第一篇：高中數學常用方法總結——如何將錯位相減法所得結論的公式化

錯位相減法的簡潔結論----公式化

錯位相減法是推導等比數列前n項和公式的最簡潔的方法之一,錯位相減法還可以推廣到求數列{an?bn}的前項和,其中{an}是等差數列,公差為不為0,{bn}是等比數列,公比不為1.例:數列{an}的前n項和為Sn,a1?1,an?1?2Sn,求數列{nan}的前n項和Tn.分析:當n?1時,由an?1?2Sn得an?2Sn?1,兩式相減得an?1?3an,所以數列{an}從第二項開始成等比,又a2?2S1?2a1?2,所以an?2?3n?2,因為a1?1不滿足此式,所以nan???1,n?1?2n?3n?2,n?1.Tn?1?4?30?6?31?8?32????2(n?2)?3n?4?2(n?1)?3n?3?2n?3n?23Tn?3?4?31?6?32?8?33???????2(n?2)?3n?3?2(n?1)?3n?2?2n?3n?1兩式相減: ?2Tn?2?2(31?32?33???3n?3?3n?2)?2n?3n?1

3?3n?1?2?2??2n?3n?1?(?2n?1)?3n?1?1

1?3所以: Tn?(n?)?3n?1?.又因為T1?a1?1也滿足上式,所以: Tn?(n?)?3n?1?,n?N?

錯位相減法程序化的步驟讓學生容易掌握和理解,但因計算量較大,學生常會因為計算的原因導致出錯.如果錯位相減法可以簡化為一種形式簡單的結論,我們又何樂而不為呢? 筆者在教學過程中發現,通項形如an?(xn?y)?qn,(q?1,q?0,x?0)的數列,其前n項和必定形如Sn?(An?B)?qn?1?C,這個結論可以由錯位相減法證明,就留給讀者去證了,我簡單從另外一個方法求得A,B, 因為: Sn?Sn?1?[(An?B)?qn?1?C]?[(An?A?B)?qn?C]

12121212?[A(q?1)n?B(q?1)?A]?qn?(xn?y)?qn

對比系數得: A?xy?A,B?,此時C可以由S1?a1求得.q?1q?1上例中,設bn?nan,則當n?1時,b1?1,當n?1時,bn?2n?3n?2.根據公式有: A?20?111?1,B???,所以Tn?(n?)?3n?1?C, 3?13?1221212又因為: T1??C?b1?1?C? 所以:Tn?(n?)?3n?1?,n?N?

解題思路和過程固然是重要的,但簡潔的結論也很重要,它可以使我們少走彎路,少做重復的工作.單方面去強調過程或結論都是不可取的,在教學中,應讓學生掌握好錯位相減法的思想精髓上,再引出這個結論,才不會顧此失彼.從例題中可以看出,即使所求數列的首項不滿足(xn?y)?qn,也不會影響使用公式求和,但若所求數列前k項不滿足(xn?y)?qn,則求和結果必須加上條件n?k,此時公式中的C值該由前k項和求出,當n?k時,前n

1212項和須看具體情形而定.