第一篇:2007-2012年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽分類解析---幾何填空題
2007-2012年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽分類解析匯編---幾何填空題
1.已知直角梯形ABCD的四條邊長分別為AB?2,BC?CD?10,AD?6,過B、D兩點作圓,與BA的延長線交于點E,與CB的延長線交于點F,則BE?BF的值為____4_____.(2007)
解延長CD交⊙O于點G,設(shè)BE,DG的中點分別為點M,N,則
易知AM?DN.因為BC?CD?10,由割線定理,易證BF?DG,所以BE?BF?BE?DG?2(BM?DN)?2(BM?AM)?2AB?4.F M N D
C
2.如圖,正方形ABCD的邊長為1,M,N為BD
所在直線上的兩點,且AM??MAN?135?,則四邊形AMCN的面積為
5(2008)
解設(shè)正方形ABCD的中心為O,連AO,則AO?
BD,AO?OB?, MO?又?ABM??NDA?135?,,∴MB?MO?OB?.2?45???NAD??MAN??DAB??MAB?135??90???MAB
?MAB??AMB,所以△ADN∽△MBA,故ADDNAD?,從而DN??BA?1?MBBAMB2根據(jù)對稱性可知,四邊形AMCN的面積
115S?2S△MAN?2??MN?AO?2???.222
3. 設(shè)D是△ABC的邊AB上的一點,作DE//BC交AC于點E,作DF//AC交BC于點F,已知△ADE、△DBF的面積分別為m和n,則四邊形DECF的面積為______.(2009)
【答】
設(shè)△ABC的面積為S,則因為△ADE∽△ABC,所
以
AD
?
ABBD又因為△BDF∽△BAC,所以?
AB兩式相加
得
F
C
ADBD???1,即ABAB?1,解
得S?2.所以四邊形DECF的面積為2?m?n?
4.在等腰直角△ABC中,AB=BC=5,P是△ABC內(nèi)一點,且PA
PC=5,則PB=______.(2009)【答】
E?mP,F作PE⊥AB,交AB于點E,作PF⊥BC,交BC于點F,設(shè)P
△PCF中利用勾股定理,得
n?,分別在△PAE、m2?(5?n)2?5①(5?m)?n?25②
②-①,得10(n?m)?20,所以m?n?2,代入①中,得n?7n?12?0,解得n1?3,n2?4.F
C
當n?3時,m?n?2?1,在Rt△PAE
中,由勾股定理可得PB??當n?4時,m?n?2?2,此時PE?AE,所以點P在△ABC的外面,不符合題意,舍去.因此PB
5.在△ABC中,已知?B?2?A,BC?2,AB?2?2,則?A?.(2011)【答】 15?。
延長AB到D,使BD=BC,連線段CD,則?D??BCD?
?ABC??A,所以CA=2
CD。
作CE?AB于點E,則E為AD的中點,故
AE?DE?AD?(AB?BD)?(2?2)?2?222,EB
D
BE?AB?AE?(2??(2?.在Rt△BCE
中,co?sEBC?
EB,所以?EBC?30?,故 ?
BC?A?
?ABC?15?. 2
6.如圖,已知AB是⊙O的直徑,弦CD與AB交于點E,過點A作圓的切線與CD的延長線交于點F,如果DE?=.(2011)
【答】 24.設(shè)CE?4x,AE?y,則DF?DE?3x,EF?6x.
連AD,BC.因為AB為⊙O的直徑,AF為⊙O的切線,所以
A
B
CE,AC?8,D為EF的中點,則AB4
?EAF?90?,?ACD??DAF.
又因為D為Rt△AEF的斜邊EF的中點,∴ DA?DE?DF,∴ ?DAF??AFD,∴ ?ACD??AFD,∴ AF?AC?8. 在Rt△AEF中,由勾股定理得EF
F
?AE2?AF2,即 36x2?y2?320.
設(shè)BE?z,由相交弦定理得 CE?DE?AE?BE,即yz?4x?3x?12x,∴ y?320?3yz① 又∵ AD?DE,∴ ?DAE??AED.
又?DAE??BCE,?AED??BEC,∴ ?BCE??BEC,從而BC?BE?z.
在Rt△ACB中,由勾股定理得 AB?AC?BC,即(y?z)?320?z,∴ y?2yz?320.② 聯(lián)立①②,解得y?8,z?16.
所以AB?AE?BE?24.
7.在△ABC中,已知AB=AC,∠A=40°,P為AB上一點,∠ACP=20°,則=.(2012)
【答】
設(shè)D為BC的中點,在△ABC外作∠CAE=20°,則∠BAE=60°.作CE⊥AE,PF⊥AE,則易證△ACE≌△ACD,所以CE=CD=
BCAP
BC.2
又PF=PAsin∠BAE=PAsin60
°=
1AP,PF=CE,所以AP=BC,222
因此
BC
AP
E
B
第二篇:全國1995年初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題(含解析)
全國1995年初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題(含解析)
一、選擇題
5544331.已知a=3,b=4,c=5,則有()
A.a(chǎn)<b<c B.c<b<a.C.c<a<b D.a(chǎn)<c<b
?xy?yz?632.方程組?的正整數(shù)解的組數(shù)是()
xz?yz?23?A.1 B.2.C.3 D.4
23.如果方程(x-1)(x-2x-m)=0的三根可以作為一個三角形的三邊之長,那么實數(shù)m的取值范圍是()A.0?m?1 B.m?333 C.?m?1 D.?m?1 444
4.如果邊長順次為25、39、52與60的四邊形內(nèi)接于一圓,那么此圓的周長為()A.62π B.63π C.64π D.65π
5.設(shè)AB是⊙O的一條弦,CD是⊙O的直徑,且與弦AB相交,記M=|S△CAB-S△DAB|,N=2S△OAB,則()
A.M>N B.M=N C.M<N D.M、N的大小關(guān)系不確定
6.設(shè)實數(shù)a、b滿足不等式||a|-(a+b)|<|a-|a+b||,則()A.a(chǎn)>0且b>0 B.a(chǎn)<0且b>0 C.a(chǎn)>0且b<0 D.a(chǎn)<0且b<0
二、填空題
22227.在1,2,3…,95這95個數(shù)中,十位數(shù)字為奇數(shù)的數(shù)共有______個.a3?18.已知a是方程x+x-=0的根,則5的值為___________.4a?a4?a3?a2219.設(shè)x為正實數(shù),則函數(shù)y=x-x+
21的最小值是__________.x210.以線段AB為直徑作一個半圓,圓心為O,C是半圓周上的點,且OC=AC·BC,則∠CAB=______.
第二試
一、已知∠ACE=∠CDE=90°,點B在CE上,CA=CB=CD,經(jīng)A、C、D三點的圓交AB于F(如圖).求證:F為△CDE的內(nèi)心.二、在坐標平面上,縱坐標與橫坐標都是整數(shù)的點稱為整點,試在二次函數(shù)y?的圖象上找出滿足y?x的所有整點(x,y)并說明理由.三、試證:每個大于6的自然數(shù)n,都可以表示為兩個大于1且互質(zhì)的自然數(shù)之和.x2?x10?9510
一、選擇題
5544331.已知a=3,b=4,c=5,則有()
A.a(chǎn)<b<c B.c<b<a.C.c<a<b D.a(chǎn)<c<b
2.方程組?A.1 ?xy?yz?63的正整數(shù)解的組數(shù)是()
?xz?yz?23 B.2.C.3 D.4
3.如果方程(x-1)(x-2x-m)=0的三根可以作為一個三角形的三邊之長,那么實數(shù)m的取值范圍是()
A.0?m?1 B.m?
2333 C.?m?1 D.?m?1 444
4.如果邊長順次為25、39、52與60的四邊形內(nèi)接于一圓,那么此圓的周長為()
A.62π B.63π C.64π D.65π
5.設(shè)AB是⊙O的一條弦,CD是⊙O的直徑,且與弦AB相交,記M=|S△CAB-S△DAB|,N=2S△OAB,則()A.M>N B.M=N C.M<N D.M、N的大小關(guān)系不確定
6.設(shè)實數(shù)a、b滿足不等式||a|-(a+b)|<|a-|a+b||,則()A.a(chǎn)>0且b>0 B.a(chǎn)<0且b>0 C.a(chǎn)>0且b<0 D.a(chǎn)<0且b<0
二、填空題
22227.在1,2,3…,95這95個數(shù)中,十位數(shù)字為奇數(shù)的數(shù)共有______個.a3?18.已知a是方程x+x-=0的根,則5的值為___________.4324a?a?a?a21
9.設(shè)x為正實數(shù),則函數(shù)y=x-x+
21的最小值是__________.x2【解析】:這個題目是將二次函數(shù)y=x-x與反比例函數(shù)
10.以線段AB為直徑作一個半圓,圓心為O,C是半圓周上的點,且OC=AC·BC,則∠CAB=______.
2第二試
一、已知∠ACE=∠CDE=90°,點B在CE上,CA=CB=CD,經(jīng)A、C、D三點的圓交AB于F(如圖).求證:F為△CDE的內(nèi)心.,試在二次函數(shù)y?的圖
象上找出滿足y?x的所有整點(x,y)并說明理由.x2?x1010?95
6的自然數(shù)n,都可以表示為兩個大于1且互質(zhì)的自然數(shù)之和.
第三篇:全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及答案(1995年)
中國數(shù)學(xué)教育網(wǎng)
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1995年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題
第一試
一、選擇題
1.已知a=355,b=444,c=533,則有[
]
A.a(chǎn)<b<c B.c<b<a
C.c<a<b
D.a(chǎn)<c<b
A.1 B.2
C.3
D.4 3.如果方程(x-1)(x2-2x-m)=0的三根可以作為一個三角形的三邊之長,那么實數(shù)m的取值范圍是
4.如果邊長順次為25、39、52與60的四邊形內(nèi)接于一圓,那么此圓的周長為 [
]
A.62π B.63π C.64π D.65π 5.設(shè)AB是⊙O的一條弦,CD是⊙O的直徑,且與弦AB相交,記M=|S△CAB-S△DAB|,N=2S△OAB,則 [
]
A.M>N
B.M=N
C.M<N D.M、N的大小關(guān)系不確定 6.設(shè)實數(shù)a、b滿足不等式||a|-(a+b)|<|a-|a+b||,則[
]
A.a(chǎn)>0且b>0 B.a(chǎn)<0且b>0 C.a(chǎn)>0且b<0 D.a(chǎn)<0且b<0
二、填空題
1.在12,22,32…,952這95個數(shù)中,十位數(shù)字為奇數(shù)的數(shù)共有____個。
4.以線段AB為直徑作一個半圓,圓心為O,C是半圓周上的點,且OC2=AC·BC,則∠CAB=______.
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第二試
一、已知∠ACE=∠CDE=90°,點B在CE上,CA=CB=CD,經(jīng)A、C、D三點的圓交AB于F(如圖)求證F為△CDE的內(nèi)心。
二、在坐標平面上,縱坐標與橫坐標都是整數(shù)
理由。
三、試證:每個大于6的自然數(shù)n,都可以表示為兩個大于1且互質(zhì)的自然數(shù)之和。
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1995年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽參考答案
第一試
一、選擇題
1.講解:這類指數(shù)冪的比較大小問題,通常是化為同底然后比較指數(shù),或化為同指數(shù)然后比較底數(shù),本題是化為同指數(shù),有
c=(53)11=12511 <24311=(35)11=a
<25611=(44)11=b。選C。
利用lg2=0.3010,lg3=0.4771計算lga、lgb、lgc也可以,但沒有優(yōu)越性。
2.講解:這類方程是熟知的。先由第二個方程確定z=1,進而可求出兩個解:(2,21,1)、(20,3,1).也可以不解方程組
直接判斷:因為x≠y(否則不是正整數(shù)),故方程組①或無解或有兩個解,對照選擇支,選B。
3.講解:顯然,方程的一個根為1,另兩根之和為x1+x2=2>1。三根能作為一個三角形的三邊,須且只須|x1-x2|<1又
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有0≤4-4m<1.
4.講解:四個選擇支表明,圓的周長存在且唯一,從而直徑也存在且唯一.又由
AB2+AD2 =252+602
=52×(52+122)=52×132
=(32+42)×132 =392+522 =BC2+CD2
故可取BD=65為直徑,得周長為65π,選D.
5.講解:此題的得分率最高,但并不表明此題最容易,因為有些考生的理由是錯誤的.比如有的考生取AB為直徑,則M=N=0,于是就選B.其實,這只能排除A、C,不能排除D.
不失一般性,設(shè)CE≥ED,在CE上取CF=ED,則有OF=OE,且S△第 4 頁 http://www.tmdps.cn
ACE-S△ADE=S△AEF=2S△AOE.同理,S△BCE-S△BDE=2S△BOE.相加,得S△ABC-S△DAB=2S△OAB,即M=N.選B.
若過C、D、O分別作AB的垂線(圖3),CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB,垂足分別為E、F、L.連CF、DE,可得梯形CEDF.又由垂徑分弦定理,知L是EF的中點.根據(jù)課本上做過的一道作業(yè):梯形對角線中點的連線平行底邊,并且等于兩底差的一半,有
|CE-DF|=2OL.
即M=N.選B.
6.講解:取a=-
1、b=2可否定A、C、D,選B.一般地,對已知不等式平方,有
|a|(a+b)>a|a+b|.
顯然|a||(a+b)|>0(若等于0,則與上式矛盾),有
兩邊都只能取1或-1,故只有1>-1,即
有a<0且a+b>0,從而b>-a>0.選B.
二、填空題
1.講解:本題雖然以計算為載體,但首先要有試驗觀察的能力.經(jīng)計算12,22,…,102,知十位數(shù)字為奇數(shù)的只有42=16,62=36.然后,對兩位數(shù)10a+b,有
(10a+b)2=20a(5a+b)+b2.
其十位數(shù)字為b2的十位數(shù)字加上一個偶數(shù),故兩位數(shù)的平方中,也中有b=4或6時,其十位數(shù)字才會為奇數(shù),問題轉(zhuǎn)化為,在1,2,…,95中個位數(shù)出現(xiàn)了幾次4或6,有2×9+1=19.
2.講解:這類問題一般都先化簡后代值,直接把a
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學(xué)生在這道題上的錯誤主要是化簡的方向不明確,最后又不會將a2+a作為整體代入.這里關(guān)鍵是整體代入,抓住這一點,計算可以靈活.比如,由①有
由②-①,得
由③-②并將④代入,得
還可由①得
⑥÷⑤即得所求.
3.講解:這個題目是將二次函數(shù)y=x2-x與反比例函數(shù)
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因而x=1時,y有最小值1.
4.講解:此題由筆者提供,原題是求sin
∠CAB,讓初中生用代數(shù)、幾何相結(jié)合的方法求特殊角的三角函數(shù)值sin75°、sin15°.解法如下:
與AB2=AB2+AC2 ② 聯(lián)立,可推出
而式①、③表明,AB、AC是二次方程
改為求∠CAB之后,思路更寬一些.如,由
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第二試
一、講解:首先指出,本題有IMO29-5(1989年)的背景,該題是:在直角△ABC中,斜邊BC上的高,過△ABD的內(nèi)心與△ACD的內(nèi)心的直線分別交邊AB和AC于K和L,△ABC和△AKL的面積分別記為S和T.求證S≥2T.
在這個題目的證明中,要用到AK =AL=AD.
今年的初中聯(lián)賽題相當于反過來,先給出AK=AL=AD(斜邊上的高),再求證KL通過△ABD、△ADC的內(nèi)心(圖7).
其次指出,本題的證法很多,但思路主要有兩個:其一,連FC、FD、FE,然后證其中兩個為相應(yīng)的角平分線;其二是過F作三邊的垂線,然后證明其中兩條垂線段相等.下面是幾個有代表性的證法.
證法1:如圖6,連DF,則由已知,有
連BD、CF,由CD=CB,知 ∠FBD=∠CBD-45° =∠CDB-45°=∠FDB,得FB=FD,即F到B、D和距離相等,F(xiàn)在線段BD的垂直平分線上,從而也在等腰三角形CBD的頂角平分線上,CF是∠ECD的平分線.
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由于F是△CDE上兩條角平分線的交點,因而就是△CDE的內(nèi)心. 證法2:同證法1,得出∠CDF=45°=90°-45°=∠FDE之后,由于∠ABC=∠FDE,故有B、E、D、F四點共圓.連EF,在證得
∠FBD=∠FDB之后,立即有∠FED=∠FBD=∠FDB=∠FEB,即EF是∠CED的平分線.
本來,點E的信息很少,證EF為角平分線應(yīng)該是比較難的,但四點共圓把許多已知信息集中并轉(zhuǎn)移到E上來了,因而證法2并不比證法1復(fù)雜.
由這個證明可知,F(xiàn)是△DCB的外心.
證法4:如圖8,只證CF為∠DCE的平分線.由∠AGC=∠GBA+∠GAB=45°+∠2,∠AGC=∠ADC=∠CAD=∠CAB+∠1
=45°+∠1 得∠1=∠2.
從而∠DCF=∠GCF,得CF為∠DCE的平分線.
證法5:首先DF是∠CDE的平分線,故 △CDE的外心I在直線DF上.
現(xiàn)以CA為y軸、CB為x軸建立坐標系,并記CA=CB=CD=d,則直線AB是一次函數(shù)
y=-x+d ①
第 9 頁 http://www.tmdps.cn 的圖象(圖9).若記內(nèi)心I的坐標為(x1,y1),則 x1+y1=CH+IH
=CH+HB=CB=d
滿足①,即I在直線AB上,但I在DF上,故I是AB與DF的交點.由交點的唯一性知I就是F,從而證得F為Rt△CDE的內(nèi)心.
還可延長ED交⊙O于P1,而CP為直徑來證.
二、講解:此題的原型由筆者提供.題目是:
于第一象限內(nèi),縱坐標小于橫坐標的格點.
這個題目的實質(zhì)是解不等式
求正整數(shù)解.直接解,數(shù)字較繁.但有巧法,由
及1≤y<x,知1+2+…+(x-1)<1995<1+2+…+x.
但1953=1+2+…+62<1995<1+2+…+62+63=2016,得x=63,從而y=21,所求的格點為(21,63).
經(jīng)過命題組的修改之后,數(shù)據(jù)更整齊且便于直接計算.
有x2-x+18≤10|x|.
當x≥0時,有x2-11x+18≤0,得2≤x≤9,代入二次函數(shù),得合乎條件的4個整點:(2,2),(4,3),(7,6),(9,9);
當x<0時,有 x2+9x+18≤0,得-6≤x≤-3,代入二次函數(shù),得合乎條件的2個整點:
(-6,6),(-3,3).
對x≥0,取x=2,4,7,9,12,14,…順次代入,得(2,2)、(4,3)、(7,6)、(9,9),且當x>9時,由
第 10 頁 http://www.tmdps.cn
對x<0,取x=-1,-3,-6,-8,…順次代入,得(-3,3)、(-6,6),且當x<-6時,由
知y>-x,再無滿足y≤|x|的解. 故一共有6個整點,圖示略.
解法3:先找滿足條件y=|x|的整點,即分別解方程 x2-11x+18=0 ① x2+9x+18=0 ②
可得(2,2)、(9,9)、(-6,6)、(-3,3).
再找滿足y<|x|的整點,這時 2<x<9或-6<x<-3,依次檢驗得(4,3)、(7,6).故共有6個整點.
三、講解:直觀上可以這樣看,當n>6時,在2,3,…,n-2中,必有一個數(shù)A與n互質(zhì)(2≤A≤n-2),記
B=n-A≥2,有n=A+B.
此時,A與B必互質(zhì),否則A與B有公約數(shù)d>1,則d也是n的約數(shù),從而A與n有大于1的公約數(shù),與A、n互質(zhì)矛盾.
但是,對于初中生來說,這個A的存在性有點抽象,下面分情況,把它具體找出來.
(1)當n為奇數(shù)時,有 n=2+(n-2),(2)當n為偶數(shù),但不是4的倍數(shù)時,有
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(3)當n為偶數(shù),且又是4的倍數(shù)時,有
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第四篇:1996年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及答案
1996年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題
A.M>N
B.M=N
C.M<N
D.不確定
A.有一組 B.有二組
C.多于二組
D.不存在
3.如圖,A是半徑為1的圓O外的一點,OA=2,AB是圓O的切線,B是切點,弦BC∥OA,連結(jié)AC,則陰影部分的面積等于 [
]
4.設(shè)x1、x2是二次方程x2+x?3=0的兩個根,那么x13?4x22+19的值等于 [
]
A.?
4B.8
C.6
D.0
5.如果一個三角形的面積和周長都被一直線所平分,那么該直線必通過這個三角形的 [
]
A.內(nèi)心 B.外心 C.重心 D.垂心
6.如果20個點將某圓周20等分,那么頂點只能在這20個點中選取的正多邊形的個數(shù)有 [
]
A.4個 B.8個
C.12個
D.24個
2.如圖,在△ABC中,AB=AC,∠ABN=∠MBC,BM=NM,BN=a,則點N到邊BC的距離等于______.
3.設(shè)1995x3=1996y3=1997z3,xyz>0,且
4.如圖,將邊長為1的正方形ABCD繞A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°至AB'C'D'的位置,則這兩個正方形重疊部分的面積是______.
5.某校在向“希望工程”捐款活動中,甲班的m個男生和11個女生的捐款總數(shù)與乙班的9個男人和n個女生的捐款總數(shù)相等,都是(m·n+9m+11n+145)元,已知每人的捐款數(shù)相同,且都是整數(shù)元,求每人的捐款數(shù).
6.設(shè)凸四邊形ABCD的對角線AC、BD的交點為M,過點M作AD的平行線分別交AB、CD于點E、F,交BC的延長線于點O,P是以O(shè)為圓心OM為半徑的圓上一點(位置如圖所示),求證:∠OPF=∠OEP.
三、(本題滿分25分)
已知a、b、c都是正整數(shù),且拋物線y=ax2+bx+c與x軸有兩個不同的交點A、B,若A、B到原點的距離都小于1,求a+b+c的最小值.
1996年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽參考答案
第一試
一、選擇題 1.B 2.A 3.B 4.D 5.A 6.C
二、填空題
一、據(jù)題意m+11=n+9,且整除mn+9m+11n+145mn+9m+11n+145=(m+11)(n+9)+46,故m+11,n+9都整除46,由此得
綜上可知,每人捐款數(shù)為25元或47元.
二、作AD、BO的延長線相交于G,∵OE
而,三、據(jù)題意,方程ax2+bx+c=0有兩個相異根,都在(?1,0)中,故
經(jīng)檢驗,符合題意,∴a+b+c=11最?。?/p>
第五篇:19屆全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及答案
“《數(shù)學(xué)周報》杯”2019年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題
一、選擇題(共5小題,每小題7分,共35分.其中有且只有一個選項是正確的.請將正確選項的代號填入題后的括號里,不填、多填或錯填都得0分)
1.若,則的值為().
(A)
(B)
(C)
(D)
解:
由題設(shè)得.
2.若實數(shù)a,b滿足,則a的取值范圍是
().
(A)a≤
(B)a≥4
(C)a≤或
a≥4
(D)≤a≤4
解.C
因為b是實數(shù),所以關(guān)于b的一元二次方程的判別式
≥0,解得a≤或
a≥4.
3.如圖,在四邊形ABCD中,∠B=135°,∠C=120°,AB=,BC=,CD=,則AD邊的長為().
(A)
(B)
(C)
(D)
(第3題)
解:D
如圖,過點A,D分別作AE,DF垂直于直線BC,垂足分別為E,F(xiàn).
由已知可得
(第3題)
BE=AE=,CF=,DF=2,于是
EF=4+.
過點A作AG⊥DF,垂足為G.在Rt△ADG中,根據(jù)勾股定理得
AD=.
4.在一列數(shù)……中,已知,且當k≥2時,(取整符號表示不超過實數(shù)的最大整數(shù),例如,),則等于().
(A)
(B)
(C)
(D)
解:B
由和可得,,,,……
因為2010=4×502+2,所以=2.
5.如圖,在平面直角坐標系xOy中,等腰梯形ABCD的頂點坐標分別為A(1,1),B(2,-1),C(-2,-1),D(-1,1).y軸上一點P(0,2)繞點A旋轉(zhuǎn)180°得點P1,點P1繞點B旋轉(zhuǎn)180°得點P2,點P2繞點C旋轉(zhuǎn)180°得點P3,點P3繞點D旋轉(zhuǎn)180°得點P4,……,重復(fù)操作依次得到點P1,P2,…,則點P2010的坐標是().
(A)(2010,2)
(B)(2010,)
(C)(2012,)
(D)(0,2)
解:B由已知可以得到,點,的坐標分別為(2,0),(2,).
(第5題)
記,其中.
根據(jù)對稱關(guān)系,依次可以求得:,,.
令,同樣可以求得,點的坐標為(),即(),由于2010=4502+2,所以點的坐標為(2010,).
二、填空題
6.已知a=-1,則2a3+7a2-2a-12的值等于
.
解:0
由已知得
(a+1)2=5,所以a2+2a=4,于是
2a3+7a2-2a-12=2a3+4a2+3a2-2a-12=3a2+6a-12=0.
7.一輛客車、一輛貨車和一輛小轎車在一條筆直的公路上朝同一方向勻速行駛.在某一時刻,客車在前,小轎車在后,貨車在客車與小轎車的正中間.過了10分鐘,小轎車追上了貨車;又過了5分鐘,小轎車追上了客車;再過t分鐘,貨車追上了客車,則t=
.
解:15
設(shè)在某一時刻,貨車與客車、小轎車的距離均為S千米,小轎車、貨車、客車的速度分別為
(千米/分),并設(shè)貨車經(jīng)x分鐘追上客車,由題意得,①,②
.
③
由①②,得,所以,x=30.
故
(分).
8.如圖,在平面直角坐標系xOy中,多邊形OABCDE的頂點坐標分別是O(0,0),A(0,6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).若直線l經(jīng)過點M(2,3),且將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分,則直線l的函數(shù)表達式是
.
(第8題
(第8題)
解:
如圖,延長BC交x軸于點F;連接OB,AFCE,DF,且相交于點N.
由已知得點M(2,3)是OB,AF的中點,即點M為矩形ABFO的中心,所以直線把矩形ABFO分成面積相等的兩部分.又因為點N(5,2)是矩形CDEF的中心,所以,過點N(5,2)的直線把矩形CDEF分成面積相等的兩部分.
于是,直線即為所求的直線.
設(shè)直線的函數(shù)表達式為,則
解得,故所求直線的函數(shù)表達式為.
9.如圖,射線AM,BN都垂直于線段AB,點E為AM上一點,過點A作BE的垂線AC分別交BE,BN于點F,C,過點C作AM的垂線CD,垂足為D.若CD=CF,則
.
(第9題)
解:
見題圖,設(shè).
因為Rt△AFB∽Rt△ABC,所以
.
又因為
FC=DC=AB,所以
即,解得,或(舍去).
又Rt△∽Rt△,所以,即=.
10.對于i=2,3,…,k,正整數(shù)n除以i所得的余數(shù)為i-1.若的最小值滿足,則正整數(shù)的最小值為
.
解:
因為為的倍數(shù),所以的最小值滿足,其中表示的最小公倍數(shù).
由于,因此滿足的正整數(shù)的最小值為.
三、解答題(共4題,每題20分,共80分)
11.如圖,△ABC為等腰三角形,AP是底邊BC上的高,點D是線段PC上的一點,BE和CF分別是△ABD和△ACD的外接圓直徑,連接EF.求證:
(第12A題)
.
(第12B題)
(第11題)
(第12B題)
證明:如圖,連接ED,F(xiàn)D.因為BE和CF都是直徑,所以
ED⊥BC,F(xiàn)D⊥BC,因此D,E,F(xiàn)三點共線.…………(5分)
連接AE,AF,則,所以,△ABC∽△AEF.…………(10分)
(第11題)
作AH⊥EF,垂足為H,則AH=PD.由△ABC∽△AEF可得,從而,所以
.…………(20分)
12.如圖,拋物線(a0)與雙曲線相交于點A,B.已知點A的坐標為(1,4),點B在第三象限內(nèi),且△AOB的面積為3(O為坐標原點).(1)求實數(shù)a,b,k的值;
(2)過拋物線上點A作直線AC∥x軸,交拋物線于另一點C,求
所有滿足△EOC∽△AOB的點E的坐標.解:(1)因為點A(1,4)在雙曲線上,所以k=4.故雙曲線的函數(shù)表達式為.(第12題)
設(shè)點B(t,),AB所在直線的函數(shù)表達式為,則有
解得,.于是,直線AB與y軸的交點坐標為,故,整理得,解得,或t=(舍去).所以點B的坐標為(,).
因為點A,B都在拋物線(a0)上,所以
解得
…(10分)
(2)如圖,因為AC∥x軸,所以C(,4),于是CO=4.又BO=2,所以.設(shè)拋物線(a0)與x軸負半軸相交于點D,則點D的坐標為(,0).(第12題)
因為∠COD=∠BOD=,所以∠COB=.(i)將△繞點O順時針旋轉(zhuǎn),得到△.這時,點(,2)是CO的中點,點的坐標為(4,).延長到點,使得=,這時點(8,)是符合條件的點.(ii)作△關(guān)于x軸的對稱圖形△,得到點(1,);延長到點,使得=,這時點E2(2,)是符合條件的點.
所以,點的坐標是(8,),或(2,).…………(20分)
13.求滿足的所有素數(shù)p和正整數(shù)m.解:由題設(shè)得,所以,由于p是素數(shù),故,或.……(5分)
(1)若,令,k是正整數(shù),于是,故,從而.所以解得
…………(10分)
(2)若,令,k是正整數(shù).當時,有,故,從而,或2.由于是奇數(shù),所以,從而.于是
這不可能.當時,;當,無正整數(shù)解;當時,無正整數(shù)解.綜上所述,所求素數(shù)p=5,正整數(shù)m=9.…………(20分)
14.從1,2,…,2010這2010個正整數(shù)中,最多可以取出多少個數(shù),使得所取出的數(shù)中任意三個數(shù)之和都能被33整除?
解:首先,如下61個數(shù):11,,…,(即1991)滿足題設(shè)條件.(5分)
另一方面,設(shè)是從1,2,…,2010中取出的滿足題設(shè)條件的數(shù),對于這n個數(shù)中的任意4個數(shù),因為,所以
.因此,所取的數(shù)中任意兩數(shù)之差都是33的倍數(shù).…………(10分)
設(shè),i=1,2,3,…,n.由,得,所以,即≥11.…………(15分)
≤,故≤60.所以,n≤61.綜上所述,n的最大值為61.…………(20分)