第一篇：常規數列求和之錯位相減法教案

常規數列求和之錯位相減法

例

1、已知數列{an}前n項和為Sn，且a1＝1，an＋1＝2Sn．

(1)證明數列{Sn}是等比數列；

(2)求數列{an}的通項公式；

(3)求數列{n·an}的前n項和Tn．

例

2、已知數列{an}滿足Sn＝2an＋3n－12．

(1)證明數列{an－3}是等比數列；

(2)求數列{an}的通項公式；

(3)求數列{n·an}的前n項和Tn．

第二篇：《數列求和之錯位相減法》教學設計

《數列求和之錯位相減法》教學設計

教學目標：

讓學生能夠理解錯位相減法，并能夠應用錯位相減法求數列的前n項和。教學重點： 錯位相減法的應用 教學難點：

錯位相減法的計算過程 教學內容：

一、課前復習

回顧等比數列前n項和的求和公式：

設計意圖：由于應用錯位相減法解題時必定會使用等比數列前n項和的通項公式求和，因此有必要做好復習鋪墊工作。

二、問題探究

數列{an}的通項公式an?n，數列{bn}的通項公式bn?2n，求數列{an?bn}的前n項和。設計意圖：由具體問題引入課題，引導學生觀察題目中所求數列通項的特點，即“等差×等比”型。

解決方法：展示并敘述“錯位相減法”的具體操作步驟，具體如下：

由此歸納“錯位相減法”核心要領：乘公比，錯位，相減。設計意圖：整個過程的完整展示，幫助學生建立一個清晰的計算步驟，以此學會解決此類型的數列求和問題，主要體現設計的實用性。

三、當堂練習

設計意圖：為了鞏固復習錯位相減法，讓學生對不同“長相”，但都屬于“等差×等比”型題目能熟悉，從而確信并有意識強化學習。

四、歸納小結

1、首先進行使用“錯位相減法”時易出錯的4點進行歸納強調。

2、再整體上對此段的學習進行小結，再次提升

設計意圖：有學習必有總結。任何一種解題方法都有其使用條件、適用范圍，以及易錯點等等。學生通過學習，也能自覺感知并總結，由此深化數學解題方法的學習。

五、作業布置

設計意圖：課下練習，進一步鞏固掌握“錯位相減法”

第三篇：錯位相減法畢業論文素材

導語：錯位相減法是一種常用的數列求和方法。應用于等比數列與等差數列相乘的形式。下面是小編收集整理的錯位相減法畢業論文素材，歡迎參考！

【錯位相減法畢業論文素材一】

一、問題的提出

a1(1-qn)我們都知道，高一課本第一冊(上)在推導等比數列前n項和公式Sn= 1-q，隨即在書中的第137頁復習參考題三B(q≠1)的過程中運用了著名的“錯位相減法”。

組中出現了運用該方法來解決的求和問題：

6、S=1+2x+3x2+??+nxn-1。這類數列的主要特征是：已知數列{Cn}滿足Cn=an?bn其中{an}等差，{bn}等比且公比不等于1，老師們形象地稱這類數列{Cn}為“等差乘等比型”數列。求這類數列前n項的和時通常在和式的兩邊都乘以組成這個數列的等比數列的公比，然后再將得到的新和式和原和式相減，轉化為同倍數的等比數列求和，這種方法即所謂的“錯位相減法”。而且近年來的各地乃至全國高考的試卷中頻頻出現此類型的數列的求和問題，解法當然是不變的“錯位相減法”，而且老師在平時的講題中也一再強調該類型的前n項和只能用錯位相減法來解決，似乎成了“自古華山一條道”的絕法。難道真的沒有其他的解決方法了嗎?這的確沒有讓我墨守成規，反而激起了我無限的探索欲。

二、特例解決帶來的啟發

當q≠1時等比數列{an}通項an=a1qn-1可變形為an=a1qn-1?a1-q=1(qn-1-qn)1-q1-q

于是前n項和Sn=a1a[(1-q1)+(q1-q2)+?+(qn-1-qn)]=1(1-qn)1-q1-q

受到上面變形的啟發，我想既然等比數列的通項可以裂成兩項的差的形式，那么公比不為1的“等差乘等比型”數列的通項如果也能裂成類似的形式，那么讓我苦思冥想的那個求和方法不就神奇的找到了嗎?在此之前，我們老師還一再強調此類數列的求和不能用裂項相消，如果這一設想成功的話，算不算是觀念和方法上的一次突破。

三、一個方法的發現

裂項求和也是數列求和中最常用的一種方法，它的本質是將數列中的每一項都化為兩項之差，并且前一項的減數恰好與后一項被減數相同，求和時中間項相抵消。

【錯位相減法畢業論文素材二】

數列求和是數列的重要內容之一，在現行高中教材中，只對等差數列和等比數列的求和公式進行了計算推導，而數列種類繁多，形式復雜，絕大多數既非等差數列又非等比數列，也就不能直接用公式來求解。很多同學遇到數列求和問題總是感到力不從心，甚至有的同學把它看作是自己的死穴，覺得即使思考也做不出來，何必耽誤時間，因此遇到這類問題就直接跳過。在這中間，錯位相減是一個比較重要的內容，也是一個及其有效的解決數列求和的簡便方法，但是由于它的計算量比較大，同時要反復列出幾個式子并且不斷求解，有的題目一眼看上去不容易找出公比，更加導致一些同學放棄或者只計算其中的一部分。實際上，通過分層次練習，總結經驗，并找到規律，這類問題的求解會變得相當的簡單。

一、錯位相減理論分析

錯位相減是高中數學教材中推導等比數列前n項和的一種思想方法，它在解決由一個等差數列和一個等比數列對應項之積所構成的數列求和，具有非常重要的意義。由于它的獨特性與實用性，并且與課本知識緊密結合，所以，在高考中占有十分重要的地位。它所遵從的思想是一種轉化的思想，經過轉化可以把它轉化成為等比問題求解。乘以相同的公比得到新式子，再同舊式子錯位相減，就得到了一個含有等比數列的等式，細心計算，便不難求解。

二、錯位相減題目舉例

首先，我們先看一道最簡單的例題，從簡單題中得到啟發。

例1.已知數列an=nλnλ，求數列的和。

解：∵Tn=λ+2λ2+…+n-1)λn-1+nλn，JY①

兩邊同時乘以λ，得

λTn=λ2+2λ3+…+n-1)λn+nλn+1，JY②

①-②，得

JZ1-λ)Tn=λ+λ2+…+λn-1+λn-nλn+1，JZ∴1-λ)Tn=SXλ1-λn)1-λSX)-nλn+1，JZ∴Tn=SXλ1-λn)1-λ)2SX)-SXnλn+11-λSX).這是一個最簡單的錯位相減，同時也是解決錯位相減問題的一個基礎題目。

下面，我們來看一道有些麻煩的題目。

例二.an=1-2n)2n，求Sn.解：由題意知，JZan=(1-2n)2n，JZ∴Sn=a1+a2+a3+…+an，即

DKSn=(1-2)2+(1-4)22+(1-6)23+…+(1-2n)2nDK)JY①

①×2得

DK2Sn=(1-2)22+(1-4)23+…+(3-2n)2n+(1-2n)2n+1DK)JY②

②-①得

JZSn=2+222+23+…+22n-(2n-1)2n+

1JZ=2+2SX4(1-2n-1)1-2SX)-(2n-1)2n+1

JZ=(1-n)2n+2+2n+1-6

例二是一個具體化的錯位相減問題，對于這些直接列出的題目，大多數的學生都可以做出來，出錯率也比較的低，但是，在如今這樣一個考驗學生綜合素質=的社會中，我們遇到的大多都是多個知識點結合的題目。下面我們通過一道高考題來進一步認識一下錯位相減。

例三.已知等差數列{an}的前3項和為6，前8項和為-4.(1)求數列的通項公式.(2)設bn=(4-an)qn-1q≠0，n∈求數列的前n項和.解：(1)設{an}的公差為d，則由已知得

JZJB{a1+a2+a3=6a1+a2+…+a8=-4，JB)即JB{3a1+3d=68a1+28d=-4，JB)

解得a1=3，d=-1，故an=3-n-1)=4-n.(2)由(1)知，bn=nqn-1，于是JZSn=1q0+2q1+3q2+…+nqn-1，若q≠1，上式兩邊同時乘以q.JZqSn=1q1+2q2+3q3+…+nqn-1，兩式相減得：

JZ(1-q)Sn=1+q1+q2+…+qn-1-nqn=SX1-qn1-qSX)-nqn.JZ∴Sn=SX1-qn(1-q)2SX)-SXnqn1-qSX)=SXnqn+1-(n+1)qn+1(1-q)2SX).若q=1，則Sn=1+2+3+…+n=SXnn+1)2SX)，JZ∴Sn=JB{HL2SXn(n+1)2SX)(q=1)

SXnqn+1-(n+1)qn+1(1-q)2SX)q≠1)HL)JB)

針對這個問題，許多同學容易忽視對于q的討論致使題目出錯。這個問題的關鍵是對于等比數列的定義的認識，若是忽視了等比數列定義中對于公比的界定，則很容易導致問題出錯。我們回顧例一可以發現，在例一中我們對公比進行了限定，因此，在下面的解題中就不需要進行討論。

三、方法總結

A.分析題型，確定類型。錯位相減問題具有很強的規律性，當然也適應特定的題目，所以，在做題之前首先需要明確題目的類型，錯位相減法是否使用。首先，確定是否為數列類型的題目;其次再確定是否為求和問題;最后，通過觀察通項的類型，確定是否可以使用錯位相減法解決問題。錯位相減法是等差數列和等比數列的有效結合，即

JZTn=a1b1+a2b2+…+an-1bn-1+anbn

其中an為等差數列，bn為等比數列。

B.錯位相減的做題方法

以例1為例，即

Tn=λ+2λ2+…+(n-1)λn-1+nλnJY①

λTn=λ2+2λ3+…+(n-1)λn+nλn+1JY②

(1-λ)Tn=λ+λ2+…+λn-1+λn-nλn+1JY③

1.①×公比λ得②式(或乘以公比的倒數，解題方法類似);

2.①-②得③(③式為：留①頭，減②尾，中間對應次數相減的同系數);

3.③里面含有n+1項;

4.按照等比數列求和方法求③式的前n項的和，減去第n-1項;

5.③式兩邊同時除以SX1λ-1SX)得最后的結果。

在使用錯位相減求和時，一定要善于識別這類題目，準確的識別是正確解題的關鍵。同時要十分注意等比數列的公比為負數的情形，此外，一定要注意在書寫的時候注意將①②兩式的“錯項對齊”，即將相同冪指數的項對齊，這樣有一個式子(即式①)前面空出一項，另外一個式子(即式②)后面就會多出一項，①②兩式相減得到③式，在式③中除了第一項和最后一項，剩下的n-1項是一個等比數列。當然認真細致，悉心體會，記住規律，耐住性子也是相當重要的。

“知行統一”的重要性大家應該都知道，當我們記住了理論的知識，勤加練習，反復運用才會使我們事倍功半，恰巧，錯位相減正需要我們的大量練習，在不斷的練習，反復的刺激我們的記憶細胞下才有可能使我們在做題的時理論練習實際，減少出錯率。

第四篇：數列求和教案

數列求和

數列求和常見的幾種方法：（1）公式法：①等差（比）數列的前n項和公式；

1n(n?1)21222?n2?nn(?

1?2?3?......6② 自然數的乘方和公式：1?2?3?......?n?（2）拆項重組：適用于數列

1n)(?2 1)?an?的通項公式an?bn?cn，其中?bn?、?cn?為等差數列或者等比數列或者自然數的乘方；

（3）錯位相減：適用于數列?an?的通項公式an?bn?cn，其中?bn?為等差數列，?cn?為等比數列；

（4）裂項相消：適用于數列?a的通項公式：akn?n?n(n?1),a1n?n(n?k)（其中k為常數）型；

（5）倒序相加：根據有些數列的特點，將其倒寫后與原數列相加，以達到求和的目的.（6）

分段求和：數列?an?的通項公式為分段形式

二、例題講解

例

1、（拆項重組）求和：3112?54?718?......?[(2n?1)?12n]

練習1：求和Sn?1?2?2?3?3?4?......?n(n?1)

例

2、（裂項相消）求數列1111?3,3?5,5?7,17?9,...,1(2n?1)(2n?1)的前n項和

練習2：求S11n?1?1?2?1?2?3?11?2?3?4?...?11?2?3?...?n

例

3、（錯位相減）求和：1473n?22?22?23?...?2n

練習3：求Sn?1?2x?3x2?4x3?...?nxn?1(x?0)

例

4、（倒序相加）設f(x)?4x4x?2，利用課本中推導等差數列前n項和的方法，求：f(11001)?f(21001)?f(31001)?...?f(10001001)的值

a?3n?2(n?4)例

5、已知數列?n?的通項公式為an???2n?3(n?5)(n?N*)求數列?an?的前n項和Sn

檢測題

1.設f(n)?2?24?27?210?...?23n?10(n?N)，則f(n)等于（）

2n222n?4(8?1)

B.(8n?1?1)

C.(8n?3?1)

D.(8?1)777712.數列{an}的前n項和為Sn，若an?，則S5等于（）

n(n?1)511A．1

B．

C．

D．

66303.設{an}是公比大于1的等比數列，Sn為數列{an}的前n項和．已知S3?7，且a1?3，3a2，a3?4構成等差數列． A.（1）求數列{an}的通項公式．（2）令ban?ln3n?1，n?1，2...，求數列{bn}的前n項和Tn。

4.設數列?a2nn?滿足a1?3a2?3a3?…?3n?1a

3，a?N*n?．（Ⅰ）求數列?an?的通項；

（Ⅱ）設bnn?a，求數列?bn?的前n項和Sn n

5.求數列22,462n22,23,???,2n,???前n項的和.6：求數列11?2,12?3,???,1n?n?1,???的前n項和.7：數列{an}的前n項和Sn?2an?1，數列{bn}滿b1?3,bn?1?an?bn(n?N?).（Ⅰ）證明數列{an}為等比數列；（Ⅱ）求數列{bn}的前n項和Tn。

8：

求數列21，41，6114816，2n?2n?1，...的前n項和Sn．

．

9、已知數列?an?的前n項和Sn?1?2?3?4?5?6?...???1?n?1?n，求S100.10：在各項均為正數的等比數列中，若a5a6?9,求log3a1?log3a2?????log3a10的值.11：求數列的前n項和：1?1,1a?4,11a2?7,???,an?1?3n?2，…

12：求S?12?22?32?42?...?(?1)n?1n2（n?N?）

13：已知函數f?x??2x2x?2（1）證明：f?x??f?1?x??1；

（2）求f??1???f??10??2??10???f??8???10???f??9??10??的值。.

第五篇：數列求和教案

課題：數列求和

教學目標

（一）知識與技能目標

數列求和方法．

（二）過程與能力目標

數列求和方法及其獲取思路．

教學重點：數列求和方法及其獲取思路． 教學難點：數列求和方法及其獲取思路．

教學過程

1．倒序相加法：等差數列前n項和公式的推導方法：（1）??Sn?a1?a2???an?2Sn?n(a1?an)

?Sn?an?an?1???a1122232102?????22 例1．求和：21?10222?9232?8210?1分析：數列的第k項與倒數第k項和為1，故宜采用倒序相加法．

小結: 對某些前后具有對稱性的數列,可運用倒序相加法求其前n項和.2．錯位相減法：等比數列前n項和公式的推導方法：

（2）??Sn?a1?a2?a3???an?(1?q)Sn?a1?an?1 qS?a?a???a?a23nn?1?n23n例2．求和：x?3x?5x???(2n?1)x(x?0)

3．分組法求和

1?的前n項和； 161例4．設正項等比數列?an?的首項a1?，前n項和為Sn，且210S30?(210?1)S20?S10?0

2例3求數列1,2,3,4（Ⅰ）求?an?的通項；（Ⅱ）求?nSn?的前n項和Tn。例5．求數列 1, 1?a, 1?a?a,?,1?a?a???a121418,?的前n項和Sn.n(n?1)解:若a?1,則an?1?1???1?n, 于是Sn?1?2???n?;2 n1?a1 若a?1,則an?1?a??an?1? ?(1?an)1?a1?a1?a1?a21?an11a(1?an)2n于是Sn????? ?[n?(a?a???a)]?[n?]

1?a1?a1?a1?a1?a1?a111???? 1?21?2?31?2???n22n?14．裂項法求和 例6．求和：1?211?2(?)，n(n?1)nn?11111112n ?Sn?a1?a2???an?2[(1?)?(?)????(?)]?2(1?)?223nn?1n?1n?1解：設數列的通項為an，則an?例7．求數列11?2,12?31,???,1n?n?1,???的前n項和.解：設an?n?n?11??n?1?n

（裂項）

1n?n?1則 Sn?12?31?2?????

（裂項求和）

＝(2?1)?(3?2)?????(n?1?n)

＝n?1?1

三、課堂小結：

1．常用數列求和方法有：

(1)公式法: 直接運用等差數列、等比數列求和公式;(2)化歸法: 將已知數列的求和問題化為等差數列、等比數列求和問題；(3)倒序相加法: 對前后項有對稱性的數列求和；

(4)錯位相減法: 對等比數列與等差數列組合數列求和；(5)并項求和法: 將相鄰n項合并為一項求和；(6)分部求和法：將一個數列分成n部分求和；

(7)裂項相消法：將數列的通項分解成兩項之差，從而在求和時產生相消為零的項的求和方法.四、課外作業： 1．《學案》P62面《單元檢測題》 2．思考題

111?4?6??前n項的和.481612n2??????（2）．在數列{an}中，an?，又bn?，求數列{bn}的前n項的和.n?1n?1n?1an?an?12（1).求數列：（3）．在各項均為正數的等比數列中，若a5a6?9,求log3a1?log3a2?????log3a10的值.解：設Sn?log3a1?log3a2?????log3a10

由等比數列的性質 m?n?p?q?aman?apaq

（找特殊性質項）和對數的運算性質 logaM?logaN?logaM?N

得

Sn?(log3a1?log3a10)?(log3a2?log3a9)?????(log3a5?log3a6)

（合并求和）

＝(log3a1?a10)?(log3a2?a9)?????(log3a5?a6)

＝log39?log39?????log39

＝10