第一篇：離散數學論文
淺論離散數學的實際應用
摘要：
離散數學是現代數學的重要分支，是研究離散量的結構及相互關系的學科，它在計算機理論研究及軟、硬件開發的各個領域都有著廣泛的應用。作為一門重要的專業基礎課，對于我們電子專業的同學來說，學習離散數學史有其重要現實意義：它不僅能為我們的專業課學習打下基礎，也為我們今后將要從事的軟、硬件開發和應用研究打下堅實的基礎，同時也有助于培養我們的抽象思維、嚴格的邏輯推理和創新能力。離散數學的應用非常廣泛，本文主要研究其在我們所學的重要課程中的應用：數字電路中的門電路設計、軟件技術基礎中的一些技術以及解決現實生活中的一些問題的應用。
關鍵字：離散數學、電路設計、軟件技術、應用
1.什么是離散數學
1.1簡介
離散數學(Discrete mathematics)是研究離散量的結構及其相互關系的數學學科，是現代數學的一個重要分支。它在各學科領域，特別在計算機科學與技術領域有著廣泛的應用，同時離散數學也是計算機專業的許多專業課程，如程序設計語言、數據結構、操作系統、編譯技術、人工智能、數據庫、算法設計與分析、理論計算機科學基礎等必不可少的先行課程。
1.2離散數學的內容
離散數學是傳統的邏輯學，集合論（包括函數），數論基礎，算法設計，組合分析，離散概率，關系理論，圖論與樹，抽象代數（包括代數系統，群、環、域等），布爾代數，計算模型（語言與自動機）等匯集起來的一門綜合學科。離散數學的應用遍及現代科學技術的諸多領域，它通常研究的領域包括：數理邏輯、集合論、代數結構、關系論、函數論、圖論、組合學、數論等。
2.離散數學在門電路設計中的應用
2.1 邏輯門的概念
邏輯門是集成電路中的基本組件。簡單的邏輯門可由晶體管組成。這些晶體管的組合可以使代表兩種信號的高低電平在通過它們之后產生高電平或者低電平的信號。高、低電平可以分別代表邏輯上的“真”與“假”
或二進制當中的1和0，從而實現邏輯運算。常見的邏輯門包括“與”門，“或”門，“非”門，“異或”門（也稱：互斥或）等等。邏輯門可以組合使用實現更為復雜的邏輯運算。
2.2 在門電路設計中的應用
在數字電路中，離散數學的應用主要體現在數理邏輯部分的使用。在數字電路中廣于使用的邏輯代數即為布爾代數。邏輯代數中的邏輯運算與、或、非、異或與離散數學中的合取，析取、否定、異或（排斥或）相對應。
數字電路的學習重點在于掌握電路設計技術，在設計門電路時，要求設計者根據給出的具體邏輯問題，求出實現這一邏輯功能的邏輯電路。一般的設計過程為如下：
首先，進行邏輯抽象.分析給定的邏輯問題，確定輸入、輸出變量,一般把引起事件的原因作為輸入變量，把事件的結果作為輸出變量。再以二值邏輯的0、1兩種狀態分別代表變量的兩種不同狀態，并根據給定的因果關系列出邏輯真值表。于是，這個實際的邏輯問題被抽象成一個邏輯函數了，而且這個邏輯函數是以真值表形式給出的。
然后根據真值表寫出邏輯函數式。在這一步的主要工作為對邏輯函數進行化簡和變換，此時采用的方法一般為使用邏輯代數公式，即離散數學中的命題演算公式將命題公式直接進行化簡；或者用卡諾圖法進行化簡；或者同時采用兩種方法，互相驗證結果是否最簡。但在一般情況下，在真值表中變量較多，邏輯函數式較為復雜時，我們采用卡諾圖法更為方便快捷，且出錯率更低。
在得到最簡邏輯函數式后，選定器件類型，開始構建實際電路。在對所用器件種類有所限制或使用中規模集成電路構建設計好的電路時，需要把函數式變換為適當的形式。此時，我們將采用命題等值演算對函數式進行變換，變換的結果通常為合取范式和析取范式，以便使用最少的器件和最簡單的連線。
3.離散數學在軟件技術中的應用
離散數學作為計算機科學技術的支撐學科之一，它在計算機程序中有著極其重要和廣泛的應用。在軟件技術基礎中，我們所學習的數據結構極其運算，查找與排序技術，數據庫技術，無一不是建立在離散數學的基礎上的。
數據存儲結構分為順序存儲和鏈式存儲兩大類，無論是哪種存儲結構，我們都必須存儲數據元素和元素之間的前后件關系這兩方面的內容。通過數據元素間的特定關系，我們可以得出數據結構的集合，寫出關系矩陣，畫出關系圖。對于線性結構的數據，我們構造順序表或鏈表對數據進行存儲處理和分析，對于非線性結構的數據，我們則經常使用樹和圖來表
示。樹和圖的概念對于非線性結構數據非常重要，例如一個學校的行政層次結構，我們可以用樹來表示，一個城市中的交通路線可以用圖來描述。
在查找和排序技術中，樹顯得尤為重要。在多種排序技術中，樹概念的使用在堆排序技術中直觀可見。堆排序的基本思想是，先將所需要排序的元素用完全二叉樹表示成堆，堆定義為：具有n個元素的序列（h1,h2,?hn）,當且僅當滿足hi≥h2i,hi≥h2i+1或hi≤h2i,hi≤h2i+1時稱為堆。然后在調整建堆的過程中，總是將根結點值與左右子樹的根結點值進行比較，若不滿足堆的條件，則將左右子樹根結點值中的大者（或小者）與根結點值進行交換。這個調整過程一直做到所有子樹均為堆為止。查找技術史建立在樹的基礎之上的，首先要構建二叉排序樹，然后在其中進行查找。為提高查找數據的效率，一般采用多層索引樹進行查找。主要的查找方法建立在樹的遍歷基礎上。遍歷一棵樹有3種方法：前序遍歷、中序遍歷和后序遍歷。具體采用哪種遍歷方法由所選擇的查找方法所決定。
數據庫技術主要是實現對數據的加工和管理。在關系模型數據庫中，對數據的操作歸結為各種集合運算。在關系模型的數據語言中，我們除了要運用常規的集合運算（并、交、差、笛卡爾積等）外，還定義了一些專門的關系運算，如投影、選擇、連接等運算。前者是將關系（即二維表）看成元素組的集合，這些運算主要是從二維表中行的方向來進行的；后者主要是從二維表中列的方向來進行運算的。兩者統稱為關系代數。由于這方面的內容在離散數學和軟件技術基礎兩門課程中都剛開始進入學習，所以在此不做進一步的研究。
4.離散數學在現實生活中的應用
離散數學不僅在于軟硬件設計和計算機科學中有著廣泛的應用，同時它也能解決一些生活中的問題，實用而且有趣，以下僅舉一些例子作為說明。
圖是由一些頂點和連接這些頂點的一些邊所組成的離散結構。存在多種不同類型的圖，其間的區別在于連接頂點對的邊的種類和數目。在實際應用中，有值圖廣為使用。例如計算航線網絡里兩個城市之間航班的不同組合的數目，確定是否可能走遍城市里所有街道而不重復經過街道，以及求地圖區域著色所需要的顏色數等等。樹在生活中的最常見的應用則是描述一個家族的家譜，同時這種家譜樹在生物遺傳學中對于某個家族的遺傳病史的研究也有很大作用。組合數學這一研究個體安排的學科，是離散數學的重要組成部分，它可以用來求解各種各樣的問題，計算事件的概率，可以用來分析賭博游戲，如撲克，抽獎，計算及系統中的密碼等等。離散數學可以解決的問題甚多，它包括：
有多少種方式可以在一個計算機系統上選擇一個合法口令？ 贏彩票的概率是多少？
網絡上兩臺計算機之間是否有通路？
使用某一運輸系統的兩個城市之間的最短路徑是什么？
怎樣把整數列表按增序排列？ 完成上述排列需要多少步驟？ 怎樣設計兩個整數相加的電路？ 有多少合法的因特網地址？
如果知道了學習離散數學能解決上述這類問題，你會突然對離散數學產生極大的興趣，你會迫不及待地想學好它，至少我就是這樣的。
參考文獻：
【1】離散數學 耿素云、屈婉玲、張立昂編著 清華大學出版社
【2】離散數學及其應用（美）Kenneth H.Rosen著 袁崇義 屈婉玲 王捍貧 劉田 譯 【3】百度百科詞條
第二篇：離散數學論文
首先要明確的是，由于《離散數學》是一門數學課，且是由幾個數學分支綜合在一起的，內容繁多，非常抽象，因此即使是數學系的學生學起來都會倍感困難，對計算科學專業的學生來說就更是如此。大家普遍反映這是大學四年最難學的一門課之一。但鑒于《離散數學》在計算科學中的重要性，這是一門必須牢牢掌握的課程。既 然如此，在學習《離散數學》時，大家最應該牢記的是唐詩“熟讀唐詩三百首，不會做詩也會吟。”學習過程是一個扎扎實實積累的過程，不能打馬虎眼。離散數學是理論性較強的學科，學習離散數學的關鍵是對離散數學(集合論、數理邏輯和圖論)有關基本概念的準確掌握，對基本原理及基本運算的運用，并要多做練習。
《離散數學》的特點是：
1、知識點集中，概念和定理多：《離散數學》是建立在大量概念之上的邏輯推理學科，概念的理解是我們學習這門學科的核心。不管哪本離散數學教材，都會在每一章節列出若干定義和定理，接著就是這些定義定理的直接應用。掌握、理解和運用這些概念和定理是學好這門課的關鍵。要特別注意概念之間的聯系，而描述這些聯系的則是定理和性質。
2、方法性強：離散數學的特點是抽象思維能力的要求較高。通過對它的學習，能大大提高我們本身的邏輯推理能力、抽象思維能力和形式化思維能力，從而今后在學習任何一門計算機科學的專業主干課程時，都不會遇上任何思維理解上的困難。《離散數學》的證明題多，不同的題型會需要不同的證明方法（如直接證明法、反證法、歸納法、構造性證明法），同一個題也可能有幾種方法。但是《離散數學》證明 題的方法性是很強的，如果知道一道題用什么方法講明，則很容易可以證出來，否則就會事倍功半。因此在平時的學習中，要勤于思考，對于同一個問題，盡可能多探討幾種證明方法，從而學會熟練運用這些證明方法。同時要善于總結，在學習《離 散數學》的過程，對概念的理解是學習的重中之重。一般來說，由于這些概念（定義）非常抽象（學習《線性代數》時會有這樣的經歷），初學者往往不能在腦海中建立起它們與現實世界中客觀事物的聯系。這往往是《離散數學》學習過程中初學者要面臨的第一個困難，他們覺得不容易進入學習的狀態。因此一開始必須準確、全面、完整地記住并理解所有的定義和定理。具體做法是在進行完一章的學習后，用專門的時間對該章包括的定義與定理實施強記。只有這樣才可能本課程的抽象能夠適應，并為后續學習打下良好的基礎。
學數學就要做數學，《離散數學》的學習也不例外。學習數學不僅限于學習數學知識，更重要的還在于學習數學思維方法。要做到這一點，學習者將要面臨的第二個困難是需要花費大量的時間做課后習題。但是切記離散數學的題目數量自然是無窮無盡的，但題目的種類卻很有限。尤其是在命題證明的過程中，最重要的是要掌握證明的思路和方法。解離散數學的題，方法是非常重要的，如果拿到一道題，立即能夠看出它所屬的類型及關聯的知 識點，就不難選用正確的方法將其解決，反之則事倍功半。例如在命題邏輯部分，無非是這么幾種題目：將自然語言表述的命題符號化，等價命題的相互轉化（包括化為主合取范式與主析取范式），以給出的若干命題為前提進行推理和證明。相應的對策也馬上就可以提出來。以推理題為例，主要是利用P、T規則，加上蘊涵和等價公式表，由給定的前提出發進行推演，或根據題目特點采用真值表法、CP規則和反證法。由此可見，在平常學習中，要善于總結和歸納，仔細體會題目類型和此類題目的解題套路。如此多作練習，則即使遇到比較陌生的題也可以較快地領悟其本質，從而輕松解出。
因此，只要肯下功夫，人人都能有扎實的基礎，擁有足夠的數學知識，特別是能大大提高本身的邏輯推理能力、抽象思維能力和形式化思維能力，從而今后在學習任何一門計算機科學的專業主干課程時，都不會遇上任何思維理解上的困難。
如何學好離散數學
離散數學是現代數學的一個重要分支，是計算機科學中基礎理論的核心課程。離散數學以研究離散量的結構和相互間的關系為主要目標，其研究對象一般地是有限個或可數個元素，因此他充分描述了計算機科學離散性的特點。由于離散數學在計算機科學中的重要性，因此，許多大學都把它作為研究生入學考試的專業課程中的一門，或者是一門中的一部分。
作為計算機系的一門課程，離散數學有與其它課程相通相似的部分，當然也有它自身的特點，現在我們就它作為考試內容時具有的特點作一個簡要的分析。
1、定義和定理多。
離散數學是建立在大量定義上面的邏輯推理學科。因而對概念的理解是我們學習這門學科的核心。在這些概念的基礎上，特別要注意概念之間的聯系，而描述這些聯系的實體則是大量的定理和性質。
在考試中的一部分內容就是考察大家對定義和定理的識記、理解和運用。如2002年上海交通大學的試題，問什么是相容關系。如果知道的話，很容易得分；如果不清楚，那么無論如何也得不到分數的。這類型題目往往因其難度低而在復習中被忽視。實際上這是一種相當錯誤的認識，在研究生入學考試的專業課試題中，經常出現直接考查對某知識點的識記的題目。對于這種題目，考生應該能夠準確、全面、完整地再現此知識點。任何的模糊和遺漏，都會造成極為可惜的失分。我們建議讀者，在復習的時候，對重要知識的記憶，務必以上面提到的“準確、全面、完整”為標準來要求自己，不能達到，就說明還不過關，還要下工夫。關于這一點，在后續章節中我們仍然會強調，使之貫穿于整個離散數學的復習過程中。
離散數學的定義主要分布在集合論的關系和函數部分，還有代數系統的群、環、域、格和布爾代數中。一定要很好地識記和理解。
2、方法性強。
離散數學的證明題中，方法性是非常強的，如果知道一道題用怎樣的方法證明，很輕易就可以證出來，反之則事倍功半。所以在平常復習中，要善于總結，那么遇到比較陌生的題也可以游刃有余了。在本書中，我們為讀者總結了不少解題方法。讀者首先應該熟悉并且會用這些方法。同時我們還鼓勵讀者勤于思考，對于一道題，盡可能地多探討幾種解法。
3、有窮性。
由于離散數學較為“呆板”，出新題比較困難，不管什么考試，許多題目是陳題，或者稍作變化的來的。“熟讀唐詩三百首，不會做詩也會吟。”如果拿到一本習題集，從頭到尾做過，甚至背會的話。那么，在考場上就會發現絕大多數題見過或似曾相識。這時，要取得較好的成績也就不是太難的事情了。
本書是專門針對研究生入學考試而編寫的，適合于讀者對研究生入學考試的復習。如果還有時間的話，我們可以推薦兩本習題集。一本是左孝凌老師等編寫的《離散數學理論、分析、題解》，另一套有三本，是耿素云老師等編寫的《離散數學習題集》。這兩套書大多數題都是相同的，只是由于某些符號和定義的不同，使得題目的設定和解法有些不同而已。
現在我們就分析一下研究生入學考試有哪些題型，以及我們應如何應付。
1、基礎題
基礎題就是考察對定義的識記，以及簡單的證明和推理。題目主要集中在數理邏輯部分和集合論部分。這些題目不需要思考，很容易上手。
這一部分的題目主要問題是要防止粗心大意和對定義記憶似是而非而丟的分數。不重視這一點的人將會在考試中吃大虧。如在主合取范式中，極大項編碼對應的指派與真值表對應的指派相反，這一點在許多的參考書里也會犯錯誤；還有是要防止沒有按照一定的方法而引起的錯誤，如我們在數理邏輯或者集合論里作等價推演，可以省略若干不重要的步驟，只要老師和考生都清楚就可以了，而在推理理論里則不能省略任何步驟，否則被認為是邏輯錯誤。
我們在學習中，還要注意融會貫通，例如，數理邏輯和集合論是相通的，因此記憶或者總結方法的時候可以綜合起來，這樣便于比較和理解。
2、定理應用題
本部分是最“死”的一部分，它主要體現了離散數學的方法性強的特點。并且這一部分占了考試內容的大部分，我們必須在這一部分下功夫，記住了各種方法，也就拿到了離散數學的大部分分數。
下面我們就列出常用的幾種應用：
●證明等價關系：即要證明關系有自反、對稱、傳遞的性質。
●證明偏序關系：即要證明關系有自反、反對稱、傳遞的性質。（特殊關系的證明就列出來兩種，要證明剩下的幾種只需要結合定義來進行）。
X，使得f(x)=y。?Y，都有x?Y，即要證明對于任意的y?●證明滿射：函數f：X X，且x1≠x2，則f(x1)?Y，即要證明對于任意的x1、x2?●證明入射：函數f：X ≠f(x2)；或者對于任意的f(x1)=f(x2)，則有x1=x2。
●證明集合等勢：即證明兩個集合中存在雙射。有三種情況：第一、證明兩個具體的集合等勢，用構造法，或者直接構造一個雙射，或者構造兩個集合相互間的入射；第二、已知某個集合的基數，如果為?，就設它和R之間存在雙射f，然后通過f的性質推出另外的雙射，因此等勢；如果為?0，則設和N之間存在雙射；第三、已知兩個集合等勢，然后再證明另外的兩個集合等勢，這時，先設已知的兩個集合存在雙射，然后根據剩下題設條件證明要證的兩個集合存在雙射。●證明群：即要證明代數系統封閉、可結合、有幺元和逆元。（同樣，這一部分能夠作為證明題的概念更多，要結合定義把它們全部搞透徹）。
●證明子群：雖然子群的證明定理有兩個，但如果考證明子群的話，通常是第二個定理，即設
●證明正規子群：若
●證明格和子格：子格沒有條件，因此和證明格一樣，證明集合中任意兩個元素的最大元和最小元都在集合中。
圖論雖然方法性沒有前幾部分的強，但是也有一定的方法，如最長路徑法、構造法等等。
3、難題
難題就是考試中比較難以下手，大多考生作不出來，用來拉開分數檔次的題。那么，遇到難題我們怎么下手分析呢？
難題主要有以下四種，我們來逐一進行分析：
①綜合題
綜合題就是內容涵蓋若干章的問題，這樣的題大多數是在群論里面的陪集、拉格朗日定理、正規子群、商群這一部分中。這一部分結合的內容很多，而且既復雜又難理解，是整個離散數學中的難點。
首先拉格朗日定理把群和等價關系、劃分結合在一起，又與群的階數相掛鉤（在子群中有一部分階方面的題是比較難的題，它的解法依據就在此處）；然后商群將兩個群結合在一起，因為兩個群的元素是不同的，因此必須時刻概念清楚才不至于混亂；接著同余關系把群和關系相結合，定義了一種新的關系；自然同態把正規子群和商群相聯系，也成為某些證明題的著眼處；核的定義和群同態定理給出了正規子群的另一種證明方法，因為核就是正規子群……
當然，綜合題不僅此一處，離散數學是一個融會貫通的學科，像集合論，圖論等都可能成為綜合題的命題點。
對于綜合題，我們可以從兩方面下手，首先不管題設如何，看所要證明的問題，按照定理應用的題型著眼，設出所需要的格式，然后進行進一步推演；其次可以先看題設，應用已知條件的性質定理向前推幾步，看看哪一個性質更能夠接近所問，題目也就迎刃而解了。
②例外題
例外題有兩個含義，首先是對于定理應用題而言的，對于一個概念的判定定理和性質定理不是唯一的，而定理應用題是給出的是最常出題的定理，因此有的考題可能考出一個不常用的定理。
其次例外題還有一種題型是與我們平常思維相悖的問題，如：有一些題目給出一個結論，說如果它正確的話請指出來，錯誤的話則請證明，憑做題經驗通常是要選擇證明的那條思路。其實也不妨用一些時間看看能不能指出來，從而不用證明。請看下面的例子：
③ 偏題
常常有的參考書會說某某章是非重點，不會考到之類的話，這是非常錯誤和有害的。其結果是令這些章成為讀者復習中的盲點，成為難題的又一種。這些章通常概念少，定理不多，因此題目本身不難。但由于沒有好好復習或者根本沒有復習，考試中又出了題目，故此拿不到分數則是非常令人懊喪的。所以我們建議讀者進行全面復習，除非是所報考院校明確說明不考的部分，其余內容一律要認真復習。即使是復習時間比較少，也必須做到至少是了解了基本概念和定義。對于離散數學而言，函數一章中的基數部分和格和布爾代數一章是人們容易忽略的問題。
我們平時復習的時候，不管是什么課程，一定不能留死角，而這些地方出的題目由于它的本身內容的局限性，又往往是非常簡單的。丟了十分可惜。
④ 錯題
專業課的題目是由較少老師出的，并不像基礎課那樣經過多方面的論證，因此出錯題也不奇怪（雖然非常非常之少），如果我們遇到了一道題目，經過我們判斷和推演得到相悖的答案，不要過分迷信題目的權威性，因為它可能是錯題。
下面講一下離散證明題的證明方法：
1、直接證明法
直接證明法是最常見的一種證明的方法，它通常用作證明某一類東西具有相同的性質，或者符合某一些性質必定是某一類東西。
直接證明法有兩種思路，第一種是從已知的條件來推出結論，即看到條件的時候，并不知道它怎么可以推出結論，則可以先從已知條件按照定理推出一些中間的條件（這一步可能是沒有目的的，要看看從已知的條件中能夠推出些什么），接著，選擇可以推出結論的那個條件繼續往下推演；另外一種是從結論反推回條件，即看到結論的時候，首先要反推一下，看看從哪些條件可以得出這個結論（這一步也可能是沒有目的的，因為并不知道要用到哪個條件），以此類推一直到已知的條件。通常這兩種思路是同時進行的。
2、反證法
反證法是證明那些“存在某一個例子或性質”，“不具有某一種的性質”，“僅存在唯一”等的題目。
它的方法是首先假設出所求命題的否命題，接著根據這個否命題和已知條件進行推演，直至推出與已知條件或定理相矛盾，則認為假設是不成立的，因此，命題得證。
3、構造法
證明“存在某一個例子或性質”的題目，我們可以用反證法，假設不存在這樣的例子和性質，然后推出矛盾，也可以直接構造出這么一個例子就可以了。這就是構造法，通常這樣的題目在圖論中多見。值得注意的是，有一些題目其實也是本類型的題目，只不過比較隱蔽罷了，像證明兩個集合等勢，實際上就是證明“兩個集合中存在一個雙射”，我們即可以假設不存在，用反證法，也可以直接構造出這個雙射。
4、數學歸納法
數學歸納法是證明與自然數有關的題目，而且這一類型的題目可以遞推。作這一類型題目的時候，要注意一點就是所要歸納內容的選擇。
第三篇：離散數學論文
離散——神不散
姓名：王文軍班級：數學與應用數學（2）班學號：092014020049
摘要：離散數學是研究散量的結構及其相互關系的數學學科，是現代數學的重要分支，通過離散數學的學習，不但可以掌握處理離散結構的描述工具和方法，為以后續課創造條件而且可以提高抽象思維和邏輯推理能力，為將來參加與創新性的研究和開發工作打下堅實基礎。離散從字面上理解好像是一門很散的學科，但我覺得離散字面散而其內神不散。
正文：在中學我們學習了一些簡單邏輯，那些都是一些與生活有關或是學習中一些常識就可判斷命題真假的命題。這些簡單邏輯對學生的思維邏輯推理能力有一定的訓練作用，但中學中的簡單邏輯沒有嚴格的證明和公式的推導。一些問題都是憑借日常生活經驗或學習中的一些常識就能把命題的正確性作出判斷。數理邏輯是以散量為主要載體，通過一系列邏輯連接詞來演繹命題并用一定公式判斷命題的正確性。數理邏輯對公式有嚴格的證明，并把命題符號化，使得推理更有序，更可靠。數理邏輯是簡單邏輯的提高和精神的升華。數理邏輯提出簡單邏輯并未有的散量及一系列公式。數理邏輯為解決簡單邏輯的解法提出多樣化，為簡單邏輯提供更嚴謹有效的解題途徑。
數理邏輯是數學的一個分支，也是邏輯學的分支。是用數學方法研究邏輯式形式邏輯的學科。其研究對象是對證明和計算這兩個直觀慨念進行符號化以后的形式系統。數理邏輯是數學基礎的一個不可缺少的組成部分。數理邏輯是離散數學的主要組成部分，也是現代科學理論的重要組成部分。現代的電子計算機大多是以散量為基數以數理邏輯的方法而運行的，數理邏輯對計算機技術的發展起到舉足輕重的作用，不僅如此，在日常生活中人們學習數理邏輯會對人們在生活中分析一些事物形成獨特見解。數理邏輯可以提高抽象思維和邏輯推理能力，為將來參與創新性的研究和開發工作打下結實基礎。
一階邏輯等值演算與推理，是數理邏輯的重要組成部分，在一階邏輯中引入了個體詞、謂詞和量詞的一階邏輯命題符號化的三個基本要素。這在數理邏輯前幾章的學習中都是未提到的，然而有了這些基本要素就把數理邏輯所研究的內容加以拓寬，思維的要求也有所提高。一些邏輯等值演算與推理也大大的增加了數理邏輯的推理方式，為數理邏輯在科學理論中的應用添上了濃墨重彩的一筆。對于一階邏輯等值演算是數理邏輯前幾章的延伸，也是前幾章的提高。一階邏輯為以后續課打下了各方面的條件，使得數理邏輯更加完美。
圖論是以圖為基本元素，而圖的定義是：人們常用點表示事物，用點與點之間是否有某種關系，這樣構成的圖形就是圖論中的圖。從這種定義可把數理邏輯的每一個章節的推理公式分為不同的點，而每一章就相當于圖論中的圖。數理邏輯的各章間的關系就是圖與圖之間的關系，形成圖論的基本要素。從點與點的緊密聯系，圖與圖之間的各項關系，可以看出離散數學是一門嚴謹的學科，雖然離散字面散而其內神不散。
參考文獻：屈婉玲、耿素云、張立昂編《離散數學》。
完成時間：2010年6月10日
第四篇：離散心得體會
離散數學心得體會
在學習離散數學之前，就聽學過的學長學姐說：“離散數學特別難，老師上課用Ppt，一學期下來感覺會像天書一般被邏輯推理、各種關系公式以及圖論徹底弄糊涂，但是這門課有特別重要尤其是對于計算機專業，所以要好好學習。”對于剛剛學過難懂的高數的我，心中很是沒有底氣學習這門學科，但是在這學期對于離散數學的學習之后，感覺與學長學姐所說的還是有相當大的差異。
離散數學本身對絕大多數學生來說是一門十分困難的課程，這個不可否認，但是通過這一學期的學習，我對這門課程有一些初步的了解，現在的心情和當初也很不相同。對于所有的學科而言都不會是很容易就能夠很輕松的學懂并掌握，因此難于不難也是因人而異的。這其中很大一部分決定性原因則是在于對于一門學科的努力程度與投入時間的相對比例，在離散數學中概念絕對性的多，也非常的抽象難以理解，所以不經過多次反復的練習與鞏固知識點，想在短時間內有飛速的提高是比非常還困難的。我認為離散數學的學習就應該按照預習聽課復習并多次回顧的流程學習的基礎上面，掌握一定的學習技巧和認真聽取老師講解時總結的方法，這樣腳踏實地，離散數學也一定會學好，這門對記憶力、理解力和能力高度挑戰的學科也自然會被更多的人喜愛。
通過這學期的學習，我對于離散數學的幾點小總結是，離散數學一定要帶著問題進行概念的學習和理解，這就有別于其他學科可以不預習直接聽課，也會達到一定的學習效果，但是離散數學其中的概念如果不事先進行預習熟悉，直接上課聽講，一定會被弄的暈頭轉向，猶如老虎吃天無從下口，自然不會達到認真聽講的作用，所以預習是必不可少的對于離散數學；就像數理邏輯這部分的抽象知識一樣，如果僅僅是上課聽一下老師的講解，然后置之不理，所學的知識點沒有幾天就會全部還給課本，這主要在于我們沒有掌握離散數學中一些概念定理的實質，因此我們應該在聽課的同時反復斟酌課本中的例子，再結合概念定理進行理解，這樣才會做到知識的深入理解和較長期的記憶；離散數學學習中也一定要積極思考問題，尤其是在老師停下課程，讓大家進行思考或者做練習時，這不僅說明這個知識點需要做更進一步的理解或者這個知識點的重要性，而更重要的是要鍛煉培養我們的課堂思維能力，因此我們一定要認真仔細的跟著老師的引導積極思考；溫故而知新，最后一定要有條理的進行定期總結回顧，這樣不僅可以復習前面學習過可能忘記的知識點，還可以做到新舊知識點的融合，能夠加深對于前面遺留問題的解決且為新知識的理解鋪路；另一方面，我覺的我們學生必須掌握離散數學這門課程的重點和難點，一門課程肯定有其重難點，只有明確了重難點，我們才能更好的掌握該門課程。這僅僅是我一學期以來學習離散數學的幾個屬于自己的小總結，但是我認為在業精于勤荒于嬉是永遠的真諦的同時，我們更應該加強現在學科方法的總結與思考里的鍛煉。
我認為對于離散數學的學時確實有點少，高數課程一周要學習三節課，然而學習難度更勝一籌的離散數學卻一周僅有兩節課，大量的新知識點在有限的時間內全部拋出，讓本來就對離散數學感覺恐慌的同學更加無法接受，自然學習的效果會有所降低，教學的目的在一定程度上面也不會達到。總之，這樣相對較少的學時安排繁重的教與學的任務，不僅使老師增加授課壓力，也使大多數同學們感覺學習離散數學的挑戰性更大，也更加害怕學習，但是離散數學作為一門很重要的學科，如果學習不好，會對以后其他學科的學習造成一些隱性的阻礙。
對于我們的教材選用，我認為還是非常的好，但有點小問題就是例題太少，這也可能會減少授課時的學時，但對于部分難理解的章節，還是希望有更多的例題作為大家學習的引導，這樣對于大家的課前預習與下課后的自主學習可能會好點，然后結合后面的作業題，大家反復練習可能會更容易理解與學習。
張老師手寫板書為主、電子教案為輔的教學方式非常適用于離散數學這門課。在上了這學期的課之后，再重新與學長學姐的話進行對比，我認為像離散數學這門概念既多又抽象的學科，采取這種的教學方式，大家都更加容易理解知識點，能夠更的上老師的講課節奏、有思考的時間，更容易讓大家產生學習興趣。離散數學是我們計算機學科的一門很重要的專業基礎課程,它在計算機科學中有著廣泛的應用。面對學習離散數學概念較多，理論性強，定義、定理比較多,一時難以理解和記憶,不過張老師總能用容易能使學生接受的定義方式,對不同的定義、定理找出它們之間的相互聯系，便于我們理解。興趣是學習之母,學習任何一門科學,都需要有興趣。有了興趣,自然也就有了動力。張老師的教學，讓我們在學習的同時也培養了我們的學習興趣，有利于我們更好的理解概念定理。另外，離散數學概念繁雜，學起來難免有些枯燥，張老師也適當穿插介紹一些知識點在計算機學科專業中的應用,具有非常大的啟發性。可以讓我們了解離散數學的實際應用，增加學習興趣。學習好一門課要老師和學生的配合，老師可以多多了解我們的學習狀況，多多互動，活躍課堂氣氛，有利于我們更好的相關知識定理。總之，學好離散數學課要雙方的努力，更要雙方的配合。張老師這次讓全班同學都寫建議，就是一個很好的互動，相信以后學習離散數學課的同學們會感覺到更加精彩的離散數學教學方式。
在這學期學習了離散數學這門課程，對于一個愛好數學的我來說，我是非常受益的。同時，離散數學作為一門與計算機學科相關的專業基礎課，對我學專業知識也有很大的幫助。學習離散數學，可以培養我們的邏輯思維方式，對于我們學習計算機方向的學生來說是非常有用的。尤其是在計算機編程方面對邏輯思維就有一定的要求。離散數學這門課程，是一門比較難學的課程，它有太多的概念、定義，需要我們有很好的記憶力，但是要完全記住這么多的概念、定義是非常困難的。所以說我們在有好的記憶力之外，還要運用理解記憶的方法來解決，這樣我們就不必花費過多的時間和精力去記憶這么多的概念和定義了。離散數學作為一門理科學科，在我看來最好的學習方法就是多動手、多做題，在做題得過程中，慢慢積累做題得經驗，同時也可以對概念和定義有一個更深層次的理解。學習各個學科都有其各自的學習方法與思維方式，只有運用對了學習方法才能更好的學習這門課程。學習一門課程都是為了解決實際問題，學習離散數學也不例外。學通了一門課程才能在解決問題的時候不會走彎路。離散數學是一門比較難學的課程，在學習的過程中，也肯定會遇到許多的問題，但是通過反復的理解概念及做練習題和與其他同學的交流，最后還是會解決這些問題。學習離散數學的過程中，也有許多的樂趣。但在輕松學習的過程中，還得從中學到東西，學到道理。我在學習這門課程之后，對我的專業知識方面有了很大的幫助，讓我的思維有了進一步的發散，使我在其他的學科中受益匪淺。
總之，通過這學期張老師講解的離散數學課程，使我思考抽象問題的思維方式又得到了鍛煉，能力有所提高，而且為以后專業課程的學習打下了良好的基礎，最后非常感謝張老師這一學期的辛勤教學。
第五篇：離散數學試題
中央電大離散數學試題
月
一、單項選擇題（每小題3分，本題共15分）
1．若集合A={1，{2}，{1，2}}，則下列表述正確的是()．
A．2?AB．{1}?A
C．1?AD．2 ? A
2．已知一棵無向樹T中有8個頂點，4度、3度、2度的分支點各一個，T的樹葉數為
()．
A．6B．4C．3D．
53．設無向圖G的鄰接矩陣為
?01111??10011????10000???11001????11010??
則G的邊數為()．
A．1B．7C．6D．14 4．設集合A={a}，則A的冪集為()．
A．{{a}}B．{a，{a}}
C．{?，{a}}D．{?，a}
5．下列公式中()為永真式．
A．?A??B ? ?A??BB．?A??B ? ?(A?B)
C．?A??B ? A?BD．?A??B ? ?(A?B)
二、填空題（每小題3分，本題共15分）
6．命題公式P??P的真值是
7．若無向樹T有5個結點，則T的邊數為．
8．設正則m叉樹的樹葉數為t，分支數為i，則(m-1)i
9．設集合A={1，2}上的關系R＝{<1, 1>,<1, 2>}，則在R中僅需加一個元素，就可使新得到的關系為對稱的．
10．(?x)(A(x)→B(x，z)∨C(y))中的自由變元有．
三、邏輯公式翻譯（每小題6分，本題共12分）
11．將語句“今天上課．”翻譯成命題公式．
12．將語句“他去操場鍛煉，僅當他有時間．”翻譯成命題公式．
四、判斷說明題（每小題7分，本題共14分）
判斷下列各題正誤，并說明理由．
13．設集合A={1，2}，B={3，4}，從A到B的關系為f={<1, 3>}，則f是A到B的函數．
14．設G是一個有4個結點10條邊的連通圖，則G為平面圖．
五．計算題（每小題12分，本題共36分）
15．試求出（P∨Q）→（R∨Q）的析取范式．
16．設A={{1}, 1, 2}，B={ 1, {2}}，試計算
（1）（A∩B）（2）（A∪B）（3）A ?（A∩B）．
17．圖G=
（1）畫出G的圖形；
（2）寫出G的鄰接矩陣；
（3）求出G權最小的生成樹及其權值．
六、證明題（本題共8分）
18．試證明：若R與S是集合A上的自反關系，則R∩S也是集合A上的自反關系．
中央電大2010年7月離散數學
試題解答
(供參考)
一、單項選擇題（每小題3分，本題共15分）
1．B2．D3．B4．C5．B
二、填空題（每小題3分，本題共15分）
6．假（或F，或0）
7．48．t-
19． <2, 1>
10．z，y
三、邏輯公式翻譯（每小題6分，本題共12分）
11．設P：今天上課，（2分）則命題公式為：P．（6分）
12．設 P：他去操場鍛煉，Q：他有時間，（2分）則命題公式為：P ?Q．（6分）
四、判斷說明題（每小題7分，本題共14分）
13．錯誤．（3分）因為A中元素2沒有B中元素與之對應，故f不是A到B的函數．（7分）
14．錯誤．（3分）不滿足“設G是一個有v個結點e條邊的連通簡單平面圖，若v≥3，則e≤3v-6．”（7分）
五．計算題（每小題12分，本題共36分）
15．（P∨Q）→（R∨Q）? ┐(P∨Q)∨（R∨Q）（4分）
?(┐P∧┐Q)∨（R∨Q）（8分）
?(┐P∧┐Q)∨R∨Q（析取范式）（12分）
16．（1）（A∩B）={1}（4分）
（2）（A∪B）={1, 2, {1}, {2}}（8分）
（3）A?（A∩B）={{1}, 1, 2}（12分）
17．（1）G的圖形表示如圖一所示：ad1
5b c（3分）圖一
（2）鄰接矩陣：
?0?1?10111?1??（6分）??1101?
?1110??
（3）最小的生成樹如圖二中的粗線所示：
a 3d5
b圖二1c
權為：1+1+3=5
六、證明題（本題共8分）
18．證明：設?x?A，因為R自反，所以x R x，即< x, x>?R；
又因為S自反，所以x R x，即< x, x >?S．即< x, x>?R∩S故R∩S自反．
10分）12分）（4分）（6分）（8分）（（
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