第一篇：高中高一數學必修1各章知識點總結

高中高一數學必修1各章知識點總結（1）第一章 集合與函數（1）

一、集合有關概念

1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。

2、集合的中元素的三個特性：

元素的確定性；??元素的互異性；??元素的無序性

(1)對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的。任何一個對象是不是這個給定的集合的元素，是毫不含糊的。

(2)在任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個集合時，僅算一個元素。

(3)集合中的元素是平等的，不論其先后順序。因此判定兩個集合是否相等，僅需比較它們的元素是否一致，不需考查排列順序是否一樣。

(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。

3、集合的表示：

（1）用拉丁字母記集合；

注意：常用數集及其記號：

自然數集N 正整數集N*或 N+? 整數集Z?? 有理數Q?? 實數集R（2）集合的表示方法：列舉法與描述法。

列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括起來。

描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。

①語言描述法：例：{直角三角形}

②數學式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x|x-3>2}.注意：要特別

4、元素與集合的關系：從屬關系

集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作 a∈A，相反，a不屬于集合A，記作 A(a

5、集合的分類：

（1）有限集??? 含有有限個元素的集合（2）無限集??? 含有無限個元素的集合

（3）空集Φ不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝。

二、集合間的基本關系

1.“包含”關系—子集

（1）包含 ；

（2）真包含。①包含包括真包含和相等兩種情形。②任何一個集合是它本身的子集。

③空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

2、互補關系

（1）全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集。通常用U來表示。

（2）補集：設A是U的一個子集，由U中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做集合A的補集（或余集）（3）性質：①CU(CUA)=A?? ②(CUA)∩A=Φ??③(CUA)∪A=U ④CUΦ=U

⑤CUU=Φ

三、集合的運算

1．交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集．記作A∩B，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．

2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集。記作：A∪B(讀作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．

3、集合主要的運算性質：交換律、結合律、分配律和反演律.反演律：①CU(A∩B)=（CUA）∪（CUB）；②CU(A∪B)=（CUA）∩（CUB）。

四、重要結論

1、crd(A∪B)+ crd(A∩B)= crd(A)+crd(B)。

2、若crd(A)=n，則集合A有2n個子集，2n-1個真子集，2n-1個非空子集，2n-2個非空真子集(n≥1).3、AB A∩B=A A∪B=B（CUA）∪B= UA∩（CUB）=Φ。

第二篇：人教版高一數學必修一各章知識點總結

人教版高一數學必修一各章知識點總結

一、集合與簡易邏輯：

一、理解集合中的有關概念

（1）集合中元素的特征： 確定性，互異性，無序性。

（2）集合與元素的關系用符號=表示。

（3）常用數集的符號表示：自然數集 ；正整數集 ；整數集 ；有理數集、實數集。

（4）集合的表示法： 列舉法，描述法，韋恩圖。

（5）空集是指不含任何元素的集合。

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

二、函數

一、映射與函數：

（1）映射的概念：（2）一一映射：（3）函數的概念：

二、函數的三要素：

相同函數的判斷方法：①對應法則 ；②定義域(兩點必須同時具備)（1）函數解析式的求法：

①定義法（拼湊）：②換元法：③待定系數法：④賦值法：

（2）函數定義域的求法：

①含參問題的定義域要分類討論；

②對于實際問題，在求出函數解析式后；必須求出其定義域，此時的定義域要根據實際意義來確定。

（3）函數值域的求法：

①配方法：轉化為二次函數，利用二次函數的特征來求值；常轉化為型如： 的形式；

②逆求法（反求法）：通過反解，用 來表示，再由 的取值范圍，通過解不等式，得出 的取值范圍；常用來解，型如： ；

④換元法：通過變量代換轉化為能求值域的函數，化歸思想；

⑤三角有界法：轉化為只含正弦、余弦的函數，運用三角函數有界性來求值域；

⑥基本不等式法：轉化成型如：，利用平均值不等式公式來求值域；

⑦單調性法：函數為單調函數，可根據函數的單調性求值域。

⑧數形結合：根據函數的幾何圖形，利用數型結合的方法來求值域。

三、函數的性質：

函數的單調性、奇偶性、周期性 單調性：定義：注意定義是相對與某個具體的區間而言。

判定方法有：定義法（作差比較和作商比較）

導數法（適用于多項式函數）

復合函數法和圖像法。

應用：比較大小，證明不等式，解不等式。

奇偶性：定義：注意區間是否關于原點對稱，比較f(x)與f(-x)的關系。f(x)－f(-x)=0 f(x)=f(-x)f(x)為偶函數；

f(x)+f(-x)=0 f(x)=－f(-x)f(x)為奇函數。

判別方法：定義法，圖像法，復合函數法

應用：把函數值進行轉化求解。

周期性：定義：若函數f(x)對定義域內的任意x滿足：f(x+T)=f(x),則T為函數f(x)的周期。

其他：若函數f(x)對定義域內的任意x滿足：f(x+a)=f(x－a),則2a為函數f(x)的周期.應用：求函數值和某個區間上的函數解析式。

四、圖形變換：函數圖像變換：（重點）要求掌握常見基本函數的圖像，掌握函數圖像變換的一般規律。

常見圖像變化規律：（注意平移變化能夠用向量的語言解釋，和按向量平移聯系起來思考）

平移變換 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b

注意：（ⅰ）有系數，要先提取系數。如：把函數y＝f(2x)經過平移得到函數y＝f(2x＋4)的圖象。

（ⅱ）會結合向量的平移，理解按照向量（m，n）平移的意義。

對稱變換 y=f(x)→y=f(－x),關于y軸對稱

y=f(x)→y=－f(x),關于x軸對稱

y=f(x)→y=f|x|,把x軸上方的圖象保留，x軸下方的圖象關于x軸對稱

y=f(x)→y=|f(x)|把y軸右邊的圖象保留，然后將y軸右邊部分關于y軸對稱。（注意：它是一個偶函數）

伸縮變換：y=f(x)→y=f(ωx)，y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具體參照三角函數的圖象變換。

一個重要結論：若f(a－x)＝f(a+x)，則函數y=f(x)的圖像關于直線x=a對稱；

五、反函數：

（1）定義：

（2）函數存在反函數的條件：

（3）互為反函數的定義域與值域的關系：（4）求反函數的步驟：①將 看成關于 的方程，解出，若有兩解，要注意解的選擇；②將 互換，得 ；③寫出反函數的定義域（即 的值域）。

（5）互為反函數的圖象間的關系：（6）原函數與反函數具有相同的單調性；

（7）原函數為奇函數，則其反函數仍為奇函數；原函數為偶函數，它一定不存在反函數。

七、常用的初等函數：

（1）一元一次函數：（2）一元二次函數：

一般式 兩點式

頂點式

二次函數求最值問題：首先要采用配方法，化為一般式，有三個類型題型：

(1)頂點固定，區間也固定。如：

(2)頂點含參數(即頂點變動)，區間固定，這時要討論頂點橫坐標何時在區間之內，何時在區間之外。

(3)頂點固定，區間變動，這時要討論區間中的參數．

等價命題 在區間 上有兩根 在區間 上有兩根 在區間 或 上有一根

注意：若在閉區間 討論方程 有實數解的情況，可先利用在開區間 上實根分布的情況，得出結果，在令 和 檢查端點的情況。

（3）反比例函數：

（4）指數函數：

指數函數：y=(a>o,a≠1)，圖象恒過點（0，1），單調性與a的值有關，在解題中，往往要對a分a>1和0

（5）對數函數：

對數函數：y=(a>o,a≠1)圖象恒過點（1，0），單調性與a的值有關，在解題中，往往要對a分a>1和0

注意：

（1）比較兩個指數或對數的大小的基本方法是構造相應的指數或對數函數，若底數不相同時轉化為同底數的指數或對數，還要注意與1比較或與0比較。

八、導 數

1．求導法則：

(c)/=0 這里c是常數。即常數的導數值為0。(xn)/=nxn－1 特別地：(x)/=1(x－1)/=()/=－x-2(f(x)±g(x))/= f/(x)±g/(x)(k?f(x))/= k?f/(x)

2．導數的幾何物理意義：

k＝f/(x0)表示過曲線y=f(x)上的點P(x0,f(x0))的切線的斜率。

V＝s/(t)表示即時速度。a=v/(t)表示加速度。

3．導數的應用：

①求切線的斜率。

②導數與函數的單調性的關系

已知（1）分析 的定義域;（2）求導數（3）解不等式，解集在定義域內的部分為增區間（4）解不等式，解集在定義域內的部分為減區間。

我們在應用導數判斷函數的單調性時一定要搞清以下三個關系，才能準確無誤地判斷函數的單調性。以下以增函數為例作簡單的分析，前提條件都是函數 在某個區間內可導。

③求極值、求最值。

注意：極值≠最值。函數f(x)在區間[a,b]上的最大值為極大值和f(a)、f(b)中最大的一個。最小值為極小值和f(a)、f(b)中最小的一個。

f/(x0)＝0不能得到當x=x0時，函數有極值。

但是，當x=x0時，函數有極值 f/(x0)＝0 判斷極值，還需結合函數的單調性說明。

4.導數的常規問題：

（1）刻畫函數（比初等方法精確細微）；

（2）同幾何中切線聯系（導數方法可用于研究平面曲線的切線）；

（3）應用問題（初等方法往往技巧性要求較高，而導數方法顯得簡便）等關于 次多項式的導數問題屬于較難類型。

2．關于函數特征，最值問題較多，所以有必要專項討論，導數法求最值要比初等方法快捷簡便。

3．導數與解析幾何或函數圖象的混合問題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力的一個方向，應引起注意。

九、不等式

一、不等式的基本性質：

注意：(1)特值法是判斷不等式命題是否成立的一種方法，此法尤其適用于不成立的命題。

(2)注意課本上的幾個性質，另外需要特別注意：

①若ab>0，則。即不等式兩邊同號時，不等式兩邊取倒數，不等號方向要改變。

②如果對不等式兩邊同時乘以一個代數式，要注意它的正負號，如果正負號未定，要注意分類討論。③圖象法：利用有關函數的圖象（指數函數、對數函數、二次函數、三角函數的圖象），直接比較大小。

④中介值法：先把要比較的代數式與“0”比，與“1”比，然后再比較它們的大小

二、均值不等式：兩個數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。

基本應用：①放縮，變形；

②求函數最值：注意：①一正二定三相等；②積定和最小，和定積最大。

常用的方法為：拆、湊、平方；

三、絕對值不等式：

注意：上述等號“＝”成立的條件；

四、常用的基本不等式：

五、證明不等式常用方法：

（1）比較法：作差比較：

作差比較的步驟：

⑴作差：對要比較大小的兩個數（或式）作差。

⑵變形：對差進行因式分解或配方成幾個數（或式）的完全平方和。

⑶判斷差的符號：結合變形的結果及題設條件判斷差的符號。

注意：若兩個正數作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小。

（2）綜合法：由因導果。

（3）分析法：執果索因。基本步驟：要證……只需證……，只需證……（4）反證法：正難則反。

（5）放縮法：將不等式一側適當的放大或縮小以達證題目的。

放縮法的方法有：

⑴添加或舍去一些項，⑵將分子或分母放大（或縮小）

⑶利用基本不等式，（6）換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數換元。

（7）構造法：通過構造函數、方程、數列、向量或不等式來證明不等式；

十、不等式的解法：

（1）一元二次不等式： 一元二次不等式二次項系數小于零的，同解變形為二次項系數大于零；注：要對 進行討論：

（2）絕對值不等式：若，則 ； ；

注意：

(1）解有關絕對值的問題，考慮去絕對值，去絕對值的方法有：

⑴對絕對值內的部分按大于、等于、小于零進行討論去絕對值；(2).通過兩邊平方去絕對值；需要注意的是不等號兩邊為非負值。

(3）.含有多個絕對值符號的不等式可用“按零點分區間討論”的方法來解。（4）分式不等式的解法：通解變形為整式不等式；

（5）不等式組的解法：分別求出不等式組中，每個不等式的解集，然后求其交集，即是這個不等式組的解集，在求交集中，通常把每個不等式的解集畫在同一條數軸上，取它們的公共部分。

（6）解含有參數的不等式：

解含參數的不等式時，首先應注意考察是否需要進行分類討論.如果遇到下述情況則一般需要討論：

①不等式兩端乘除一個含參數的式子時，則需討論這個式子的正、負、零性.②在求解過程中，需要使用指數函數、對數函數的單調性時，則需對它們的底數進行討論.③在解含有字母的一元二次不等式時，需要考慮相應的二次函數的開口方向，對應的一元二次方程根的狀況（有時要分析△），比較兩個根的大小,設根為（或更多）但含參數，要討論。

十一、數列

本章是高考命題的主體內容之一，應切實進行全面、深入地復習，并在此基礎上，突出解決下述幾個問題：（1）等差、等比數列的證明須用定義證明，值得注意的是，若給出一個數列的前 項和，則其通項為 若 滿足 則通項公式可寫成.（2）數列計算是本章的中心內容，利用等差數列和等比數列的通項公式、前 項和公式及其性質熟練地進行計算，是高考命題重點考查的內容.（3）解答有關數列問題時，經常要運用各種數學思想.善于使用各種數學思想解答數列題，是我們復習應達到的目標.①函數思想：等差等比數列的通項公式求和公式都可以看作是 的函數，所以等差等比數列的某些問題可以化為函數問題求解.②分類討論思想：用等比數列求和公式應分為 及 ；已知 求 時，也要進行分類；

③整體思想：在解數列問題時，應注意擺脫呆板使用公式求解的思維定勢，運用整

體思想求解.（4）在解答有關的數列應用題時，要認真地進行分析，將實際問題抽象化，轉化為數學問題，再利用有關數列知識和方法來解決.解答此類應用題是數學能力的綜合運用，決不是簡單地模仿和套用所能完成的.特別注意與年份有關的等比數列的第幾項不要弄錯.一、基本概念：

1、數列的定義及表示方法：

2、數列的項與項數：

3、有窮數列與無窮數列：

4、遞增（減）、擺動、循環數列：

5、數列{an}的通項公式an：

6、數列的前n項和公式Sn:

7、等差數列、公差d、等差數列的結構：

8、等比數列、公比q、等比數列的結構：

二、基本公式：

9、一般數列的通項an與前n項和Sn的關系：an=

10、等差數列的通項公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d(其中a1為首項、ak為已知的第k項)當d≠0時，an是關于n的一次式；當d=0時，an是一個常數。

11、等差數列的前n項和公式：Sn= Sn= Sn=

當d≠0時，Sn是關于n的二次式且常數項為0；當d=0時（a1≠0），Sn=na1是關于n的正比例式。

12、等比數列的通項公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k(其中a1為首項、ak為已知的第k項，an≠0)

13、等比數列的前n項和公式：當q=1時，Sn=n a1(是關于n的正比例式)；

當q≠1時，Sn= Sn=

三、有關等差、等比數列的結論

14、等差數列{an}的任意連續m項的和構成的數列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4mS3m、……仍為等比數列。

18、兩個等差數列{an}與{bn}的和差的數列{an+bn}、{an-bn}仍為等差數列。

19、兩個等比數列{an}與{bn}的積、商、倒數組成的數列

{an bn}、、仍為等比數列。

20、等差數列{an}的任意等距離的項構成的數列仍為等差數列。

21、等比數列{an}的任意等距離的項構成的數列仍為等比數列。

22、三個數成等差的設法：a-d,a,a+d；四個數成等差的設法：a-3d,a-d，a+d,a+3d

23、三個數成等比的設法：a/q,a,aq；

四個數成等比的錯誤設法：a/q3,a/q,aq,aq3

24、{an}為等差數列，則(c>0)是等比數列。

25、{bn}（bn>0）是等比數列，則{logcbn}(c>0且c 1)是等差數列。

四、數列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。關鍵是找數列的通項結構。

26、分組法求數列的和：如an=2n+3n

27、錯位相減法求和：如an=(2n-1)2n

28、裂項法求和：如an=1/n(n+1)

29、倒序相加法求和：

30、求數列{an}的最大、最小項的方法： ① an+1-an=…… 如an=-2n2+29n-3

② an=f(n)研究函數f(n)的增減性

31、在等差數列 中,有關Sn 的最值問題——常用鄰項變號法求解：

(1)當 >0,d<0時，滿足 的項數m使得 取最大值.(2)當 <0,d>0時，滿足 的項數m使得 取最小值。

在解含絕對值的數列最值問題時,注意轉化思想的應用。

十二、平面向量

1．基本概念：

向量的定義、向量的模、零向量、單位向量、相反向量、共線向量、相等向量。

2． 加法與減法的代數運算：

(1)若a=（x1,y1）,b=（x2,y2）則a b=（x1+x2,y1+y2）．

向量加法與減法的幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則。

向量加法有如下規律： ＋ = ＋(交換律);+(+c)=(+)+c（結合律）;3．實數與向量的積：實數 與向量 的積是一個向量。

(1)｜ ｜=｜ ｜·｜ ｜;

(2)當 a＞0時，與a的方向相同；當a＜0時，與a的方向相反；當 a=0時，a=0．

兩個向量共線的充要條件：

(1)向量b與非零向量 共線的充要條件是有且僅有一個實數，使得b= ．

(2)若 =（）,b=（）則 ‖b ．

平面向量基本定理：

若e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數，使得 = e1+ e2．

4．P分有向線段 所成的比：

設P1、P2是直線 上兩個點，點P是 上不同于P1、P2的任意一點，則存在一個實數 使 =，叫做點P分有向線段 所成的比。

當點P在線段 上時，＞0；當點P在線段 或 的延長線上時，＜0；

分點坐標公式：若 = ； 的坐標分別為（）,（）,（）；則（≠－1），中點坐標公式： ．

5． 向量的數量積：

（1）．向量的夾角：

已知兩個非零向量 與b，作 = , =b,則∠AOB=（）叫做向量 與b的夾角。

（2）．兩個向量的數量積：

已知兩個非零向量 與b，它們的夾角為，則 ·b=｜ ｜·｜b｜cos ．

其中｜b｜cos 稱為向量b在 方向上的投影．

（3）．向量的數量積的性質：

若 =（）,b=（）則e· = ·e=｜ ｜cos(e為單位向量);⊥b ·b=0（，b為非零向量）;｜ ｜=;cos = = ．

(4)．向量的數量積的運算律：

·b=b·;()·b=(·b)= ·(b);(＋b)·c= ·c+b·c．

6.主要思想與方法：

本章主要樹立數形轉化和結合的觀點，以數代形，以形觀數，用代數的運算處理幾何問題，特別是處理向量的相關位置關系，正確運用共線向量和平面向量的基本定理，計算向量的模、兩點的距離、向量的夾角，判斷兩向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往會與三角函數、數列、不等式、解幾等結合起來進行綜合考查，是知識的交匯點。

十三、立體幾何

1.平面的基本性質：掌握三個公理及推論，會說明共點、共線、共面問題。

能夠用斜二測法作圖。

2.空間兩條直線的位置關系：平行、相交、異面的概念；

會求異面直線所成的角和異面直線間的距離；證明兩條直線是異面直線一般用反證法。

3.直線與平面

①位置關系：平行、直線在平面內、直線與平面相交。

②直線與平面平行的判斷方法及性質,判定定理是證明平行問題的依據。

③直線與平面垂直的證明方法有哪些？

④直線與平面所成的角：關鍵是找它在平面內的射影，范圍是{00.900}

⑤三垂線定理及其逆定理：每年高考試題都要考查這個定理.三垂線定理及其逆定理主要用于證明垂直關系與空間圖形的度量.如：證明異面直線垂直，確定二面角的平面角，確定點到直線的垂線.4.平面與平面

(1)位置關系：平行、相交，（垂直是相交的一種特殊情況）

(2)掌握平面與平面平行的證明方法和性質。

(3)掌握平面與平面垂直的證明方法和性質定理。尤其是已知兩平面垂直，一般是依據性質定理，可以證明線面垂直。

(4)兩平面間的距離問題→點到面的距離問題→(5)二面角。二面角的平面交的作法及求法：

①定義法，一般要利用圖形的對稱性；一般在計算時要解斜三角形；

②垂線、斜線、射影法，一般要求平面的垂線好找，一般在計算時要解一個直角三角形。

③射影面積法，一般是二面交的兩個面只有一個公共點，兩個面的交線不容易找到時用此法?

第三篇：高一數學必修1知識點

進入高中后，很多新生有這樣的心理落差，比自己成績優秀的大有人在，很少有人注意到自己的存在，心理因此失衡，這是正常心理，但是應盡快進入學習狀態。下面給大家分享一些關于高一數學必修1知識點，希望對大家有所幫助。

高一數學必修1知識1

集合的分類

(1)按元素屬性分類，如點集，數集。

(2)按元素的個數多少，分為有/無限集

關于集合的概念：

(1)確定性：作為一個集合的元素，必須是確定的，這就是說，不能確定的對象就不能構成集合，也就是說，給定一個集合，任何一個對象是不是這個集合的元素也就確定了。

(2)互異性：對于一個給定的集合，集合中的元素一定是不同的(或說是互異的)，這就是說，集合中的任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入同一個集合時只能算作集合的一個元素。

(3)無序性：判斷一些對象時候構成集合，關鍵在于看這些對象是否有明確的標準。

集合可以根據它含有的元素的個數分為兩類：

含有有限個元素的集合叫做有限集，含有無限個元素的集合叫做無限集。

非負整數全體構成的集合，叫做自然數集，記作N;

在自然數集內排除0的集合叫做正整數集，記作N+或N-;

整數全體構成的集合，叫做整數集，記作Z;

有理數全體構成的集合，叫做有理數集，記作Q;(有理數是整數和分數的統稱，一切有理數都可以化成分數的形式。)

實數全體構成的集合，叫做實數集，記作R。(包括有理數和無理數。其中無理數就是無限不循環小數，有理數就包括整數和分數。數學上，實數直觀地定義為和數軸上的點一一對應的數。)

1.列舉法：如果一個集合是有限集，元素又不太多，常常把集合的所有元素都列舉出來，寫在花括號“{｝”內表示這個集合，例如，由兩個元素0，1構成的集合可表示為{0，1｝.有些集合的元素較多，元素的排列又呈現一定的規律，在不致于發生誤解的情況下，也可以列出幾個元素作為代表，其他元素用省略號表示。

例如：不大于100的自然數的全體構成的集合，可表示為{0，1，2，3，…，100｝.無限集有時也用上述的列舉法表示，例如，自然數集N可表示為{1，2，3，…，n，…｝.2.描述法：一種更有效地描述集合的方法，是用集合中元素的特征性質來描述。

例如：正偶數構成的集合，它的每一個元素都具有性質：“能被2整除，且大于0”

而這個集合外的其他元素都不具有這種性質，因此，我們可以用上述性質把正偶數集合表示為

{x∈R│x能被2整除，且大于0｝或{x∈R│x=2n，n∈N+｝，大括號內豎線左邊的X表示這個集合的任意一個元素，元素X從實數集合中取值，在豎線右邊寫出只有集合內的元素x才具有的性質。

一般地，如果在集合I中，屬于集合A的任意一個元素x都具有性質p(x),而不屬于集合A的元素都不具有的性質p(x)，則性質p(x)叫做集合A的一個特征性質。于是，集合A可以用它的性質p(x)描述為{x∈I│p(x)｝

它表示集合A是由集合I中具有性質p(x)的所有元素構成的，這種表示集合的方法，叫做特征性質描述法，簡稱描述法。

例如：集合A={x∈R│x2-1=0｝的特征是X2-1=0

高一數學必修1知識2

一、集合有關概念

1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。

2、集合的中元素的三個特性：

1.元素的確定性;

2.元素的互異性;

3.元素的無序性

說明：

(1)對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。

(2)任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個集合時，僅算一個元素。

(3)集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。

(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。

3、集合的表示：{…}如{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

1.用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

2.集合的表示方法：列舉法與描述法。

注意啊：常用數集及其記法：

非負整數集(即自然數集)記作：N

正整數集N-或N+整數集Z有理數集Q實數集R

關于“屬于”的概念

集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說a屬于集合A記作a∈A，相反，a不屬于集合A記作a?A

列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括上。

描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。

①語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

②數學式子描述法：例：不等式x-3>2的'解集是{x?Rx-3>2}或{---3>2}

4、集合的分類：

1.有限集含有有限個元素的集合2.無限集含有無限個元素的集合3.空集不含任何元素的集合例：{--2=-5｝

二、集合間的基本關系

1.“包含”關系—子集

注意：有兩種可能(1)A是B的一部分，;(2)A與B是同一集合。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA

2.“相等”關系(5≥5，且5≤5，則5=5)

實例：設A={--2-1=0}B={-1,1}“元素相同”

結論：對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，即：A=B

①任何一個集合是它本身的子集。AíA

②真子集:如果AíB,且A1B那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)

③如果AíB,BíC,那么AíC

④如果AíB同時BíA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

規定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集

高一數學必修1知識3

一、高中數學函數的有關概念

1.高中數學函數函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于函數A中的任意一個數x，在函數B中都有確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從函數A到函數B的一個函數.記作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的函數{f(x)|x∈A}叫做函數的值域.注意：

函數定義域：能使函數式有意義的實數x的函數稱為函數的定義域。

求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：

(1)分式的分母不等于零;

(2)偶次方根的被開方數不小于零;

(3)對數式的真數必須大于零;

(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的函數.(6)指數為零底不可以等于零，(7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.?相同函數的判斷方法：①表達式相同(與表示自變量和函數值的字母無關);②定義域一致(兩點必須同時具備)

2.高中數學函數值域:先考慮其定義域

(1)觀察法

(2)配方法

(3)代換法

3.函數圖象知識歸納

(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的函數C，叫做函數y=f(x),(x∈A)的圖象.C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上.(2)畫法

A、描點法：

B、圖象變換法

常用變換方法有三種

1)平移變換

2)伸縮變換

3)對稱變換

4.高中數學函數區間的概念

(1)函數區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間

(2)無窮區間

5.映射

一般地，設A、B是兩個非空的函數，如果按某一個確定的對應法則f，使對于函數A中的任意一個元素x，在函數B中都有確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從函數A到函數B的一個映射。記作“f(對應關系)：A(原象)B(象)”

對于映射f：A→B來說，則應滿足：

(1)函數A中的每一個元素，在函數B中都有象，并且象是的;

(2)函數A中不同的元素，在函數B中對應的象可以是同一個;

(3)不要求函數B中的每一個元素在函數A中都有原象。

6.高中數學函數之分段函數

(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。

(2)各部分的自變量的取值情況.(3)分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集.補充：復合函數

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、g的復合函數。

第四篇：高一數學(必修一)知識點總結

高一數學必修1各章知識點總結

（拂曉搜集整理）

第一章

集合與函數概念

一、集合有關概念

1.集合的含義

2.集合的中元素的三個特性：

(1)

元素的確定性如：世界上最高的山

(2)

元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}

(3)

元素的無序性:

如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合3.集合的表示：{

…

}

如：{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

(1)

用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

(2)

集合的表示方法：列舉法與描述法。

u

注意：常用數集及其記法：

非負整數集（即自然數集）

記作：N

正整數集

N*或

N+

整數集Z

有理數集Q

實數集R

1）

列舉法：{a,b,c……}

2）

描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。{x?R|

x-3>2},{x|

x-3>2}

3）

語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4）

Venn圖:

4、集合的分類：

(1)

有限集

含有有限個元素的集合(2)

無限集

含有無限個元素的集合(3)

空集

不含任何元素的集合　　例：{x|x2=－5｝

二、集合間的基本關系

1.“包含”關系—子集

注意：有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。

反之:

集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA

2．“相等”關系：A=B

(5≥5，且5≤5，則5=5)

實例：設

A={x|x2-1=0}

B={-1,1}

“元素相同則兩集合相等”

即：①

任何一個集合是它本身的子集。AíA

②真子集:如果AíB,且A1

B那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)

③如果

AíB,BíC,那么

AíC

④

如果AíB

同時

BíA

那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

規定:

空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

u

有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集

三、集合的運算

運算類型

交

集

并

集

補

集

定

義

由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集．記作AB（讀作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝．

由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集．記作：AB（讀作‘A并B’），即AB

={x|xA，或xB})．

設S是一個集合，A是S的一個子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集）

S

A

記作，即

CSA=

韋

恩

圖

示

S

A

性

質

AA=A

AΦ=Φ

AB=BA

ABA

ABB

AA=A

AΦ=A

AB=BA

ABＡ

ABB

(CuA)

(CuB)

=

Cu

(AB)

(CuA)

(CuB)

=

Cu(AB)

A

(CuA)=U

A

(CuA)=

Φ．

例題：

1.下列四組對象，能構成集合的是

（）

A某班所有高個子的學生

B著名的藝術家

C一切很大的書

D

倒數等于它自身的實數

2.集合{a，b，c

}的真子集共有

個

3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0}，則M與N的關系是

.4.設集合A=，B=，若AB，則的取值范圍是

5.50名學生做的物理、化學兩種實驗，已知物理實驗做得正確得有40人，化學實驗做得正確得有31人，兩種實驗都做錯得有4人，則這兩種實驗都做對的有

人。

6.用描述法表示圖中陰影部分的點（含邊界上的點）組成的集合M=

.7.已知集合A={x|

x2+2x-8=0},B={x|

x2-5x+6=0},C={x|

x2-mx+m2-19=0},若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值

二、函數的有關概念

1．函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數．記作：

y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|

x∈A

}叫做函數的值域．

注意：

1．定義域：能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域。

求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被開方數不小于零；

(3)對數式的真數必須大于零；

(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數為零底不可以等于零，(7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.u

相同函數的判斷方法：①表達式相同（與表示自變量和函數值的字母無關）；②定義域一致

(兩點必須同時具備)

(見課本21頁相關例2)

2．值域

:

先考慮其定義域

(1)觀察法

(2)配方法

(3)代換法

3.函數圖象知識歸納

(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數

y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數

y=f(x),(x

∈A)的圖象．C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上

.(2)

畫法

A、描點法：

B、圖象變換法

常用變換方法有三種

1)

平移變換

2)

伸縮變換

3)

對稱變換

4．區間的概念

（1）區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間

（2）無窮區間

（3）區間的數軸表示．

5．映射

一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f（對應關系）：A（原象）B（象）”

對于映射f：A→B來說，則應滿足：

(1)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

(2)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；

(3)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

6.分段函數

(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。

(2)各部分的自變量的取值情況．

(3)分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集．

補充：復合函數

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則

y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)

稱為f、g的復合函數。

二．函數的性質

1.函數的單調性(局部性質)

（1）增函數

設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1

時，都有f(x1)＞f(x2)，那么就說f(x)在這個區間上是減函數.區間D稱為y=f(x)的單調減區間.注意：函數的單調性是函數的局部性質；

（2）

圖象的特點

如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，那么說函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.(3).函數單調區間與單調性的判定方法

(A)

定義法：

任取x1，x2∈D，且x1

作差f(x1)－f(x2)；

變形（通常是因式分解和配方）；

定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）；

下結論（指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性）．

(B)圖象法(從圖象上看升降)

(C)復合函數的單調性

復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：“同增異減”

注意：函數的單調區間只能是其定義域的子區間,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集.8．函數的奇偶性（整體性質）

（1）偶函數

一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數．

（2）．奇函數

一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數．

（3）具有奇偶性的函數的圖象的特征

偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．

利用定義判斷函數奇偶性的步驟：

首先確定函數的定義域，并判斷其是否關于原點對稱；

確定f(－x)與f(x)的關系；

作出相應結論：若f(－x)

=

f(x)

或

f(－x)－f(x)

=

0，則f(x)是偶函數；若f(－x)

=－f(x)

或

f(－x)＋f(x)

=

0，則f(x)是奇函數．

注意：函數定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件．首先看函數的定義域是否關于原點對稱，若不對稱則函數是非奇非偶函數.若對稱，(1)再根據定義判定;

(2)由

f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1來判定;

(3)利用定理，或借助函數的圖象判定

.9、函數的解析表達式

（1）.函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域.（2）求函數的解析式的主要方法有：

1)

湊配法

2)

待定系數法

3)

換元法

4)

消參法

10．函數最大（小）值（定義見課本p36頁）

利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值

利用圖象求函數的最大（小）值

利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值：

如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；

如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；

例題：

1.求下列函數的定義域：

⑴

⑵

2.設函數的定義域為，則函數的定義域為_

_

3.若函數的定義域為，則函數的定義域是

4.函數，若，則=

5.求下列函數的值域：

⑴

⑵

(3)

(4)

6.已知函數，求函數，的解析式

7.已知函數滿足，則=。

8.設是R上的奇函數，且當時，則當時=

在R上的解析式為

9.求下列函數的單調區間：

⑴

⑵

⑶

10.判斷函數的單調性并證明你的結論．

11.設函數判斷它的奇偶性并且求證：．

第二章

基本初等函數

一、指數函數

（一）指數與指數冪的運算

1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*．

u

負數沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作。

當是奇數時，當是偶數時，2．分數指數冪

正數的分數指數冪的意義，規定：，u

0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義

3．實數指數冪的運算性質

（1）·；

（2）；

（3）

．

（二）指數函數及其性質

1、指數函數的概念：一般地，函數叫做指數函數，其中x是自變量，函數的定義域為R．

注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1．

2、指數函數的圖象和性質

a>1

0

定義域

R

定義域

R

值域y＞0

值域y＞0

在R上單調遞增

在R上單調遞減

非奇非偶函數

非奇非偶函數

函數圖象都過定點（0，1）

函數圖象都過定點（0，1）

注意：利用函數的單調性，結合圖象還可以看出：

（1）在[a，b]上，值域是或；

（2）若，則；取遍所有正數當且僅當；

（3）對于指數函數，總有；

二、對數函數

（一）對數

1．對數的概念：一般地，如果，那么數叫做以為底的對數，記作：（—

底數，—

真數，—

對數式）

說明：

注意底數的限制，且；；

注意對數的書寫格式．

兩個重要對數：

常用對數：以10為底的對數；

自然對數：以無理數為底的對數的對數．

u

指數式與對數式的互化

冪值

真數

＝

N＝

b

底數

指數

對數

（二）對數的運算性質

如果，且，，那么：

·＋；

－；

．

注意：換底公式

（，且；，且；）．

利用換底公式推導下面的結論

（1）；（2）．

（二）對數函數

1、對數函數的概念：函數，且叫做對數函數，其中是自變量，函數的定義域是（0，+∞）．

注意：

對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別。如：，都不是對數函數，而只能稱其為對數型函數．

對數函數對底數的限制：，且．

2、對數函數的性質：

a>1

0

定義域x＞0

定義域x＞0

值域為R

值域為R

在R上遞增

在R上遞減

函數圖象都過定點（1，0）

函數圖象都過定點（1，0）

（三）冪函數

1、冪函數定義：一般地，形如的函數稱為冪函數，其中為常數．

2、冪函數性質歸納．

（1）所有的冪函數在（0，+∞）都有定義并且圖象都過點（1，1）；

（2）時，冪函數的圖象通過原點，并且在區間上是增函數．特別地，當時，冪函數的圖象下凸；當時，冪函數的圖象上凸；

（3）時，冪函數的圖象在區間上是減函數．在第一象限內，當從右邊趨向原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸．

例題：

1.已知a>0，a0，函數y=ax與y=loga(-x)的圖象只能是

（）

2.計算：

①

;②=

；=

;

③

=

3.函數y=log(2x2-3x+1)的遞減區間為

4.若函數在區間上的最大值是最小值的3倍，則a=

5.已知，（1）求的定義域（2）求使的的取值范圍

第三章

函數的應用

一、方程的根與函數的零點

1、函數零點的概念：對于函數，把使成立的實數叫做函數的零點。

2、函數零點的意義：函數的零點就是方程實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標。

即：方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數有零點．

3、函數零點的求法：

（代數法）求方程的實數根；

（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數的圖象聯系起來，并利用函數的性質找出零點．

4、二次函數的零點：

二次函數．

（1）△＞０，方程有兩不等實根，二次函數的圖象與軸有兩個交點，二次函數有兩個零點．

（2）△＝０，方程有兩相等實根，二次函數的圖象與軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點．

（3）△＜０，方程無實根，二次函數的圖象與軸無交點，二次函數無零點．

5.函數的模型

收集數據

畫散點圖

選擇函數模型

求函數模型

用函數模型解釋實際問題

符合實際

不符合實際

檢驗

第五篇：高一數學必修2知識點總結

高中數學必修2知識點

三、立體幾何初步

1、柱、錐、臺、球的結構特征

（1）棱柱：定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共

邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點字母，如五棱柱ABCDE?ABCDE或用對角線的端點字母，如五棱柱'''''

AD'

幾何特征：兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側面、對角面都是平行四邊形；側棱平行且

相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。

（2）棱錐

定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體

分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點字母，如五棱錐P?ABCDE

幾何特征：側面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到

截面距離與高的比的平方。

（3）棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分 分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱態、四棱臺、五棱臺等

表示：用各頂點字母，如五棱臺P?ABCDE

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側面是梯形③側棱交于原棱錐的頂點

（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉,其余三邊旋轉所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側面展開圖

是一個矩形。

（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸,旋轉一周所成的曲面所圍成的幾何

體

幾何特征：①底面是一個圓；②母線交于圓錐的頂點；③側面展開圖是一個扇形。

（6）圓臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個圓；②側面母線交于原圓錐的頂點；③側面展開圖是一個弓形。

（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體 幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點到球心的距離等于半徑。

2、空間幾何體的三視圖 ''''''''''

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定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側視圖（從左向右）、俯視圖（從上向下）

注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關系，即反映了物體的高度和長度；

俯視圖反映了物體左右、前后的位置關系，即反映了物體的長度和寬度；

側視圖反映了物體上下、前后的位置關系，即反映了物體的高度和寬度。

3、空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法

斜二測畫法特點：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變；

②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。

4、柱體、錐體、臺體的表面積與體積

（1）幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和。

（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高，h為斜高，l為母線）'

S直棱柱側面積?chS圓柱側?2?rh S正棱錐側面積?1ch'S圓錐側面積??rl

2S正棱臺側面積?1(c1?c2)h'S圓臺側面積?(r?R)?l 2

?2?r?r?l?S圓錐表??r?r?l?S圓臺表??r2?rl?Rl?R2S圓柱表??

（3）柱體、錐體、臺體的體積公式

1V柱?ShV圓柱?Sh??2r hV錐?ShV圓錐

?1?r2h 3

31'1122V臺?(S'S)h

V圓臺?(S?S)h??(r?rR?R)h

333

（4）球體的表面積和體積公式：V球=4?R3 3； S球面=4?R24、空間點、直線、平面的位置關系

（1）平面

①平面的概念：A.描述性說明；B.平面是無限伸展的；

②平面的表示：通常用希臘字母α、β、γ表示，如平面α（通常寫在一個銳角內）；

也可以用兩個相對頂點的字母來表示，如平面BC。

③ 點與平面的關系：點A在平面?內，記作A??；點A不在平面?內，記作A??

點與直線的關系：點A的直線l上，記作：A∈l；點A在直線l外，記作A?l；

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直線與平面的關系：直線l在平面α內，記作l?α；直線l不在平面α內，記作l?α。

（2）公理1：如果一條直線的兩點在一個平面內，那么這條直線是所有的點都在這個平面內。

（即直線在平面內，或者平面經過直線）

應用：檢驗桌面是否平； 判斷直線是否在平面內

用符號語言表示公理1：A?l,B?l,A??,B???l??

（3）公理2：經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。

推論：一直線和直線外一點確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一

平面。

公理2及其推論作用：①它是空間內確定平面的依據②它是證明平面重合的依據

（4）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線

符號：平面α和β相交，交線是a，記作α∩β＝a。

符號語言：P?A?B?A?B?l,P?l

公理3的作用：

①它是判定兩個平面相交的方法。

②它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關系：交線必過公共點。

③它可以判斷點在直線上，即證若干個點共線的重要依據。

（5）公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行

（6）空間直線與直線之間的位置關系

① 異面直線定義：不同在任何一個平面內的兩條直線

② 異面直線性質：既不平行，又不相交。

③ 異面直線判定：過平面外一點與平面內一點的直線與平面內不過該店的直線是異面直線 ④ 異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經過空間任意一點O，分別引直線a’∥a，b’∥b，則把直線a’和b’所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是（0°，90°]，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。

說明：（1）判定空間直線是異面直線方法：①根據異面直線的定義；②異面直線的判定定理

（2）在異面直線所成角定義中，空間一點O是任取的，而和點O的位置無關。

②求異面直線所成角步驟：

A、利用定義構造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點

選在特殊的位置上。B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來求角

（7）等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補。

（8）空間直線與平面之間的位置關系

直線在平面內——有無數個公共點．

三種位置關系的符號表示：a?αa∩α＝Aa∥α

（9）平面與平面之間的位置關系：平行——沒有公共點；α∥β

相交——有一條公共直線。α∩β＝b5、空間中的平行問題

（1）直線與平面平行的判定及其性質

線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內一條直線平行,則該直線與此平面平行。

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線線平行?線面平行

線面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。線面平行?線線平行

（2）平面與平面平行的判定及其性質

兩個平面平行的判定定理

（1）如果一個平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行

（線面平行→面面平行），（2）如果在兩個平面內，各有兩組相交直線對應平行，那么這兩個平面平行。

（線線平行→面面平行），（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行，兩個平面平行的性質定理

（1）如果兩個平面平行，那么某一個平面內的直線與另一個平面平行。（面面平行→線面平行）

（2）如果兩個平行平面都和第三個平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行→線線平行）

7、空間中的垂直問題

（1）線線、面面、線面垂直的定義

①兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。②線面垂直：如果一條直線和一個平面內的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個平面垂直。

③平面和平面垂直：如果兩個平面相交，所成的二面角（從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個平面垂直。

（2）垂直關系的判定和性質定理

①線面垂直判定定理和性質定理

判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個平面。性質定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。

②面面垂直的判定定理和性質定理

判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。

性質定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于他們的交線的直線垂直于另一個平面。

9、空間角問題

（1）直線與直線所成的角

①兩平行直線所成的角：規定為0?。

②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。③兩條異面直線所成的角：過空間任意一點O，分別作與兩條異面直線a，b平行的直線a?,b?，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。

（2）直線和平面所成的角

??①平面的平行線與平面所成的角：規定為0。②平面的垂線與平面所成的角：規定為90。

③平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角。

在解題時，注意挖掘題設中兩個主要信息：（1）斜線上一點到面的垂線；（2）過斜線上的一點或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質易得垂線。

（3）二面角和二面角的平面角

①二面角的定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二

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面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為頂點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射．．．．．線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個平面垂直；反過來，如果兩個平面垂直，那么所成的二面角為直二面角

④求二面角的方法

定義法：在棱上選擇有關點，過這個點分別在兩個面內作垂直于棱的射線得到平面角

垂面法：已知二面角內一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個面的交線所成的角為二面角的平面角

7、空間直角坐標系

（1）定義：如圖，OBCD?D,A,B,C,是單位正方體.以A為原點，分別以OD,OA，OB的方向為正方向，建立三條數軸x軸.y軸.z軸。

這時建立了一個空間直角坐標系Oxyz.1）O叫做坐標原點2）x 軸，y軸，z軸叫做坐標軸.3）過每兩個坐標軸的平面叫做坐標面。

（2）右手表示法： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直時，可能形成的位置。大拇指指向為x軸正方向，食指指向為y軸正向，中指指向則為z軸正向，這樣也可以決定三軸間的相位置。

（3）任意點坐標表示：空間一點M的坐標可以用有序實數組(x,y,z)來表示，有序實數組(x,y,z)叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，記作M(x,y,z)（x叫做點M的橫坐標，y叫做點M的縱坐標，z叫做點M的豎坐標）

（4）空間兩點距離坐標公式：d?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2

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