第一篇：勾股定理的幾種證明方法

勾股定理證明的幾種證明方法

一、教學內容：勾股定理

1.掌握勾股定理，了解用拼圖的方法驗證勾股定理． 2.能夠利用勾股定理進行有關的計算或推理． 3.能夠運用勾股定理解決簡單的實際問題．

二、知識要點：

1.如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝__________，直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，這就是__________．

證法一（拼圖法）：如圖所示，因為大正方形的邊長為a＋b，所以面積為（a＋b）2；中間小正方形的面積為c2，周圍四個直角三角形的面積為4×ab；于是有（a＋b）2＝c2＋4×ab，整理得a2＋b2＝c2．

bab

ac

cbca

ba

(1)證法二（拼圖法）：如圖所示，因為大正方形的邊長為a＋b，所以面積為（a＋b）2．又

因為此正方形的邊長與圖（1）中的正方形邊長相等，所以它們的面積也相等．故a2＋b2＋

4×ab＝c2＋4×ab，所以得到a2＋b2＝c2．

aabca

cb

bbb

證法三（拼圖法）：如圖所示，該圖是由兩個全等的直角三角形和一個以c為直角邊的(2)

等腰直角三角形拼成的，由梯形的面積公式，得S梯形＝（a＋b）（a＋b）＝（a＋b）2．而S

22222

2梯形＝ab×2＋c．故（a＋b）＝ab＋c，整理得a＋b＝c．

cb

ca

b

a

a

證法四（拼圖法）：如圖所示，該圖是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的．因

(3)

為大正方形的面積為c2，四個直角三角形的面積和為4×ab，中間的小正方形的面積為（b－a）2，故c2＝4×ab＋（b－a）2，整理得a2＋b2＝c2．

c

(4)

2.怎樣用勾股定理解決面積問題

求分別以直角三角形的三條邊為邊長的正方形的面積之間的關系，關鍵是找出正方形的面積與三角形的邊之間的關系．

如圖（1）所示，分別以Rt△ABC的三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S1、S2、S3表示，可以很容易得出S1、S2、S3之間的關系．因為△ABC為直角三角形，所以AB2＝AC2＋BC2，而S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝AC2，故S1＝S2＋S3，圖（2）中S1、S2、S3之間的關系也可以用以上方法得到．

CS3A

S1(1)

B

S

2(2)

3.立體圖形中的最短路徑問題（1）圓柱中的最短路徑．

如圖①所示，圓柱的底面周長為20cm，高為4，BC是上底面的直徑，一只螞蟻從點A出發，沿著圓柱的側面爬行到點C，試畫出螞蟻爬行的最短路徑．

因為爬行是在立體圖形的表面上進行的，所以可以把立體圖形轉化成平面圖形，即它的側面展開圖（如圖②所示），再看出發點與目的點之間是哪條線段，需要時可根據勾股定理求出這條線段的長度．

C

CBB

A

①

DA

D

②

（2）正方體中的最短路徑． 如圖③中的正方體，棱長為1，若一只小蟲從點A爬到點C，它爬行的最短路徑是多少？ 將正方體展開后（如圖④所示），因為從點C出發有三條棱，故點C有三處位置，即點C1、C2、C3，分別連結AC1、AC2、AC3，可得它們的長度都是，故這只小蟲爬行的最短路徑為．

注意：當圖③中的立體圖形為長方體時，也是用同樣的方法進行分情況比較，但沿這些不同路徑，所走路程可能會不同．

C

C

3A

③

④

C

1C

2A

三、重點難點：

重點是掌握勾股定理的內容，難點是勾股定理的應用．

【典型例題】

例1.如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，a＝4，求b、c，△ABC的面積及斜邊AB上的高．

A

b

cD

C

分析：在Rt△ABC中，由∠B＝60°可知∠A＝30°，根據30°銳角所對的直角邊等于斜邊的一半可求出c，然后根據勾股定理求出B.進一步用面積公式S△ABC＝ab，求出S△ABC，最后由ab＝c·CD，求CD的長或者是在Rt△ACD中，用30°的銳角所對的直角邊CD等于斜邊AC的一半來求．

解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，所以∠A＝30°． 又因為a＝4，所以c＝8．

根據勾股定理得b2＝c2－a2＝82－42＝48，所以b＝＝4．

所以S△ABC＝ab＝×4×4＝8．

在Rt△ACD中，因為∠A＝30°，所以CD＝AC，所以CD＝×4＝2．

評析：直角三角形中30°銳角所對的直角邊等于斜邊的一半．

例2.一個零件的形狀如圖所示，已知AC＝3cm，AB＝4cm，BD＝12cm．求CD的長．

D

CA

B

Ba

分析：要求CD的長，由圖知CD＝BC＋BD，BD的長已知，在Rt△ABC中，應用勾股定理，求得BC，進而求CD.解：在Rt△ABC中，根據勾股定理，得 BC2＝AC2＋AB2＝32＋42＝25． 在Rt△CBD中，根據勾股定理，得 CD2＝BC2＋BD2＝25＋122＝169，所以CD＝13．

評析：BC在本圖中，既是Rt△ABC的斜邊，又是Rt△CBD的直角邊．

例3.如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長是7cm，則正方形A、B、C、D的面積之和為__________．

分析：由勾股定理，得正方形A、B的面積之和是正方形E的面積，而正方形C、D的面積之和是正方形F的面積．同理，正方形E、F的面積之和是正方形G的面積．所以這四個正方形的面積之和是大正方形G的面積49cm2．

第二篇：勾股定理證明方法

勾股定理證明方法

勾股定理的種證明方法(部分)

【證法1】(梅文鼎證明)

做四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c.把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上.過C作AC的延長線交DF于點p.∵D、E、F在一條直線上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,∴∠EGF=∠BED，∵∠EGF+∠GEF=90°，∴∠BED+∠GEF=90°，∴∠BEG=180o―90o=90o.又∵AB=BE=EG=GA=c，∴ABEG是一個邊長為c的正方形.∴∠ABC+∠CBE=90o.∵RtΔABC≌RtΔEBD,∴∠ABC=∠EBD.∴∠EBD+∠CBE=90o.即∠CBD=90o.又∵∠BDE=90o，∠BCp=90o，BC=BD=a.∴BDpC是一個邊長為a的正方形.同理，HpFG是一個邊長為b的正方形.設多邊形GHCBE的面積為S，則,∴.【證法2】(項明達證明)

做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b(b>a)，斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點在一條直線上.過點Q作Qp‖BC，交AC于點p.過點B作BM⊥pQ，垂足為M;再過點

F作FN⊥pQ，垂足為N.∵∠BCA=90o，Qp‖BC，∴∠MpC=90o，∵BM⊥pQ，∴∠BMp=90o，∴BCpM是一個矩形，即∠MBC=90o.∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90o，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90o，∴∠QBM=∠ABC，又∵∠BMp=90o，∠BCA=90o，BQ=BA=c，∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.同理可證RtΔQNF≌RtΔAEF.【證法3】(趙浩杰證明)

做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b(b>a)，斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形.分別以CF，AE為邊長做正方形FCJI和AEIG，∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，∴FI=a，∴G,I,J在同一直線上，∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB=∠CFD=90o，∴RtΔCJB≌RtΔCFD，同理，RtΔABG≌RtΔADE，∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE

∴∠ABG=∠BCJ,∵∠BCJ+∠CBJ=90o,∴∠ABG+∠CBJ=90o,∵∠ABC=90o,∴G,B,I,J在同一直線上，【證法4】(歐幾里得證明)

做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點在一條直線上，連結

BF、CD.過C作CL⊥DE，交AB于點M，交DE于點

L.∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD，∴ΔFAB≌ΔGAD，∵ΔFAB的面積等于，ΔGAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半，∴矩形ADLM的面積=.同理可證，矩形MLEB的面積=.∵正方形ADEB的面積

=矩形ADLM的面積+矩形MLEB的面積

∴，即.勾股定理的別名

勾股定理，是幾何學中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學的基石”，而且在高等數學和其他學科中也有著極為廣泛的應用。正因為這樣，世界上幾個文明古國都已發現并且進行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱。

我國是發現和研究勾股定理最古老的國家。我國古代數學家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在公元前1000多年，據記載，商高(約公元前1120年)答周公曰“勾廣三，股修四，經隅五”，其意為，在直角三角形中“勾三，股四，弦五”.因此，勾股定理在我國又稱“商高定理”.在公元前7至6世紀一中國學者陳子，曾經給出過任意直角三角形的三邊關系即“以日下為勾，日高為股，勾、股各乘并開方除之得邪至日。

在法國和比利時，勾股定理又叫“驢橋定理”。還有的國家稱勾股定理為“平方定理”。

在陳子后一二百年，希臘的著名數學家畢達哥拉斯發現了這個定理，因此世界上許多國家都稱勾股定理為“畢達哥拉斯”定理.為了慶祝這一定理的發現，畢達哥拉斯學派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個定理又有人叫做“百牛定理”.前任美國第二十屆總統加菲爾德證明了勾股定理(1876年4月1日)。

證明

這個定理有許多證明的方法，其證明的方法可能是數學眾多定理中最多的。路明思(ElishaScottLoomis)的pythagoreanproposition一書中總共提到367種證明方式。

有人會嘗試以三角恒等式(例如：正弦和余弦函數的泰勒級數)來證明勾股定理，但是，因為所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作為勾股定理的證明(參見循環論證)。

第三篇：勾股定理證明方法（精選）

勾股定理證明方法

勾股定理是初等幾何中的一個基本定理。所謂勾股定理，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。這個定理有十分悠久的歷史，幾乎所有文明古國（希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等）對此定理都有所研究。勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理，相傳是古希臘數學家兼哲學家畢達哥拉斯于公元前550年首先發現的。

中國古代對這一數學定理的發現和應用，遠比畢達哥拉斯早得多。中國最早的一部數學著作——《周髀算經》的開頭，記載著一段周公向商高請教數學知識的對話：周公問：“我聽說您對數學非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關于天地得到數據呢？” 商高回答說：“數的產生來源于對方和圓這些形體的認識。其中有一條原理：當直角三角形‘矩'得到的一條直角邊‘勾'等于3，另一條直角邊’股'等于4的時候，那么它的斜邊'弦'就必定是5。這個原理是大禹在治水的時候就總結出來的呵。” 如果說大禹治水因年代久遠而無法確切考證的話，那么周公與商高的對話則可以確定在公元前1100年左右的西周時期，比畢達哥拉斯要早了五百多年。其中所說的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個應用特例。所以現在數學界把它稱為勾股定理是非常恰當的。

在《九章算術》一書中，勾股定理得到了更加規范的一般性表達。書中的《勾股章》說；“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來，再進行開方，便可以得到弦。”《九章算術》系統地總結了戰國、秦、漢以來的數學成就，共收集了246個數學的應用問題和各個問題的解法，列為九章，可能是所有中國數學著作中影響最大的一部。

中國古代的數學家們最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數學家趙爽。趙爽創制了一幅“勾股圓方圖”，用形數結合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明。

上中間的那個小正方形組成的。

每個直角三角形的面積為ab/2；

中間的小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a）2。

于是便可得如下的式子：

4×（ab/2）+（b-a）2=c

2化簡后便可得： a2+b2=c2

在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個相等的直角三角形再加

劉徽在證明勾股定理時也是用以形證數的方法，劉徽用了“出入相補法”即剪貼證明法，他把勾股為邊的正方形上的某些區域剪下來(出)，移到以弦為邊的正方形的空白區域內(入)，結果剛好填滿，完全用圖解法就解決了問題。

1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發表了他對勾股定理的證法。1881年，伽菲爾德就任美國第二十任總統后來，人們為了紀念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統”證法

古代數學家們對于勾股定理的發現和證明，在世界數學史上具有獨特的貢獻和地位。尤其是其中體現出來的“形數統一”的思想方法，更具有科學創新的重大意義。

第四篇：勾股定理五種證明方法

勾股定理五種證明方法

【證法1】

做8

個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a + b，所以面積相等.即

11a2?b2?4?ab?c2?4?ab22，整理得a2?b2?c2.【

證法2】（鄒元治證明）

以a、b 為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角

1ab2形的面積等于.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上，B、F、C三點在一條直線上，C、G、D三點在一條直線上.∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,∴ ∠AHE = ∠BEF.∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o.∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o.∴ 四邊形EFGH是一個邊長為c的正方形.它的面積等于c2.∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,∴ ∠HGD = ∠EHA.∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o.又∵ ∠GHE = 90o,∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o.2??a?b∴ ABCD是一個邊長為a + b的正方形，它的面積等于.∴ ?a?b?21?4?ab?c

22222.∴ a?b?c.【證法3】（梅文鼎證明）

做四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為

c.把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上.過C作AC的延長線交DF于點P.∵ D、E、F在一條直線上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,∴ ∠EGF = ∠BED，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180o―90o= 90o.又∵ AB = BE = EG = GA = c，∴ ABEG是一個邊長為c的正方形.∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o.∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o.即∠CBD= 90o.又∵ ∠BDE = 90o，∠BCP = 90o，ABC = BD = a.∴ BDPC是一個邊長為a的正方形.同理，HPFG是一個邊長為b的正方形.設多邊形GHCBE的面積為S，則

11a2?b2?S?2?ab,c2?S?2?ab22,222∴a?b?c.【證法4】（1876年美國總統Garfield證明）

以a、b 為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角1ab2形的面積等于.把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在一條直線上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o.∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o.∴ ΔDEC是一個等腰直角三角形，12c2它的面積等于.又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o,∴ AD∥BC.1?a?b?

2∴ ABCD是一個直角梯形，它的面積等于2.1?a?b?2?2?1ab?1c2

22.∴ 2

222∴ a?b?c.【證法5】（辛卜松證明）

DD

設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b，斜邊的長為c.作邊長是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD劃分成上方左圖所示的幾個部分，則正方形ABCD

222??a?b?a?b?2ab；把正方形ABCD劃分成上方右圖所示的幾個的面積為

部分，則正方形ABCD的面積為

222∴a?b?2ab?2ab?c,222∴a?b?c.?a?b?21?4?ab?c222 =2ab?c.初二（1）

第五篇：勾股定理的證明方法

這個直角梯形是由2個直角邊分別為、，斜邊為 的直角

三角形和1個直角邊為的等腰直角三角形拼成的。因為3個直角三角形的面積之和等于梯形的面積，所以可以列出等式

化簡得。