第一篇：高一數學函數講解

高一數學函數講解

一、定義在(-1,1)上的函數f(x)滿足：對任意x、y屬于(-1,1)都有

f(x)+f(y)=f[(x+y)/(1+xy)].（1）求證：函數f(x)是奇函數；

（2）如果當x屬于(-1,0)時，有f(x)>0,求證;f(x)在(-1,1)上是單調減函數。

(1)f(0)+f(0)=f[(0+0)/(1+0*0)],即 2f(0)=f(0),所以f(0)=0

f(x)+f(-x)=f[(x-x)/(1-x*x)]=f(0)=0，即f(x）為奇函數

(2)設x1,x2為(-1,1)上任意兩實數，且x1

f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f[(x1-x2)/(1-x1*x2)]

易知[(x1-x2)/(1-x1*x2)]屬于(-1,0)，所以f(x1)-f(x2)>0,即為減函數

二、已知f(x)=x/ax+b(a，b為常數，且a≠0），滿足f(2)=1,f(x)=x有唯一解，求函數f(x)的解析式 f(x)=x/(ax+b)=x

x=x(ax+b)

x(ax+b-1)=0

顯然x=0是一個解

所以ax+b-1=0的解也是x=0

x=(1-b)/a=0

b=1

f(x)=x/(ax+1)

f(2)=2/(2a+1)=1

a=1/2

f(x)=x/(x/2+1)=2x/(x+2)

第二篇：高一數學函數值域解題技巧

一．觀察法

通過對函數定義域、性質的觀察，結合函數的解析式，求得函數的值域。例1求函數y=3+√(2－3x)的值域。

點撥：根據算術平方根的性質，先求出√(2－3x)的值域。解：由算術平方根的性質，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。∴函數的知域為.點評：算術平方根具有雙重非負性，即：（1）被開方數的非負性，（2）值的非負性。

本題通過直接觀察算術平方根的性質而獲解，這種方法對于一類函數的值域的求法，簡捷明了，不失為一種巧法。

練習：求函數y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域為：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函數法

當函數的反函數存在時，則其反函數的定義域就是原函數的值域。例2求函數y=(x+1)/(x+2)的值域。

點撥：先求出原函數的反函數，再求出其定義域。

解：顯然函數y=(x+1)/(x+2)的反函數為:x=(1－2y)/（y－1）,其定義域為y≠1的實數,故函數y的值域為｛y∣y≠1,y∈R｝。點評：利用反函數法求原函數的定義域的前提條件是原函數存在反函數。這種方法體現逆向思維的思想，是數學解題的重要方法之一。

練習：求函數y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函數的值域為｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法

當所給函數是二次函數或可化為二次函數的復合函數時,可以利用配方法求函數值域

例3：求函數y=√(－x2+x+2)的值域。

點撥：將被開方數配方成完全平方數，利用二次函數的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函數的定義域為x∈[－1，2]。此時－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函數的值域是[0,3/2] 點評：求函數的值域不但要重視對應關系的應用,而且要特別注意定義域對值域的制約作用。配方法是數學的一種重要的思想方法。

練習：求函數y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域為{y∣y≤3})四．判別式法

若可化為關于某變量的二次方程的分式函數或無理函數,可用判別式法求函數的值域。

例4求函數y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。

點撥：將原函數轉化為自變量的二次方程，應用二次方程根的判別式，從而確定出原函數的值域。

解：將上式化為（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0（＊）

當y≠2時,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 當y=2時,方程(＊)無解。∴函數的值域為2＜y≤10/3。

點評：把函數關系化為二次方程F(x,y)=0，由于方程有實數解，故其判別式為非負數，可求得函數的值域。常適應于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數。

練習：求函數y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域為y≤－8或y>0）。五．最值法

對于閉區間[a,b]上的連續函數y=f(x),可求出y=f(x)在區間[a,b]內的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數的最值,可得到函數y的值域。

例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數z=xy+3x的值域。

點撥：根據已知條件求出自變量x的取值范圍，將目標函數消元、配方，可求出函數的值域。

解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2)，∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數z在區間[-1,3/2]上連續，故只需比較邊界的大小。

當x=-1時，z=－5；當x=3/2時，z=15/4。∴函數z的值域為｛z∣－5≤z≤15/4｝。

點評：本題是將函數的值域問題轉化為函數的最值。對開區間，若存在最值，也可通過求出最值而獲得函數的值域。

練習：若√x為實數，則函數y=x2+3x-5的值域為（）

A．（－∞，＋∞）B．[－7，＋∞] C．[0，＋∞）D．[－5，＋∞）（答案：D）。六．圖象法

通過觀察函數的圖象，運用數形結合的方法得到函數的值域。例6求函數y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。

點撥：根據絕對值的意義，去掉符號后轉化為分段函數，作出其圖象。解：原函數化為 －2x+1(x≤1)y= 3(-12)它的圖象如圖所示。

顯然函數值y≥3,所以，函數值域[3，＋∞]。

點評：分段函數應注意函數的端點。利用函數的圖象

求函數的值域，體現數形結合的思想。是解決問題的重要方法。

求函數值域的方法較多，還適應通過不等式法、函數的單調性、換元法等方法求函數的值域。七．單調法

利用函數在給定的區間上的單調遞增或單調遞減求值域。例1求函數y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。

點撥：由已知的函數是復合函數，即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定義域為x≤1/3，在此區間內分別討論函數的增減性，從而確定函數的值域。

解：設f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它們在定義域內為增函數，從而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x

在定義域為x≤1/3上也為增函數，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函數值域為｛y|y≤4/3｝。

點評：利用單調性求函數的值域，是在函數給定的區間上，或求出函數隱含的區間，結合函數的增減性，求出其函數在區間端點的函數值，進而可確定函數的值域。練習：求函數y=3+√4-x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝)八．換元法

以新變量代替函數式中的某些量，使函數轉化為以新變量為自變量的函數形式，進而求出值域。

例2求函數y=x-3+√2x+1 的值域。

點撥：通過換元將原函數轉化為某個變量的二次函數，利用二次函數的最值，確定原函數的值域。

解：設t=√2x+1（t≥0）,則 x=1/2(t2-1)。

于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.所以，原函數的值域為｛y|y≥－7/2｝。

點評：將無理函數或二次型的函數轉化為二次函數，通過求出二次函數的最值，從而確定出原函數的值域。這種解題的方法體現換元、化歸的思想方法。它的應用十分廣泛。

練習：求函數y=√x-1 –x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝ 九．構造法

根據函數的結構特征，賦予幾何圖形，數形結合。例3求函數y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。

點撥：將原函數變形，構造平面圖形，由幾何知識，確定出函數的值域。解：原函數變形為f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22 作一個長為

4、寬為3的矩形ABCD，再切割成12個單位 正方形。設HK=x,則ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 , KC=√(x+2)2+1。

由三角形三邊關系知，AK+KC≥AC=5。當A、K、C三點共 線時取等號。

∴原函數的知域為｛y|y≥5｝。

點評：對于形如函數y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均為正數)，均可通過構造幾何圖形，由幾何的性質，直觀明了、方便簡捷。這是數形結合思想的體現。

練習：求函數y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝）十．比例法

對于一類含條件的函數的值域的求法，可將條件轉化為比例式，代入目標函數，進而求出原函數的值域。

例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函數z=x2+y2的值域。

點撥：將條件方程3x-4y-5=0轉化為比例式，設置參數，代入原函數。解：由3x-4y-5=0變形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k為參數)∴x=3+4k,y=1+3k, ∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。當k=－3/5時，x=3/5,y=－4/5時，zmin=1。函數的值域為｛z|z≥1｝.點評：本題是多元函數關系，一般含有約束條件，將條件轉化為比例式，通過設參數，可將原函數轉化為單函數的形式，這種解題方法體現諸多思想方法，具有一定的創新意識。

練習：已知x,y∈R，且滿足4x-y=0,求函數f(x,y)=2x2-y的值域。（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝）

十一．利用多項式的除法

例5求函數y=(3x+2)/(x+1)的值域。

點撥：將原分式函數，利用長除法轉化為一個整式與一個分式之和。解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。∵1/(x+1)≠0，故y≠3。

∴函數y的值域為y≠3的一切實數。

點評：對于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函數均可利用這種方法。練習：求函數y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2）十二．不等式法

例6求函數Y=3x/(3x+1)的值域。

點撥：先求出原函數的反函數，根據自變量的取值范圍，構造不等式。解：易求得原函數的反函數為y=log3[x/(1-x)], 由對數函數的定義知 x/(1-x)＞0 1-x≠0

解得，0＜x<1。

∴函數的值域（0，1）。

點評：考查函數自變量的取值范圍構造不等式（組）或構造重要不等式，求出函數定義域，進而求值域。不等式法是重要的解題工具，它的應用非常廣泛。是數學解題的方法之一。

以下供練習選用：求下列函數的值域 1．Y=√(15－4x)+2x-5；（｛y|y≤3｝）2．Y=2x/(2x－1)。（y>1或y<0）

第三篇：高一數學函數學不會

石家莊高一數學學不會怎么辦

高一馬上就要結束啦，許多高一學生都反映石家莊高一數學學不會怎么辦，高一數學學習起來怎么這么難。不知道您的孩子是不是有著同樣的困惑呢。

其實，高一數學確實在高中階段所有的學科中是最難的，也是最為重要的一個學科。為什么呢？這是因為在物理、化學以及其他的學科學習中，都會或多或少的用到數學的知識，尤其是一些基本的數學計算能力。在一個，高一年級數學學習內容多，且初高中數學學科知識跨度比較大，所以不少學生在高一階段就已經落下了。等到了高二年級，想在跟上來已經為時已晚，這時再要想跟上來就需要付出2倍乃至更多的努力啦。

河北師大外院培訓中心為了幫助更多的孩子學好數學，在高一階段就把高中數學的基礎夯實，2014年暑假繼續舉辦石家莊高一數學物理化學先修班、石家莊高一數學物理化學鞏固復習班，授課教師全部來自石家莊重點中學在職教師，開設有常規班、精品12人小班、名師一對一輔導等學習課程。

河北師大外院培訓中心這個暑假為孩子們準備了豐盛的文化學習大餐。既有文化課的補習，也有多種外語學習興趣愛好班。

具體課程如下：

石家莊高一各科暑假復習鞏固班：石家莊高一數學鞏固輔導班、石家莊高一物理鞏固補習班、石家莊高一化學鞏固班、石家莊高一英語詞匯語法班。

石家莊高一復習班：數學必修1 4 2 5的內容（函數三角函數立體幾何解三角函數）

物理必修1 2（曲線運動功和能機械振動）

化學必修1 2（物質結構化學能與電能有機物）

石家莊英語培訓班：外教英語口語班、新概念英語培訓班。

多語種學習大餐：石家莊日語培訓班、石家莊法語培訓班、石家莊韓語學習班、德語、西班牙語、俄語等十大語種學習課程。

新高一先修暑假班石家莊，我們信賴河北師大外院培訓優仕程教育高一先修班

石家莊高一先修暑假班學校：紫金大廈11樓（槐安路與紅旗大街交口西南角）

石家莊高一先修暑假班乘車路線：乘14、15、25、39、48、78、81、93、107、311、312、320、游2路到17中南區站下車即到

石家莊高一數學暑假復習鞏固班聯系方式：69003993

第四篇：高一數學函數教案24

2.9 函數應用舉例（第二課時）

教學目的：

1．使學生適應各學科的橫向聯系.2.能夠建立一些物理問題的數學模型.3.培養學生分析問題、解決問題的能力.教學重點：數學建模的方法

教學難點：如何把實際問題抽象為數學問題.教學過程：

一、例題

例1（課本第86頁 例2）設海拔 x m處的大氣壓強是 y Pa，y與 x 之間的函數關系式是 y?cekx，其中 c，k為常量，已知某地某天在海平面的大氣壓為1.01?105Pa，1000 m高空的大氣壓為0.90?105Pa，求：600 m高空的大氣壓強。（結果保留3個有效數字）

解：將 x = 0 , y =1.01?105；x = 1000 , y =0.90?105，代入 y?cekx得：

(1)?1.01?105?cek?0?c?1.01?105 ???5k?100051000k(2)?0.90?10?ce?0.90?10?ce 將(1)代入(2)得：

0.90?105?1.01?105e1000k?k?10.90?ln 10001.01?4 計算得：k??1.15?10?4 ∴y?1.01?105?e?1.15?10

將 x = 600 代入, 得：y?1.01?105?e?1.15?10?4?4?600

計算得：y?1.01?105?e?1.15?10＝0.943×105(Pa)答：在600 m高空的大氣壓約為0.943×105 Pa.說明：（1）此題利用數學模型解決物理問題；（2）需由已知條件先確定函數式；（3）此題實質為已知自變量的值，求對應的函數值的數學問題；（4）此題要求學生能借助計算器進行比較復雜的運算.例2在測量某物理量的過程中，因儀器和觀察的誤差，使得n次測量分別得到a1,a2,??, an共n個數據，我們規定所測量的物理量的“最佳近似值”a是這樣一個量：與其他近似值比較a與各數據差的平方和最小.依次規定，從a1,a2,??, an推出的a=________.(1994年全國高考試題)分析：此題應排除物理因素的干擾，抓準題中的數量關系，將問題轉化為函數求最值問題.解：由題意可知，所求a應使y=(a-a1)2+(a-a2)2+?+(a-an)2 最小 由于y=na2-2(a1+a2+?+an)a+(a12+a22+?+an2)若把a看作自變量，則y是關于a的二次函數，于是問題轉化為求二次函數的最小值.因為n＞0,二次函數f(a)圖象開口方向向上.1當a=(a1+a2+?+an)，y有最小值.n1所以a=(a1+a2+?+an)即為所求.n說明：此題在高考中是具有導向意義的試題，它以物理知識和簡單數學知識為基礎，并以物理學科中的統計問題為背景，給出一個新的定義，要求學生讀懂題目，抽象其中的數量關系，將文字語言轉化為符號語言，即

y=(a-a1)2+(a-a2)2+?+(a-an)2，然后運用函數的思想、方法去解決問題，解題關鍵是將函數式化成以a為自變量的二次函數形式，這是函數思想在解決實際問題中的應用.例3某種放射性元素的原子數N隨時間t的變化規律是N=N0e??t,其中N0，λ是正的常數.（1）說明函數是增函數還是減函數；（2）把t表示成原子數N的函數；（3）求N當N=0時，t的值.2解：（1）由于N0＞0,λ＞0，函數N=N0e??t是屬于指數函數y=e?x類型的，所以它是減函數，即原子數N的值隨時間t的增大而減少（2）將N=N0e??t寫成e??t=

N N0根據對數的定義有-λt=ln所以t=-1N N01??NN11(3)把N=0代入t=(lnN0-lnN)得t=(lnN0-ln0)22??11=(lnN0-lnN0+ln2)= ln2.??

二、練習：

1．如圖，已知⊙O的半徑為R，由直徑AB的端點B作圓的切線，從圓周上任一點P引該切線的垂線，垂足為M，連AP設AP=x ⑴寫出AP+2PM關于x的函數關系式 ⑵求此函數的最值 解：⑴過P作PD?AB于D，連PB 設AD=a則x2?2R?a

x2x2a? PM?2R?

2R2R(lnN-lnN0)=(lnN0-lnN)

x2∴f(x)?AP?2PM???x?4R(0?x?2R)

R1R17R(x?)2? R2417R當x?時f(x)max?R

42⑵f(x)?? P D C B A D O A 當x?2R時f(x)min?2R

2．距離船只A的正北方向100海里處有一船只B，以每小時20海里的速度，沿北偏西60?角的方向行駛，A船只以每小時15海里的速度向正北方向行駛，兩船同時出發，問幾小時后兩船相 距最近？

解：設t小時后A行駛到點C，B行駛到點D，則BD=20 BC=100-15t 過D作DE?BC于E DE=BDsin60?=103t BE=BDcos60?=10t ∴EC=BC+BE=100-5t CD=DE2?CE2?∴t=?103t?2??100?5t?=325t2?1000t?10000

220203時CD最小，最小值為200，即兩船行駛小時相距最近。

1313133．一根均勻的輕質彈簧，已知在600N的拉力范圍內，其長度與所受拉力成一次函數關系，現測得當它在100N的拉力作用下，長度為0.55m,在300N拉力作用下長度為0.65，那么彈簧在不受拉力作用時，其自然長度是多少？ 解：設拉力是 x N(0≤x≤600)時，彈簧的長度為 y m

?0.55?100k?b?k?0.0005 設：y = k x + b 由題設：? ??0.65?300k?bb?0.50?? ∴所求函數關系是：y = 0.0005 x + 0.50 ∴當 x = 0時，y = 0.50 , 即不受拉力作用時，彈簧自然長度為 0.50 m。

三、作業：課本P89習題2.9 4，5，6

第五篇：高一數學函數教案21

2.7(第二課時，對數的運算性質)教學目的：

1．掌握對數的運算性質，并能理解推導這些法則的依據和過程； 2．能較熟練地運用法則解決問題； 教學重點：對數運算性質

教學難點：對數運算性質的證明方法.教學過程：

一、復習引入：

1．對數的定義 logaN?b 其中 a ?(0,1)?(1,??)與 N?(0,??)。2．指數式與對數式的互化

3.重要公式：

⑴負數與零沒有對數； ⑵loga1?0，logaa?1 ⑶對數恒等式alogaN?N

am?an?am?n(m,n?R)4．指數運算法則(am)n?amn(m,n?R)

(ab)n?an?bn(n?R)

二、新授內容：

1.積、商、冪的對數運算法則：

如果 a > 0，a ? 1，M > 0，N > 0 有： loga(MN)?logaM?logaN(1)Mloga?logaM?logaN(2)

NlogaMn?nlogaM(n?R)(3)運算法則推導 用定義法：運用轉化的思想，先通過假設，將對數式化成指數式，并利用冪的運算性質進行恒等變形；然后再根據對數定義將指數式化成對數式。（推導過程略）注意事項： 1?語言表達：“積的對數 = 對數的和”??（簡易表達——記憶用）2?注意有時必須逆向運算：如 log105?log102?log1010?1 3?注意定義域： log2(?3)(?5)?log2(?3)?log2(?5)是不成立的log10(?10)2?2log10(?10)是不成立的 4?當心記憶錯誤：loga(MN)?logaM?logaN

loga(M?N)?logaM?logaN 2.常用對數的首數和尾數（大綱未要求，只用實例介紹）

科學記數法：把一個正數寫成10的整數次冪乘一位小數的形式，即

若N>0,記N?10n?m,(n?Z,1?m?10)，則lgN=n+lgm,其中n?Z,0?lm?1;這就是說，任何一個正數的常用對數都可以寫成一個整數加上一個零或正純小數的形式.我們稱這個整數為該對數的首數，這個零或正純小數為該對數的尾數.如：已知lg1.28?0.1070,則

三、例題：

例1 計算

（1）log525，（2）log0.41，（3）log2（47×25），（4）lg5100 例2 用logax，logay，logaz表示下列各式：

lg128?lg(102?1.28)?2?0.1070?2.1070;lg0.00128?lg(10?1.28)??3?0.1070?3.1070?3

xy(1)loga;z例3計算：(1)lg14-2lg

(2)logax2y3z

7lg243lg27?lg8?3lg10+lg7-lg18(2)(3)3lg9lg1.2(1)分別用對數運算性質和逆用運算性質兩種方法運算（答案：0）.lg243lg355lg35(2)???2lg92lg32lg3lg27?lg8?3lg10lg(3)?lg2?3lg(10)?3?22lg1.2lg10

四、課堂練習：課本P78 1，3

1.用lgｘ，lgｙ，lgｚ表示下列各式：(3)1323123(lg3?2lg2?1)32??

lg3?2lg2?12xy2xy3x(1)lg（xyz）；（２）lg；（３）lg；（４）lg2

zyzz

2.求下列各式的值：

（１）log2６－log2３（２）lg５＋lg２（４）log3５－log3１５

3五、作業：課本P79習題2.7 3.（1）（3）（5），4.（1）（5）（6），5.（3）（5）（３）log5３＋log5（6），6.（3）（4）