第一篇：計劃生育模型[本站推薦]

計劃生育模型

模型1.根據中國人口的現狀及以下的很多理想假設，來設計模型，討論我國計劃生育實行的狀況。

假設1：在我國人口眾多，男女比例不協調的情況下，我國人口數量由死亡率和女性數量決定。

假設2：在計劃生育政策實行的最初階段t0(0, A

3)時段，有且

僅有適齡生育的男性N1、女性N2，總人口數為N1+N2。

假設3：人均壽命為A歲，計劃生育所指定的女性人均生育數為k。

假設4：在長達人均壽命的A年內，假設所有人都死亡，且死亡人數平均分布在下列計算時劃分的三個階段內。

假設5：由我國人口現狀及人們思想觀念等的約束，現假設我國男女比例短期內保持不變，且新出生的男女嬰兒比例也為此比例。

以下將按人均壽命的A年為一個整體的交替時間段，將其按女性生育年齡段大致分為三個階段，也即為人一生所經歷的三個輩分。來討論我國計劃生育實行若干年時我國人口的變化狀況，具體如下：

第一階段：在(0,人數為3kN

A2A3)年內，平均每年出生的孩子為,假設平均每年死亡人數為3kNA2,其中女孩,則在此N23(N1?N2)

AN1?N2

階段內，某年份t時刻的總人口數為：

N(t)=(N1+N2)－3(N1?N2)

At + 3ktN

A2=(N1+N2)(1－t)

+

3ktNA,t∈(0,A3)

A3

第二階段：在（3kN2

A，2A3)年內，平均每年出生的孩子為

3kN2

A

·

N2N1?N2

其中女孩人數為·（N2N1?N2）假設平均

每年死亡人數為為：

3(N1?N2)

A,則在此階段內，某年份t時刻的總人口數

N(t)=(N1+N2)(1

A3

－

A3A3)+）·

3kN2

A

·

A3A3

－（t

－）·

3(N1?N2)

A

+

3kN2

A2A3

·（t－

N2N1?N2,t∈(，2A3)

第三階段：在（3kN2

A，A)年內，平均每年出生的孩子為

3kN2

A

·（N2N1?N2)其中女孩人數為

·（N2N1?N2）假設平

均每年死亡人數為數為：

N(t)

A3

3(N1?N2)

A,則在此階段內，某年份t時刻的總人口

= +

[(N1+N2)(1

3kN2

A

－

A3)

]－

A3

+

3kN2

A

·

A32A3

－

·

3(N1?N2)

A

·

A3

·

2A3

N2N1?N2

3(N1?N2)

A

·（t－）

+

3kN2

A

·（N2N1?N2)·（t－

2A3），t∈（kN2，2A3)

·（t－

= {(N1+N2)[

－1+（N1?N2)]+kN2}－

3(N1?N2)

A

2A3

+

3kN2

A

·（N2N1?N2)·（t－

2A3），t∈（A3，2A3)

分析：對以上三個階段的函數N(t)求導，使其N’(t)<0,這樣的話，計劃生育政策就起了一定的作用，人口數量函數是遞減函數，則三個結果中都有k<

N1?N2

N2

=1+

N1N2N1N2,>2, 再聯系我國計劃生育政策實行的年

由以上題目假設已知1+

份，我國計劃生育狀況處于以上模型的第二階段，若要使人口處于均衡狀態，則k=1+

N1N2,若不考慮超生因素，則計劃生育實行若干年后

必有k<2,人口將迅速減少，但我國人口變化并不如此，與此模型假設很多理想狀況有關，以下對模型1進行修正：

模型2：設人口死亡率為m,平均每年處于生育階段的人數（包括男女）占總人口數為a,生育階段中的女性人數與處于生育階段的人口數比為g(由中國現實來說，g<1/2),該階段女性人均生育數為k,設N=N(t)表示我國在時刻t的人口數，并以N0表示在時段t0的人口數，則出生率= 總人口 =N(t)akg ／N(t)=akg,增長率=出生率－死亡率=akg

－m這樣得到人口增長微分方程模型是

出生人口

由微分方程得N(t)=N0e

?(akg?m)N(t)

dt

{N(t)?N

00

dN(t)

(akg?m)(t?t0)

上述模型是在模型1中忽略的人口超生問題及人口爆炸基礎上建立的，若要使人口數恒定，則akg=m.人口死亡率m長期來說將是一個常數，它不會隨著人口的數目，男女比例，以及人口結構的變化而變

化，它只與醫療水平相掛鉤。故決定人口增長率的決定因素由akg決定。對于短期來說（比如說五年），生育人口占總人口比例a將是恒定值，生育人口中的女性比例g也將是恒定值，而計劃生育已經實行多年的現在，處于生育階段的女性人均育子數k也將是個恒定值。在我國計劃生育實行的過程中，對于k的控制很嚴格，但從目前新生兒男女比例的失調來看，我國對于人口的控制還是不到位，隨著k下降的同時，由于g的下降，人口增長率的下降將遠超出預期。若g保持現狀（低于0.5），那么在未來的某階段，即使國家放開計劃生育政策，人口的快速增長也是困難的，同時由于男女比例失調而引發一系列問題也將會成為社會巨大的負擔。

第二篇：模型教案

室內手擲滑翔機

教學目標：

1、通過制作手擲滑翔機使學生初步感受空氣動力學相關知識，培養

學生的科學素養，科學興趣和科學理想。

2、讓學生學會看圖，培養學生勇于提出問題的能力和動手制作能力。

3、通過活動感受探究的方法以及培養學生細心認真的態度。

教學重點：

制作和調試手擲滑翔機，學會運用科學的方法探究問題，懂得并初步掌握手擲模型調試的基本方法。

教學難點：

會根據對模型飛行姿態的綜合分析的判斷，確定調整手段的方法。

教學過程設計：

一、導入

1、思考：為什么沒有螺旋槳或發動機，仍可以翱翔于天空？

2、認識手擲滑翔機

二、自學制作方法

1、了解套件材料有哪些

2、根據制作說明圖，說說制作要點

三、介紹制作過程及注意事項

1、滑翔機的組成：機翼、尾翼和機身

2、制作材料：機翼和尾翼——吹塑紙或硬質紙，機身——吸管

3、說明制作要點

四、制作與試飛

1、學生制作滑翔機

2、了解如何調整

3、學生試飛并調整

第三篇：《模型》教案（本站推薦）

模型

教學目標：

1、知道模型及其功能，理解模型制作在產品設計中的作用。

2、理解模型是技術設計中的一個環節和一種重要方法。

3、關注模型方法的廣泛應用，感受模型在技術中的價值。

4、培養同學們的創新思維和動手設計能力，及培養熱愛祖國、熱愛科學的情操。

教學重難點：

1、知道模型及其功能

2、理解模型制作在產品設計的不同階段有不同的作用

3、根據方案設計簡單產品的模型或原型。教學方法：

學生主動思考、討論、設計，教師配合講解、演示、提問，師生互動。

教學媒體運用：電腦多媒體平臺

教學資源準備：CAI課件、模型、模型設計裝置圖 教學過程：

【導入新課】 放映一段《大東方號》的視頻導入新課。

一、原型及其作用

1、原型

原型（Prototype）可以是產品本身，也可以是在產品生產之前制作的與產品大小相同、使用功能一致的物體。

2、原型的作用

（1）有利于對設計方案的實現效果進行評估。

（2）有利于實現對于大規模生產的生產技術與成本的估算。

案例分析(一): “大東方號”事例

“大東方號”集中了當時造船技術的精華，運用了所有最先進的動力設備，成為當時世界上最大的遠航輪船。但是，“大東方號”并沒有進行模型制作就投入了生產。結果，由于動力設備與龐大船體的動力需要不匹配，首航便宣告失敗。思考：這個事件告訴了我們什么道理？

一、模型及其功能

1、模型

模型（Model）是根據實物、設計圖樣或構思，按比例、生態或其他特征制成的與實物相似的一種物體。

馬上行動：在生活中我們會經常接觸一些模型，請同學們結合學習生活實際列舉一些模型的例子，并簡要說明它的作用。

案例分析

（二）：神舟飛船中的“模擬人”

（1）為什么要進行“模擬人”試驗？

航天員的生命安全是最重要的。“模擬人”試驗的成功，為航天員上天后的環境控制和生命保障以及航天員的醫學監督和醫學保障，奠定了重要的基礎。

（2）“模擬人”有什么特征？

具有人體代謝功能和生理信號。

2、模型的功能

（1）使設計對象具體化。

模型是一種可視、可觸、可控制的實體設計語言，為設計的表達和交流提供了一條有效途徑，使設計委托者、生產單位和設計人員之間能夠直接溝通，全面認識設計方案。

（2）幫助分析設計的可能性。

設計一件較復雜的產品，必須通過模型制作，分析設計的可能性后，才能投入生產。

放映一段《月球車模型》的視頻幫助學生加深對模型的功能的理解。思考：“大東方號”事例告訴了我們什么道理？

在產品的設計過程中，有時直接制作原型，不通過模型對設計方案的可能性進行評估分析是不行的。

三、模型在不同階段的作用

1、草模

草模用于產品造型設計的初期階段，用立體模型把設計構思簡單的表示出來，供設計人員深入探討時使用。

2、概念模型

概念模型就是在草模的基礎上，用概括的手法表示產品的造型風格、布局安排、人機關系等，從整體上表現產品造型的整體概念。

3、結構模型

結構模型是為了研究產品造型與結構的關系，清晰地表達產品的結構尺寸和連接方法，并進行結構強度試驗而制作的模型。

4、功能模型

功能模型主要用于研究產品的各種性能以及人機關系，同時也用作分析、檢查設計對象各部分組件尺寸與機體的相互配合關系等。

5、展示模型

展示模型是采用真實材料，按照準確的尺寸，做成與實際產品幾乎一致的模型。作為產品的樣品進行展示，以便提供實體形象，并可以直接向設計委托方征求意見，為審核方案提供實物依據。

四、練習：海豹頂球模型的設計改進

分小組進行討論，改進海豹頂球模型的設計，使效果更逼真更合理。

五、小結：

一、模型

1、草模

2、概念

3、結構

4、功能

5、展示

二、模型在不同階段的作用

1、原型及其作用

2、模型：是根據實物、設計圖樣或構思，按比例、生態或其他特征制成的與實物相似的一種物體。

3、模型的功能：

（1）使設計對象具體化。（2）幫助分析設計的可能性。

第四篇：模型教案

【教材版本】通用技術必修1《技術與設計1》（江蘇教育出版社）

【設計理念】

以興趣為入手點，以模型的學習為載體，以引起學生的思考為落腳點，讓學生在學習體驗模型的過程中聯系自己的實際，實現方法的遷移。

【教材分析】

本節內容在蘇教版教材中屬于第七章的第一節，是在學生完成了方案構思和設計圖樣繪制的學習后，進入模型或原型制作的過度環節，起著承上啟下的作用。本章是實踐性較強的章節，其內容也隱含著一定的思想方法。模型或原型的制作是技術設計的重要環節，它對于學生掌握技術設計的過程，實現方案到產品的轉化具有重要作用。本章在第一節中專門設置了“模型在不同階段的作用”一小節，強調了模型方法在設計的各個環節中的作用。這里，模型不再僅僅是一個具體的模型，它還被賦予了思想方法的內涵。

本節課從模型的概念入手，使學生體會模型的功能及模型在不同設計階段的作用，滲透制作模型的重要性，明確模型制作過程不僅是設計思想體現的過程，還是發展構思的創造性過程。教材中案例距離學生實際生活較遠，且數量較少很難引起學生的興趣，故教材處理時補充了部分模型案例，變更了榨汁機的模型為汽車模型。

【學情分析】

學生經歷了前面的一段時間的學習，從學習內容上來看，學生了解了設計的一般過程，體驗了發現、明確問題和方案構思、呈現，應當順理成章的進入模型活原型的制作環節，但大量的理論消磨了學生的興趣，此時的學生對通用技術的興趣正在減弱時期，如何恢復學生對通用技術的興趣，如何讓學生從模型的學習中感悟出來影響自己其他學科學習的潛在根源，從而從根本上解決學習通用技術有沒有用、重不重要等問題，因此教師的引導就很重要。

【教學目標】

1.知識與技能：

1）能夠列舉生活中模型或原型的實例，知道模型或原型及其功能。

2）理解模型制作在產品設計的不同階段有不同的作用。

2.過程與方法：

經歷認識模型的過程，理解模型是技術設計中的一個環節和一種重要方法。

3.情感、態度與價值觀：

通過對模型及其功能的認識過程體會動手“做”的重要性，加強學習通用技術的興趣，實現方

法的遷移。

【重點難點】

重點：

1、理解模型是設計的一個環節和一種重要的技術方法

2、根據設計方案制作一個簡單產品的模型或原型。

難點：

如何從模型的學習中體悟到“絕知此事要躬行”的理念的延伸，讓學生構建“做中學、學中做”的理念。

【教學方法】

講授法，討論法，實例分析法

【教學思路】

積極引導學生討論在實際生活中經常看到或聽到的模型的功能，結合學生和生活實際，選擇汽車的設計制作過程為載體，分析模型在構思、試驗、改進和交流中的作用，培養學習興趣。

【教學過程】

【導入新課】今天我們就來學習設計的一般過程中的一個重要步驟，那就是模型或原型的制作。

【講解】首先我們來認識一下什么是模型或原型。

一、原型與模型

1、原型

【設問】 那什么是原型呢? 原型（prototype）通常是第一個能全面反映產品功能的形體，它廣泛應用于新產品的開發中，有時原型就是最終產品。

【講解】

新產品的開發需要考慮諸多方面的因素,比如:在開發一款新汽車的車型時其美學的創造性要受到安全、人機工程學、可制造性等多方面要求的制約，建立產品的物理原型，可以對這些方面作出較好的評價。一般來說原型有兩方面的作用。

2、原型的作用

（1）有利于對設計方案的實現效果進行評估。

（2）有利于實現對于大規模生產的生產技術與成本的估算。

【過渡】 既然原型具有許多作用和優點，那么是不是所有的產品都是直接制備原型的呢？

我們先來看一個案例。

案例分析(一): 《大東方號》事例

第五篇：應用題模型

學習內容和要求：

1、了解一元一次方程這條內容的知識系統，理解等式、方程、方程的解、解方程、一元一次方程的標準形式和解的情況

2、掌握解一元一次方程的方法步驟

3、掌握列一元一次方程解應用題的一般步驟

4、認識到用代數方法解決數字問題的優越性。

學習重點：有關一元一次方程的概念及解一元一次方程的基本方法

學習難點：靈活運用解方程的變形步驟及解應用題

1、行程問題：

[解題指導]

（1）行程問題中的三個基本量及其關系： 路程=速度×時間。

（2）基本類型有

1）相遇問題；

2）追及問題；常見的還有：相背而行；行船問題；環形跑道問題。

（3）解此類題的關鍵是抓住甲、乙兩物體的時間關系或所走的路程關系，一般情況下問題就能迎刃而解。并且還常常借助畫草圖來分析，理解行程問題。

例1：甲、乙兩站相距480公里，一列慢車從甲站開出，每小時行90公里，一列快車從乙站開出，每小時行140公里。

（1）慢車先開出1小時，快車再開。兩車相向而行。問快車開出多少小時后兩車相遇？

（2）兩車同時開出，相背而兩車相距600公

（3）兩車同時開出，慢車在快車后面同向

（4）兩車同時開出同向而行，快車在慢車行多少小時后里？

而行，多少小時后快車與慢車相距600公里？ 的后面，多少小時后快車追上慢車？

（5）慢車開出1小時后兩車同向而行，快車在慢車后面，快車開出后多少小時追上慢車？

此題關鍵是要理解清楚相向.相背.同向等的含義，弄清行駛過程。故可結合圖形分析。

（1）分析：相遇問題，畫圖表示為：

等量關系是：慢車走的路程+快車走的路程=480公里。

解：設快車開出x小時后兩車相遇，由題意得，140x+90(x+1)=480

解這個方程，230x=390

∴ x=1

答：快車開出1 小時兩車相遇。

（2）分析：相背而行，畫圖表示為：

等量關系是：兩車所走的路程和+480公里=600公里。

解：設x小時后兩車相距600公里，由題意得，(140+90)x+480=600

解這個方程，230x=120

∴ x=

答：

車相距600公

解：設x

由題意得，(140-90)x+480=600

小時后兩

里。

（3）分析：等量關系為：快車所走路程-慢車所走路程+480公里=600公里。

小時后兩車相距600公里，50x=120

∴ x=2.4

答：2.4小時后兩車相距600公里。

（4）分析；追及問題，畫圖表示為：

等量關系為：快車的路程=慢車走的路程+480公里。

解：設x小時后快車追上慢車。

由題意得，140x=90x+480

解這個方程，50x=480

∴ x=9.6

答：9.6小時后快車追上慢車。

（5）分析：追及問題，相等關系與（4）類似。

解：設快車開出x小時后追上慢車。

由題意得，140x=90(x+1)+480

50x=570

∴ x=11.4

答：快車開出11.4小時后追上慢車。

例2：甲、乙二人同時從A地去往相距51千米的B地，甲騎車，乙步行，甲的速度比乙的速度快3倍還多1千米/時，甲到達B地后停留1小時，然后從B地返回A地，在途中遇見乙，這時距他們出發的時間恰好6個小時，求二人速度各是多少？

分析：本題屬于相遇問題，用圖表示（甲用實線，乙用虛線表示）。注意：甲在B地還停留1

等量關系為：甲走路程+乙走路程=51×2。

解：設乙速為x千米/小時，則甲速為(3x+1)千米/小時，小時。A、B兩地相距51千米。

由題意得，6x+(3x+1)(6-1)=51×2

解這個方程，6x+(3x+1)×=102

12x+27x+9=204

39x=195

∴

3x+1=15+1=16

答：甲速為16千米/時，乙速為5千米/時。

例3：某船從A碼頭順流而下到達B碼頭，然后逆流返回，到達A、B兩碼頭之間的C碼頭，一共航行了7小時，已知此船在靜水中的速度為7.5千米時，水流速度為2.5千米/時。A、C兩碼頭之間的航程為10千米，求A、B兩碼頭之間的航程。

分析：這屬于行船問題，這類問題中要弄清（1）順水速度=船在靜水中的速度+水流速度，（2）逆水速度=船在靜水中的速度-水流速度。相等關系為：順流航行的時間+逆流航行的時間=7小時。

解：設A、B兩碼頭之間的航程為x千米，則B、C間的航程為(x-10)千米，由題意得，+=7

解這個方程，+=7，3x=90

∴

答：A、B兩碼頭之間的航路為30千米。

例4：環城自行車賽，最快的人在開始48分鐘后遇到最慢的人，已知最快的人的速度是最慢的人速度的3倍，環城一周是20千米，求兩個人的速度。

分析：這是環形問題，本題類似于追及問題，距離差為環城一周20千米。相等關系為：最快的人騎的路程-最慢人騎的路程=20千米。

解；設最慢的人速度為x千米/時，則最快的人的速度為x千米/時，由題意得，x×-x×=20 解這個方程，×x=20

∴ x=10

x=35

答：最快的人的速度為35千米/時，最慢的人的速度為10千米/時。

8、配套問題：

[解題指導]：這類問題的關鍵是找對配套的兩類物體的數量關系。

例5：某車間有工人85人，平均每人每天可以加工大齒輪8個或小齒輪10個，又知1個大齒輪和三個小齒輪配為一套，問應如何安排勞力使生產的產品剛好成套？

分析：這個問題的等量關系為：小齒輪個數=3倍大齒輪個數

解：設應安排x個工人加工大齒輪，則有(85-x)個工人加工小齒輪，由題意得，(85-x)×10=3×8x

解這個方程，850-10x=24x

34x=850

∴ x=25

85-x=85-25=60

答：應安排25個工人加工大齒輪，其余60人加工小齒輪，才能使生產的產品剛好成套。

第二階段

9、其他實際應用問題：

[解題指導]這類問題的關鍵是理解所給問題中的實際關系

例7：某商品的進價為1600元，原售價為2200元因庫存積壓需降價出售，若每件商品仍想獲得10%的利潤需幾折出售。

分析：等量關系為：原價×折扣=進價×（1+10%）

解：設需x折出售，由題意得，2200×=1600(1+10%)

220x=1600×1.10

x=8

答：需8折出售。

例8：已知甲、乙兩種商品的原單價和為100元。因市場變化，甲商品降價10%，乙商品提價5%，調價后，甲、乙兩種商品的單價和比原單價和提高了2%，求甲、乙兩種商品的原單價各是多少？

分析：甲原單價×（1-10%）+乙原單價×（1+5%）=100×（1+2%）。

解：設甲商品原單價為x 元，則乙商品原單價為(100-x)元。

由題意得，(1-10%)x+(1+5%)(100-x)=100×(1+2%)

解這個方程，0.9x+1.05(100-x)=102

90x+10500-105x=10200

15x=300

∴

100-x=80

答：甲商品原單價20元，乙商品原單價為80元。

注意：實際生活中的問題是千變萬化的，因此我們要想學好列方程解應用題，就要學會觀察事物，關心日常生產生活中的各種問題，如市場經濟問題等等，要會具體情況具體分析，靈活運用所學知識，認真審題，適當設元，尋找等量關系，從而列出方程，解出方程，使問題得解。

列方程解應用題是初一代數學習的重點和難點，受小學算術解法的影響，同學們習慣于題目中求什么就設什么，即直接設未知數，這給有些問題的解決帶來了不便，下面向同學們介紹“設間接未知數”解應用題的一般思路與方法。

一、求整體時，可設其中的某部分為未知數

例9 一個兩位數，十位上的數字與個位上的數字之和為11，如果把十位上的數字與個位上的數字對調，那么得到的新數就比原數大63，求原來的兩位數。

分析 此題若直接設原來兩位數為未知數，顯然不易求解，對這種求整體的問題可設其中的某部分為未知數，這樣可使問題獲得簡便的解答。

略解 設原來的兩位數個位上的數字為x，則十位上的數字為11-x，由題意有：10x+ll-x=10(11-x)+x+63，解得x=9。

答：所求兩位數為29。

第三階段

二、若求其中的某部分時，可設其整體為未知數

例10 某三個數中每兩個數之和分別為27、28、29，求這三個數。

分析 這是求部分的問題，如果直接設這三個數分別x、y, z，就要列出一個三元一次方程組，但若采用間接設元法設這三個數的和為未知數，問題就變得異常簡捷。

略解設這三個數的和為x，則這三個數分別為x-

27、x-

28、x-29，由題意有：(x-27)+(x-28)+(x-29)=x，解得x=42。

答：這三個數分別為15、14、13。

三、當題設條件中含有“比”時，通常可設其中的一份為x

例11 甲、乙、丙三數的比為7：9：12，甲、乙兩數的和減去丙數的差等于20求此三數。

分析 因為7+9+12=28，說明三數的和為28份，甲、乙、丙分別占7份、9份、12份，這樣，可設每份為x，則甲、乙、丙三數分別為7x、9x、12x，由題意得：7x+9x-12x=20，以下略。

四、設而不求,巧用間接未知數“過渡”

解應用題必須對題目的條件和關系進行深入的分析，認真的思考，然后合理地選擇未知數，并注意發揮未知數的橋梁“過渡”作用，才能使復雜的問題變得簡單，從而促成問題的解決。

例12 有甲、乙、丙三種貨物，若購甲3件、乙7件、丙1件共需3.15元；若購甲4件、乙10件、丙1件共需4.20元。問購甲、乙、丙各1件共需多少元?

分析 若直接設購甲、乙、丙各1件共需n元，則列方程較為繁難，而若設甲、乙、丙三種貨物的單價分別為x、y、z元，則由題意有：

由于本題的要求是求出x+y+z，因此我們可以不去求x、y、z的具體值(設而不求)，而采用整體化的數學思想，直接求出結果：

將方程組變形為

，解之得x+y+z=1.05。(注：本題有點難)

五、直難則間，妙用間接未知數“轉換”

解決較為復雜的應用題，在直接設元布列方程感到困難時，應及時變換思考的角度，調整和轉變原有的思想和方法，合理地設置間接未知數設法進行轉化，以尋求新的解決問題的途徑和方法。

例13 四盤蘋果共100個，把第一盤的個數加上4，第二盤的個數減去4，第三盤的個數乘以4，第四盤的個數除以4，所得的數目一樣，問原來四盤蘋果各多少個?

分析 本題若從四盤蘋果考慮直接設未知數，需要列出四元一次方程組，解起來不勝繁難。如果由“所得的數目一樣”這個條件逆想，則由此可推出四盤蘋果的數目，因此，設間接未知數x表示這個數目，則容易得到四盤蘋果原來的個數分別為x-4, x+4, , 4x, 于是很方便地列出方程：(x-4)+(x+4)+ +4x=100。以下略。

設間接未知數解應用題，當然不限于上述幾種情況，但由上足見選擇適當的間接未知數在列方程解應用題中的重要作用，同學們應給以足夠的重視。

專題輔導

典型應用題練習

1．某車間原計劃每周裝配36臺機床，預計若干周完成任務。在裝配了三分之一以后，改進操作技術，工效提高了一倍，結果提前一周半完成任務。求這次任務需裝配機床總臺數。

2．某班同學參加平整土地勞動，運土人數比挖土人數的一半多3人。若從挖土人員中抽出6人運土，則兩者人數相等。求原來運土和挖土各多少人。

3．某年級三個班為災區捐款。（1）班捐了380元，（2）班捐款數是另兩個班級的平均數，（3）班捐款數是三個班總數的，求（2）班，（3）班捐款數。

4．一輪船航行于兩個碼頭之間，逆水需10小時，順水需6小時。已知該船在靜水中每小時航行12千米，求水流速度和兩碼頭間的距離。

5．有一批長度均為50厘米的鐵錠，截面都是長方形，一邊長10厘米，另一邊各不相同，現要鑄造一個42.9千克的零件，應選截面另一邊長為多少的鐵錠（鐵錠每立方厘米重7.8克）？

6．甲、乙兩人在400米環形跑道上練習長跑，兩人速度分別為200米/分和160米/分。兩人同時從起點同向出發。當兩人起跑后第一次并肩時經過了多少時間？這時他們各跑了多少圈？

7．檢修一處住宅區的自來水管道，甲單獨完成需14天，乙單獨完成需18天，丙單獨完成需12天。前7天由甲、乙兩人合做，但乙中途離開了一段時間，后2天由乙、丙合作完成。問乙中途離開了幾天？

8．某商場甲、乙兩個柜組十二月份營業額共64萬元。一月份甲增長了20%，乙增長了15%，營業額共達到75萬元。求兩柜組各增長多少萬元。

9．某行軍縱隊以8千米/時的速度行進，隊尾的通訊員以12千米/時的速度趕到隊伍前送一個文件。送到后立即返回隊尾，共用14.4分鐘。求隊伍長。

10．一個兩位數，十位數比個位數字的4倍多1。將兩個數字調換順序后所得數比原數小63。求原數。

11．一橋長1000米，一列火車從車頭上橋到車尾離橋用了一分鐘時間，整列火車完全在橋上的時間為40秒。求火車的長度及行駛速度。

12．甲從學校出發到相距14千米的A地。當到達距學校2千米的B地時發現遺忘某物品。打電話給乙，乙隨即出發在C地追上甲后立即返回。當乙回到學校時甲距A地還有3千米。求學校到C地的距離。

答案：

1．解題策略：本題主要等量關系是“提前一周半完成任務”。即原計劃周數-實際完成任務周數=1。只需設元后分別列出左邊兩表達式即可。

列方程解應用題的關鍵是通過數量關系的研究，將實際問題轉換為抽象的數學問題來解決，因此常有面目迥然不同而問題實質相同。在練習中要注意比較，歸納，提高我們的分析、解題能力。

解法一：設這次任務需裝配機床總臺數為x臺，則原計劃裝配周，現在實際裝配的前一段時間為

周，后一段時間為 周，則根據題意，得

解這個方程：

3x-x-x=162

x=162

經檢驗，它是所列方程的解，也符合題意。

答：這次任務需裝配機床總數為162臺。

解法二：如解法一設元，注意到提前的時間實質是完成后任務中所提前的，解法三：設裝配了以后還余x臺，則總任務是x÷ x(臺)，根據題意，得。

錯誤辨析：涉及“多少”、“快慢”等數量關系，要注意辨清有關量的大小。本題易將被減數與減數搞錯。尤其當分子相同，分母不同時要注意。

2．解題策略：本題等量關系明顯，設元后只要把相應語句“譯”成等式，即所需方程，不妨可稱作“譯式”問題。解題要注意設元要有利于列方程，并盡量應用原始的等量關系。如本題不宜運土人數為x。

解：設挖土同學原為x人，則運土人數原為(x+3)人。

根據題意，得x-6=x+3+6，解這個方程：x-x=3+6+6

x=30

x+3=18

經檢驗適合所列方程，也符合題意。

答：原來運土18人，挖土30人。

錯誤辨析：勞力調配問題中需注意一隊調出人員是否調入另一隊。本題易忽視運土人數的增加而列成x-6=x+3。

3．解題策略：解應用題中的設元要善于應用已知條件，在列方程時要能通過分析，尋找隱含的等量關系，使方程簡單、易解。

解法一：設（3）班捐款x元，則（2）班捐款元，根據題意，得x=，解這個方程：5x=760+2x+380+x

2x=1140

x=570

=475

答：（2）班捐款475元，（3）班捐款570元。

解法二：同上法設元，注意到（2）班的捐款數也是三個班級的平均數，則三個班捐款數是其3倍。

可設方程x= ·3·。

解法三：設三個班捐款總數為x元，則（2）班為

求得x=1425后再求各班捐款數。

元，根據題意，得 x-380=x。

4．解題策略：涉及航行中的順、逆流問題，基本關系是：船在順水中的速度=船在靜水中的速度+水流速度；船在逆水中的速度=船在靜水中的速度-水流速度。然后根據行程問題的一般法則求解。

解法一：設水流速度為x千米/時，根據題意，得6(12+x)=10(12-x)，解這個方程，得x=3，路程為6(12+x)=90。

答：水流速度是3千米/時，兩碼頭間路程90千米。

解法二：設兩個碼頭間路程為x千米，根據題意，得-12=12-，解這個方程，得x=90。

5．解題策略：幾何體變換問題的關鍵是注意變換前后的體積等量關系，并且要熟悉常見幾何體的體積公式。本題要由鑄造零件的規格給出重量，應有一個轉換過程，并注意單位名稱一致。

解：設需要截面另一邊長為x厘米的鐵錠，則鐵錠體積為50×10x立方厘米，所鑄零件重量為42.9千克，則其體積為立方厘米，根據題意，得50×10x=

解這個方程，得x=11。

答：需要截面另一邊長為11厘米的鐵錠。

錯誤辨析：方程右邊易漏乘1000，未將單位化為一致。

6．解題策略：環形線路上的相遇問題與直線情形相仿。其同時同地同向的追及問題關鍵在于理解速度較快者每追上較慢者一次，即多行一圈。其余關系與通常的追及、相遇問題一致。

解：設兩人到第一次并肩時花了x分鐘。根據題意，得200x-160x=400。

解這個方程，得x=10。

這時甲、乙跑的圈數分別是10×200÷400=5和10×160÷400=4。

答：兩人起跑后第一次并肩花了10分鐘時間，甲，乙兩人分別跑了5圈和4圈。

7．解題策略：做一項工作，但沒有具體數量指標，只提完成與否的，通常稱作工程問題。工作總量用1表示。基本等量關系是工作量=工作效率×工作時間。其中工作效率是單位時間內完成的工作量，通常是單獨完成時間的倒數。如本題甲的工作效率是，乙的工作效率為題，也屬此類。，丙的工作效率為。涉及到幾個施工單位合作、先后工作等，在建立方程時取其工作量之和。常見的水池進出水問

解：設乙中途離開了x天，則乙工作了(7-x+2)天，其工作量是，甲的工作量是，丙的工作量是。根據題意，得。

解這個方程：

9+9-x+3=18

x=3

答：乙中途離開了3天。

8．解題策略：一次增長（減少）百分率問題的基本關系是原有量×(1±p%)=現有量，這里p%是增長或減少的百分率。要注意原有量與現有量的相互換算。這類問題還需注意設元的合理性，簡化計算。

解法一：設一月份營業額甲柜組增加x萬元，則乙柜組增加了(75-64-x)萬元。

根據題意，得=64，解這個方程，得x=5.6，則11-x=5.4。

答：甲、乙兩柜組分別增加了5.6萬元和5.4萬元。

解法二：設甲、乙兩柜組十二月份營業額為x萬元和(64-x)萬元。根據題意，得

20%·x+15%·(64-x)=75-64，解得x=28，則20%x=5.6，15%·(64-x)=5.4。

錯誤辨析： 這類題要防止所設未知數與列出方程不符。如本題不能按解法一設元，而列得解法二的方程。

9．解題策略：對行程問題中的追及和相遇兩類基本等量關系我們應熟練掌握，并能通過對綜合問題的分析，靈活應用。本題通訊員趕到隊前實質為在追趕隊前第一人，所花時間為路程（隊伍長）除以速度差；同理，返回時可視為通訊員與隊末一人作相向運動至相遇為止。

解：設隊伍長為x千米，根據題意，得

解這個方程：，25x+5x=24，x=0.8。

答：隊伍長0.8千米。

錯誤辨析：列方程時易將右邊誤寫作14.4。這類問題一般單位不一致，應注意互化。

10．解題策略：對多位數應用題一般不能設直接未知數，而應采用位值制設元（即如一個三位數的百位數字a,十位數字b，個數數字c，則這個三位數是100a+10b+c）。然后通常可由“譯式”列得方程。有時在解題中還要注意字母的取值范圍。

解：設這個兩位數的個位數字為x，則十位數字為4x+1，這個兩位數是10(4x+1)+x。

根據題意，得[10(4x+1)+x]-[10x+(4x+1)]=63。

解這個方程，得x=2。

故原數為10(4x+1)+x=92。

答：這個兩位數是92。

11．解題策略：這類問題通常考慮短時間內火車與通道的相對運動，關鍵要辨明實際路程，且要重視對關鍵語句的透徹理解。如本題“從車頭上橋到車尾離橋”即告訴我們所要考慮的路程應是橋與火車的長度之和（如圖1所示）。而“火車完全在橋上”，則路程為橋與火車的長度之差（如圖2）。這類問題若確定一個點觀察，如果設以車尾一人（圖中畫“Δ”處）作標準，則關系更明顯。

解法一：設火車長為x，根據題意，得

解這個方程，得x=200。

=20。

答：火車長度為200米，火車行駛速度為20米/秒。

解法二：設火車行駛速度為x米/秒。

根據題意，得60x-1000=1000-40x。

解這個方程，得x=20。

12．解題策略：這類題通常已知量極少。連同所求未知數往往只涉及行程問題三個基本量中的一個。難以用常規方法列出方程。可考慮兩條途徑：（1）大膽設“輔助元”，在解方程過程中通常可自然消去；（2）應用比例尋求等量關系。如相同時間下路程與速度成正比例，相同路程下速度與時間成反比例等。

解法一：設學校到C地的距離為x千米，甲的速度為a千米/分，乙的速度為b千米/分。

由乙追甲至C地時間相等可得，同理可得。

比較兩式，得

即x-2=11-x。

解得x=6.5。，答：學校到C地距離為6.5千米。

解法二：同上法設元。

因甲從B地到C地與乙從學校到C地時間相等，故他們所行路程比等于速度比，得，同理，所以。

因為x≠0，可解得結果。

解法三：設B、C間距離為x千米，則學校到C地距離為(x+2)千米。因甲后來所行兩段路程的時間都等于乙人學校到C地的時間，故這兩段路程應相等。得2+2x+3=14。

錯誤辨析：這類題忌不加分析，亂套行程問題的任一模式。

反饋練習

1．下列各式中，是方程的有（）

①3x+4=7 ②5y+3 ③a(b+c)=ab+ac ④8x-2y=3 ⑤s=vt

A.4個 B.3個 C.2個 D.1個

2．在下列方程中，與3x-2=1的解相同的有（）

A.5x+3=6 B.5x-2=4 C.4x-3=1 D.3x+2=1

3．下列解法中，正確的是（）

5、某幼兒園小班給孩子們分蘋果，若每人分5個還少2個，若每人分4個則多出8個，問這個班共有多少個孩子？現有蘋果多少個？

答案：

1、C

2、C

3、C

4、x=36

5、解：設這個班有x個孩子，則5x-2=4x+8，解得x=10(個)∴5x-2=5×10-2=48(個)答：這個班有10個孩子，現有蘋果48個。