第一篇：和與差的對(duì)數(shù)公式的推導(dǎo)證明(公式編輯版)

和與差的對(duì)數(shù)公式的推導(dǎo)證明 張先勝

重慶市合川區(qū)農(nóng)委，重慶市合川區(qū)（401520）

E-mail ：hcnw631@163.com

摘要：本文推導(dǎo)證明了和與差的對(duì)數(shù)公式，豐富了對(duì)數(shù)公式體系。

關(guān)鍵詞：和差對(duì)數(shù)公式

中圖分類號(hào)：O122.6

1.引 言

對(duì)數(shù)產(chǎn)生于十七世紀(jì)前二十五年。對(duì)數(shù)方法是蘇格蘭的皮納爾獨(dú)立決發(fā)現(xiàn)的，在其對(duì)數(shù)專著《奇妙的對(duì)數(shù)表的描述》中闡明了對(duì)數(shù)原理，布里格斯繼承納皮爾的未竟事業(yè)，發(fā)表了《奇妙對(duì)數(shù)規(guī)則的結(jié)構(gòu)》詳細(xì)闡述了對(duì)數(shù)計(jì)算和造對(duì)數(shù)表的方法。十八世紀(jì)，歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對(duì)數(shù)的本質(zhì)聯(lián)系。

經(jīng)典對(duì)數(shù)理論已發(fā)現(xiàn)系列對(duì)數(shù)公式，冪積商等對(duì)數(shù)公式發(fā)現(xiàn)已久，但沒有查詢到和與差的對(duì)數(shù)公式。本文運(yùn)用對(duì)數(shù)理論，推導(dǎo)證明了和與差的對(duì)數(shù)公式。

2.和的對(duì)數(shù)公式推導(dǎo)證明 設(shè)logaM?p，logaN?q，(a>0,a≠1)，由對(duì)數(shù)的定義得

M?aPN?aq

則

M?N?ap?aq，那么

loga(M?N)?loga(ap?aq)

根據(jù)

所以 a?axlogaax

loga(M?N)?loga(ap?aq)

?loga(alogaap?alogaaq)

將M?ap，N?aq代入，得

loga(M?N)?loga(ap?aq)

?loga(alogaap?alogaaq)

logaMlogaN?log(a?a)a

即分別用M、N的以a為底對(duì)數(shù)——logaM、logaN表示M與N的和(M+N)以a為底的對(duì)數(shù)。

3．差的對(duì)數(shù)公式推導(dǎo)證明 設(shè)logaM?p，logaN?q，(a>0,a≠1)，由對(duì)數(shù)的定義得

M?aPN?aq

則

M?N?ap?aq，那么

loga(M?N)?loga(ap?aq)

根據(jù)

a

所以

loga(M?N)?loga(ap?aq)x?alogaax

?loga(alogaa

p?alogaaq)將M?apN?aq代入，得

loga(M?N)?loga(ap?aq)

?loga(alogaap?alogaaq)

logaMlogaN?log(a?a)a

即分別用M、N的以a為底對(duì)數(shù)——logaM、logaN表示M與N的差(M-N)以a為底的對(duì)數(shù)。

4．結(jié)論 綜上所述，除存在冪積商等對(duì)數(shù)公式外，也存在和與差的對(duì)數(shù)公式。

（1）和的對(duì)數(shù)公式

loga(M?N)?loga(alogaM?alogaN)

（2）差的對(duì)數(shù)公式

loga(M?N)?loga(alogaM?alogaN)

參考文獻(xiàn)

[1]數(shù)學(xué)手冊(cè)。

[2] 百度百科。

作者簡(jiǎn)介: 張先勝，男，籍貫重慶市合川區(qū)，一九八五年四川農(nóng)業(yè)大學(xué)畢業(yè)，科學(xué)愛好者。通訊地址：重慶市合川區(qū)南津街南園路35號(hào)合川農(nóng)業(yè)委員會(huì)

郵編：401520

工作單位：重慶市合川區(qū)農(nóng)業(yè)委員會(huì)

第二篇：公式及證明

初中數(shù)學(xué)幾何定理

1。同角（或等角）的余角相等。2。對(duì)頂角相等。3。三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和。4。在同一平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線是平行線。

5。同位角相等，兩直線平行。6。等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合。7。直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。

8。在角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等。及其逆定理。

9。夾在兩條平行線間的平行線段相等。夾在兩條平行線間的垂線段相等。

10。一組對(duì)邊平行且相等、或兩組對(duì)邊分別相等、或?qū)蔷€互相平分的四邊形是平行四邊形。

11。有三個(gè)角是直角的四邊形、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。

12。菱形性質(zhì)：四條邊相等、對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。

13。正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊相等。兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。

14。在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個(gè)弦心距中有一對(duì)相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各對(duì)量都相等。15。垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)弧。平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧。16。直角三角形被斜邊上的高線分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。

17。相似三角形對(duì)應(yīng)高線的比，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。相似三角形面積的比等于相似比的平方。

18．圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角。

19。切線的判定定理 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

20。切線的性質(zhì)定理①經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)。②圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。③經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。

21。切線長(zhǎng)定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等。連結(jié)圓外一點(diǎn)和圓心的直線，平分從這點(diǎn)向圓所作的兩條切線所夾的角。

22。弦切角定理 弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角。

23。相交弦定理； 切割線定理； 割線定理；

初中數(shù)學(xué)幾何一般證題途徑：證明兩線段相等

1.兩全等三角形中對(duì)應(yīng)邊相等 2.同一三角形中等角對(duì)等邊

3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊

4.平行四邊形的對(duì)邊或?qū)蔷€被交點(diǎn)分成的兩段相等

5.直角三角形斜邊的中點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離相等

6.線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩段距離相等

7.角平分線上任一點(diǎn)到角的兩邊距離相等

8.過三角形一邊的中點(diǎn)且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等

9.同圓（或等圓）中等弧所對(duì)的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對(duì)的弦相等

10.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線的切線長(zhǎng)相等或圓內(nèi)垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等

11.兩前項(xiàng)（或兩后項(xiàng)）相等的比例式中的兩后項(xiàng)（或兩前項(xiàng)）相等

12.兩圓的內(nèi)（外）公切線的長(zhǎng)相等 13.等于同一線段的兩條線段相等

證明兩個(gè)角相等

1.兩全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等 2.同一三角形中等邊對(duì)等角

3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角

4.兩條平行線的同位角、內(nèi)錯(cuò)角或平行四邊形的對(duì)角相等

5.同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等 6.同圓（或等圓）中，等弦（或同弧）所對(duì)的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角

7.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角

8.相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等 9.圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角

10.等于同一角的兩個(gè)角相等

證明兩直線平行

1.垂直于同一直線的各直線平行 2.同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩直線平行

3.平行四邊形的對(duì)邊平行 4.三角形的中位線平行于第三邊

5.梯形的中位線平行于兩底 6.平行于同一直線的兩直線平行 7.一條直線截三角形的兩邊（或延長(zhǎng)線）所得的線段對(duì)應(yīng)成比例，則這條直線平等行于第三邊

證明兩條直線互相垂直

1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊

2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對(duì)的角是直角

3.在一個(gè)三角形中，若有兩個(gè)角互余，則第三個(gè)角是直角

4.鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直 5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條

6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直

7.利用到一線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上

8.利用勾股定理的逆定理 9.利用菱形的對(duì)角線互相垂直

10.在圓中平分弦（或弧）的直徑垂直于弦 11.利用半圓上的圓周角是直角

證明線段的和差倍分

1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等

2.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段

3.延長(zhǎng)短線段為其二倍，再證明它與較長(zhǎng)的線段相等

4.取長(zhǎng)線段的中點(diǎn)，再證其一半等于短線段

5.利用一些定理（三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質(zhì)等）

證明角的和差倍分

1.與證明線段的和、差、倍、分思路相同 2.利用角平分線的定義

3.三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和

證明線段不等

1.同一三角形中，大角對(duì)大邊 2.垂線段最短

3.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊

4.在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大

5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小 6.全量大于它的任何一部分

證明兩角的不等

1.同一三角形中，大邊對(duì)大角 2.三角形的外角大于和它不相鄰的任一內(nèi)角

3.在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大

4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大 5.全量大于它的任何一部分

證明比例式或等積式

1.利用相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例 2.利用內(nèi)外角平分線定理

3.平行線截線段成比例 4.直角三角形中的比例中項(xiàng)定理即射影定理

5.與圓有關(guān)的比例定理：相交弦定理、切割線定理及其推論

6.利用比利式或等積式化得

證明四點(diǎn)共圓

1.對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的頂點(diǎn)共圓 2.外角等于內(nèi)對(duì)角的四邊形內(nèi)接于圓

3.同底邊等頂角的三角形的頂點(diǎn)共圓（頂角在底邊的同側(cè)）

4.同斜邊的直角三角形的頂點(diǎn)共圓 5.到頂點(diǎn)距離相等的各點(diǎn)共圓

二、空間與圖形

A：圖形的認(rèn)識(shí)：

1：點(diǎn)，線，面

點(diǎn)，線，面：①圖形是由點(diǎn)，線，面構(gòu)成的。②面與面相交得線，線與線相交得點(diǎn)。③點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體。

展開與折疊：①在棱柱中，任何相鄰的兩個(gè)面的交線叫做棱，側(cè)棱是相鄰兩個(gè)側(cè)面的交線，棱柱的所有側(cè)棱長(zhǎng)相等，棱柱的上下底面的形狀相同，側(cè)面的形狀都是長(zhǎng)方體。②N棱柱就是底面圖形有N條邊的棱柱。

一個(gè)幾何體：用一個(gè)平面去截一個(gè)圖形，截出的面叫做截面。

3視圖：主視圖，左視圖，俯視圖。

多邊形：他們是由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的封閉圖形。

弧，扇形：①由一條弧和經(jīng)過這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所組成的圖形叫扇形。②圓可以分割成若干個(gè)扇形。

2：角

線：①線段有兩個(gè)端點(diǎn)。②將線段向一個(gè)方向無限延長(zhǎng)就形成了射線。射線只有一個(gè)端點(diǎn)。③將線段的兩端無限延長(zhǎng)就形成了直線。直線沒有端點(diǎn)。④經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線。比較長(zhǎng)短：①兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短。②兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)之間的距離。

角的度量與表示：①角由兩條具有公共端點(diǎn)的射線組成，兩條射線的公共端點(diǎn)是這個(gè)角的頂點(diǎn)。②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。

角的比較：①角也可以看成是由一條射線繞著他的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的。②一條射線繞著他的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終邊和始邊成一條直線時(shí)，所成的角叫做平角。始邊繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)他又和始邊重合時(shí)，所成的角叫做周角。③從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線。

平行：①同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。②經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。③如果兩條直線都與第3條直線平行，那么這兩條直線互相平行。垂直：①如果兩條直線相交成直角，那么這兩條直線互相垂直。②互相垂直的兩條直線的交點(diǎn)叫做垂足。③平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。

3：相交線與平行線

角：①如果兩個(gè)角的和是直角,那么稱和兩個(gè)角互為余角；如果兩個(gè)角的和是平角，那么稱這兩個(gè)角互為補(bǔ)角。②同角或等角的余角/補(bǔ)角相等。③對(duì)頂角相等。④同位角相等/內(nèi)錯(cuò)角相等/同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，反之亦然。

4：三角形

三角形：①由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。②三角形任意兩邊之和大于第三邊。三角形任意兩邊之差小于第三邊。③三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180度。④三角形分銳角三角形/直角三角形/鈍角三角形。⑤直角三角形的兩個(gè)銳角互余。⑥三角形中一個(gè)內(nèi)角的角平分線與他的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線。⑦三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)與他對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做這個(gè)三角形的中線。⑧三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，三條中線交于一點(diǎn)。⑨從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向他的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高。⑩三角形的三條高所在的直線交于一點(diǎn)。

圖形的全等：全等圖形的形狀和大小都相同。兩個(gè)能夠重合的圖形叫全等圖形。全等三角形：①全等三角形的對(duì)應(yīng)邊/角相等。②條件：SSS/AAS/ASA/SAS/HL。勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，反之亦然。

5：四邊形

平行四邊形的性質(zhì)：①兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。②平行四邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)連成的線段叫他的對(duì)角線。③平行四邊形的對(duì)邊/對(duì)角相等。④平行四邊形的對(duì)角線互相平分。

平行四邊形的判定條件：兩條對(duì)角線互相平分的四邊形/一組對(duì)邊平行且相等的四邊形/兩組對(duì)邊分別相等的四邊形/定義。

菱形：①一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。②領(lǐng)心的四條邊相等，兩條對(duì)角線互相垂直平分，每一組對(duì)角線平分一組對(duì)角。③判定條件：定義/對(duì)角線互相垂直的平行四邊形/四條邊都相等的四邊形。

矩形與正方形：①有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形叫做矩形。②矩形的對(duì)角線相等，四個(gè)角都是直角。③對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。④正方形具有平行四邊形，矩形，菱形的一切性質(zhì)。⑤一組鄰邊相等的矩形是正方形。

梯形：①一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫梯形。②兩條腰相等的梯形叫等腰梯形。③一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。④等腰梯形同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等，對(duì)角線星等，反之亦然。

多邊形：①N邊形的內(nèi)角和等于（N-2）180度。②多邊心內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延長(zhǎng)線所組成的角叫做這個(gè)多邊形的外角，在每個(gè)頂點(diǎn)處取這個(gè)多邊形的一個(gè)外角，他們的和叫做這個(gè)多邊形的內(nèi)角和（都等于360度）

平面圖形的密鋪：三角形，四邊形和正六邊形可以密鋪。

中心對(duì)稱圖形：①在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做他的對(duì)稱中心。②中心對(duì)稱圖形上的每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連成的線段都被對(duì)稱中心平分。

B：圖形與變換：

1：圖形的軸對(duì)稱

軸對(duì)稱：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸。

軸對(duì)稱圖形：①角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。②線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。③等腰三角形的“三線合一”。

軸對(duì)稱的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分，對(duì)應(yīng)線段/對(duì)應(yīng)角相等。

2:圖形的平移和旋轉(zhuǎn)

平移：①在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿著某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做平移。②經(jīng)過平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對(duì)應(yīng)線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等。

旋轉(zhuǎn)：①在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做旋轉(zhuǎn)。②經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，圖形商店每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同方向轉(zhuǎn)動(dòng)了相同的角度，任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。3：圖形的相似

比：①A/B=C/D，那么AD=BC，反之亦然。②A/B=C/D，那么A土B/B=C土D/D。③A/B=C/D=。。=M/N，那么A+C+。。+M/B+D+。。N=A/B。

黃金分割：點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC與BC，如果AC/AB=BC/AC，那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比（根號(hào)5-1/2）。相似：①各角對(duì)應(yīng)相等，各邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形。②相似多邊形對(duì)應(yīng)

邊的比叫做相似比。

相似三角形：①三角對(duì)應(yīng)相等，三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。②條件：AA/SSS/SAS。

相似多邊形的性質(zhì)：①相似三角形對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)角平分線，對(duì)應(yīng)中線的比都等于相似比。②相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方。

圖形的放大與縮小：①如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比。②位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比。

D：證明

定義與命題：①對(duì)名稱與術(shù)語(yǔ)的含義加以描述，作出明確的規(guī)定，也就是給出他們的定義。②對(duì)事情進(jìn)行判斷的句子叫做命題（分真命題與假命題）。③每個(gè)命題是由條件和結(jié)論兩部分組成。④要說明一個(gè)命題是假命題，通常舉出一個(gè)離子，使之具備命題的條件，而不具有命題的結(jié)論，這種例子叫做反例。

公理：①公認(rèn)的真命題叫做公理。②其他真命題的正確性都通過推理的方法證實(shí)，經(jīng)過證明的真命題稱為定理。③同位角相等，兩直線平行，反之亦然；SAS/ASA/SSS，反之亦然；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線；平行，反之亦然；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，反之亦然；三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180度；三角形的一個(gè)外交等于和他不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角心的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和他不相鄰的內(nèi)角。④由一個(gè)公理或定理直接推出的定理，叫做這個(gè)公理或定理的推論。

第三篇：圓錐體積公式的推導(dǎo)

圓錐體積公式的推導(dǎo)

（定積分）

圓錐體積公式在小學(xué)的推導(dǎo)法是實(shí)驗(yàn)法，現(xiàn)在在這里介紹高等幾何的定積分法。

首先，設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h。如圖1：

圖1 定義空間直角坐標(biāo)系，以圓錐底面圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段r（半徑）在x軸上，線段h（高）在z軸上。

把圓錐分割成小圓臺(tái)，切面平行于平面xOy。可據(jù)此列出體積V的公式：

因此可得一個(gè)圓錐的體積是與它等底等高的圓柱的體積的三分之一，與實(shí)驗(yàn)法吻合。

dawny 2010-01-07

第四篇：平行四邊形面積公式的推導(dǎo)

《平行四邊形面積公式的推導(dǎo)》的說課

一、說教材：

今天，我說課的內(nèi)容是《多邊形面積的計(jì)算》中的第一課時(shí)：平行四邊形面積的計(jì)算，它是“空間與圖形”這一部分中的重點(diǎn)內(nèi)容。

就教材來說，平行四邊形面積的計(jì)算，它的教學(xué)是在學(xué)生了解、理解了平行四邊形的特征，以及掌握了長(zhǎng)方形、正方形面積計(jì)算的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，同時(shí)又是為進(jìn)一步學(xué)習(xí)三角形、梯形、圓等平面圖形的面積乃至立體圖形如長(zhǎng)方體、圓柱等的表面積奠定良好的基礎(chǔ)。

關(guān)于學(xué)情方面，學(xué)生已經(jīng)了解了平行四邊形的基本概念，已會(huì)計(jì)算長(zhǎng)方形的面積，并且有了“用數(shù)方格的方法來推算圖形面積”這一經(jīng)驗(yàn)，但是在這一課中平行四邊形上出現(xiàn)了斜邊，這給數(shù)方格的方法帶來一定的局限性。基于以上對(duì)教材和學(xué)情的分析，我制定如下： 教學(xué)目標(biāo)：

1.學(xué)生通過數(shù)方格、割補(bǔ)等方法親歷探索平行四邊形面積公式的推導(dǎo)過 程，在觀察、探索、操作的過程中滲透轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)思想方法。

2.會(huì)準(zhǔn)確說出平行四邊形面積的計(jì)算公式，并能正確應(yīng)用。

3.能應(yīng)用平行四邊形的面積公式解決相應(yīng)的實(shí)際問題，感受數(shù)學(xué)與生活 的密切聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

教學(xué)重點(diǎn)：推導(dǎo)平行四邊形的面積公式，及對(duì)公式的正確應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：把平行四邊形轉(zhuǎn)換成已經(jīng)學(xué)過的圖形，通過找關(guān)系推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式。

二、說教學(xué)流程：

為了體現(xiàn)“自主探究”的教學(xué)理念，高效完成教學(xué)目標(biāo)，我設(shè)計(jì)了如 下教學(xué)環(huán)節(jié)：

（一）、復(fù)習(xí)舊知，導(dǎo)入新課

引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式、平行四邊形的基本特征以及 如何做平行四邊形的高等內(nèi)容為新知的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

（二）、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

為了調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的活躍性，要合理創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生興趣，本課我是這樣導(dǎo)入的：

先出示一段視頻動(dòng)畫，主要內(nèi)容是：一個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)平行四邊形 是一對(duì)好朋友，一天，他們?cè)谀抢餇?zhēng)吵不休，原因就是它們都認(rèn)為自己的面積要比對(duì)方的大。這時(shí)提出問題：同學(xué)們，你們認(rèn)為誰(shuí)的面積比較大呢？你又是怎么想的呢？長(zhǎng)方形的面積我們已經(jīng)會(huì)計(jì)算了，那么平行四邊形的面積我們又要如何計(jì)算呢？從而引出今天的教學(xué)課題：平行四邊形面積的計(jì)算。

（三）動(dòng)手實(shí)踐，探究發(fā)現(xiàn)。這個(gè)部分我主要設(shè)計(jì)了兩個(gè)模塊來完成。

第一模塊是數(shù)方格，引發(fā)猜想。在方格紙上分別計(jì)算出平行四邊形的 面積和長(zhǎng)方形的面積，并且比較它們的大小，因?yàn)閷W(xué)生前面已經(jīng)有了用數(shù)方格的方法來推算圖形面積的經(jīng)驗(yàn)，所以學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形的面積和平行四邊形的面積相等。在學(xué)生得出這個(gè)結(jié)論后，立即拋給學(xué)生另外一個(gè)問題：當(dāng)一個(gè)平行四邊形很大時(shí)，我們還能用數(shù)方格的方法來求它的面積嗎？從而引發(fā)思考：是不是還有其他的方法來求平行四邊形的面積。

第二模塊是剪拼轉(zhuǎn)化，驗(yàn)證猜想。活動(dòng)是認(rèn)知的基礎(chǔ)，動(dòng)手操作是學(xué) 生學(xué)習(xí)循序漸進(jìn)的探索過程。由于前面在數(shù)方格時(shí)就會(huì)有同學(xué)提到用割補(bǔ)法來求面積，這時(shí)教師就可以順?biāo)浦郏寣W(xué)生以小組為單位，合作并動(dòng)手操作，想辦法將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形。學(xué)生肯定會(huì)有許多的方法。我會(huì)根據(jù)他們提出的方法給予相應(yīng)的肯定，這個(gè)過程既培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散性思維，又提升了學(xué)生的自信心。之后我會(huì)進(jìn)行總結(jié)，概括出兩種比較廣泛使用的方法：一種是將一個(gè)平行四邊形剪成一個(gè)三角形和一個(gè)直角梯形，通過將一個(gè)三角形平移后拼成一個(gè)長(zhǎng)方形；另一種是將一個(gè)平行四邊形剪成兩個(gè)直角梯形，通過將其中一個(gè)直角梯形平移后拼成長(zhǎng)方形。之后，讓學(xué)生觀察前后兩個(gè)圖形，提問：拼成的長(zhǎng)方形和原平行四邊形比較什么變了，什么沒變？它們之間又有什么聯(lián)系呢？然后順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生得出推導(dǎo)過程：將平行四邊形剪拼轉(zhuǎn)化后，得到長(zhǎng)方形，拼成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是平行四邊形的底，拼成的長(zhǎng)方形的寬就是平行四邊形的高。因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，所以平行四邊形的面積=底×高，這時(shí)我們就得到了平行四邊形的面積計(jì)算公式。如果用S表示平行四邊形的面積，a表示平行四邊形的底，h表示平行四邊形的高，那么平行四邊形的面積公式用字母表示就是S=ah

（四）分層訓(xùn)練，理解內(nèi)化新知

本著“重基礎(chǔ)，驗(yàn)?zāi)芰Γ厮季S”的原則，我設(shè)計(jì)了三個(gè)層次的聯(lián)系。第一層次，完成書上的試一試和練一練，鞏固所學(xué)的平行四 邊形的面積計(jì)算公式。

第二層次，我會(huì)提出這樣一道判斷糾錯(cuò)題，這道題主要是考察學(xué)生對(duì)平行四邊形中底和高的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系。

第三層次，通過這樣一道判斷題得出：等底等高的平行四邊形面積相 等。這樣也同時(shí)呼應(yīng)了導(dǎo)入中得到的長(zhǎng)方形的面積和平行四邊形的面積相等這一結(jié)論，因?yàn)殚L(zhǎng)方形是特殊的平行四邊形。

（五）全課總結(jié)，質(zhì)疑問難

1、讓學(xué)生說說本節(jié)課學(xué)到的知識(shí)，并說說是怎樣學(xué)到的，還有什么 問題想與老師和同學(xué)商討。培養(yǎng)學(xué)生整理知識(shí)的能力和質(zhì)疑問難的能力。

2、布置作業(yè)，三、說教法、學(xué)法：

本節(jié)課采用了情境教學(xué)法和引導(dǎo)探究法，組織學(xué)生開展豐富多彩的數(shù)學(xué)活動(dòng)；同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生自主探究、合作實(shí)踐，組織學(xué)生認(rèn)真觀察、操作、分析和討論來解決實(shí)際問題，從中培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力。

第五篇：梯形面積公式的推導(dǎo)

姓名：班別：

梯形面積公式的推導(dǎo) 1．小組合作操作討論

（1）用兩個(gè)的梯形可以拼成一個(gè)形。

（2）梯形的上底與下底的和等于平行四邊形的；梯形的高等于平行四

邊形的。

（3）每一個(gè)梯形的面積等于平行四邊形面積的。（4）梯形的面積等于，用字母表示是 2．歸納公式

梯形面積=（+）×÷2

S=(+)×÷2

姓名：班別：

梯形面積公式的推導(dǎo) 1．小組合作操作討論

（1）用兩個(gè)的梯形可以拼成一個(gè)形。

（2）梯形的上底與下底的和等于平行四邊形的；梯形的高等于平行四

邊形的。

（3）每一個(gè)梯形的面積等于平行四邊形面積的。（4）梯形的面積等于，用字母表示是。2．歸納公式

梯形面積=（+）×÷2

S=(+)×÷2

姓名：班別：

梯形面積公式的推導(dǎo) 1．小組合作操作討論

（1）用兩個(gè)的梯形可以拼成一個(gè)形。

（2）梯形的上底與下底的和等于平行四邊形的；梯形的高等于平行四

邊形的。

（3）每一個(gè)梯形的面積等于平行四邊形面積的。（4）梯形的面積等于。2．歸納公式

梯形面積=（+）×÷2

S=(+)×÷2

姓名：班別：

梯形面積公式的推導(dǎo) 1．小組合作操作討論

（1）用兩個(gè)的梯形可以拼成一個(gè)形。

（2）梯形的上底與下底的和等于平行四邊形的；梯形的高等于平行四

邊形的。

（3）每一個(gè)梯形的面積等于平行四邊形面積的。（4）梯形的面積等于，用字母表示是。2．歸納公式

梯形面積=（+）×÷2

S=(+)×÷2