第一篇：坐標法思想下的曲線與方程概念的教學設計

坐標法思想下的“曲線與方程”概念的教學設計

河北師范大學 程海奎

解析幾何的核心思想是“坐標法”。在直角坐標系中，平面上的點用坐標把曲線看成是滿足某種條件的點的集合或軌跡，用曲線上點的坐標程

表示，所滿足的二元方表示曲線，用代數方法研究方程的性質，進而間接地研究曲線的性質。這合理性的要求就是能通過方程研究曲線的性質。我們面臨兩個數學對象：曲線C和方程，如果 就要求曲線和方程之間必須具有某種等價關系，即給“曲線的方程”下一個合理的定義，對（1）曲線上點的坐標都是方程的解（完備性）；

（2）以方程的解為坐標的點都在曲線上（純粹性）。

那么就稱

為曲線C的方程，稱C為方程的曲線。

“曲線的方程”概念是解析幾何教學中公認的難點。這大概就是數學演繹體系的直接反映。對于習慣于演繹推理的數學家來說可能覺得容易理解，但是對于學生會有什么樣的反應呢？由于“概念”是突然出現的，學生會疑問：為什么要“曲線的方程”這個概念？為什么

這樣定義？這樣的定義是否合理？

由于數學本身具有“抽象性”和“準確性”的特點，加上種種因素的制約，教材對數學概念及定理大多是以演繹的方式呈現的。在課堂教學中，教師一般都會對教材加以“處理”，進行“再創造”。關于“曲線與方程”概念的教學設計，我們先對以下幾種設計進行比較，作一簡單評析。1．純粹演繹模式

（1）直接給出“曲線的方程”的定義，然后加以說明。完備性是說“曲線上沒有坐標不滿足方程的點”，純粹性是說“滿足方程的點

都在曲線上”。

（2）從集合對應的觀點解釋概念。令P表示曲線C上所有點的集合，N表示方程的解集，即，P和N之間具有一一對應關系。如果令，則

N且M

N，M

N表示完備性，M

。N表示純粹性。M=N即M（3）分別舉出不滿足完備性和純粹性的實例，從反面加強對概念的理解。（4）給定曲線的幾何特征利用定義求曲線方程，或證明某方程是曲線的方程來強化概

念的理解。

這種教學模式滿足了準確性的要求，而且也揭示了概念的本質：兩個集合之間的一一對應關系。但遺憾的是學生的疑問沒有得到很好地解決。也許學完解析幾何內容后能夠得到釋

疑，但那已經是馬后炮了！

2．歸納——演繹模式

對直線與直線方程、圓和圓的方程的概念學生已有初步的認識，引導學生從直線與直線方程、圓和圓的方程之間的關系、集合之間的一一對應等進行辨析概括，歸納得出曲線的方

程概念。

（1）求過點

且斜率為k的直線l方程，探究直線上點的坐標與方程的解之間的關系，進一步探究直線上點的集合與方程的解集之間的關系。

點P在直線l上 ①。

直線l上點的坐標都是方程①的解，且以方程①的解為坐標的點都在直線l上。從集合的觀點看：直線l上點（用坐標表示）的集合與方程①的解集相等。（2）求以O為圓心，以r為半徑的圓的方程，探究圓上點的坐標與方程的解之間的關系；進一步探究圓上點的集合與方程的解集之間的關系。

點P在圓O上

②

圓O上點的坐標都是方程②的解，以方程②的解為坐標的點都在圓O上。從集合的觀點看：圓O上點（用坐標表示）的集合與方程②的解集相等。

（3）由特殊到一般，歸納出“曲線的方程”的概念。（4）通過實例從正反兩個方面來加深對概念的理解。

歸納——演繹是揭示概念本質的有效方法。采用上述歸納方式揭示數學概念符合學生的認知規律，定義也顯的比較自然，同時將直線方程和圓的方程納入曲線的方程這個一般概念之中。但就“曲線的方程”概念而言，在歸納過程中，只關注了曲線和方程的聯系以及集合之間的一一對應關系，沒有適時滲透坐標法的思想，學生不了解曲線的方程的概念在解析幾何中的地位和作用，對定義的合理性就缺乏認識，對曲線方程的完備性和純粹性理解難以深

刻。

3．類比——歸納模式

類比“函數與圖像”的聯系，歸納得出“曲線的方程”概念。

如果將函數的解析式

看成是關于x，y的二元方程，函數的圖像看成曲線，將函數解析式納入了曲線的方程概念中。由于學生對“函數與圖像”認識比較深刻，選擇幾個具體的函數，通過分析函數圖像上點與方程的解之間的聯系，歸納出一般的“曲

線的方程”概念。

“函數與圖像”和“曲線與方程”之間既有聯系，又有區別。函數是刻畫變量y隨x變化的變化規律的數學模型，對任意x要求有唯一的y值與其對應。雖然二元方程在某些條件下也能確定一個y關于x的函數，但

一般是作為x和y之間的約束條件，其中x和y的地位是平等的。另外，從研究方法看，函數圖像作為變量間變化規律的直觀表示，我們一般是借助圖像的直觀研究函數的性質，而在解析幾何中，我們通常是通過方程研究平面曲線的性質。因此，用類比“函數與圖像”的方法歸納曲線的方程的概念不是最佳選擇。

解析幾何的核心思想方法是“坐標法”，在直角坐標系中，根據曲線的特征建立曲線方程是研究的基礎。“曲線的方程”既是我們研究的直接對象，更是研究曲線幾何性質的橋梁。而只有當曲線上點的集合與方程的解集之間具有一一對應關系時，才能通過研究方程得到曲線的性質，無論完備性和純粹性得到破壞都不能由方程得到曲線的性質。

基于這樣的認識，嘗試進行如下的設計：

本節課的教學目標主要為：（1）理解曲線的方程和方程的曲線的概念；（2）體會由曲線的幾何特征求曲線的方程的基本步驟；（3）通過對簡單曲線的方程的研究，體會坐標法的基本思想。但重點是理解曲線的方程概念的本質，了解曲線的方程概念作為坐標法思想的重要組成部分，以及概念在解析幾何中的地位和作用。

教學過程中，設計了幾項要求學生完成任務。任務之一：定義“曲線的方程”概念之前，求曲線的方程。其意圖是辨析曲線與方程的關系，曲線和方程的轉化，為歸納一般概念做鋪墊。任務之二：通過方程研究曲線的對稱性。其意圖是體會“曲線的方程”定義的合理性，滲透坐標法的思想。任務之三：在“曲線的方程”概念之后，求給定曲線C的方程。其主要目的是強化概念的理解，體會求曲線的方程的步驟。總之，所有的任務都是圍繞揭示“曲線的方程”“方程的曲線”概念的本質，體會定義的合理性而展開的。由于先期已經學習了如何求直線方程和圓的方程，并通過方程研究直線與直線的位置關系，點到直線的距離公式，直線和圓的位置關系等，學生對坐標法的思想已有初步的認識。這樣的設計理論上是可行的，但有待實踐的檢驗。

教學過程如下表。

設曲線上任意一點的坐標為的坐標都是方程解，則點，根據曲線的特征得，這說明曲線上點是方程的的解（滿足完備性）。反之，假設到兩個坐標軸的距離的乘積為1，即點

2在曲線上（滿足純粹性）。由定義得曲線C的方程為。如果由程的解（不滿足完備性）。

。由|x|·|y|=1有xy=1，曲線C的方程的簡化形式為得到，則曲線上位于第二、四象限的點的坐標不是方

第二篇：曲線與方程的概念的教學設計

曲線與方程的概念的教學設計

一、教學分析 1． 教材地位

曲線的方程和方程的曲線是解析幾何的最基本的概念，是坐標法的基礎。2． 教學重點難點

重點：曲線的方程和方程的曲線的概念 難點：兩者的辯證關系

二、學情分析

教學班為實驗班，學生思維較為活躍，理解能力較強；但在概念細節的理解上比較不在意，容易造成對概念認識的漏洞。

三、教學目標

1． 理解曲線與方程的對應關系。

2． 通過對已知事例的比較，學生能從中學會判斷曲線與方程的方法。3． 教學中學生能感受到曲線與方程的辯證關系。

四、教學手段：PPT

五、教學過程

問題引入：圓是如何定義的？并說出圓的標準方程 新課題：曲線與方程的概念

探究問題：求直角坐標系下一三象限的角分線方程，下列方法是否正確？

? 方法1：設一三象限的角分線上的點為P（x,y）,根據角平分線的性質得：

?

?

因此一三象限角平分線的方程為

方法2：設一三象限的角分線上的點為P（x,y）,根據角平分線的性質得：

?

因此一三象限角平分線的方程為 ? 方法3：設一三象限的角分線上的點為P（x,y）,根據角平分線的性質得：

?

因此一三象限角平分線的方程為

小結：

? 方法3中兩個集合的元素之間建立了一一對應關系，人們規定把具有這種關系的曲線C和方程f(x,y)=0，分別稱為方程的曲線和曲線的方程

? 一般我們所求的曲線（或軌跡）的方程都必須滿足這樣的條件

定義：

? 一般地，在直角直角坐標系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程 F(x, y)=0的實數解建立了如下的關系

? ?

?

?

（1）曲線上的點的坐標都是這個方程 的解

（2）以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點 曲線的方程常稱為滿足某種條件的動點的軌跡方程

例題辨析

? 那么曲線C叫做方程F(x, y)=0的曲線；方程F(x, y)=0叫做曲線C的方程

例1

判斷曲線與方程的關系

? ?（1）曲線：過點A(2，0)且與y軸的距離等于2的點的軌跡l；

方程：|x|=2

?

（2）曲線C：拋物線（如圖）

?

?

方程：

（3）曲線C：等腰⊿ABC底邊BC的中線（如圖）

?

方程：x=0 例2 甲：“曲線C上的點的坐標都是方程 f(x，y)=0 的解”，乙：“曲線C是方程f(x，y)=0 的曲線”，則甲是乙的（）(A)充分非必要條件

(B)必要非充分條件

(C)充要條件

(D)非充分也非必要條件

例3 求證：與兩條坐標軸的距離的積等于1的點的軌跡方程是|xy|=1

課堂練習

? 題1 圖示曲線的曲線方程是所列出的方程嗎？為什么？

?

（1）曲線C：過點A(1，1)，B(-1，1)的折線

?

?

方程：(x-y)(x+y)=0

（2）曲線C：頂點在原點的拋物線

?

?

方程：

（3）曲線C：Ⅰ, Ⅱ象限內到x軸，y軸的距離乘積為1的點的軌跡

?

?

方程：

題2 已知三角形A（0，0）,B（2，0）,C（3，4）,求證：三角形內角A的平分

線方程是

思考：已知三角形A（0，0）,B（2，0）,C（3，4）,求到角A的兩邊的距離之比為1：

2的點的軌跡方程

課堂小結

第三篇：“曲線與方程”教學設計

“曲線與方程”教學設計

深圳中學 郭慧清

一、教學內容與內容解析 1．內容：

（1）曲線的方程與方程的曲線的概念；（2）求曲線的方程；（3）坐標法的基本思想與簡單應用.2．內容解析：

“曲線與方程”是《普通高中數學課程標準》規定的教學內容．在教學時，不少人認為只是為后面學習橢圓、雙曲線、拋物線做準備．盡管學習這一內容是學生體會并理解圓錐曲線與其方程的基礎，但人們將碰得的曲線遠非這些．因此，教學時不僅要讓學生學習如何求曲線的方程，而且要通過這一內容培養學生的坐標法思想，使學生明白求出曲線方程的真正意義在于利用曲線的方程去研究曲線.研究曲線與方程的目的是把曲線的幾何特征轉化為數量關系，并通過代數運算等方便手段，處理已得到的數量關系,進而得出曲線的幾何性質，并達到利用曲線為人們服務的目的．因此，學習這一部分內容可以加深學生對數學中的代數方法的認識，也能夠讓學生更好地體會數學的本質．

在平面直角坐標系建立以后，任何曲線都有唯一的方程，任何方程也都有唯一確定的曲線(或點集)．因此，曲線的方程是曲線的唯一表示．這種表示，為人們表達自己的思想認識提供了一種規范，這是人們應該具備的基本素養．

二、教學目標與目標解析 1．目標：

（1）通過實例理解曲線的方程與方程的曲線的概念，能判斷已經學習過的特殊的曲線與方程之間是否具有互為表示的關系；

（2）通過實例體會求曲線的方程的基本步驟，能求出給定了幾何特征的曲線的方程；

（3）通過實例體會不同的平面直角坐標系對同一曲線方程的影響，體會如何“恰當”地建立平面直角坐標系.（4）通過一些簡單曲線的方程及其研究，體會坐標法的基本思想及簡單應用． 2．目標解析：

教學目標（1）和（2）是本節課的教學重點，教學時落實好目標（1）、（2）和（3）是實現教學目標（4）的前提與保證.學生通過函數y =f(x)及其圖象、直線的方程與圓的方程的學習，對曲線的方程與方程的曲線這些概念有了初步認識，但這只是一種意會，我們現在的任務是要建立曲線與方程之間的一般性的概念，讓學生能從“定義”的角度去理解這些概念.教學目標（3）是學生初學時不易達到的目標，教學時要提供學生熟悉的曲線（比如直線，圓等）在不同坐標系中的方程的簡潔程度，讓學生體會建立坐標系時應該關注的要點．

對許多與曲線有關的具體問題而言，原本是沒有坐標系的．因此，通過這樣的問題，可以使學生體會如何建立坐標系，求出問題中曲線的方程，并通過曲線的方程幫助解決問題，這應該是實現教學目標（4）的一種較好的方法．

三、教學問題診斷分析 1．如何理解曲線與其方程之間的關系？學生可以很流利地背出曲線與其方程應該滿足的兩條，但是如何證明“一條曲線與一個方程之間具有互為表示的關系”，這是學生學習時可能遇到的第一個教學問題.這個問題可以結合“直線與其方程”、“圓與其方程”進行說明．

2．在求曲線的方程時，如何建立平面直角坐標系？這是學生會遇上的第二個教學問題，也是本節課的教學難點之一．教學時，應通過實例，幫助學生總結出建立坐標系的基本要點，并用具體問題讓學生練習進行體會．

3．在將曲線上的點應該滿足的幾何特征轉化為點的坐標應滿足的等式后，常常遇上“將所得等式化簡得到所求方程”的問題．對于有些復雜的等式，化簡是一個學生不易把握的問題，學生在此極易出錯，這是第三個教學問題.教學時不能因為這個問題而使教學偏離重點，因而宜使用信息技術工具解決這個問題.4．學生學習時，可能會因更多地關注代數運算而忽略數學思想的提煉，這個教學問題的解決，需要教師有目的地進行引領.四、教學支持條件

1．在進行本節課的教學時，學生已經在數學必修1中學習了函數y =f(x)及其圖象，在數學必修2中學習了直線的方程與圓的方程，這些內容是學生理解曲線與方程概念的重要基礎，因此教學時應充分注意這一教學條件，引導學生多進行歸納與概括.2．曲線與方程是數形結合的典范，教學這一內容時會涉及大量圖形的繪制與方程的簡化等代數運算，因此，TI圖形計算器或幾何畫板是重要的支持條件，教學中充分利用這一條件，不僅可以節省大量時間用于學生思考，而且可以對實際問題中的數據不加“修飾”地進行分析.五、教學過程設計

引子：如果你邀請朋友在你所在城市的某餐館聚會，你會怎樣告訴他（她）聚會地點？例如，如果聚會地點在“深圳市筍崗路南，寶安路東的澳葡街”（如圖一），你會怎樣說？

（圖一）

（圖二）

意圖：通過建立平面直角坐標系，用坐標來刻畫點的位置，為后面用點與坐標的對應關系來研究曲線與方程的關系作準備，同時讓學生體會坐標法思想。

師生活動：教師提出問題讓學生思考，然后通過建立平面直角坐標系，給出聚會地點的坐標（如圖二）。[問題1] 一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風預報：臺風中心位于輪船正西70 km處，受影響的范圍是半徑長為30 km的圓形區域．已知港口位于臺風中心正北40 km處，如果這艘輪船不改變航線（航行方向與東向西方向的夾角的正切值為4/7），那么它是否會受到臺風的影響？

這是同學們在學習數學必修2時曾經研究過的問題，你能說說你現在會怎樣解決這個問題？ 意圖：體會坐標法的思想，強調研究曲線與方程的概念的必要性，讓學生體會數學方法的好處.師生活動：教師提出問題后讓學生交流并回答他們的想法，在此基礎上，教師歸納并演示過程：如圖建立直角坐標系，得出船的航線的方程為4x+7y-28=0，圓形區域的邊界圓的方程為x+y=9.聯解上面兩個方程所成的方程組有一定的困難，可以通過TI圖形計算器求解，如下列圖示：

2由此可見讓船按原定航線航行不會出現危險．

進一步問學生：如果沒有坐標法，沒有直線的方程與圓的方程，但要確定能否讓船按原定航線航行，你會怎樣做？

[問題2]我們知道，在平面直角坐標系中，經過點(x0,y0)，且方向向量為確定的，你能求出這條直線的方程嗎？怎么說明你所求得的方程就是這條直線的方程呢？

意圖：為引出曲線的方程與方程的曲線的概念做鋪墊.師生活動：讓學生嘗試求直線的方程，在得出直線的方程后，教師介紹怎樣說明所得的方程就是直線的方程．

[問題3] 你能說明中心在(a,b)，半徑為的圓的方程是(x-a)+(y-b)=r嗎？

2的直線是唯一意圖：讓學生體會教師在[問題2]中介紹的“說明所得方程是直線的方程”的方法，為介紹曲線的方程與方程的曲線的概念再做準備.師生活動：讓學生先思考，然后教師引領學生完成說明過程.[問題4] 對一般的曲線與方程，你能給出方程是曲線的方程，曲線是方程的曲線的概念嗎？ 意圖：給出曲線的方程與方程的曲線的概念.師生活動：讓學生先思考，然后教師引領學生閱讀教材上的“定義”，給出曲線的方程與方程的曲線的概念.最后問學生：

[問題5] 給定命題A：“方程f(x,y)=0是曲線曲線”，請問命題A與命題B是否互為充要條件？

意圖：加深對曲線的方程與方程的曲線的概念的認識.師生活動：學生回答，教師評析．學生完成教材P37練習第1題，并將題中的“中線AO（O為原點）所在直線的方程”修改為“中線AO（O為原點）的方程”后，提問學生結論有無改變？學生完成P37練習第2題． 的方程”；命題B：“曲線C是方程f(x,y)=0的 [問題6] 你能畫出函數的圖象嗎？圖象C上的點相應于坐標軸的距離而言具有怎樣的幾何特征？是否具有這些幾何特征的點都在圖象C上？

意圖：理解用解析式表示的函數與其圖象之間的關系，鞏固曲線的方程與方程的曲線的概念.師生活動：（1）師生畫出函數的圖象C（可以利用信息技術工具）；（2）學生思考“圖象C上的點相應于坐標軸的距離而言具有怎樣的幾何特征”，利用信息技術工具探究，可能歸納出的幾何特征是“圖象C上的點到兩坐標軸的距離的乘積是常數k”；（3）學生思考“到兩坐標軸的距離的乘積是常數的點都在圖象C上”嗎？；（4）師生得出“到兩坐標軸的距離的乘積是常數k的點的軌跡方程是”；（5）證明所得結論，完成教材P35例1．

[問題7] 閱讀教材P35“2．1．2求曲線的方程”的第一段內容，你能得出什么結論？ 意圖：明確解析幾何研究的基本內容.師生活動：學生閱讀教材并提煉回答內容，請學生回答，教師點評．

[問題8]已知平面上的線段BC的長為所張的角恒為，動點A位于線段BC所在直線的同一側，且向線段BC，動點A的軌跡是否有有限長度？若有，你能求出其長度嗎？

意圖：歸納求曲線的方程的步驟，體會坐標法的基本思想． 師生活動：

（1）教師講解：以BC所在的直線為x軸，以線段BC的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，則，．設點A在x軸的上方，坐標為(x,y)(y>0)，則點A的集合為

．

由于

因為所以

所以，點A的坐標滿足方程x+(y-1)= 4 ① ；

反過來，由于上述的步驟均可逆，所以方程①的解作為坐標的點都在集合P中．

所以，點A的軌跡方程是①，點A的軌跡是一段以2為半徑的圓弧，它的長度是整個圓的．因此，動點A的軌跡的長度為

（2）教師根據上述過程總結求曲線的方程的步驟（見教材P36）.（3）提問學生，有無其它建立坐標系的方法使點A的軌跡方程更簡單，更簡單的原因是什么？教師歸納總結建立坐標系的一般要點．

（4）提問學生思考：為什么不能把x+(y-1)= 4作為點A的軌跡方程？（5）學生練習教材P37練習第3題．

[問題9] 已知一條直線和一個點F，點F到l的距離是2．一條曲線上面的點到F的距離減去到l的距離所得的差都是2．你能建立適當的坐標系，求出這條曲線的方程嗎？

意圖：幫助學生熟悉和鞏固求曲線的方程的步驟.師生活動：（1）師生一起討論如何畫出圖形，如何建立坐標系．

（2）讓學生按步驟求出曲線的方程．

（3）師生一起討論如何避免軌跡中出現多余的點或方程中出現多余的解．（4）簡化求解步驟．

[問題10]建立坐標系后，是否存在一條曲線有兩個不同的方程？你能以[問題1]和[問題8]為例，歸納一下你本節課學得的東西嗎？

意圖：歸納總結本節內容.師生活動：學生思考交流，教師幫助總結.五、目標檢測設計

1．教材P37，習題2.1：A組第3、4題；B組第1題．

2．已知平面上的線段BC的長為的軌跡的長度嗎？ 2009-03-25 人教網，動點A向線段BC所張的角恒為，你能求出動點A運動

第四篇：2.1曲線與方程 教學設計 教案

教學準備

1.教學目標

[1]了解曲線上的點與方程的解之間的一一對應關系 [2]初步領會“曲線的方程”與“方程的曲線”的涵義 [3]強化“形”與“數”一致并相互轉化的思想

2.教學重點/難點

教學重點：理解“曲線的方程”與“方程的曲線”的涵義 教學難點：利用定義驗證曲線是方程的曲線，方程式曲線的方程

3.教學用具

多媒體設備

4.標簽

教學過程

教學過程設計

復習引入

【師】在本節課之前，我們研究過直線的各種方程，建立了二元一次方程與直線的對應關系：在平面直角坐標系中，任何一條直線都可以用一個二元一次方程表示，同時任何一個二元一次方程也表示著一條直線，請思考下面問題： 【板演/PPT】

思考1 直線y＝x上任一點M到兩坐標軸距離相等嗎？

思考2 到兩坐標軸距離相等的點都在直線y＝x上，對嗎？

思考3 到兩坐標軸距離相等的點的軌跡方程是什么？為什么？ 【生】學生思考交流 2 新知介紹

[1]結合具體實例，引入曲線方程和方程曲線概念 【師】：引導學生發言總結 【板演/PPT】 答 y＝±x.理由：在直角坐標系中，到兩坐標軸距離相等的點M的坐標(x0，y0)滿足y0＝x0或y0＝－x0，即(x0，y0)是方程y＝±x的解；

反之，如果(x0，y0)是方程y＝x或y＝－x的解，那么以(x0，y0)為坐標的點到兩坐標軸距離相等． 【師】思考下面問題：

思考4 曲線C上的點的坐標都是方程f(x，y)＝0的解，能否說f(x，y)＝0是曲線C的方程？

思考5 判斷下列命題是否正確．

(1)以坐標原點為圓心，半徑為r的圓的方程是y＝(2)過點A(2,0)平行于y軸的直線l的方程為|x|＝2.【生】思考總結 【板演/PPT】

解(1)不正確．設(x0，y0)是方程y＝x02＋y02＝r2.兩邊開平方取算術平方根，得的解，則y0＝，即

；

＝r即點(x0，y0)到原點的距離等于r，點(x0，y0)是這個圓上的點．因此滿足以方程的解為坐標的點都是曲線上的點．但是，以原點為圓心、半徑為r的圓上的一點如點在圓上，卻不是y＝的解，這就不滿足曲線上的點的坐標都，是方程的解．所以，以原點為圓心，半徑為r的圓的方程不是y＝而應是y＝±

.(2)①、直線上的點的坐標都滿足方程︱x︱=2

②、滿足方程︱x︱=2的點不一定在直線上 結論：過A（2，0）平行于y軸的直線的方程不是︱x︱=2 【師】引導學生交流思想總結曲線方程的概念 【板演/PPT】

曲線的方程、方程的曲線

一般地，在直角坐標系中，如果某曲線C(看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡)上的點與一個二元方程f(x，y)＝0的實數解建立了如下的關系：(1)曲線上點的坐標都是這個方程的解；

(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點．

那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線． 【師】 引導學生深入理解定義，從充要條件來理解這個定義 【板演/PPT】

定義中的兩個條件是判定一個方程是否為所定曲線的方程，一條曲線是否為所定方程的曲線的依據，缺一不可． 從邏輯知識來看：

第一個條件表示f(x，y)＝0是曲線C的方程的必要條件，第二個條件表示f(x，y)＝0是曲線C的方程的充分條件．因此，在判斷或證明f(x，y)＝0為曲線C的方程時，必須注意兩個條件同時成立． 【板演/PPT】 從集合角度理解為：

定義的實質是平面曲線的點集{M|p(M)}和方程f(x，y)＝0的解集{(x，y)|f(x，y)＝0}之間的一一對應關系．

由曲線和方程的這一對應關系，既可以通過方程研究曲線的性質，又可以求曲線的方程 [2]概念應用

【師】下面我們看屏幕上的例題 【板演/PPT】 例1：若命題“曲線C上的點的坐標都是方程f(x，y)＝0的解”是正確的，則下列命題為真命題的是()．

A．不是曲線C上的點的坐標，一定不滿足方程f(x，y)＝0 B．坐標滿足方程f(x，y)＝0的點均在曲線C上 C．曲線C是方程f(x，y)＝0的曲線

D．不是方程f(x，y)＝0的解，一定不是曲線C上的點.【師】從定義入手，考慮充要條件 【生】思考回答 【板書/PPT】

解析 ∵題設命題只說明“曲線C上的點的坐標都是方程f(x，y)＝0的解”，并未指出“以方程f(x，y)＝0的解為坐標的點都是曲線C上的點”，∴A，B，C都是假命題，如曲線C：平面直角坐標系一、三象限角平分線上的點，與方程f(x，y)＝x2－y2＝0，滿足題設條件，但卻不滿足選項A，B，C的結論，根據逆否命題是原命題的等價命題知，D是正確的． 【師】規律方法

(1)判斷方程是否是曲線的方程，要從兩個方面著手，一是檢驗點的坐標是否適合方程，二是檢驗以方程的解為坐標的點是否在曲線上．從而建立方程的解與曲線上點的坐標的一一對應關系．

(2)定義中的兩個條件是判定一個方程是否為指定曲線的方程，一條曲線是否為所給定方程的曲線的準則，缺一不可．因此，在證明f(x，y)＝0為曲線C的方程時，必須證明兩個條件同時成立．

【師】為了深刻的理解方程與曲線，我們來看下列一個問題 【板書/PPT】

[例2] 下列方程表示如圖所示的直線，對嗎？為什么？不對請改正．

【生】分析各個方程所表示的曲線是否與圖中圖象符合 【板書/PPT】 解：不對，應為y=x 【師】引導學生反思總結 【板書/PPT】 反思與感悟

判斷方程表示什么曲線，必要時要對方程適當變形，變形過程中一定要注意與原方程等價，否則變形后的方程表示的曲線就不是原方程的曲線． 【板書/PPT】

【師】引導學生思考 【板書/PPT】

方法點撥(1)判斷點是否在某個方程表示的曲線上，就是檢驗該點的坐標是否是方程的解，是否適合方程．若適合方程，就說明點在曲線上；若不適合，就說明點不在曲線上．

解：帶入驗證知P點在此方程所表示的曲線上，Q點不在。【板書/PPT】(2)若點在此方程表示的曲線上，求m的值． 解：將點帶入方程后解方程得：

遷移訓練（12分）若曲線y2＝xy＋2x＋k通過點(a，－a)，a∈R，求k的取值范圍．

【師】引導學生思考

【板書/PPT】

[3] 新知應用

【師】為了深刻的理解本節內容，我們來看下列一個問題 【板書/PPT】

1.曲線C的方程為y＝x(1≤x≤5)，則下列四點中在曲線C上的是（）

A.(0,0)B.(1,5)

C.(4,4)

C.(4,2)2.已知坐標滿足方程f(x，y)＝0的點都在曲線C上，那么（）A.曲線C上的點的坐標都適合方程f(x，y)＝0 B.凡坐標不適合f(x，y)＝0的點都不在C上 C.不在C上的點的坐標必不適合f(x，y)＝0 D.不在C上的點的坐標有些適合f(x，y)＝0，有些不適合f(x，y)＝0 3.下列四個圖形中，圖形下面的方程是圖形中曲線的方程的是

【師】 能否根據引例中的檢驗方式進行相關分析 4.方程y＝3x－2(x≥1)表示的曲線為（）

A.一條直線

B.一條射線

C.一條線段

D.不能確定 5.方程x2＋xy＝x表示的曲線是（）

A.一個點

B.一條直線 C.兩條直線

D.一個點和一條直線 6.“點M在曲線y2＝4x上”是“點M的坐標滿足方程y＝－2

”的（）

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件 7.請說出下列方程表示什么曲線？

答案：CCDBCB

課堂小結

1.曲線的方程和方程的曲線必須滿足兩個條件： ①曲線上點的坐標都是方程的解，②以方程的解為坐標的點都在曲線上． 2.點(x0，y0)在曲線C上的充要條件是點(x0，y0)適合曲線C的方程． 3.曲線和方程質檢一一對應的確立，進一步把“曲

線”與“方程”統一了起來，在此基礎

上，我們就可以更多地用代數的方法研究幾何問題.板書

第五篇：曲線與方程的教學設計

曲線與方程的教學設計

一、教學內容與內容解析 1．內容：

（1）曲線的方程與方程的曲線的概念；（2）求曲線的方程；（3）坐標法的基本思想與簡單應用.2．內容解析：

“曲線與方程”是《普通高中數學課程標準》規定的教學內容．在教學時，不少人認為只是為后面學習橢圓、雙曲線、拋物線做準備．盡管學習這一內容是學生體會并理解圓錐曲線與其方程的基礎，但人們將碰得的曲線遠非這些．因此，教學時不僅要讓學生學習如何求曲線的方程，而且要通過這一內容培養學生的坐標法思想，使學生明白求出曲線方程的真正意義在于利用曲線的方程去研究曲線.研究曲線與方程的目的是把曲線的幾何特征轉化為數量關系，并通過代數運算等方便手段，處理已得到的數量關系,進而得出曲線的幾何性質，并達到利用曲線為人們服務的目的．因此，學習這一部分內容可以加深學生對數學中的代數方法的認識，也能夠讓學生更好地體會數學的本質．

在平面直角坐標系建立以后，任何曲線都有唯一的方程，任何方程也都有唯一確定的曲線(或點集)．因此，曲線的方程是曲線的唯一表示．這種表示，為人們表達自己的思想認識提供了一種規范，這是人們應該具備的基本素養．

二、教學目標與目標解析 1．目標：

（1）通過實例理解曲線的方程與方程的曲線的概念，能判斷已經學習過的特殊的曲線與方程之間是否具有互為表示的關系；

（2）通過實例體會求曲線的方程的基本步驟，能求出給定了幾何特征的曲線的方程；

（3）通過實例體會不同的平面直角坐標系對同一曲線方程的影響，體會如何“恰當”地建立平面直角坐標系.（4）通過一些簡單曲線的方程及其研究，體會坐標法的基本思想及簡單應用． 2．目標解析：

教學目標（1）和（2）是本節課的教學重點，教學時落實好目標（1）、（2）和（3）是實現教學目標（4）的前提與保證.學生通過函數y =f(x)及其圖象、直線的方程與圓的方程的學習，對曲線的方程與方程的曲線這些概念有了初步認識，但這只是一種意會，我們現在的任務是要建立曲線與方程之間的一般性的概念，讓學生能從“定義”的角度去理解這些概念.教學目標（3）是學生初學時不易達到的目標，教學時要提供學生熟悉的曲線（比如直線，圓等）在不同坐標系中的方程的簡潔程度，讓學生體會建立坐標系時應該關注的要點．

對許多與曲線有關的具體問題而言，原本是沒有坐標系的．因此，通過這樣的問題，可以使學生體會如何建立坐標系，求出問題中曲線的方程，并通過曲線的方程幫助解決問題，這應該是實現教學目標（4）的一種較好的方法．

三、教學問題診斷分析

1．如何理解曲線與其方程之間的關系？學生可以很流利地背出曲線與其方程應該滿足的兩條，但是如何證明“一條曲線與一個方程之間具有互為表示的關系”，這是學生學習時可能遇到的第一個教學問題.這個問題可以結合“直線與其方程”、“圓與其方程”進行說明．

2．在求曲線的方程時，如何建立平面直角坐標系？這是學生會遇上的第二個教學問題，也是本節課的教學難點之一．教學時，應通過實例，幫助學生總結出建立坐標系的基本要點，并用具體問題讓學生練習進行體會．

3．在將曲線上的點應該滿足的幾何特征轉化為點的坐標應滿足的等式后，常常遇上“將所得等式化簡得到所求方程”的問題．對于有些復雜的等式，化簡是一個學生不易把握的問題，學生在此極易出錯，這是第三個教學問題.教學時不能因為這個問題而使教學偏離重點，因而宜使用信息技術工具解決這個問題.4．學生學習時，可能會因更多地關注代數運算而忽略數學思想的提煉，這個教學問題的解決，需要教師有目的地進行引領.四、教學支持條件

1．在進行本節課的教學時，學生已經在數學必修1中學習了函數y =f(x)及其圖象，在數學必修2中學習了直線的方程與圓的方程，這些內容是學生理解曲線與方程概念的重要基礎，因此教學時應充分注意這一教學條件，引導學生多進行歸納與概括.2．曲線與方程是數形結合的典范，教學這一內容時會涉及大量圖形的繪制與方程的簡化等代數運算，因此，TI圖形計算器或幾何畫板是重要的支持條件，教學中充分利用這一條件，不僅可以節省大量時間用于學生思考，而且可以對實際問題中的數據不加“修飾”地進行分析.五、教學過程設計 引子：

(1)寫出表示下列圖形(實線部分)的方程

(2)作下列方程所表示的圖形

(i)

;(ii)意圖：通過建立平面直角坐標系，用坐標來刻畫點的位置，為后面用點與坐標的對應關系來研究曲線與方程的關系作準備，同時讓學生體會坐標法思想。

[問題1] 一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風預報：臺風中心位于輪船正西70 km處，受影響的范圍是半徑長為30 km的圓形區域．已知港口位于臺風中心正北40 km處，如果這艘輪船不改變航線（航行方向與東向西方向的夾角的正切值為4/7），那么它是否會受到臺風的影響？

這是同學們在學習數學必修2時曾經研究過的問題，你能說說你現在會怎樣解決這個問題？ 意圖：體會坐標法的思想，強調研究曲線與方程的概念的必要性，讓學生體會數學方法的好處.師生活動：教師提出問題后讓學生交流并回答他們的想法，在此基礎上，教師歸納并演示過程：如圖建立直角坐標系，得出船的航線的方程為4x+7y-28=0，圓形區域的邊界圓的方程為x+y=9.聯解上面兩個方程所成的方程組有一定的困難，可以通過TI圖形計算器求解，如下列圖示：

2由此可見讓船按原定航線航行不會出現危險．

進一步問學生：如果沒有坐標法，沒有直線的方程與圓的方程，但要確定能否讓船按原定航線航行，你會怎樣做？

[問題2]我們知道，在平面直角坐標系中，經過點(x0,y0)，且方向向量為確定的，你能求出這條直線的方程嗎？怎么說明你所求得的方程就是這條直線的方程呢？

意圖：為引出曲線的方程與方程的曲線的概念做鋪墊.師生活動：讓學生嘗試求直線的方程，在得出直線的方程后，教師介紹怎樣說明所得的方程就是直線的方程．

[問題3] 你能說明中心在(a,b)，半徑為的圓的方程是(x-a)+(y-b)=r嗎？

2的直線是唯一意圖：讓學生體會教師在[問題2]中介紹的“說明所得方程是直線的方程”的方法，為介紹曲線的方程與方程的曲線的概念再做準備.師生活動：讓學生先思考，然后教師引領學生完成說明過程.[問題4] 對一般的曲線與方程，你能給出方程是曲線的方程，曲線是方程的曲線的概念嗎？ 意圖：給出曲線的方程與方程的曲線的概念.師生活動：讓學生先思考，然后教師引領學生閱讀教材上的“定義”，給出曲線的方程與方程的曲線的概念.最后問學生：

[問題5] 給定命題A：“方程f(x,y)=0是曲線曲線”，請問命題A與命題B是否互為充要條件？

意圖：加深對曲線的方程與方程的曲線的概念的認識.師生活動：學生回答，教師評析．學生完成教材P37練習第1題，并將題中的“中線AO（O為原點）所在直線的方程”修改為“中線AO（O為原點）的方程”后，提問學生結論有無改變？學生完成P37練習第2題． 的方程”；命題B：“曲線C是方程f(x,y)=0的 [問題6] 你能畫出函數的圖象嗎？圖象C上的點相應于坐標軸的距離而言具有怎樣的幾何特征？是否具有這些幾何特征的點都在圖象C上？

意圖：理解用解析式表示的函數與其圖象之間的關系，鞏固曲線的方程與方程的曲線的概念.師生活動：（1）師生畫出函數的圖象C（可以利用信息技術工具）；（2）學生思考“圖象C上的點相應于坐標軸的距離而言具有怎樣的幾何特征”，利用信息技術工具探究，可能歸納出的幾何特征是“圖象C上的點到兩坐標軸的距離的乘積是常數k”；（3）學生思考“到兩坐標軸的距離的乘積是常數的點都在圖象C上”嗎？；（4）師生得出“到兩坐標軸的距離的乘積是常數k的點的軌跡方程是”；（5）證明所得結論，完成教材P35例1．

[問題7] 閱讀教材P35“2．1．2求曲線的方程”的第一段內容，你能得出什么結論？ 意圖：明確解析幾何研究的基本內容.師生活動：學生閱讀教材并提煉回答內容，請學生回答，教師點評．

[問題8] 已知一條直線和一個點F，點F到l的距離是2．一條曲線上面的點到F的距離減去到l的距離所得的差都是2．你能建立適當的坐標系，求出這條曲線的方程嗎？

意圖：幫助學生熟悉和鞏固求曲線的方程的步驟.師生活動：

（1）師生一起討論如何畫出圖形，如何建立坐標系．

（2）讓學生按步驟求出曲線的方程．（3）師生一起討論如何避免軌跡中出現多余的點或方程中出現多余的解．（4）簡化求解步驟．

[問題9]建立坐標系后，是否存在一條曲線有兩個不同的方程？你能以[問題1]和[問題8]為例，歸納一下你本節課學得的東西嗎？

意圖：歸納總結本節內容.師生活動：學生思考交流，教師幫助總結.五、目標檢測設計

1．教材P37，習題2.1：A組第3、4題；B組第1題．

2．已知平面上的線段BC的長為的軌跡的長度嗎？，動點A向線段BC所張的角恒為，你能求出動點A運動