第一篇：1.2 余弦定理教學設計

鳳凰高中數學教學參考書配套教學軟件_教學設計

1.2 余弦定理

南京師范大學附屬中學張躍紅

教學目標：

1.掌握余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題；

2.能夠運用余弦定理解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題．

教學重點：

重點是余弦定理及其證明過程．

教學難點：

難點是余弦定理的推導和證明．

教學過程：

1.創設情景，提出問題．

問題1：修建一條高速公路，要開鑿隧道將一

段山體打通．現要測量該山體底側兩點間的距離，即要測量該山體兩底側A、B兩點間的距離（如圖

1）．請想辦法解決這個問題．

設計意圖：這是一個學生身邊的實際應用問題，在其解決的過程中得到余弦定理，自然引出本課的學習內容．

2.構建模型，解決問題．

學生活動：提出的方法有，先航拍，然后根據比例尺算出距離；利用等高線量出距離等；也有學生提出在遠處選一點C，然后量出AC，BC的長度，再測出∠ACB．△ABC是確定的，就可以計算出AB的長．接下來，請三位板演其解法．

法1：（構造直角三角形）

如圖2，過點A作垂線交BC于點D，則

｜AD｜＝｜AC｜sinC，｜CD｜＝｜AC｜cosC，｜BD｜＝｜BC｜－｜CD｜＝｜BC｜－｜AC｜cosC，所以，|AB|?|AD|2?|BD|2?|AC|2?|BC|2?2|AC|?|BC|?cosC．

C

法2：（向量方法）

????????????如圖3，因為AB?AC?CB，????2????????2 所以，AB?(AC?CB)

????2????2?????????AC?CB?2AC?CB?cos(??C),即 |AB|?AC|2?|BC|2?2|AC|?|BC|?cosC．

法3：（建立直角坐標系）C建立如圖4所示的直角坐標系，則A（｜AC｜cosC, ｜AC｜sinC），B（｜BC｜, 0），根據兩點間的距離公式，可得

|AB|?(|AC|cosC?|BC|)2?(|AC|sinC?0)2，所以，|AB|?AC|2?|BC|2?2|AC|?|BC|?cosC．

活動評價：師生共同評價板演．

3.追蹤成果，提出猜想．

師：回顧剛剛解決的問題，我們很容易得到結論：在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的對邊長，則有c2?a2?b2?2abcosC成立．類似的還有其他等式，a2?c2?b2?2cbcosA，b2?c2?a2?2cacosB．

正弦定理反映的是三角形中邊長與角度之間的一種數量關系，因為與正弦有關，就稱為正弦定理；而上面等式中都與余弦有關，就叫做余弦定理．

問題2：剛才問題的解題過程是否可以作為余弦定理的證明過程？

設計意圖：作為定理要經過嚴格的證明，在解決問題中培養學生嚴謹的思維習慣．

學生活動：經過思考得出，若把解法一作為定理的證明過程，需要對角C進行分類討論，即分角C為銳角、直角、鈍角三種情況進行證明；第二種和第三種解法可以作為余弦定理的證明過程．

教師總結：證明余弦定理，就是證明一個等式．而在證明等式的過程中，我們可以將一般三角形的問題通過作高，轉化為直角三角形的問題；還可以構造向量等式，然后利用向量的數量積將其數量化；還可以建立直角坐標系，借助兩點

間的距離公式來解決，等等．

4.探幽入微，深化理解．

問題3：剛剛認識了余弦定理這個“新朋友”，看一看它有什么特征？

學生活動：勾股定理是余弦定理的特例． 反過來也可以說，余弦定理是勾股定理的推廣；當角C為銳角或鈍角時，邊長之間有不等關系 a2?b2?c2，a2?b2?c2；c2?a2?b2?2abcosC是邊長a、b、c的輪換式，同時等式右邊的角與等式左邊的邊相對應；等式右邊有點象完全平方，等等．

教師總結：我們在觀察一個等式時，就如同觀察一個人一樣，先從遠處看，然后再近處看，先從外表再到內心深處．觀察等式時，先從整體（比如輪換）再到局部（比如等式左右邊角的對稱），從一般到特殊，或者從特殊到一般（比如勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣）．

問題4：我們為什么要學余弦定理，學它有什么用？

設計意圖：讓學生真正體會到學習余弦定理的必要性．同時又可以得到余弦定理能解決的三角形所滿足的條件，以及余弦定理的各種變形．讓學生體會在使用公式或定理時，不但要會“正向使用”還要學會“逆向使用”．

學生活動：解已知三角形的兩邊和它們夾角的三角形；如果已知三邊，可以求角，進而解出三角形，即

b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2

cosA?,cosB?,cosC?． 2bc2ac2ab

5.學以致用，拓展延伸．

練習：

1．在△ABC中，若a＝3,b＝5,c＝7，求角C．

2．（1）在△ABC中，若b??1,c?6,A?450，解這個三角形．

（2）在△ABC中，b?,B?600,c?1，求a．

學生活動：練習后相互交流得出，解答題1時，利用的是余弦定理的變形形a2?b2?c2

式cosC?；而題2既可以利用正弦定理，也可以利用余弦定理解決． 2ab

思考：正弦定理與余弦定理間是否存在著聯系呢？你能用正弦定理證明余弦

定理，用余弦定理證明正弦定理嗎？請同學們課后思考．

第二篇：余弦定理教學設計

教學設計

一、內容及其解析

1.內容: 余弦定理

2.解析: 余弦定理是繼正弦定理教學之后又一關于三角形的邊角關系準確量化的一個重要定理。在初中，學生已經學習了相關邊角關系的定性的結果，就是“在任意三角形中大邊對大角，小邊對小角”，“如果已知兩個三角形的兩條對應邊及其所夾的角相等，則這兩個三角形全等”。同時學生在初中階段能解決直角三角形中一些邊角之間的定量關系。在高中階段，學生在已有知識的基礎上，通過對任意三角形邊角關系的探究，發現并掌握任意三角形中邊角之間的定量關系，從而進一步運用它們解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題，使學生能更深地體會數學來源于生活，數學服務于生活。

二、目標及其解析

目標：

1、使學生掌握余弦定理及推論，并會初步運用余弦定理及推論解三角形。

2、通過對三角形邊角關系的探究，能證明余弦定理，了解從三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途徑證明余弦定理。解析：

1、在發現和證明余弦定理中，通過聯想、類比、轉化等思想方法比較證明余弦定理的不同 方法，從而培養學生的發散思維。

2、能用余弦定理解決生活中的實際問題，可以培養學生學習數學的興趣，使學生進一步認識到數學是有用的。

三、教學問題診斷分析

1、通過前一節正弦定理的學習，學生已能解決這樣兩類解三角形的問題：

①已知三角形的任意兩個角與邊，求其他兩邊和另一角；②已知三角形的任意兩個角與其中一邊的對角，計算另一邊的對角，進而計算出其他的邊和角。

而在已知三角形兩邊和它們的夾角，計算出另一邊和另兩個角的問題上，學生產生了認知沖突，這就迫切需要他們掌握三角形邊角關系的另一種定量關系。所以，教學的重點應放在余弦定理的發現和證明上。

2、在以往的教學中存在學生認知比較單一，對余弦定理的證明方法思考也比較單一，而

本節的教學難點就在于余弦定理的證明。如何啟發、引導學生經過聯想、類比、轉化多角度地對余弦定理進行證明，從而突破這一難點。

3、學習了正弦定理和余弦定理，學生在解三角形中，如何適當地選擇定理以達到更有效地解題，也是本節內容應該關注的問題，特別是求某一個角有時既可以用余弦定理，也可以用正弦定理時，教學中應注意讓學生能理解兩種方法的利弊之處，從而更有效地解題。

四、教學支持條件分析

為了將學生從繁瑣的計算中解脫出來，將精力放在對定理的證明和運用上，所以本節中復雜的計算借助計算器來完成。當使用計算器時，約定當計算器所得的三角函數值是準確數時用等號，當取其近似值時，相應的運算采用約等號。但一般的代數運算結果按通常的運算規則，是近似值時用約等號。

五、教學過程

（一）教學基本流程

教學過程：

一、創設情境，引入課題

問題1：在△ABC中，∠C = 90°，則用勾股定理就可以得到c2=a2+b

2。【設計意圖】：引導學生從最簡單入手，從而通過添加輔助線構造直角三角形。師生活動：引導學生從特殊入手，用已有的初中所學的平面幾何的有關知識來研究這一問題，從而尋找出這些量之間存在的某種定量關系。

學生1：在△ABC中，如圖4，過C作CD⊥AB，垂足為D。在Rt△ACD中，AD=bsin∠1,CD= bcos∠1;在Rt△BCD中，BD=asin∠2, CD=acos∠2;c=(AD+BD)=b-CD+a-CD+2AD?BD

= a?b?2abcos?1?cos?2?2absin?1?sin?2=a?b?2abcos(?1??2)?a?b?2abcosC

A

D圖

4學生2：如圖5，過A作AD⊥BC，垂足為D。

A

圖

5則：c?AD?BD

2?b?CD?(a?CD)?a?b?2a?CD?a?b?2abcosC

學生3：如圖5，AD = bsinC，CD = bcosC，∴c2 =（bsinC）2+（a-bcosC）2 = a2 +b2-2abcosC

類似地可以證明b= a+c-2accosB，c= a+b-2abcosC。

【設計意圖】：首先肯定學生成果，進一步的追問以上思路是否完整，可以使學生的思維更加嚴密。

師生活動：得出了余弦定理，教師還應引導學生聯想、類比、轉化，思考是否還有其他方法證明余弦定理。

教師：在前面學習正弦定理的證明過程種，我們用向量法比較簡便地證明了正弦定理，那么在余弦定理的證明中，你會有什么想法？

【設計意圖】：通過類比、聯想，讓學生的思維水平得到進一步鍛煉和提高，體驗到成功的樂趣。

學生4：如圖6，????????????記AB?c,CB?a,CA?b????????????則c?AB?CB?CA?a?b???2

2?（c）?（a?b）

?2?2??

?a?b?2a?b?2?2?2??

即c?a?b?2a?b?cosC?c?a?b?2abcosC

A

圖6

【設計意圖】：由向量又聯想到坐標，引導學生從直角坐標中用解析法證明定理。

學生7：如圖7，建立直角坐標系，在△ABC中，AC = b，BC = a.且A（b，0），B（acosC，asinC），C（0，0），則 c?AB

?(acosC?b)?(asinC)

?a?b?2abcosC

【設計意圖】：通過以上平面幾何知識、向量法、解析法引導學生體會證明余弦定理，更好地讓學生主動投入到整個數學學習的過程中，培養學生發散思維能力，拓展學生思維空

間的深度和廣度。

二、探究定理 余弦定理：

a

2222222

2?b?c?2bccosA,b?a?c?2accosB,c?a?b?2abcosC

余弦定理推論： cosA?

b?c?a

2bc，cosB?

a?c?b

2ac

222，cosC?

a?b?c

2ab

222

解決類型：（1）已知三角形的三邊，可求出三角；

（2）已知三角形的任意兩邊與兩邊的夾角，可求出另外一邊和兩角。

三、例題

例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求邊c。

②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。

【設計意圖】：讓學生理解余弦定理及推論解決兩類最基本問題，既①已知三角形兩邊及夾角，求第三邊；②已知三角形三邊，求三內角。

四、目標檢測

1、若三角形的三邊為2，4，23，那么這個三角形的形狀為（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形 2．已知三角形的三邊為3、4、6，那么此三角形有（）

A．三個銳角 B．兩個銳角，一個直角 C．兩個銳角，一個鈍角 D．以上都不對 3．在△ABC中，若其三邊的比是a∶b∶c = 3∶5∶7，則三個內角正弦值的比是______．

4．在△ABC中，已知a = 4，b = 6，C = 120°，求sinA．

五、小結

本節課的主要內容是余弦定理的證明，從平面幾何、向量、坐標等各個不同的方面進行探究，得出的余弦定理無論在什么形狀的三角形中都成立，勾股定理也只不過是它的特例。所以它很“完美”，從式子上又可以看出其具“簡捷、和諧、對稱”的美，其變式即推論也很協調。

【設計意圖】：在學生探究數學美，欣賞美的過程中，體會數學造化之神奇，學生可以

興趣盎然地掌握公式特征、結構及其他變式。

學案

1．2 余弦定理

班級學號

一、學習目標

1、使學生掌握余弦定理及推論，并會初步運用余弦定理及推論解三角形。

2、通過對三角形邊角關系的探究，能證明余弦定理，了解從三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途徑證明余弦定理。

二、例題與問題

例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求邊c。

②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。

三、目標檢測

1、若三角形的三邊為2，4，23，那么這個三角形的形狀為（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形 2．已知三角形的三邊為3、4、6，那么此三角形有（）

A．三個銳角 B．兩個銳角，一個直角 C．兩個銳角，一個鈍角 D．以上都不對 3．在△ABC中，若其三邊的比是a∶b∶c = 3∶5∶7，則三個內角正弦值的比是______．

4．在△ABC中，已知a = 4，b = 6，C = 120°，求sinA．

配餐作業

一、基礎題(A組)

1.在△ABC中，若acosA?bcosB，則△ABC的形狀是（）A.等腰三角形C.等腰直角三角形

B.直角三角形D.等腰或直角三角形

2.△ABC中，sinA:sinB:sinC?3:2:4，那么cosC?（）

A.4B.3C.?

D.?

3.在△ABC中，已知a?2，b?3，C=120°，則sinA的值為（）

2157

A.38B.7 C.19 D.3

4.在△ABC中，B=135°，C=15°，a?5，則此三角形的最大邊長為。5.△ABC中，如果a?6，b?63，A=30°，邊c?。

二、鞏固題(B組)

6.在△ABC中，化簡bcosC?ccosB?（）

b?c

a?c

a?b

A.a

B.C.D.7.已知三角形的三邊長分別為a、b、a?ab?b，則三角形的最大內角是（）A.135°

B.120°

C.60°

D.90°

8.三角形的兩邊分別為5和3，它們夾角的余弦是方程5x?7x?6?0的根，則另一邊長為（）

A.52B.16

C.4D.2

9.（06年北京卷，理12）在△ABC中，若sinA:sinB:sinC?5:7:8，則∠B的大小是。

三、提高題(C組

tanB

?2a?cc

10.在△ABC中，a,b,c分別是角A、B、C的對邊，且tanCa?b?c?，2ab，（1）求C；（2）求A。

cosB

b2a?c

11.在△ABC中，a,b,c分別是A、B、C的對邊，且cosC（1）求角B的大小；（2）若b?

??，a?c?4，求a的值；

第三篇：余弦定理教學設計

1.1《正弦定理與余弦定理》教案（新人教版必修5）（原創）

余弦定理

一、教材依據：人民教育出版社（A版）數學必修5第一章 第二節

二、設計思想：

1、教材分析：余弦定理是初中“勾股定理”內容的直接延拓，是解三角形這一章知識的一個重要定理，揭示了任意三角形邊角之間的關系，是解三角形的重要工具，余弦定理與平面幾何知識、向量、三角形有著密切的聯系。因此，做好“余弦定理”的教學，不僅能復習鞏固舊知識，使學生掌握新的有用的知識，體會聯系、發展等辯證觀點，而且能培養學生的應用意識和實踐操作能力，以及提出問題、解決問題等研究性學習的能力。

2、學情分析：這節課是在學生已經學習了正弦定理及有關知識的基礎上，轉入對余弦定理的學習，此時學生已經熟悉了探索新知識的數學教學過程，具備了一定的分析能力。

3、設計理念：由于余弦定理有較強的實踐性，所以在設計本節課時，創設了一些數學情景，讓學生從已有的幾何知識出發，自己去分析、探索和證明。激發學生濃厚的學習興趣，提高學生的創新思維能力。

4、教學指導思想：根據當前學生的學習實際和本節課的內容特點，我采用的是“問題教學法”，精心設計教學內容，提出探究性問

找到解決問題的方法。

三、教學目標：

1、知識與技能：

理解并掌握余弦定理的內容，會用向量法證明余弦定理，能用余弦定理解決一些簡單的三角度量問題

2．過程與方法：

通過實例，體會余弦定理的內容，經歷并體驗使用余弦定理求解三角形的過程與方法，發展用數學工具解答現實生活問題的能力。

3．情感、態度與價值觀：

探索利用直觀圖形理解抽象概念，體會“數形結合”的思想。通過余弦定理的應用，感受余弦定理在解決現實生活問題中的意義。

四、教學重點：

通過對三角形邊角關系的探索，證明余弦定理及其推論，并能應用它們解三角形及求解有關問題。

五、教學難點：余弦定理的靈活應用

六、教學流程：

(一)創設情境，課題導入：

1、復習：已知A=300,C=450,b=16解三角形。（可以讓學生板練）

2、若將條件C=450改成c=8如何解三角形？

設計意圖：把研究余弦定理的問題和平面幾何中三角形全等判定的方法建立聯系，溝通新舊知識的聯系，引導學生體會量化

師生活動：用數學符號來表達“已知三角形的兩邊及其夾角解三角形”：已知△ABC，BC=a,AC=b,和角C，求解c,B,A 引出課題：余弦定理

（二）設置問題，知識探究

1、探究：我們可以先研究計算第三邊長度的問題，那么我們又從那些角度研究這個問題能得到一個關系式或計算公式呢？ 設計意圖：期望能引導學生從各個不同的方面去研究、探索得到余弦定理。

師生活動：從某一個角度探索并得出余弦定理

2、①考慮用向量的數量積：如圖 A

C

??????設CB?a,CA?b,AB?c,那么，c?a?b?2???????2?2?c?c?c?(a?b)(a?b)?a?b?2abcosCB 即cab222?a?b?2abcosC,引導學生證明22222

?b?c?2bccosA?c?a?2cacosB2②還 引導學生運用此法來進行證明

3、余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的（可以讓學生自己總結，教師補充完整）

（三）典型例題剖析：

1、例1：在△ABC中，已知b=2cm,c=2cm,A=1200,解三角形。

教師分析、點撥并板書證明過程

總結：已知三角形的兩邊和它們的夾角解三角形，基本思路是先由余弦定理求出第三邊，再由正弦定理求其余各角。變式引申：在△ABC中，已知b=5,c=

53,A=300,解三角形。

2、探究：余弦定理是關于三角形三邊和一個角的一個關系式，把這個關系式作某些變形，是否可以解決其他類型的解三角形問題？

設計意圖：（1）引入余弦定理的推論（2）對一個數學式子作某種變形，從而得到解決其他類型的數學問題，這是一種基本的研究問題的方法。

師生活動：對余弦定理作某些變形，研究變形后所得關系式的應用。因此應把重點引導到余弦定理的推論上去，即討論已知三邊求角的問題。

引入余弦定理的推論：cosA=cosB=a?c?b2ac222b?c?a2bc2222 , , cosC=

a?b?c2ab22

公式作用：（1）、已知三角形三邊，求三角。

（2）、若A為直角，則cosA=0，從而b2+c2=a2

若A為銳角，則 cosA>0, 從而b2+c2>a2

若A為鈍角，則 cosA﹤0, 從而b2+c2﹤a2

6?2,求A、B、C例2:已知在?ABC中,a?23,b?22,c?

先讓學生自己分析、思索，老師進行引導、啟發和補充，最后師生一起求解。

總結：對于已知三角形的三邊求三角這種類型，解三角形的基本思路是先由余弦定理求出兩角，再用三角形內角和定理求出第三角。（可以先讓學生歸納總結，老師補充）變式引申：在△ABC中，a:b:c=2:讓學生板練，師生共同評判

3、三角形形狀的判定：

例3：在△ABC中，acosA=bcosB,試確定此三角形的形狀。

（教師引導學生分析、思考，運用多種方法求解）

求解思路：判斷三角形的形狀可有兩種思路，一是利用邊之間的關系來判定，在運算過程中，盡可能地把角的關系化為邊的關系；二是利用角之間的關系來判定，將邊化成角。

變式引申：在△ABC中，若（a+b+c）(b+c-a)=3bc,并且sinA=2sinBcosC,判斷△ABC的形狀。

讓學生板練，發現問題進行糾正。

（四）課堂檢測反饋：

1、已知在△ABC中，b=8,c=3,A=600,則a=()A 2 B 4 C 7 D 9

6:（3+1),求A、B、C。、在△ABC中，若a=

3+1,b=

3-1,c=

10,則△ABC的最大角的度數為（）A 1200 B 900 C 600 D 1500

3、在△ABC中，a:b:c=1:

3:2,則A：B：C=（）

A 1：2：3 B 2：3：1 C 1：3：2 D 3：1：2

4、在不等邊△ABC中，a是最大的邊，若a2

5、在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，則△ABC的形狀是（）A銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D非鈍角三角形

（五）課時小結：

（學生自己歸納、補充，培養學生的口頭表達能力和歸納概括能力，教師總結）

運用多種方法推導出余弦定理，并靈活運用余弦定理解決解三角形的兩種類型及判斷三角形的形狀問題。

（六）課后作業：課本第10頁A組3（2）、4（2）；B組第2題

（七）教學反思：

本堂課的設計，立足于所創設的情境，注重提出問題，引導學生自主探索、合作交流，親身經歷了提出問題、解決問題的過程，學生成為余弦定理的“發現者”和“創造者”，切身感受到了創造的苦和樂，知識目標、能力目標、情感目標均得到了較好的落實。

第四篇：余弦定理教學設計（熱門3篇）

篇一：“余弦定理”教學設計

射陽縣教育局教研室 王克亮

教學目標:(1)掌握余弦定理,并能解決一些簡單的度量問題.

(2)初步運用余弦定理解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題. (3)經歷余弦定理的發現與驗證過程,增強學生的理性思維能力. 教學重點:余弦定理的發現與運用. 教學難點:余弦定理的證明.

課前準備:(1)自制一個如圖所示的道具.

(2)課前,教者在黑板上畫好如圖所示的三個三角形.

固定聯結點

A

塑料棒1

細繩

可動聯結點

可轉動點 塑料棒2

道具

b B B

B

A

教學過程:

一、情境創設 提出問題

[1]情境引入

師:首先請看兩個實際問題:

情境1 A,B兩地之間隔著一座小山,現要測量A、B之間即將修建的一條直的隧道的長度.另選一個點C,可以測得的數據有:AC?182m,BC?126m,?ACB?630,如何求A、B兩地之間隧道的長度(精確到1m).

A

B

B D

C E

A

情境2 一位工人欲做一個三角形的支架.已知桿BC的長度為6分米,DAE是由一根直的鋼管沿著點A彎折而成.若彎折點A與焊接點B,C的距離分別為4分米和5分米,欲彎折后桿BC恰好能與兩焊接點相接,則彎折后∠BAC的大小是多少(精確到0.1度)?

[2]提出問題

師:顯然,這兩個都是解三角形的問題.其中,情境1的實質是知道了三角形的兩邊與其夾角,求第三邊的長度；而情境2的實質就是已知三角形的三條邊,要求其一個內角的大小.

請問:(1)這兩個問題能用正弦定理來解決嗎? 生:不能.

(2)那么,這兩個問題之間有聯系嗎? 生:互逆.

師:對,在解法上是互逆的,所以本節課我們將要探究的核心問題是:在已知三角形兩條邊的前提下,其夾角的大小與第三條邊的長度之間有著怎樣的關系?這正是余弦定理所揭示的規律----引入課題.

二、問題探究 知識建構

問題1 在?ABC中,已知CB?a,CA?b(其中a?b),當?C從小到大變化時,AB的長度的變化趨勢如何?

師:(學生思考了一會兒后)我們可以用一個簡單的實驗看一下. (課上,利用課前制作道具做一下演示實驗.) 生: AB的長度隨著?C的增大而增大.

師:這是一個定性的結論.那么對于定量的研究,一個常用的思維策略是特殊化. 取C=90?是最容易想到的；另外,雖然角C不能取0?與180?,但它可以無限接近這兩個角,所以不妨再考察一下這兩種情形.

續問: 若將?C的范圍擴大到[00,1800],特別地:當?C?00,?C?900,?C?1800這三種特殊情形時,AB的長度分別是多少?

生:當?C?00時,AB?a?b；當?C?900時

,AB?；當?C?1800

時,AB?a?b.

師:我們不妨把這三個結論在形式上寫得更接近些,即

:

當?C?00時,AB?當?C?900時,AB?當?C?1800時,AB?B

A

問題2 請你根據上述三個特例的結果,試猜想:當?C??(00???1800)時,線段AB的長度是多少?

(在學生獨立思考的基礎上,小組討論交流后請學生回答) 生

:AB?問題3 你能驗證該猜想嗎?請試一試.

(課上,利用課前畫好的三張圖進行討論.先讓學生獨立思考一會兒,然后根據學生回答的情況進行講解,至少討論下列前兩種方法.)

方法一:

證: (1)當?C??為銳角時,過點A作AD?BC于D.

則AB2?BD2?AD2?(a?bcos?)2?(bsin?)2=a2?b2?2abcos?.

D

B

A

(2)當?C??為直角時,結論顯然成立.

(3)當?C??為鈍角時, 過點A作AD?BC交BC的延長線于D. 則AB?BD?AD?(a?bcos(???))?(bsin(???))

?(a?bcos?)?(bsin?)=a?b?2abcos?.

D

2

2

2

2

2

2

2

A

b

22

C

a

B

綜上所述,

均有AB?故猜想成立.

師:這種思路是構造直角三角形,利用勾股定理來計算AB的長,但要注意這里要分三種情況討論.

方法二:

????????????????2????????2

證:因為AB?AC?CB,所以AB?(AC?CB)

????2????2????????

?AC?CB?2AC?CB?a2?b2?2abcos(???)?a2?b2?2abcos?,

B

A

即AB?故猜想成立.

師:這種方法的思路是構造向量,借助向量的運算來證題.將向量等式轉化數量等式常用的手段是作數量積.

方法三:

證:以C為坐標原點,CB所在直線為x軸,建立平面直角坐標系.

????

則B(a,0),A(bcos?,bsin?),則BA?(bcos??a,bsin?),所以

????2

|AB|?(bcos??a)2?(bsin??0)2=a2?b2?2abcos?,

????

即AB?|AB|?故猜想成立.

師:這種思路是建立平面直角坐標系,借助于坐標運算來證題.利用坐標法的優點在于不必分類討論了且運算簡單.

當然,我們還可以從其它途徑來驗證這一猜想,這里就不再討論了,有興趣的同學課后我們可以作些交流.

問題4 在三角形中,如何用符號語言與文字語言表示出上述結論? (提示:根式的表示形式不如平方的形式來得美觀.)

c2?a2?b2?2abcosC,

生:符號語言:在△ABC中,有a2?b2?c2?2bccosA,

b2?a2?c2?2accosB.

文字語言:三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.

師:很好!這一結論我們稱之為余弦定理,上述三個公式是余弦定理的一種表現形式. 問題5 如何根據三角形三條邊的長度來求其內角的大小呢?

a2?b2?c2b2?c2?a2a2?c2?b2

生:將上述結論變形為: cosC?,cosA?,cosB?.

2ab2bc2ac

師:這是余弦定理的另一種表現形式.對于余弦定理的這兩種形式,我們在解題中應該靈活地加以選用.

感悟:(1)在第一組式子中,當C=90°時,即有c2?a2?b2.所以,勾股定理是余弦定理 的特殊情形,余弦定理可以看做是勾股定理的推廣.

(2)在第二組式子中,我們考察式子左右兩邊的符號,不難發現:

在△ABC中,C為銳角?a2?b2?c2;C為直角?a2?b2?c2;C為鈍角?a2?b2?c2. 師:也就是說,在三角形中,要判斷一個內角是什么角,只要看它的對邊的平方與其它兩邊平方的和的.大小.

三、數學應用 深化理解

例1 在△ABC中,已知b=3,c=1,A=60°,求a.

解析:由余弦定理,得a2?b2?c2?2bccosA?32?12?2?3?1?cos600?7,

所以a?問:在此條件下,其它元素可求嗎?

反思:(1)利用余弦定理,可以解決“已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其他兩個角”的問題.

(2)用余弦定理求邊的長度時,切記最后的結果要開平方. 師: 情境1就是這種類型的問題,我們也不妨看一下解答.

情境1:A,B兩地之間隔著一座小山,現要測量A、B之間即將修建的一條隧道的長度.另選一個點C,可以測得的數據有:AC=182m,BC=126m,∠ACB=63°,如何求A,B兩地之間隧道的長度(精確到1m).

解析: 在?ABC中,因為AC?182m,BC?126m,?ACB?630,則由余弦定理,得

AB2?AC2?BC2?2AC?BCcos?ACB?1822?1262?2?182?126cos630 ?1822?1262?2?182?126?0.454?28177.15,

所以AB?168m.

答:A，B兩地之間隧道的長度約為168m. 例2 在?ABC中,已知a=7,b=5,c=3,求A.

b2?c2?a252?32?721

解析:由余弦定理,得cosA????,

2bc2?5?32

所以A=120°.

問:在此條件下,其它兩個角可求嗎? 眾生:可求.

反思: (1)利用余弦定理,可以解決“已知三邊,求三個角”的問題. 師:情境2就是這種類型的問題,我們不妨看一下解答.

情境2: 一位工人欲做一個三角形的支架.已知桿BC的長度為6分米,DAE是由一根直的鋼管沿著點A彎折而成.若彎折點A與焊接點B,C的距離分別為4分米和5分米,欲彎折后桿BC恰好能與兩焊接點相接,則彎折后∠BAC的大小是多少(精確到0.1度)?

解析:在?ABC中,因為c?4,b?5,a?6,則由余弦定理,得

b2?c2?a252?42?62

cosA???0.125,,所以A?82.80；

2bc2?5?4

A

E

答:彎折后,?BAC?82.80.

D

反思:(2)利用余弦定理解決實際問題,解題的關鍵是建立出相應的三角形的模型.同時,要注意最后結果的精確度的要求.

變式:(1)在△ABC中,已知a2+b2+ab=c2,求角C的大小.

a2?b2?c2?ab11222222

???,即cosC??, 解析:由a+b+ab=c,得a?b?c??ab,則

2ab2ab22

所以C?1200.

反思:(3)在解三角形時,由邊的條件式求角時,別忘了余弦定理；同時要注重余弦定理的逆用.

變式:(2)若三條線段的長分別為5,6,7,則用這三條線段( ). A.能組成直角三角形 B.能組成銳角三角形

C.能組成鈍角三角形 D.不能組成三角形

解析:首先因為兩條小邊之和大于第三邊,所以能夠組成三角形；接著,只要看最大的角是什么角.因為52?62?72,所以最大角為銳角,故這三條線段能組成銳角三角形.

思考:(1)若用長為5,6,x的三條線段構成的三角形是鈍角三角形,則正數x的取值范圍 是________.

(2)在?ABC中,已知a +c =2b,求證:B≤45°.

?x?6?x?6??

解析:(1)由?x?5?6或?5?x?6,

?x?11或1?x??x2?52?62?62?x2?52??

(2)要證: B≤60°,只要證:cosB?

1c?a?b1???22ca21

所以cosB?,故B≤60°.

2

2

2

2

1. 2

c2?a2?(

而cosB?

c?a2

)

13c2?3a2?6ca3(c?a)2??0, ?=

8ca8ca2ca2

四、思維提升 鞏固拓展

[1]課堂小結

數學知識----本節課新學的數學知識只有余弦定理.余弦定理與正弦定理是三角形中的兩朵奇葩,從形式上看,兩者都具有“美觀”的外形,余弦定理雖有多個表達式,但它們之間具有可以輪換的對稱美；從本質上看,兩者都揭示了三角形中邊與角之間“美妙”的內在聯系.

在解三角形的問題中,“已知三個元素”包括了“三條邊,兩角一邊,兩邊一角”這三種情況,前面學習的正弦定理能夠解決已知“兩角與任一邊” 以及“兩邊與其中一邊的對角”這兩類問題；今天學習的余弦定理又能夠解決已知“三邊” 以及“兩邊及其夾角”的這兩類問題.這樣,對于一般的解三角形問題,我們就都能找到解決的辦法了.當然,對于一些較為復雜的三角形問題,往往還要把這兩個定理聯合起來解決問題.

思維啟迪----從本節課的討論與研究中,我們獲得了以下的一些思維啟迪:

(1)本節課上,對于余弦定理的發現,我們是從三個特例開始的,這遵循了“從特殊到一般”的思維策略.

(2)在三個特例的基礎上,我們進行了大膽的猜想,所以合理運用數學猜想等合情推理手段,是我們進行數學發現的一個重要途徑.

(3)另外,在驗證余弦定理時,我們運用到了幾何、三角、向量等多個知識領域,所以我們要注重不同知識內容之間的融會貫通.

[2]作業布置

必做作業:教材第16頁習題1.2第1,2,3,4題. 選做作業:教材第16頁習題1.2第12題.

課后探究: (1) 思考:若用長為5,6,x的三條線段構成的三角形是鈍角三角形,則正數x的取值范圍是________.

(2)在?ABC中,已知a +c =2b,求證:B≤45°.

篇二：關于余弦定理初中數學教學設計

教學設計

整體設計

教學分析

對余弦定理的探究，教材是從直角三角形入手，通過向量知識給予證明的.一是進一步加深學生對向量工具性的認識，二是感受向量法證明余弦定理的奇妙之處，感受向量法在解決問題中的威力.課后仍鼓勵學生探究余弦定理的其他證明方法，推出余弦定理后，可讓學生用自己的語言敘述出來，并讓學生結合余弦函數的性質明確：如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角;如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角;如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推廣.還要啟發引導學生注意余弦定理的幾種變形式，并總結余弦定理的適用題型的特點，在解題時正確選用余弦定理達到求解、化簡的目的.

應用余弦定理及其另一種形式，并結合正弦定理，可以解決以下問題：(1)已知兩邊和它們的夾角解三角形;(2)已知三角形的三邊解三角形.在已知兩邊及其夾角解三角形時，可以用余弦定理求出第三條邊，這樣就把問題轉化成已知三邊解三角形的問題.在已知三邊和一個角的情況下，求另一個角既可以應用余弦定理的另一種形式，也可以用正弦定理.用余弦定理的另一種形式，可以(根據角的余弦值)直接判斷角是銳角還是鈍角，但計算比較復雜.用正弦定理計算相對比較簡單，但仍要根據已知條件中邊的大小來確定角的大小.

根據教材特點，本內容安排2課時.一節重在余弦定理的推導及簡單應用，一節重在解三角形中兩個定理的綜合應用.

三維目標

1.通過對余弦定理的探究與證明，掌握余弦定理的另一種形式及其應用;了解余弦定理與勾股定理之間的聯系;知道解三角形問 題的幾種情形.

2.通過對三角形邊角關系的探索，提高數學語言的表達能力，并進一步理解三角函數、余弦定理、向量的數量積等知識間的關系，加深對數學具有廣泛應用的認識;同時通過正弦定理、余弦定理數學表達式的變換，認識數學中的對稱美、簡潔美、統一美.

3.加深對數學思想的認識，本節的主要數學思想是量化的數學思想、分類討論思想以及數形結合思想;這些數學思想是對于數學知識的理性的、本質的、高度抽象的、概括的認識，具有普遍的指導意義，它是我們學習數學的重要組成部分，有利于加深學生對具體數學知識的理解和掌握.

重點難點

教學重點：掌握余弦定理;理解余弦定理的推導及其另一種形式，并能應用它們解三角形.

教學難點：余弦定理的證明及其基本應用以及結合正弦定理解三角形.

課時安排

2課時

教學過程

第1課時

導入新課

思路1.(類比導入)在探究正弦定理的證明過程中，從直角三角形的特殊情形入手，發現了正弦定理.現在我們仍然從直角三角形的這種特殊情形入手，然后將銳角三角形轉化為直角三角形，再適當運用勾股定理進行探索，這種導入比較自然流暢，易于學生接受.

思路2.(問題導入)如果已知一個三角形的兩條邊及其所夾的角，根據三角形全等的判斷方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形，能否把這個邊角關系準確量化出來呢?也就是從已知的兩邊和它們的夾角能否計算出三角形的另一邊和另兩個角呢?根據我們掌握的數學方法，比如說向量法，坐標法，三角法，幾何法等，類比正弦定理的證明，你能推導出余弦定理嗎?

推進新課

新知探究

提出問題

??1?通過對任意三角形中大邊對大角，小邊對小角的邊角量化，我們發現了正弦定理，解決了兩類解三角形的問題.那么如果已知一個三角形的兩條邊及這兩邊所夾的角，根據三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形.怎樣已知三角形的兩邊及這兩邊夾角的條件下解三角形呢?

?2?能否用平面幾何方法或向量方法或坐標方法等探究出計算第三邊長的關系式或計算公式呢?

?3?余弦定理的內容是什么?你能用文字語言敘述它嗎?余弦定理與以前學過的關于三角形的什么定理在形式上非常接近?

?4?余弦定理的另一種表達形式是什么?

?5?余弦定理可以解決哪些類型的解三角形問題?怎樣求解?

?6?正弦定理與余弦定理在應用上有哪些聯系和區別?

活動：根據學生的認知特點，結合課件“余弦定理猜想與驗證”，教師引導學生仍從特殊情形入手，通過觀察、猜想、證明而推廣到一般.

如下圖，在直角三角形中，根據兩直角邊及直角可表示斜邊，即勾股定理，那么對于任意三角形，能否根據已知兩邊及夾角來表示第三邊呢?下面，我們根據初中所學的平面幾何的有關知識來研究這一問題.

如下圖，在△ABC中，設BC=a，AC=b，AB=c，試根據b、c、∠A來表示a.

教師引導學生進行探究.由于初中平面幾何所接觸的是解直角三角形問題，所以應添加輔助線構成直角三角形.在直角三角形內通過邊角關系作進一步的轉化工作，故作CD垂直于AB于點D，那么在Rt△BDC中，邊a可利用勾股定理通過CD、DB表示，而CD可在Rt△ADC中利用邊角關系表示，DB可利用AB，AD表示，進而在Rt△ADC內求解.探究過程如下：

過點C作CD⊥AB，垂足為點D，則在Rt△CDB中，根據勾股定理，得

a2=CD2+BD2.

∵在Rt△ADC中，CD2=b2-AD2，

又∵BD2=(c-AD)2=c2-2c?AD+AD2，

∴a2=b2-AD2+c2-2c?AD+AD2=b2+c2-2c?AD.

又∵在Rt△ADC中，AD=b?cosA，

∴a2=b2+c2-2bccosA.

類似地可以證明b2=c2+a2-2cacosB.

c2=a2+b2-2abcosC.

另外，當A為鈍角時也可證得上述結論，當A為直角時，a2+b2=c2也符合上述結論.

這就是解三角形中的另一個重要定理——余弦定理.下面類比正弦定理的證明，用向量的方法探究余弦定理，進一步體會向量知識的工具性作用.

教師與學生一起探究余弦定理中的角是以余弦的形式出現的，又涉及邊長問題，學生很容易想到向量的數量積的定義式：a?b=|a||b|cosθ，其中θ為a，b的夾角.

用向量法探究余弦定理的具體過程如下：

如下圖，設CB→=a，CA→=b，AB→=c，那么c=a-b，

|c|2=c?c=(a-b)?(a-b)

=a?a+b?b-2a?b

=a2+b2-2abcosC.

所以c2=a2+b2-2abcosC.

同理可以證明a2=b2+c2-2bccosA，

b2=c2+a2-2cacosB.

這個定理用坐標法證明也比較容易，為了拓展學生的思路，教師可引導學生用坐標法證明，過程如下：

如下圖，以C為原點，邊CB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，設點B的坐標為(a,0)，點A的坐標為(bcosC，bsinC)，根據兩點間距離公式

AB=?bcosC-a?2+?bsinC-0?2，

∴c2=b2cos2C-2abcosC+a2+b2sin2C，

整理，得c2=a2+b2-2abcosC.

同理可以證明：a2=b2+c2-2bccosA，

b2=c2+a2-2cacosB.

余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即

a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC

余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個角之間的關系，每一個等式中都包含四個不同的量，它們分別是三 角形的三邊和一個角，知道其中的三個量，就可以求得第四個量.從而由三角形的三邊可確定三角形的三個角，得到余弦定理的另一種形式：

cosA=b2+c2-a22bccosB=c2+a2-b22cacosC=a2+b2-c22ab

教師引導學生進一步觀察、分析余弦定理的結構特征，發現余弦定理與以前的關于三角形的勾股定理在形式上非常接近，讓學生比較并討論它們之間的關系.學生容易看出，若△ABC中，C=90°，則cosC=0，這時余弦定理變為c2=a2+b2.由此可知，余弦定理是勾股定理的推廣;勾股定理是余弦定理的特例.另外，從余弦定理和余弦函 數的性質可知，在一個三角形中，如果兩邊的平方和 等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角;如果兩邊的平方和小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角;如果兩邊的平方和大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角.從以上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推廣.

應用余弦定理，可以解決以下兩類有關解三角形的問題：

①已知三角形的三邊解三角形，這類問題是三邊確定，故三角也確定，有解;

②已知兩邊和它們的夾角解三角形，這類問題是第三邊確定，因而其他兩個角也確定，故解.不會產生利用正弦定理解三角形所產生的判斷解的取舍的問題.

把正弦定理和余弦定理結合起來應用，能很好地解決解三角形的問題.教師引導學生觀察兩個定理可解決的問題類型會發現：如果已知的是三角形的三邊和一個角的情況，而求另兩角中的某個角時，既可以用余弦定理也可以用正弦定理，那么這兩種方法哪個會更好些呢?教師與學生一起探究得到：若用余弦定理的另一種形式，可以根據余弦值直接判斷角是銳角還是鈍角，但計算比較復雜.用正弦定理計算相對比較簡單，但仍要根據已知條件中邊的大小來確定角的大小，所以一般應該選擇用正弦定理去計算比較小的邊所對的角.教師要點撥學生注意總結這種優化解題的技巧.

討論結果：

(1)、(2)、(3)、(6)見活動.

(4)余弦定理的另一種表達形式是：

cosA=b2+c2-a22bccosB=c2+a2-b22cacosC=a2+b2-c22ab

(5)利用余弦定理可解決兩類解三角形問題：

一類是已知三角形三邊，另一類是已知三角形兩邊及其夾角.

應用示例

例1如圖，在△ABC中，已知a=5，b=4，∠C=120°，求c.

活動：本例是利用余弦定理解決的第二類問題，可讓學生獨立完成.

解：由余弦定理，得

c2=a2+b2-2abcos120°，

因此c=52+42-2×5×4×?-12?=61.

例2如圖，在△ABC中，已知a=3，b=2，c=19，求此三角形各個角的大小及其面積.(精確到0.1)

活動：本例中已知三角形三邊，可利用余弦定理先求出邊所對的角，然后利用正弦定理再求出另一角，進而求得第三角.教材中 這樣安排是為了讓學生充分熟悉正弦定理和余弦定理.實際教學時可讓學生自己探求解題思路，比如學生可能會三次利用余弦定理分別求出三個角，或先求出最小邊所對的角再用正弦定理求其他角，這些教師都要給予鼓勵，然后讓學生自己比較這些方法的不同或優劣，從而深刻理解兩個定理的.

解：由余弦定理，得

cos∠BCA=a2+b2-c22ab=32+22-?19?22×3×2=9+4-1912=-12，

因此∠BCA=120°，

再由正弦定理，得

sinA=asin∠BCAc=3×3219=33219≈0.596 0，

因此∠A≈36.6°或∠A≈143.4°(不合題意，舍去).

因此∠B=180°-∠A-∠BCA≈23.4°.

設BC邊上的高為AD，則

AD=csinB=19sin23.4°≈1.73.

所以△ABC的面積≈12×3×1.73≈2.6.

點評：在既可應用正弦定理又可應用余弦定理時，體會兩種方法存在的差異.當所求的 角是鈍角時，用余弦定理可以立即判定所求的角，但用正弦定理則不能直接判定.

變式訓練

在△ABC中，已知a=14，b=20，c=12，求A、B和C.(精確到1°)

解：∵cosA=b2+c2-a22bc=202+122-1422×20×12=0.725 0，

∴A≈44°.

∵cosC=a2+b2-c22ab=142+202-1222×14×20=113140≈0.807 1，

∴C≈36°.

∴B=180°-(A+C)≈180°-(44°+36°)=100°.

例3如圖，△ABC的頂點為A(6,5)，B(-2,8)和C(4,1)，求∠A.(精確到0.1°)

活動：本例中三角形的三點是以坐標的形式給出的，點撥學生利用兩點間距離公式先求出三邊，然后利用余弦定理求出∠A.可由學生自己解決，教師給予適當的指導.

解：根據兩點間距離公式，得

AB=[6-?-2?]2+?5-8?2=73，

BC=?-2-4?2+?8-1?2=85，

AC=?6-4?2+?5-1?2=25.

在△ABC中，由余弦定理，得

cosA=AB2+AC2-BC22AB?AC=2365≈0.104 7，

因此∠A≈84.0°.

點評：三角形三邊的長作為中間過程，不必算出精確數值.

變式訓練

用向量的數量積運算重做本例.

解：如例3題圖，AB→=(-8,3)，AC→=(-2，-4)，

∴|AB→|=73，|AC→|=20.

∴cosA=AB→?AC→|AB→||AC→|

=-8×?-2?+3×?-4?73×20

=2365≈0.104 7.

因此∠A≈84.0°.

例4在△ABC中，已知a=8，b=7，B=60°，求c及S△ABC.

活動：根據已知條件可以先由正弦定理求出角A，再結合三角形內角和定理求出角C，再利用正弦定理求出邊c，而三角形面積由公式S△ABC=12acsinB可以求出.若用余弦定理求c，可利用余弦定理b2=c2+a2-2cacosB建立關于c的方程，亦能達到求c的目的.

解法一：由正弦定理，得8sinA=7sin60°，

∴A1=81.8°，A2=98.2°.

∴C1=38.2°，C2=21.8°.

由7sin60°=csinC，得c1=3，c2=5，

∴S△ABC=12ac1sinB=63或S△ABC=12ac2sinB=103.

解法二：由余弦定理，得b2=c2+a2-2cacosB，

∴72=c2+82-2×8×ccos60°.

整理，得c2-8c+15=0，

解之，得c1=3，c2=5.∴S△ABC=12ac1sinB=63或S△ABC=12ac2sinB=103.

點評：在解法一的思路里，應注意用正弦定理應有兩種結果，避免遺漏;而解法二更有耐人尋味之處，體現出余弦定理作為公式而直接應用的另外用處，即可以用之建立方程，從而運用方程的觀點去解決，故解法二應引起學生的注意.

綜合上述例題，要求學生總結余弦定理在求解三角形時的適用范圍;已知三邊求角或已知兩邊及其夾角解三角形，同時注意余弦定理在求角時的優勢以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知兩邊及一角解三角形可用余弦定理解之.

變式訓練

在△ABC中，內角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c.已知c=2，C=60°.

(1)若△ABC的面積等于3，求a，b;

(2)若sinB=2sinA，求△ABC的面積.

解：(1)由余弦定理及已知條件，得a2+b2-2abcos60°=c2，即a2+b2-ab=4，

又因為△ABC的面積等于3，所以12absinC=3，ab=4.

聯立方程組a2+b2-ab=4，ab=4，解得a=2，b=2.

(2)由正弦定理及已知條件，得b=2a，

聯立方程組a2+b2-ab=4，b=2a，解得a=233，b=433.

所以△ABC的面積S=12absinC=233.

知能訓練

1.在△ABC中，已知C=120°，兩邊a與b是方程x2-3x+2=0的兩根，則c的值為…

( )

A.3 B.7 C.3 D.7

2.已知三角形的三邊長分別為x2+x+1，x2-1,2x+1(x>1)，求三角形的角.

答案：

1.D 解析：由題意，知a+b=3，ab=2.

在△ABC中，由余弦定理，知

c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab

=(a+b)2-ab

=7，

∴c=7.

2.解：比較得知，x2+x+1為三角形的邊，設其對角為A.

由余弦定理，得

cosA=?x2-1?2+?2x+1?2-?x2+x+1?22?x2-1??2x+1?

=-12.

∵0

即三角形的角為120°.

課堂小結

1.教師先讓學生回顧本節課的探究過程，然后再讓學生用文字語言敘述余弦定理，準確理解其實質，并由學生回顧可用余弦定理解決哪些解三角形的問題.

2.教師指出：從方程的觀點來分析，余弦定理的每一個等式都包含了四個不同的量，知道其中三個量，便可求得第四個量.要通過課下作業，從方程的角度進行各種變形，達到辨明余弦定理作用的目的.

3.思考本節學到的探究方法，定性發現→定量探討→得到定理.

作業

課本習題1—1A組4、5、6;習題1—1B組1～5.

設計感想

本教案的設計充分體現了“民主教學思想”，教師不主觀、不武斷、不包辦，讓學生充分發現問題，合作探究，使學生真正成為學習的主體，力求在課堂上人人都會有“令你自己滿意”的探究成果.這樣能夠不同程度地開發學生的潛能，且使教學內容得以鞏固和延伸.“發現法”是常用的一種教學方法，本教案設計是從直角三角形出發，以歸納——猜想——證明——應用為線索，用恰當的問題通過啟發和點撥，使學生把規律和方法在愉快的氣氛中探究出來，而展現的過程合情合理，自然流暢，學生的主體地位得到了充分的發揮.

縱觀本教案設計流程，引入自然，學生探究到位，體現新課程理念，能較好地完成三維目標，課程內容及重點難點也把握得恰到好處.環環相扣的設計流程會強烈地感染著學生積極主動地獲取知識，使學生的探究欲望及精神狀態始終處于狀態.在整個教案設計中學生的思維活動量大，這是貫穿整個教案始終的一條主線，也應是實際課堂教學中的一條主線.

備課資料

一、與解三角形有關的幾個問題

1.向量方法證明三角形中的射影定理

如圖，在△ABC中，設三內角A、B、C的對邊分別是a、b、c.

∵AC→+CB→=AB→，

∴AC→?(AC→+CB→)=AC→?AB→.

∴AC→?AC→+AC→?CB→=AC→?AB→.

∴|AC→|2+|AC→||CB→|cos(180°-C)=|AB→||AC→|cosA.

∴|AC→|-|CB→|cosC=|AB→|cosA.

∴b-acosC=ccosA，

即b=ccosA+acosC.

同理，得a=bcosC+ccosB，c=bcosA+acosB.

上述三式稱為三角形中的射影定理.

2.解斜三角形題型分析

正弦定理和余弦定理的每一個等式中都包含三角形的四個元素，如果其中三個元素是已知的(其中至少有一個元素是邊)，那么這個三角形一定可解.

關于斜三角形的解法，根據所給的條件及適用的定理可以歸納為下面四種類型：

(1)已知兩角及其中一個角的對邊，如A、B、a，解△ABC.

解：①根據A+B+C=π，求出角C;

②根據asinA=bsinB及asinA=csinC，求b、c.

如果已知的是兩角和它們的夾邊，如A、B、c，那么先求出第三角C，然后按照②來求解.求解過程中盡可能應用已知元素.

(2)已知兩邊和它們的夾角，如a、b、C，解△ABC.

解：①根據c2=a2+b2-2abcosC，求出邊c;

②根據cosA=b2+c2-a22bc，求出角A;

③由B=180°-A-C，求出角B.

求出第三邊c后，往往為了計算上的方便，應用正弦定理求角，但為了避免討論角是鈍角還是銳角，應先求較小邊所對的角(它一定是銳角)，當然也可以用余弦定理求解.

(3)已知兩邊及其中一條邊所對的角，如a、b、A，解△ABC.

解：①asinA=bsinB，經過討論求出B;

②求出B后，由A+B+C=180°，求出角C;

③再根據asinA=csinC，求出邊c.

(4)已知三邊a、b、c，解△ABC.

解：一般應用余弦定理求出兩角后，再由A+B+C=180°，求出第三個角.

另外，和第二種情形完全一樣，當第一個角求出后，可以根據正弦定理求出第二個角，但仍然需注意要先求較小邊所對的銳角.

(5)已知三角，解△ABC.

解：滿足條件的三角形可以作出無窮多個，故此類問題解不.

3.“可解三角形”與“需解三角形”

解斜三角形是三角函數這章中的一個重要內容，也是求解立體幾何和解析幾何問題的一個重要工具.但在具體解題時，有些同學面對較為復雜(即圖中三角形不止一個)的斜三角形問題，往往不知如何下手.至于何時用正弦定理或余弦定理也是心中無數，這既延長了思考時間，更影響了解題的速度和質量.但若明確了“可解三角形”和“需解三角形”這兩個概念，則情形就不一樣了.

所謂“可解三角形”，是指已經具有三個元素(至少有一邊)的三角形;而“需解三角形”則是指需求邊或角所在的三角形.當一個題目的圖形中三角形個數不少于兩個時，一般來說其中必有一個三角形是可解的，我們就可先求出這個“可解三角形”的某些邊和角，從而使“需解三角形”可解.在確定了“可解三角形”和“需解三角形”后，就要正確地判斷它們的類型，合理地選擇正弦定理或余弦定理作為解題工具，求出需求元素，并確定解的情況.

“可解三角形”和“需解三角形”的引入，能縮短求解斜三角形問 題的思考時間.一題到手后，先做什么，再做什么，心里便有了底.分析問題的思路也從“試試看”“做做看”等不大確定的狀態而變為“有的放矢”地去挖掘，去探究.

二、備用習題

1.△ABC中，已知b2-bc-2c2=0，a=6，cosA=78，則△ABC的面積S為( )

A.152 B.15 C.2 D.3

2.已知一個三角形的三邊為a、b和a2+b2+ab，則這個三角形的角是( )

A.75° B.90° C.120° D.150°

3.已知銳角三角形的兩邊長為2和3，那么第三邊長x的取值范圍是( )

A.(1,5) B.(1，5) C.(5，5) D.(5，13)

4.如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長度，則這個新三角形的形狀為( )

A.銳角三角形 B.直角三角形

C.鈍角三角形 D.由增加的長度確定

5.(1)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，已知a=3，b=3，C=30°，則A=__________.

(2)在△ABC中，三個角A，B，C的對邊邊長分別為a=3，b=4，c=6，則bccosA+cacosB+abcosC的值為__________.

6.在△ABC中，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab，并且sinC=2sinBcosA，試判斷△ABC的形狀.

7.在△ABC中，設三角形面積為S，若S=a2-(b -c)2，求tanA2的值.

參考答案：

1.A 解析：由b2-bc-2c2=0，即(b+c)(b-2c)=0，得b=2c;①

由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA，即6=b2+c2-74bc.②

解①②，得b=4，c=2.

由cosA=78，得sinA=158，

∴S△ABC=12bcsinA=12×4×2×158=152.

2.C 解析：設角為θ，由余弦定理，得a2+b2+ab=a2+b2-2abcosθ，

∴cosθ=-12.∴θ=120°.

3.D 解析：若x為邊，由余弦定理，知4+9-x22×2×3>0，即x2<13，∴0

若x為最小邊，則由余弦定理知4+x2-9>0，即x2>5，

∴x>5.綜上，知x的取值范圍是5

4.A 解析：設直角三角形的三邊為a，b，c，其中c為斜邊，增加長度為x.

則c+x為新三角形的最長邊.設其所對的角為θ，由余弦定理知，

cosθ=?a+x?2+?b+x?2-?c+x?22?a+x??b+x?=2?a+b-c?x+x22?a+x??b+x?>0.

∴θ為銳角，即新三角形為銳角三角形.

5.(1)30° (2)612 解析：(1)∵a=3，b=3，C=30°，由余弦定理，有

c2=a2+b2-2abcosC=3+9-2×3×3×32=3，

∴a=c，則A=C=30°.

(2)∵bccosA+cacosB+abcosC=b2+c2-a22+c2+a2-b22+a2+b2-c22

=a2+b2+c22=32+42+622=612.

6.解：由正弦定理，得sinCsinB=cb，

由sinC=2sinBcosA，得cosA=sinC2sinB=c2b，

又根據余弦定理，得cosA=b2+c2-a22bc，

故c2b=b2+c2-a22bc，即c2=b2+c2-a2.

于是，得b2=a2，故b=a.

又因為(a +b+c)(a+b-c)=3ab，

故(a+b)2-c2=3ab.由a=b，得4b2-c2=3b2，

所以b2=c2，即b=c.故a=b=c.

因此△ABC為正三角形.

7.解：S=a2-(b-c)2，又S=12bcsinA，

∴12bcsinA=a2-(b-c)2，

有14sinA=-?b2+c2-a2?2bc+1，

即14?2sinA2?cosA2=1-cosA.

∴12?sinA2?cosA2=2sin2A2.

∵sinA2≠0，故12cosA2=2 sinA2，∴tanA2=14.

第2課時

導入新課

思路1.(復習導入)讓學生回顧正弦定理、余弦定理的內容及表達式，回顧上兩節課所解決的解三角形問題，那么把正弦定理、余弦定理放在一起并結合三角、向量、幾何等知識我們會探究出什么樣的解題規律呢?由此展開新課.

思路2.(問題導入)我們在應用正弦定理解三角形時，已知三角形的兩邊及其一邊的對角往往得出不同情形的解，有時有一解，有時有兩解，有時又無解，這究竟是怎么回事呢?本節課我們從一般情形入手，結合圖形對這一問題進行進一步的探究，由此展開新課.

推進新課

新知探究

提出問題

?1?回憶正弦定理、余弦定理及其另一種形式的表達式，并用文字語言敘述其內容.能寫出定理的哪些變式?

?2?正、余弦定理各適合解決哪類解三角形問題?

?3?解三角形常用的有關三角形的定理、性質還有哪些?

?4?為什么有時解三角形會出現矛盾，即無解呢?比如：,①已知在△ABC中，a=22 cm，b=25 cm，A=135°，解三角形;,②已知三條邊分別是3 cm，4 cm，7 cm，解三角形.

活動：結合課件、幻燈片等，教師可把學生分成幾組互相提問正弦定理、余弦定理的內容是什么?各式中有幾個量?有什么作用?用方程的思想寫出所有的變形(包括文字敘述)，讓學生回答正、余弦定理各適合解決的解三角形類型問題、三角形內角和定理、三角形面積定理等.可讓學生填寫下表中的相關內容：

解斜三角形時可

用的定理和公式 適用類型 備注

余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA

b2=a2+c2-2accosB

c2=b2+a2-2bacosC (1)已知三邊

(2)已知兩邊及其夾角

類型(1)(2)有解時只有一解

正弦定理

asinA=bsinB=csinC=2R

(3)已知兩角和一邊

(4)已知兩邊及其中一邊的對角 類型(3)在有解時只有一解，類型(4)可有兩解、一解或無解

三角形面積公式

S=12bcsinA

=12acsinB

=12absinC

(5)已知兩邊及其夾角

對于正弦定理，教師引導學生寫出其變式：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，利用幻燈片更能直觀地看出解三角形時的邊角互化.對于余弦定理，教師要引導學生寫出其變式(然后教師打出幻燈片)：∠A>90°?a2>b2+c2;∠A=90°?a2=b2+c2;∠A<90°?a2

以上內容的復習回顧如不加以整理，學生將有雜亂無章、無規碰撞之感，覺得好像更難以把握了，要的就是這個效果，在看似學生亂提亂問亂說亂寫的時候，教師適時地打出幻燈片(1張)，立即收到耳目一新，主線立現、心中明朗的感覺，幻燈片除以上2張外，還有：

asinA=bsinB=csinC=2R;a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC;cosA=b2+c2-a22bc，cosB=a2+c2-b22ac，cosC=a2+b2-c22ab.

出示幻燈片后，必要時教師可根據學生的實際情況略作點評.

與學生一起討論解三角形有時會出現無解的情況.如問題(4)中的①會出現如下解法：

根據正弦定理，sinB=bsinAa=25sin133°22≈0.831 1.

∵0°

于是C=180°-(A+B)≈180°-(133°+56.21°)=-9.21°或C=180°-(A+B)≈180°-(133°+123.79°)=-76.79°.

到這里我們發現解三角形竟然解出負角來，顯然是錯誤的.問題出在哪里呢?在檢驗以上計算無誤的前提下，教師引導學生分析已知條件.由a=22 cm，b=25 cm，這里a

討論結果：

(1)、(3)、(4)略.

(2)利用正弦定理和余弦定理可解決以下四類解三角形問題：

①已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角.

②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角(從而進一步求出其他的邊和角).

③已知三邊，求三個角.

④已知兩邊和夾角，求第三邊和其他兩角.

應用示例

例1在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，b=acosC且△ABC的邊長為12，最小角的正弦值為13.

(1)判斷△ABC的形狀;

(2)求△ABC的面積.

活動：教師與學生一起共同探究本例，通過本例帶動正弦定理、余弦定理的知識串聯，引導學生觀察條件b=acosC，這是本例中的關鍵條件.很顯然，如果利用正弦定理實現邊角轉化，則有2RsinB=2RsinA?cosC.若利用余弦定理實現邊角轉化，則有b=a?a2+b2-c22ab，兩種轉化策略都是我們常用的.引導學生注意對于涉及三角形的三角函數變換.內角和定理A+B+C=180°非常重要，常變的角有A2+B2=π2-C2，2A+2B+2C=2π，sinA=sin(B+C)，cosA=-cos(B+C)，sinA2=cosB+C2，cosA2=sinB+C2等，三個內角的大小范圍都不能超出(0°，180°).

解：(1)方法一：∵b=acosC，

∴由正弦定理，得sinB=sinA?cosC.

又∵sinB=sin(A+C)，∴sin(A+C)=sinA?cosC，

即cosA?sinC=0.

又∵A、C∈(0，π)，∴cosA=0，即A=π2.

∴△ABC是A=90°的直角三角形.

方法二：∵b=acosC，

∴由余弦定理，得b=a?a2+b2-c22ab，

2b2=a2+b2-c2，即a2=b2+c2.

由勾股定理逆定理，知△ABC是A=90°的直角三角形.

(2)∵△ABC的邊長為12，由(1)知斜邊a=12.

又∵△ABC最小角的正弦值為13，

∴Rt△ABC的最短直角邊長為12×13=4.

另一條直角邊長為122-42=82，

∴S△ABC=12×4×82=162.

點評：以三角形為載體，以三角變換為核心，結合正弦定理和余弦定理綜合考查邏輯分析和計算推理能力是高考命題的一個重要方向.因此要特別關注三角函數在解三角形中的靈活運用，及正、余弦定理的靈活運用.

變式訓練

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，且cosA=45.

(1)求sin2B+C2+cos2A的值;

(2)若b=2，△ABC的面積S=3，求a.

解：(1)sin2B+C2+cos2A=1-cos?B+C?2+cos2A

=1+cosA2+2cos2A-1=5950.

(2)∵cosA=45，∴sinA=35.

由S△ABC=12bcsinA得3=12×2c×35，解得c=5.

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，可得a2=4+25-2×2×5×45=13，

∴a=13.

例2已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的對邊，若a=7，c=5，∠A=120°，求邊長b及△ABC外接圓半徑R.

活動：教師引導學生觀察已知條件，有邊有角，可由余弦定理先求出邊b，然后利用正弦定理再求其他.點撥學生注意體會邊角的互化，以及正弦定理和余弦定理各自的作用.

解：由余弦定理，知a2=b2+c2-2bccosA，即b2+52-2×5×bcos120°=49，

∴b2+5b-24=0.

解得b=3.(負值舍去).

由正弦定理：asinA=2R，即7sin120°=2R，解得R=733.

∴△ABC中，b=3，R=733.

點評：本題直接利用余弦定理，借助方程思想求解邊b，讓學生體會這種解題方法，并探究其他的解題思路.

變式訓練

設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b2+c2=a2+3bc，求：

(1)A的大小;

(2)2sinB?cosC-sin(B-C)的值.

解：(1)由余弦定理，得cosA=b2+c2-a22bc=3bc2bc=32，

∴∠A=30°.

(2)2sinBcosC-sin(B-C)

=2sinBcosC-(sinB?cosC-cosBsinC)

=sinBcosC+cosBsinC

=sin(B+C)

=sinA

=12.

例3如圖，在四邊形ABCD中，∠ADB=∠BCD=75°，∠ACB=∠BDC=45°，DC=3，求：

(1)AB的長;

(2)四邊形ABCD的面積.

活動：本例是正弦定理、余弦定理的靈活應用，結合三角形面積求解，難度不大，可讓學生自己獨立解決，體會正、余弦定理結合三角形面積的綜合應用.

解：(1)因為∠BCD=75°，∠ACB=45°，所以∠ACD=30°.

又因為∠BDC=45°，

所以∠DAC=180°-(75°+ 45°+ 30°)=30°.所以AD=DC=3.

在△BCD中，∠CBD=180°-(75°+ 45°)=60°，

所以BDsin75°=DCsin60°，BD =3sin75°sin60°=6+22.

在△ABD中，AB2=AD2+ BD2-2×AD×BD×cos75°=(3)2+(6+22)2-2×3×6+22×6-24= 5，所以AB=5.

(2)S△ABD=12×AD×BD×sin75°=12×3×6+22×6+24=3+234.

同理， S△BCD=3+34.

所以四邊形ABCD的面積S=6+334.

點評：本例解答對運算能力提出了較高要求，教師應要求學生“列式工整、算法簡潔、運算正確”，養成規范答題的良好習慣.

變式訓練

如圖，△ACD是等邊三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2.

(1)求cos∠CBE的值;

(2)求AE.

解：(1)因為∠BCD=90°+60°=150°，

CB=AC=CD，

所以∠CBE=15°.

所以cos∠CBE=cos(45°-30°)=6+24.

(2)在△ABE中，AB=2，

由正弦定理，得AEsin?45°-15°?=2sin?90°+15°?，

故AE=2sin30°cos15°=2×126+24=6-2.

例4在△ABC中，求證：a2sin2B+b2sin2A=2absinC.

活動：此題所證結論包含關于△ABC的邊角關系，證明時可以考慮兩種途徑：一是把角的關系通過正弦定理轉化為邊的關系，若是余弦形式則通過余弦定理;二是把邊的關系轉化為角的關系，一般是通過正弦定理.另外，此題要求學生熟悉相關的三角函數的有關公式，如sin2B=2sinBcosB等，以便在化為角的關系時進行三角函數式的恒等變形.

證法一： (化為三角函數)

a2sin2B+b2sin2A=(2RsinA)2?2sinB?cosB+(2RsinB)2?2sinA?cosA=8R2sinA?sinB(sinAcosB+cosAsinB)=8R2sinAsinBsinC=2?2RsinA?2RsinB?sinC=2absinC.

所以原式得證.

證法二： (化為邊的等式)

左邊=a2?2sinBcosB+b2?2sinAcosA=a2?2b2R?a2+c2-b22ac+b2?2a2R?b2+c2-a22bc=ab2Rc(a2+c2-b2+b2+c2-a2)=ab2Rc?2c2=2ab?c2R=2absinC.

點評：由邊向角轉化，通常利用正弦定理的變形式：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，在轉化為角的關系式后，要注意三角函數公式的運用，在此題用到了正弦二倍角公式sin2A=2sinA?cosA，正弦兩角和公式sin(A+B)=sinA?cosB+cosA?sinB;由角向邊轉化，要結合正弦定理變形式以及余弦定理形式二.

篇三：關于余弦定理初中數學教學設計

變 式訓練

在△ABC中，求證：

(1)a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C;

(2)a2+b2+c2=2(bccosA+cacosB+abcosC).

證明：(1)根據正弦定理，可設

asinA=bsinB= csinC= k，

顯然 k≠0，所以

左邊=a2+b2c2=k2sin2A+k2sin2Bk2sin2C=sin2A+sin2Bsin2C=右邊.

(2)根據余弦定理，得

右邊=2(bcb2+c2-a22bc+cac2+a2-b22ca+aba2+b2-c22ab)

=(b2+c2- a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)

=a2+b2+c2=左邊.

知能訓練

1.已知△ABC的三個內角A、B、C所對的三邊分別為a、b、c.若△ABC的面積S=c2-(a-b)2，則tanC2等于( )

A.12 B.14 C.18 D.1

2.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足4sin2A+C2-cos2B=72.

(1)求角B的度數;

(2)若b=3，a+c=3，且a>c，求a、c的值.

答案：

1.B 解析：由余弦定理及面積公式，得

S=c2-a2-b2+2ab=-2abcosC+2ab=12absinC，

∴1-cosCsinC=14.

∴tanC2=1-cosCsinC=14.

2.解：(1)由題意，知4cos2B-4cosB+1=0，∴cosB=12.

∵0

(2)由余弦定理，知3=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=9-3ac，

∴ac=2.①

又∵a+c=3，②

解①②聯立的方程組，得a=2，c=1或a=1，c=2.

∵a>c，∴a=2，c=1.

課堂小結

教師與學生一起回顧本節課我們共同探究的解三角形問題，特別是已知兩邊及其一邊的對角時解的情況，通過例題及變式訓練，掌握了三角形中邊角互化的問題以及聯系其他知識的小綜合問題.學到了具體問題具體分析的良好思維習慣.

教師進一步點出，解三角形問題是確定線段 的長度和角度的大小，解三角形需要利用邊角關系，三角形中，有六個元素：三條邊、三個角;解三角形通常是給出三個獨立的條件(元素)，求出其他的元素，如果是特殊的三角形，如直角三角形，兩個條件(元素)就夠了.正弦定理與余弦定理是刻畫三角形邊角關系的重要定理，正弦定理適用于已知兩角一邊，求其他要素;余弦定理適用于已知兩邊和夾角，或者已知三邊求其他要素.

作業

課本本節習題1—1B組6、7.

補充作業

1.在△ABC中，若tanAtanB=a2b2，試判斷△ABC的形狀.

2.在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，A=60°，B>C，b、c是方程x2-23x+m=0的兩個實數根，△ABC的面積為32，求△ABC的三邊長.

解答：1.由tanAtanB=a2b2，得sinA?cosBcosA?sinB=a2b2，

由正弦定理，得a=2RsinA，b=2RsinB，

∴sinA?cosBcosA?sinB=4R2sin2A4R2sin2B.

∴sinA?cosA=sinB?cosB，

即sin2A=sin2B.

∴A+B=90°或A=B，

即△ABC為等腰三角形或直角三角形.

2.由韋達定理，得bc=m，S△ABC=12bcsinA=12msin60°=34m=32，

∴m=2.

則原方程變為x2-23x+2=0，

解得兩根為x=3±1.

又B>C，∴b>c.

故b=3+1，c=3-1.

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA=6，得a=6.

∴所求三角形的三邊長分別為a=6，b=3+1，c=3-1.

設計感想

本教案設計的思路是：通過一些典型 的實例來拓展關于解三角形的各種題型及其解決方法，具體解三角形時，所選例題突出了函數與方程的思想，將正弦定理、余弦定理視作方程或方程組，處理已知量與未知量之間的關系.

本教案的設計注重了一題多解的訓練，如例4給出了兩種解法，目的是讓學生對換個角度看問題有所感悟，使學生經常自覺地從一個思維過程轉換到另一個思維過程，逐步培養出創新意識.換一個角度看問題，變通一下，也許會有意想不到的效果.

備課資料

一、正弦定理、余弦定理課外探究

1.正、余弦定理的邊角互換功能

對于正、余弦定理，同學們已經開始熟悉，在解三角形的問題中常會用到它，其實，在涉及到三角形的其他問題中，也常會用到它們.兩個定理的特殊功能是邊角互換，即利用它們可以把邊的關系轉化為角的關系，也可以把角的關系轉化為邊的關系，從而使許多問題得以解決.

【例1】 已知a、b為△ABC的邊，A、B分別是a、b的對角，且sinAsinB=32，求a+bb的值.

解：∵asinA=bsinB，∴sinAsinB=ab.又sinAsinB=32(這是角的關系)，

∴ab=32(這是邊的關系).于是，由合比定理，得a+bb=3+22=52.

【例2】 已知△ABC中，三邊a、b、c所對的角分別是A、B、C，且2b=a+c.

求證：sinA+sinC=2sinB.

證明：∵a+c=2b(這是邊的關系)，①

又asinA=bsinB=csinC，∴a=bsinAsinB，②

c=bsinCsinB.③

將②③代入①，得bsinAsinB+bsinCsinB=2b.整理，得sinA+sinC=2sinB(這是角的關系).

2.正、余弦定理的巧用

某些三角習題的化簡和求解，若能巧用正、余弦定理，則可避免許多繁雜的運算，從而使問題較輕松地獲得解決，現舉例說明如下：

【例3】 求sin220°+cos280°+3sin20°cos80°的值.

解：原式=sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150°，

∵20°+10°+150°=180°，∴20°、10°、150°可看作一個三角形的三個內角.

設這三個內角所對的邊依次是a、b、c，由余弦定理，得a2+b2-2abcos150°=c2.(_

而由正弦定理，知a=2Rsin20°，b=2Rsin10°，c=2Rsin150°，代入(_式，得sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150°=sin2150°=14.∴原式=14.

二、備用習題

1.在△ABC中，已知a=11，b=20，A=130°，則此三角形( )

A.無解 B.只有一解

C.有兩解 D.解的個數不確定

2.△ABC中，已知(a+c)(a-c)=b2+bc，則A等于( )

A.30° B.60° C.120° D.150°

3.△ABC中，若acosB=bcosA，則該三角形一定是( )

A.等腰三角形但不是直角三角形

B.直角三角形但不是等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

4.△ABC中，tanA?tanB<1，則該三角形一定是( )

A.銳角三角形 B.鈍角三角形

C.直角三角形 D.以上都有可能

5.在△ABC中，若∠B=30°，AB=23，AC=2，則△ABC的面積是__________.

6.在△ABC中，已知A=120°，b=3，c=5，求：

(1)sinBsinC;

(2)sinB+sinC.

7.在△ABC中，角A、B、C所對邊的長分別是a、b、c，且cos〈AB→，AC→〉=14.

(1)求sin2B+C2+cos2A的值;

(2)若a=4，b+c=6，且b

參考答案：

1.A 解析：∵a90°，因此無解.

2.C 解析：由已知，得a2-c2=b2+bc，∴b2+c2-a2=-bc.

由余弦定理，得

cosA=b2+c2-a22bc=-bc2bc=-12.

∴A=120°.

3.D 解析：由已知條件結合正弦定理，得

sinAcosB=sinBcosA，即sinA?cosA=sinB?cosB，

∴sin2A=sin2B.

∴2A=2B或2A=180°-2B，

即A=B或A+B= 90°.

因此三角形為等腰三角形或直角三角形.

4.B 解析：由已知條件，得sinAcosA?sinBcosB<1，即cos?A+B?cosA?cosB>0，cosCcosAcosB<0.

說明cosA，cosB，cosC中有且只有一個為負.

因此三角形為鈍角三角形.

5.23或3 解析：由ACsin30°=ABsinC，知sinC=32.

若∠C=60°，則△ABC是直角三角形，S△ABC=12AB×AC=23.

若∠C=120°，則∠A=30°，S△ABC=12AC×AB?sin30°=3.

6.解法一：(1)∵b=3，c=5，A=120°，

∴由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA=9+25-2×3×5×(-12)=49.∴a=7.

由正弦定理，得sinB=bsinAa=3×327=3314，sinC=csinAa=5314，

∴sinBsinC=45196.

(2)由(1)知，sinB+sinC=8314=437.

解法二：(1)由余弦定理，得a=7，

由正弦定理a=2RsinA，得R=a2sinA=733，

∴sinB=b2R=32×733=3314，sinC=c2R=5314.

∴sinBsinC=45196.

(2)由(1)知，sinB+sinC=8314=437.

7.解：(1)sin2B+C2+cos2A=12[1-cos(B+C)]+(2cos2A-1)=12(1+cosA)+(2cos2A-1)=12(1+14)+(18-1)=-14.

(2)由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA，

即a2=(b+c)2-2bc-2bccosA

第五篇：1.1.2余弦定理教學設計

人教版數學必修5§1.1.2余弦定理的教學設計

一、教學目標解析

1、使學生掌握余弦定理及推論，并會初步運用余弦定理及推論解三角形。

2、通過對三角形邊角關系的探究，能證明余弦定理，了解從三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途徑證明余弦定理。

3、在發現和證明余弦定理中，通過聯想、類比、轉化等思想方法比較證明余弦定理的不同方法，從而培養學生的發散思維。

4、能用余弦定理解決生活中的實際問題，可以培養學生學習數學的興趣，使學生進一步認識到數學是有用的。

二、教學問題診斷分析

1、通過前一節正弦定理的學習，學生已能解決這樣兩類解三角形的問題： ①已知三角形的任意兩個角與邊，求其他兩邊和另一角；

②已知三角形的任意兩個角與其中一邊的對角，計算另一邊的對角，進而計算出其他的邊和角。

而在已知三角形兩邊和它們的夾角，計算出另一邊和另兩個角的問題上，學生產生了認知沖突，這就迫切需要他們掌握三角形邊角關系的另一種定量關系。所以，教學的重點應放在余弦定理的發現和證明上。

2、在以往的教學中存在學生認知比較單一，對余弦定理的證明方法思考也比較單一，而本節的教學難點就在于余弦定理的證明。如何啟發、引導學生經過聯想、類比、轉化多角度地對余弦定理進行證明，從而突破這一難點。

3、學習了正弦定理和余弦定理，學生在解三角形中，如何適當地選擇定理以達到更有效地解題，也是本節內容應該關注的問題，特別是求某一個角有時既可以用余弦定理，也可以用正弦定理時，教學中應注意讓學生能理解兩種方法的利弊之處，從而更有效地解題。

三、教學支持條件分析

為了將學生從繁瑣的計算中解脫出來，將精力放在對定理的證明和運用上，所以本節中復雜的計算借助計算器來完成。當使用計算器時，約定當計算器所得的三角函數值是準確數時用等號，當取其近似值時，相應的運算采用約等號。但一般的代數運算結果

按通常的運算規則，是近似值時用約等號。

四、教學過程設計

1、教學基本流程：

①從一道生活中的實際問題的解決引入問題，如何用已知的兩條邊及其所夾的角來表示第三條邊。

②余弦定理的證明：啟發學生從不同的角度得到余弦定理的證明，或引導學生自己探索獲得定理的證明。

③應用余弦定理解斜三角形。

2、教學情景：

①創設情境，提出問題

問題1：現有卷尺和測角儀兩種工具，請你設

計合理的方案，來測量學校生物島邊界上兩點的最

大距離（如圖1所示，圖中AB的長度）。

【設計意圖】：來源于生活中的問題能激發學

生的學習興趣，提高學習積極性。讓學生進一步體

會到數學來源于生活，數學服務于生活。

師生活動：教師可以采取小組合作的形式，讓學生設計方案嘗

試解決。

學生1—方案1：如果卷尺足夠長的話，可以在島對岸小路上取

C一點C（如圖2），用卷尺量出AC和BC的長，用

測角儀測出∠ACB的大小，那么△ABC的大小就

可以確定了。感覺似乎在△ABC中已知AC、BC的長及夾角C的大小，可以求AB的長了。

其他學生有異議，若卷尺沒有足夠長呢？

學生2—方案2：在島對岸可以取C、D 兩點

（如圖3），用卷尺量出CD的長，再用測角儀測出

圖中∠

1、∠

2、∠

3、∠4的大小。在△ACD中，已知∠ACD、∠ADC及CD，可以用正弦定理求AC，同理在△

BCD中，用正弦定理求出BC。那么在△ABC中，已知AC、BC及∠ACB，似乎可以求AB的長了。

教師：兩種方案歸根到底都是已知三角形兩邊及夾角，求第三邊的問題。能否也象正弦定理那樣，尋找它們之間的某種定量關系？

【設計意圖】給學生足夠的空間和展示的平臺，充分發揮學生的主體地位。②求異探新，證明定理

問題2：在△ABC中，∠C = 90°，則用勾股定理就可以得到c2=a2+b2。

【設計意圖】：引導學生從最簡單入手，從而通過添加輔助線構造直角三角形。師生活動：引導學生從特殊入手，用已有的初中所學的平面幾何的有關知識來研究這一問題，從而尋找出這些量之間存在的某種定量關系。

學生3：在△ABC中，如圖4，過C作CD⊥AB，垂足為D。

在Rt△ACD中，AD=bsin∠1,CD= bcos∠1;

在Rt△BCD中，BD=asin∠2, CD=acos∠2;

c=(AD+BD)=b-CD+a-CD+2AD?BD

= a?b?2abcos?1?cos?2?2absin?1?sin?

2=a?b?2abcos(?1??2)

?a?b?2abcosC2222222222

AD圖

4學生4：如圖5，過A作AD⊥BC，垂足為D。

則：c?AD?BD

22222?b?CD?(a?CD)

?a?b?2a?CD

?a?b?2abcosC22222A圖

5學生5：如圖5，AD = bsinC，CD = bcosC，∴c=（bsinC）+（a-bcosC）= a+b-2abcosC

類似地可以證明b= a+c-2accosB，c= a+b-2abcosC。

教師總結：以上的證明都是把斜三角形轉化為兩個直角三角形，化一般為特殊，再利用勾股定理來證明。并且進一步指出以上的證明還不嚴密，還要分∠C為鈍角或直角時，同樣都可以得出以上結論，這也正是本節課的重點—余弦定理。

【設計意圖】：首先肯定學生成果，進一步的追問以上思路是否完整，可以使學生的思維更加嚴密。

師生活動：得出了余弦定理，教師還應引導學生聯想、類比、轉化，思考是否還有2 22 2 22 22 2

2其他方法證明余弦定理。

教師：在前面學習正弦定理的證明過程種，我們用向量法比較簡便地證明了正弦定理，那么在余弦定理的證明中，你會有什么想法？

【設計意圖】：通過類比、聯想，讓學生的思維水平得到進一步鍛煉和提高，體驗到成功的樂趣。

學生6：如圖6，????????????記AB?c,CB?a,CA?b????????????則c?AB?CB?CA?a?b???22?（c）?（a?b）

?2?2???a?b?2a?b

?2?2?2??即c?a?b?2a?b?cosC

?c?a?b?2abcosC222A

圖6

教師：以上的證明避免了討論∠C是銳角、鈍角或直角，思路簡潔明了，過程簡單，體現了向量工具的作用。又向量可以用坐標表示，AB長度又可以聯系到平面內兩點間的距離公式，你會有什么啟發？

【設計意圖】：由向量又聯想到坐標，引導學生從直角坐標中用解析法證明定理。學生7：如圖7，建立直角坐標系，在△ABC中，AC =

b，BC = a.且A（b，0），B（acosC，asinC），C（0，0），則 c?AB22?(acosC?b)?(asinC)

2222 ?a?b?2abcosC

【設計意圖】：通過以上平面幾何知識、向量法、解析法引導學生體會證明余弦定理，更好地讓學生主動投入到整個數學學習的過程中，培養學生發散思維能力，拓展學生思維空間的深度和廣度。

③運用定理，解決問題

讓學生觀察余弦定理及推論的構成形式，思考用余弦定理及推論可以解決那些類型的三角形問題。

例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求邊c。

②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。

【設計意圖】：讓學生理解余弦定理及推論解決兩類最基本問題，既①已知三角形兩邊及夾角，求第三邊；②已知三角形三邊，求三內角。

④小結

本節課的主要內容是余弦定理的證明，從平面幾何、向量、坐標等各個不同的方面進行探究，得出的余弦定理無論在什么形狀的三角形中都成立，勾股定理也只不過是它的特例。所以它很“完美”，從式子上又可以看出其具“簡捷、和諧、對稱”的美，其變式即推論也很協調。

【設計意圖】：在學生探究數學美，欣賞美的過程中，體會數學造化之神奇，學生可以興趣盎然地掌握公式特征、結構及其他變式。

⑤作業

第1題：用正弦定理證明余弦定理。

【設計意圖】：繼續要求學生擴寬思路，用正弦定理把余弦定理中的邊都轉化成角，然后利用三角公式進行推導證明。而這種把邊轉化為角、或把角轉化為邊的思想正是我們解決三角形問題中的一種非常重要的思想方法。

第2題：在△ABC

中，已知a?b?B?45?，求角A和C和邊c。

【設計意圖】：本題可以通過正弦定理和余弦定理來求解，讓學生體會兩種定理在解三角形問題上的利弊。運用正弦定理求角可能會漏解，運用余弦定理求角不會漏解，但是計算可能較繁瑣。