于

6．當

7．已知

的定義域是，且滿足，(1)求

；(2)解不等式，如

.，都有時，求函數的最小值.在區間內有一最大值，求的值.8．已知函數的值..的最大值不大于，又當，求 14

第五篇：高一數學教案：函數單調性

教學目標

會運用圖象判斷單調性;理解函數的單調性，能判斷或證明一些簡單函數單調性;注意必須在定義域內或其子集內討論函數的單調性。

重 點

函數單調性的證明及判斷。

難 點

函數單調性證明及其應用。

一、復習引入

1、函數的定義域、值域、圖象、表示方法

2、函數單調性

(1)單調增函數

(2)單調減函數

(3)單調區間

二、例題分析

例

1、畫出下列函數圖象，并寫出單調區間：

(1)(2)(2)

例

2、求證：函數 在區間 上是單調增函數。

例

3、討論函數 的單調性，并證明你的結論。

變(1)討論函數 的單調性，并證明你的結論

變(2)討論函數 的單調性，并證明你的結論。

例

4、試判斷函數 在 上的單調性。

三、隨堂練習

1、判斷下列說法正確的是。

(1)若定義在 上的函數 滿足，則函數 是 上的單調增函數;

(2)若定義在 上的函數 滿足，則函數 在 上不是單調減函數;

(3)若定義在 上的函數 在區間 上是單調增函數，在區間 上也是單調增函數，則函數 是 上的單調增函數;

(4)若定義在 上的函數 在區間 上是單調增函數，在區間 上也是單調增函數，則函數 是 上的單調增函數。

2、若一次函數 在 上是單調減函數，則點 在直角坐標平面的()

A.上半平面 B.下半平面 C.左半平面 D.右半平面

3、函數 在 上是___ ___;函數 在 上是__ _____。

3.下圖分別為函數 和 的圖象，求函數 和 的單調增區間。

4、求證：函數 是定義域上的單調減函數。

四、回顧小結

1、函數單調性的判斷及證明。

課后作業

一、基礎題

1、求下列函數的單調區間

(1)(2)

2、畫函數 的圖象，并寫出單調區間。

二、提高題

3、求證：函數 在 上是單調增函數。

4、若函數，求函數 的單調區間。

5、若函數 在 上是增函數，在 上是減函數，試比較 與 的大小。

三、能力題

6、已知函數，試討論函數f(x)在區間 上的單調性。

變(1)已知函數，試討論函數f(x)在區間 上的單調性。