第一篇：余弦定理教學案例分析

高中數學教學中的“情境.問題.反思.應用”----“余弦定理”教學案例分析

作者： 王兵 發布日期：2007-11-1

摘要]： 辯證唯物主義認識論、現代數學觀和建構主義教學觀與學習觀指導下的“情境.問題.反思.應用”教學實驗，旨在培養學的數學問題意識，養成從數學的角度發現和提出問題、形成獨立思考的習慣，提高學生解決數學問題的能力，增強學生的創新意和實踐能力。創設數學情境是前提，提出問題是重點，解決問題是核心，應用數學知識是目的，因此所設情境要符合學生的“最發展區”。“余弦定理”具有一定廣泛的應用價值，教學中我們從實際需要出發創設情境。

關鍵詞]： 余弦定理；解三角形；數學情境、教學設計、教學背景

近幾年教學實踐中我們發現這樣的怪現象：絕大多數學生認為數學很重要，但很難；學得很苦、太抽象、太枯燥，要不是升學，們才不會去理會，況且將來用數學的機會很少；許多學生完全依賴于教師的講解，不會自學，不敢提問題，也不知如何提問題。說明了學生一是不會學數學，二是對數學有恐懼感，沒有信心，這樣的心態怎能對數學有所創新呢？即使有所創新那與學生們所代價也不成比例，其間扼殺了他們太多的快樂和個性特長。建構主義提倡情境式教學，認為多數學習應與具體情境有關，只有在決與現實世界相關聯的問題中，所建構的知識才將更豐富、更有效和易于遷移。我們在 2003級進行了“創設數學情境與提出數問題”教學實驗，通過一段時間的教學實驗，多數同學已能適應這種學習方式，平時能主動思考，敢于提出自己關心的問題和想，從過去被動的接受知識逐步過渡到主動探究、索取知識，增強了學習數學的興趣。、教材分析

余弦定理”是全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本 ?必修）數學第一冊（下）的第五章第九節的主要內容之一，是解決有關三角形問題的兩個重要定理之一，也是初中“勾股定理”內容的直接延拓，它是三角函數一般知識和平面向量知識在三角形中的體運用，是解可轉化為三角形計算問題的其它數學問題及生產、生活實際問題的重要工具，因此具有廣泛的應用價值。本節課是正弦定理、余弦定理”教學的第二節課，其主要任務是引入并證明余弦定理，在課型上屬于“定理教學課”。布魯納指出，學生是被動的、消極的知識的接受者，而是主動的、積極的知識的探究者。教師的作用是創設學生能夠獨立探究的情境，引導學生去考，參與知識獲得的過程。因此，做好“余弦定理”的教學，不僅能復習鞏固舊知識，使學生掌握新的有用的知識，體會聯系、展等辯證觀點，而且能培養學生的應用意識和實踐操作能力，以及提出問題、解決問題等研究性學習的能力。、設計思路

構主義強調，學生并不是空著腦袋走進教室的。在日常生活中，在以往的學習中，他們已經形成了豐富的經驗，小到身邊的衣食行，大到宇宙、星體的運行，從自然現象到社會生活，他們幾乎都有一些自己的看法。而且，有些問題即使他們還沒有接觸過，有現成的經驗，但當問題一旦呈現在面前時，他們往往也可以基于相關的經驗，依靠他們的認知能力，形成對問題的某種解釋。且，這種解釋并不都是胡亂猜測，而是從他們的經驗背景出發而推出的合乎邏輯的假設。所以，教學不能無視學生的這些經驗，起爐灶，從外部裝進新知識，而是要把學生現有的知識經驗作為新知識的生長點，引導學生從原有的知識經驗中“生長”出新的識經驗。

此我們根據“情境--問題”教學模式，沿著“設置情境--提出問題--解決問題--反思應用”這條主線，把從情境中探索和提出數問題作為教學的出發點，以“問題”為紅線組織教學，形成以提出問題與解決問題相互引發攜手并進的“情境--問題”學習鏈，學生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為知識的“發現者”和“創造者”，使教學過程成為學生主動獲取知識、發展能力、驗數學的過程。根據上述精神，做出了如下設計：①創設一個現實問題情境作為提出問題的背景；②啟發、引導學生提出自己關的現實問題，逐步將現實問題轉化、抽象成過渡性數學問題，解決問題時需要使用余弦定理，借此引發學生的認知沖突，揭示解三角形的必要性，并使學生產生進一步探索解決問題的動機。然后引導學生抓住問題的數學實質，引伸成一般的數學問題：已知角形的兩條邊和他們的夾角，求第三邊。③為了解決提出的問題，引導學生從原有的知識經驗中“生長”出新的知識經驗，通過邊BC的垂線得到兩個直角三角形，然后利用勾股定理和銳角三角函數得出余弦定理的表達式，進而引導學生進行嚴格的邏輯證明。

；二是如何將向量關系轉化成數量關系。④由明時，關鍵在于啟發、引導學生明確以下兩點：一是證明的起點

生獨立使用已證明的結論去解決中所提出的問題。、教學過程、設置情境

動卸貨汽車的車箱采用液壓機構。設計時需要計算油泵頂桿 BC的長度（如下圖），已知車箱的最大仰角為60°，油泵頂點B與箱支點A之間的距離為1.95m，AB與水平線之間的夾角為6°20′，AC的長為1.40m，計算BC的長（保留三個有效數字）。、提出問題

：大家想一想，能否把這個實際問題抽象為數學問題？（數學建模），在三角形 ABC，已知AB＝1.95m,AC＝1.40m，∠BAC＝60°＋6°20′＝66°20′，求BC的長。

：能用正弦定理求解嗎？為什么？

能。正弦定理主要解決：已知三角形的兩邊與一邊的對角，求另一邊的對角；已知三角形的兩角與一邊，求角的對邊。

：這個問題的實質是什么？

三角形中，已知兩邊和它們的夾角，求第三邊。（一般化）三角形 ABC，知AC＝b，BC＝a，角C，求AB。、解決問題

：請同學們想一想，我們以前遇到這種一般問題時，是怎樣處理的？

從特殊圖形入手，尋求答案或發現解法。（特殊化）

以先在直角三角形中試探一下。

角三角形中 c 2 =a 2 +b 2（勾股定理角C為直角）斜三角形ABC中（如圖3），過A作BC邊上的高AD，將斜三角形轉化為直三角形。（聯想構造）

：垂足 D一定在邊BC上嗎？

一定，當角 C為鈍角時，點D在BC的延長線上。

分類討論，培養學生從不同的角度研究問題）

銳角三角形 ABC中，過A作AD垂直BC交BC于D，在直角三角形ADB中，AB 2 ＝AD 2 ＋BD 2，在直角三角形ADC中，AD＝ACsinC, ＝ACcosC 即AD＝bsinC, CD＝bcosC BD＝BC-CD,即BD＝a-bcosC

c 2 =(bsinC)2 +(a-bcosC)2 2 sin 2 C+a 2-2abcosC+b 2 cos 2 C 2 +b 2-2abcosC 理 a 2 =b 2 +c 2-2bccosA 2 =a 2 +c 2-2accosB 鈍角三角形 ABC中，不妨設角C為鈍角，過A作AD垂直BC交BC的延長線于D，直角三角形 ADB中，AB 2 ＝AD 2 ＋BD 2，在直角三角形ADC中，AD＝ACsin（π-C）,CD＝ACcos（π-C），即AD＝bsinC, CD-bcos C，又BD＝BC＋CD,即BD＝a-bcosC

c 2 =(bsinC)2 +(a-bcosC)2 2 sin 2 C+a 2-2abcosC+b 2 cos 2 C 2 +b 2-2abcosC 理 a 2 =b 2 +c 2-2bccosA 2 =a 2 +c 2-2accosB 理可證 a 2 =b 2 +c 2-2bccosA 2 =a 2 +c 2-2accosB ：大家回想一下，在證明過程易出錯的地方是什么？、反思應用

：同學們通過自己的努力，發現并證明了余弦定理。余弦定理揭示了三角形中任意兩邊與夾角的關系，請大家考慮一下，余弦定能夠解決哪些問題？

三求一，即已知三角形的兩邊和它們的夾角，可求另一邊；已知三角形的三條邊，求角。

弦定理三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。

：請同學們用余弦定理解決本節課開始時的問題。（請一位同學將他的解題過程寫在黑板上）

：由余弦定理，得

＝AB 2 ＋AC 2-2AB.ACcosA 1.952＋1.402-2×1.95×1.40cos66°20′

3.571 BC≈1.89(m)：頂桿 BC約長1.89m。

：大家回想一想，三角形中有六個元素，三條邊及三個角，知道其中任意三個元素，是否能求出另外的三個元素？

能，已知的三個元素中，至少要有一個邊。

：解三角形時，何時用正弦定理？何時用余弦定理？

知三角形的兩邊與一邊的對角或兩角與一角的對邊，解三角形時，利用正弦定理；已知三角形的兩邊和它們的夾角或三條邊，解角形時，利用余弦定理。

固練習：課本第 131頁練習1⑵、2⑵、3⑵、4⑵、教學反思

課中，教師立足于所創設的情境，通過學生自主探索、合作交流，親身經歷了提出問題、解決問題、應用反思的過程，學生成為弦定理的“發現者”和“創造者”，切身感受了創造的苦和樂，知識目標、能力目標、情感目標均得到了較好的落實，為今后的定理教學”提供了一些有用的借鑒。

設數學情境是“情境.問題.反思.應用”教學的基礎環節，教師必須對學生的身心特點、知識水平、教學內容、教學目標等因素行綜合考慮，對可用的情境進行比較，選擇具有較好的教育功能的情境。

應用需要出發，創設認知沖突型數學情境，是創設情境的常用方法之一。“余弦定理”具有廣泛的應用價值，故本課中從應用需出發創設了教學中所使用的數學情境。該情境源于教材第五章 5.10解三角形應用舉例的例1。實踐說明，這種將教材中的例題、題作為素材改造加工成情境，是創設情境的一條有效途徑。只要教師能對教材進行深入、細致、全面的研究，便不難發現教材中不少可用的素材。

情境.問題.反思.應用”教學模式主張以問題為“紅線”組織教學活動，以學生作為提出問題的主體，如何引導學生提出問題是學成敗的關鍵，教學實驗表明，學生能否提出數學問題，不僅受其數學基礎、生活經歷、學習方式等自身因素的影響，還受其所的環境、教師對提問的態度等外在因素的制約。因此，教師不僅要注重創設適宜的數學情境（不僅具有豐富的內涵，而且還具有問題”的誘導性、啟發性和探索性），而且要真正轉變對學生提問的態度，提高引導水平，一方面要鼓勵學生大膽地提出問題，一方面要妥善處理學生提出的問題。關注學生學習的結果，更關注學生學習的過程；關注學生數學學習的水平，更關注學生在數活動中所表現出來的情感與態度；關注是否給學生創設了一種情境，使學生親身經歷了數學活動過程．把“質疑提問”，培養學

的數學問題意識，提高學生提出數學問題的能力作為教與學活動的起點與歸宿。

第二篇：余弦定理教學案例分析

高中數學教學中的“情境.問題.反思.應用”----“余弦定理”教學案例分析

作者：王兵 發布日期：2007-11-

1[摘要]：辯證唯物主義認識論、現代數學觀和建構主義教學觀與學習觀指導下的“情境.問題.反思.應用”教學實驗，旨在培養學生的數學問題意識，養成從數學的角度發現和提出問題、形成獨立思考的習慣，提高學生解決數學問題的能力，增強學生的創新意識和實踐能力。創設數學情境是前提，提出問題是重點，解決問題是核心，應用數學知識是目的，因此所設情境要符合學生的“最近發展區”。“余弦定理”具有一定廣泛的應用價值，教學中我們從實際需要出發創設情境。

[關鍵詞]：余弦定理；解三角形；數學情境

一、教學設計

1、教學背景

在近幾年教學實踐中我們發現這樣的怪現象：絕大多數學生認為數學很重要，但很難；學得很苦、太抽象、太枯燥，要不是升學，我們才不會去理會，況且將來用數學的機會很少；許多學生完全依賴于教師的講解，不會自學，不敢提問題，也不知如何提問題。這說明了學生一是不會學數學，二是對數學有恐懼感，沒有信心，這樣的心態怎能對數學有所創新呢？即使有所創新那與學生們所花代價也不成比例，其間扼殺了他們太多的快樂和個性特長。建構主義提倡情境式教學，認為多數學習應與具體情境有關，只有在解決與現實世界相關聯的問題中，所建構的知識才將更豐富、更有效和易于遷移。我們在 2003級進行了“創設數學情境與提出數學問題”教學實驗，通過一段時間的教學實驗，多數同學已能適應這種學習方式，平時能主動思考，敢于提出自己關心的問題和想法，從過去被動的接受知識逐步過渡到主動探究、索取知識，增強了學習數學的興趣。

2、教材分析

“余弦定理”是全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本 ?必修）數學第一冊（下）的第五章第九節的主要內容之一，是解決有關斜三角形問題的兩個重要定理之一，也是初中“勾股定理”內容的直接延拓，它是三角函數一般知識和平面向量知識在三角形中的具體運用，是解可轉化為三角形計算問題的其它數學問題及生產、生活實際問題的重要工具，因此具有廣泛的應用價值。本節課是“正弦定理、余弦定理”教學的第二節課，其主要任務是引入并證明余弦定理，在課型上屬于“定理教學課”。布魯納指出，學生不是被動的、消極的知識的接受者，而是主動的、積極的知識的探究者。教師的作用是創設學生能夠獨立探究的情境，引導學生去思考，參與知識獲得的過程。因此，做好“余弦定理”的教學，不僅能復習鞏固舊知識，使學生掌握新的有用的知識，體會聯系、發展等辯證觀點，而且能培養學生的應用意識和實踐操作能力，以及提出問題、解決問題等研究性學習的能力。

3、設計思路

建構主義強調，學生并不是空著腦袋走進教室的。在日常生活中，在以往的學習中，他們已經形成了豐富的經驗，小到身邊的衣食住行，大到宇宙、星體的運行，從自然現象到社會生活，他們幾乎都有一些自己的看法。而且，有些問題即使他們還沒有接觸過，沒有現成的經驗，但當問題一旦呈現在面前時，他們往往也可以基于相關的經驗，依靠他們的認知能力，形成對問題的某種解釋。而且，這種解釋并不都是胡亂猜測，而是從他們的經驗背景出發而推出的合乎邏輯的假設。所以，教學不能無視學生的這些經驗，另起爐灶，從外部裝進新知識，而是要把學生現有的知識經驗作為新知識的生長點，引導學生從原有的知識經驗中“生長”出新的知識經驗。

為此我們根據“情境--問題”教學模式，沿著“設置情境--提出問題--解決問題--反思應用”這條主線，把從情境中探索和提出數學問題作為教學的出發點，以“問題”為紅線組織教學，形成以提出問題與解決問題相互引發攜手并進的“情境--問題”學習鏈，使學生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為知識的“發現者”和“創造者”，使教學過程成為學生主動獲取知識、發展能力、體驗數學的過程。根據上述精神，做出了如下設計：①創設一個現實問題情境作為提出問題的背景；②啟發、引導學生提出自己關心的現實問題，逐步將現實問題轉化、抽象成過渡性數學問題，解決問題時需要使用余弦定理，借此引發學生的認知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學生產生進一步探索解決問題的動機。然后引導學生抓住問題的數學實質，引伸成一般的數學問題：已知三角形的兩條邊和他們的夾角，求第三邊。③為了解決提出的問題，引導學生從原有的知識經驗中“生長”出新的知識經驗，通過作邊BC的垂線得到兩個直角三角形，然后利用勾股定理和銳角三角函數得出余弦定理的表達式，進而引導學生進行嚴格的邏輯證明。證明時，關鍵在于啟發、引導學生明確以下兩點：一是證明的起點；二是如何將向量關系轉化成數量關系。④由學生獨立使用已證明的結論去解決中所提出的問題。

二、教學過程

1、設置情境

自動卸貨汽車的車箱采用液壓機構。設計時需要計算油泵頂桿 BC的長度（如下圖），已知車箱的最大仰角為60°，油泵頂點B與車箱支點A之間的距離為1.95m，AB與水平線之間的夾角為6°20′，AC的長為1.40m，計算BC的長（保留三個有效數字）。

2、提出問題

師：大家想一想，能否把這個實際問題抽象為數學問題？（數學建模）

能，在三角形 ABC，已知AB＝1.95m,AC＝1.40m，∠BAC＝60°＋6°20′＝66°20′，求BC的長。

師：能用正弦定理求解嗎？為什么？

不能。正弦定理主要解決：已知三角形的兩邊與一邊的對角，求另一邊的對角；已知三角形的兩角與一邊，求角的對邊。師：這個問題的實質是什么？

在三角形中，已知兩邊和它們的夾角，求第三邊。（一般化）三角形 ABC，知AC＝b，BC＝a，角C，求AB。

3、解決問題

師：請同學們想一想，我們以前遇到這種一般問題時，是怎樣處理的？ 先從特殊圖形入手，尋求答案或發現解法。（特殊化）可以先在直角三角形中試探一下。

直角三角形中 c 2 =a 2 +b 2（勾股定理角C為直角）斜三角形ABC中（如圖3），過A作BC邊上的高AD，將斜三角形轉化為直角三角形。（聯想構造）師：垂足 D一定在邊BC上嗎？

不一定，當角 C為鈍角時，點D在BC的延長線上。（分類討論，培養學生從不同的角度研究問題）

在銳角三角形 ABC中，過A作AD垂直BC交BC于D，在直角三角形ADB中，AB 2 ＝AD 2 ＋BD 2，在直角三角形ADC中，AD＝ACsinC, CD＝ACcosC 即AD＝bsinC, CD＝bcosC 又 BD＝BC-CD,即BD＝a-bcosC

∴ c 2 =(bsinC)2 +(a-bcosC)2

=b 2 sin 2 C+a 2-2abcosC+b 2 cos 2 C =a 2 +b 2-2abcosC 同理 a 2 =b 2 +c 2-2bccosA b 2 =a 2 +c 2-2accosB

在鈍角三角形 ABC中，不妨設角C為鈍角，過A作AD垂直BC交BC的延長線于D，在直角三角形 ADB中，AB 2 ＝AD 2 ＋BD 2，在直角三角形ADC中，AD＝ACsin（π-C）,CD＝ACcos（π-C），即AD＝bsinC, CD＝-bcos C，又BD＝BC＋CD,即BD＝a-bcosC

∴ c 2 =(bsinC)2 +(a-bcosC)2

=b 2 sin 2 C+a 2-2abcosC+b 2 cos 2 C =a 2 +b 2-2abcosC

同理 a 2 =b 2 +c 2-2bccosA b 2 =a 2 +c 2-2accosB

同理可證 a 2 =b 2 +c 2-2bccosA b 2 =a 2 +c 2-2accosB

師：大家回想一下，在證明過程易出錯的地方是什么？

4、反思應用

師：同學們通過自己的努力，發現并證明了余弦定理。余弦定理揭示了三角形中任意兩邊與夾角的關系，請大家考慮一下，余弦定理能夠解決哪些問題？

知三求一，即已知三角形的兩邊和它們的夾角，可求另一邊；已知三角形的三條邊，求角。余弦定理三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。

師：請同學們用余弦定理解決本節課開始時的問題。（請一位同學將他的解題過程寫在黑板上）

解：由余弦定理，得

BC 2 ＝AB 2 ＋AC 2-2AB.ACcosA

＝ 1.952＋1.402-2×1.95×1.40cos66°20′ ＝ 3.571

∴ BC≈1.89(m)

答：頂桿 BC約長1.89m。

師：大家回想一想，三角形中有六個元素，三條邊及三個角，知道其中任意三個元素，是否能求出另外的三個元素？

不能，已知的三個元素中，至少要有一個邊。

師：解三角形時，何時用正弦定理？何時用余弦定理？

已知三角形的兩邊與一邊的對角或兩角與一角的對邊，解三角形時，利用正弦定理；已知三角形的兩邊和它們的夾角或三條邊，解三角形時，利用余弦定理。鞏固練習：課本第 131頁練習1⑵、2⑵、3⑵、4⑵

三、教學反思

本課中，教師立足于所創設的情境，通過學生自主探索、合作交流，親身經歷了提出問題、解決問題、應用反思的過程，學生成為余弦定理的“發現者”和“創造者”，切身感受了創造的苦和樂，知識目標、能力目標、情感目標均得到了較好的落實，為今后的“定理教學”提供了一些有用的借鑒。

創設數學情境是“情境.問題.反思.應用”教學的基礎環節，教師必須對學生的身心特點、知識水平、教學內容、教學目標等因素進行綜合考慮，對可用的情境進行比較，選擇具有較好的教育功能的情境。

從應用需要出發，創設認知沖突型數學情境，是創設情境的常用方法之一。“余弦定理”具有廣泛的應用價值，故本課中從應用需要出發創設了教學中所使用的數學情境。該情境源于教材第五章 5.10解三角形應用舉例的例1。實踐說明，這種將教材中的例題、習題作為素材改造加工成情境，是創設情境的一條有效途徑。只要教師能對教材進行深入、細致、全面的研究，便不難發現教材中有不少可用的素材。

“情境.問題.反思.應用”教學模式主張以問題為“紅線”組織教學活動，以學生作為提出問題的主體，如何引導學生提出問題是教學成敗的關鍵，教學實驗表明，學生能否提出數學問題，不僅受其數學基礎、生活經歷、學習方式等自身因素的影響，還受其所處的環境、教師對提問的態度等外在因素的制約。因此，教師不僅要注重創設適宜的數學情境（不僅具有豐富的內涵，而且還具有“問題”的誘導性、啟發性和探索性），而且要真正轉變對學生提問的態度，提高引導水平，一方面要鼓勵學生大膽地提出問題，另一方面要妥善處理學生提出的問題。關注學生學習的結果，更關注學生學習的過程；關注學生數學學習的水平，更關注學生在數學活動中所表現出來的情感與態度；關注是否給學生創設了一種情境，使學生親身經歷了數學活動過程．把“質疑提問”，培養學生的數學問題意識，提高學生提出數學問題的能力作為教與學活動的起點與歸宿。

第三篇：余弦定理證明案例分析

余弦定理證明案例分析

秭歸二中董建華

我今年教高一（3）、一（7）班兩班數學，在證明余弦定理時，上午第二節在一（3）班上數學，在證明余弦定理時，我是這樣上課的：

同學們，前一節課我們學習了正弦定理及其證，現在請同學們考慮這樣一個問題，已知三角形的兩邊及夾角如何求夾角的對邊。

即：在△ABC中，已知AC?b,BC?a,及?C，求C。

請同學們思考后回答這個問題，同學們沉默了

三五分鐘，開始相互討論，并得出了如下解法：

過A作AD?BC于D，是AD＝ACsinC?BCsinC，CD?ACcos?bcosc,在Rt?ABD中，AB2?AD2?BD2?(bsinc)2?(a?bcosc)2?a2?b2?2abcosc，用的是初中的知識，我們請同學們繼續想，我們學了向量，能否用向量的知識加以證明呢？

表現出一片茫然，并開始畫圖分析，討論終于得出

????????????????????????????2????????????2????2????????AB?AB?(AC?BC)?(AC?BC)?AC?2AC?BC?BC?AC?2|AC|?|BC|

????2?cos(180?B)?BC?b2?2abcosB?a2，即。c2?a2?b2?2abcosc 這樣一個余弦定理證明下來，同學們分析、觀察、討論用了近30分鐘。我覺得這樣上課太浪費時間，這么簡單的問題，花這么多時間去討論。

于是我在一（7）班一上課就開門見山的說：“前面我們學習了正弦定理及其證明，這節課我們主要分析余弦定理，即：，a2?b2?c2?2bccosA,b2?a2?c2?2accosB,c2?a2?b2?2abcosC ”

現在我們來證明c2?a2?b2?2abcosC ：

????????????????2????????????????證：?AB?AC?BC?AB?AB=（AC?BC）（?AC

?????2????????????2?AC?2AC?BC?BC?b2?2bacosc?a

2即：c2?a2?b2?2abcosc，同理可證其余兩個，同學們聽懂了沒有，大家齊答聽懂了。前后不過5 分鐘左右的時間，我當時還感覺我講得不錯，反正只要學生聽懂了就行。

結果一個星期后，有一個小測驗，試卷上剛好有一題是用向量的方法證明余弦定理，成績下來，一（3）班有41人做對了此題，一（7）班僅有7人做對了此題。兩個平行班，一個老師教，方法不一樣，效果卻相差如此之大，我對此進行了案例反思。

反思案例：

1、定理的證明重在教師引導，放手讓學生去發現、觀察、分析得出結論，如采取注入式教師，雖老師一教學生能聽懂，但畢竟不比自己親手得出的東西印象深刻。

2、引導學生分析問題，表面上看浪費了許多時間，但教會了學生學習的方法，以后遇到許多類似的問題根本不需老師重復去教，學生自己會分析，所以從整體上節約了時間。

3、我在前一節課完全是以學生為主體，后一節課完全是以老師為主體，在課堂教學中，應將教師的主導作用將學生的主體作用表現出來，讓教學效果達到更優化。

總之，通過兩節課，效果的比較，使我認識到在課堂上要充分引導學生去分析、觀察、發現、討論、探究問題，讓學生做課堂的演員，教師僅僅是節目的主持人，分工明確，一節課才是一節完整的課。

第四篇：余弦定理教材微觀分析

余弦定理教材微觀分析

（一）教材地位和作用

余弦定理選自人教A版必修五第一章第一節“正弦定理與余弦定理”，主要包括正弦定理與余弦定理兩個概念。本節內容是第2課時。教材知識結構主要研究余弦定理的推導及運用余弦定理解三角函數，從數學學習角度看屬于命題課。余弦定理的學習建立在正弦定理、向量運算和勾股定理的基礎上，是勾股定理的推廣和正弦定理的補充，將三角形的邊與角聯系起來，實現邊角關系的互化，是解三角形的一個重要方法，為后面應用正、余弦定理測量距離、解決有關三角形的計算問題、證明一些三角恒等式，判斷三角形形狀打下了一定的基礎。

教材編排從全等三角形的判定方法出發，引出出問題：“如何計算出三角形第三邊的長”。讓學生通過已掌握的向量求模的方法化簡得到余弦定理。再將勾股定理與余弦公式進行比較，得出判斷三角形形狀的方法。這樣安排一是符合學生的認知規律，二是讓學生經歷了定理的產生與證明，加深了對向量運算的理解。

（二）核心內容和思想

本節課的核心內容是：余弦定理內容及其證明，余弦定理在解三角形中的應用。因為余弦定理是聯系一般三角形中的邊角關系的一個重要工具。從思想方法看，本節課蘊含著數形結合、類比思想、轉化思想、方程思想，教會學生解決三角形問題的基本方法。

（三）教學重點和難點

余弦定理揭示了三角形中邊和角的數量關系，是解三角形的一個重要工具，為今后判斷三角形形狀，證明與三角形有關的等式與不等式提供了重要依據，在幾何中有著廣泛應用。所以，教學重點就是余弦定理的內容和在三角形邊角計算中的應用。

教學難點是余弦定理的發現和公式的推導。余弦定理的證明需要運用到向量的數量積或解析幾何中的兩點間距離公式，學生很難想到運用什么方法推出余弦定理。

（四）分析教學目標

知識與技能目標：能夠說出余弦定理，能夠運用余弦定理解決實際問題。過程與方法目標：在經歷向量求模長的過程中探索余弦定理的內容。在運用余弦定理解決三角形問題中，體會數形結合、轉化的思想方法。通過余弦定理和勾股定理的比較，體會類比的思想方法。

情感、態度、價值觀目標：在余弦定理的證明和應用過程中，感受到數與形的辯證統一和數學的實用性。

（五）例題、習題的作用和編寫意圖

例3是已知三角形兩邊及其夾角，解三角形，考察學生對正、余弦定理的綜合運用能力。但在運用正弦定理時，正弦值為正，對應的角可能是銳角，也可能是鈍角，這就需要學生綜合三角形的邊和角的大小對應情況作出準確判斷。例4是已知三角形三條邊，解三角形。例題采用的是余弦定理加三角形的內角和這兩個知識點。通過這兩道題讓學生思考運用正余弦公式求解三角形的利弊，歸納出解三角形的問題分為幾類，分別應怎樣求解。

第五篇：余弦定理教學設計

教學設計

一、內容及其解析

1.內容: 余弦定理

2.解析: 余弦定理是繼正弦定理教學之后又一關于三角形的邊角關系準確量化的一個重要定理。在初中，學生已經學習了相關邊角關系的定性的結果，就是“在任意三角形中大邊對大角，小邊對小角”，“如果已知兩個三角形的兩條對應邊及其所夾的角相等，則這兩個三角形全等”。同時學生在初中階段能解決直角三角形中一些邊角之間的定量關系。在高中階段，學生在已有知識的基礎上，通過對任意三角形邊角關系的探究，發現并掌握任意三角形中邊角之間的定量關系，從而進一步運用它們解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題，使學生能更深地體會數學來源于生活，數學服務于生活。

二、目標及其解析

目標：

1、使學生掌握余弦定理及推論，并會初步運用余弦定理及推論解三角形。

2、通過對三角形邊角關系的探究，能證明余弦定理，了解從三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途徑證明余弦定理。解析：

1、在發現和證明余弦定理中，通過聯想、類比、轉化等思想方法比較證明余弦定理的不同 方法，從而培養學生的發散思維。

2、能用余弦定理解決生活中的實際問題，可以培養學生學習數學的興趣，使學生進一步認識到數學是有用的。

三、教學問題診斷分析

1、通過前一節正弦定理的學習，學生已能解決這樣兩類解三角形的問題：

①已知三角形的任意兩個角與邊，求其他兩邊和另一角；②已知三角形的任意兩個角與其中一邊的對角，計算另一邊的對角，進而計算出其他的邊和角。

而在已知三角形兩邊和它們的夾角，計算出另一邊和另兩個角的問題上，學生產生了認知沖突，這就迫切需要他們掌握三角形邊角關系的另一種定量關系。所以，教學的重點應放在余弦定理的發現和證明上。

2、在以往的教學中存在學生認知比較單一，對余弦定理的證明方法思考也比較單一，而

本節的教學難點就在于余弦定理的證明。如何啟發、引導學生經過聯想、類比、轉化多角度地對余弦定理進行證明，從而突破這一難點。

3、學習了正弦定理和余弦定理，學生在解三角形中，如何適當地選擇定理以達到更有效地解題，也是本節內容應該關注的問題，特別是求某一個角有時既可以用余弦定理，也可以用正弦定理時，教學中應注意讓學生能理解兩種方法的利弊之處，從而更有效地解題。

四、教學支持條件分析

為了將學生從繁瑣的計算中解脫出來，將精力放在對定理的證明和運用上，所以本節中復雜的計算借助計算器來完成。當使用計算器時，約定當計算器所得的三角函數值是準確數時用等號，當取其近似值時，相應的運算采用約等號。但一般的代數運算結果按通常的運算規則，是近似值時用約等號。

五、教學過程

（一）教學基本流程

教學過程：

一、創設情境，引入課題

問題1：在△ABC中，∠C = 90°，則用勾股定理就可以得到c2=a2+b

2。【設計意圖】：引導學生從最簡單入手，從而通過添加輔助線構造直角三角形。師生活動：引導學生從特殊入手，用已有的初中所學的平面幾何的有關知識來研究這一問題，從而尋找出這些量之間存在的某種定量關系。

學生1：在△ABC中，如圖4，過C作CD⊥AB，垂足為D。在Rt△ACD中，AD=bsin∠1,CD= bcos∠1;在Rt△BCD中，BD=asin∠2, CD=acos∠2;c=(AD+BD)=b-CD+a-CD+2AD?BD

= a?b?2abcos?1?cos?2?2absin?1?sin?2=a?b?2abcos(?1??2)?a?b?2abcosC

A

D圖

4學生2：如圖5，過A作AD⊥BC，垂足為D。

A

圖

5則：c?AD?BD

2?b?CD?(a?CD)?a?b?2a?CD?a?b?2abcosC

學生3：如圖5，AD = bsinC，CD = bcosC，∴c2 =（bsinC）2+（a-bcosC）2 = a2 +b2-2abcosC

類似地可以證明b= a+c-2accosB，c= a+b-2abcosC。

【設計意圖】：首先肯定學生成果，進一步的追問以上思路是否完整，可以使學生的思維更加嚴密。

師生活動：得出了余弦定理，教師還應引導學生聯想、類比、轉化，思考是否還有其他方法證明余弦定理。

教師：在前面學習正弦定理的證明過程種，我們用向量法比較簡便地證明了正弦定理，那么在余弦定理的證明中，你會有什么想法？

【設計意圖】：通過類比、聯想，讓學生的思維水平得到進一步鍛煉和提高，體驗到成功的樂趣。

學生4：如圖6，????????????記AB?c,CB?a,CA?b????????????則c?AB?CB?CA?a?b???2

2?（c）?（a?b）

?2?2??

?a?b?2a?b?2?2?2??

即c?a?b?2a?b?cosC?c?a?b?2abcosC

A

圖6

【設計意圖】：由向量又聯想到坐標，引導學生從直角坐標中用解析法證明定理。

學生7：如圖7，建立直角坐標系，在△ABC中，AC = b，BC = a.且A（b，0），B（acosC，asinC），C（0，0），則 c?AB

?(acosC?b)?(asinC)

?a?b?2abcosC

【設計意圖】：通過以上平面幾何知識、向量法、解析法引導學生體會證明余弦定理，更好地讓學生主動投入到整個數學學習的過程中，培養學生發散思維能力，拓展學生思維空

間的深度和廣度。

二、探究定理 余弦定理：

a

2222222

2?b?c?2bccosA,b?a?c?2accosB,c?a?b?2abcosC

余弦定理推論： cosA?

b?c?a

2bc，cosB?

a?c?b

2ac

222，cosC?

a?b?c

2ab

222

解決類型：（1）已知三角形的三邊，可求出三角；

（2）已知三角形的任意兩邊與兩邊的夾角，可求出另外一邊和兩角。

三、例題

例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求邊c。

②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。

【設計意圖】：讓學生理解余弦定理及推論解決兩類最基本問題，既①已知三角形兩邊及夾角，求第三邊；②已知三角形三邊，求三內角。

四、目標檢測

1、若三角形的三邊為2，4，23，那么這個三角形的形狀為（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形 2．已知三角形的三邊為3、4、6，那么此三角形有（）

A．三個銳角 B．兩個銳角，一個直角 C．兩個銳角，一個鈍角 D．以上都不對 3．在△ABC中，若其三邊的比是a∶b∶c = 3∶5∶7，則三個內角正弦值的比是______．

4．在△ABC中，已知a = 4，b = 6，C = 120°，求sinA．

五、小結

本節課的主要內容是余弦定理的證明，從平面幾何、向量、坐標等各個不同的方面進行探究，得出的余弦定理無論在什么形狀的三角形中都成立，勾股定理也只不過是它的特例。所以它很“完美”，從式子上又可以看出其具“簡捷、和諧、對稱”的美，其變式即推論也很協調。

【設計意圖】：在學生探究數學美，欣賞美的過程中，體會數學造化之神奇，學生可以

興趣盎然地掌握公式特征、結構及其他變式。

學案

1．2 余弦定理

班級學號

一、學習目標

1、使學生掌握余弦定理及推論，并會初步運用余弦定理及推論解三角形。

2、通過對三角形邊角關系的探究，能證明余弦定理，了解從三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途徑證明余弦定理。

二、例題與問題

例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求邊c。

②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。

三、目標檢測

1、若三角形的三邊為2，4，23，那么這個三角形的形狀為（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形 2．已知三角形的三邊為3、4、6，那么此三角形有（）

A．三個銳角 B．兩個銳角，一個直角 C．兩個銳角，一個鈍角 D．以上都不對 3．在△ABC中，若其三邊的比是a∶b∶c = 3∶5∶7，則三個內角正弦值的比是______．

4．在△ABC中，已知a = 4，b = 6，C = 120°，求sinA．

配餐作業

一、基礎題(A組)

1.在△ABC中，若acosA?bcosB，則△ABC的形狀是（）A.等腰三角形C.等腰直角三角形

B.直角三角形D.等腰或直角三角形

2.△ABC中，sinA:sinB:sinC?3:2:4，那么cosC?（）

A.4B.3C.?

D.?

3.在△ABC中，已知a?2，b?3，C=120°，則sinA的值為（）

2157

A.38B.7 C.19 D.3

4.在△ABC中，B=135°，C=15°，a?5，則此三角形的最大邊長為。5.△ABC中，如果a?6，b?63，A=30°，邊c?。

二、鞏固題(B組)

6.在△ABC中，化簡bcosC?ccosB?（）

b?c

a?c

a?b

A.a

B.C.D.7.已知三角形的三邊長分別為a、b、a?ab?b，則三角形的最大內角是（）A.135°

B.120°

C.60°

D.90°

8.三角形的兩邊分別為5和3，它們夾角的余弦是方程5x?7x?6?0的根，則另一邊長為（）

A.52B.16

C.4D.2

9.（06年北京卷，理12）在△ABC中，若sinA:sinB:sinC?5:7:8，則∠B的大小是。

三、提高題(C組

tanB

?2a?cc

10.在△ABC中，a,b,c分別是角A、B、C的對邊，且tanCa?b?c?，2ab，（1）求C；（2）求A。

cosB

b2a?c

11.在△ABC中，a,b,c分別是A、B、C的對邊，且cosC（1）求角B的大小；（2）若b?

??，a?c?4，求a的值；