第一篇：面面垂直的判定定理-最全面總結

面面垂直的判定及性質定理

知識點1：二面角及其平面角

1）半平面：平面內的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常稱為半平面.2）二面角的定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面．棱為l，兩個面分別為?、?的二面角記為 ?-l-? ．

3）二面角的平面角的定義

1定義：在二面角?-l-?的棱l上任取一點O，如圖，在半平面 ? 和 ?內，從點 O 分別作垂直于棱l的射線OA、OB，射線OA、OB組成∠AOB．則 ∠AOB 叫做二面角 ?-l-? 的平面角.2二面角的大小

二面角的大小可以用它的平面角來度量．即二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度． ① 二面角的兩個面重合： 0°；

② 二面角的兩個面合成一個平面：180°；

③平面角是直角的二面角叫直二面角．

二面角的范圍：[ 0°, 180°]．

知識點2：兩個平面垂直的判定定理

1）兩個平面垂直的定義：兩個平面互相垂直兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.平面?與?垂直，記作?⊥?.2）兩個平面垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.知識點3：二面角的平面角的做法

第1頁

知識點4：面面垂直的性質定理

性質定理：兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。（面面垂直，則線面垂直）考點1：面面垂直的判定定理的應用

例1.如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A, B的任意一點，求證：平面PAC⊥平面

PBC.考點2：求二面角的大小

例2.在正方體ABCD?A1BCD中，找出下列二面角的平面角： 11

1（1）二面角D1?AB?D和A1?AB?D；

（2）二面角C1?BD?C和C1?BD?A.考點3：線線、線面、面面垂直的相互轉化

例3.在正方體ABCD?A1BCD中，已知P,Q,R,S分別為棱AD,AB,AB,BB1的中點，求證平面PQS⊥平111111

1面B1RC

.3.已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點，過A作AE⊥PC于點E，AF⊥PB 第2頁

于點F，求證：

（1）AE⊥平面PBC；（2）平面PAC⊥平面PBC；（3）PB⊥EF

B

C

同步練習：

1.如圖，ABCD為正方形，SA?平面ABCD，過A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于E，F，G．

求證：AE?SB，AG?SD．

2.如圖所示，四棱錐P?ABCD的底面是正方形，PA?底面ABCD，AE?PD，EF//

CD，AM?EF． 求證：MF是異面直線AB與PC的公垂線．

3.如圖，直角△ABC所在平面外一點S，且SA?SB?SC，點D為斜邊AC的中點．

(1)求證：SD?平面ABC；

(2)若AB?BC，求證：BD?面SAC．

第3頁

A

4.如圖所示，平面??平面?，????l，在l上取線段AB?4，AC，BD分別在平面?和平面?內，且AC?AB，DB?AB，AC?3，BD?12，求CD長．

5.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F.(1)證明：PA∥平面EDB；(2)證明：PB⊥平面

EFD.16.（2012全國）如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱垂直底面，∠ACB=90°，AA1，D是棱AA1的中點

2（1）證明：平面BDC1⊥平面BDC；

（2）平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比。

（3）求二面角A1?BD?C1的大小。

C1

A11

B

第4頁 D

7.（2009全國）如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分別為AA1、B1C的中點，DE⊥平面BCC1

（1）證明：AB=AC

（2）設二面角A-BD-C為60°,求B1C與平面BCD所成的角的大小

8.（2010全國）如圖,四棱錐S-ABCD中，AB∥CD，BC?CD，側面SAB為等邊三角形，DA E

BA1 C1 AB=BC=2，CD=SD=1

（1）證明：SD?平面SAB

（2）求AB與平面SBC所成角的大小．

第5頁

第二篇：面面垂直性質定理

數學學案

【學習目標】

1．掌握平面與平面垂直的性質定理；平面與平面垂直的性質編輯：

2.能運用平面垂直的性質定理解決一些簡單問題；

3.了解平面與平面垂直的判定定理和性質定理間的相互聯系。

【學習重點】掌握平面與平面垂直的性質定理并能運用解決一些簡單問題

【數學思想】轉化的思想

【知識回顧】

1.兩個平面互相垂直的定義：

2.兩個平面互相垂直的判定定理：符號表示：

【新知導航】

線面平行?面面平行線面垂直?面面垂直（面面垂直判定定理）

面面垂直?線面垂直 ？

【探究1】黑板所在平面與地面垂直，你能否在黑板上畫幾條與地面垂直的直線？你為什么這么畫？你能歸納總結出這些直線有什么共同點嗎？

【探究2】下圖正方體中，平面ADD1A1與平面ABCD垂直，直線A1A垂直于其交線AD，平面ADD1A1內的直線A1A與平面ABCD垂直嗎？

A1B

1探究結論：（）

【新知學習】兩個平面互相垂直的性質定理

定理的證明：（由文字語言轉化為符號語言證明）已知： 求證： 證明：

【探究3】過平面外一點作已知平面的垂線，你能做出幾條來？

探究結論（）【嘗試練習1】如圖，已知平面?,?,???，直線a滿足a??,a??，試判斷直線a與平面?的位置關系.【嘗試練習2】如圖，已知平面??平面?，平面??平面?，????a，求證：

a??.【課堂小結】

1、請歸納一下本節課你學習了什么性質定理，其內容各是什么？

2、類比兩個性質定理，你發現它們之間有何聯系？

【達標檢測】

1、下列命題中，正確的是（）

A、過平面外一點，可作無數條直線和這個平面垂直 B、過一點有且僅有一個平面和一條定直線垂直 C、若a,b異面，過a一定可作一個平面與b垂直

D、a,b異面，過不在a,b上的點M，一定可以作一個平面和a,b都垂直.2、已知直線l,m，平面?,?，且l??,m??，給出下列命題：（1）?//??l?m（2）l?m??//?（3）????l//m（4）l//m????其中正確的命題是

BC?AB

3、在三棱錐P—ABC中，平面PAB?平面PBC，求證：PA?面ABC，4、如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M是AB上的一點，N是A1C的中點，MN?面A1DC，求證：（1）MN//AD1

(2)M是AB的中點

第三篇：面面垂直性質定理及習題

面面垂直性質定理及習題《必修2》1.2.4一、學習目標撰稿：第四組審稿：高二數學組時間：2009-9-8

1． 理解面面垂直的性質定理

2． 會用性質定理解決有關問題

3． 線線、線面、面面之間的位置關系及相互轉化

4． 利用面面位置關系解決有關問題

二、學習重點

面面垂直的性質定理及應用

學習難點

“線線、線面、面面”判定及性質定理的應用

三、知識鏈接

1． 面面垂直的判定定理

2． 面面平行的判定與性質定理

3． 直線與面平行、垂直的判定與性質定理

四、學習過程

1． 回顧上節內容，問：如果兩個平面垂直，那么一個面內的直線是否一定垂直于另一個平面？

通過以上討論，得平面與平面垂直的性質定理（1）符號語言：

（2）圖形語言：

2． 如何對定理加以證明：

性質定理體現了什么關系？

它反映了面面垂直與線面垂直之間的密切關系，兩者可以互相轉化。

3． 對性質定理的應用

例：P4

4練習4

拓展：P43 例

3五、基礎達標

1、判斷下列命題是否正確，說明理由：

（1）若α⊥β，α⊥γ，則α∥β

（2）若α⊥β，β⊥γ，則α⊥γ

（3）若α∥α1，β∥β1，α⊥β，則α1⊥β1。

2、如圖α，β，γ，為平面，α∩β＝l,α∩γ＝a, β∩γ＝b,l⊥γ,指出圖中哪個角是二面角

α-l-β的平面角，并說明理由。

3、判斷下列說法是否正確：

（1）若平面α內的兩條相交直線分別平面β 內的兩條相交直線，則平面α平行與平面β；

（2）若兩個平面分別經過兩條平行直線，則這兩個平面互相平行；

4、已知平面α、β直線l,且α∥β，l??，且l∥α,求證：l∥β。

5、（1）已知平面外的一條直線上有兩點到這個平面距離相等，試判斷這條直線與該平面的位置關系；

（2）已知一個平面內有三點到另一平面距離相等，試判斷這兩個平面的位置關系。

6、如圖，已知AB是平面α的垂線，AC是平面α的斜線，CD?α，CD⊥AC。

求證：平面PAC⊥平面PBD.7、在四棱錐P—ABCD若PA⊥平面A BCD，且四邊形ABCD是菱形。

求證：平面PAC⊥平面PBD.8、如圖，已知正方體ABCD—A1B2C3D

4,求證：平面B1AC⊥平面B1BDD1.9、如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求二面角C1-BD-C的正切值。

10、已知平面α，β，γ，且α∥β，β∥γ，求證：α∥γ。

11、如圖，在三棱柱ABC-A'B'C'中，點D，E分別是BC和 B'C'的中點。求證：平面A'EB

∥平面ADC'。

12、如圖，有一塊長方體的木料，經過木料表面A1B1C1D1內的一點P，在這個面內畫線段，使其與木料表面ABCD內的線段EF平行，應該怎樣畫線？

今天我的收獲

第四篇：面面垂直的性質定理（范文模版）

線面、面面垂直的性質定理

教學目標：1.掌握垂直關系的性質定理,并會應用。

2.通過定理的學習，培養和發展空間想象能力、推理論證能力、運用圖形

語言進行交流的能力、幾何直觀能力。

3.通過典型例子的分析和自主探索活動，理解數學概念和結論形成過程，體會蘊涵在其中的思想方法.重 難 點： 垂直關系的性質定理是重點也是難點。

課時安排：1課時.教學手段：多媒體.教學過程：

一、復習引入

線線垂直線面垂直 面面垂直

二、性質定理的引入

（一）問題探究一

為了改善小區電力供應，政府決定在大雄家外的馬路邊立兩根電線桿，如果你是工程師，你有辦法保證這兩根電線桿平行嗎？

答：令它們都垂直于地面！

【抽象概括】

定理6.3如果兩條直線同垂直與一個平面，那么這兩條直線平行.（文字描述）

ab

a??,b???a//b（數學語言，學生歸納）

※歸納線面垂直的性質：

1、線線垂直

2、線線平行（圖形符號）

【練習】

?表示平面，則下列命題 若m、n表示直線，中，正確的命題序號有__________.(1)m??,n???m//

n

(2)m//n,m???n??

(3)m??,n//??m?n(4)m//?,m?n?n??

（二）問題探究二

在探究一中，如果大雄家有一面在馬路邊而且垂直于地面的圍墻，那么你怎么保證電線

桿都垂直于地面呢？

答：令每一條電線桿緊貼墻面且都垂直于墻面與地面的交線！

【抽象概括】

定理6.4 如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直與它們交線的直線垂直于另

一個平面.(文字描述)m ????,????l ??m??m??(數學語言，學生歸納)???m?l ?

（圖形符號）※歸納面面垂直性質：線面垂直線面垂直面面垂直

【練習】

設兩個平面互相垂直，則（）

A.一個平面內的任何一條直線都垂直與另一個平面

B.過交線上一點垂直于一個平面的直線必在另一個平面上

C.過交線上一點垂直于交線的直線，必垂直于另一個平面

D.分別在兩個平面上的兩條直線互相垂直 C1 例1在長方體ABCD?A1B1C1D1中，MN在BA1 N平面B1BCCMN?BC于M1內，且 DC（1）判斷MN與AB的關系，說明理由（MN垂直的所有平面與直.線A 2）找出與

P

例2如圖，在四面體PABC中，PA?面ABC，面PAB?面PBC，求證：BC?AB.C分析：利用逆向思考的方法尋找證明思路.B

四、小結：面面平行

1、線線垂直線面垂直 面面垂直

2、幾何證明中常常使用逆向思考的方法.五、作業：P49B3、P70C2

P68A5－A8 在書上

第五篇：面面平行判定定理教案

2．2．2面面平行的判定

教材：普通高中課程標準實驗教科書人教A版必修二

教學目標

一、知識與技能

1.理解面面平行判定定理并初步應用；

2.化歸與轉化思想在解決實際問題中的應用。

二、過程與方法

1.體會“類比”的數學思想;

2.經歷面面平行定理的證明過程,體驗反證法的過程.三、情感態度與價值觀

引導學生反思新舊知識間的聯系，促進學生養成善于聯系的思考問題，從實

際生活中獲知數學知識。

教學重點

面面平行的判定定理及其應用

教學難點

面面平行判定定理的由來及其證明

教輔手段

黑板，PPT

教學過程

一、問題導入：

復習線面平行的判定方法，引入本節課的課題

二、新知探究

1、兩平面的位置關系（借助PPT），引導學生發現兩平面的位置關系——即平行和相交；

2、教師提問：如何能判別兩平面平行呢？顯然當一個平面內的所以直線都和另

一個平面不相交時，兩平面平行。

教師總結：這個問題告訴我們，判定兩平面平行問題，可以證明一個平面內的所有直線與另一個平面平行，即面面平行轉化為線面平行，但要證明所有直線

和另一個平面平行是很困難的。

教師提問：同學們思考一下，能否將“所有直線：化為有代表性的”一條“或”

幾條直線“呢？

3、學生探究(以長方體模型為例）:

（1）平面?內有一條直線與平面?平行，?,?平行嗎？

（2）平面?內有兩條直線與平面?平行，?,?平行嗎？

4、經過觀察討論解決問題

（PPT）定理：一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平

面平行．

5、教師分析并書寫證明過程。

三、理解應用：

例1：如圖，已知正方體ABCD-EFGH，求證：平面AEG平行于平面BDF

證明：?ABCD?EFGH為正方體

?GF//HE,GF?HE.又AB//HE,AB?HE,?GF//AB,GF?AB,?ABFG是平行四邊形.?AG//BF.又AG?平面BDF,BF?平面BDF

由直線與平面平行的判定定理得

AG//平面BDF,同理GE//平面BDF，又AG?EG?G，?平面AEG//平面BDF.四、課堂練習:

必做題：課本58頁1、3選做題：課本58頁

2五、歸納提升:

1、兩個平面的位置關系：相交、平行

2、判定兩個平面平行的方法：

1）使用“兩個平面互相平行”的定義

2）兩平面平行的判定定理

3、數學思想方法：

轉化的思想

六、課后延續

1.回顧本課的學習過程，整理學習筆記，正確運用面面平行判定定理；

2.完成書面作業：必做教材61頁3；5。

選做教材61頁8

七.板書設計