銳角三角函數：解直角三角形的應用

一．解直角三角形的應用（共9小題）

3．如圖，要測量一條河兩岸相對的兩點A，B之間的距離，我們可以在岸邊取點C和D，使點B，C，D共線且直線BD與AB垂直，測得∠ACB＝56.3°，∠ADB＝45°，CD＝10m，則AB的長約為（）

（參考數據sin56.3°≈0.8，cos56.3°≈0.6，tan56.3°≈1.5，sin45°≈0.7，cos45°≈0.7，tan45°＝1）

A．15m

B．30m

C．35m

D．40m

4．如圖，△ABC、△FED區域為駕駛員的盲區，駕駛員視線PB與地面BE的夾角∠PBE＝43°，視線PE與地面BE的夾角∠PEB＝20°，點A，F為視線與車窗底端的交點，AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A點到B點的距離AB＝1.6m，則盲區中DE的長度是（）

（參考數據：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）

A．2.6m

B．2.8m

C．3.4m

D．4.5m

5．如圖所示的是某品牌太陽能熱水器的實物圖和橫斷面示意圖，已知真空集熱管AB與支架CD所在直線相交于水箱橫斷面⊙O的圓心，支架CD與水平線AE垂直，AB＝154cm，∠A＝30°，另一根輔助支架DE＝78cm，∠E＝60°．

（1）求CD的長度．（結果保留根號）

（2）求OD的長度．（結果保留一位小數．參考數據：≈1.414，≈1.732）

6．圖1是某種路燈的實物圖片，圖2是該路燈的平面示意圖，MN為立柱的一部分，燈臂AC，支架BC與立柱MN分別交于A，B兩點，燈臂AC與支架BC交于點C，已知∠MAC＝60°，∠ACB＝15°，AC＝40cm，求支架BC的長．（結果精確到1cm，參考數據：≈1.414，≈1.732，≈2.449）

7．襄陽東站的建成運營標志著我市正式進入高鐵時代，鄭萬高速鐵路襄陽至萬州段的建設也正在推進中．如圖，工程隊擬沿AC方向開山修路，為加快施工進度，需在小山的另一邊點E處同時施工．要使A、C、E三點在一條直線上，工程隊從AC上的一點B取∠ABD＝140°，BD＝560米，∠D＝50°．那么點E與點D間的距離是多少米？

（參考數據：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

8．天門山索道是世界最長的高山客運索道，位于張家界天門山景區．在一次檢修維護中，檢修人員從索道A處開始，沿A﹣B﹣C路線對索道進行檢修維護．如圖：已知AB＝500米，BC＝800米，AB與水平線AA1的夾角是30°，BC與水平線BB1的夾角是60°．求：本次檢修中，檢修人員上升的垂直高度CA1是多少米？（結果精確到1米，參考數據：≈1.732）

9．某數學課題研究小組針對蘭州市住房窗戶“如何設計遮陽蓬”這一課題進行了探究，過程如下：

問題提出：

如圖1是某住戶窗戶上方安裝的遮陽蓬，要求設計的遮陽蓬能最大限度地遮住夏天炎熱的陽光，又能最大限度地使冬天溫暖的陽光射入室內．

方案設計：

如圖2，該數學課題研究小組通過調查研究設計了垂直于墻面AC的遮陽蓬CD．

數據收集：

通過查閱相關資料和實際測量：蘭州市一年中，夏至日這一天的正午時刻太陽光線DA與遮陽蓬CD的夾角∠ADC最大（∠ADC＝77.44°）；冬至日這一天的正午時刻，太陽光線DB與遮陽蓬CD的夾角∠BDC最小（∠BDC＝30.56°）．窗戶的高度AB＝2m．

問題解決：

根據上述方案及數據，求遮陽蓬CD的長．

（結果精確到0.1m，參考數據：sin30.56°≈0.51，cos30.56°≈0.86，tan30.56°≈0.59，sin77.44°≈0.98，cos77.44°≈0.22，tan77.44°≈4.49）

10．如圖，同學們利用所學知識去測量三江源某河段某處的寬度．小宇同學在A處觀測對岸點C，測得∠CAD＝45°，小英同學在距點A處60米遠的B點測得∠CBD＝30°，請根據這些數據算出河寬（精確到0.01米，≈1.414，≈1.732）．

11．如圖，1號樓在2號樓的南側，兩樓高度均為90m，樓間距為AB．冬至日正午，太陽光線與水平面所成的角為32.3°，1號樓在2號樓墻面上的影高為CA；春分日正午，太陽光線與水平面所成的角為55.7°，1號樓在2號樓墻面上的影高為DA．已知CD＝42m．

（1）求樓間距AB；

（2）若2號樓共30層，層高均為3m，則點C位于第幾層？（參考數據：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）

二．解直角三角形的應用-坡度坡角問題（共5小題）

12．如圖，斜面AC的坡度（CD與AD的比）為1：2，AC＝3米，坡頂有旗桿BC，旗桿頂端B點與A點有一條彩帶相連．若AB＝10米，則旗桿BC的高度為（）

A．5米

B．6米

C．8米

D．（3+）米

13．如圖，一河壩的橫斷面為等腰梯形ABCD，壩頂寬10米，壩高12米，斜坡AB的坡度i＝1：1.5，則壩底AD的長度為（）

A．26米

B．28米

C．30米

D．46米

14．如圖，某校教學樓后面緊鄰著一個山坡，坡上面是一塊平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB長26m，斜坡AB的坡比為12：5．為了減緩坡面，防止山體滑坡，學校決定對該斜坡進行改造．經地質人員勘測，當坡角不超過50°時，可確保山體不滑坡．如果改造時保持坡腳A不動，則坡頂B沿BC至少向右移

m時，才能確保山體不滑坡．（取tan50°≈1.2）

15．如圖，BC是路邊坡角為30°，長為10米的一道斜坡，在坡頂燈桿CD的頂端D處有一探射燈，射出的邊緣光線DA和DB與水平路面AB所成的夾角∠DAN和∠DBN分別是37°和60°（圖中的點A、B、C、D、M、N均在同一平面內，CM∥AN）．

（1）求燈桿CD的高度；

（2）求AB的長度（結果精確到0.1米）．（參考數據：＝1.73．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

16．如圖，為測量一座山峰CF的高度，將此山的某側山坡劃分為AB和BC兩段，每一段山坡近似是“直”的，測得坡長AB＝800米，BC＝200米，坡角∠BAF＝30°，∠CBE＝45°．

（1）求AB段山坡的高度EF；

（2）求山峰的高度CF．（1.414，CF結果精確到米）

三．解直角三角形的應用-仰角俯角問題（共5小題）

17．如圖，數學活動小組利用測角儀和皮尺測量學校旗桿的高度，在點D處測得旗桿頂端A的仰角∠ADE為55°，測角儀CD的高度為1米，其底端C與旗桿底端B之間的距離為6米，設旗桿AB的高度為x米，則下列關系式正確的是（）

A．tan55°＝

B．tan55°＝

C．sin55°＝

D．cos55°＝

18．如圖，小明想要測量學校操場上旗桿AB的高度，他作了如下操作：

（1）在點C處放置測角儀，測得旗桿頂的仰角∠ACE＝α；

（2）量得測角儀的高度CD＝a；

（3）量得測角儀到旗桿的水平距離DB＝b．

利用銳角三角函數解直角三角形的知識，旗桿的高度可表示為（）

A．a+btanα

B．a+bsinα

C．a+

D．a+

19．如圖，在離鐵塔150米的A處，用測傾儀測得塔頂的仰角為α，測傾儀高AD為1.5米，則鐵塔的高BC為（）

A．（1.5+150tanα）米

B．（1.5+）米

C．（1.5+150sinα）米

D．（1.5+）米

20．如圖，某地修建高速公路，要從A地向B地修一條隧道（點A、B在同一水平面上）．為了測量A、B兩地之間的距離，一架直升飛機從A地出發，垂直上升800米到達C處，在C處觀察B地的俯角為α，則A、B兩地之間的距離為（）

A．800sinα米

B．800tanα米

C．米

D．米

21．如圖，為測量一棵與地面垂直的樹OA的高度，在距離樹的底端30米的B處，測得樹頂A的仰角∠ABO為α，則樹OA的高度為（）

A．米

B．30sinα米

C．30tanα米

D．30cosα米

四．解直角三角形的應用-方向角問題（共4小題）

22．如圖，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東60°方向，距離燈塔60nmile的小島A出發，沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔

C的南偏東45°方向上的B處，這時輪船B與小島A的距離是（）

A．30nmile

B．60nmile

C．120nmile

D．（30+30）nmile

23．如圖，海面上產生了一股強臺風．臺風中心A在某沿海城市B的正西方向，小島C位于城市B北偏東29°方向上，臺風中心沿北偏東60°方向向小島C移動，此時臺合風中心距離小島200海里．

（1）過點B作BP⊥AC于點P，求∠PBC的度數；

（2）據監測，在距離臺風中心50海里范圍內均會受到臺風影響（假設臺風在移動過程中風力保持不變）．問：在臺風移動過程中，沿海城市B是否會受到臺風影響？請說明理由．（參考數：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，≈1.73）

24．如圖，一艘輪船以每小時30海里的速度自東向西航行，在A處測得小島P位于其西北方向（北偏西45°方向），2小時后輪船到達B處，在B處測得小島P位于其北偏東60°方向．求此時船與小島P的距離（結果保留整數，參考數據：≈1.414，≈1.732）．

25．黔東南州某校吳老師組織九（1）班同學開展數學活動，帶領同學們測量學校附近一電線桿的高．已知電線桿直立于地面上，某天在太陽光的照射下，電線桿的影子（折線BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D處測得電線桿頂端A的仰角為30°，在C處測得電線桿頂端A得仰角為45°，斜坡與地面成60°角，CD＝4m，請你根據這些數據求電線桿的高（AB）．

（結果精確到1m，參考數據：≈1.4，≈1.7）