第一篇：必修一值域單調性(打印兩份)

1-3 函數的表示與值域陳毅東

映射：1.設f:x?x2是集合A到集合B的映射，如果B=?1,2?，則A∩B=（）

1C.?A.?B.??1 或?2?D.?或??

1．函數的表示法：，2．函數的值域：{f(x)|x∈A}為值域。

3．求值域的常用的方法：

①配方法(二次或四次)；②判別式法；③換元法（代數換元法）；⑥單調函數法.4.常用函數的值域，這是求其他復雜函數值域的基礎。

① 函數y?kx?b(k?0,x?R)的值域為R;

② 二次函數y?ax2?bx?c(a?0,x?R)2當a?0時值域是[4ac?b,??),當a?0時值域是(??,4ac?b]；

24a4a

③ 反比例函數y?k(k?0,x?0)的值域為{y|y?0}；

x

④指數函數y?ax(a?0,且a?1,x?R)的值域為R?；

⑤ 對數函數y?logax(a?0,且a?1,x?0)的值域為R；

⑥ 函數y?sinx,y?cosx(x?R)的值域為[-1，1]；

?⑦ 函數y?tanx,x?k??,y?cot x(x?k?,k?Z)的值域為R； 2

１、圖象法：通過作出函數的圖象草圖得到函數值域的方法。

例題：求函數的值域。

２、分離常數法：形如的函數均可由此法求得值域。我們可以采用湊配分子的方法，把函數分離成一個常數和一個分式和的形式，而此時的分式，只有分母上含有變量，進而可利用函數性質確定其值域

例題

小結：

已知分式函數如果在其自然定義域（代數式自身對變量的要求）內，值域為

換元法：運用代數代換，獎所給函數化成值域容易確定的另一函數，從而求得原函數的值域，形如

例題：

判別式法：把函數轉化成關于x的二次方程F(x,y)=0;通過方程有實數根，判別式且a不等于0）從而求得原函數的值域的函數的值域，常用此方法求解。例題：

練習題

1． 求函數的值域：y=-3x2+2;

2.求函數的值域：y=

4． 求函數y =

5．求函數y=

6．求函數的值域：y=x?4?xx?2 x?13x的值域 x2?45的值域.2x2?4x?3

7.求y??x2?2x?3(x?[2,3])的值域

ex

8．求y?的值域 1?ex

1-4 函數的單調性

1．設函數y?f(x)的定義域為A，區間I?A

如果對于區間I內的任意兩個值x1，x2，當x1?x2時，都有f(x1)?f(x2)，那么就說y?f(x)在區間I上是，I稱為y?f(x)的如果對于區間I內的任意兩個值x1，x2，當x1?x2時，都有f(x1)?f(x2)，那么就說y?f(x)在區間I上是，I稱為y?f(x)的2．對函數單調性的理解

（1）函數的單調性只能在函數的定義域內來討論,所以求函數的單調區間,必須先求函數的定義域；

（2）函數單調性定義中的x1，x2有三個特征：一是任意性；二是大小，即x1?x2；三是同 屬于一個

單調區間，三者缺一不可；

（4）關于函數的單調性的證明，如果用定義證明y?f(x)在某區間I上的單調性，那么就要用嚴格的四

個步驟，即①取值；②作差；③判號；④下結論。但是要注意，不能用區間I上的兩個特殊值來代替。而要證明y?f(x)在某區間I上不是單調遞增的，只要舉出反例就可以了，即只要找到區間I上兩個特殊的x1，x2，若x1?x2，有f(x1)?f(x2)即可。

1分別在(??,0)和(0,??)內x

1都是單調遞減的，但是不能說它在整個定義域即(??,0)?(0,??)內是單調遞減的，只能說函數y?的x（5）函數的單調性是對某個區間而言的，所以受到區間的限制，如函數y?

單調遞減區間為(??,0)和(0,??)

（6）一些單調性的判斷規則：①若f(x)與g(x)在定義域內都是增函數（減函數），那么f(x)?g(x)在其公共定義域內是增函數（減函數）。②復合函數的單調性規則是“異減同增”

1．下列函數中,在區間?0,1?上是增函數的是

A．y?xB．y?3?xC．y?1D．y??x2?4 x

2．已知y?x2?2(a?2)x?5在區間(4,??)上是增函數，則a的范圍是（）

A.a??2B.a??2C.a??6D.a??6

．求y?

5.若f(x)?

ax?1在區間(?2,??)上是增函數，則a的取值范圍是。x?2

第二篇：必修一《函數的單調性》教學設計

必修一《函數的單調性》教學設計

必修一《函數的單調性》教學設計

本節課是北師大版必修1,§3《函數的單調性》新授課的微課程教學設計。

課程標準：

通過已學過的函數特別是二次函數，理解函數的單調性、最大（小）值及其幾何意義。

教學目標：

1.理解函數單調性的定義，掌握其圖象特征；

2.能夠根據函數的圖象，讀出函數的單調區間；

3.會用定義法證明函數的單調性；

4.能夠判斷抽象函數的單調性.教學重點：

函數單調性的定義，及單調函數的圖象特征。

教學難點：

數形結合的數學思想方法在函數單調性中的應用。

教學過程：

第1個環節：復習函數單調性的定義。

一般地，設函數f(x)的定義域內的一個區間A上：

如果對于屬于A內某個區間上的任意兩個自變量的值x1、x2,當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2).那么就說f(x)在這個區間上是增函數.如果對于屬于A內某個區間上的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2).那么就說f(x)在這個區間上是減函數.給出函數單調性的定義，強調定義中的“任意”二字，指出函數的單調性是一個整體的概念，在給定的區間內的所有的 均要滿足單調性的數學表達式。

【設計意圖】對函數單調性的定義進行學習，特別是要領會定義中的“任意”二字。

第2個環節：單調函數的圖象特征。

給出3個具體的例子，剖析函數單調性的圖象特征。

然后給出一個函數的圖象，讀出單調遞增和單調遞減區間，將抽象的定義具體化。

在本環節，要重點突出的兩個問題：

（1）單調區間區間端點的“開”和“閉”的問題；

因為函數的單調性是一個整體的概念，在區間端點討論單調性是毫無意義的。但是要注意，如果函數在區間端點處沒有定義，則區間端點必須是“開”的，有定義則“可開可閉”。

（2）單調區間不能寫成并集的形式。

兩個集合的并集相當于是進行集合的運算，結果是一個集合，而顯然函數在[0,4]∪[14,24]圖象不是一直下降的，所以不能寫成并集的形式。

【設計意圖】數形結合提升學生對函數單調性的認識，會根據圖象讀出函數的單調區間。

第3個環節：用定義法證明函數的單調性。

給出一個具體的例題，講解單調性證明的步驟。

例:證明函數f(x)=3x+2在R上是增函數.步驟：

（1）任取定義域內某區間上的兩變量x1，x2，設x1<

（2）判斷f(x2)– f(x1)的正、負情況；

（3）得出結論.證明：

在R上任取x1，x2，設x1<

△y= f(x2)– f(x1)

=(3x2+2)-(3x1+2)

=3(x2-x1)0

∴ f(x)=3x+2在R上是增函數.強調符號的判斷是最重要的一個環節，特別是要將最終的式子化簡成因式相乘和相除的形式，然后逐一判斷符號。

【設計意圖】強調單調性判斷或證明的步驟。結合具體的證明步驟學習如何用定義法證明函數的單調性。

第4個環節：抽象函數的單調性的判斷。

研究兩個問題：

（1）函數y=f(x)與y=f(x)+c（c為常數）具有相同的單調性。

借助一個函數的圖象進行學習，深化理解。

舉例：

如：函數y=x2 與y=x2-1具有相同的單調性.（2）函數y=f(x)與y=c f(x)（c為常數）的單調性之間的關系。

舉例：

如：函數y=x2與y=-x2的單調性.分析：在(-∞,0)單調性相反，（0，+ ∞）單調性相反.如：函數y=x2與y=2x2的單調性.分析：在(-∞,0)單調性相同，（0，+ ∞）單調性相同.對這兩個問題，只要求借助于具體的函數單調性歸納得出，不要求給出嚴格的證明。對學生的要求是記住結論，能夠使用這兩個結論進行簡單函數單調性的判斷即可。

【設計意圖】將許多函數單調性的判斷簡單化，克服每題從定義出發，進行證明的弊端，從而提升能力。

第5個環節：課堂小結。

1.函數單調性的定義是什么？

2.單調函數的圖象特征是什么？

3.函數單調性的判斷有哪兩種方法？

4.本節課你學習了哪些數學思想方法？

【設計意圖】總結回顧本節課學過的知識。

評價設計：

本微課程的設計具有以下特色：

（1）突出學生自主學習能力的提升。

微課程的設計旨在讓學生通過自主學習，讓學生在課前預習、上課聽講、課后復習等環節得到提升，因此特別注重舉例，例子雖然簡單，卻能激發學生思考。

（2）注重數形結合思想方法的培養。

對函數單調性的學習，定義是抽象的，如果僅從定義出發，學生會“照葫蘆畫瓢”，而結合圖象學習，學生對單調性的認識會上升到一個新的層次。

（3）重視學生的數學學習發展。

在講解完函數單調性的概念之后，引入抽象函數單調性的學習，不要求證明，只要求會應用。結合具體的函數來學習，體現的是歸納的思想和由特殊到一般的方法。

第三篇：必修1函數單調性說課稿

必修1《1.3.1 函數的單調性》說課稿

酒泉中學 馬長青

一.教學內容分析

1.本課定位與內容

本節課選自《普通高中課程標準實驗教科書數學必修1》A版第一章第三節函數的基本性質第一小節函數的單調性與最大(小)值，本節課內容教材主要學習函數的單調性的概念，判斷函數的單調性和應用定義證明函數的單調性，共2課時，本節課為第一課時。

2.教材的地位和作用

從單調性本身看，學生的學習分為三個層面，首先是在初中學習了一次函數、二次函數、反比例函數圖象的基礎上對函數的增減性有一個初步的感性認識，其次在高一對單調性進行嚴格定義，最后在高三從導數的角度再次研究單調性。本節課的學習處于對單調性學習的第二層面，通過圖象歸納、抽象出單調性的準確定義，并在高中首次經歷代數的嚴格證明，是對初中學習的一次升華。

從本節的教學看，在此學習單調性是對函數概念的延續和拓展，對進一步探索、研究函數的其他性質有著示范性的作用，從本章的教學看，本節課的學習是后續研究指數函數、對數函數內容的基礎。

從函數知識網絡看，單調性起著承上啟下的作用，一方面，是初中學習內容的深化，使學生對函數單調性從感性認識提高到理性認識。另一方面，函數的單調性為后面學習指數函數、對數函數、三角函數及數列這種特殊的函數打下基礎，與不等式、求函數的值域、最值，導數等都有著緊密的聯系。

從高中數學學習看，函數的單調性是培養學生數形結合思想的重要內容，也是研究變量的變化范圍的有力工具。3.教學目標

根據本課教材特點、課程標準對本節課的教學要求以及學生的認知水平，教學目標確定為： 知識與技能：

（1）從形與數兩方面理解單調性的概念

（2）初步掌握利用函數圖象和單調性定義判斷、證明函數單調性的方法

（3）通過對函數單調性定義的探究，提高觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數單調性的證明，提高推理論證能力 過程與方法：

（1）通過對函數單調性定義的探究，滲透數形結合思想方法（2）經歷觀察發現、抽象概括，自主建構單調性概念的過程，體會從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程。情感態度價值觀：

通過知識的探究過程培養細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣；領會用運動的觀點去觀察分析事物的方法 4.教學重難點

根據上述教學目標，本節課的教學重點是函數單調性的概念形成和初步運用。雖然高一學生已經有一定的抽象思維能力，但是要用準確的符號語言去刻畫圖象的增減性，從感性上升到理性對高一的學生來說比較困難。因此，本節課的教學難點是函數單調性的概念形成。

二.學生情況分析

知識結構

學生已經學習過一次函數，二次函數，反比例函數，函數的概念及函數的表示，能畫出一些簡單函數的圖象，能從圖象的直觀變化，學生能得到函數增減性。

能力結構

通過初中對函數的學習，學生已具備了一定的觀察事物能力，抽象歸納的能力和語言轉換能力。

學習心理

函數的單調性是學生從已經學習的函數中比較容易發現的一個性質，學生渴望進一步學習，這種積極心態是學生學好本節課的情感基礎。

本班學生特點

本班為酒泉中學高一（4）班，學生數學素養較好。三.教學模式

《普通高中數學課程標準(實驗)》指出：“高中數學課程應倡導自主探索等學習數學的方式，這些方式有助于發揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的‘再創造’過程。”

因此，根據教學內容和學生的認知、能力水平，本節課作為新授課主要采取教師啟發式教學法和學生探究式教學法。以設置情境、設問和疑問進行層層引導，激發學生積極思考，逐步將感性認識提升到理性認識，培養和發展學生的抽象思維能力。引導學生提出疑問，進行思考，從而創造性的解決問題，最終形成概念，培養學生的創造性思維和批判精神。

五個環節：創設情境，引入新課；初步探索，概念形成；概念深化，延伸拓展；證法探究，應用定義；小結評價，作業創新 四.教學設計

為達到本節課的教學目標，突出重點，突破難點，我把教學過程設計為五個環節：創設情境，引入新課；初步探索，概念形成；概念深化，延伸拓展；證法探究，應用定義；小結評價，作業創新

單調性的概念是本節課的重點，而形成過程則是本節課的難點，為了突破這一難點，讓學生能夠充分感受單調性概念的形成過程，經歷觀察發現、抽象概括，自主建構單調性概念的過程，本節課設置了前三個環節,后兩個環節的設計，是為了使學生對函數單調性認識的再次深化。

（一）創設情境，引入新課

數學課程標準中提出“通過已學過的函數特別是二次函數理解函數的單調性”，因此在本節課的開始，我作了這樣的情境創設，從學生熟知的一次函數和二次函數入手，從初中對函數增減性的認識過渡到對函數單調性的直觀感受。

提出問題1：分別作出函數y=x，二次函數y=2x，y=-2x和y=x的圖象，并且觀察函數變化規律？

2首先引導學生觀察兩個一次函數圖象，獲得信息：第一個圖象從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大；第二個圖象從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小。然后讓學生明確，對于自變量變化時，函數值具有這兩種變化規律的函數，我們分別稱為增函數和減函數.二次函數的增減性要分段說明，進而提出問題：二次函數是增函數還是減函數？ 進一步討論得出：增減性是函數的局部性質

據此，學生已經對單調性有了直觀認識，緊接著，我提出問題二：能否用自己的理解說說什么是增函數，什么是減函數？ 結合增減性是局部性質，學生會用直觀描述回答：在一個區間里，y隨x增大而增大，則是增函數；y隨x增大而減小就是減函數。

學生用圖象的感性認識初步描述了單調性，下面進一步將學生從感性向理性進行引導

（二）初步探索，概念形成

提出問題三：以y=x+1在（0，+∞）上單調性為例，如何用精確的數學語言來描述函數的單調性？

這是本節課的難點，因此我將概念形成設置了三個階段 1.提問學生什么是“隨著”

經討論得出，隨著是由于當x取一定的值時，y有確定值與之對應，因此x變化時，y會根據法則隨著x發生變化

2.如何刻畫“增大”？

要表示大小關系，學生會想到取點，比大小，學生也許會用特殊點說明問題，比如x取2、3，2<3，對應的函數值是5<10

提出質疑：這個點的變化能否說明y隨著x增大而增大，進一步引導學生從特殊到一般，進入第三階段，對“任取”的理解。

3.對“任取”的理解

針對特殊值，學生可能會舉反例證明其是不充分的，那么應該如何取值呢？學生可能會多取一些，也可能會想到將取值區間任意小，進一步討論得出“任取”二字。

用對隨著的理解再次深化函數概念，用對增大的理解得到要表示大小關系，最后再強調取值的任意性，這樣就實現了從“圖形語言”到 “文字語言”到 “符號語言”的過渡，實現“形”到“數”的轉換，形成了單調性的定義。

得到定義后，再提出如何得到f(x1)

（三）概念深化，延伸拓展

通過上面的問題，學生已經從描述性語言過渡到嚴謹的數學語言。而對嚴謹的數學語言學生還缺乏準確理解，因此在這里通過問題深入研討加深學生對單調性概念的理解。

2提出問題四：能否說從這個例子能得到什么結論？

在它的定義域上是減函數？

學生思考、討論，提出自己觀點 學生可能會提出反例，如x1=-1，x2=1 進一步得出結論：

函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增（減）函數，函數在A∪B上不一定是增（減）函數

教師給出例子進行說明：

進一步提問：

函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增（減）函數，何時函數在A∪B上也是增（減）函數。

學生會提出將函數圖象進行變形（如x<0時圖象向下平移）

性

回歸定義，強調任意 在問題四的背景下解決本題，體會在運動中滿足任意性。拓展探究：已知函數

是（-∞，+∞）上的增函數，求a的取值范圍.這個問題有一定難度，但是學生在前面集合的學習中已經接觸過在運動中求參數a的取值范圍，此處可看作是對前面學習的鞏固。

（四）證法探究，應用定義

在概念已經完善的基礎上，提出例1 例1：證明函數 在（0，+）上是增函數

本環節是對函數單調性概念的準確應用，本題采用前面出現過的函數，一方面希望學生體會到函數圖象和數學語言從不同角度刻畫概念，另一方面避免學生遇到障礙，而是把注意力都集中在單調性定義的應用上。

學生根據單調性定義進行證明，教師在黑板上書寫證明步驟，再引導學生總結證明步驟。

提出例2判斷函數在（0，+∞）上的單調性。

根據定義進行判斷，體會判斷可轉化成證明。

課標中指出“形式化是數學的基本特征之一，但不能僅限于形式化的表達。高中課程強調返璞歸真”因此本題不再從證明角度，而是讓學生再次從定義出發，尋求方法，并體會轉化思想。

進一步提問：如果把（0，+∞）條件去掉，如何解這道題？為學生提供思考空間。

（五）小結評價，作業創新

從知識、方法兩個方面引導學生進行總結。學生回顧函數單調性定義的探究過程；證明、判斷函數單調性的方法步驟；數學思想方法。

小結過程使學生對單調性概念的發生與發展過程有清晰的認識，體會到數學概念形成的主要三個階段：直觀感受、文字描述和嚴格定義。

作業的設計實現了分層，既鞏固了基礎，又給了學生充足的思考空間。

通過本節課的學習，預計學生能理解單調性的定義，絕大多數學生能按照單調性的證明步驟進行證明，能判斷函數的單調性，本節課的評價方式為課堂反饋、教師評價、學生自評相結合。

在本節課的設計中，我有一些新的嘗試，在教學過程中，創設一個探索的學習環境，通過設計一系列問題，使概念得到形成和深化，學生親身經歷數學概念的產生與發展過程，從而逐步把握概念的實質內涵，深入理解概念。在情境設置中，嚴格按照課標要求以二次函數y=x+1為例，經歷畫圖、描述圖象、找單調區間、形成單調性定義、證明其單調性的過程，將學生對單調性的認識從感性上升到理性，并將定義進行應用。五.板書設計 六.課堂評價 七.資源開發 2

第四篇：高中數學必修一函數的單調性教學設計

函數的單調性

北京景山學校 許云堯 【教學目標】

1．使學生從形與數兩方面理解函數單調性的概念，初步掌握利用函數圖象和單調性定義判斷、證明函數單調性的方法．

2．通過對函數單調性定義的探究，滲透數形結合數學思想方法，培養學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數單調性的證明，提高學生的推理論證能力．

3．通過知識的探究過程培養學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓學生經歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程．

【教學重點】 函數單調性的概念、判斷及證明．

【教學難點】 歸納抽象函數單調性的定義以及根據定義證明函數的單調性． 【教學方法】 教師啟發講授，學生探究學習． 【教學手段】 計算機、投影儀． 【教學過程】

一、創設情境，引入課題 課前布置任務：

(1)由于某種原因，2008年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.(2)通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況.課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事.下圖是北京市今年8月8日一天24小時內氣溫隨時間變化的曲線圖.引導學生識圖，捕捉信息，啟發學生思考． 問題：觀察圖形，能得到什么信息？

預案：(1)當天的最高溫度、最低溫度以及何時達到；

(2)在某時刻的溫度；

(3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低.在生活中，我們關心很多數據的變化規律，了解這些數據的變化規律，對我們的生活是很有幫助的．

問題：還能舉出生活中其他的數據變化情況嗎？ 預案：水位高低、燃油價格、股票價格等．

歸納：用函數觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數值是變大還是變小． 〖設計意圖〗由生活情境引入新課，激發興趣．

二、歸納探索，形成概念

對于自變量變化時，函數值是變大還是變小，初中同學們就有了一定的認識，但是沒有嚴格的定義，今天我們的任務首先就是建立函數單調性的嚴格定義.1．借助圖象，直觀感知

問題1：分別作出函數變化時，函數值有什么變化規律？ 的圖象，并且觀察自變量

預案：(1)函數

在整個定義域內 y隨x的增大而增大；函數

在整個定義域內 y隨x的增大而減小．

(2)函數在上 y隨x的增大而增大，在上y隨x的增大而減小．

(3)函數 在上 y隨x的增大而減小，在上y隨x的增大而減小．

引導學生進行分類描述(增函數、減函數)．同時明確函數的單調性是對定義域內某個區間而言的，是函數的局部性質．

問題2：能不能根據自己的理解說說什么是增函數、減函數? 預案：如果函數在某個區間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數

在某個區間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們在該區間上為增函數；如果函數說函數在該區間上為減函數．

教師指出：這種認識是從圖象的角度得到的，是對函數單調性的直觀，描述性的認識． 〖設計意圖〗從圖象直觀感知函數單調性，完成對函數單調性的第一次認識． 2．探究規律，理性認識

問題1：下圖是函數和減函數嗎？ 的圖象,能說出這個函數分別在哪個區間為增函數

學生的困難是難以確定分界點的確切位置．

通過討論，使學生感受到用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究．

〖設計意圖〗使學生體會到用數量大小關系嚴格表述函數單調性的必要性． 問題2：如何從解析式的角度說明

在為增函數？

22預案：(1)在給定區間內取兩個數，例如1和2，因為1<2,所以為增函數．

(2)仿(1)，取很多組驗證均滿足，所以(3)任取，所以

在,因為為增函數．

在為增函數．

在,即對于學生錯誤的回答，引導學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析,使學生認識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導學生在給定的區間內任意取兩個自變量．

〖設計意圖〗把對單調性的認識由感性上升到理性認識的高度,完成對概念的第二次認識．事實上也給出了證明單調性的方法，為證明單調性做好鋪墊.3．抽象思維，形成概念

問題：你能用準確的數學符號語言表述出增函數的定義嗎?

師生共同探究，得出增函數嚴格的定義，然后學生類比得出減函數的定義．(1)板書定義(2)鞏固概念 判斷題：

① ②若函數 ③若函數數．

在區間

和(2,3)上均為增函數，則函數

．

．

在區間(1,3)上為增函④因為函數在區間上是減函數.上都是減函數，所以在

通過判斷題，強調三點：

①單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性． ②對于某個具體函數的單調區間，可以是整個定義域(如一次函數)，可以是定義域內某個區間(如二次函數)，也可以根本不單調(如常函數)．

③函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增（或減）函數，一般不能認為函數在上是增（或減）函數．

思考：如何說明一個函數在某個區間上不是單調函數? 〖設計意圖〗讓學生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學生對定義的理解，完成對概念的第三次認識.三、掌握證法，適當延展

例 證明函數

在上是增函數．

1．分析解決問題 針對學生可能出現的問題，組織學生討論、交流．

證明：任取 ，設元

求差

變形，斷號

∴ ∴

即

∴函數

2．歸納解題步驟

在上是增函數．

定論

引導學生歸納證明函數單調性的步驟：設元、作差、變形、斷號、定論．

練習：證明函數

問題：要證明函數

在區間

上是增函數，除了用定義來證，如果可以證得對

在上是增函數．

任意的，且有可以嗎? 引導學生分析這種敘述與定義的等價性．讓學生嘗試用這種等價形式證明函數在

〖設計意圖〗初步掌握根據定義證明函數單調性的方法和步驟．等價形式進一步發展可以得到導數法，為用導數方法研究函數單調性埋下伏筆．

四、歸納小結，提高認識

學生交流在本節課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結．

1．小結

(1)概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)證明方法和步驟：設元、作差、變形、斷號、定論．(3)數學思想方法和思維方法：數形結合，等價轉化，類比等． 2．作業

書面作業：課本第60頁習題2.3 第4，5，6題． 課后探究： 上是增函數．(1)證明：函數在區間上是增函數的充要條件是對任意的，且

有．

(2)研究函數 的單調性，并結合描點法畫出函數的草圖．

《函數的單調性》教學設計說明

一、教學內容的分析

函數的單調性是學生在了解函數概念后學習的函數的第一個性質，是函數學習中第一個用數學符號語言刻畫的概念，為進一步學習函數其它性質提供了方法依據．

對于函數單調性，學生的認知困難主要在兩個方面：（1）要求用準確的數學符號語言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數的翻譯，從直觀到抽象的轉變對高一的學生是比較困難的；（2）單調性的證明是學生在函數內容中首次接觸到的代數論證內容，而學生在代數方面的推理論證能力是比較薄弱的．根據以上的分析和教學大綱的要求，確定了本節課的重點和難點．

二、教學目標的確定

根據本課教材的特點、教學大綱對本節課的教學要求以及學生的認知水平，從三個不同的方面確定了教學目標，重視單調性概念的形成過程和對概念本質的認識；強調判斷、證明函數單調性的方法的落實以及數形結合思想的滲透；突出語言表達能力、推理論證能力的培養和良好思維習慣的養成．

三、教學方法和教學手段的選擇

本節課是函數單調性的起始課，采用教師啟發講授，學生探究學習的教學方法，通過創設情境，引導探究，師生交流，最終形成概念，獲得方法．本節課使用了多媒體投影和計算機來輔助教學，目的是充分發揮其快捷、生動、形象的特點，為學生提供直觀感性的材料，有助于學生對問題的理解和認識．

四、教學過程的設計

為達到本節課的教學目標，突出重點，突破難點，教學上采取了以下的措施：（1）在探索概念階段, 讓學生經歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程，完成對單調性定義的三次認識,使得學生對概念的認識不斷深入．（2）在應用概念階段,通過對證明過程的分析，幫助學生掌握用定義證明函數單調性的方法和步驟．

（3）考慮到我校學生數學基礎較好、思維較為活躍的特點，對判斷方法進行適當的延展，加深對定義的理解，同時也為用導數研究單調性埋下伏筆．

第五篇：高一必修一函數單調性教學設計

激發興趣，自主探索，模式構建---函數的單調性教學設計

陜西省三原縣北城中學 慕建斌

一、教材分析

本節選自《普通高中課程標準實驗教科書·數學（必修一）》（北師大版），第二章《函數》的第三節“函數的單調性”（第一課時）.函數的單調性是函數最重要的性質，從初中開始學習函數就已經予以滲透，到高一剛開始學習函數，首先學習的函數性質就是函數單調性，因為對任何一個函數都必須研究函數的單調性，而且函數單調性是解決函數問題、方程問題、不等式問題最有力的工具，同時也是函數與導數研究的最重要工具.本節課是以具體函數一次函數、二次函數、反比例函數等為基礎，抽象歸納出函數單調性的定義，并為高三利用導數研究函數的單調性奠定基礎.本節課的設計基于以下考慮：一是如何把握這個過渡階段的學習，在初中階段對函數的增減性有了初步的感性認知，但在高中階段就得升華為定量分析；二是如何處理好用數學符號語言來刻畫函數單調性的概念；三是函數的單調性是學習不等式、極限、導數等其他數學知識的重要基礎，也是常用方法之一.因此，本節課主要培養學生將圖像語言轉化為符號語言的能力、邏輯推理能力和數形結合思想的滲透.二、學情分析

本節課是在高一第一學期進行的，初中階段已經學習了一次函數、二次函數、反比例函數，并認識了是函數單調性的語言描述，本節課重點是將這種語言描述如何轉化為數學符號語言.但是，學生對知識的歸納、概括能力差，主動遷移能力較弱，數形結合的意識與思維還需要進一步培養.三、教學目標

結合本節課在教材中的地位及學情分析，可將本節課的教學目標定位如下：

1、通過實例，使學生理解單調性的概念，并能依據函數單調性的定義證明簡單函數的單調性；

2、培養學生發現問題與解決問題的能力，通過觀察—猜想—推理—證明的思想方法，進一步滲透數學思想；

3、與實際結合，引發學生對數學的欲望，激發學生的動手能力.依據本節課的教學目標可將本節課的重點和難點定為： 重點：函數單調性概念的形成、及其實質的理解.難點：如何將文字語言轉化為數學語言符號.四、教學設計

（一）復習舊知識，引出新問題

問題1 初中已經學習過一次函數、二次函數等，請同學們畫出一次函數y?x?2，二次函數y??x的圖像，觀察圖像說明圖像從左到右是如何變化的？

2意圖 通過函數圖象，讓學生直觀認識函數是遞增的、遞減的圖像特征.追問 由描點法畫函數圖象的過程可知，由于自變量的變化才引起函數值的變化，函數圖像從左到右是上升的或者下降的，反映函數值隨著自變量的變化怎樣變化？

意圖 通過圖像直觀感知函數值y隨著自變量x的增大而增大（或減小）的過程.追問 函數y??x2中，函數值y隨自變量x是如何變化的？ 意圖 在區間(??,0)內，y隨x的增大而增大，在區間(0,+?)內，y隨x的增大而減小，體現單調性是對于區間而言的.問題2 函數值y隨自變量x的增大而增大（或減小）只是語言描述，而數學符號語言是最簡潔、最清楚地反映事物的本質屬性，如何用準確的數學符號來反映這一現象？

意圖 提出新問題，引出本節課的主題

（二）歸納探索，形成概念

問題3 首先，在x軸上，從左到右自變量在增大，如何用數學符號反映？

意圖 自變量x取兩個值x1、x2，當x1?x2時，表示自變量在增大.問題4 若自變量x在x1、x2處的函數值分別為f(x1)、f(x2)，那么自變量在增大，引起函數值在增大（或減小），如何用數學符號表示？

意圖 當x1?x2時，則f(x1)?f(x2)（或f(x1)?f(x2)）

問題5 在函數y??x2中，自變量x從?2增大到1，而相應的函數值則從-4增大到-1，能否說明函數y??x在(?2,1)是遞增的？

意圖 進一步說明函數的增減性是相對于區間而言的，同時也為自變量在區間內取值是任意的做鋪墊.函數y??x在區間(??,220)上是遞增的，在區間(0,??)上也是遞減的，但在其定義域內不能說是遞增的或遞減的.追問 自變量取兩個具體的值時，函數值在增大（或減小），不能反映函數是遞增的（或遞減的），那么，如果自變量取三個、四個、??甚至無數個值，函數值都是遞增的（或遞減的），是不是就能說明函數是遞增的（或遞減的）？

意圖 自變量和因變量的區別就是取無數個值，函數都是遞增的（或遞減的），都不能說明函數是遞增的（或遞減的），比如對于函數f(x)??x而言，若當

2?1??0.8……?2??0.3?時，有0f(?1)?f(?0.8)?…?f(?0.3)?f(0.1)，但是函數f(x)??x在區間(?1,0.1)上不是遞增的.問題6 由上述問題及追問可知，自變量取兩個值、三個值、四個值、甚至無數個值，函數值都在增大，卻不能說明函數是遞增的，那么自變量x應該怎樣取值，才能保證滿足上述條件時，函數f(x)是遞增的（或遞減的）？

意圖 自變量的取值必須是區間內的任意兩個數.這就類似于直線在垂直于平面內的無數條直線，都不能說明直線垂直于這個平面，只有直線垂直于平面內的兩條相交直線，則直線就一定垂直于這個平面.這也是為后續學習這些內容做鋪墊.問題7 結合上述問題的認識，你認為函數是遞增的（或者遞減的），需要抓住哪些關鍵因素？

意圖 遞增（或遞減）是針對定義域內的某個區間；自變量x的取值必須是任意兩個數x1、x2；當x1?x2，則f(x1)?f(x2)（或f(x1)?f(x2)）.問題8 函數是遞增的、遞減的應該如何定義更準確？

意圖

在學生對增函數、減函數定義中的幾個關鍵因素的必要性認識清楚后，自然得到增函數、減函數的定義，而且在今后利用其定義在解決問題時，對其關鍵因素也就認識到位、應用到位了.（三）實例應用，加深理解.問題9 函數y?f(x)的圖像如圖所示，請寫出該函數的增區間和減區間.意圖

由于函數的單調性是針對區間而言的，因此先通過函數圖像，讓學生直觀認識函數的單調區間，這也是函數圖像和性質應用中的一個基本問題看，已知函數圖像認識函數的單調區間.同時也為已知函數的單調性描繪函數圖像做鋪墊.問題10 說出函數f(x)=意圖

函數f(x)=1的單調區間，并用單調性的定義加以證明.x1在整個定義域內不是減函數，進一步說明單調性是針對區間而言x的，同時熟悉函數單調性的定義，培養學生的邏輯推理能力，這也是進入高中階段第一次進行代數推理.變式練習：證明函數f(x)=x+1在區間(0,1)上是減函數，在區間(1，＋∞)上是增x函數．

意圖：進一步加強單調性的定義，特別是在作差變形時，只有化為兩個因式之乘積，才容易判斷其值的正負，這也是利用函數單調性定義證明的關鍵.(四)歸納總結，提升層次

問題10 函數單調性定義中關鍵因素是什么？利用函數單調性定義證明時，作差之后的變形需要注意什么？

意圖 對函數單調性定義中的關鍵因素的進一步熟悉，同時再利用函數單調性定義證明時，作差變形是關鍵.培養學生自己的知識體系，從開始就能有一定的構建能力.(五)作業布置，不斷強化

習題2—3 A組 2、4、5.B組1、2.五、教學設計反思

函數單調性是函數中最重要的性質，對于這節課的理解與掌握情況如何，將直接影響著對函數的進一步學習，同時，函數單調性又是學生第一次接觸代數推理問題，所以，無論從哪個角度說，這節課都是非常關鍵，也非常重要的.基于以上考慮，為了讓學生能夠很好的理解本節課，采用問題發現式教學法，通過設計環環相扣的問題，讓學生在分析問題、解決問題的過程中，對函數單調性定義及其關鍵要素的必要性的理解.如自變量的增大如何用數學符號表示，自變量增大引起函數值增大又如何用數學符號表示，對自變量取值為什么是“任意的”，單調性是相對區間而言的，等等，通過逐層深入的分析、討論，讓學生認識到知識的產生、發展過程，從而領會知識的實質.在練習鞏固問題的設計上，先通過直觀感知，讓學生認識單調區間，在對其進行證明，特別是在利用函數單調性證明時，先是通過簡單問題，讓學生熟悉代數推理的思路，再逐漸增加試題難度，證明函數f(x)=x+1的單調性，主要是在單調性定義證明時，作差變形是x關鍵，只有化為因式之乘積，才容易判斷其正負，這是對作差比較大小思路方法的復習，更重要的是體現數學解題方法的連貫性.