第一篇：2021最新高中數學知識點

數學是解決生活問題的鑰匙，學數學就是為了學會應用，學會生活。只要我們細細感悟，就會發現數學就在我們的身邊。2021最新高中數學知識點有哪些你知道嗎?一起來看看2021最新高中數學知識點，歡迎查閱!

高中數學知識點

向量：既有大小，又有方向的量.數量：只有大小，沒有方向的量.有向線段的三要素：起點、方向、長度.零向量：長度為的向量.單位向量：長度等于個單位的向量.相等向量：長度相等且方向相同的向量

&向量的運算

加法運算

AB+BC=AC，這種計算法則叫做向量加法的三角形法則。

已知兩個從同一點O出發的兩個向量OA、OB，以OA、OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O為起點的對角線OC就是向量OA、OB的和，這種計算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。

對于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。

|a+b|≤|a|+|b|。

向量的加法滿足所有的加法運算定律。

減法運算

與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。

數乘運算

實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa，|λa|=|λ||a|，當λ>0時，λa的方向和a的方向相同，當λ<0時，λa的方向和a的方向相反，當λ=0時，λa=0。

設λ、μ是實數，那么：(1)(λμ)a=λ(μa)(2)(λμ)a=λaμa(3)λ(a±b)=λa±λb(4)(-λ)a=-(λa)=λ(-a)。

向量的加法運算、減法運算、數乘運算統稱線性運算。

向量的數量積

已知兩個非零向量a、b，那么|a||b|cosθ叫做a與b的數量積或內積，記作a?b，θ是a與b的夾角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量與任意向量的數量積為0。

a?b的幾何意義：數量積a?b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積。

兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和。

高考理科數學高頻必考考點一、三角函數題

三角題一般在解答題的前兩道題的位置上,主要考查三角恒等變換、三角函數的圖像與性質、解三角形等有關內容.三角函數、平面向量和三角形中的正、余弦定理相互交匯,是高考中考查的熱點.二、數列題

數列題重點考查等差數列、等比數列、遞推數列的綜合應用,常與不等式、函數、導數等知識綜合交匯,既考查分類、轉化、化歸、歸納、遞推等數學思想方法,又考查綜合運用知識進行運算、推理論證及解決問題的能力.近幾年這類試題的位置有所前移,難度明顯降低.三、立體幾何題

常以柱體、錐體、組合體為載體全方位地考查立體幾何中的重要內容,如線線、線面與面面的位置關系,線面角、二面角問題,距離問題等,既有計算又有證明,一題多問,遞進排列,此類試題既可用傳統方法解答,又可用空間向量法處理,有的題是兩法兼用,可謂珠聯璧合,相得益彰.究竟選用哪種方法,要由自己的長處和圖形特點來確定.便于建立空間直角坐標系的,往往選用向量法,反之,選用傳統方法.另外,“動態”探索性問題是近幾年高考立體幾何命題的新亮點,三視圖的巧妙參與也是立體幾何命題的新手法,要注意把握.四、概率問題

概率題一般在解答題的前三道題的位置上,主要考查數據處理能力、應用意識、必然與或然思想,因此近幾年概率題常以概率與統計的交匯形式呈現,并用實際生活中的背景來“包裝”.概率重點考查離散型隨機變量的分布列與期望、互斥事件有一個發生的概率、相互獨立事件同時發生的概率、獨立重復試驗與二項分布等;統計重點考查抽樣方法(特別是分層抽樣)、樣本的頻率分布、樣本的特征數、莖葉圖、線性回歸、列聯表等,穿插考查合情推理能力和優化決策能力.同時,關注幾何概型與定積分的交匯考查,此類試題在近幾年的高考中難度有所提升,考生應有心理準備.五、圓錐曲線問題

解析幾何題一般在解答題的后三道題的位置上,有時是“把關題”或“壓軸題”,說明了解析幾何題依然是重頭戲,在新課標高考中依然占有較突出的地位.考查重點:第一,解析幾何自身模塊的小交匯,是指以圓、圓錐曲線為載體呈現的`,將兩種或兩種以上的知識結合起來綜合考查.如不同曲線(含直線)之間的結合,直線是各類曲線和相關試題最常用的“調味品”,顯示了直線與方程的各知識點的基礎性和應用性.第二,圓錐曲線與不同模塊知識的大交匯,以解析幾何與函數、向量、代數知識的結合最為常見.有關解析幾何的最值、定值、定點問題應給予重視.一般來說,解析幾何題計算量大且有一定的技巧性(要求品出“幾何味”來),需要“精打細算”,對考生的意志品質和數學機智都是一種考驗和檢測.六、導數、極值、最值、不等式恒成立(或逆用求參)問題

導數題考查的重點是用導數研究函數性質或解決與函數有關的問題.往往將函數、不等式、方程、導數等有機地綜合,構成一道超大型綜合題,體現了在“知識網絡交匯點處設計試題”的高考命題指導思想.鑒于該類試題的難度大,有些題還有高等數學的背景和競賽題的味道,標準答案提供的解法往往如同“神來之筆”,確實想不到,加之“搏殺”到此時的考生的精力和考試時間基本耗盡,建議考生一定要當機立斷,視時間和自身實力,先看第(1)問可否拿下,再確定放棄、分段得分或強攻.近幾年該類試題與解析幾何題輪流“坐莊”,經常充當“把關題”或“壓軸題”的重要角色.高中數學知識點大全

1、含n個元素的有限集合其子集共有2n個，非空子集有2n—1個，非空真子集有2n—2個。

2、集合中，Cu(A∩B)=(CuA)U(CuB),交之補等于補之并。

Cu(AUB)=(CuA)∩(CuB)，并之補等于補之交。

3、ax2+bx+c<0的解集為x(0

+c>0的解集為x，cx2+bx+a>0的解集為>x或x<;ax2—bx+

4、c<0的解集為x，cx2—bx+a>0的解集為->x或x<-。

5、原命題與其逆否命題是等價命題。

原命題的逆命題與原命題的否命題也是等價命題。

6、函數是一種特殊的映射，函數與映射都可用：f:A→B表示。

A表示原像，B表示像。當f:A→B表示函數時，A表示定義域，B大于或等于其值域范圍。只有一一映射的函數才具有反函數。

7、原函數與反函數的單調性一致，且都為奇函數。

偶函數和周期函數沒有反函數。若f(x)與g(x)關于點(a,b)對稱，則g(x)=2b-f(2a-x).8、若f(-x)=f(x)，則f(x)為偶函數，若f(-x)=f(x)，則f(x)為奇函數;

偶函數關于y軸對稱，且對稱軸兩邊的單調性相反;奇函數關于原點對稱，且在整個定義域上的單調性一致。反之亦然。若奇函數在x=0處有意義，則f(0)=0。函數的單調性可用定義法和導數法求出。偶函數的導函數是奇函數，奇函數的導函數是偶函數。對于任意常數T(T≠0)，在定義域范圍內，都有f(x+T)=f(x)，則稱f(x)是周期為T的周期函數，且f(x+kT)=f(x),k≠0.9、周期函數的特征性：①f(x+a)=-f(x),是T=2a的函數，②若f(x+a)+f(x+b)=0,即f(x+a)=-f(x+b),T=2(b-a)的函數,③若f(x)既x=a關對稱,又關于x=b對稱,則f(x)是T=2(b-a)的函數④若f(x

+a)?f(x+b)=±1,即f(x+a)=±，則f(x)是T=2(b-a)的函數⑤f(x+a)=±,則f(x)

是T=4(b-a)的函數

10、復合函數的單調性滿足“同增異減”原理。

定義域都是指函數中自變量的取值范圍。

11、抽象函數主要有f(xy)=f(x)+f(y)(對數型)，f(x+y)=f(x)?f(y)(指數型)，f(x+y)=f(x)+f(y)(直線型)。

解此類抽象函數比較實用的方法是特殊值法和周期法。

12、指數函數圖像的規律是：底數按逆時針增大。

對數函數與之相反.13、ar?as=ar+s,ar÷as=ar—s,(ar)s=ars,(ab)r=arbr。

在解可化為a2x+Bax+C=0或a2x+Bax+C≥0(≤0)的指數方程或不等式時，常借助于換元法，應特別注意換元后新變元的取值范圍。

14、log10N=lgN;logeN=lnN(e=2.718???);對數的性質：如果a>0,a≠0,M>0N>0,那么loga(MN)=logaM+logaN,;loga()=logaM—logaN;logaMn=nlogaM;alogaN=N.換底公式：logaN=;logamlogbnlogck=logbmlogcnlogak=logcmloganlogbk.15、函數圖像的變換：

(1)水平平移：y=f(x±a)(a>0)的圖像可由y=f(x)向左或向右平移a個單位得到;

(2)豎直平移：y=f(x)±b(b>0)圖像，可由y=f(x)向上或向下平移b個單位得到;

(3)對稱：若對于定義域內的一切x均有f(x+m)=f(x—m),則y=f(x)的圖像關于直線x=m對稱;y=f(x)關于(a,b)對稱的函數為y!=2b—f(2a—x).(4),學習計劃;翻折：①y=|f(x)|是將y=f(x)位于x軸下方的部分以x軸為對稱軸將期翻折到x軸上方的圖像。②y=f(|x|)是將y=f(x)位于y軸左方的圖像翻折到y軸的右方而成的圖像。

(5)有關結論：①若f(a+x)=f(b—x),在x為一切實數上成立，則y=f(x)的圖像關于

x=對稱。②函數y=f(a+x)與函數y=f(b—x)的圖像有關于直線x=對稱。

15、等差數列中，an=a1+(n—1)d=am+(n—m)d;sn=n=na1+

16、若n+m=p+q,則am+an=ap+aq;

sk,s2k—k,s3k—2k成以k2d為公差的等差數列。an是等差數列，若ap=q,aq=p,則ap+q=0;若sp=q,sq=p,則sp+q=—(p+q);若已知sk,sn,sn—k,sn=(sk+sn+sn—k)/2k;若an是等差數列，則可設前n項和為sn=an2+bn(注：沒有常數項),用方程的思想求解a,b。在等差數列中，若將其腳碼成等差數列的項取出組成數列，則新的數列仍舊是等差數列。

17、等比數列中，an=a1?qn-1=am?qn-m,若n+m=p+q,則am?an=ap?aq;sn=na1(q=1),sn=,(q≠1);若q≠1，則有=q，若q≠—1，=q;

sk,s2k—k,s3k—2k也是等比數列。a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5也成等比數列。在等比數列中，若將其腳碼成等差數列的項取出組成數列，則新的數列仍舊是等比數列。裂項公式：

=—,=?(—),常用數列遞推形式：疊加，疊乘，18、弧長公式：l=|α|?r。

s扇=?lr=?|α|r2=?;當一個扇形的周長一定時(為L時)，其面積為，其圓心角為2弧度。

19、Sina(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;Sina(α—β)=sinαcosβ—cosαsinβ;

Cos(α+β)=cosαcosβ—sinαsinβ;cos(α—β)=cosαcosβ+sinαsinβ

第二篇：高中數學知識點

高中數學知識點 必修1集合函數概念與基本初等函數Ⅰ必修2立體幾何初步平面解析幾何初步必修3算法初步統計概率

必修4

基本初等函數Ⅱ（三角函數）平面向量三角恒等變形必修5

解三角形數列不等式

選修

常用邏輯用語圓錐曲線與方程空間向量與立體幾何導數及其應用推理與證明數系的擴充與復數的引入計數原理概率與統計幾何證明選講坐標系與參數方程不等式選講

第三篇：高中數學知識點

高中數學重點知識與結論分類解析

一、集合與簡易邏輯 1．集合的元素具有確定性、無序性和互異性． 2．對集合，時，必須注意到“極端”情況： 或 ；求集合的子集時是否注意到 是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集． 3．對于含有 個元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數依次為4．“交的補等于補的并，即 ”；“并的補等于補的交，即 ”． 5．判斷命題的真假關鍵是“抓住關聯字詞”；注意：“不‘或’即‘且’，不‘且’即‘或’”． 6．“或命題”的真假特點是“一真即真，要假全假”；“且命題”的真假特點是“一假即假，要真全真”；“非命題”的真假特點是“一真一假”． 7．四種命題中“‘逆’者‘交換’也”、“‘否’者‘否定’也”． 原命題等價于逆否命題，但原命題與逆命題、否命題都不等價．反證法分為三步：假設、推矛、得果． 注意：命題的否定是“命題的非命題，也就是‘條件不變，僅否定結論’所得命題”，但否命題是“既否定原命題的條件作為條件，又否定原命題的結論作為結論的所得命題” ． 8．充要條件

第四篇：高中數學冪函數知識點

進入到高一階段,大家的學習壓力都是呈直線上升的,因此平時的積累也顯得尤為重要,下面小編給大家分享一些高中數學冪函數知識，希望能夠幫助大家，歡迎閱讀!

高中數學冪函數知識1

1.函數的單調性(局部性質)

(1)增函數

設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1

如果對于區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1f(x2)，那么就說f(x)在這個區間上是減函數.區間D稱為y=f(x)的單調減區間.注意：函數的單調性是函數的局部性質;

(2)圖象的特點

如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，那么說函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.(3)函數單調區間與單調性的判定方法

(A)定義法：

a.任取x1，x2∈D，且x1

b.作差f(x1)-f(x2);

c.變形(通常是因式分解和配方);

d.定號(即判斷差f(x1)-f(x2)的正負);

e.下結論(指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性).(B)圖象法(從圖象上看升降)

(C)復合函數的單調性

復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：“同增異減”

注意：函數的單調區間只能是其定義域的子區間,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集.8.函數的奇偶性(整體性質)

(1)偶函數

一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數.(2)奇函數

一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數.(3)具有奇偶性的函數的圖象的特征

偶函數的圖象關于y軸對稱;奇函數的圖象關于原點對稱.利用定義判斷函數奇偶性的步驟：

a.首先確定函數的定義域，并判斷其是否關于原點對稱;

b.確定f(-x)與f(x)的關系;

c.作出相應結論：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，則f(x)是偶函數;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，則f(x)是奇函數.注意：函數定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件.首先看函數的定義域是否關于原點對稱，若不對稱則函數是非奇非偶函數.若對稱，(1)再根據定義判定;(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定;(3)利用定理，或借助函數的圖象判定.9、函數的解析表達式

(1).函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域.(2)求函數的解析式的主要方法有：

1)湊配法

2)待定系數法

3)換元法

4)消參法

10.函數最大(小)值(定義見課本p36頁)

a.利用二次函數的性質(配方法)求函數的最大(小)值

b.利用圖象求函數的最大(小)值

c.利用函數單調性的判斷函數的最大(小)值：

如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b);

如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b);.高中數學冪函數知識2一、一次函數定義與定義式：

自變量x和因變量y有如下關系：

y=kx+b

則此時稱y是x的一次函數。

特別地，當b=0時，y是x的正比例函數。

即：y=kx(k為常數，k≠0)

二、一次函數的性質：

1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k

即：y=kx+b(k為任意不為零的實數b取任何實數)

2.當x=0時，b為函數在y軸上的截距。

三、一次函數的圖像及性質：

1.作法與圖形：通過如下3個步驟

(1)列表;

(2)描點;

(3)連線，可以作出一次函數的圖像——一條直線。因此，作一次函數的圖像只需知道2點，并連成直線即可。(通常找函數圖像與x軸和y軸的交點)

2.性質：(1)在一次函數上的任意一點P(x，y)，都滿足等式：y=kx+b。(2)一次函數與y軸交點的坐標總是(0，b)，與x軸總是交于(-b/k，0)正比例函數的圖像總是過原點。

3.k，b與函數圖像所在象限：

當k>0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大;

當k<0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。

當b>0時，直線必通過一、二象限;

當b=0時，直線通過原點

當b<0時，直線必通過三、四象限。

特別地，當b=O時，直線通過原點O(0，0)表示的是正比例函數的圖像。

這時，當k>0時，直線只通過一、三象限;當k<0時，直線只通過二、四象限。

四、確定一次函數的表達式：

已知點A(x1，y1);B(x2，y2)，請確定過點A、B的一次函數的表達式。

(1)設一次函數的表達式(也叫解析式)為y=kx+b。

(2)因為在一次函數上的任意一點P(x，y)，都滿足等式y=kx+b。所以可以列出2個方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②

(3)解這個二元一次方程，得到k，b的值。

(4)最后得到一次函數的表達式。

高中數學冪函數知識3

一、高中數學函數的有關概念

1.高中數學函數函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于函數A中的任意一個數x，在函數B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從函數A到函數B的一個函數.記作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的函數{f(x)|x∈A}叫做函數的值域.注意：

函數定義域：能使函數式有意義的實數x的函數稱為函數的定義域。

求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：

(1)分式的分母不等于零;

(2)偶次方根的被開方數不小于零;

(3)對數式的真數必須大于零;

(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的函數.(6)指數為零底不可以等于零，(7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.?相同函數的判斷方法：①表達式相同(與表示自變量和函數值的字母無關);②定義域一致(兩點必須同時具備)

2.高中數學函數值域:先考慮其定義域

(1)觀察法

(2)配方法

(3)代換法

3.函數圖象知識歸納

(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的函數C，叫做函數y=f(x),(x∈A)的圖象.C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上.(2)畫法

A、描點法：

B、圖象變換法

常用變換方法有三種

1)平移變換

2)伸縮變換

3)對稱變換

4.高中數學函數區間的概念

(1)函數區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間

(2)無窮區間

5.映射

一般地，設A、B是兩個非空的函數，如果按某一個確定的對應法則f，使對于函數A中的任意一個元素x，在函數B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從函數A到函數B的一個映射。記作“f(對應關系)：A(原象)B(象)”

對于映射f：A→B來說，則應滿足：

(1)函數A中的每一個元素，在函數B中都有象，并且象是唯一的;

(2)函數A中不同的元素，在函數B中對應的象可以是同一個;

(3)不要求函數B中的每一個元素在函數A中都有原象。

6.高中數學函數之分段函數

(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。

(2)各部分的自變量的取值情況.(3)分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集.補充：復合函數

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、g的復合函數。

高中數學冪函數知識點

第五篇：高中數學知識點總結

高中數學知識點總結

1.對于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性”。

中元素各表示什么？

A表示函數y=lgx的定義域，B表示的是值域，而C表示的卻是函數上的點的軌跡 進行集合的交、并、補運算時，不要忘記集合本身和空集的特殊情況 注重借助于數軸和文氏圖解集合問題。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

顯然，這里很容易解出A={-1,3}.而B最多只有一個元素。故B只能是-1或者3。根據條件，可以得到a=-1,a=1/3.但是，這里千萬小心，還有一個B為空集的情況，也就是a=0,不要把它搞忘記了。

3.注意下列性質：

要知道它的來歷：若B為A的子集，則對于元素a1來說，有2種選擇（在或者不在）。同樣，對于元素a2, a3,......an,都有2種選擇，所以，總共有種選擇，即集合A有個子集。

當然，我們也要注意到，這種情況之中，包含了這n個元素全部在何全部不在的情況，故真子集個數為，非空真子集個數為

（3）德摩根定律：

有些版本可能是這種寫法，遇到后要能夠看懂

4.你會用補集思想解決問題嗎？（排除法、間接法）的取值范圍。

注意，有時候由集合本身就可以得到大量信息，做題時不要錯過； 如告訴你函數f(x)=ax2+bx+c(a>0)在上單調遞減，在上單調遞增，就應該馬上知道函數對稱軸是x=1.或者，我說在上，也應該馬上可以想到m，n實際上就是方程 的2個根

5、熟悉命題的幾種形式、命題的四種形式及其相互關系是什么？（互為逆否關系的命題是等價命題。）

原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。

6、熟悉充要條件的性質（高考經常考）滿足條件，滿足條件，若 ；則是的充分非必要條件； 若 ；則是的必要非充分條件； 若 ；則是的充要條件；

若 ；則是的既非充分又非必要條件；

7.對映射的概念了解嗎？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中與之對應元素的唯一性，哪幾種對應能構成映射？

（一對一，多對一，允許B中有元素無原象。）

注意映射個數的求法。如集合A中有m個元素，集合B中有n個元素，則從A到B的映射個數有nm個。

如：若，；問：到的映射有 個，到的映射有 個；到的函數有 個，若，則到的一一映射有 個。

函數的圖象與直線交點的個數為 個。

8.函數的三要素是什么？如何比較兩個函數是否相同？（定義域、對應法則、值域）

相同函數的判斷方法：①表達式相同；②定義域一致(兩點必須同時具備)

9.求函數的定義域有哪些常見類型？

函數定義域求法： * 分式中的分母不為零；

* 偶次方根下的數（或式）大于或等于零； * 指數式的底數大于零且不等于一；

* 對數式的底數大于零且不等于一，真數大于零。* 正切函數 * 余切函數

* 反三角函數的定義域

函數y＝arcsinx的定義域是 [－1, 1]，值域是，函數y＝arccosx的定義域是 [－1, 1]，值域是 [0, π]，函數y＝arctgx的定義域是 R，值域是.，函數y＝arcctgx的定義域是 R，值域是(0, π).當以上幾個方面有兩個或兩個以上同時出現時，先分別求出滿足每一個條件的自變量的范圍，再取他們的交集，就得到函數的定義域。

10.如何求復合函數的定義域？

義域是_____________。

復合函數定義域的求法：已知的定義域為，求的定義域，可由解出x的范圍，即為的定義域。

例 若函數的定義域為，則的定義域為。

分析：由函數的定義域為可知：；所以中有。

解：依題意知：

解之，得 ∴ 的定義域為

11、函數值域的求法

1、直接觀察法

對于一些比較簡單的函數，其值域可通過觀察得到。例 求函數y=的值域

2、配方法

配方法是求二次函數值域最基本的方法之一。例、求函數y=-2x+5，x[-1，2]的值域。

3、判別式法

對二次函數或者分式函數（分子或分母中有一個是二次）都可通用，但這類題型有時也可以用其他方法進行化簡，不必拘泥在判別式上面 下面，我把這一類型的詳細寫出來，希望大家能夠看懂

4、反函數法

直接求函數的值域困難時，可以通過求其原函數的定義域來確定原函數的值域。例 求函數y=值域。

5、函數有界性法

直接求函數的值域困難時，可以利用已學過函數的有界性，來確定函數的值域。我們所說的單調性，最常用的就是三角函數的單調性。例 求函數y=，的值域。

6、函數單調性法

通常和導數結合，是最近高考考的較多的一個內容 例求函數y=（2≤x≤10）的值域

7、換元法

通過簡單的換元把一個函數變為簡單函數，其題型特征是函數解析式含有根式或三角

函數公式模型。換元法是數學方法中幾種最主要方法之一，在求函數的值域中同樣發

揮作用。

例 求函數y=x+的值域。8 數形結合法 其題型是函數解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這

類題目若運用數形結合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。例：已知點P（x.y）在圓x2+y2=1上，例求函數y=+的值域。

解：原函數可化簡得：y=∣x-2∣+∣x+8∣ 上式可以看成數軸上點P（x）到定點A（2），B（-8）間的距離之和。由上圖可知：當點P在線段AB上時，y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10

當點P在線段AB的延長線或反向延長線上時，y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10 故所求函數的值域為：[10，+∞）例求函數y=+ 的值域

解：原函數可變形為：y=+

上式可看成x軸上的點P（x，0）到兩定點A（3，2），B（-2，-1）的距離之和，由圖可知當點P為線段與x軸的交點時，y=∣AB∣==，故所求函數的值域為[，+∞）。例求函數y=-的值域 解：將函數變形為：y=-

上式可看成定點A（3，2）到點P（x，0）的距離與定點B（-2，1）到點P（x，0）的距離之差。即：y=∣AP∣-∣BP∣ 由圖可知：（1）當點P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點時，如點P1，則構成△ABP1，根據三角形兩邊之差小于第三邊，有 ∣∣AP1∣-∣BP1∣∣＜∣AB∣== 即：-＜y＜（2）當點P恰好為直線AB與x軸的交點時，有 ∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣=。綜上所述，可知函數的值域為：（-，-）。

注：求兩距離之和時，要將函數式變形，使A，B兩點在x軸的兩側，而求兩距離之差時，則要使兩點A，B在x軸的同側。9、不等式法

利用基本不等式a+b≥2，a+b+c≥3（a，b，c∈），求函數的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。例：

倒數法

有時，直接看不出函數的值域時，把它倒過來之后，你會發現另一番境況 例 求函數y=的值域

多種方法綜合運用

總之，在具體求某個函數的值域時，首先要仔細、認真觀察其題型特征，然后再選擇恰當的方法，一般優先考慮直接法，函數單調性法和基本不等式法，然后才考慮用其他各種特殊方法。

12.求一個函數的解析式或一個函數的反函數時，注明函數的定義域了嗎？ 切記：做題，特別是做大題時，一定要注意附加條件，如定義域、單位等東西要記得協商，不要犯我當年的錯誤，與到手的滿分失之交臂

13.反函數存在的條件是什么？（一一對應函數）

求反函數的步驟掌握了嗎？

（①反解x；②互換x、y；③注明定義域）

在更多時候，反函數的求法只是在選擇題中出現，這就為我們這些喜歡偷懶的人提供了大方便。請看這個例題：

(2004.全國理)函數的反函數是（B）A．y=x2－2x+2(x<1)B．y=x2－2x+2(x≥1)C．y=x2－2x(x<1)D．y=x2－2x(x≥1)

當然，心情好的同學，可以自己慢慢的計算，我想，一番心血之后，如果不出現計算問題的話，答案還是可以做出來的。可惜，這個不合我胃口，因為我一向懶散慣了，不習慣計算。下面請看一下我的思路：

原函數定義域為 x〉=1，那反函數值域也為y>=1.排除選項C,D.現在看值域。原函數至于為y>=1,則反函數定義域為x>=1, 答案為B.我題目已經做完了，好像沒有動筆（除非你拿來寫*書）。思路能不能明白呢？

14.反函數的性質有哪些？ 反函數性質：

1、反函數的定義域是原函數的值域（可擴展為反函數中的x對應原函數中的y）

2、反函數的值域是原函數的定義域（可擴展為反函數中的y對應原函數中的x）

3、反函數的圖像和原函數關于直線=x對稱（難怪點（x,y）和點（y，x）關于直線y=x對稱

①互為反函數的圖象關于直線y＝x對稱； ②保存了原來函數的單調性、奇函數性；

由反函數的性質，可以快速的解出很多比較麻煩的題目，如（04.上海春季高考）已知函數，則方程的解__________.1 對于這一類題目，其實方法特別簡單，呵呵。已知反函數的y,不就是原函數的x嗎？那代進去阿，答案是不是已經出來了呢？（也可能是告訴你反函數的x值，那方法也一樣，呵呵。自己想想，不懂再問我.如何用定義證明函數的單調性？（取值、作差、判正負）

判斷函數單調性的方法有三種：(1)定義法：

根據定義，設任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之間的大小關系

可以變形為求的正負號或者與1的關系(2)參照圖象：

①若函數f(x)的圖象關于點(a，b)對稱，函數f(x)在關于點(a，0)的對稱區間具有相同的單調性；（特例：奇函數）②若函數f(x)的圖象關于直線x＝a對稱，則函數f(x)在關于點(a，0)的對稱區間里具有相反的單調性。（特例：偶函數）(3)利用單調函數的性質：

①函數f(x)與f(x)＋c(c是常數)是同向變化的

②函數f(x)與cf(x)(c是常數)，當c＞0時，它們是同向變化的；當c＜0時，它們是反向變化的。

③如果函數f1(x)，f2(x)同向變化，則函數f1(x)＋f2(x)和它們同向變化；（函數相加）

④如果正值函數f1(x)，f2(x)同向變化，則函數f1(x)f2(x)和它們同向變化；如果負值函數f1(2)與f2(x)同向變化，則函數f1(x)f2(x)和它們反向變化；（函數相乘）

⑤函數f(x)與在f(x)的同號區間里反向變化。

⑥若函數u＝φ(x)，x[α，β]與函數y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向變化，則在[α，β]上復合函數y＝F[φ(x)]是遞增的；若函數u＝φ(x),x[α，β]與函數y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β)，φ(α)]反向變化，則在[α，β]上復合函數y＝F[φ(x)]是遞減的。（同增異減）⑦若函數y＝f(x)是嚴格單調的，則其反函數x＝f－1(y)也是嚴格單調的，而且，它們的增減性相同。

f(g)g(x)f[g(x)] f(x)+g(x)f(x)*g(x)都是正數增增增增增增減減 / / 減增減 / / 減減增減減

∴......）

16.如何利用導數判斷函數的單調性？

值是（）

A.0 B.1 C.2 D.3

∴a的最大值為3）

17.函數f(x)具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？（f(x)定義域關于原點對稱）

注意如下結論：

（1）在公共定義域內：兩個奇函數的乘積是偶函數；兩個偶函數的乘積是偶函數；一個偶函數與奇函數的乘積是奇函數。

判斷函數奇偶性的方法

一、定義域法

一個函數是奇（偶）函數，其定義域必關于原點對稱，它是函數為奇（偶）函數的必要條件.若函數的定義域不關于原點對稱，則函數為非奇非偶函數..二、奇偶函數定義法

在給定函數的定義域關于原點對稱的前提下，計算，然后根據函數的奇偶性的定義判斷其奇偶性.三、復合函數奇偶性

f(g)g(x)f[g(x)] f(x)+g(x)f(x)*g(x)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶

18.你熟悉周期函數的定義嗎？

函數，T是一個周期。）

我們在做題的時候，經常會遇到這樣的情況：告訴你f(x)+f(x+t)=0,我們要馬上反應過來，這時說這個函數周期2t.推導：，同時可能也會遇到這種樣子：f(x)=f(2a-x),或者說f(a-x)=f(a+x).其實這都是說同樣一個意思：函數f(x)關于直線對稱，對稱軸可以由括號內的2個數字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者說f(a-x)=f(a+x)就都表示函數關于直線x=a對稱。

如：

19.你掌握常用的圖象變換了嗎？ 聯想點（x,y）,(-x,y)聯想點（x,y）,(x,-y)聯想點（x,y）,(-x,-y)聯想點（x,y）,(y,x)聯想點（x,y）,(2a-x,y)聯想點（x,y）,(2a-x,0)

（這是書上的方法，雖然我從來不用，但可能大家接觸最多，我還是寫出來吧。對于這種題目，其實根本不用這么麻煩。你要判斷函數y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,畫出點的坐標。看點和原點的關系，就可以很直觀的看出函數平移的軌跡了。）注意如下“翻折”變換：

19.你熟練掌握常用函數的圖象和性質了嗎？

(k為斜率，b為直線與y軸的交點)的雙曲線。

應用：①“三個二次”（二次函數、二次方程、二次不等式）的關系--二次方程

②求閉區間［m，n］上的最值。

③求區間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。④一元二次方程根的分布問題。

由圖象記性質！（注意底數的限定！）

利用它的單調性求最值與利用均值不等式求最值的區別是什么？（均值不等式一定要注意等號成立的條件）

20.你在基本運算上常出現錯誤嗎？

21.如何解抽象函數問題？（賦值法、結構變換法）

（對于這種抽象函數的題目，其實簡單得都可以直接用死記了

1、代y=x，2、令x=0或1來求出f(0)或f(1)

3、求奇偶性，令y=-x；求單調性：令x+y=x1

幾類常見的抽象函數 1.正比例函數型的抽象函數

f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y）2.冪函數型的抽象函數

f（x）＝xa----------------f（xy）＝ f（x）f（y）；f（）＝ 3.指數函數型的抽象函數

f（x）＝ax-------------------f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝ 4.對數函數型的抽象函數

f（x）＝logax（a>0且a≠1）-----f（x·y）＝f（x）＋f（y）；f（）＝ f（x）－f（y）

5.三角函數型的抽象函數

f（x）＝tgx--------------------------f（x＋y）＝ f（x）＝cotx------------------------f（x＋y）＝

例1已知函數f（x）對任意實數x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且當x>0時，f(x)>0，f(－1)＝ －2求f(x)在區間[－2,1]上的值域.分析：先證明函數f（x）在R上是增函數（注意到f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1））；再根據區間求其值域.例2已知函數f（x）對任意實數x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且當x>0時，f(x)>2，f(3)＝ 5，求不等式 f（a2－2a－2）<3的解.分析：先證明函數f（x）在R上是增函數（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后脫去函數符號.例3已知函數f（x）對任意實數x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，當0≤x＜1時，f（x）∈[0，1].（1）判斷f（x）的奇偶性；

（2）判斷f（x）在[0，＋∞]上的單調性，并給出證明；（3）若a≥0且f（a＋1）≤，求a的取值范圍.分析：（1）令y＝－1；

（2）利用f（x1）＝f（·x2）＝f（）f（x2）；

（3）0≤a≤2.例4設函數f（x）的定義域是（－∞，＋∞），滿足條件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；對任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：（1）f（0）；

（2）對任意值x，判斷f（x）值的符號.分析：（1）令x= y＝0；（2）令y＝x≠0.例5是否存在函數f（x），使下列三個條件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝ f（a）f（b），a、b∈N；③f（2）＝4.同時成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，說明理由.分析：先猜出f（x）＝2x；再用數學歸納法證明.例6設f（x）是定義在（0，＋∞）上的單調增函數，滿足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：（1）f（1）；

（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范圍.分析：（1）利用3＝1×3；

（2）利用函數的單調性和已知關系式.例7設函數y＝ f（x）的反函數是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正確，試說明理由.分析：設f（a）＝m，f（b）＝n，則g（m）＝a，g（n）＝b，進而m＋n＝f（a）＋f（b）＝ f（ab）＝f [g（m）g（n）]....例8已知函數f（x）的定義域關于原點對稱，且滿足以下三個條件： ① x1、x2是定義域中的數時，有f（x1－x2）＝； ② f（a）＝ －1（a＞0，a是定義域中的一個數）； ③ 當0＜x＜2a時，f（x）＜0.試問：

（1）f（x）的奇偶性如何？說明理由；

（2）在（0，4a）上，f（x）的單調性如何？說明理由.分析：（1）利用f [－（x1－x2）]＝ －f [（x1－x2）]，判定f（x）是奇函數；（3）先證明f（x）在（0，2a）上是增函數，再證明其在（2a，4a）上也是增函數.對于抽象函數的解答題，雖然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解題意.有些抽象函數問題，對應的特殊模型不是我們熟悉的基本初等函數.因此，針對不同的函數要進行適當變通，去尋求特殊模型，從而更好地解決抽象函數問題.例9已知函數f（x）（x≠0）滿足f（xy）＝f（x）＋f（y），（1）求證：f（1）＝f（－1）＝0；（2）求證：f（x）為偶函數；

（3）若f（x）在（0，＋∞）上是增函數，解不等式f（x）＋f（x－）≤0.分析：函數模型為：f（x）＝loga|x|（a＞0）（1）先令x＝y＝1，再令x＝y＝ －1；（2）令y＝ －1；

（3）由f（x）為偶函數，則f（x）＝f（|x|）.例10已知函數f（x）對一切實數x、y滿足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），且當x＜0時，f（x）＞1，求證：（1）當x＞0時，0＜f（x）＜1；（2）f（x）在x∈R上是減函數.分析：（1）先令x＝y＝0得f（0）＝1，再令y＝－x；（3）受指數函數單調性的啟發：

由f（x＋y）＝f（x）f（y）可得f（x－y）＝，進而由x1＜x2，有＝f（x1－x2）＞1.練習題：

1.已知：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）對任意實數x、y都成立，則（）

（A）f（0）＝0（B）f（0）＝1

（C）f（0）＝0或1（D）以上都不對

2.若對任意實數x、y總有f（xy）＝f（x）＋f（y），則下列各式中錯誤的是（）

（A）f（1）＝0（B）f（）＝ f（x）

（C）f（）＝ f（x）－f（y）（D）f（xn）＝nf（x）（n∈N）

3.已知函數f（x）對一切實數x、y滿足：f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且當x＜0時，f（x）＞1，則當x＞0時，f（x）的取值范圍是（）

（A）（1，＋∞）（B）（－∞，1）

（C）（0，1）（D）（－1，＋∞）

4.函數f（x）定義域關于原點對稱，且對定義域內不同的x1、x2都有

f（x1－x2）＝，則f（x）為（）

（A）奇函數非偶函數（B）偶函數非奇函數

（C）既是奇函數又是偶函數（D）非奇非偶函數

5.已知不恒為零的函數f（x）對任意實數x、y滿足f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）＋f（y）]，則函數f（x）是（）

（A）奇函數非偶函數（B）偶函數非奇函數

（C）既是奇函數又是偶函數（D）非奇非偶函數

參考答案： 1．A 2．B 3．C 4．A 5．B 23.你記得弧度的定義嗎？能寫出圓心角為α，半徑為R的弧長公式和扇形面積公式嗎？

(和三角形的面積公式很相似，可以比較記憶.要知道圓錐展開圖面積的求法)