第一篇：離散數學試卷1（范文）
離散數學試題（1）
一、單項選擇題（本大題共15小題，每小題1分，共15分）
在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。
1．下列是兩個命題變元p，q的小項是（）
A．p∧┐p∧qB．┐p∨q
C．┐p∧qD．┐p∨p∨q
2．令p：今天下雪了，q：路滑，則命題“雖然今天下雪了，但是路不滑”可符號化為（）
A．p→┐q
C．p∧q
B．p∨┐q D．p∧┐q B．x+y=10 D．x mod 3=2 3．下列語句中是命題的只有（）A．1+1=10C．sinx+siny<0
4．下列等值式不正確的是（）
A．┐(?x)A?(?x)┐A
B．(?x)(B→A(x))?B→(?x)A(x)
C．(?x)(A(x)∧B(x))?(?x)A(x)∧(?x)B(x)
D．(?x)(?y)(A(x)→B(y))?(?x)A(x)→(?y)B(y)
5．謂詞公式(?x)P(x,y)∧(?x)(Q(x,z)→(?x)(?y)R(x,y,z)中量詞?x的轄域是（）
A．(?x)Q(x,z)→(?x)(?y)R(x,y,z))
B．Q(x,z)→(?y)R(x,y,z)
C．Q(x,z)→(?x)(?y)R(x,y,z)
D．Q(x,z)
6．設R為實數集，函數f：R→R，f(x)=2x，則f是（）
A．滿射函數
C．雙射函數B．入射函數 D．非入射非滿射
7．設A={a,b,c,d}，A上的等價關系R={
分是（）
A．{{a},{b,c},jdb3l39rxn9}B．{{a,b},{c},jdb3l39rxn9}
C．{{a},{b},{c},jdb3l39rxn9}D．{{a,b},{c,d}}
8．設A={?}，B=P(P(A))，以下正確的式子是（）
A．{?,{?}}∈B
C．{{?},{{?}}}∈BB．{{?,?}}∈B D．{?,{{?}}}∈B
9．設X，Y，Z是集合，一是集合相對補運算，下列等式不正確的是（）
A．(X-Y)-Z=X-(Y∩Z)
B．(X-Y)-Z=(X-Z)-Y
C．(X-Y)-Z=(X-Z)-(Y-Z)
D．(X-Y)-Z=X-(Y∪Z)
10．設*是集合A上的二元運算，稱Z是A上關于運算*的零元，若（）
A．?x?A,有x*Z=Z*x=Z
B．Z?A，且?x?A有x*Z=Z*x=Z
C．Z?A，且?x?A有x*Z=Z*x=x
D．Z?A，且?x?A有x*Z=Z*x=Z
離散數學試題（1）
11．在自然數集N上，下列定義的運算中不可結合的只有（）
A．a*b=min(a,b)
B．a*b=a+b
C．a*b=GCD(a,b)(a,b的最大公約數)
D．a*b=a(mod b)
12．設R為實數集，R={x|x∈R∧x>0}，*是數的乘法運算，
合關于數的乘法運算構成該群的子群的是（）
A．{R中的有理數}
+C．{R中的自然數}
A．
B．{R中的無理數} D．{1，2，3} B．
15．設G是連通平面圖，G中有6個頂點8條邊，則G的面的數目是（）
A．2個面B．3個面
C．4個面D．5個面
第二部分非選擇題（共85分）
二、填空題（本大題共10小題，每空1分，共20分）
請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。
16．一公式為之充分必要條件是其析取范式之每一析取項中均必同時包含一命題變元及其否定；一公式為之充分必要條件是其合取范式之每一合取項中均必同時包含 一命題變元及其否定。
17．前束范式具有形式(Q1V1)(Q2V2)?(QnVn)A，其中Qi(1≤i≤n)為，A為的謂詞公式。
18．設論域是{a,b,c}，則(?x)S(x)等價于命題公式；(?x)S(x)等價于命題公式。
19．設R為A上的關系，則R的自反閉包。
20．某集合A上的二元關系R具有對稱性，反對稱性，自反性和傳遞性，此關系R，其關系矩陣是。
21．設
構成一個格。
22．設Z是整數集，在Z上定義二元運算*為a*b=a+b+a·b，其中+和·是數的加法和乘法，則代數系統
23．如下平面圖有2個面R1和R2，其中deg(R1)=，deg(R2)=。
24．無向圖G具有一條歐拉回路，當且僅當G是。
25．在下圖中，結點v2的度數是，結點v5的度數是。
三、計算題（本大題共6小題，第26—27小題每小題4分，第28、30小題每小題5分，第29、31小題每小題6分，共30分）
26．（4分）求出從A={1,2}到B={x,y}的所有函數，并指出哪些是雙射函數，哪些是滿射函
數。
27．（4分）如果論域是集合{a,b,c}，試消去給定公式中的量詞：(?y)(?x)(x?y?0)。
28．（5分）設A={a,b,c }，P（A）是A的冪集，?是集合對稱差運算。已知
是群。
在群
中，①找出其幺元。②找出任一元素的逆元。③求元素x使滿足{a}?x={b}。
29．（6分）用等值演算法求公式┐(p→q)?
?(p→┐q)的主合取范式
30．（5分）畫出5個具有5個結點5條邊的非同構的無向連通簡單圖。
31．（6分）在偏序集
四、證明題（本大題共3小題，第32~33小題每小題6分，第34小題8分，共20分）
32．（6分）用等值演算法證明((q∧s)→r)∧(s→(p∨r))?(s∧(p→q))→r
33．（6分）設n階無向樹G=
34．（8分）設P={?,{1},{1,2},{1,2,3}}，?是集合P上的包含關系。
（1）證明：
是偏序集。
（2）在（1）的基礎上證明
是全序集
五、應用題(15分）
35．（9分）在謂詞邏輯中構造下面推理的證明：每個在學校讀書的人都獲得知識。所以如
果沒有人獲得知識就沒有人在學校讀書。（個體域：所有人的集合）
第二篇：離散數學試卷
誠信應考,考試作弊將帶來嚴重后果！華南理工大學期末考試 《離散數學》試卷A 注意事項：1.考前請將密封線內填寫清楚；2.所有答案請直接答在試卷上；3．考試形式：閉卷；4.本試卷共五大題，滿分100分，考試時間120分鐘
一、填空題(本大題共12小題，每小題2分，共24分)1．求合式公式?xP(x)→?xQ(x,y)的前束范式________________。2．設集合A={a, b, {a,b}, ?}, B = {{a,b}, ?}，求B-A=_____________． 3．設p與q的真值為0,r,s的真值為1則命題?(s?(q?(r??p)))?(r??p)的真值是__________.4．設R是在正整數集合Z?上如下定義的二元關系R???x,y(x,y??Z)?(x?y?1?，0)則它一共有個有序對，且有自反性、對稱性、傳遞性、反自反性和反對稱性各性質中的性質。5．公式?x(P(x)→Q(x,y))→S(x)中的自由變元為________________，約束變元為________________。6．設有命題T(x): x 是火車，C(x): x是汽車，Q(x, y): x跑得比y快，那么命題“有的汽車比一些火車跑得快”的邏輯表達式是______________________.7．設G是n階m條邊的無向圖，若G連通且m=__________則G是無向樹.8．設X={1，2，3}，f：X→X，g：X→X，f={<1, 2>,<2,3>,<3,1>},g={<1,2>,<2,3>,<3,3>}，則f-1?g=________________，g?f=________________。9.不能再分解的命題稱為________________，至少包含一個聯結詞的命題稱為《離散數學》試卷A
________________．
10.連通無向圖G含有歐拉回路的充分必要條件是 11．設集合A={?,{a}}，則A的冪集P(A，|P(A)|=_____________________________。
12.設G =
二、單選題(本大題共12小題，每小題2分，共26分)
1．下列命題公式為重言式的是（）
A.(p∨┐p)→q．B．p→(p∨q)C．q∧┐qD．(p→?p)→?q
2．下列語句中為命題的是()
A．你好嗎？
B．人有6指.C．我所說的是假的.D．明天是晴天.3.設D=
A．強連通圖
C．弱連通圖 B．單向連通圖 D．不連通圖
4．集合A＝{a，b，c}上的下列關系矩陣中符合偏序關系條件的是()
?10
1?011A．?
?001
??1100??101??101??111??0? B．?010?C．?110?D．?010? ??????1??????101???001???011??1?
5．設A={1，2，3}，A上二元關系S={<1，1>，<1，2>，<3，2>，<3，3>}，則S是（）
A．自反關系 B．傳遞關系C．對稱關系D． 反自反關系
6.設A={a,b,c,d}，A上的等價關系R={
A．{{a},{b, c},jdb3l39rxn9}
C．{{a},{b},{c},jdb3l39rxn9} B．{{a, b},{c}, jdb3l39rxn9} D．{{a, b}, {c,d}}
7.以下非負整數列可簡單圖化為一個歐拉圖的是()
A.{2, 2, 2, 2, 0}B.{4, 2, 6, 2, 2}
C.{2, 2, 3, 4, 1}D.{4, 2, 2, 4, 2}
8.設論域D＝{a，b }，與公式?xA(x)等價的命題公式是()
A．A(a)∧A(b)B．A(a)→A(b)C．A(a)∨A(b)D．A(b)→A(a)
9.一棵樹有3個4度頂點，4個2度頂點其余都是樹葉，求這棵樹有多少個樹葉頂點()
A.12B.8C.10D.1
310.有ABC三個人猜測甲乙丙三個球隊中的冠軍.各人的猜測如下:
A: 冠軍不是甲,也不是乙.B: 冠軍不是甲,而是丙.C: 冠軍不是丙,而是甲.已知其中有一個人說的完全正確.一個人說的都不對,而另外一人恰有一半說對了.據此推算,冠軍應該是()
A．甲B.乙C.丙D.不確定
11．如第11題圖所示各圖，其中存在哈密頓回路的圖是()
12．設C(x): x是國家級運動員，G(x): x是健壯的，則命題“沒有一個國家級運動員不是健壯的”可符號化為()
(A)??x(C(x)??G(x))(B)??x(C(x)??G(x))
(C)??x(C(x)??G(x))(D)??x(C(x)??G(x))
三．計算題(30分)
1．用等值演算法求取求下列公式：(?P?Q)?(P∨?Q)的合取范式（5分）
2．圖G如下圖所示，求圖G的最小生成樹.（5分）
3．有向圖D如圖所示，求D的關聯矩陣M(D)（5分）
4.化簡表達式(((A?(B?C))?
A)?(B?(B?A)))?(C?A)（7分）
5．設R={<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>}，求r(R)和s(R)，并作出它們及R的關系圖(8分)
五．證明題(22分)
1．構造下面推理的證明(5分)
前提：p?q，p??r，s?t，?s?r，?t
結論：q
2．設A={1, 2, 3, 4}, 在A?A定義的二元關系R，??u,v?,?x,y??A?A, u
證明R是A?A上的等價關系。(5分)
3．已知A、B、C是三個集合，證明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)（6分）
4． 無向圖G =
1）G中每對頂點間具有唯一的通路，2）G連通且n=m+1。（6分）
第三篇：離散數學試卷2
離散數學試題（2）
一、單項選擇題(本大題共15小題，每小題1分，共15分)在每小題列出的四個選項中只有一個選項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母填在題后的括號內。
1.一個連通的無向圖G，如果它的所有結點的度數都是偶數，那么它具有一條()
A.漢密爾頓回路B.歐拉回路
C.漢密爾頓通路D.初級回路
2.設G是連通簡單平面圖，G中有11個頂點5個面，則G中的邊是()
A.10B.12C.16D.1
43.在布爾代數L中，表達式(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等價式是()
A.b∧(a∨c)
B.(a∧b)∨(a’∧b)
C.(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c)
D.(b∨c)∧(a∨c)
4.設i是虛數，·是復數乘法運算，則G=<{1,-1,i,-i},·>是群，下列是G的子群是()
A.<{1},·>B.〈{-1},·〉
C.〈{i},·〉D.〈{-i},·〉
5.設Z為整數集，A為集合，A的冪集為P(A),+、-、/為數的加、減、除運算，∩為集合的交
運算，下列系統中是代數系統的有()
A.〈Z，+，/〉B.〈Z，/〉
C.〈Z，-，/〉D.〈P(A)，∩〉
6.下列各代數系統中不含有零元素的是()
A.〈Q，*〉Q是全體有理數集，*是數的乘法運算
B.〈Mn(R),*〉,Mn(R)是全體n階實矩陣集合，*是矩陣乘法運算
C.〈Z，?〉，Z是整數集，?定義為x?xy=xy,?x,y∈Z
D.〈Z，+〉，Z是整數集，+是數的加法運算
7.設A={1,2,3}，A上二元關系R的關系圖如下：
R具有的性質是
A.自反性
B.對稱性
C.傳遞性
D.反自反性
8.設A={a,b,c}，A上二元關系R={〈a,a〉，〈b,b〉〈,a,c〉}，則關系R的對稱閉包S(R)是()
A.R∪IAB.RC.R∪{〈c,a〉}D.R∩IA
9.設X={a,b,c},Ix是X上恒等關系，要使Ix∪{〈a,b〉，〈b,c〉，〈c,a〉，〈b,a〉}∪R為X上的等價關系，R應取()
A.｛〈c,a〉，〈a,c〉｝B.{〈c,b〉，〈b,a〉}
C.{〈c,a〉，〈b,a〉}D.{〈a,c〉，〈c,b〉}
10.下列式子正確的是()
A.?∈?B.???C.{?}??D.{?}∈?
11.設解釋R如下：論域D為實數集，a=0,f(x,y)=x-y,A(x,y):x () A.(? x)(?y)(?z)(A(x,y))→A(f(x,z),f(y,z)) 離散數學試題（2） B.(?x)A(f(a,x),a) C.(?x)(?y)（A(f(x,y),x)) D.(?x)(?y)(A(x,y)→A(f(x,a),a)) 12.設B是不含變元x的公式，謂詞公式(?x)(A(x)→B)等價于() A.(?x)A(x)→BB.(?x)A(x)→B C.A(x)→BD.(?x)A(x)→(?x)B 13.謂詞公式(?x)(P(x,y))→(?z)Q(x,z)∧(?y)R(x,y)中變元x() A.是自由變元但不是約束變元 B.既不是自由變元又不是約束變元 C.既是自由變元又是約束變元 D.是約束變元但不是自由變元 14.若P：他聰明；Q：他用功；則“他雖聰明，但不用功”，可符號化為() A.P∨QB.P∧┐QC.P→┐QD.P∨┐Q 15.以下命題公式中，為永假式的是() A.p→(p∨q∨r)B.(p→┐p)→┐p C.┐(q→q)∧pD.┐(q∨┐p)→(p∧┐p) 二、填空題(每空1分，共20分) 16.在一棵根樹中，僅有一個結點的入度為______，稱為樹根，其余結點的入度均為______。 17.A={1,2,3,4}上二元關系R={〈2，4〉，〈3，3〉，〈4，2〉}，R的關系矩陣MR中 m24=______,m34=______。 18.設〈s,*〉是群，則那么s中除______外，不可能有別的冪等元；若〈s,*〉有零元，則|s|=______。 19.設A為集合，P(A)為A的冪集，則〈P(A)，是格，若x,y∈P(A),則x,y最大下界是______，?〉 最小上界是______。 20.設函數f:X→Y,如果對X中的任意兩個不同的x1和x2，它們的象y1和y2也不同，我們說f 是______函數，如果ranf=Y，則稱f是______函數。 21.設R為非空集合A上的等價關系，其等價類記為〔x〕R。?x,y∈A，若〈x,y〉∈R，則 〔x〕R與〔y〕R的關系是______，而若〈x,y〉?R，則〔x〕R∩〔y〕R=______。 22.使公式(?x)(?y)(A(x)∧B(y))?(?x)A(x)∧(?y)B(y)成立的條件是______不含有y，______不含有x。 23.設M(x):x是人，D(s):x是要死的，則命題“所有的人都是要死的”可符號化為(?x)______,其中量詞(?x)的轄域是______。 24.若H1∧H2∧?∧Hn是______，則稱H1,H2,?Hn是相容的，若H1∧H2∧?∧Hn是______，則稱H1,H2,?Hn是不相容的。 25.判斷一個語句是否為命題，首先要看它是否為，然后再看它是否具有唯一的。 三、計算題(共30分) 26.(4分)設有向圖G=(V,E)如下圖所示，試用鄰接矩陣方法求長度為2的路的總數和回路總數。 27.(5)設A={a,b},P(A)是A的冪集，?是對稱差 運算，可以驗證 是群。設n是正整數，求({a}-1{b}{a})n?{a}-n{b}n{a}n 28.(6分)設A={1,2,3,4,5},A上偏序關系 R={〈1，2〉，〈3，2〉，〈4，1〉，〈4，2〉，〈4，3〉，〈3，5〉，〈4，5〉}∪IA; (1)作出偏序關系R的哈斯圖 (2)令B={1,2,3,5}，求B的最大，最小元，極大、極小元，上界，下確界，下界，下確界。 29.(6分)求┐(P→Q)?(P→┐Q)的主合取范式并給出所有使命題為真的賦值。 30.(5分)設帶權無向圖G如下，求G的最小生成樹T及T的權總和，要求寫出解的過程。 31.(4分)求公式┐((?x)F(x,y)→(?y)G(x,y))∨(?x)H(x)的前束范式。 四、證明題(共20分) 32.(6分)設T是非平凡的無向樹，T中度數最大的頂點有2個，它們的度數為k(k≥2),證明T 中至少有2k-2片樹葉。 33.(8分)設A是非空集合，F是所有從A到A的雙射函數的集合，?是函數復合運算。證明：〈F, ?〉是群。 34.(6分)在個體域D={a1,a2,?，an}中證明等價式： (?x)(A(x)→B(x))?(?x)A(x)→(?x)B(x) 五、應用題(共15分) 35.(9分)如果他是計算機系本科生或者是計算機系研究生，那么他一定學過DELPHI語言而 且學過C++語言。只要他學過DELPHI語言或者C++語言，那么他就會編程序。因此如果他是計算機系本科生，那么他就會編程序。請用命題邏輯推理方法，證明該推理的有效結論。 36.(6分)一次學術會議的理事會共有20個人參加，他們之間有的相互認識但有的相互不認識。但對任意兩個人，他們各自認識的人的數目之和不小于20。問能否把這20個人排在圓桌旁，使得任意一個人認識其旁邊的兩個人?根據是什么? 參考答案 一、單項選擇題(本大題共15小題，每小題1分，共15分) 1.B2.D3.A4.A5.D 6.D7.D8.C9.D10.B 11.A12.A13.C14.B15.C 二、填空題 16.0 117.10 18.單位元1 19.x∩yx∪y 20.入射滿射 21.［x］R=［y］R 22.A(x)B(y) 23.(M(x)→D(x))M(x)→D(x) 24.可滿足式永假式(或矛盾式) 25.陳述句真值 三、計算題 ??1100? 26.M=??1010?? ?1011? ?? ?0011?? ?2110? M2?=??2111?? ?2121? ?? ?1011?? 4?M2ij?18,i???4Mij2?6 1j?1i? 1G中長度為2的路總數為18，長度為2的回路總數為6。 27.當n是偶數時，?x∈P(A),xn=? 當n是奇數時，?x∈P(A),xn=x 于是：當n是偶數，(｛a｝-1｛b｝｛a｝)n?｛a｝-n｛b｝n｛a｝n =??(｛a｝-1)n｛b｝n｛a｝n=????? 當n是奇數時，(｛a｝-1｛b｝｛a｝)n?｛a｝-n｛b｝n｛a｝n =｛a｝-1｛b｝｛a｝?(｛a｝-1)n｛b｝n｛a｝n =｛a｝-1｛b｝｛a｝?｛a｝-1｛b｝｛a｝=? 28.(1)偏序關系R的哈斯圖為 (2)B的最大元：無，最小元：無； 極大元：2，5，極小元：1，3下界：4，下確界4； 上界：無，上確界：無 29.原式?(┐(P→Q)→(P→┐Q))∧((P→┐Q)→┐(P→Q)) ((P→Q)∨(P→┐Q))∧(┐(P→┐Q)∨┐(P→Q)) (┐P∨Q∨┐P∨┐Q)∧(┐(┐P∨┐Q)∨(P∧┐Q)) (┐(P∧┐Q)∨(P∧┐Q)) (P∧Q)∨(P∧┐Q) P∧(Q∨┐Q) P∨(Q∧┐ Q) (P∨Q)∧(P∨┐Q) 命題為真的賦值是P=1,Q=0和P=1,Q=1 30.令e1=(v1,v3),e2=(v4,v6) e3=(v2,v5),e4=(v3,v6) e5=(v2,v3),e6=(v1,v2) e7=(v1,v4),e8=(v4,v3) e9=(v3,v5),e10=(v5,v6) 令ai為ei上的權，則 a1 取a1的e1∈T,a2的e2∈T,a3的e3∈T,a4的e4∈T,a5的e5∈T,即，T的總權和=1+2+3+4+5=1 531.原式?┐(?x1F(x1,y)→?y1G(x,y1))∨?x2H(x2)(換名) ?┐?x1?y1(F(x1,y)→G(x,y1))∨?x2H(x2) ??x1?y1┐(F(x1,y1)→G(x,y1))∨?x2H(x2) ??x1?y1?x2(┐(F(x1,y1)→G(x,y1))∨H(x2) 四、證明題 32.設T中有x片樹葉，y個分支點。于是T中有x+y個頂點，有x+y-1 條邊，由握手定理知 T中所有頂點的度數之的x?y ?d(vi)=2(x+y-1)。 i? 1又樹葉的度為1，任一分支點的度大于等于 2且度最大的頂點必是分支點，于是 x?y ?d(vi)≥x·1+2(y-2)+k+k=x+2y+2K- 4i?1 從而2(x+y-1)≥x+2y+2k-4 x≥2k-2 33.從定義出發證明：由于集合A是非空的，故顯然從A到A的雙射函數總是存在的，如A 上恒等函數，因此F非空 (1)?f,g∈F,因為f和g都是A到A的雙射函數，故f?g也是A到A的雙射函數，從而集 合F關于運算?是封閉的。 (2)?f,g,h∈F,由函數復合運算的結合律有f?(g?h)=(f?g)?h故運算?是可結合的。 (3)A上的恒等函數IA也是A到A的雙射函數即IA∈F,且?f∈F有IA?f=f?IA=f,故IA是〈F，?〉中的幺元 (4)?f∈F,因為f是雙射函數，故其逆函數是存在的，也是A到A的雙射函數，且有f?f-1=f-1 ?f=IA,因此f-1是f的逆元 由此上知〈F，?〉是群 34.證明(?x)(A(x)→B(x))? ?x(┐A(x)∨B(x)) ?(┐A(a1)∨B(a1))∨(┐A(a2)∨B(a2))∨?∨(┐A(an)∨B(an)))?(┐A(a1)∨A(a2)∨?∨┐A(an)∨(B(a1)∨B(a2)∨?∨(B(an))?┐(A(a1)∧A(a2)∧?∧A(an))∨(┐B(a1)∨B(a2)∨?∨(B(an))?┐(?x)A(x)∨(?x)B(x)?(?x)A(x)→(?x)B(x) 五、應用題 35.令p：他是計算機系本科生 q：他是計算機系研究生 r：他學過DELPHI語言 s:他學過C++語言 t:他會編程序 前提：(p∨q)→(r∧s),(r∨s)→t 結論：p→t 證①pP(附加前提) ②p∨qT①I ③(p∨q)→(r∧s)P(前提引入) ④r∧sT②③I ⑤rT④I ⑥r∨sT⑤I ⑦(r∨s)→tP(前提引入) ⑧tT⑤⑥I 36.可以把這20個人排在圓桌旁，使得任一人認識其旁邊的兩個人。根據：構造無向簡單圖G= 中存在漢密爾頓回路。 設C=Vi1Vi2?Vi20Vi1是G中一條漢密爾頓回路，按這條回路的順序按其排座位即符合要求。 試卷二十三試題與答案 一、單項選擇題：（每小題1分，本大題共10分） 1．命題公式P?(Q?P)是（）。 A、矛盾式；B、可滿足式；C、重言式；D、等價式。 2．下列各式中哪個不成立（）。 A、?x(P(x)?Q(x))??xP(x)??xQ(x)； B、?x(P(x)?Q(x))??xP(x)??xQ(x)； C、?x(P(x)?Q(x))??xP(x)??xQ(x)； D、?x(P(x)?Q)??xP(x)?Q。 3．謂詞公式?x(P(x)??yR(y))?Q(x)中的 x是（）。 A、自由變元；B、約束變元； C、既是自由變元又是約束變元；D、既不是自由變元又不是約束變元。 4．在0 ?之間應填入（）符號。 A、=；B、?；C、?；D、?。 5．設< A，? > 是偏序集，B?A，下面結論正確的是（）。 A、B的極大元b?B且唯一；B、B的極大元b?A且不唯一； C、B的上界b?B且不唯一；D、B的上確界b?A且唯一。 6．在自然數集N上，下列（）運算是可結合的。 （對任意a,b?N） A、a?b?a?b；B、a?b?max(a,b)； C、a?b?a?5b；D、a?b?a?b。 7．Q為有理數集N，Q上定義運算*為a*b = a + b – ab ,則 8．給定下列序列，（）可以構成無向簡單圖的結點度數序列。 A、（1，1，2，2，3）；B、（1，1，2，2，2）； C、（0，1，3，3，3）；D、（1，3，4，4，5）。 9．設G是簡單有向圖，可達矩陣P(G)刻劃下列（）關系。 A、點與邊；B、邊與點；C、點與點；D、邊與邊。 10．一顆樹有兩個2度結點，1個3度結點和3個4度結點，則1度結點數為（A、5；B、7；C、9；D、8。 。）。） 二、填空：（每空1分，本大題共15分） 1．在自然數集中，偶數集為N1、奇數集為N2，則N1?N2=； N1?N2 =。 2．設X?{1,2,3,4},R?{?1,2?,?2,4?，?3,3?}，則 r(R)=；s(R)= ；t(R)=。 3．設R為集合A上的等價關系，對?a?A，集合[a]R=，稱 為 元 素 a 形 成的R 等 價 類，[a]R??，因 為。 4．任意兩個不同小項的合取為，全體小項的析取式為。 5．設Q(x):x為偶數，P(x):x為素數，則下列命題：（1）存在唯一偶素數；（2）至多有一個偶素數；分別形式化：（1）； （2）。 6．設T為根樹，若，則稱T為m元樹； 若則稱T為完全m叉樹。 7．含5個結點，4條邊的無向連通圖（不同構）有 個，它們是。 三、判斷改正題：（每小題2分，本大題共20分） 1．命題公式(A?(A?B))?B是一個矛盾式。（）2．任何循環群必定是阿貝爾群，反之亦真。（）3．根樹中最長路徑的端點都是葉子。（）4．若集合A上的關系R是對稱的，則R ? 1也是對稱的。（） 5．數集合上的不等關系（≠）可確定A的一個劃分。（）6．設集合A、B、C為任意集合，若A×B = A×C，則B = C。（）7．函數的復合運算“。”滿足結合律。（）8．若G是歐拉圖，則其邊數e合結點數v的奇偶性不能相反。（）9．圖G為（n , m）圖，G的生成樹TG必有n個結點。（）10．使命題公式P?(Q?R)的真值為F的真值指派的P、Q、R值分別是T、F、F。（） 四、簡答題（每小題5分，本大題共25分） 1．設?H,??和?K,??都是群?G,??的子群，問?H?K,??和?H?K,??是否是 ?G,??的子并說明理由。 3，4，9}，B?{2，4，7，10,12}，從A到B的關系 2．設A?{2，R?{?a,b?a?A,b?B,且a整除b}，試給出R的關系圖和關系矩陣，并說明此 關系是否為函數？為什么？ 3．設?S,??是半群，OL是左零元，對任x?S,x?OL是否是左零元？為什么？ 4．某次會議有20人參加，其中每人至少有10個朋友，這20人擬圍一桌入席，用圖論知識說明是否可能每人鄰做的都是朋友？（理由） 5．通過主合取范式，求出使公式?(?P?Q)?R的值為F的真值指派。 五、證明題：（共30分） 1．設R為集合A上的二元關系，如果R是反自反的和可傳遞的，則R一定是反對稱的。 2．試證明若?G,??是群，H?G，且任意的a?H，對每一個x?G，有a?x?x?a，則?H,??是?G,??的子群。 3．設G是每個面至少由k（k?3）條邊圍成的連通平面圖，試證明為結點數，e為邊數。 4．符號化下列各命題，并說明結論是否有效（用推理規則）。任何人如果他喜歡美術，他就不喜歡體育。每個人或喜歡體育，或喜歡音樂，有的人不喜歡音樂，因而有的人不喜歡美術。答案 e? k(v?2)k? 2，其中v 一、單項選擇題： 1．N 2; ?。r(R)?{?1,2?,?2,4?,?3,3?,?1,1?,?2,2?,?4,4?}，2． s(R)?{?1,2?,?2,4?,?3,3?,?2,1?,?4,2?}，R?R?R?{?1,4?,?3,3?}，R?R?R?{?3,3?}，R?R?R?{?3,3?}，所以，t(R)?{?1,2?,?2,4?,?3,3?,?1,4?}。 3．[a]R?{xx?A,aRx}；a?[a]R。4．永假式（矛盾式），永真式（重言式）。5．（1）?x((Q(x)?P(x))??y(Q(y)?P(y)?x?y))。（2）?x?y(Q(x)?P(x)?Q(y)?P(y)?x?y)。 6．每個結點的出度都小于等于m；除葉子外，每個結點的出度都等于m。7．3。 三、判斷改正題： 1．×命題公式(A?(A?B))?B是一個重言式。2．×任何循環群必定是阿貝爾群，但反之不真。3．×根樹中最長路徑的端點不都是葉子。 4．√5．×≠不能確定A的一個劃分。6．√7．√ 8．×歐拉圖其邊數e和結點數v的奇偶性可以相反。9．√10．√ 四、簡答題 1．解：?H?K,??是 ?G,??的子群，?H?K,??不一定是?G,??的子群。??a,b?H?K,則的子群，a,b?H,a,b?K,由 ?H,??和?K,??都是?G,?? ? a?b ? 1?H且a?b ?1 ?K,?a?b ?1 ?H?K,??H?K,??是?G,??的子群。 如：G = {1，5，7，11}，?：模12乘，則?G,??為群。且H = {1，5}，K = {1，7}，?H,??和?K,??皆為?G,??的子群，但H?K?{1,5,7}，?H?K,??不是?G,??的子群。因為 5?7?11?H?K，即運算不封閉。 2．解：R?{?2,2?,?2,4?,?2,10?,?2,12?,?3,12?,?4,4?,?4,12?}則R的關系圖為： R的關系矩陣為 ?1??0?? 0??0? 1010 0000 1000 1??1?1??0?? M R 關系R不是A到B的函數，因為 元素2，4的象不唯一（或元素9無象） 3．解：x?OL仍是左零元。因為?y?S，由于OL是左零元，所以，OL?y?OL，又?S,??為半群，所以*可結合。 所以，(x?OL)?y?x?(OL?y)?x?OL，所以，x?OL仍是左零元。 4．解：可能。將人用結點表示，當兩人是朋友時相應結點間連一條邊，則得一個無向圖 G??V,E?，20人圍一桌，使每人鄰做都是朋友，即要找一個過每個點一次且僅 一次得回路。由題已知，?u,v?V,deg(u)?10,deg(v)?10，?deg(u)?deg(v)?20，由判定定理，G中存在一條漢密爾頓回路。即所談情況可能。 5．解： 原式??(P?Q)?R?(?P??Q)?R?(?P?R)?(?Q?R) ?(?P?Q?R)?(?P??Q?R)?(P??Q?R)?(?P??Q?R)?M100?M110?M 010 ∴使公式?(?P?Q)?R的值為F的真值指派為： ?P:1 ? ?Q:0?R:0?； ?P:1 ? ?Q:1?R:0?； ?P:0 ? ?Q:1?R:0?。 五、證明題： 1．證明：假設R不是反對稱的，則 ??x,y??R,性，∴ ?x,x??R 此與R反自反矛盾，∴R反對稱。 ?y,x??R,x?y 由R的傳遞 2．證明：（1）設群?G,??的幺元為e，則?x?G有 x?e?e?x，∴e?H即H非空。（2）?a,b?H，則 ?x?G 有 a?x?x?a,b?x?x?b，從而 (a?b ?1)?x?(a?b ?1 ?1?1)?x?(b?b ?1) ?a?(b?b)?x?b ?1 ?(a?x)?b ?1 ?1 ?x?(a?b),?a?b?H 故 ?H,??是?G,??的子群。 3．解：設連通平面圖G有t個面：r1,r2,?,rt則有 v?e?r?2，deg(ri)?k,2k ? tt 又有題意，deg(ri)?kt i?1 又 e? ?deg(r)?2e i i?1，∴2e?kt，t?ev?e? 2k e?2 kk?2 (v?2) 。從而，∴。 4．解：設P(x)：x喜歡美術，Q(x)：x喜歡體育，R(x)：x喜歡音樂。論域：人。 命題形式化為：前提：?x(P(x)??Q(x))，?x(Q(x)?R(x))，?x?R(x)結論：?x?P(x)。證明：（1）?x?R(x)P(2)?R(a)ES(1)(3)?x(Q(x)?R(x))P(4)Q(a)?R(a)US(4)(5)Q(a)T(2)(4)I(6)?x(P(x)??Q(x))P(7)P(a)??Q(a)US(6)(8)?P(a)T(5)(7)I(9)?x?P(x)EG(8)∴ 結論有效。 ①離散相計算步驟： 首先根據所分析的物理問題判斷離散相與連續相的耦合關系：分為單相耦合和雙相耦合 單相耦合：離散相對連續相影響很小無需設置相間耦合 雙相耦合：離散相對連續相影響較大需要設置相間耦合 單相耦合問題：只要在加入離散相粒子前計算連續相流場直至收斂，然后打開離散相模型，加入離散相粒子，無需迭代計算因為已經計算收斂流場穩定了； 雙相耦合問題：計算開始前打開離散相模型加入離散相粒子，初始化流場，設置相間耦合、每多少步連續相計算后進行離散相軌道計算，然后將更新后的離散相動量與能量加入下一次的連續相方程計算中，收斂穩定后，進行離散相后處理或觀察連續相流場情況。②離散相時間步的一些概念： particle time step size僅當采用非穩態方式進行顆粒軌跡計算時才會用到，是進行顆粒軌跡計算的時間間隔步長。后者是隔多長時間做一次顆粒軌跡的計算，讓顆粒前進一次；前者是進行顆粒軌跡計算時所用的積分時間步長。在離散相非穩態計算中，粒子是以particle time step size的時間步長來噴射顆粒的，顆粒噴射完之后就要跟蹤其軌跡，這時又要用到積分時間步長的概念，由于兩次噴射之間的時間間隔是particle time step size，這就要求積分時間步長一定要小于或者等于particle time step size，否則顆粒就會“走過頭”。 如果選擇Track with Fluid Flow Time Step，Inject Particles at會默認選擇Fluid Flow Time Step，顆粒在計算連續相前被釋放，然后“預算”顆粒軌跡預統計track、escape數目，再進行連續相計算，在本時間步的最后會更新離散相軌跡，統計track、escape數目；選擇Inject Particles at，Particle Time Step，時間步長設為0.005，Particle Time Step Size 設為0.001，則粒子在本時間步內釋放了五次，可以總結： Track with Fluid Flow Time Step 則顆粒在一個時間步內只在計算連續相前釋放一次； Inject Particles at,Particle Time Step 則釋放次數=時間步長/Particle Time Step Size ③關于Rosin-Rammler分布求分布指數(Spread Parameter)n 步驟： ①首先列出理想直徑分布：如下所示 再轉化為如下 ②依靠該式 求解平均直徑和分布指數 n= ④粒子追蹤方式：這個xrs333版主整理過下面轉載： DPM模型的顆粒運動方程對時間積分可以得到顆粒運動軌跡。進行分散相顆粒軌跡積分計算的方式有兩種：穩態追蹤方式和非穩態追蹤方式。不論連續相的求解是穩態還是非穩態的，都可以采用這兩種方式，但是其意義是不同的。(1)顆粒軌跡穩態追蹤方式 所謂穩態方式是指每隔若干個連續相流場迭代步（如非耦合分散相計算，則在連續相迭代收斂后，進行結果數據處理時），在當前流場狀態下，逐個地對每個顆粒進行從起始位置直到其終了（即顆粒到達計算域邊界或已完全蒸發，或軌跡追蹤已達最大步數）的軌跡積分計算及源項計算。穩態方式得到某一時刻連續相流場條件下在一系列積分時間步的顆粒狀態，一系列顆粒位置可連成運動軌跡線。 對于非穩態流動問題，穩態方式的顆粒軌跡積分相當于是計算顆粒在某一時刻的“凍結”流場中的軌跡，其一條軌跡并非某一顆粒的實際運動歷程。對于顆粒St<<1，顆粒跟隨性好的情況，顆粒的運動軌跡就是流動的跡線。這時，如果顆粒源（即噴射，Injection）的顆粒流數目足夠大，并且分散相初始條件不隨時間變化，使得從顆粒源發出的大量顆粒的初始條件在統計上是穩定的，則穩態方式計算的顆粒軌跡可以代表當時計算域內全部顆粒的運動。否則，穩態方式得到的軌跡既不是顆粒的實際運動歷程，也不代表計算域內全部顆粒的運動。為了正確再現非穩態問題中分散相顆粒的運動，應采用顆粒軌跡追蹤的非穩態方式，交替進行連續相迭代和分散相計算。 (2)顆粒軌跡非穩態追蹤方式 非穩態方式是指每隔若干個連續相流場迭代步，對每個顆粒進行一輪包括一步或多步的軌跡計算及源項計算，從而將顆粒逐輪、逐步地沿軌跡向前推進，依次得到每一步計算后更新的顆粒狀態（位置、速度、尺寸、溫度等）。非穩態方式得到某一時刻全部顆粒的當前狀態。 采用非穩態追蹤方式時，對于連續相穩態求解與非穩態求解兩種情況的顆粒軌跡追蹤方式不同，相關的選項和輸入項也不同，分別說明如下。a.連續相穩態計算時的顆粒軌跡追蹤過程 連續相穩態計算時，為了進行顆粒軌跡的非穩態追蹤，分散相與連續相必須是耦合的，即必須選擇Interaction with Continuous Phase選項，并指定大于0的Number of Continuous Phase Iterations Per DPM Iteration值。顆粒軌跡追蹤方式為，每隔此連續相迭代步數，DPM求解器對每個顆粒進行一輪包含一步或多步的軌跡計算。每一步，DPM求解器計算顆粒從當前狀態（位置、速度、尺寸、溫度等）起在積分時間（即一個顆粒時間步長）內的運動軌跡以及動量、質量和能量損益，并得到更新的顆粒狀態。同時，在每一個顆粒時間步噴射一次顆粒。一輪軌跡計算得到的分散相顆粒的動量、質量和能量損益將在下一個連續相迭代步計入連續相源項。積分時間步長和每一輪的步數由用戶給定。這樣，隨著連續相迭代的進行，顆粒將逐輪、逐步地向前推進。 b.連續相非穩態計算時的顆粒軌跡追蹤過程 連續相非穩態求解時，DPM求解器在每一個連續相時間步對每個顆粒進行一輪包含一步或多步的軌跡計算。與連續相穩態計算時相同，在每一步，DPM求解器計算顆粒從當前狀態（位置、速度等）起在積分時間內的運動軌跡以及動量、質量和能量損益，并得到更新的顆粒狀態。每一步的積分時間以及顆粒噴射時刻的控制見下面所述相關選項和輸入項，但不管選擇何種方式，每個injection每次噴射的顆粒包總質量總是保證其質量流量。每一輪的步數是與連續相時間步在時間上相重疊的顆粒時間步數。這樣，連續相迭代與分散相計算交替進行，顆粒將逐步地向前推進。 Max Number of Steps是在每一步顆粒軌跡計算中的最大積分時間步數，積分時間步達到此數，該步顆粒軌跡計算即停止，并報告顆粒終了狀態為incomplete。這兩個“步”容易混淆，前者是“大步”；后者是“小步”，是數值積分時間步。 在一步顆粒軌跡計算中，積分時間步長約等于顆粒經過一個控制容積所需時間除以Step Length Factor，也就是顆粒分幾步走過一個控制容積的每一步時長；另一種給定積分時間步長的方法是選擇Specify Length Scale選項，這時，積分時間步長約等于所給的長度尺度（Length Scale）除以顆粒相對于連續相的速度大小。而積分步數約等于顆粒時間步長（Particle Time Step Size）除以積分時間步長，但以Max Number of Steps為限。因此，如Max Number of Steps不夠大，則未到顆粒時間步長就結束一個顆粒時間步，并轉入下一個顆粒時間步，因而顆粒終了狀態報告為incomplete。 下面是個人的一些補充需要注意的： 1.穩態追蹤方式中主要就是注意軌道計算的時間步長Max Number of Steps，個人認為這個是穩態追蹤中關鍵的參數不之一適當設大一點才能保證得到較完整的軌跡； 2.穩態追蹤方式主要還是在單相耦合計算中用處較大，用于在得到穩定流場后加入離散相粒子，計算軌跡； 3.非穩態追蹤方式在瞬態計算中要注意的比較多，因為涉及到的時間步長概念多一些，②中已經總結了一部分，非穩態追蹤初始接觸時容易被忽略的就是start time 和end time的設置，這兩個參數對計算影響很大，是決定粒子釋放時間的關鍵參數，要根據自己的實際問題來設定； 暫時就這么多 大家還有什么問題和意見感想在論壇上多交流吧，流體中文網論壇是一個解決問題的學習的好地方！第四篇：離散數學試卷二十三試題與答案
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