第一篇：數學方法歸納

高等數學部分

第一章 極限、連續與求極限

極限概念：

基本性質：極限的不等式性質，局部有界，極限保號定理（在證明題中時常用到）；兩個重要極限。

極限存在的判別：可用兩個準則（夾逼準則和單調有界數列必收斂定理）；雙側極限（左右極限相等）

證明極限不存在：在其定義域內取特殊值法

無窮小的概念及其應用：無窮小與極限的關系（可對難求的極限進行轉換）；高階無窮小、低階無窮小、等級無窮小、同階無窮小、k階無窮小的概念；牢記常見的等價無窮小替換；熟悉無窮小重要性質；無窮小確定方法（等價無窮小、洛必達法則、泰勒公式、無窮小的運算性質）

求極限的方法：

利用連續函數，利用函數極限求數列極限，利用導數定義求極限，分別求左右極限。（以下重點掌握）利用冪指數和極限的四則運算，變量代換為兩個重要極限，等價無窮小，洛必達法則，夾逼準則（放縮法），遞歸數列求極限（實際應用單調有界數列必收斂定理），定積分在定義的應用（有兩種形式，可先用放縮法再用定積分定義），泰勒公式（記住幾種常用泰勒公式）。

求極限首先看清楚是什么型的極限，如0*無窮、無窮減無窮等，都化為0/0型或無窮比無窮型。之后考慮化簡（重點要先化簡）再運算。如指數形式的極限一般先用指數換底公式后轉換為0/0型或無窮比無窮型再進行運算。對于含有積分限的極限，先化簡，再化為0/0型或無窮比無窮型，再用洛必達法則去掉積分號。

（總之求極限顯審題再化簡最后應用求極限方法）

化簡方法：

換元法、放縮法、分子或分母有理化、通分、同時除以一個x變為分數后再換元、提出公因式、因式分解、常見的幾個數列求和公式、對數的四則運算、三角函數公式（二倍角、和差化積、萬能公式等）、含有積分的可以應用分部積分來化簡。

由極限確定參數：

一般用到等價無窮小，；洛必達法則，泰勒公式。

函數連續和間斷的判別：

函數連續：初等函數在其定義域內的都連續。

連續性運算法則（由初等函數復合）

判斷函數在x0點的左右極限是否等于該點函數值。（應用該判定可以求出函數中

含有的參數）

判斷函數的間斷點：

第一類間斷點：可去間斷點，跳躍間斷點等（左右極限存在）

第二類間斷點：除去第一類間斷點外都為第二類間斷點

連續函數的性質：（證明題）

連續函數的局部性質

連續函數零點定理（零點定理的應用1，閉區間上2，開區間上（邊界點有定義，補充定義后用零點定理）3，開區間上（邊界點沒有定義，在邊界點處求左右極限判斷兩個邊界點是否異號，如果異號可用零點定理）

連續函數介值定理（減去一個常數可轉化為零點定理問題來解決，即構造函數）

連續函數零點和介值定理都可以和微分中值定理和泰勒公式聯合起來求含有一階二階導數和高階導數的恒等式。

連續函數在閉區間上有界及連續函數在閉區間有最大最小值（可和泰勒公式和洛必達法則，微分中值定理聯系來證明不等式）

方程的根的個數（構造函數后應用零點定理）

應用反證法來證明恒等式成立

第二章一元函數的導數與微分概念及其計算

導數和微分：

導數：導數定義

導數應用：當求導法則失效時候可以用導數定義求導數

左右導數：函數f（x）的左右導數x0存在且相等則函數f（x）的在x0處可導。一階導數和二階導數的幾何意義和物理意義

微分：微分定義

微分應用 ：函數f（x）在x=x0出的微分是該函數在x=x0處函數增量的線性主要部分（其幾何意義）

導數的奇偶性：f（x）在I上可導，若f（x）在I上位奇（偶）函數，則f（x）在I上為偶（奇）函數。

導數的周期性：f（x）在x上可導，并以T為周期，則f（x）在x上也以T為周期。兩個函數復合的可到性判斷：設F（x）=g（x）*f（x），f（x）在x=a連續，但不可導，有g（x）在x=a處可導，則g（a）=0是F（x）在x=a可導的充要條件。

函數的定義應用范圍：

按定義求導數（求導法則不能用、分段函數求導）、利用導數定義求極限。

函數的求導法則：

基本初等函數求導公式、導數四則運算、復合函數求導（冪函數、反函數、隱函數、參數方程、變限積分）、分段函數求導（三種形式）（方法一：按求導法則分別求連接點出的左右導數；方法二：按定義求連接點出的導數或左右導數；方法三：連接點是連續點時，求導函數在連接點處的極限值）。

函數的求導方法：

冪函數求導（先用換底公式或兩邊取對數）變限積分求導（先用換元法變換積分限）（先化簡再求導可以使運算簡便）

重要題型：變換求導方程，使x自變量、y因變量變換為y自變量、x因變量

高階導數和n階導數的求法：

歸納法求得的幾個常見的函數高階求導公式（最好牢記）

分解有理函數、無理函數或三角函數化為幾個常見的函數高階求導公式；牛頓萊布尼茲公式；泰勒公式。

一元函數微分學的應用：

幾何應用：求顯示方程、參數方程、極坐標方程、隱函數方程的平面切線。

物理應用：棒的密度、導向線內電流強度、求物體在T溫度下的比熱、、功率。

第二篇：數學方法

高考數學解題思想一：函數與方程思想

函數思想是指運用運動變化的觀點，分析和研究數學中的數量關系，通過建立函數關系(或構造函數)運用函數的圖像和性質去分析問題、轉化問題和解決問題;方程思想，是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題轉化為方程(方程組)或不等式模型(方程、不等式等)去解決問題。利用轉化思想我們還可進行函數與方程間的相互轉化。

高考數學解題思想二：數形結合思想

中學數學研究的對象可分為兩大部分，一部分是數，一部分是形，但數與形是有聯系的，這個聯系稱之為數形結合或形數結合。它既是尋找問題解決切入點的“法寶”，又是優化解題途徑的“良方”，因此我們在解答數學題時，能畫圖的盡量畫出圖形，以利于正確地理解題意、快速地解決問題。

高考數學解題思想三：特殊與一般的思想

用這種思想解選擇題有時特別有效，這是因為一個命題在普遍意義上成立時，在其特殊情況下也必然成立，根據這一點，我們可以直接確定選擇題中的正確選項。不僅如此，用這種思想方法去探求主觀題的求解策略，也同樣精彩。

高考數學解題思想四：極限思想解題步驟

極限思想解決問題的一般步驟為：(1)對于所求的未知量，先設法構思一個與它有關的變量;(2)確認這變量通過無限過程的結果就是所求的未知量;(3)構造函數(數列)并利用極限計算法則得出結果或利用圖形的極限位置直接計算結果。

高考數學解題思想五：分類討論思想

我們常常會遇到這樣一種情況，解到某一步之后，不能再以統一的方法、統一的式子繼續進行下去，這是因為被研究的對象包含了多種情況，這就需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合歸納得解，這就是分類討論。引起分類討論的原因很多，數學概念本身具有多種情形，數學運算法則、某些定理、公式的限制，圖形位置的不確定性，變化等均可能引起分類討論。在分類討論解題時，要做到標準統一，不重不漏。

第三篇：考研數學方法

本人關注了其他人講的復習經驗以及不少人關于陳文燈和李永樂的書大辯論，現希望寫一篇文章在把其中部分觀點糾正、升華一下。歸納為幾個問題。

一、去個陌生的地方要先看地圖。

考研科目比較多，時間比較緊。任何復習都要付出成本的，因為時間就是你最大的成本。有人說做上萬道題甚至更多，數學應該就能考好。這個問題也許是正確的，即使題海戰術也有它的特殊優勢。但你要知道，考研考的不只是看你的數學成績，你的復習還要包括其他幾科，你追求的應該是綜合的提高，也就是一個整體觀念，是一個協調過程。所以既然在有限的時間約束條件下求得復習的條件極值，就必須要找準你的方向，少走彎路，花的時間都應該是“值得”的時間。那么做什么題目才能代表正確的方向呢？我認為是歷年真題，尤其是近幾年的真題。也就是，只有先和歷年真題“過招”之后，你才能有個正確的方向感，在以后的的大量做題中，包括對做什么樣的模擬題的選擇當中，才能心里有數，才能知道哪些題是好題，要多做幾遍，哪些題確實技巧性太強，有些偏了。

有種觀點就是歷年真題要放到最后才去做以檢查自己復習的情況。這種觀點對于數學基礎超級好的人也許適用，但對于大多數基礎一般或者說不好的人，又是第一次接觸考研數學的人來說，也許并不合適。道理很明顯，做個形象的比喻：如果讓你去個陌生的地方，你是先看地圖再按照地圖指引的方向再去找地方好呢？還是直接就去走，然后走走發現不對，再去看地圖，不斷糾正自己的方向好呢？顯然前者要比后者明智一些，就算采取兩種辦法的人通過努力得的分數是一樣的，那前者花的時間可能也要比后者少，無疑在其他科目中獲得了相對的時間優勢。這里呢，我們假設把數學基礎好的比作一個熟悉路的人，由于他很熟悉，即使走錯了，也不會錯太多，也能馬上糾正方向，就算方向最后不對，也許靠他的數學底子也能夠考的很好，但對于一般數學基礎不好的呢？就沒這個時間了。

二、好多數學方法和思想都來源于教材。

對于教材的作用，好多人只是理解在是打基礎的層面上，其實還一個層面就是，教材體現了很強的數學思想。其實好多人覺得教材只能給他們提供基礎，然后真正的數學方法和思想要靠看輔導書來學到。其實也不然。這里我想說的就是教材里定理和推論的證明，好多人也許并不太關注這些，然后又老說自己證明題老做不好。其實教材里面的定理和推論的證明體現了很強的數學方法和思想，而且實用性很強。

第一，教材里的證明很能加深你對定理理解的精度和準確度。好多人對于定理和推論理解的失誤，并非源于他們的記憶和理解能力。而是不熟悉這個定理是怎么來的，有什么假設條件。熟悉定理和推論的證明過程有助于更好的理解定理的條件，適用性和準確性。比如說，函數極限有個性質叫保號性，好多人隨口就說，極限大于0，f(x)就大于0，而往往忘記這只是在自變量趨于某個數的過程中某個鄰域內才成立的，所以在用到保號性的時候，不說鄰域的概念就是對這個性質的誤解，考試的時候就有可能丟步驟分。而如果很熟悉這個定理的證明，就會對這些性質的精確度了如指掌了，所以可以看到，加深對定理證明的理解也有助于加強我們數學表達的嚴謹性，這樣可以少丟點步驟分。

第二，定理的證明本身有助于加強一些數學概念的進一步理解。有些定理的證明很簡單，但有些定理的證明卻是很長的一大串，在一大串中用到了很多的數學概念，這些概念有時我們平時可能理解的不透，通過這些證明過程就更能加深對概念的理解和運用。

第三，證明的方法值得回味。好多定理的證明都體現了一定的數學思想，包括好多證明的思想和方法直接體現在好多我們做過的題目中，包括一些歷年真題中的題目。所以呢，先不要抱怨自己證明題不會做，也別老抱怨自己缺乏數學思想，先把書上的定理先證一遍再說！

這里我再舉個例子來說明一下，我記得98年數學一有一道證明題，第一小問好像是。那道題是道中值的證明題，證那個中值是在開區間取得到的，那道題出的特別好，好就好在用零點定理也能“摸索”出來，能“摸索”出來兩端的函數值相乘小于等于0，于是好多人就興奮的就用零點定理證了。結果一分沒拿到。理由就在對定理的精確性的理解，函數兩端的函數值只有小于0，中值才能在開區間取到，而題目的條件只能推出函數值乘積小于等于0，那么這個中值就有可能在閉區間取到而不是開區間了。所以那道題只能用微分中值定理來證了。而且證起來也不是特復

雜。說這道題特別好，就好在這道題你說難也不難，就看你對定理的理解的精確度，理解準了就能拿分，理解不準就拿不到分，所以就很巧妙的把這兩類考生給區分開了。區分的是他們的基礎，而并非區分他們的數學技巧。

三、復習用書大辯論的升華。

我主要談談關于陳文燈的書和李永樂的書的看法。論壇上的回答我也看了，總結起來就一句話：基礎好的看陳文燈的，基礎不好的看李永樂的。我覺得這個回答太籠統了。因為沒有回答清楚什么叫基礎好的，什么叫基礎不好的。那么我現在就再給大家做一個明確的闡釋。

適用做陳文燈的復習指南的人群應該是：基本概念，基本定理理解透澈精確并運用熟練的、對數學有興趣的、對數學思考方式和思維方式有一定訓練的、善于分析，刨根問底的、有很強的分析數學問題能力的。這類人做陳文燈的復習指南提高會很迅速。

適用做李永樂的復習全書的人群應該是：基本概念，基本定理理解透澈精確并運用熟練的、重視基本概念，基本定理，基本題型理解的、對技巧性很強的偏題有一定的厭煩或抵觸或懼怕情緒的、希望始終保持正確方向的、對考研數學了解甚少的、大學學習中數學學的比較少的包括所學的專業很少運用數學知識和方法的、穩中求勝的。這類人用李永樂的復習全書可以達到迅速找準方向，迅速提高的效果。所以由此可見，大家說李永樂的書適用性很強，適合面比較廣，也是有一定道理的。

這兩本書的特點和提高模式也是不一樣的，下面我來談談。

陳文燈的復習指南：數學思想體現的很強，好多題目部分來源于大學數學競賽的題目，歷年真題不太多。所以真正能用好陳文燈書的絕不是“不管三七二十一”的那么套，而是吃透技巧背后數學思想的。沒這個本事，那么你也就沒法真正理解陳文燈書的精華。只能去套了.本人的看法是，學數學并非靠套，套是很有風險的。比如說陳文燈書上的定積分那塊內容，好多都是這樣，比如說書上給了好多方法：遇到這樣的函數就用這樣的代換來變換積分區間和積分表達式，的確底下的例題也是那么做出來的，那是因為他給的例題必須為他所給的方法服務的，所以肯定那么做能算出來。但并非是所有題目都這樣代換才能出來的。真正的理解應該是去分析做

這樣的代換到底能起到什么作用，為什么想到這樣的代換。所以說，沒點數學分析能力的人是無法理解這些精華內容的。所以陳教授也曾說過，那本復習指南寫的很深，但吃透了，數學肯定是大幅度提高。我現在特別同意這句話，好多人就是按照陳文燈給的方法好好去吃透而不是盲目記憶而成功的。那些看他的書考很高分數的，我覺得絕大多數不是套出來的，而是真正理解了陳文燈寫的書里面的數學思想精華的。所以，對于很想拿特別高的分數，又有很強的分析能力和數學思維的人，做陳文燈的書提高就不只是提高一點，也許是大幅度地從方法到思想的全面提高。但如果你只會套的話，不能說你就提高不了，只是你自己會很緩慢的提高，且提高的質量不如數學基礎好的人。

李永樂的復習全書：我的印象就是一個字：穩。概念、定理、公式解釋的清楚，題目多來源于歷年真題，方向感很明確，體現的數學方法和思想都是直接和考研數學相關的方法，實用性極強，對考試的指導意義很大。題目數量合理，難易適度，避開了偏怪題的討論，直接指向考研數學最常見方法的討論。對于剛才我所定義的基礎不好的人來說，可以迅速進入考研數學的復習模式和狀態，由于現在的考研數學很重視基礎能力和基本功的考查，所以李永樂的復習全書所帶來的復習效果我認為效率會更高。所以對于一個基礎不太好的人來說，陳文燈的復習指南是螺旋式全方位提高，李永樂的復習全書則就是快速的迅速提高。如果對一個想考一個很不錯分數但并非超級高的分數（135以上）的人來說，做李永樂的書也就夠了。而對于數學必須135以上的人來說，也許陳文燈的復習指南帶給你的數學思想和思考數學問題的方式更能給你帶來數學考高分的“靈感”。

還一個問題我要強調的是，任何輔導書都要自己做，遍數越多，理解越透，但不要遍數太多，太多了有時候后幾遍的邊際效果就不太明顯了。我剛才說的所謂基礎好的，和基礎不好的，前提條件都是看完教材，對于概念定理公式熟練掌握的，然后我才做的界定。所以對于基礎好的就是看遍教材，基礎不好的就是還沒看教材的這種界定還不是很科學的。你沒看教材直接看李永樂的復習全書仍然會出現有的地方很模糊，理解起來很困難，影響了你的提高質量。就算看遍教材，概念定理公式也很熟，你也未必能被歸到剛才我定義的那種基礎好的行列。所以科學定位自己，是選擇復習模式的關鍵。

好了，今天就談到這，以上的討論都是基礎強化階段的一些討論，供大家參考。到了沖刺階段，我還會給大家一些沖刺階段的建議的。

第四篇：培養孩子學數學方法

培養孩子學數學方法

一、學習數學的意義

二、如何學好數學

1、關注解決問題的方法和過程。

2、鼓勵孩子們說出自己的想法。

3、培養孩子善于傾聽。

4、鼓勵質疑和標新立異。

5、培養孩子善于找規律，總結歸納，遷移類推，舉一反三。

① 在數學知識的發生發展中去經歷這一過程。

② 要做一定量的練習，接觸各類題目，開闊視野。

③ 使孩子對數學產生并且保持興趣。

三、幾個家庭教育的問題

1、如何糾正孩子的學習態度。

孩子為什么會馬虎，怎樣糾正孩子馬虎的毛病呢？

① 端正孩子的學習態度，提高學習興趣，增強責任感。

②平時要注意培養孩子認真細致的好習慣。

③ 培養孩子自檢的能力和習慣。

④ 還要以表揚、鼓勵為主，調動孩子克服毛病的積極性。

2、孩子計算能力差怎么辦？

① 讓孩子去買東西是學習數學的捷徑。

② 培養孩子計算能力的游戲。

（1）加法游戲

（2）擲骰游戲

（3）合成分解游戲

（4）撲克計算游戲

3、有關家庭作業的10個建議

① 與老師保持聯系，了解孩子家庭作業的數量，以及孩子所交作業的質量。

② 設置一張時間表包括開始和結束的時間。不要把時間安排在快要上床的時間，因為這時孩子可能已經困倦了。周末的作業最好安排在星期六，不要等到周日的晚上再著急寫。③ 鼓勵你的孩子把家庭作業分成“我自己可以獨立完成的”，和“我需要幫助的”。家長應該只幫助做好孩子不能獨立做的那部分例如聽寫等。這是在培養孩子的責任心和獨立性。④ 給孩子定個規矩，在完成作業之前，不容許看電視或玩耍。

⑤ 為孩子提供一個好的學習環境，比如光線明亮，環境安靜無噪音，有利孩子集中注意力，也有利孩子的眼睛衛生。

⑥ 孩子完成作業好的表現及時表揚，注意表揚要具體、直接。比如，說“聽寫20個生詞，你答對了19個，比昨天有進步了。”

⑦ 當你的孩子正在做家庭作業時，家長最好離開這個房間，讓孩子獨處，不要給孩子造成有機會依賴家長，什么都問，要讓他獨立思考。

⑧ 當孩子的作業寫完了，不要輕易給孩子改正錯誤，那樣不會讓他有深刻的印象。讓孩子自己檢查，如果錯了自己負責。另外也可以根據作業的情況了解孩子的學習情況。⑨ 可以幫助孩子組織一個學習小組，兩、三個同學一起學習，有利孩子的進步。⑩ 允許孩子在寫作業的過程中有片刻的休息時間，喝喝水，上個廁所什么的。

第五篇：學好中學數學方法

如何學好中學數學

數學語言是體現數學思想特征的專用語言, 是構建數學宏大體系的材料, 要學好數學, 讀懂數學書, 正確理解數學概念, 準確解答數學習題, 必須正確理解和使用數學語言。那么, 學好數學語言要注意哪些問題呢？

一、要注意推敲數學語句中的附加成分、關鍵詞、關聯詞的含義。

二、要掌握文字語言、符號語言、圖形語言的互譯。

很多學生都有這樣一種體會, 對數學定義、定理、公式、法則已經記得, 似乎也理解了, 可是一提起筆來做題, 又感到茫然, 不知從何下手。出現這種現象, 究其原因還是沒有真正理解定義、定理、公式、法則的本質。數學的定義、定理、公式、法則是數學知識體系的框架, 是解題的基礎, 是推理的依據, 要真正理解其精髓, 一般說來必須抓好學習中的五個環節。

1、弄清知識的來龍去脈。

任何新知識都不會是無本之木, 它總是在舊有的知識和生產、生活實踐中產生、發展、概括而來的, 因此在學習新的定義、定理、公式、法則時一定要弄清知識產生的實際背景和知識的來龍去脈, 這對加深知識本質的理解有十分重要的意義。

2、逐字、逐句, 分層推敲的文字表述。

數學語言具有精練、抽象、嚴密的特點, 因此, 在學習定義、法則、定理時需完整、準確地理解其表述的內容, 這就必須對其文字進行逐

一、仔細的推敲。

3、掌握本質特征, 注意限制條件。

數學定義、定理、法則、公式是相關數學知識本質屬性的概括。理解時要注意去偽求真, 找出其本質屬性, 排除非本質因素的干擾。

4、通過聯系, 對比進行辨析。

在數學知識中有不少是由同一基本概念和方法引申出來的種屬及其他相關知識, 或看來相同, 實質不同的知識,學習這類知識的主要方法, 是用找聯系, 抓對比進行辨析。如直線、射線、線段這一些概念, 它們既有聯系又有區別。

5、在應用中加深理解。

數學知識的應用往往要涉及到多個知識點, 是在更復雜的背景下查找我們對數學知識更深層次的理解。（南京家教網）